20 Câu Hỏi Trả Lời Ngắn Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số Giải Chi Tiết

0
2560

20 câu hỏi trả lời ngắn tiệm cận của đồ thị hàm số giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Câu 1: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{10x}}{{2x – 1}}$ là:

Lời giải

Trả lời: $5$

Ta có : $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \frac{{10}}{2} = 5$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \frac{{10}}{2} = 5$ nên $y = 5$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 2: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{5 + x}}{{x – 3}}$ là

Lời giải

Trả lời: $3$

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \{ 3\} $.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} y = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = + \infty $ suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là $x = 3$

Câu 3: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} – 4x + 5}}{{x – 4}}$ là.

Lời giải

Trả lời: $y = x$

$y = \frac{{{x^2} – 4x + 5}}{{x – 4}} = x + \frac{5}{{x – 4}}$

$ \Rightarrow $TCX: $y = x$

Câu 4: Với giá trị nào của tham số $m$ thì đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{mx + 3}}{{2x – 2025}}$ đi qua điểm $M(1;3)$?

Lời giải

Trả lời: $6$

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{m + \frac{3}{x}}}{{2 – \frac{{2025}}{x}}} = \frac{m}{2}\, \Rightarrow $Tiệm cận ngang $y = \frac{m}{2}$

Vì tiệm cận ngang đi qua điểm $M(1;3)$nên $3 = \frac{m}{2} \Leftrightarrow m = 6$

Câu 5: Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tìm tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho:

Lời giải

Trả lời: $3$

* Tìm tiệm cận đứng

Hàm số không xác định tại ${x_0} = 3$.

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = 4$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} y = – \infty $

$ \Rightarrow $ Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 3$

* Tìm tiệm cận ngang

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 5$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 2$

$ \Rightarrow $Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 20$ và $y = 2$

Vậy hàm số có 3 tiệm cận

Câu 6: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiền như sau

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là.

Lời giải

Trả lời: $1$

* Tìm tiệm cận đứng

Hàm số không xác định tại ${x_0} = 4$.

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} y = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} y = – 3$

$ \Rightarrow $$x = 4$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

* Tìm tiệm cận ngang

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2025$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $

$ \Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2025$.

Vậy hàm số có $1$ tiệm cận.

Câu 7: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$có bảng biến thiên như sau

Tính tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0 \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} y = + \infty \Rightarrow x = – 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = + \infty \Rightarrow x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Câu 8: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {x + 16} – 4}}{{{x^2} + x}}$ là

Lời giải

Trả lời: 1

Tập xác định của hàm số: $D = \left[ { – 16; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0; – 1} \right\}$

Ta có:

* $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} y = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} y = + \infty $

$ \Rightarrow $ Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = – 1$

* $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{\sqrt {x + 16} – 4}}{{{x^2} + x}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{\left( {\sqrt {x + 16} – 4} \right)\left( {\sqrt {x + 16} + 4} \right)}}{{\left( {{x^2} + x} \right)\left( {\sqrt {x + 16} + 4} \right)}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{x}{{\left( {{x^2} + x} \right)\left( {\sqrt {x + 16} + 4} \right)}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 16} + 4} \right)}} = \frac{1}{{\left( {0 + 1} \right)\left( {\sqrt {0 + 16} + 4} \right)}} = \frac{1}{8}$;

Tương tự $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} y = \frac{1}{8}$

$ \Rightarrow x = 0$ không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.

Câu 9: Đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2 – x}}{{\sqrt {{x^2} – 4} }}$ có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

Lời giải

Trả lời: 1 TCĐ, 2 TCN

Tập xác định của hàm số $D = \left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

* Tìm tiệm cận đứng

+ $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} \frac{{2 – x}}{{\sqrt {{x^2} – 4} }} = + \infty $

$ \Rightarrow $ Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = – 2$

+ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2 – x}}{{\sqrt {{x^2} – 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ – {{\left( {\sqrt {x – 2} } \right)}^2}}}{{\sqrt {x – 2} .\sqrt {x + 2} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ – \sqrt {x – 2} }}{{\sqrt {x + 2} }} = 0$

$ \Rightarrow x = 2$ không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

* Tìm tiệm cận ngang

Ta có:

+ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 – x}}{{\sqrt {{x^2} – 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{2}{x} – 1} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {1 – \frac{4}{{{x^2}}}} }}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {\frac{2}{x} – 1} \right)}}{{x\sqrt {1 – \frac{4}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\frac{2}{x} – 1} \right)}}{{\sqrt {1 – \frac{4}{{{x^2}}}} }} = – 1$;

$ \Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = – 1$.

+ $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2 – x}}{{\sqrt {{x^2} – 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{x\left( {\frac{2}{x} – 1} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {1 – \frac{4}{{{x^2}}}} }}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{x\left( {\frac{2}{x} – 1} \right)}}{{ – x\sqrt {1 – \frac{4}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\left( {\frac{2}{x} – 1} \right)}}{{ – \sqrt {1 – \frac{4}{{{x^2}}}} }} = 1$;

$ \Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 1$.

Vậy hàm số  2 TCN và 1 TCĐ

Câu 10: Đồ thị hàm số $y = \frac{{1 – \sqrt {4 – {x^2}} }}{{{x^2} – 2x – 3}}$ có số đường tiệm cận đứng là $m$ và số đường tiệm cận ngang là $n$. Tính giá trị của $m + n$.

Lời giải

Trả lời: 1

$D = \left[ { – 2;2} \right] \setminus \left\{ { – 1} \right\}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ + }} \frac{{1 – \sqrt {4 – {x^2}} }}{{{x^2} – 2x – 3}} = + \infty $;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} \frac{{1 – \sqrt {4 – {x^2}} }}{{{x^2} – 2x – 3}} = – \infty $

$ \Rightarrow x = – 1$ là tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Vậy $m + n = 1$.

Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = mx + \sqrt {{x^2} + x + 1} $ có tiệm cận ngang?

Lời giải

Trả lời: $2$

Nếu $m > 0$ thì đồ thị hàm số tiệm cận ngang khi $x \to – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {mx + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right)$ hữu hạn.

Xét: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {mx + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {\frac{{\left( {{m^2} – 1} \right){x^2} – x – 1}}{{mx – \sqrt {{x^2} + x + 1} }}} \right)$

Giới hạn có kết quả hữu hạn khi: ${m^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1{\text{ }}\left( {m > 0} \right)$

Nếu $m < 0$ thì đồ thị hàm số tiệm cận ngang khi $x \to + \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {mx + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right)$ hữu hạn.

Xét: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {mx + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{\left( {{m^2} – 1} \right){x^2} – x – 1}}{{mx – \sqrt {{x^2} + x + 1} }}} \right)$

Giới hạn có kết quả hữu hạn khi: ${m^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow m = – 1{\text{ }}\left( {m < 0} \right)$

Vậy có $2$ giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

Câu 12: Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {{x^2} – 6x + 2m} }}$ có hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử của $S$ là.

Lời giải

Trả lời: 12

Điều kiện xác định $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 2 \geqslant 0} \\
{{x^2} – 6x + 2m > 0}
\end{array}} \right.$.

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình ${x^2} – 6x + 2m = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ lớn hơn $ – 2$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\Delta ^\prime } = 9 – 2m > 0} \\
{{x_1} + {x_2} > – 2} \\
{{{( – 2)}^2} – 6 \cdot ( – 2) + 2m > 0}
\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < \frac{9}{2}} \\
{3 > – 2} \\
{4 + 12 + 2m > 0}
\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < \frac{9}{2}} \\
{m > – 8}
\end{array}} \right.$

Do đó tập $S = \left\{ { – 7; – 6; – 5; \ldots ;4} \right\}$ có 12 giá trị.

Câu 13: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $m$ sao cho đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^3} + mx + 1} – \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + {m^2}x}}$ nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Tính tổng các phần tử của $S$.

Lời giải

Trả lời: $ – \frac{1}{2}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\frac{{\sqrt {{x^3} + mx + 1} – \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + {m^2}x}}{x}}}$.

Mà $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^3} + mx + 1} – \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + {m^2}x}}{{{\text{ x }}}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{\sqrt {{x^3} + mx + 1} – 1}}{x} – \frac{{\sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} – 1}}{x} + \frac{{{m^2}x}}{x}} \right]$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{{x^3} + mx}}{{x\left( {\sqrt {{x^3} + mx + 1} + 1} \right)}} – \frac{{{x^4} + x}}{{x\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^4} + x + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + 1} \right)}} + {m^2}} \right]$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{{x^2} + m}}{{\left( {\sqrt {{x^3} + mx + 1} + 1} \right)}} – \frac{{{x^3} + 1}}{{\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^4} + x + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + 1} \right)}} + {m^2}} \right]$

$ = \frac{m}{2} – \frac{1}{2} + {m^2} = {m^2} + \frac{m}{2} – \frac{1}{2}$

Đồ thị hàm số $f(x)$ nhận trục tung làm tiệm cận đứng

$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\left( {{x^2} + m} \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^3} + mx + 1} + 1} \right)}} – \frac{{\left( {{x^3} + 1} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^4} + x + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + 1}} + {m^2}} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow {m^2} + \frac{m}{2} – \frac{1}{2} = 0$$ \Leftrightarrow 6{m^2} + 3m – 2 = 0$

$ \Rightarrow {m_1} + {m_2} = \frac{{ – b}}{a} = \frac{{ – 3}}{6} = – \frac{1}{2}.$

Câu 14: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{2025}}{{f\left( x \right)}}$ là

Lời giải

Trả lời: $3$

Từ bảng biến thiên ta thấy $f\left( x \right) = 0$ có 3 nghiệm ${x_1},{x_2},{x_3}$ phân biệt.

Do vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} y = \pm \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} y = \pm \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_3}} y = \pm \infty $ nên đồ thị hàm số $y = \frac{{2025}}{{f\left( x \right)}}$ có 3 đường tiệm cận đứng.

Câu 15: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Tổng số đường tiệm cận của hàm số $y = \frac{1}{{f\left( x \right) + 1}}$ là:

Lời giải

Trả lời: 4

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = – 1$.

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{f\left( x \right) + 1}}$ có hai đường tiệm cận đứng.

Ta có$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f(x) + 1}} = \frac{1}{{3 + 1}} = \frac{1}{4}$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{1}{{f(x) + 1}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}$ nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là $y = \frac{1}{4}$ và $y = \frac{1}{2}$.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{f\left( x \right) + 1}}$ có bốn đường tiệm cận.

Câu 16: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, liề tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{f\left( {{x^3} + x} \right) + 3}}$ là:

Lời giải

Trả lời: 4

Đặt $t = {x^3} + x$, ta có khi $x \to – \infty $ thì $t \to – \infty $ và khi $x \to + \infty $ thì $t \to + \infty $.

Mặt khác ta có $t’ = 3{x^2} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên với mọi $t \in \mathbb{R}$ phương trình ${x^3} + x = t$ có duy nhất một nghiệm $x$.

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình

$f\left( t \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = – 3$

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có duy nhất một nghiệm nên đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{f\left( {{x^3} + x} \right) + 3}}$ có một tiệm cận đứng.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f\left( {{x^3} + x} \right) + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{1}{{f(t) + 3}} = 0$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{1}{{f\left( {{x^3} + x} \right) + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to – \infty } \frac{1}{{f(t) + 3}} = 0$

nên đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{f\left( {{x^3} + x} \right) + 3}}$ có một tiệm cận ngang là $y = 0$.

Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận

Câu 17: Cho hàm số bậc ba $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Đồ thị hàm số $g\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( {4 – {x^2}} \right) – 3}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

Lời giải

Trả lời: 4

Đặt $t = 4 – {x^2}$, ta có khi $x \to \pm \infty $ thì $t \to – \infty $.

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{t \to – \infty } \frac{1}{{f(t) – 3}} = 0$ nên $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $g(x)$.

Mặt khác $f\left( {4 – {x^2}} \right) – 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( {4 – {x^2}} \right) = 3$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4 – {x^2} = – 2} \\
{4 – {x^2} = 4}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \pm \sqrt 6 } \\
{x = 0}
\end{array}} \right.} \right.$

$ \Rightarrow $ Đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có ba đương tiệm cận đứng

Vậy đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có bốn đường tiệm cận.

Câu 18: Cho đồ thị hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ như hình vẽ dưới đây:

Đồ thị của hàm số $g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} – x – 2}}{{3{f^2}\left( x \right) – 6f\left( x \right)}}$ có bao nhiêu đường tiện cận đứng?

Lời giải

Trả lời: 5

Xét phương trình $3{f^2}\left( x \right) – 6f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = 0} \\
{f\left( x \right) = 2}
\end{array}} \right.$

Dựa vào đồ thị ta suy ra:

Phương trình $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2} \\
{x = 1}
\end{array}} \right.$, với $x = – 2$ là nghiệm đơn và $x = 1$ là nghiệm kép.

Suy ra: $f\left( x \right) = a\left( {x + 2} \right){(x – 1)^2},\left( {a \ne 0} \right)$.

Phương trình $f\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = m\,( – 2 < m < – 1),\;\;} \\
{x = n(n > 1)}
\end{array}} \right.$

Suy ra $f\left( x \right) – 2 = ax\left( {x – m} \right)\left( {x – n} \right),\left( {a \ne 0} \right)$.

Khi đó: $g\left( x \right) = \frac{{{a^2}\left( {x – 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}}{{3f\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) – 2} \right]}}$$ = \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}}{{3{a^2}\left( {x + 2} \right){{(x – 1)}^2}x\left( {x – m} \right)\left( {x – n} \right)}}$

$ = \frac{{\left( {3x + 2} \right)}}{{3{a^2}x\left( {x + 2} \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x – m} \right)\left( {x – n} \right)}},\left( {a \ne 0} \right)$

Vậy đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có 5 đường tiệm cận đứng

Cách 2: Chọn hàm số $f\left( x \right)$.

Ta có $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$

Đồ thị hàm số qua 4 điểm $A\left( { – 2;0} \right),B\left( { – 1;4} \right)$, $C\left( {0;2} \right),D\left( {1;0} \right)$.

suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 1} \\
{b = 0} \\
{c = – 3} \\
{d = 2}
\end{array}} \right.$ hay $f\left( x \right) = {x^3} – 3x + 2$

Khi đó:

$g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} – x – 2}}{{3{f^2}\left( x \right) – 6f\left( x \right)}}$$ = \frac{{3{x^2} – x – 2}}{{3f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) – 2} \right)}}$

$ = \frac{{3{x^2} – x – 2}}{{3\left( {{x^3} – 3x + 2} \right)\left( {{x^3} – 3x} \right)}}$$ = \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}}{{3\left( {x + 2} \right){{(x – 1)}^2}x\left( {{x^2} – 3} \right)}}$

Vậy đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có 5 đường tiệm cận đứng

Câu 19: Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình bên dưới.

Đồ thị hàm số $g\left( x \right) = \frac{{2x + 7 – 3\sqrt {4x + 5} }}{{\left| {f\left( x \right)} \right| – 1}}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Lời giải

Trả lời: 2

Hàm số $g\left( x \right)$ xác định khi $\left\{ \begin{gathered}
x \geqslant – \frac{5}{4} \hfill \\
f(x) \ne \pm 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Ta có $y = f\left( x \right)$ là hàm bậc ba và dựa vảo bảng biến thiên ta có $y’ = a\left( {{x^2} – 1} \right)$

$ \Rightarrow y = \frac{a}{3}{x^3} – ax + b$.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y\left( { – 1} \right) = 3} \\
{y\left( 1 \right) = – 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – \frac{a}{3} + a + b = 3} \\
{\frac{a}{3} – a + b = – 1\;}
\end{array}} \right.} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 3} \\
{b = 1}
\end{array} \Rightarrow y = {x^3} – 3x + 1} \right.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 7 – 3\sqrt {4x + 5} }}{{\left| {{x^3} – 3x + 1} \right| – 1}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{2}{{{x^2}}} + \frac{7}{{{x^3}}} – 3\sqrt {\frac{4}{{{x^5}}} + \frac{5}{{{x^6}}}} }}{{\left| {1 – \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right| – \frac{1}{{{x^3}}}}} = 0$

$ \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$g\left( x \right) = \frac{{2x + 7 – 3\sqrt {4x + 5} }}{{\left| {f\left( x \right)} \right| – 1}}$

$ = \frac{{\left( {4{x^2} – 8x + 4} \right)\left( {\left| {f\left( x \right)} \right| + 1} \right)}}{{\left( {{f^2}\left( x \right) – 1} \right)\left( {2x + 7 + 3\sqrt {4x + 5} } \right)}}$

$ = \frac{{4{{(x – 1)}^2}\left( {\left| {f\left( x \right)} \right| + 1} \right)}}{{\left( {f\left( x \right) – 1} \right)\left( {f\left( x \right) + 1} \right)\left( {2x + 7 + 3\sqrt {4x + 5} } \right)}}$

$ = \frac{{4{{(x – 1)}^2}\left( {\left| {f\left( x \right)} \right| + 1} \right)}}{{x\left( {x + \sqrt 3 } \right)\left( {x – \sqrt 3 } \right)\left( {x + 2} \right){{(x – 1)}^2}\left( {2x + 7 + 3\sqrt {4x + 5} } \right)}}$

$ = \frac{{4\left( {\left| {f\left( x \right)} \right| + 1} \right)}}{{x\left( {x + \sqrt 3 } \right)\left( {x – \sqrt 3 } \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 7 + 3\sqrt {4x + 5} } \right)}}$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g(x) = – \infty } \\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} g(x) = + \infty }
\end{array} \Rightarrow x = 0} \right.$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 3 }^ + }} g(x) = + \infty } \\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 3 }^ – }} g(x) = – \infty }
\end{array} \Rightarrow x = \sqrt 3 } \right.$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tiện cận ngang là $y = 0$ và tiệm cận đứng là $y = \sqrt 3 $

Câu 20: Cho hàm trùng phương $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số $y = \frac{{\left( {{x^2} – 4} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)}}{{{{[f\left( x \right)]}^2} + 2f\left( x \right) – 3}}$ có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng?

Lời giải

Trả lời : 4

Ta có: $y = \frac{{\left( {{x^2} – 4} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)}}{{{{[f\left( x \right)]}^2} + 2f\left( x \right) – 3}}$$ = \frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)}}{{{{[f\left( x \right)]}^2} + 2f\left( x \right) – 3}}$

$ = \frac{{\left( {x – 2} \right){{(x + 2)}^2}x}}{{{{[f\left( x \right)]}^2} + 2f\left( x \right) – 3}}$.

Xét ${[f\left( x \right)]^2} + 2f\left( x \right) – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\;f(x) = 1\;} \\
{f\left( x \right) = – 3}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = m,m < – 2 \hfill \\
x = 0 \hfill \\
x = n,\,n > 2 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
x = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

Dựa vào đồ thị ta thấy các nghiệm $x = 0;x = \pm 2$ là các nghiệm kép (nghiệm bội 2 ).

Do đó đa thức ${[f\left( x \right)]^2} + 2f\left( x \right) – 3$ có bậc là 8 .

Suy ra $y = \frac{{\left( {x – 2} \right){{(x + 2)}^2}x}}{{{a^2}{x^2}{{(x + 2)}^2}{{(x – 2)}^2}\left( {x – m} \right)\left( {x – n} \right)}}$

$ = \frac{1}{{{a^2}x\left( {x – 2} \right)\left( {x – m} \right)\left( {x – n} \right)}}$.

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng là $x = 0,x = 2,x = m,x = n$.

Câu 21: Cho hàm số bậc ba $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số $g\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 3x + 2\sqrt {x – 1} }}{{x\left[ {{f^2}\left( x \right) – f\left( x \right)} \right]}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải

Trả lời: 6

Điều kiện xác định của hàm số $g\left( x \right)$ là $x \geqslant 1$.

Xét phương trình $x\left[ {{f^2}\left( x \right) – f\left( x \right)} \right] = 0$$ \Leftrightarrow x.f\left( x \right) \cdot \left[ {f\left( x \right) – 1} \right] = 0$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{f\left( x \right) = 0.} \\
{f\left( x \right) = 1}
\end{array}} \right.$

Xét phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm kép $x = 2$ và nghiệm đơn $x = 1$.

Xét phương trình $f\left( x \right) = 1$ có ba nghiệm đơn $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = a,1 < a < 2} \\
{x = b,1 < b < 2,b \ne a} \\
{x = c,c > 2}
\end{array}} \right.$. Ta thấy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty } \\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = – \infty }
\end{array}} \right.$

Nên không mất tính tổng quát, ta có

$ + f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right){(x – 2)^2} = 0$

$ + f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {x – a} \right)\left( {x – b} \right)\left( {x – c} \right) = 0$

Do đó:

$g\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 3x + 2\sqrt {x – 1} }}{{x\left[ {{f^2}\left( x \right) – f\left( x \right)} \right]}} = \frac{{{x^2} – 3x + 2\sqrt {x – 1} }}{{x\left( {x – 1} \right){{(x – 2)}^2}\left( {x – a} \right)\left( {x – b} \right)\left( {x – c} \right)}}$

Khi đó

+$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g(x)} \\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} g(x)}
\end{array}} \right.$.

không tồn tại giới hạn $ \Rightarrow x = 0$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g\left( x \right)$

$ + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} – 3x + 2\sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = + \infty $.

$ \Rightarrow x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g\left( x \right)$.

$ + \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} – 3x + 2\sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = – \infty } \\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{{x^2} – 3x + 2\sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = + \infty }
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g\left( x \right)$

$ + \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{{{x^2} – 3x + 2\sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = – \infty } \\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} \frac{{{x^2} – 3x + 2\sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = + \infty }
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow x = a$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g\left( x \right)$.

$ + \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} \frac{{{x^2} – 3x + 2\sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = + \infty } \\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} \frac{{{x^2} – 3x + 2\sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = – \infty }
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow x = b$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g(x)$.

$ + \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ + }} \frac{{{x^2} – 3x + 2\sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = + \infty } \\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ – }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ – }} \frac{{{x^2} – 3x + 2\sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = – \infty }
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow x = c$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g(x)$.

$ + \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} – 3x + 2\sqrt {x – 1} }}{{x(x – 1){{(x – 2)}^2}(x – a)(x – b)(x – c)}} = 0$.

$ \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $g(x)$.

Vậy đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có 6 đường tiệm cận.

ĐÁNH GIÁ TỔNG QUAN
20 Câu Hỏi Trả Lời Ngắn Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số Giải Chi Tiết
Bài trướcGiáo Án Tiếng Việt 5 Cánh Diều Tuần 17
Bài tiếp theoGiáo Án Môn Toán Lớp 5 Cánh Diều Tuần 5
20-cau-hoi-tra-loi-ngan-tiem-can-cua-do-thi-ham-so-giai-chi-tiet20 câu hỏi trả lời ngắn tiệm cận của đồ thị hàm số giải chi tiết giúp học tập và rèn luyện một cách hiệu quả nhất.
Nhận thông báo qua email
Thông báo cho
guest

0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments