Phương Pháp Xét Tính Đơn Điệu Dựa Vào Đồ Thị Hàm Số y = f'(x)

I. Phương pháp: Để xét tính đơn điệu dựa vào đồ thị hàm số $y = f'(x)$ ta áp dụng quy tắc sau:

+ Nếu trên $(a;b)$ đồ thị hàm số $y = f'(x)$ nằm phía trên trục hoành thì $f'(x) > 0$ nên hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(a;b)$.

+ Nếu trên $(a;b)$ đồ thị hàm số $y = f'(x)$ nằm phía dưới trục hoành thì $f'(x) < 0$ nên hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(a;b)$.

+ Nếu đồ thị hàm số $y = f'(x)$ cắt trục hoành tại điểm ${x_0}$ thì $f'({x_0}) = 0$.

II. Phương pháp:

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình dưới.

Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = f\left( x \right)$.

Lời giải

Nhìn đồ thị hàm số $y = f'(x)$ ta thấy

– Trên khoảng $\left( { – 2;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$ (phần màu tím) đồ thị hàm số $y = f'(x)$ nằm phía trên trục hoành. Do đó, $f'(x) > 0,\,\forall x \in \left( { – 2;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

– Trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right)$ và $\left( {0;2} \right)$ (phần màu xanh lá) đồ thị hàm số $y = f'(x)$ nằm phía dưới trục hoành. Do đó,$f'(x) < 0,\,\forall x \in \left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {0;2} \right)$.

Nên ta có bảng biến thiên

Vậy

– Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( { – 2;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

– Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right)$ và $\left( {0;2} \right)$.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình dưới.

Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = f\left( x \right)$.

Lời giải

Nhìn đồ thị hàm số $y = f'(x)$ ta thấy

– Trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ (phần màu xanh lá) đồ thị hàm số $y = f'(x)$ nằm phía trên trục hoành $f'(x) > 0,\,\forall x \in \left( { – \infty ; – 1} \right)$.

– Trên các khoảng $\left( { – 1;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$ (phần màu tím) đồ thị hàm số $y = f'(x)$ nằm phía dưới trục hoành. Do đó,$f'(x) < 0,\,\forall x \in \left( { – 1;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

Nên ta có bảng biến thiên

Vậy

– Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { – \infty ; – 1} \right)$.

– Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { – 1; – \infty } \right)$.

Ví dụ 3: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'(x)$ như hình dưới.

Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = f\left( x \right)$.

Lời giải

Nhìn đồ thị hàm số $y = f'(x)$ta có bảng biến thiên

Vậy

– Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 5} \right)$ và $\left( { – 2; + \infty } \right)$.

– Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến khoảng $\left( { – 5;2} \right)$.

Ví dụ 4: (Đề thi TN THPT 2024) Cho hàm số bậc bốn $y = f( x )$. Hàm số $y = f'( x )$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hàm số $y = f( x )$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $( { – 1;2} )$. B. $( { – 1;1} )$. C. $( { – \infty ; – 1} )$. D. $( {1;2} )$.

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f'(x)$ ta thấy, hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên các khoảng $(-1;1)$ và $( {2; + \infty } )$.

Do đó ta chọn B.