1. Tìm min max dựa vào bảng biến thiên
Ví dụ 1: Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[ – 6;5]$ và có bảng biến thiên trong đoạn $[ – 6;5]$ như hình. Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[ – 6;5]$. Tìm giá trị của $M$ ?
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $M = \mathop {max}\limits_{[ – 6;5]} f(x) = f(3) = 9$
Ví dụ 2: Cho hàm số $f( x )$ liên tục trên đoạn $[ { – 2;2} ]$có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Đặt $\mathop {\min }\limits_{[ { – 2;2} ]} f( x ) = m$, $\mathop {\max }\limits_{[ { – 2;2} ]} f( x ) = M$. Tính $m + M$.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $\mathop {\min }\limits_{[ { – 2;2} ]} f( x ) = 3$; $\mathop {\max }\limits_{[ { – 2;2} ]} f( x ) = 11$
Vậy, $m + M = 3 + 11 = 14$.
Ví dụ 3: Cho hàm số $f( x )$ liên tục trên đoạn $[ { – 2;2} ]$có bảng biến thiên như hình vẽ bên.
Đặt $\mathop {\min }\limits_{[ { – 2;2} ]} f( x ) = m$, $\mathop {\max }\limits_{[ { – 2;2} ]} f( x ) = M$. Tính $m + M$.
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy
$M = \mathop {\max }\limits_{[ { – 2;2} ]} f( x ) = f( 0 ) = 1$
$m = \mathop {\min }\limits_{[ { – 2;2} ]} f( x ) = f( { – 2} ) = f( 2 ) = – 3$
Vậy $M + m = 1 + ( { – 3} ) = – 2$
2. Tìm min max dựa vào đồ thị
Ví dụ 4: Cho hàm số $y = f( x )$ liên tục trên đoạn $[ { – 1\,;\,2} ]$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $M,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[ { – 1\,;\,2} ]$. Tính $M + 2m$.
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy
$M = \mathop {\max }\limits_{[ { – 1;2} ]} f( x ) = f( 1 ) = 3$
$m = \mathop {\min }\limits_{[ { – 1;2} ]} f( x ) = f( 2 ) = – 2$
Vậy $M + 2m = 3 + 2.( { – 2} ) = – 1$
Ví dụ 5: Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $ [- 1;4]$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn$[ { – 1;4} ]$. Tính $M + m$.
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy
$M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( { – 1} \right) = 3$
$m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = – 1$
Vậy $M + m = 3 + \left( { – 1} \right) = 2$
Ví dụ 6: Cho hàm số $y = f( x )$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g( x ) = 2f( x ) – 1$ trên đoạn $[ { – 1;2} ]$.
Lời giải
Ta có: $\mathop {\max }\limits_{[ { – 1;2} ]} f( x ) = 3$
Do đó, $\mathop {\max }\limits_{[ { – 1;2} ]} g( x ) = 2\mathop {\max }\limits_{[ { – 1;2} ]} f( x ) – 1 = 2.3 – 1 = 5$.
Ví dụ 7: Cho hàm số $y = f( x )$ liên tục trên đoạn $[ { – 3;1} ]$ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn$[ { – 3;1} ]$. Tính $M + m$.
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy
$M = \mathop {\max }\limits_{[ { – 1;3} ]} f( x ) = f( { – 2} ) = 2$
$m = \mathop {\min }\limits_{[ { – 1;3} ]} f( x ) = f( { – 3} ) = – 3$
Vậy $M + m = 2 + ( { – 3} ) = – 1$
