Chuyên đề bất phương trình mũ theo từng mức độ luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 32 của đề tham khảo môn Toán.
DẠNG TOÁN BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Bất phương trình mũ là bất phương trình có dạng: ${a^x} > b$ hoặc ${a^x} \ge b;{a^x} < b;{a^x} \le b$ với $0 < a \ne 1$
- Ta xét bất phương trình ${a^x} > b$
TH1: Nếu $b \le 0$ thì tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$
TH2: Nếu $b > 0$ thì bất phương trình tương đương với ${a^x} > {a^{{{\log }_a}b}}$
+Với $a > 1$ thì nghiệm của bất phương trình là $x > {\log _a}b$
+Với $a < 1$ thì nghiệm của bất phương trình là $x < {\log _a}b$
- Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.
- Tương tự với bất phương trình dạng: $\left[ \begin{array}{l}{a^{f\left( x \right)}} \ge {a^{g\left( x \right)}}\\{a^{f\left( x \right)}} < {a^{g\left( x \right)}}\\{a^{f\left( x \right)}} \le {a^{g\left( x \right)}}\end{array} \right.$
Trong trường hợp cơ số $a$ có chứa ẩn số thì: ${a^M} > {a^N} \Leftrightarrow \left( {a – 1} \right)\left( {M – N} \right) > 0$
- ${a^{f\left( x \right)}} > b \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\left\{\begin{gathered}a > 1 \hfill \\f\left( x \right) > {\log _a}b \hfill \\\end{gathered} \right. \hfill \\\left\{ \begin{gathered}0 < a < 1 \hfill \\f\left( x \right) < {\log _a}b \hfill \\\end{gathered} \right. \hfill \\\end{gathered} \right.\,\,(b > 0)$ hoặc $\left\{ \begin{gathered}b < 0 \hfill \\f\left( x \right)\,\,\,có nghĩa \hfill \\\end{gathered} \right.$
- Tương tự với bất phương trình dạng: $\left[ \begin{array}{l}{a^{f\left( x \right)}} \ge b\\{a^{f\left( x \right)}} < b\\{a^{f\left( x \right)}} \le b\end{array} \right.$
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
+ Đưa về cùng cơ số.
+ Đặt ẩn phụ.
+ Logarit hóa
+ Sử dụng tính đơn điệu:
$y = f\left( x \right)$ đồng biến trên$D$ thì:$f\left( u \right) < f\left( v \right) \Rightarrow u < v$
$y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D$ thì:$f\left( u \right) < f\left( v \right) \Rightarrow u > v$
(ĐỀ THAM KHẢO-BGD 2020-2021) Tập nghiệm của bất phương trình ${3^{4 – {x^2}}} \ge 27$ là:
A. $\left[ { – 1;1} \right]$. B. $\left( { – \infty ;1} \right]$. C. $\left[ { – \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right]$. D. $\left[ {1; + \infty } \right)$.
Phân tích Lời giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tập nghiệm của bất phương trình.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Đưa về cùng cơ số
B2: Sử dụng phép biến đổi tương đương
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${3^{4 – {x^2}}} \ge 27$$ \Leftrightarrow $${3^{4 – {x^2}}} \ge {3^3}$$ \Leftrightarrow $$4 – {x^2} \ge 3$ $ \Leftrightarrow {x^2} \le 1$$ \Leftrightarrow $$ – 1 \le x \le 1$.
Bài tập tương tự và phát triển
Mức độ 1
Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} > {3^{x + 1}}$ là:
A. $\left( { – \infty ;{{\log }_2}3} \right]$. B. $\left( { – \infty ;{{\log }_{\frac{2}{3}}}3} \right)$. C. $\emptyset $. D. $\left( {{{\log }_{\frac{2}{3}}}3; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có:${2^x} > {3^{x + 1}} \Leftrightarrow {2^x} > {3.3^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} > 3 \Leftrightarrow x < {\log _{\frac{2}{3}}}3$.
Câu 2. Giải bất phương trình $\frac{1}{9}{.3^{3x}} > 1$ .
A. $x > \frac{2}{3}$ . B. $x < \frac{2}{3}$. C. $x > \frac{3}{2}$. D. $x < \frac{3}{2}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $\frac{1}{9}{.3^{3x}} > 1 \Leftrightarrow {3^{3x}} > {3^2} \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}$.
Câu 3. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${2^{x – 1}} > {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{\frac{1}{x}}}$.
A. $S = \left( {2;\, + \infty } \right)$. B. $S = \left( { – \infty ;\,0} \right)$. C. $S = \left( {0;\, + \infty } \right)$. D. $S = \left( { – \infty ;\, + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C
${2^{x – 1}} > {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{\frac{1}{x}}} \Leftrightarrow {2^{x – 1}} > {2^{ – \frac{4}{x}}} \Leftrightarrow x – 1 > – \frac{4}{x} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – x + 4}}{x} > 0 \Leftrightarrow x > 0$.
Câu 4. Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} – 2x}} \ge \frac{1}{{125}}$.
A. $3$. B. $4$. C. $5$. D. $6$.
Lời giải
Chọn A
Ta có ${\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} – 2x}} \ge \frac{1}{{125}} \Leftrightarrow {x^2} – 2x \le 3 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x – 3} \right) \le 0 \Leftrightarrow – 1 \le x \le 3$
Vì phương trình tìm nghiệm nguyên dương nên các nghiệm là $x = \left\{ {1;2;3} \right\}$.
Câu 5. Một học sinh giải bất phương trình ${\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^{ – \frac{1}{x}}} \le {\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^{ – 5}}$.
Bước 1: Điều kiện $x \ne 0$.
Bước 2: Vì $0 < \frac{2}{{\sqrt 5 }} < 1$ nên ${\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^{ – \frac{1}{x}}} \le {\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^{ – 5}} \Leftrightarrow \frac{1}{x} \le 5$
Bước 3: Từ đó suy ra $1 \le 5x \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{5}$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left[ {\frac{1}{5};\, + \infty } \right)$.
A. Sai ở bước 1. B. Sai ở bước 2. C. Sai ở bước 3. D. Đúng.
Lời giải
Chọn C
Vì $\frac{1}{x} \le 5 \Leftrightarrow \frac{{1 – 5x}}{x} \le 0 \Leftrightarrow x < 0 \vee x \ge \frac{1}{5}$.
Câu 6. Giải bất phương trình ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ – 3{x^2}}} < {3^{2x + 1}}$ ta được tập nghiệm:
A. $\left( { – \infty ; – \frac{1}{3}} \right)$. B. $\left( {1; + \infty } \right)$. C. $\left( { – \frac{1}{3};1} \right)$. D. $\left( { – \infty ; – \frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ – 3{x^2}}} < {3^{2x + 1}} \Leftrightarrow 3{x^2} < 2x + 1 \Leftrightarrow – \frac{1}{3} < x < 1$.
Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{x + 2}} < {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}$ là:
A. $\left( { – \infty ; – \frac{2}{3}} \right)$. B. $\left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$. C. $\left( { – \infty ;0} \right)$. D. $\left( { – \frac{2}{3}; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có ${2^{x + 2}} < {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} \Leftrightarrow {2^{x + 2}} < {2^{ – 2x}} \Leftrightarrow x + 2 < – 2x \Leftrightarrow x < – \frac{2}{3}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { – \infty ; – \frac{2}{3}} \right)$.
Câu 8. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x + 1}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{3x – 2}}$.
A. $S = \left( { – \infty ;3} \right)$. B. $S = \left( {3; + \infty } \right)$. C. $S = \left( { – \infty ; – 3} \right)$. D. $S = \left( { – \frac{1}{2};3} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x + 1}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{3x – 2}} \Leftrightarrow 2x + 1 > 3x – 2$ (vì $0 < \frac{1}{2} < 1$) $ \Leftrightarrow x < 3$.
Câu 9. Nghiệm của bất phương trình ${3^{x + 2}} \ge \frac{1}{9}$ là:
A. $x \ge – 4$. B. $x < 0$. C. $x > 0$. D. $x < 4$.
Lời giải
Chọn A
${3^{x + 2}} \ge \frac{1}{9} \Leftrightarrow {3^{x + 2}} \ge {3^{ – 2}} \Leftrightarrow x + 2 \ge – 2 \Leftrightarrow x \ge – 4$.
Câu 10. Tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình: ${2^{ – \left| x \right|}} > \frac{1}{8}$.
A. $x > 3$ hoặc $x < – 3$. B. $ – 3 < x < 3$. C. $x < – 3$. D. $x > 3$.
Lời giải
Chọn B
Có: ${2^{ – \left| x \right|}} > \frac{1}{8} \Leftrightarrow {2^{ – \left| x \right|}} > {2^{ – 3}} \Leftrightarrow – \left| x \right| > – 3$ $ \Leftrightarrow \left| x \right| < 3 \Leftrightarrow – 3 < x < 3$
Câu 11. Giải bất phương trình ${2^{ – {x^2} + 3x}} > 4$.
A. $\left[ {_{x < 1}^{x > 2}} \right.$. B. $2 < x < 4$. C. $1 < x < 2.$ D. $0 < x < 2.$
Lời giải
Chọn C
Ta có: ${2^{ – {x^2} + 3x}} > 4 \Leftrightarrow – {x^2} + 3x > 2 \Leftrightarrow – {x^2} + 3x – 2 > 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2$.
Câu 12. Tìm tập nghiệm của bất phương trình $0,{3^{{x^2} + x}} > 0,09$.
A. $\left( { – \infty ;\,\, – 2} \right)$. B. $\left( { – \infty ;\,\, – 2} \right) \cup \left( {1;\,\, + \infty } \right)$.
C. $\left( { – 2;\,\,1} \right)$. D. $\left( {1;\,\, + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $0,{3^{{x^2} + x}} > 0,09 \Leftrightarrow 0,{3^{{x^2} + x}} > {\left( {0,3} \right)^2}$$ \Leftrightarrow {x^2} + x < 2$$ \Leftrightarrow – 2 < x < 1$.
Vậy $S = \left( { – 2;1} \right)$.
Câu 13. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{\frac{1}{x}}} < {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{\frac{3}{x} + 5}}$.
A. $S = \left( { – \infty ;\frac{{ – 2}}{5}} \right)$. B. $S = \left( { – \infty ;\frac{{ – 2}}{5}} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right).$
C. $S = \left( {0; + \infty } \right).$ D. $S = \left( {\frac{{ – 2}}{5}; + \infty } \right).$
Lời giải
Chọn B
Ta có ${\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{\frac{1}{x}}} < {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{\frac{3}{x} + 5}} \Leftrightarrow \frac{1}{x} < \frac{3}{x} + 5 \Leftrightarrow \frac{{2 + 5x}}{x} > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < – \frac{2}{5}}\\{x > 0}\end{array}} \right.$.
Câu 14. Tập các số $x$ thỏa mãn ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^{4x}} \le {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2 – x}}$ là:
A. $\left( { – \infty ;\frac{2}{3}} \right]$. B. $\left[ { – \frac{2}{3}; + \infty } \right)$. C. $\left( { – \infty ;\frac{2}{5}} \right]$. D. $\left[ {\frac{2}{5}; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^{4x}} \le {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2 – x}} \Leftrightarrow 4x \le 2 – x$$ \Leftrightarrow x \le \frac{2}{5}$.
Mức độ 2
Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\sqrt 5 – 2} \right)^{\frac{{2x}}{{x – 1}}}} \le {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^x}$ là:
A. $\left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {0;1} \right]$. B. $\left[ { – 1;0} \right]$. C. $\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left[ {0; + \infty } \right)$. D. $\left[ { – 1;0} \right] \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn D
${\left( {\sqrt 5 – 2} \right)^{\frac{{2x}}{{x – 1}}}} \le {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^x}$$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{\frac{{ – 2x}}{{x – 1}}}} \le {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^x}$$ \Leftrightarrow – \frac{{2x}}{{x – 1}} \le x$
$ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{x – 1}} + x \ge 0$$ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + x}}{{x – 1}} \ge 0 \Leftrightarrow – 1 \le x \le 0 \vee x > 1$.
Câu 2. Nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{9{x^2} – 17x + 11}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{7 – 5x}}$ là:
A. $x \le \frac{2}{3}$. B. $x > \frac{2}{3}$. C. $x \ne \frac{2}{3}$. D. $x = \frac{2}{3}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có BPT $ \Leftrightarrow 9{x^2} – 17x + 11 \le 7 – 5x \Leftrightarrow 9{x^2} – 12x + 4 \le 0$$ \Leftrightarrow {(3x – 2)^2} \le 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}$.
Câu 3. Bất phương trình ${2^{{x^2} – 3x + 4}} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x – 10}}$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
A. $2.$ B. $4.$ C. $6.$ D. $3.$
Lời giải
Chọn D
Ta có ${2^{{x^2} – 3x + 4}} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x – 10}} \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 4 \le 10 – 2x \Leftrightarrow {x^2} – x – 6 \le 0 \Leftrightarrow – 2 \le x \le 3$.
Do đó, nghiệm nguyên dương của bất phương trình là $\left\{ {1;2;3} \right\}$.
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} + {2^{x + 1}} \le {3^x} + {3^{x – 1}}$
A. $x \in \left[ {2; + \infty } \right)$. B. $x \in \left( {2; + \infty } \right)$. C. $x \in \left( { – \infty ;2} \right)$. D. $\left( {2; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${2^x} + {2^{x + 1}} \le {3^x} + {3^{x – 1}}$$ \Leftrightarrow {3.2^x} \le \frac{4}{3}{.3^x}$$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} \ge \frac{9}{4}$$ \Leftrightarrow x \ge 2$.
Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{{{3^x}}}{{{3^x} – 2}} < 3$ là:
A. $\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < {\log _3}2\end{array} \right.$. B. $x > {\log _3}2$. C. $x < 1$. D. ${\log _3}2 < x < 1$.
Lời giải
Chọn A
$\frac{{{3^x}}}{{{3^x} – 2}} < 3 \Leftrightarrow \frac{{{3^x} – 3}}{{{3^x} – 2}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} > 3\\{3^x} < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < {\log _3}2\end{array} \right.$.
Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} + {4.5^x} – 4 < {10^x}$ là:
A. $\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 2\end{array} \right..$ B. $x < 0.$ C. $x > 2.$ D. $0 < x < 2.$
Lời giải
Chọn A
${2^x} + {4.5^x} – 4 < {10^x}$$ \Leftrightarrow {2^x} – {10^x} + {4.5^x} – 4 < 0 \Leftrightarrow {2^x}\left( {1 – {5^x}} \right) – 4\left( {1 – {5^x}} \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {1 – {5^x}} \right)\left( {{2^x} – 4} \right) < 0$
${\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 – {5^x} < 0\\{2^x} – 4 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 – {5^x} > 0\\{2^x} – 4 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{5^x} > 1\\{2^x} > 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{5^x} < 1\\{2^x} < 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{{{{2.3}^x} – {2^{x + 2}}}}{{{3^x} – {2^x}}} \le 1$ là:
A. $x \in \left( {0;{{\log }_{\frac{3}{2}}}3} \right].$ B. $x \in \left( {1;3} \right).$ C. $x \in \left( {1;3} \right].$ D. $x \in \left[ {0;{{\log }_{\frac{3}{2}}}3} \right].$
Lời giải
Chọn A
Ta có: $\frac{{{{2.3}^x} – {2^{x + 2}}}}{{{3^x} – {2^x}}} \le 1$$ \Leftrightarrow \frac{{2.{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} – 4}}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} – 1}} \le 1$ $ \Leftrightarrow \frac{{2.{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} – 4}}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} – 1}} – 1 \le 0$
$ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} – 3}}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} – 1}} \le 0$$ \Leftrightarrow 1 < {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} \le 3$ $ \Leftrightarrow 0 < x \le {\log _{\frac{3}{2}}}3$.
Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình ${4^x} + {4^{x + 2}} + {4^{x + 4}} \ge {5^x} + {5^{x + 2}} + {5^{x + 4}}$ là:
A. $T = \left( { – \infty ;\,{{\log }_{\frac{4}{5}}}\frac{{31}}{{13}}} \right].$ B. $T = \left[ {{{\log }_{\frac{4}{5}}}\frac{{31}}{{13}};\, + \infty } \right).$
C. $T = \left( { – \infty ;\,{{\log }_{\frac{4}{5}}}\frac{{31}}{{13}}} \right).$ D. $T = \left( {{{\log }_{\frac{4}{5}}}\frac{{31}}{{13}};\, + \infty } \right).$
Lời giải
Chọn A
Tập xác định $D = \mathbb{R}$.
Bất phương trình đã cho tương đương:
${4^x} + 16 \cdot {4^x} + 256 \cdot {4^x} \ge {5^x} + 25 \cdot {5^x} + 625 \cdot {5^x} \Leftrightarrow 273 \cdot {4^x} \ge 651 \cdot {5^x}$
$ \Leftrightarrow {4^x} \ge \frac{{31}}{{13}} \cdot {5^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} \ge \frac{{31}}{{13}} \Leftrightarrow x \le {\log _{\frac{4}{5}}}\left( {\frac{{31}}{{13}}} \right).$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $T = \left( { – \infty ;\,{{\log }_{\frac{4}{5}}}\frac{{31}}{{13}}} \right].$
Câu 9. Bất phương trình ${\left( {\sqrt 3 – 1} \right)^{x + 1}} < {\left( {4 – 2\sqrt 3 } \right)^{x – 1}}$ có tập nghiệm là:
A. $S = \left( { – \infty ; + \infty } \right)$. B. $S = \left( { – \infty ;3} \right]$. C. $S = \left( {3; + \infty } \right)$. D. $S = \left( { – \infty ;3} \right)$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${\left( {\sqrt 3 – 1} \right)^{x + 1}} < {\left( {4 – 2\sqrt 3 } \right)^{x – 1}}$ $ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 – 1} \right)^{x + 1}} < {\left( {\sqrt 3 – 1} \right)^{2x – 2}}$$ \Leftrightarrow x + 1 > 2x – 2$ (do $\sqrt 3 – 1 < 1$).
$ \Leftrightarrow x < 3$.
Câu 10. Nghiệm nguyên dương lớn nhất của bất phương trình:${4^{x – 1}} – {2^{x – 2}} \le 3$ là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${4^{x – 1}} – {2^{x – 2}} \le 3$$ \Leftrightarrow \frac{1}{4}{4^x} – \frac{1}{4}{2^x} – 3 \le 0$$ \Leftrightarrow 0 < {2^x} \le 4 \Leftrightarrow x \le 2$.
Câu 11. Nghiệm của bất phương trình ${e^x} + {e^{ – x}} < \frac{5}{2}$ là:
A. $x < \frac{1}{2}$ hoặc $x > 2$. B. $\frac{1}{2} < x < 2$.
C. $ – \ln 2 < x < \ln 2$. D. $x < – \ln 2$ hoặc $x > \ln 2$.
Lời giải
Chọn C
Ta có ${e^x} + {e^{ – x}} < \frac{5}{2}$$ \Leftrightarrow $${e^x} + \frac{1}{{{e^x}}} < \frac{5}{2}$$ \Leftrightarrow 2{\left( {{e^x}} \right)^2} – 5{e^x} + 2 < 0$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2} < {e^x} < 2$$ \Leftrightarrow – \ln 2 < x < \ln 2$.
Câu 12. Bất phương trình ${9^x} – {3^x} – 6 < 0$ có tập nghiệm là
A. $\left( { – \infty ;1} \right)$. B. $\left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$. C. $\left( {1; + \infty } \right)$. D. $\left( { – 2;3} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${9^x} – {3^x} – 6 < 0$$ \Leftrightarrow {\left( {{3^x}} \right)^2} – {3^x} – 6 < 0$$ \Leftrightarrow – 2 < {3^x} < 3$$ \Leftrightarrow x < 1$.
Câu 13. Tập hợp nghiệm của bất phương trình ${3^{3x – 2}} + \frac{1}{{{{27}^x}}} \le \frac{2}{3}$ là:
A. $\left( {0;1} \right).$ B. $\left( {1;2} \right).$ C. $\left\{ {\frac{1}{3}} \right\}.$ D. $\left( {2;3} \right).$
Lời giải
Chọn C
Ta có: ${3^{3x – 2}} + \frac{1}{{{{27}^x}}} \le \frac{2}{3}$$ \Leftrightarrow \frac{{{3^{3x}}}}{9} + \frac{1}{{{3^{3x}}}} \le \frac{2}{3}$$ \Leftrightarrow {\left( {{3^{3x}}} \right)^2} – {6.3^{3x}} + 9 \le 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {{3^{3x}} – 3} \right)^2} \le 0$$ \Leftrightarrow {3^{3x}} – 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$.
Câu 14. Tìm tập nghiệm của bất phương trình ${6^{2x + 1}} – {13.6^x} + 6 \le 0$.
A. $\left[ { – 1;1} \right]$. B. $\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$. C. $\left[ {{{\log }_6}\frac{2}{3};{{\log }_6}\frac{3}{2}} \right]$. D. $\left( { – \infty ;{{\log }_6}2} \right)$.
Lời giải
Chọn C
Tập xác định $D = \mathbb{R}$.
Bpt $ \Leftrightarrow {6.6^{2x}} – {13.6^x} + 6 \le 0 \Leftrightarrow \frac{2}{3} \le {6^x} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow {\log _6}\frac{2}{3} \le x \le {\log _6}\frac{3}{2}$.
Vậy tập nghiệm của bpt là $S = \left[ {{{\log }_6}\frac{2}{3};{{\log }_6}\frac{3}{2}} \right]$.
Mức độ 3
Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{1}{{{3^x} + 5}} \le \frac{1}{{{3^{x + 1}} – 1}}$ là:
A. $ – 1 < x \le 1.$ B. $x \le – 1.$ C. $x > 1.$ D. $1 < x < 2.$
Lời giải
Chọn A
Đặt $t = {3^x}$ ($t > 0$), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
$\frac{1}{{t + 5}} \le \frac{1}{{3t – 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t – 1 > 0\\3t – 1 \le t + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{3} < t \le 3 \Leftrightarrow – 1 < x \le 1.$
Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình: ${81.9^{x – 2}} + {3^{x + \sqrt x }} – \frac{2}{3}{.3^{2\sqrt x + 1}} \ge 0$ là:
A. $S = \left[ {1; + \infty } \right) \cup \left\{ 0 \right\}$. B. $S = \left[ {1; + \infty } \right)$. C. $S = \left[ {0; + \infty } \right)$. D. $S = \left[ {2; + \infty } \right) \cup \left\{ 0 \right\}$.
Lời giải
Chọn A
ĐKXĐ: $x \ge 0$.
BPT $ \Leftrightarrow 81.\frac{{{9^x}}}{{81}} + {3^x}{.3^{\sqrt x }} – \frac{2}{3}{.3.3^{2\sqrt x }} \ge 0$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {3^{2x}} + {3^x}{.3^{\sqrt x }} – {2.3^{2\sqrt x }} \ge 0 \Leftrightarrow \left( {{3^x} – {3^{\sqrt x }}} \right)\left( {{3^x} + {{2.3}^{\sqrt x }}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {3^x} – {3^{\sqrt x }} \ge 0{\rm{ }}\left( {do{\rm{ }}{3^x} + {{2.3}^{\sqrt x }} > 0,{\rm{ }}\forall x \ge 0} \right)\end{array}$
$ \Rightarrow {3^x} \ge {3^{\sqrt x }} \Leftrightarrow x \ge \sqrt x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x \ge 1\\\sqrt x \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x = 0\end{array} \right.$
Vậy tập nghiệm cảu BPT là $S = \left[ {1; + \infty } \right) \cup \left\{ 0 \right\}$.
Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình: ${3^{{x^2} + \sqrt {x – 1} – 1}} + 3 \le {3^{{x^2}}} + {3^{\sqrt {x – 1} }}$ là:
A. $2 \le x$. B. $1 \le x \le 2$. C. $2 \le x \le 7$. D. $2 \le x \le 4$.
Lời giải
Chọn B
ĐK: $x \ge 1$
Ta có: ${3^{{x^2} + \sqrt {x – 1} – 1}} + 3 \le {3^{{x^2}}} + {3^{\sqrt {x – 1} }}$$ \Leftrightarrow {3^{{x^2} + \sqrt {x – 1} }} + 9 – {3.3^{{x^2}}} – 3.3\sqrt {x – 1} \le 0$.
$ \Leftrightarrow \left( {{3^{{x^2}}} – 3} \right)\left( {{3^{\sqrt {x – 1} }} – 3} \right) \le 0$.
+Với $x = 1$, thỏa mãn;
+Với $x > 1: \Leftrightarrow {3^{\sqrt {x – 1} }} \le 3 \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} \le 1$ $ \Leftrightarrow {\rm{ }}1 \le x \le 2$.
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình $\left( {{2^x} – 4} \right)\left( {{x^2} – 2x – 3} \right) < 0$ là:
A. $\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {2;3} \right)$. B. $\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {2;3} \right)$. C. $\left( {2;3} \right)$. D. $\left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {2;3} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: $\left( {{2^x} – 4} \right)\left( {{x^2} – 2x – 3} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{2^x} – 4 > 0\\{x^2} – 2x – 3 < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{2^x} – 4 < 0\\{x^2} – 2x – 3 > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\ – 1 < x < 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x < – 1 \vee x > 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 < x < 3\\x < – 1\end{array} \right..$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {2;3} \right)$.
Cách 2: lập bảng xét dấu
Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình ${3^x}.{x^2} + 54x + {5.3^x} > 9{x^2} + 6x{.3^x} + 45$ là:
A. $\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$ B. $\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {2;5} \right)$ C. $\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$ D. $\left( {1;2} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn D
Bất phương trình ${3^x}.{x^2} + 54x + {5.3^x} > 9{x^2} + 6x{.3^x} + 45$ tương đương với:
$\left( {{3^x}.{x^2} – 9{x^2}} \right) + \left( { – 6x{{.3}^x} + 54x} \right) + \left( {{{5.3}^x} – 45} \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{3^x} – 9} \right) – 6x\left( {{3^x} – 9} \right) + 5\left( {{3^x} – 9} \right) > 0$
$ \Leftrightarrow \left( {{3^x} – 9} \right)\left( {{x^2} – 6x + 5} \right) > 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{3^x} – 9 > 0\\{x^2} – 6x + 5 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{3^x} – 9 < 0\\{x^2} – 6x + 5 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\\left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 5\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 2\\1 < x < 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 5\\1 < x < 2\end{array} \right.$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $\left( {1;2} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$.
Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình$\frac{1}{{{2^{\sqrt {{x^2} – 2x} }}}} – \frac{{{2^x}}}{2} \le 0$là:
A. $\left[ {0;{\rm{ }}2} \right]$. B. $\left( { – \infty ;{\rm{ }}1} \right]$. C. $\left( { – \infty ;{\rm{ }}0} \right]$. D. $\left[ {2; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn D
Ta có:$\frac{1}{{{2^{\sqrt {{x^2} – 2x} }}}} – \frac{{{2^x}}}{2} \le 0 \Leftrightarrow {2^{ – \sqrt {{x^2} – 2x} }} – {2^{x – 1}} \le 0 \Leftrightarrow {2^{ – \sqrt {{x^2} – 2x} }} \le {2^{x – 1}}$$ \Leftrightarrow – \sqrt {{x^2} – 2x} \le x – 1$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 2x} \ge 1 – x$ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 2x \ge 0\\1 – x \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 – x > 0\\{x^2} – 2x \ge {(1 – x)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Rightarrow x \ge 2$.
Câu 7. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt {{x^2} – 3x – 10} }} > {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{x – 2}}$.
A. $1$. B. $0$. C. $9$. D. $11$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt {{x^2} – 3x – 10} }} > {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{x – 2}}$$ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 3x – 10} < x – 2$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 3x – 10 \ge 0\\x – 2 > 0\\{x^2} – 3x – 10 < {\left( {x – 2} \right)^2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 5\\x \le – 2\end{array} \right.\\x > 2\\x < 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 5\\x \le – 2\end{array} \right.\\2 < x < 14\end{array} \right. \Leftrightarrow 5 \le x < 14$.
Vì $x$ nguyên nên nhận$x = \left\{ {5;6;7;8;9;10;11;12;13} \right\}$.
Câu 8. Giải bất phương trình ${2^{\frac{{4x – 1}}{{2x + 1}}}} < {2^{\frac{{2 – 2x}}{{2x + 1}}}} + 1.$
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < – \frac{1}{2}}\\{x > 1}\end{array}} \right.$. B. $ – \frac{1}{2} < x < 1$. C. $x > 1$ D. $x < – \frac{1}{2}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${2^{\frac{{4x – 1}}{{2x + 1}}}} < {2^{\frac{{2 – 2x}}{{2x + 1}}}} + 1 \Leftrightarrow {8.2^{ – \frac{3}{{2x + 1}}}} < {2^{\frac{3}{{2x + 1}}}} + 2.$
Đặt ${2^{\frac{3}{{2x + 1}}}} = t > 0$ thì ta có PT: $\frac{8}{t} < t + 2 \Leftrightarrow {t^2} + 2t – 8 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < – 4\\t > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow t > 2\,\,\left( {t > 0} \right).$
Với $t > 2 \Leftrightarrow {2^{\frac{3}{{2x + 1}}}} > 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{2x + 1}} > 1 \Leftrightarrow \frac{{ – 2x + 2}}{{2x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{x – 1}}{{2x + 1}} < 0 \Leftrightarrow – \frac{1}{2} < x < 1.$
Câu 9. Nghiệm của bất phương trình ${5^{2\sqrt x }} + 5 < {5^{1 + \sqrt x }} + {5^{\sqrt x }}$ là
A. $0 \le x < 1$. B. $0 < x \le 1$. C. $0 < x < 1$. D. $0 \le x \le 1$.
Lời giải
Chọn C
Tacó: ${5^{2\sqrt x }} + 5 < {{\rm{5}}^{1 + \sqrt x }} + {5^{\sqrt x }}$
$ \Leftrightarrow {\left( {{5^{\sqrt x }}} \right)^2} – {6.5^{\sqrt x }} + 5 < 0 \Leftrightarrow {t^2} – 6t + 5 < 0\left( {t = {5^{\sqrt x }}} \right)$$ \Leftrightarrow 1 < t < 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^{\sqrt x }} < 5\\{5^{\sqrt x }} > 1\end{array} \right. \Rightarrow 0 < x < 1$.
Câu 10. Cho bất phương trình:$\frac{1}{{{5^{x + 1}} – 1}} \ge \frac{1}{{5 – {5^x}}}$. Tìm tập nghiệm của bất phương trình.
A. $S = \left( { – 1;0} \right] \cup \left( {1; + \infty } \right).$ B. $S = \left( { – 1;0} \right] \cap \left( {1; + \infty } \right).$
C. $S = \left( { – \infty ;0} \right].$ D. $S = \left( { – \infty ;0} \right).$
Lời giải
Chọn A
Ta có: $\frac{1}{{{5^{x + 1}} – 1}} \ge \frac{1}{{5 – {5^x}}} \Leftrightarrow \frac{{6\left( {1 – {5^x}} \right)}}{{\left( {{{5.5}^x} – 1} \right)\left( {5 – {5^x}} \right)}} \ge 0\,\,(1)$.
Đặt $t = {5^x}$, BPT $(1) \Leftrightarrow \frac{{6\left( {1 – t} \right)}}{{\left( {5t – 1} \right)\left( {5 – t} \right)}} \ge 0\,$. Đặt $f\left( t \right) = \frac{{6\left( {1 – t} \right)}}{{\left( {5t – 1} \right)\left( {5 – t} \right)}}$.
Lập bảng xét dấu $f(t) = \frac{{6\left( {1 – t} \right)}}{{\left( {5t – 1} \right)\left( {5 – t} \right)}}$, ta được nghiệm: $\left[ \begin{array}{l}5 < t\\\frac{1}{5} < t \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 < {5^x}\\\frac{1}{5} < {5^x} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < x\\ – 1 < x \le 0\end{array} \right.$.
Vậy tập nghiệm của BPT là $S = \left( { – 1;\,0} \right] \cup \left( {1;\, + \infty } \right)$.
Câu 11. Cho bất phương trình $\left( {{5^{{x^2} – 2x}} – {{3.2}^{{x^2} – 2x}}} \right){.5^{{x^2} – 2x}} > – {2^{2{x^2} – 4x + 1}}$. Phát biểu nào sau đây là đúng:
A. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm $T = \left( { – \infty ;1 – \sqrt {{{\log }_{\frac{5}{2}}}5} } \right) \cup \left( {1 + \sqrt {{{\log }_{\frac{5}{2}}}5} ; + \infty } \right) \cup \left( {0;2} \right)$.
B. Bất phương trình đã cho vô nghiệm.
C. Tập xác định của phương trình đã cho là $\left( {0; + \infty } \right)$.
D. Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Lời giải
Chọn A
Bất phương trình $\left( {{5^{{x^2} – 2x}} – {{3.2}^{{x^2} – 2x}}} \right){.5^{{x^2} – 2x}} > – {2^{2{x^2} – 4x + 1}}$ tương đương với:
${5^{2{x^2} – 4x}} – {3.2^{{x^2} – 2x}}{5^{{x^2} – 2x}} > – {2^{2{x^2} – 4x + 1}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{2{x^2} – 4x}} – 3{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{{x^2} – 2x}} > – 2$
$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{2{x^2} – 4x}} – 3{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{{x^2} – 2x}} + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{{x^2} – 2x}} > 2\\{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{{x^2} – 2x}} < 1\end{array} \right.$
-Trường hợp 1: ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^{{x^2} – 2x}} < 1$${\left( {\frac{5}{2}} \right)^{{x^2} – 2x}} < 1 \Leftrightarrow {x^2} – 2x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$
-Trường hợp 2: ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^{{x^2} – 2x}} > 2$
${\left( {\frac{5}{2}} \right)^{{x^2} – 2x}} > 2 \Leftrightarrow {x^2} – 2x > {\log _{\frac{5}{2}}}2 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} > {\log _{\frac{5}{2}}}2 + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1 + \sqrt {{{\log }_{\frac{5}{2}}}2 + 1} \\x < 1 – \sqrt {{{\log }_{\frac{5}{2}}}2 + 1} \end{array} \right.$
A) Theo cách giải trên, ta có tập nghiệm của bất phương trình là
$T = \left( { – \infty ;1 – \sqrt {{{\log }_{\frac{5}{2}}}5} } \right) \cup \left( {1 + \sqrt {{{\log }_{\frac{5}{2}}}5} ; + \infty } \right) \cup \left( {0;2} \right)$ nên phát biểu này đúng.
B) Sai vì tập nghiệm của bất phương trình là $T = \left( { – \infty ;1 – \sqrt {{{\log }_{\frac{5}{2}}}5} } \right) \cup \left( {1 + \sqrt {{{\log }_{\frac{5}{2}}}5} ; + \infty } \right) \cup \left( {0;2} \right)$.
C) Sai vì tập xác định của phương trình đã cho là $D = R$.
D) Sai vì tập nghiệm của bất phương trình là $T = \left( { – \infty ;1 – \sqrt {{{\log }_{\frac{5}{2}}}5} } \right) \cup \left( {1 + \sqrt {{{\log }_{\frac{5}{2}}}5} ; + \infty } \right) \cup \left( {0;2} \right)$.
Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình ${3^{\sqrt {2x} + 1}} – {3^{x + 1}} \le {x^2} – 2x$ là:
A. $\left[ {0; + \infty } \right)$ B. $\left[ {0;2} \right].$ C. $\left[ {2; + \infty } \right).$ D. $\left[ {2; + \infty } \right) \cup \left\{ 0 \right\}$.
Lời giải
Chọn D
Cách 1:
Điều kiện xác định $x \ge 0$.
Ta có: ${3^{\sqrt {2x} + 1}} – {3^{x + 1}} \le {x^2} – 2x \Leftrightarrow {3^{\sqrt {2x} + 1}} + 2x \le {3^{x + 1}} + {x^2}\,\,\,\left( 1 \right)$
Xét hàm số$f\left( t \right) = {3^{t + 1}} + {t^2}$ với $t \ge 0$.
Ta có $f’\left( t \right) = {3^{t + 1}}.\ln 3 + 2t \ge 0,\,\,\forall t \ge 0.$
Vậy hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ {0; + \infty } \right)$.
Suy ra $\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {2x} } \right) \le f\left( x \right) \Leftrightarrow \sqrt {2x} \le x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 0\end{array} \right.$
Kết hợp với điều kiện $x \ge 0$ta được tập nghiệm của bất phương trình là$\left[ {2; + \infty } \right) \cup \left\{ 0 \right\}$.
Cách 2:
Với $x = 1$ ta có bất phương trình: ${3^{\sqrt 2 + 1}} – {3^2} \le – 1 \Leftrightarrow 3\left( {{3^{\sqrt 2 }} – 3} \right) \le – 1$ (vô lý). Loại A, B
Với $x = 0$ ta có bất phương trình: $3 – 3 \le 0$ (thỏa mãn).
Câu 13. ${S_1}$ là tập nghiệm của bất phương trình ${2.2^x} + {3.3^x} – {6^x} + 1 < 0.$ Gọi ${S_2}$ là tập nghiệm của bất phương trình ${2^{ – x}} < 4.$Gọi ${S_3}$ là tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) \le 0.$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng khi nói về mối quan hệ giữa các tập nghiệm ${S_1},{S_2},{S_3}$.
A. ${S_1} \subset {S_2} \subset {S_3}$. B. ${S_1} \subset {S_3} \subset {S_2}$. C. ${S_3} \subset {S_1} \subset {S_2}$. D. ${S_3} \subset {S_2} \subset {S_1}$.
Lời giải
Chọn B
+) Xét bất phương trình ${2.2^x} + {3.3^x} – {6^x} + 1 < 0$ $ \Leftrightarrow {2.2^x} + {3.3^x} + 1 < {6^x}$
$ \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} + 3{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{6}} \right)^x} < 1$
Ta có hàm số $f\left( x \right) = 2{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} + 3{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{6}} \right)^x}$ là hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và $f\left( 2 \right) = 1$.
Do đó bất phương trình trên có nghiệm $x > 2 \Rightarrow {S_1} = \left( {2; + \infty } \right)$.
+) Xét bất phương trình ${2^{ – x}} < 4. \Leftrightarrow {2^{ – x}} < 4 \Leftrightarrow – x < 2 \Leftrightarrow x > – 2 \Rightarrow {S_2} = \left( { – 2; + \infty } \right)$.
+) Xét bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) \le 0$ $ \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}1$ $ \Leftrightarrow x – 1 \ge 1$ $ \Leftrightarrow x \ge 2$ $ \Rightarrow {S_3} = \left[ {2; + \infty } \right)$
Từ đó suy ra ${S_1} \subset {S_3} \subset {S_2}$.
Mức độ 4
Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {{t^2} + 2t + \frac{7}{4}} \right)^{{t^2} – 2t + 3}} \ge {\left( {{t^2} + 2t + \frac{7}{4}} \right)^{1 + t}}$ là:
A. $\left( { – \infty ;\,1} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)$. B. $\left( { – \infty ;\, – \frac{3}{2}} \right) \cup \left( { – \frac{1}{2};\,1} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)$.
C. $\left( { – \infty ;\, – \frac{3}{2}} \right] \cup \left[ { – \frac{1}{2};\,1} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)$. D. $\;\left( { – \infty ;\, – \frac{3}{2}} \right) \cup \left( { – \frac{1}{2};\,1} \right) \cup \left( {2;\, + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn C
Ta phân tích như sau:
${t^2} + 2t + \frac{7}{4} = \left( {{t^2} + 2t + 1} \right) + \frac{3}{4} = {\left( {t + 1} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4},\,\forall t \in \mathbb{R}$.
Ta chia thành các trường hợp:
TH1: ${t^2} + 2t + \frac{7}{4} = 1 \Leftrightarrow {t^2} + 2t + \frac{3}{4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – \frac{1}{2}\\t = – \frac{3}{2}\end{array} \right.$
Khi đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho trong trường hợp 1 là:
${T_1} = \left\{ { – \frac{3}{2};\, – \frac{1}{2}} \right\}$
TH2: $\frac{3}{4} \le {t^2} + 2t + \frac{7}{4} < 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t^2} + 2t + 1 \ge 0\\{t^2} + 2t + \frac{3}{4} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \in \mathbb{R}\\t \in \left( { – \frac{3}{2};\, – \frac{1}{2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \left( { – \frac{3}{2};\, – \frac{1}{2}} \right)$
Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương:
${t^2} – 2t + 3 \le 1 + t \Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 \le 0 \Leftrightarrow t \in \left[ {1;\,2} \right]$
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho trong trường hợp 2 là: ${T_2} = \emptyset $.
TH3: ${t^2} + 2t + \frac{7}{4} > 1 \Leftrightarrow {t^2} + 2t + \frac{3}{4} > 0 \Leftrightarrow t \in \left( { – \infty ;\, – \frac{3}{2}} \right) \cup \left( { – \frac{1}{2};\, + \infty } \right)$
Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương:
${t^2} – 2t + 3 \ge 1 + t \Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 \ge 0 \Leftrightarrow t \in \left( { – \infty ;\,1} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)$.
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho trong trường hợp 3 là:
${T_3} = \left( { – \infty ;\, – \frac{3}{2}} \right) \cup \left( { – \frac{1}{2};\,1} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
$T = {T_1} \cup {T_2} \cup {T_3} = \left\{ { – \frac{3}{2};\, – \frac{1}{2}} \right\} \cup \emptyset \cup \left( {\left( { – \infty ;\, – \frac{3}{2}} \right) \cup \left( { – \frac{1}{2};\,1} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)} \right)$ $ = \left( { – \infty ;\, – \frac{3}{2}} \right] \cup \left[ { – \frac{1}{2};\,1} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)$.
Câu 2. Bất phương trình ${2.5^{x + 2}} + {5.2^{x + 2}} \le 133.\sqrt {{{10}^x}} $ có tập nghiệm là $S = \left[ {a;b} \right]$ thì $b – 2a$ bằng
A. $6$. B. $10$. C. $12$. D. $16$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${2.5^{x + 2}} + {5.2^{x + 2}} \le 133.\sqrt {{{10}^x}} \Leftrightarrow {50.5^x} + {20.2^x} \le 133\sqrt {{{10}^x}} $ chia hai vế bất phương trình cho ${5^x}$ ta được: $50 + \frac{{{{20.2}^x}}}{{{5^x}}} \le \frac{{133\sqrt {{{10}^x}} }}{{{5^x}}} \Leftrightarrow 50 + 20.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} \le 133.{\left( {\sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^x}$ (1)
Đặt $t = {\left( {\sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^x},(t \ge 0)$ phương trình (1) trở thành: $20{t^2} – 133t + 50 \le 0 \Leftrightarrow \frac{2}{5} \le t \le \frac{{25}}{4}$
Khi đó ta có: $\frac{2}{5} \le {\left( {\sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^x} \le \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} \le {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} \le {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{ – 4}} \Leftrightarrow – 4 \le x \le 2$ nên $a = – 4,b = 2$
Vậy $b – 2a = 10$
Bình luận
Phương pháp giải bất phương trình dạng $m{a^{2\alpha }} + n{\left( {ab} \right)^\alpha } + p{b^{2\alpha }} > 0$ ta chia 2 vế của bất phương trình cho ${a^{2\alpha }}$ hoặc ${b^{2\alpha }}$.
Câu 3. Tìm $m$ để bất phương trình $m{.9^x} – (2m + 1){.6^x} + m{.4^x} \le 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left( {0;1} \right)$.
A. $0 \le m \le 6$ B. $m \le 6$. C. $m \ge 6$. D. $m \le 0$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $m{.9^x} – \left( {2m + 1} \right){.6^x} + m{.4^x} \le 0$$ \Leftrightarrow m.{\left( {\frac{9}{4}} \right)^x} – \left( {2m + 1} \right){\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} + m \le 0$.
Đặt $t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x}$. Vì $x \in \left( {0;1} \right)$ nên $1 < t < \frac{3}{2}$
Khi đó bất phương trình trở thành $m.{t^2} – \left( {2m + 1} \right)t + m \le 0$$ \Leftrightarrow m \le \frac{t}{{{{\left( {t – 1} \right)}^2}}}$.
Đặt $f\left( t \right) = \frac{t}{{{{\left( {t – 1} \right)}^2}}}$.
Ta có $f’\left( t \right) = \frac{{ – t – 1}}{{{{\left( {t – 1} \right)}^3}}}$, $f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = – 1$.
Bảng biến thiên.
Dựa vào bảng biến thiên ta có $m \le \mathop {\lim }\limits_{t \to \frac{3}{2}} f\left( t \right) = 6$.
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho bất phương trình sau có tập nghiệm là $\left( { – \infty ;0} \right]$ $m{2^{x + 1}} + \left( {2m + 1} \right){\left( {1 – \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} < 0$.
A. $m \le – \frac{1}{2}$. B. $m \le \frac{1}{2}$. C. $m < \frac{1}{2}$. D. $m < – \frac{1}{2}$.
Lời giải
Chọn D
Phương trình đã cho tương đương
$2m + \left( {2m + 1} \right)\left( {\frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}} \right) + {\left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} < 0{\rm{ }}\left( 1 \right)$. Đặt $t = {\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} > 0$, ta được:
$2m + \left( {2m + 1} \right)\frac{1}{t} + t < 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{f}}\left( t \right) = {t^2} + 2mt + 2m + 1 < 0{\rm{ }}\left( 2 \right)$
BPT (1) nghiệm đúng $\forall x \le 0$ nên BPT (2) nghiệm đúng với mọi $0 < t \le 1$, suy ra Phương trình $f\left( t \right) = 0$ có 2 nghiệm ${t_1}$, ${t_2}$ thỏa ${t_1} \le 0 < 1 < {t_2}$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) \le 0\\f\left( 1 \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 \le 0\\4m + 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le – 0,5\\m < – 0,5\end{array} \right.$ . Vậy $m < \frac{{ – 1}}{2}$ thỏa Ycbt.
Câu 5. Số các giá trị nguyên dương để bất phương trình ${3^{{{\cos }^2}x}} + {2^{{{\sin }^2}x}} \ge m{.3^{{{\sin }^2}x}}$ có nghiệm là
A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $4$.
Lời giải
Chọn A
Đặt ${\sin ^2}x = t$$\left( {0 \le t \le 1} \right)$
${3^{{{\cos }^2}x}} + {2^{{{\sin }^2}x}} \ge m{.3^{{{\sin }^2}x}}$$ \Leftrightarrow $${3^{\left( {1 – t} \right)}} + {2^t} \ge {3^t}$$ \Leftrightarrow \frac{3}{{{3^t}}} + {2^t} \ge m{.3^t} \Leftrightarrow \frac{3}{{{{\left( {{3^t}} \right)}^2}}} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} \ge m$
Đặt:$y = \frac{3}{{{9^t}}} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t}\left( {0 \le t \le 1} \right)$
$y’ = 3.{\left( {\frac{1}{9}} \right)^t}.\ln \frac{1}{9} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t}.\ln \frac{2}{3} < 0$$ \Rightarrow $ Hàm số luôn nghịch biến
Dựa vào bảng biến thiên suy ra $m \le 1$ thì phương trình có nghiệm
Suy ra các giá trị nguyên dương cần tìm $m = 1$.
Câu 6. Tất cả các giá trị của $m$để bất phương trình $\left( {3m + 1} \right){12^x} + \left( {2 – m} \right){6^x} + {3^x} < 0$ có nghiệm đúng $\forall x > 0$ là:
A. $\left( { – 2; + \infty } \right)$. B. $( – \infty ; – 2]$. C. $\left( { – \infty ; – \frac{1}{3}} \right)$. D. $\left( { – 2; – \frac{1}{3}} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Đặt ${2^x} = t$. Do $x > 0 \Rightarrow t > 1$.
Khi đó ta có: $\left( {3m + 1} \right){t^2} + \left( {2 – m} \right)t + 1 < 0,\,\,\forall t > 1$$ \Leftrightarrow \left( {3{t^2} – t} \right)m < – {t^2} – 2t – 1,\,\,\,\forall t > 1$
$ \Leftrightarrow m < \frac{{ – {t^2} – 2t – 1}}{{3{t^2} – t}}\,,\,\,\forall t > 1$.
Xét hàm số $f\left( t \right) = \frac{{ – {t^2} – 2t – 1}}{{3{t^2} – t}}\,\,$trên $\left( {1; + \infty } \right)$$ \Rightarrow f’\left( t \right) = \frac{{7{t^2} + 6t – 1}}{{{{(3{t^2} – t)}^2}}} > 0\,,\,\,\forall t \in (1; + \infty )$.
BBT
Do đó $m \le \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} f\left( t \right) = – 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bình luận
Sử dụng:
$\begin{array}{l} + \,\,\,m \ge f\left( x \right)\forall x \in D \Leftrightarrow m \ge \max f\left( x \right),\forall x \in D\\ + \,\,\,m \le f\left( x \right)\forall x \in D \Leftrightarrow m \le \min f\left( x \right),\forall x \in D\end{array}$
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$để bất phương trình ${4^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} \le m{.7^{{{\cos }^2}x}}$ có nghiệm.
A. $m \ge – \frac{6}{7}$. B. $m \ge \frac{6}{7}$. C. $m < \frac{6}{7}$. D. $m < – \frac{6}{7}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có ${4^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} \le m{.7^{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow 4 \cdot {\left( {\frac{1}{{28}}} \right)^{{{\cos }^2}x}} + {\left( {\frac{5}{7}} \right)^{{{\cos }^2}x}} \le m$.
Đặt $t = {\cos ^2}x,t \in \left[ {0;1} \right]$ thì BPT trở thành: $4 \cdot {\left( {\frac{1}{{28}}} \right)^t} + {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t} \le m$.
Xét $f\left( t \right) = 4.{\left( {\frac{1}{{28}}} \right)^t} + {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t}$ là hàm số nghịch biến trên $\left[ {0;1} \right]$.
Suy ra: $f\left( 1 \right) \le f\left( t \right) \le f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \frac{6}{7} \le f\left( t \right) \le 5$.
Từ đó BPT có nghiệm $ \Leftrightarrow m \ge \frac{6}{7}$.
Câu 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$để bất phương trình ${9^x} – 2\left( {m + 1} \right){.3^x} – 3 – 2m > 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}.$
A. $m$ tùy ý. B. $m \ne – \frac{4}{3}.$ C. $m < – \frac{3}{2}.$ D. $m \le – \frac{3}{2}.$
Lời giải.
Chọn D
Đặt $t = {3^x}$, $t > 0$
Phương trình trở thành ${t^2} – 2\left( {m + 1} \right)t – 3 – 2m > 0$
ycbt $ \Leftrightarrow {t^2} – 2\left( {m + 1} \right)t – 3 – 2m > 0,\forall t > 0,\left( 1 \right)$
ta có $\Delta ‘ = {\left( {m + 2} \right)^2} \ge ,\forall m$
Nếu $\Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow m = – 2$, khi đó từ $\left( 1 \right)$ta có ${\left( {2t + 1} \right)^2} > 0,\forall t \ne – \frac{1}{2}$
Nếu $m \ne – 2$ ta có $\Delta ‘ > 0$
khi đó $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm thỏa mãn ycbt khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\\frac{S}{2} < 0\\P \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne – 2\\m < – 1\\m \le – \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le – \frac{3}{2}$
Vậy $m \le – \frac{3}{2}$.
Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {1 + \sqrt {10} } \right)^{{{\log }_3}x}} + \frac{2}{3}{\left( { – 1 + \sqrt {10} } \right)^{{{\log }_3}x}} \ge \frac{5}{3} \cdot x\,\,\left( 1 \right)$ là:
A. $\left( { – \infty ;\, – \frac{5}{3}} \right] \cup \left[ {1;\, + \infty } \right)$. B. $\left( {0;\, + \infty } \right)$. C. $\left[ {0;\, + \infty } \right)$. D. $\left[ {1;\, + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định: $D = \left( {0;\, + \infty } \right).$
Ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {1 + \sqrt {10} } \right)^{{{\log }_3}x}} + \frac{2}{3} \cdot {\left( { – 1 + \sqrt {10} } \right)^{{{\log }_3}x}} \ge \frac{5}{3} \cdot {3^{{{\log }_3}x}}\,\,\left( 2 \right)$.
Đặt $t = {\log _3}x,\,t \in \mathbb{R}$ ta được:
$\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {1 + \sqrt {10} } \right)^t} + \frac{2}{3} \cdot {\left( { – 1 + \sqrt {10} } \right)^t} \ge \frac{5}{3} \cdot {3^t}\,\, \Leftrightarrow {\left( {\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3}} \right)^t} + \frac{2}{3} \cdot {\left( {\frac{{ – 1 + \sqrt {10} }}{3}} \right)^t}\\ \ge \frac{5}{3} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3}} \right)^t} + \frac{2}{3} \cdot {\left( {\frac{{ – 1 + \sqrt {10} }}{3}} \right)^t} – \frac{5}{3} \ge 0\,\,\left( 3 \right)\end{array}$
Đặt $u = {\left( {\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3}} \right)^t},\,u > 0$ ta được:
$\left( 3 \right) \Leftrightarrow u + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{u} – \frac{5}{3} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{3u}} \cdot \left( {3{u^2} + 2u – 5} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 3{u^2} + 2u – 5 \ge 0 \Leftrightarrow u \in \left( { – \infty ;\, – \frac{5}{3}} \right] \cup \left[ {1;\, + \infty } \right).$
Vì $u > 0$ nên $u \in \left[ {1;\, + \infty } \right) \Leftrightarrow u \ge 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3}} \right)^t} \ge 1 \Leftrightarrow t \ge 0 \Leftrightarrow {\log _3}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $T = \left[ {1;\, + \infty } \right).$
Câu 10. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {1 + \sqrt 5 } \right)^{{{\log }_2}x}} – {\left( { – 1 + \sqrt 5 } \right)^{{{\log }_2}x}} > \frac{2}{3}x\,\,\,\left( 1 \right)$ là:
A. $\left( {{2^{{{\log }_{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\frac{{1 + \sqrt {10} }}{2}}};\, + \infty } \right)$. B. $\left( {\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3};\, + \infty } \right)$.
C. $\left( {{{\log }_{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{3}}}\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3};\, + \infty } \right)$. D. $\left( { – \infty ;\,\frac{{1 – \sqrt {10} }}{3}} \right) \cup \left( {\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3};\, + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn A
Tập xác định: $D = \left( {0;\, + \infty } \right)$.
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {1 + \sqrt 5 } \right)^{{{\log }_2}x}} – {\left( { – 1 + \sqrt 5 } \right)^{{{\log }_2}x}} > \frac{2}{3} \cdot {2^{{{\log }_2}x}}\,\,\,\left( 2 \right)$.
Đặt $t = {\log _2}x,\,\,t \in \mathbb{R}$
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {1 + \sqrt 5 } \right)^t} – {\left( { – 1 + \sqrt 5 } \right)^t} > \frac{2}{3} \cdot {2^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^t} – {\left( {\frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^t} > \frac{2}{3}\,\,\left( 3 \right)$.
Đặt $u = {\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^t},\,\,u > 0$, ta được:
$u – \frac{1}{u} > \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{u}\left( {{u^2} – \frac{2}{3}u – 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {u^2} – \frac{2}{3}u – 1 > 0 \Leftrightarrow u \in \left( { – \infty ;\,\frac{{1 – \sqrt {10} }}{3}} \right) \cup \left( {\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3};\, + \infty } \right)$.
Vì $u > 0$ nên $u \in \left( {\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3};\, + \infty } \right) \Leftrightarrow u > \frac{{1 + \sqrt {10} }}{3} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^t} > \frac{{1 + \sqrt {10} }}{3} \Leftrightarrow t > {\log _{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3}$
$ \Leftrightarrow {\log _2}x > {\log _{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3} \Leftrightarrow x > {2^{{{\log }_{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3}}}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $T = \left( {{2^{{{\log }_{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\frac{{1 + \sqrt {10} }}{3}}};\, + \infty } \right)$.
