Chuyên đề cấp số cộng cấp số nhân ôn thi tốt nghiệp THPT 2021 có lời giải và đáp án được phát triển từ câu 2 của đề tham khảo môn Toán năm 2021.
CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN
A. Tóm tắt lý thuyết
Vấn đề 1. Nhận dạng CSC; CSN; Số hạng tổng quát; Số hạng thứ n; Công bội; Công sai
-Phương pháp:
. Nhận dạng CSC; CSN:
Nếu ${u_{n + 1}} = {u_n} + d$, với $d$ là hằng số $ \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$là CSC
Nếu ${u_{n + 1}} = {u_n}q$, với $q$ là hằng số $ \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$là CSN.
. Số hạng tổng quát; Số hạng thứ n:
Cho $\left( {{u_n}} \right)$là CSC số hạng tổng quát là ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$.
Cho $\left( {{u_n}} \right)$là CSN số hạng tổng quát là ${u_n} = {u_1}{q^{n – 1}}$.
. Công bội; Công sai :
Cho $\left( {{u_n}} \right)$là CSC có công sai là $d = {u_{n + 1}} – {u_n}$.
Cho $\left( {{u_n}} \right)$là CSN có công bội là $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$.
B. Bài tập minh họa:
| Câu 1: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
Ⓐ. $1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5$. Ⓑ. $1;\,\,2;\,\,4;\,\,8;\,\,16$. Ⓒ. $1;\,\, – 1;\,\,1;\,\, – 1;\,\,1$. Ⓓ. $1;\,\, – 2;\,\,4;\,\, – 8;\,\,16$. |
|
| Lời giải
Chọn A Xét phương án A, ta có: Dãy $1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5$ là cấp số cộng với công sai $d = 1$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Lấy số sau chia số trước liền kề. $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ |
| Câu 2: Cho một cấp số cộng có ${u_1} = – \frac{1}{2};\,\,d = \frac{1}{2}$. Hãy chọn kết quả đúng.
Ⓐ. Dạng khai triển : $ – \frac{1}{2};\,0;\,1;\,\frac{1}{2};\,1….$ Ⓑ. Dạng khai triển : $ – \frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2}…..$ Ⓒ. Dạng khai triển : $\frac{1}{2};\,1;\,\frac{3}{2};\,2;\,\frac{5}{2};…..$ Ⓓ. Dạng khai triển: $ – \frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2};\,1;\,\frac{3}{2}…..$ |
|
| Lời giải
Chọn D Ta có: ${u_1} = – \frac{1}{2}$, ${u_2} = {u_1} + d = 0$, ${u_3} = {u_2} + d = \frac{1}{2}$, ${u_4} = {u_3} + d = 1$, ${u_5} = {u_4} + d = \frac{3}{2}$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Công thức ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$ Casio: Với dòng lệnh: $x = x + 1:A + (x – 1)D:A = A$sau đó Calc X=0;A=u1=-0.5;D=d=0.5 và ấn =
Ấn = là tự kiểm tra.
Chọn D |
| Câu 3: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = – 2$ và công sai $d = 7$. Công thức của số hạng tổng quát là
Ⓐ. ${u_n} = – {2.7^{n – 1}}$ . Ⓑ. ${u_n} = – 2 + 7n$. Ⓒ. ${u_n} = 7n – 9$. Ⓓ. ${u_n} = – 2n + 9$. |
|
| Lời giải
Chọn C Số hạng tổng quát của cấp số cộng là ${u_n} = = – 2 + \left( {n – 1} \right)7 = 7n – 9$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Công thức ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$ |
| Câu 4: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$. Đẳng thức nào sau đây sai?
Ⓐ. ${u_{n + 1}} = {u_n}q$, $\left( {n \ge 1} \right)$. Ⓑ. ${u_n} = {u_1}{q^{n – 1}}$, $\left( {n \ge 2} \right)$. Ⓒ. ${u_n} = {u_1}{q^n}$, $\left( {n \ge 2} \right)$. Ⓓ. $u_k^2 = {u_{k – 1}}{u_{k + 1}}$, $\left( {k \ge 2} \right)$. |
|
| Chọn C
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$. Từ định nghĩa của cấp số nhân ta có các kết quả sau: ${u_{n + 1}} = {u_n}q$, $\left( {n \ge 1} \right)$, ${u_n} = {u_1}{q^{n – 1}}$, $\left( {n \ge 2} \right)$, $u_k^2 = {u_{k – 1}}{u_{k + 1}}$, $\left( {k \ge 2} \right)$. Kết quả của đáp án C là sai. |
PP nhanh trắc nghiệm
Công thức đúng ${u_n} = {u_1}{q^{n – 1}}$ |
| Câu 5: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – \frac{1}{2};{\rm{ }}{u_7} = – 32$. Tìm $q$?
Ⓐ. $q = \pm 2$. Ⓑ. $q = \pm 4$. Ⓒ. $q = \pm 1$. Ⓓ. $q = \pm \frac{1}{2}$. |
|
| Lời giải
Chọn A Áp dụng công thức số hạng tổng quát CSN, ta có: ${u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} \Rightarrow {u_7} = {u_1}.{q^6}$ $ \Rightarrow – 32 = \frac{{ – 1}}{2}.{q^6}\Leftrightarrow {q^6} = 64 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = – 2\end{array} \right.$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: ${u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} \Rightarrow {u_7} = {u_1}.{q^6}$
|
| Câu 6: Cho một cấp số cộng có ${u_1} = – 3;\,\,{u_6} = 27$. Tìm $d$?
Ⓐ. $d = 5$. Ⓑ. $d = 7$. Ⓒ. $d = 6$. Ⓓ. $d = 8$. |
|
| Lời giải
Chọn C Ta có: ${u_6} = 27 \Leftrightarrow {u_1} + 5d = 27 \Leftrightarrow – 3 + 5d = 27 \Leftrightarrow d = 6$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio:
|
Vấn đề 2. Tổng n số hạng đầu của CSC; CSN
-Phương pháp:
❶. CSC – Tổng $n$ số hạng đầu tiên ${S_n}$ được xác định bởi công thức
${S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right]$.
❷. CSN – Tổng $n$ số hạng đầu tiên ${S_n}$ được xác định bởi công thức
${S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = {u_1}\frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}$.
Bài tập minh họa:
| Câu 1: Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn ${u_2} = 6$, ${u_4} = 24$. Tính tổng của $12$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
Ⓐ. ${3.2^{12}} – 3$. Ⓑ. ${2^{12}} – 1$. Ⓒ. ${3.2^{12}} – 1$. Ⓓ. ${3.2^{12}}$. |
|
| Lời giải
Chọn A Gọi công bội của CSN bằng $q$. Suy ra ${u_4} = {u_2}.{q^2}$$ \Rightarrow q = \pm 2$. Do CSN có các số hạng không âm nên $q = 2$. Từ đó ta có ${u_1} = \frac{{{u_2}}}{q} = 3$ ${S_{12}} = {u_1}.\frac{{1 – {q^{12}}}}{{1 – q}}$$ = 3.\frac{{1 – {2^{12}}}}{{1 – 2}}$$ = 3\left( {{2^{12}} – 1} \right)$. |
PP nhanh trắc nghiệm
@ Công thức ${S_{12}} = {u_1}.\frac{{1 – {q^{12}}}}{{1 – q}}$
|
| Câu 2: Một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 3$, công bội $q = 2$. Biết ${S_n} = 765$. Tìm $n$?
Ⓐ. $n = 8$. Ⓑ. $n = 9$. Ⓒ. $n = 6$. Ⓓ. $n = 7$. |
|
| Lời giải
Chọn A Áp dụng công thức của cấp số nhân ta có: ${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}} = \frac{{3.\left( {1 – {2^n}} \right)}}{{1 – 2}} = 765$$ \Leftrightarrow n = 8$. |
PP nhanh trắc nghiệm
@ Casio |
| Câu 3: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng có ${u_1} = 3$ và công sai $d = 4$. Biết tổng $n$ số hạng đầu của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là ${S_n} = 253$. Tìm $n$.
Ⓐ. $9$. Ⓑ. $11$. Ⓒ. $12$. Ⓓ. $10$. |
|
| Lời giải
Chọn B Ta có ${S_n} = \frac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right)}}{2} \Leftrightarrow \frac{{n\left( {2.3 + \left( {n – 1} \right).4} \right)}}{2} = 253$$ \Leftrightarrow 4{n^2} + 2n – 506 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 11\\n = – \frac{{23}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow n = 11$. |
PP nhanh trắc nghiệm
@ Casio: solve
|
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Dạng 01: Nhận dạng, khai triển cấp số cộng
Câu 1: Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1}$, công sai $d$, $n \ge 2.$?
A. ${u_n} = {u_1} + d$. B. ${u_n} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d$.
C. ${u_n} = {u_1} – \left( {n – 1} \right)d$. D. ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$.
Câu 2: Cho một cấp số cộng có ${u_1} = – \frac{1}{2};\,\,d = \frac{1}{2}$. Hãy chọn kết quả đúng.
A. Dạng khai triển: $ – \frac{1}{2};\,0;\,1;\,\frac{1}{2};\,1….$ B. Dạng khai triển: $ – \frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2}…..$
C. Dạng khai triển: $\frac{1}{2};\,1;\,\frac{3}{2};\,2;\,\frac{5}{2};…..$ D. Dạng khai triển: $ – \frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2};\,1;\,\frac{3}{2}…..$
Câu 3: Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
A. $\left( {{u_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\,\,\forall n \ge 1}\end{array}} \right.$.
B. $\left( {{u_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 3}\\{{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1,\,\,\forall n \ge 1}\end{array}} \right.$.
C. $\left( {{u_n}} \right):\,$$1$; $3$; $6$; $10$; $15$; $ \ldots $. D. $\left( {{u_n}} \right):\,$$ – 1$; $1$; $ – 1$; $1$; $ – 1$; $ \ldots $.
Câu 4: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$có số hạng đầu tiên là ${u_1}$và công sai $d$. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ là : ${S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2}$
B. là cấp số cộng un+1 = un + d, n N*
C. Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ là: ${u_n} = {u_1} + (n – 1)d$
D. là cấp số cộng ${u_k} = {u_{k – 1}} + {u_{k + 1}}\left( {\forall k \ge 2,k \in {\rm N}} \right)$
Câu 5: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng tổng quát là ${u_n} = 3n – 2$. Tìm công sai $d$ của cấp số cộng.
A. $d = 3$. B. $d = 2$. C. $d = – 2$. D. $d = – 3$.
Câu 6: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_3} = – 7;\,\,{u_4} = 8$. Hãy chọn mệnh đề đúng.
A. $d = – 15$. B. $d = – 3$. C. $d = 15$. D. $d = 1$.
Câu 7: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu tiên ${u_1} = 2$ và công sai $d = 2$. Tìm ${u_{2018}}$?
A. ${u_{2018}} = {2^{2018}}$ B. ${u_{2018}} = {2^{2017}}$ C. ${u_{2018}} = 4036$ D. ${u_{2018}} = 4038$
Câu 8: Xác định số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_9} = 5{u_2}$và ${u_{13}} = 2{u_6} + 5$
A. ${u_1} = 3,d = 4$ B. ${u_1} = 3,d = 5$ C. ${u_1} = 4,d = 5$ D. ${u_1} = 4,d = 3$
Câu 9: Cho tam giác$ABC$, biết ba góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng ${25^0}$. Tìm hai góc còn lại.
A. ${65^0};\;{90^0}$. B. ${60^0};\;{90^0}$. C. ${60^0};\;{95^0}$. D. ${75^0};\;{80^0}$.
Câu 10: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với: ${u_n} = 2n + 5$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Là cấp số cộng có $d = – 2$. B. Là cấp số cộng có $d = 2$.
C. Số hạng thứ $n + 1$:${u_{n + 1}} = 2n + 7$. D. Tổng của $4$ số hạng đầu tiên là:${S_4} = 40$.
Câu 11: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$có số hạng đầu ${u_1} = – 5$ và công sai $d = 3$. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
A. 15. B. 20. C. 35. D. 36.
Câu 12: Cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 3$, công sai $d = 5$, số hạng thứ tư là
A. ${u_4} = 23$ B. ${u_4} = 18$ C. ${u_4} = 8$ D. ${u_4} = 14$
Câu 13: Cho dãy số$\left( {{u_n}} \right)$với:${u_n} = \frac{1}{2}n + 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số cộng. B. Số hạng thứ n + 1:${u_{n + 1}} = \frac{1}{2}n$.
C. Hiệu:${u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{1}{2}$. D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: ${S_5} = 12$.
Câu 14: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 2$ và công sai $d = 5$. Giá trị của ${u_4}$ bằng
A. $22$ B. $17$ C. $12$ D. $250$
Câu 15: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 3$ và công sai $d = 2$. Tính ${u_5}$.
A. $11$ B. $15$ C. $12$ D. $14$
Câu 16: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có:${u_1} = – 3;d = \frac{1}{2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ${u_n} = – 3 + \frac{1}{2}\left( {n + 1} \right)$. B. ${u_n} = – 3 + \frac{1}{2}n – 1$.
C. ${u_n} = – 3 + \frac{1}{2}\left( {n – 1} \right)$. D. ${u_n} = n\left( { – 3 + \frac{1}{4}\left( {n – 1} \right)} \right)$.
Câu 17: Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1}$, công sai d, $n \ge 2.$?
A. ${u_n} = {u_1} + d$. B. ${u_n} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d$.
C. ${u_n} = {u_1} – \left( {n – 1} \right)d$. D. ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$.
Câu 18: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_2} = 3$ và ${u_4} = 7$. Giá trị của ${u_{15}}$ bằng
A. $27$. B. $31$. C. $35$. D. $29$.
Câu 19: Một cấp số cộng có ${u_1} = – 3,\,\,{u_8} = 39$. Công sai của cấp số cộng đó là.
A. $8$. B. $7$. C. $5$. D. $6$.
Câu 20: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có: ${u_1} = – 0,1;\,\,d = 0,1$. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:
A. $1,6$. B. $6$. C. $\;0,5$. D. $0,6$.
Câu 21: Có bao nhiêu số thực dương $a$ để $3$ số $1 + 3a,{a^2} – 5,1 – a$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng?
A. $2$ B. $3$ C. $1$ D. $0$
Câu 22: Biết bốn số $5$; $x$; $15$;$y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức $3x + 2y$ bằng.
A. $50$. B. $70$. C. $30$. D. $80$.
Câu 23: Cho cấp số cộng $({u_n})$, có ${u_1} = \frac{1}{4}$, $d = – \frac{1}{4}$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
A. ${S_5} = – \frac{9}{4}$. B. ${S_5} = – \frac{3}{4}$. C. ${S_5} = – \frac{{15}}{4}$. D. ${S_5} = – \frac{5}{4}$.
Câu 24: Cho dãy số: $ – 1;1; – 1;1…$ khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân B. Số hạng tổng quát ${u_n} = {1^n} = 1$
C. Dãy số này là cấp số nhân có ${u_1} = – 1;q = – 1$ D. Số hạng tổng quát ${u_n} = {\left( { – 1} \right)^{2n}}$.
Câu 25: Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau:
A. $1;{\rm{ }}0,2;{\rm{ }}0,04;{\rm{ 0,0008; }}…$ B. $2;{\rm{ 22}};{\rm{ 222}};2222{\rm{; }}…$
C. $x;{\rm{ }}2x;{\rm{ }}3x;{\rm{ }}4x{\rm{; }}…$ D. $1;{\rm{ }} – {x^2};{\rm{ }}{x^4};{\rm{ }} – {x^6}{\rm{; }}…$
Câu 26: Cho dãy số: $ – 1; – 1; – 1; – 1;…$… Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân. B. Là cấp số nhân có ${u_1} = – 1;{\rm{ q = 1}}{\rm{.}}$
C. Số hạng tổng quát ${u_n} = {( – 1)^n}.$ D. Là dãy số giảm.
Câu 27: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$xác định bởi: $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = – 2\\{u_{n + 1}} = \frac{{ – 1}}{{10}}.{u_n}\end{array} \right.$. Chọn hệ thức đúng:
A. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = – \frac{1}{{10}}.$ B. ${u_n} = ( – 2)\frac{1}{{{{10}^{n – 1}}}}.$
C. ${u_n} = \frac{{{u_{n – 1}} + {u_{n + 1}}}}{2}$ $\left( {n \ge 2} \right)$. D. ${u_n} = \sqrt {{u_{n – 1}}.{u_{n + 1}}} $ $\left( {n \ge 2} \right)$.
Câu 28: Cho dãy số: $1;{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{8}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{16}}}};{\rm{ }}…$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số này là cấp số nhân có ${u_1} = 1;q = \frac{1}{2}$. B. Số hạng tổng quát un = $\frac{1}{{{2^{n – 1}}}}$.
C. Số hạng tổng quát ${u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}$. D. Dãy số này là dãy số giảm.
Câu 29: ${u_n}$ được cho bởi công thức nào dưới đây là số hạng tổng quát của một cấp số nhân?
A. ${u_n} = \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}$. B. ${u_n} = {n^2} – \frac{1}{2}$. C. ${u_n} = \frac{1}{{{2^n}}} – 1$. D. ${u_n} = {n^2} + \frac{1}{2}$.
Câu 30: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
A. Cấp số nhân: $ – 2;{\rm{ }} – 2,3{\rm{; }} – 2,9;{\rm{ }}…$ có ${u_6} = \left( { – 2} \right){\left( { – \frac{1}{3}} \right)^5}.$
B. Cấp số nhân: $2;{\rm{ }} – 6{\rm{; 18}};{\rm{ }}…$có ${u_6} = 2.{\left( { – 3} \right)^6}.$
C. Cấp số nhân: $ – 1;{\rm{ }} – \sqrt 2 {\rm{; }} – 2;{\rm{ }}…$ có ${u_6} = – 2\sqrt 2 .$
D. Cấp số nhân: $ – 1;{\rm{ }} – \sqrt 2 {\rm{; }} – 2;{\rm{ }}…$ có ${u_6} = – 4\sqrt 2 .$
Câu 31: Cho dãy số: $ – 1;\,\,1;\,\, – 1;\,\,1;\,\, – 1;\,\,…$Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân. B. Số hạng tổng quát ${u_n} = {\rm{ }}{1^n} = 1$.
C. Dãy số này là cấp số nhân có${u_1} = –1,{\rm{ }}q{\rm{ }} = –1$. D. Số hạng tổng quát${u_n} = {\left( {–1} \right)^{2n}}$.
Câu 32: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$: $1;{\rm{ }}x;{\rm{ }}{x^2};{\rm{ }}{x^3};{\rm{ }}…$. Chọn mệnh đề đúng:
A. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có ${u_n} = {x^n}.$ B. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có${u_1} = 1;{\rm{ }}q = x.$
C. $\left( {{u_n}} \right)$ không phải là cấp số nhân. D. $\left( {{u_n}} \right)$là một dãy số tăng.
Câu 33: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$:$1;{\rm{ }}x;{\rm{ }}{x^2};{\rm{ }}{x^3};{\rm{ }}…$. Chọn mệnh đề đúng:
A. $\left( {{u_n}} \right)$là cấp số nhân có ${u_n} = {x^n}.$ B. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có${u_1} = 1;{\rm{ }}q = x.$
C. $\left( {{u_n}} \right)$ không phải là cấp số nhân. D. $\left( {{u_n}} \right)$là một dãy số tăng.
Câu 34: Cho dãy số: $1;{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{8}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{16}}}};{\rm{ }}…$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số này là cấp số nhân có ${u_1} = 1,\,\,q = \frac{1}{2}$. B. Số hạng tổng quát ${u_n} = \frac{1}{{{2^{n – 1}}}}$.
C. Số hạng tổng quát ${u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}$. D. Dãy số này là dãy số giảm.
Câu 35: Cho dãy số: $ – 1;\,\, – 1;\,\, – 1;\,\, – 1;\,\, – 1;\,\,…$ Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân. B. Là cấp số nhân có ${u_1} = – 1;{\rm{ }}q = 1$.
C. Số hạng tổng quát ${u_n} = {( – 1)^n}.$ D. Là dãy số giảm.
Câu 36: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A. $1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5$. B. $1;\,\,2;\,\,4;\,\,8;\,\,16$. C. $1;\,\, – 1;\,\,1;\,\, – 1;\,\,1$. D. $1;\,\, – 2;\,\,4;\,\, – 8;\,\,16$.
Câu 37: Cho dãy số: $ – 1;{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}};{\rm{ }} – \frac{{\rm{1}}}{{\rm{9}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{27}}}};{\rm{ }} – \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{81}}}}$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số không phải là một cấp số nhân.
B. Dãy số này là cấp số nhân có ${u_1} = – 1;{\rm{ }}q = – \frac{1}{3}$.
C. Số hạng tổng quát.${u_n} = {\left( { – 1} \right)^n}.\frac{1}{{{3^{n – 1}}}}$
D. Là dãy số không tăng, không giảm.
Câu 38: Cho $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có ${u_1} = 2$, $q = 3$. Tính ${u_3}$.
A. $6$. B. $18$. C. $9$. D. $8$.
Câu 39: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 3$ và công bội $q = 2$. Giá trị của ${u_4}$ bằng
A. $24$. B. $48$. C. $18$. D. $54$.
Câu 40: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} = 81$ và ${u_{n + 1}} = 9$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $q = \frac{1}{9}$. B. $q = 9$. C. $q = – 9$. D. $q = – \frac{1}{9}$.
Câu 41: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, với ${u_1} = – 9,\,{u_4} = \frac{1}{3}$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. $\frac{1}{3}$ B. $ – 3$ C. $3$ D. $ – \frac{1}{3}$
Câu 42: Cho cấp số nhân có ${u_1} = – 3$, $q = \frac{2}{3}$. Tính ${u_5}?$
A. ${u_5} = \frac{{ – 27}}{{16}}.$ B. ${u_5} = \frac{{ – 16}}{{27}}.$ C. ${u_5} = \frac{{16}}{{27}}.$ D. ${u_5} = \frac{{27}}{{16}}.$
Câu 43: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3$ và ${u_2} = 6$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. $3$. B. $\frac{1}{2}$. C. $2$. D. $9$.
Câu 44: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = – 3$ và công bội $q = \frac{2}{3}$. Số hạng thứ năm của $\left( {{u_n}} \right)$ là
A. $\frac{{27}}{{16}}$. B. $\frac{{16}}{{27}}$. C. $ – \frac{{27}}{{16}}$. D. $ – \frac{{16}}{{27}}$.
Câu 45: Một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 3$, công bội $q = 2$. Biết ${S_n} = 765$. Tìm $n$?
A. $n = 7$. B. $n = 6$. C. $n = 8$. D. $n = 9$.
Câu 46: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 2$ và ${u_4} = 54$. Giá trị ${u_{2019}}$ bằng
A. ${2.3^{2020}}$. B. ${2.2^{2020}}$. C. ${2.3^{2018}}$. D. ${2.2^{2018}}$.
Câu 47: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 5$ và công bội $q = – 2$. Số hạng thứ sáu của $\left( {{u_n}} \right)$ là:
A. ${u_6} = 160$. B. ${u_6} = – 320$. C. ${u_6} = – 160$. D. ${u_6} = 320$.
Câu 48: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 5$ và công bội $q = – 2$. Số hạng thứ sáu của $\left( {{u_n}} \right)$ là:
A. ${u_6} = 160$. B. ${u_6} = – 320$. C. ${u_6} = – 160$. D. ${u_6} = 320$.
Câu 49: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – \frac{1}{2};{\rm{ }}{u_7} = – 32$. Tìm $q$?
A. $q = \pm \frac{1}{2}$. B. $q = \pm 2$. C. $q = \pm 4$. D. $q = \pm 1$.
Câu 50: Cho cấp số nhân có ${u_1} = 3$, $q = \frac{2}{3}$. Chọn kết quả đúng:
A. Bốn số hạng tiếp theo của cấp số là: $2;{\rm{ }}\frac{4}{3};{\rm{ }}\frac{8}{3};{\rm{ }}\frac{{16}}{3}.$
B. ${u_n} = 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n – 1}}.$
C. ${S_n} = 9.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} – 9.$
D. $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy số tăng.
Câu 51: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, với ${u_1} = – 9,\,\,\,{u_4} = \frac{1}{3}$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng.
A. $\frac{1}{3}$. B. $ – 3$. C. $3$. D. $ – \frac{1}{3}$.
Câu 52: Cho cấp số nhân có ${u_1} = 3$, $q = \frac{2}{3}$. Chọn kết quả đúng:
A. Bốn số hạng tiếp theo của cấp số là: $2;{\rm{ }}\frac{4}{3};{\rm{ }}\frac{8}{3};{\rm{ }}\frac{{16}}{3}.$
B. ${u_n} = 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n – 1}}.$
C. ${S_n} = 9.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} – 9.$
D. $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy số tăng.
Câu 53: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right);{u_1} = 1,q = 2$. Hỏi số $1024$ là số hạng thứ mấy?
A. $11$. B. $9$. C. $8$. D. $10$.
Câu 54: Xác định $x$ để 3 số $x – 2;{\rm{ }}x + 1;{\rm{ }}3 – x$ lập thành một cấp số nhân:
A. Không có giá trị nào của $x.$ B. $x = \pm 1.$
C. $x = 2.$ D. $x = – 3.$
Câu 55: Xác định $x$ để 3 số $2x – 1;{\rm{ }}x;{\rm{ }}2x + 1$ lập thành một cấp số nhân:
A. $x = \pm \frac{1}{3}.$ B. $x = \pm \sqrt 3 .$
C. $x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$ D. Không có giá trị nào của $x$.
Câu 56: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$có công bội $q$. Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A. ${u_k} = \sqrt {{u_{k + 1}}.{u_{k + 2}}} $ B. ${u_k} = \frac{{{u_{k – 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}$ C. ${u_k} = {u_1}.{q^{k – 1}}.$ D. ${u_k} = {u_1} + \left( {k – 1} \right)q.$
Câu 57: Cho dãy số: $ – 1;{\rm{ }}x;{\rm{ }}0,64$. Chọn $x$ để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân?
A. Không có giá trị nào của $x.$ B. $x = – 0,008.$
C. $x = 0,008.$ D. $x = 0,004.$
Câu 58: Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Số hạng tổng quát của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ là ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$, với công bội $q$ và số hạng đầu ${u_1}$
B. Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ là ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$, với công sai $d$ và số hạng đầu ${u_1}$
C. Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ là ${u_n} = {u_1} + nd$, với công sai $d$ và số hạng đầu ${u_1}$
D. Nếu dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng thì ${u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + {u_{n + 2}}}}{2}$
————- HẾT ————-
BẢNG ĐÁP ÁN
| 1.D | 2.D | 3.A | 4.D | 5.A | 6.C | 7.C | 8.A | 9.C | 10.A |
| 11.D | 12.B | 13.C | 14.B | 15.A | 16.C | 17.D | 18.D | 19.D | 20.C |
| 21.A | 22.B | 23.D | 24.C | 25.D | 26.B | 27.A | 28.C | 29.A | 30.D |
| 31.C | 32.B | 33.B | 34.C | 35.B | 36.A | 37.A | 38.B | 39.A | 40.A |
| 41.D | 42.B | 43.C | 44.D | 45.C | 46.C | 47.C | 48.C | 49.B | 50.B |
| 51.B | 52.B | 53.A | 54.A | 55.C | 56.C | 57.A | 58.C |
Hướng dẫn giải
Dạng 01: Nhận dạng, khai triển cấp số cộng
Câu 1. Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1}$, công sai $d$, $n \ge 2.$ ?
A. ${u_n} = {u_1} + d$. B. ${u_n} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d$.
C. ${u_n} = {u_1} – \left( {n – 1} \right)d$. D. ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$.
Lời giải
Công thức số hạng tổng quát : ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$, $n \ge 2$.
Câu 2. Cho một cấp số cộng có ${u_1} = – \frac{1}{2};\,\,d = \frac{1}{2}$. Hãy chọn kết quả đúng.
A. Dạng khai triển : $ – \frac{1}{2};\,0;\,1;\,\frac{1}{2};\,1….$ B. Dạng khai triển : $ – \frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2}…..$
C. Dạng khai triển : $\frac{1}{2};\,1;\,\frac{3}{2};\,2;\,\frac{5}{2};…..$ D. Dạng khai triển: $ – \frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2};\,1;\,\frac{3}{2}…..$
Lời giải
Câu 3. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
A. $\left( {{u_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\,\,\forall n \ge 1}\end{array}} \right.$.
B. $\left( {{u_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 3}\\{{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1,\,\,\forall n \ge 1}\end{array}} \right.$.
C. $\left( {{u_n}} \right):\,$$1$; $3$; $6$; $10$; $15$; $ \ldots $. D. $\left( {{u_n}} \right):\,$$ – 1$; $1$; $ – 1$; $1$; $ – 1$; $ \ldots $.
Lời giải
Dãy số ở đáp án A thỏa ${u_{n + 1}} – {u_n} = 2$ với mọi $n \ge 1$ nên là cấp số cộng.
Câu 4. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$có số hạng đầu tiên là ${u_1}$và công sai $d$. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ là : ${S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2}$
B. là cấp số cộng un+1 = un + d, n N*
C. Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ là: ${u_n} = {u_1} + (n – 1)d$
D. là cấp số cộng ${u_k} = {u_{k – 1}} + {u_{k + 1}}\left( {\forall k \ge 2,k \in {\rm N}} \right)$
Lời giải
Công thức đúng là: ${u_k} = \frac{{{u_{k – 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\left( {\forall k \ge 2,k \in {\rm N}} \right).$
Dạng 02: Xác định U1, d, n, Un, Sn
Câu 5. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng tổng quát là ${u_n} = 3n – 2$. Tìm công sai $d$ của cấp số cộng.
A. $d = 3$. B. $d = 2$. C. $d = – 2$. D. $d = – 3$.
Lời giải
Ta có ${u_{n + 1}} – {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) – 2 – 3n + 2 = 3$
Suy ra $d = 3$ là công sai của cấp số cộng.
Câu 6. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_3} = – 7;\,\,{u_4} = 8$. Hãy chọn mệnh đề đúng.
A. $d = – 15$. B. $d = – 3$. C. $d = 15$. D. $d = 1$.
Lời giải
$d = {u_4} – {u_3} = 15$.
Câu 7. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu tiên ${u_1} = 2$ và công sai $d = 2$. Tìm ${u_{2018}}$?
A. ${u_{2018}} = {2^{2018}}$ B. ${u_{2018}} = {2^{2017}}$ C. ${u_{2018}} = 4036$ D. ${u_{2018}} = 4038$
Lời giải
${u_{2018}} = {u_1} + 2017d = 2 + 2017.2 = 4036$
Câu 8. Xác định số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_9} = 5{u_2}$và ${u_{13}} = 2{u_6} + 5$
A. ${u_1} = 3,d = 4$ B. ${u_1} = 3,d = 5$ C. ${u_1} = 4,d = 5$ D. ${u_1} = 4,d = 3$
Lời giải
$\left\{ \begin{array}{l}{u_9} = 5{u_2}\\{u_{13}} = 2{u_6} + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- 4{u_1} + 3d = 0\\- {u_1} + 2d = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\d = 4\end{array} \right.$
Câu 9. Cho tam giác$ABC$, biết ba góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng ${25^0}$. Tìm hai góc còn lại.
A. ${65^0};\;{90^0}$. B. ${60^0};\;{90^0}$. C. ${60^0};\;{95^0}$. D. ${75^0};\;{80^0}$.
Lời giải
Giả sử ba góc tam giác lập thành cấp số cộng là ${u_1};\;{u_2};\;{u_3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + d\\{u_3} = {u_1} + 2d\end{array} \right.$ với $d$ là công sai.
Ta có: ${u_1} + \left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 2d} \right) = {180^0} \Leftrightarrow 3{u_1} + 3d = {180^0} \Leftrightarrow {u_1} + d = {60^0}$.
Suy ra số hạng thứ hai của cấp số cộng là ${u_2} = {60^0}$.
Xét các trường hợp:
▪ Nếu ${u_1} = {25^0} \Rightarrow d = {35^0} \Rightarrow {u_3} = {95^0}$.
Khi đó cấp số cộng là ${25^0};{60^0};\;{95^0}$.
▪ Nếu ${u_3} = {25^0} \Rightarrow {u_1} + 2d = {25^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = {25^0}\\{u_1} + d = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {95^0}\\d = – {35^0}\end{array} \right.$
Khi đó cấp số cộng là ${95^0};{60^0};{25^0}$.
Vậy hai góc còn lại của tam giác có số đo là: ${60^0};\;{95^0}$.
Câu 10. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với : ${u_n} = 2n + 5$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Là cấp số cộng có $d = – 2$. B. Là cấp số cộng có $d = 2$.
C. Số hạng thứ $n + 1$:${u_{n + 1}} = 2n + 7$. D. Tổng của $4$ số hạng đầu tiên là:${S_4} = 40$.
Lời giải
Phương pháp loại trừ: $A$ hoặc $B$ sai.
Thật vậy $ \Rightarrow $đáp án $A$ sai.
Câu 11. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$có số hạng đầu ${u_1} = – 5$ và công sai $d = 3$. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
A. 15. B. 20. C. 35. D. 36.
Lời giải
Ta có: ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d \Leftrightarrow 100 = – 5 + \left( {n – 1} \right).3 \Leftrightarrow 100 = 3n – 8 \Leftrightarrow n = 36$.
Câu 12. Cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 3$, công sai $d = 5$, số hạng thứ tư là
A. ${u_4} = 23$ B. ${u_4} = 18$ C. ${u_4} = 8$ D. ${u_4} = 14$
Lời giải
${u_4} = {u_1} + 3d$$ = 3 + 5.3$$ = 18$.
Câu 13. Cho dãy số$\left( {{u_n}} \right)$với :${u_n} = \frac{1}{2}n + 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số cộng. B. Số hạng thứ n + 1:${u_{n + 1}} = \frac{1}{2}n$.
C. Hiệu :${u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{1}{2}$. D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: ${S_5} = 12$.
Lời giải
Ta có: $ \Rightarrow $Đáp án $C$ đúng.
Câu 14. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 2$ và công sai $d = 5$. Giá trị của ${u_4}$ bằng
A. $22$ B. $17$ C. $12$ D. $250$
Lời giải
Ta có: ${u_4} = {u_1} + 3d = 2 + 3.5 = 17$.
Câu 15. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 3$ và công sai $d = 2$. Tính ${u_5}$.
A. $11$ B. $15$ C. $12$ D. $14$
Lời giải
Ta có ${u_5} = {u_1} + 4d$ $ = 3 + 4.2 = 11$.
Câu 16. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có:${u_1} = – 3;d = \frac{1}{2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ${u_n} = – 3 + \frac{1}{2}\left( {n + 1} \right)$. B. ${u_n} = – 3 + \frac{1}{2}n – 1$.
C. ${u_n} = – 3 + \frac{1}{2}\left( {n – 1} \right)$. D. ${u_n} = n\left( { – 3 + \frac{1}{4}\left( {n – 1} \right)} \right)$.
Lời giải
Sử dụng công thức số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d{\rm{ }}\left( {\forall n \ge 2} \right).$ Ta có: ${u_n} = – 3 + \left( {n – 1} \right)\frac{1}{2}$.
Câu 17. Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1}$, công sai d, $n \ge 2.$?
A. ${u_n} = {u_1} + d$. B. ${u_n} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d$.
C. ${u_n} = {u_1} – \left( {n – 1} \right)d$. D. ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$.
Lời giải
Công thức số hạng tổng quát : ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$, $n \ge 2$.
Câu 18. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_2} = 3$ và ${u_4} = 7$. Giá trị của ${u_{15}}$ bằng
A. $27$. B. $31$. C. $35$. D. $29$.
Lời giải
Từ giả thiết ${u_2} = 3$ và ${u_4} = 7$ suy ra ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d = 3\\{u_1} + 3d = 7\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.$.
Vậy ${u_{15}} = {u_1} + 14d = 29$.
Câu 19. Một cấp số cộng có ${u_1} = – 3,\,\,{u_8} = 39$. Công sai của cấp số cộng đó là.
A. $8$. B. $7$. C. $5$. D. $6$.
Lời giải
Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng
Ta có ${u_8} = {u_1} + 7d$$ \Leftrightarrow 39 = – 3 + 7d$$ \Leftrightarrow d = 6$.
Dạng 03: Xác định Un, Sn
Câu 20. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có: ${u_1} = – 0,1;\,\,d = 0,1$. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:
A. $1,6$. B. $6$. C. $\;0,5$. D. $0,6$.
Lời giải
Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ là: ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right).0,1 \Rightarrow {u_7} = – 0,1 + \left( {7 – 1} \right).0,1 = \frac{1}{2}$.
Dạng 04: Bài toán khác liên quan tổng của CSC
Câu 21. Có bao nhiêu số thực dương $a$ để $3$ số $1 + 3a,{a^2} – 5,1 – a$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng?
A. $2$ B. $3$ C. $1$ D. $0$
Lời giải:
Vì $1 + 3a,{a^2} – 5,1 – a$lập thành cấp số cộng nên theo tính chất cấp số cộng ta có
$2\left( {{a^2} – 5} \right) = 1 – a + 1 + 3a \Rightarrow {a^2} – a – 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3\\a = – 2\end{array} \right.$
Dạng 05: Điều kiện để dãy số thành CSC
Câu 22. Biết bốn số $5$; $x$; $15$;$y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức $3x + 2y$ bằng.
A. $50$. B. $70$. C. $30$. D. $80$.
Lời giải
Ta có: $x = \frac{{5 + 15}}{2} = 10$$ \Rightarrow y = 20$. Vậy $3x + 2y = 70$.
Câu 23. Cho cấp số cộng $({u_n})$, có ${u_1} = \frac{1}{4}$, $d = – \frac{1}{4}$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
A. ${S_5} = – \frac{9}{4}$. B. ${S_5} = – \frac{3}{4}$. C. ${S_5} = – \frac{{15}}{4}$. D. ${S_5} = – \frac{5}{4}$.
Lời giải
Cho cấp số cộng $({u_n})$ có số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d = – \frac{1}{4}$.
Ta có tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là ${S_n} = n.{u_1} + \frac{{n(n – 1)}}{2}d$.$ \Rightarrow {S_5} = 5.{u_1} + 10d = 5.\frac{1}{4} + 10.( – \frac{1}{4}) = – \frac{5}{4}$.
CẤP SỐ NHÂN
Dạng 01: Nhận dạng, khai triển cấp số nhân
Câu 24. Cho dãy số: $ – 1;1; – 1;1…$ khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân B. Số hạng tổng quát ${u_n} = {1^n} = 1$
C. Dãy số này là cấp số nhân có ${u_1} = – 1;q = – 1$ D. Số hạng tổng quát ${u_n} = {\left( { – 1} \right)^{2n}}$.
Lời giải
Ta có $1 = – 1( – 1);{\rm{ }} – 1 = 1( – 1)$. Vậy dãy số trên là cấp số nhân với ${u_1} = – 1;{\rm{ q = }} – {\rm{1}}$.
Câu 25. Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau:
A. $1;{\rm{ }}0,2;{\rm{ }}0,04;{\rm{ 0,0008; }}…$ B. $2;{\rm{ 22}};{\rm{ 222}};2222{\rm{; }}…$
C. $x;{\rm{ }}2x;{\rm{ }}3x;{\rm{ }}4x{\rm{; }}…$ D. $1;{\rm{ }} – {x^2};{\rm{ }}{x^4};{\rm{ }} – {x^6}{\rm{; }}…$
Lời giải
Dãy số : $1;{\rm{ }} – {x^2};{\rm{ }}{x^4};{\rm{ }} – {x^6}{\rm{; }}…$ là cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 1;{\rm{ }}$ công bội $q = – {x^2}$.
Câu 26. Cho dãy số: $ – 1; – 1; – 1; – 1;…$… Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân. B. Là cấp số nhân có ${u_1} = – 1;{\rm{ q = 1}}{\rm{.}}$
C. Số hạng tổng quát ${u_n} = {( – 1)^n}.$ D. Là dãy số giảm.
Lời giải
Các số hạng trong dãy giống nhau nên gọi là cấp số nhân với ${u_1} = – 1;{\rm{ q = 1}}{\rm{.}}$
Câu 27. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$xác định bởi : $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = – 2\\{u_{n + 1}} = \frac{{ – 1}}{{10}}.{u_n}\end{array} \right.$. Chọn hệ thức đúng:
A. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = – \frac{1}{{10}}.$ B. ${u_n} = ( – 2)\frac{1}{{{{10}^{n – 1}}}}.$
C. ${u_n} = \frac{{{u_{n – 1}} + {u_{n + 1}}}}{2}$ $\left( {n \ge 2} \right)$. D. ${u_n} = \sqrt {{u_{n – 1}}.{u_{n + 1}}} $ $\left( {n \ge 2} \right)$.
Lời giải
Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = – \frac{1}{{10}}$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = – \frac{1}{{10}}.$
Câu 28. Cho dãy số : $1;{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{8}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{16}}}};{\rm{ }}…$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số này là cấp số nhân có ${u_1} = 1;q = \frac{1}{2}$. B. Số hạng tổng quát un = $\frac{1}{{{2^{n – 1}}}}$.
C. Số hạng tổng quát ${u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}$. D. Dãy số này là dãy số giảm.
Lời giải
Ta có
$\frac{1}{2} = 1.\frac{1}{2};$
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2};$
${\rm{ }}\frac{1}{8} = \frac{1}{4}.\frac{1}{2};$
${\rm{ }}\frac{1}{{16}} = \frac{1}{8}.\frac{1}{2};….$
Vậy dãy số trên là cấp số nhân với ${u_1} = 1;{\rm{ q = }}\frac{1}{2}$.
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có :${u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n – 1}} = \frac{1}{{{2^{n – 1}}}}$.
Câu 29. ${u_n}$ được cho bởi công thức nào dưới đây là số hạng tổng quát của một cấp số nhân?
A. ${u_n} = \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}$. B. ${u_n} = {n^2} – \frac{1}{2}$. C. ${u_n} = \frac{1}{{{2^n}}} – 1$. D. ${u_n} = {n^2} + \frac{1}{2}$.
Lời giải
${u_n} = \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{1}{4}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n – 1}}$là số hạng tổng quát của một cấp số nhân có ${u_1} = \frac{1}{4}$ và $q = \frac{1}{2}$.
${u_n} = {n^2} – \frac{1}{2}$có ${u_1} = \frac{1}{2};{u_2} = \frac{7}{2} = \frac{1}{2}.7;{u_3} = \frac{{17}}{2} \ne \frac{7}{2}.7$ nên không phải số hạng tổng quát của một cấp số nhân.
${u_n} = \frac{1}{{{2^n}}} – 1$có ${u_1} = – \frac{1}{2};{u_2} = – \frac{3}{4} = – \frac{1}{2}.\frac{3}{2};{u_3} = – \frac{7}{8} \ne – \frac{3}{4}.\frac{3}{2}$ nên không phải số hạng tổng quát của một cấp số nhân.
${u_n} = {n^2} + \frac{1}{2}$có ${u_1} = \frac{3}{2};{u_2} = \frac{9}{2} = \frac{3}{2}.3;{u_3} = \frac{{19}}{2} \ne \frac{9}{2}.3$ nên không phải số hạng tổng quát của một cấp số nhân.
Câu 30. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
A. Cấp số nhân: $ – 2;{\rm{ }} – 2,3{\rm{; }} – 2,9;{\rm{ }}…$ có ${u_6} = \left( { – 2} \right){\left( { – \frac{1}{3}} \right)^5}.$
B. Cấp số nhân: $2;{\rm{ }} – 6{\rm{; 18}};{\rm{ }}…$có ${u_6} = 2.{\left( { – 3} \right)^6}.$
C. Cấp số nhân: $ – 1;{\rm{ }} – \sqrt 2 {\rm{; }} – 2;{\rm{ }}…$ có ${u_6} = – 2\sqrt 2 .$
D. Cấp số nhân: $ – 1;{\rm{ }} – \sqrt 2 {\rm{; }} – 2;{\rm{ }}…$ có ${u_6} = – 4\sqrt 2 .$
Lời giải
Cấp số nhân có ${u_1} = – 1;{\rm{ }}q = \sqrt 2 $ nên ${u_6} = {u_1}.{q^5} = \left( { – 1} \right){\left( {\sqrt 2 } \right)^5} = – 4\sqrt 2 $.
Câu 31. Cho dãy số: $ – 1;\,\,1;\,\, – 1;\,\,1;\,\, – 1;\,\,…$Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân. B. Số hạng tổng quát ${u_n} = {\rm{ }}{1^n} = 1$.
C. Dãy số này là cấp số nhân có${u_1} = –1,{\rm{ }}q{\rm{ }} = –1$. D. Số hạng tổng quát${u_n} = {\left( {–1} \right)^{2n}}$ .
Lời giải
Ta có $1 = – 1( – 1);{\rm{ }} – 1 = 1( – 1)$. Vậy dãy số trên là cấp số nhân với ${u_1} = – 1;{\rm{ q = }} – {\rm{1}}$.
Câu 32. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$: $1;{\rm{ }}x;{\rm{ }}{x^2};{\rm{ }}{x^3};{\rm{ }}…$ . Chọn mệnh đề đúng:
A. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có ${u_n} = {x^n}.$ B. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có${u_1} = 1;{\rm{ }}q = x.$
C. $\left( {{u_n}} \right)$ không phải là cấp số nhân. D. $\left( {{u_n}} \right)$là một dãy số tăng.
Lời giải
Câu 33. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$:$1;{\rm{ }}x;{\rm{ }}{x^2};{\rm{ }}{x^3};{\rm{ }}…$ . Chọn mệnh đề đúng:
A. $\left( {{u_n}} \right)$là cấp số nhân có ${u_n} = {x^n}.$ B. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có${u_1} = 1;{\rm{ }}q = x.$
C. $\left( {{u_n}} \right)$ không phải là cấp số nhân. D. $\left( {{u_n}} \right)$là một dãy số tăng.
Lời giải
Ta có $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = … = x$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có ${u_1} = 1;{\rm{ }}q = x.$
Câu 34. Cho dãy số: $1;{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{8}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{16}}}};{\rm{ }}…$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số này là cấp số nhân có ${u_1} = 1,\,\,q = \frac{1}{2}$. B. Số hạng tổng quát ${u_n} = \frac{1}{{{2^{n – 1}}}}$.
C. Số hạng tổng quát ${u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}$. D. Dãy số này là dãy số giảm.
Lời giải
Ta có
$\frac{1}{2} = 1.\frac{1}{2};$
$\frac{1}{4} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2};$
${\rm{ }}\frac{1}{8} = \frac{1}{4}.\frac{1}{2};$
${\rm{ }}\frac{1}{{16}} = \frac{1}{8}.\frac{1}{2};….$
Vậy dãy số trên là cấp số nhân với ${u_1} = 1;{\rm{ }}q = \frac{1}{2}$.
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có :${u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n – 1}} = \frac{1}{{{2^{n – 1}}}}$.
Câu 35. Cho dãy số: $ – 1;\,\, – 1;\,\, – 1;\,\, – 1;\,\, – 1;\,\,…$ Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân. B. Là cấp số nhân có ${u_1} = – 1;{\rm{ }}q = 1$.
C. Số hạng tổng quát ${u_n} = {( – 1)^n}.$ D. Là dãy số giảm.
Lời giải
Các số hạng trong dãy giống nhau nên gọi là cấp số nhân với ${u_1} = – 1;{\rm{ }}q = 1$.
Câu 36. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A. $1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5$. B. $1;\,\,2;\,\,4;\,\,8;\,\,16$. C. $1;\,\, – 1;\,\,1;\,\, – 1;\,\,1$. D. $1;\,\, – 2;\,\,4;\,\, – 8;\,\,16$.
Lời giải
Dãy $1;\,\,2;\,\,4;\,\,8;\,\,16$ là cấp số nhân với công bội $q = 2$.
Dãy $1;\,\, – 1;\,\,1;\,\, – 1;\,\,1$ là cấp số nhân với công bội $q = – 1$.
Dãy $1;\,\, – 2;\,\,4;\,\, – 8;\,\,16$ là cấp số nhân với công bội $q = – 2$.
Dãy $1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5$ là cấp số cộng với công sai $d = 1$.
Câu 37. Cho dãy số : $ – 1;{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}};{\rm{ }} – \frac{{\rm{1}}}{{\rm{9}}};{\rm{ }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{27}}}};{\rm{ }} – \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{81}}}}$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số không phải là một cấp số nhân.
B. Dãy số này là cấp số nhân có ${u_1} = – 1;{\rm{ }}q = – \frac{1}{3}$.
C. Số hạng tổng quát.${u_n} = {\left( { – 1} \right)^n}.\frac{1}{{{3^{n – 1}}}}$
D. Là dãy số không tăng, không giảm.
Lời giải
Ta có: $\frac{1}{3} = – 1.\left( { – \frac{1}{3}} \right);{\rm{ }} – \frac{1}{9} = – \frac{1}{3}.\left( { – \frac{1}{3}} \right);{\rm{ }}\frac{1}{{27}} = – \frac{1}{9}.\left( { – \frac{1}{3}} \right); \cdots $ Vậy dãy số trên là cấp số nhân với ${u_1} = – 1;{\rm{ }}q = – \frac{1}{3}$.
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có ${u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} = – 1{\left( { – \frac{1}{3}} \right)^{n – 1}} = {\left( { – 1} \right)^n}.\frac{1}{{{3^{n – 1}}}}$.
Dạng 02: Xác định U1, q, n, Un, Sn
Câu 38. Cho $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có ${u_1} = 2$, $q = 3$. Tính ${u_3}$.
A. $6$. B. $18$. C. $9$. D. $8$.
Lời giải
Ta có ${u_3} = {u_1}.{q^2} = {2.3^2} = 18$.
Câu 39. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 3$ và công bội $q = 2$. Giá trị của ${u_4}$ bằng
A. $24$. B. $48$. C. $18$. D. $54$.
Lời giải
Áp dụng công thức ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}} \Rightarrow {u_4} = {u_1}.{q^3} = 3.{\left( 2 \right)^3} = 24$.
Câu 40. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} = 81$ và ${u_{n + 1}} = 9$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $q = \frac{1}{9}$. B. $q = 9$. C. $q = – 9$. D. $q = – \frac{1}{9}$.
Lời giải
Vì $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân nên ${u_{n + 1}} = {u_n}.q \Leftrightarrow 9 = 81.q$$ \Leftrightarrow q = \frac{1}{9}$.
Câu 41. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, với ${u_1} = – 9,\,{u_4} = \frac{1}{3}$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. $\frac{1}{3}$ B. $ – 3$ C. $3$ D. $ – \frac{1}{3}$
Lời giải
Ta có: ${u_4} = {u_1}.{q^3} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow {q^3} = \frac{1}{{3.{u_1}}} = \frac{1}{{ – 27}} \Leftrightarrow q = – \frac{1}{3}$. Vậy cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội $q = – \frac{1}{3}$.
Câu 42. Cho cấp số nhân có ${u_1} = – 3$, $q = \frac{2}{3}$. Tính ${u_5}?$
A. ${u_5} = \frac{{ – 27}}{{16}}.$ B. ${u_5} = \frac{{ – 16}}{{27}}.$ C. ${u_5} = \frac{{16}}{{27}}.$ D. ${u_5} = \frac{{27}}{{16}}.$
Lời giải
Ta có: ${u_5} = {u_1}.{q^4} = \left( { – 3} \right){\left( {\frac{2}{3}} \right)^4} = – \frac{{16}}{{27}}.$
Câu 43. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3$ và ${u_2} = 6$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. $3$. B. $\frac{1}{2}$. C. $2$. D. $9$.
Lời giải
Ta có $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân nên công bội $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2$.
Câu 44. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = – 3$ và công bội $q = \frac{2}{3}$. Số hạng thứ năm của $\left( {{u_n}} \right)$ là
A. $\frac{{27}}{{16}}$. B. $\frac{{16}}{{27}}$. C. $ – \frac{{27}}{{16}}$. D. $ – \frac{{16}}{{27}}$.
Ta có ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$$ \Rightarrow {u_5} = – 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^4}$$ = – \frac{{16}}{{27}}$.
Câu 45. Một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 3$, công bội $q = 2$. Biết ${S_n} = 765$. Tìm $n$?
A. $n = 7$. B. $n = 6$. C. $n = 8$. D. $n = 9$.
Lời giải
Áp dụng công thức của cấp số nhân ta có: ${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}} = \frac{{3.\left( {1 – {2^n}} \right)}}{{1 – 2}} = 765$$ \Leftrightarrow n = 8$.
Câu 46. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 2$ và ${u_4} = 54$. Giá trị ${u_{2019}}$ bằng
A. ${2.3^{2020}}$. B. ${2.2^{2020}}$. C. ${2.3^{2018}}$. D. ${2.2^{2018}}$.
Lời giải
Ta có ${u_4} = {u_1}.{q^3} \Rightarrow q = 3$
Vậy ${u_{2019}} = {u_1}.{q^{2018}} = {2.3^{2018}}$
Câu 47. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 5$ và công bội $q = – 2$. Số hạng thứ sáu của $\left( {{u_n}} \right)$ là:
A. ${u_6} = 160$. B. ${u_6} = – 320$. C. ${u_6} = – 160$. D. ${u_6} = 320$.
Ta có ${u_6} = {u_1}{q^5} = 5.{\left( { – 2} \right)^5} = – 160$.
Câu 48. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 5$ và công bội $q = – 2$. Số hạng thứ sáu của $\left( {{u_n}} \right)$ là:
A. ${u_6} = 160$. B. ${u_6} = – 320$. C. ${u_6} = – 160$. D. ${u_6} = 320$.
Ta có ${u_6} = {u_1}{q^5} = 5.{\left( { – 2} \right)^5} = – 160$.
Câu 49. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – \frac{1}{2};{\rm{ }}{u_7} = – 32$. Tìm $q$?
A. $q = \pm \frac{1}{2}$. B. $q = \pm 2$. C. $q = \pm 4$. D. $q = \pm 1$.
Lời giải
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có ${u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} \Rightarrow {u_7} = {u_1}.{q^6} \Rightarrow {q^6} = 64 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = – 2\end{array} \right.$$$.
Câu 50. Cho cấp số nhân có ${u_1} = 3$, $q = \frac{2}{3}$. Chọn kết quả đúng:
A. Bốn số hạng tiếp theo của cấp số là: $2;{\rm{ }}\frac{4}{3};{\rm{ }}\frac{8}{3};{\rm{ }}\frac{{16}}{3}.$
B. ${u_n} = 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n – 1}}.$
C. ${S_n} = 9.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} – 9.$
D. $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy số tăng.
Lời giải
Áp dụng công thức: ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$ ta được: ${u_n} = 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n – 1}}.$
Câu 51. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, với ${u_1} = – 9,\,\,\,{u_4} = \frac{1}{3}$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng.
A. $\frac{1}{3}$. B. $ – 3$. C. $3$. D. $ – \frac{1}{3}$.
Lời giải
Ta có: ${u_4} = {u_1}.{q^3} \Leftrightarrow {q^3} = \frac{{{u_4}}}{{{u_1}}} = – 27 \Leftrightarrow q = – 3$.
Dạng 03: Xác định Un, Sn
Câu 52. Cho cấp số nhân có ${u_1} = 3$, $q = \frac{2}{3}$. Chọn kết quả đúng:
A. Bốn số hạng tiếp theo của cấp số là: $2;{\rm{ }}\frac{4}{3};{\rm{ }}\frac{8}{3};{\rm{ }}\frac{{16}}{3}.$
B. ${u_n} = 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n – 1}}.$
C. ${S_n} = 9.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} – 9.$
D. $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy số tăng.
Lời giải
Áp dụng công thức: ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$ ta được: ${u_n} = 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n – 1}}.$
Câu 53. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right);{u_1} = 1,q = 2$. Hỏi số $1024$ là số hạng thứ mấy?
A. $11$. B. $9$. C. $8$. D. $10$.
Lời giải
Ta có ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}} \Leftrightarrow {1.2^{n – 1}} = 1024 \Leftrightarrow {2^{n – 1}} = {2^{10}} \Leftrightarrow n – 1 = 10 \Leftrightarrow n = 11$.
Dạng 05: Điều kiện để dãy số thành CSN
Câu 54. Xác định $x$ để 3 số $x – 2;{\rm{ }}x + 1;{\rm{ }}3 – x$ lập thành một cấp số nhân:
A. Không có giá trị nào của $x.$ B. $x = \pm 1.$
C. $x = 2.$ D. $x = – 3.$
Lời giải
Ba số $x – 2;{\rm{ }}x + 1;{\rm{ }}3 – x$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân$ \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {3 – x} \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow 2{x^2} – 3x + 7 = 0$
Câu 55. Xác định $x$ để 3 số $2x – 1;{\rm{ }}x;{\rm{ }}2x + 1$ lập thành một cấp số nhân:
A. $x = \pm \frac{1}{3}.$ B. $x = \pm \sqrt 3 .$
C. $x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$ D. Không có giá trị nào của $x$.
Lời giải
Ba số: $2x – 1;{\rm{ }}x;{\rm{ }}2x + 1$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân $ \Leftrightarrow \left( {2x – 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = {x^2}$$ \Leftrightarrow 4{x^2} – 1 = {x^2}$ $ \Leftrightarrow 3{x^2} = 1$$ \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$
Câu 56. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$có công bội $q$. Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A. ${u_k} = \sqrt {{u_{k + 1}}.{u_{k + 2}}} $ B. ${u_k} = \frac{{{u_{k – 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}$ C. ${u_k} = {u_1}.{q^{k – 1}}.$ D. ${u_k} = {u_1} + \left( {k – 1} \right)q.$
Lời giải
Theo tính chất các số hạng của cấp số nhân.
Câu 57. Cho dãy số: $ – 1;{\rm{ }}x;{\rm{ }}0,64$. Chọn $x$ để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân?
A. Không có giá trị nào của $x.$ B. $x = – 0,008.$
C. $x = 0,008.$ D. $x = 0,004.$
Lời giải
Dãy số: ${\rm{ – 1; }}x;{\rm{ 0,64}}$theo thứ tự lập thành cấp số nhân $ \Leftrightarrow {x^2} = – 0,64$
Dạng 07: Toán tổng hợp cả CSC và CSN
Câu 58. Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Số hạng tổng quát của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ là ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$, với công bội $q$ và số hạng đầu ${u_1}$
B. Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ là ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$, với công sai $d$ và số hạng đầu ${u_1}$
C. Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ là ${u_n} = {u_1} + nd$, với công sai $d$ và số hạng đầu ${u_1}$
D. Nếu dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng thì ${u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + {u_{n + 2}}}}{2}$
Lời giải
Dựa vào công thức
