Chuyên Đề Đại Số Tổ Hợp Xác Suất Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT

0
3079

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỎ HỢP XÁC SUẤT

I. Hệ thống kiến thức

1) Quy tắc cộng – Quy tắc nhân.

 Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có $m$ cách thực hiện, hành động kia có $n$ cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có $m + n$ cách thực hiện.

 Quy tắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có $m$ cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có $n$ cách thực hiện hành động thứ hai thì có $m.n$ cách hoàn thành công việc.

2) Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Định nghĩa hoán vị:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Số các hoán vị:

Định lí: $\boxed{{P_n} = {\text{ }}n\left( {n{\text{ }}–{\text{ }}1} \right){\text{ }} \ldots 2.1{\text{ }} = {\text{ }}n!}$

Qui ước: $\boxed{0!{\text{ }} = {\text{ }}1}$

Định nghĩa chỉnh hợp:

Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

Số các chỉnh hợp: Định lí: $\boxed{A_n^k = \frac{{n!}}{{(n – k)!}} = n\left( {n–1} \right) \ldots \left( {n–k + 1} \right)}$

Định nghĩa tổ hợp:

 Giả sử tập A có $n$ phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

 Qui ước: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

Số các tổ hợp:

Định lí: $\boxed{C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}} = \frac{{n!}}{{k!(n – k)!}}}$

Tính chất 1: Cho số nguyên dương $n$ và số nguyên $k$ với $0 \leqslant k \leqslant n$ .

Khi đó $\boxed{C_n^k = C_n^{n – k}}$

Tính chất 2: Cho các số nguyên $n$ và $k$ với $1 \leqslant k \leqslant n$ .

Khi đó $\boxed{C_{n + 1}^k = C_n^k + C_n^{k – 1}}$  

3. Xác suất của biến cố

Giả sử một phép thử có không gian mẫu $\Omega $ gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và $A$ là một biến cố.

•Xác suất của biến cố $A$ là một số, kí hiệu là $P(A)$, được xác định bởi công thức:

$\boxed{P(A) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}}}$

• Trong đó: $n\left( A \right)$ và $n(\Omega )$ lần lượt kí hiệu số phần tử của tập $A$ và $\Omega $.

Chú ý:

 $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$.

 $P(\Omega ) = 1,{\text{ }}P(\emptyset ) = 0$.

Cho $A$ là một biến cố. Khi đó biến cố “Không xảy ra $A$”, kí hiệu là $\bar A$, được gọi là biến cố đối của $A$.

$\overline A  = \Omega \backslash A$; $P\left( {\bar A} \right) + P\left( A \right) = 1$.

Từ đó suy ra: $\boxed{P\left( {\overline A } \right) = 1 – P\left( A \right)}$

II. Các dạng bài/câu thường gặp

Dạng toán 1: Tìm số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Câu 1: Cho tập hợp $M$ có $10$ phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của $M$ là

A. $A_{10}^8$ B. $A_{10}^2$ C. $C_{10}^2$ D. ${10^2}$

Lời giải

Chọn C

Mỗi cách lấy ra $2$ phần tử trong $10$ phần tử của $M$ để tạo thành tập con gồm $2$ phần tử là một tổ hợp chập $2$ của $10$ phần tử $ \Rightarrow $ Số tập con của $M$ gồm $2$ phần tử là $C_{10}^2$.

Câu 2: Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm $34$ học sinh?

A. ${2^{34}}$. B. $A_{34}^2$. C. ${34^2}$. D. $C_{34}^2$.

Lời giải

Chọn D

Mỗi cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm $34$ học sinh là một tổ hợp chập $2$ của $34$ phần tử nên số cách chọn là $C_{34}^2$.

Câu 3: Một tổ có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nữ?

A. $16800$. B. $350$. C. $45$. D. $860$.

Lời giải

Chọn B

Chọn ra 6 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nữ nên có 4 học sinh nam.

Vậy số cách chọn là: $C_7^4.C_5^2 = 350$.

Câu 4: Có bao nhiêu cách xếp năm người thành một hàng dọc?

A. $5$. B. $5!$. C. ${5^5}$. D. $C_5^5$.

Lời giải

Chọn B

Số cách xếp năm người thành một hàng dọc là $5!$.

Câu 5: Từ các chữ số 1; 2; 4; 5; 7; 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau?

A. ${6^2}$. B. $A_6^2$. C. $C_6^2$. D. ${2^6}$.

Lời giải

Chọn B

Mỗi số thỏa yêu cầu là một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử

Vậy có $A_6^2$số thỏa yêu cầu.

Dạng toán 2: Tính xác suất của biến cố

Câu 1: Một đoàn đại biểu gồm $5$ người được chọn ra từ một tổ gồm $8$ nam và $7$ nữ để tham dự hội nghị. Xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng $2$ người nữ là

A. $\frac{{56}}{{143}}$. B. $\frac{{140}}{{429}}$. C. $\frac{1}{{143}}$. D. $\frac{{28}}{{715}}$.

Lời giải

Chọn A

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = C_{15}^5$.

Gọi biến cố $A$: “Chọn được đoàn đại biểu có đúng $2$ người nữ”

$ \Rightarrow n\left( A \right) = C_7^2.C_8^3$.

Vậy xác suất cần tìm là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{56}}{{143}}$.

Câu 2: Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng

A. $\frac{5}{{11}}$. B. $\frac{5}{{22}}$. C. $\frac{6}{{11}}$. D. $\frac{8}{{11}}$.

Lời giải

Chọn A

Chọn 2 quả cầu từ 11 quả cầu có $C_{11}^2$cách.

Chọn 2 quả cầu từ 5 quả cầu màu xanh có $C_5^2$cách.

Chọn 2 quả cầu từ 6 quả cầu màu đỏ có $C_6^2$cách.

Xác suất để chọn 2 quả cầu cùng màu bằng $\frac{{C_5^2 + C_6^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{5}{{11}}$.

Câu 3: Một hộp đựng $5$ viên bi đỏ, $4$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên $3$ viên bi từ hộp đó. Tính xác suất lấy được ít nhất $1$ viên đỏ.

A. $\frac{{37}}{{42}}$. B. $\frac{1}{{21}}$. C. $\frac{5}{{42}}$. D. $\frac{{20}}{{21}}$.

Lời giải

Chọn D

Lấy $3$ viên bi từ $5 + 4 = 9$ viên bi có $C_9^3$ cách.

+ Lấy $1$ viên đỏ và $2$ viên xanh có $C_5^1C_4^2$ cách.

+ Lấy $2$ viên đỏ và $1$ viên xanh có $C_5^2C_4^1$ cách.

+ Lấy $3$ viên đỏ có $C_5^3$ cách.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{{C_5^1C_4^2 + C_5^2C_4^1 + C_5^3}}{{C_9^3}} = \frac{{20}}{{21}}$.

Câu 4: Xếp ngẫu nhiên 5 học sinh $A,\,B,\,C,\,D,\,E$ ngồi vào một dãy 5 ghế thẳng hàng. Tính xác suất để hai bạn $A$ và $B$ không ngồi cạnh nhau.

A. $\frac{1}{5}$. B. $\frac{3}{5}$. C. $\frac{2}{5}$. D. $\frac{4}{5}$.

Lời giải

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = 5! = 120$.

Gọi $X$ là biến cố “Hai bạn $A$ và $B$ không ngồi cạnh nhau”.

$ \Rightarrow \overline X $ “Hai bạn $A$ và $B$ ngồi cạnh nhau”

Có 4 vị trí để hai bạn $A$ và $B$ngồi cạnh nhau, hai bạn đổi chỗ được một cách xếp mới.

Nên số cách xếp để hai bạn $A$ và $B$ ngồi cạnh nhau là $4.2!.3! = 48$

Xác suất của biến cố $\overline X $ là: $P\left( {\overline X } \right) = \frac{{n\left( {\overline X } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{48}}{{120}} = \frac{2}{5}$

Vây xác suất của biến cố $X$ là: $P\left( X \right) = 1 – P\left( {\overline X } \right) = \frac{3}{5}$

Câu 5: Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau lập thành từ các chữ số $0,1,2,3,4,5,6,7$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S$. Tính xác suất để số được chọn có đúng $2$ chữ số chẵn.

A. $\frac{{24}}{{35}}$. B. $\frac{{144}}{{245}}$. C. $\frac{{72}}{{245}}$. D. $\frac{{18}}{{35}}$.

Lời giải

Chọn D

Có $7.A_7^3$ số có $4$ chữ số khác nhau được lập từ tập $S$.

Xét các số có đúng hai chữ số chẵn, hai chữ số lẻ.

+ TH1: Số đó có chữ số $0$

Có $C_3^1$ cách chọn thêm chữ số chẵn khác và $C_4^2$ cách chọn $2$ chữ số lẻ; có $3.3!$ cách sắp xếp $4$ chữ số được chọn, suy ra có $C_3^1.C_4^2.3.3! = 324$ số thỏa mãn.

+ TH2: Số đó không có chữ số $0$

Có $C_3^2$ cách chọn $2$ chữ số chẵn, $C_4^2$ cách chọn $2$ chữ số lẻ; có $4!$ cách sắp xếp $4$ chữ số đã chọn, suy ra có $C_3^2.C_4^2.4! = 432$ số thỏa mãn.

Vậy có $324 + 432 = 756$ số có đúng hai chữ số chẵn thỏa mãn.

Xác suất cần tìm là $P = \frac{{756}}{{7.A_7^3}} = \frac{{18}}{{35}}$.

III. Hệ thống câu hỏi ôn tập:

1. Tổ hợp-Hoán vị-Chỉnh hợp

Câu 1: Có bao nhiêu cách chọn ba học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh nữ và 7 học sinh nam ?

A. $A_{15}^3$. B. $45$. C. $C_{15}^3$. D. $168$.

Câu 2: Có bao nhiêu cách chọn bốn học sinh từ một nhóm gồm $15$ học sinh?

A. $A_{15}^4$. B. ${4^{15}}$. C. ${15^4}$. D. $C_{15}^4$.

Câu 3: Có bao nhiêu cách xếp nhóm 5 học sinh vào một hàng ngang?

A. $C_5^5$. B. ${5^5}$. C. $5!$. D. $A_5^0$.

Câu 4: Cho $9$ điểm, trong đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ $9$ điểm trên?

A. $168$. B. $84$. C. $56$. D. $729$.

Câu 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc?

A. ${5^5}.$ B. $5.$ C. $4!.$ D. $5!.$

Câu 6: Có bao nhiêu cách chọn $2$ học sinh từ một tổ gồm có $9$ học sinh giữ chức danh tổ trưởng và tổ phó?

A. ${2^9}$. B. $C_9^2$. C. ${9^2}$. D. $A_9^2$.

Câu 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành một hàng ngang?

A. ${P_7}$. B. $C_7^7$. C. $C_7^1$. D. $A_7^1$.

Câu 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau mà các chữ số được lấy từ tập hợp $X = \left\{ {1\,;2\,;3\,;4\,;5} \right\}$?

A. $C_5^2$. B. ${5^2}$. C. ${2^5}$. D. $A_5^2$.

Câu 9: Từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $3$chữ số đôi một khác nhau?

A. $C_6^3$. B. $A_6^3$. C. ${3^6}$. D. ${6^3}$.

Câu 10: Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc thì số các cách xếp khác nhau là:

A. $10!$. B. $5!5!$. C. $5.5!$. D. $40$.

Câu 11: Cho tập hợp $T$ gồm 7 phần tử khác nhau. Số tập hợp con gồm 3 phần tử của tập hợp $T$ là

A. $\frac{{7!}}{{3!}}$. B. $21$. C. $A_7^3$. D. $C_7^3$.

Câu 12: Từ một tổ có $6$ bạn nam và 4 bạn nữ, có bao nhiêu cách chọn $1$ bạn nam và $3$ bạn nữ?

A. $80$. B. $24$. C. $10$. D. $144$.

Câu 13: Một tổ có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nữ?

A. $16800$. B. $350$. C. $45$. D. $860$.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Có bao nhiêu cách chọn ba học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh nữ và 7 học sinh nam ?

A. $A_{15}^3$. B. $45$. C. $C_{15}^3$. D. $168$.

Lời giải

Chọn C

Số cách chọn ba học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh nữ và 7 học sinh nam là : $C_{15}^3$.

Câu 2: Có bao nhiêu cách chọn bốn học sinh từ một nhóm gồm $15$ học sinh?

A. $A_{15}^4$. B. ${4^{15}}$. C. ${15^4}$. D. $C_{15}^4$.

Lời giải

Chọn D

Số cách chọn bốn học sinh từ nhóm gồm 15 học sinh là: $C_{15}^4$.

Câu 3: Có bao nhiêu cách xếp nhóm 5 học sinh vào một hàng ngang?

A. $C_5^5$. B. ${5^5}$. C. $5!$. D. $A_5^0$.

Lời giải

Chọn C

Xếp 5 học sinh vào 5 chỗ có $5!$ cách.

Câu 4: Cho $9$ điểm, trong đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ $9$ điểm trên?

A. $168$. B. $84$. C. $56$. D. $729$.

Lời giải

Chọn B

Mỗi tập con gồm 3 điểm của tập hợp 9 điểm đã cho xác định duy nhất một tam giác. Từ đó ta có số tam giác có thể lập được từ 9 điểm đã cho là: $C_9^3 = 84$.

Câu 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc?

A. ${5^5}.$ B. $5.$ C. $4!.$ D. $5!.$

Lời giải

Chọn D

Số cách sắp xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc là $5!.$

Câu 6: Có bao nhiêu cách chọn $2$ học sinh từ một tổ gồm có $9$ học sinh giữ chức danh tổ trưởng và tổ phó?

A. ${2^9}$. B. $C_9^2$. C. ${9^2}$. D. $A_9^2$.

Lời giải

Chọn D

Số cách chọn $2$học sinh từ một tổ gồm có $9$ học sinh giữ chức danh tổ trưởng và tổ phó là $A_9^2$.

Câu 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành một hàng ngang?

A. ${P_7}$. B. $C_7^7$. C. $C_7^1$. D. $A_7^1$.

Lời giải

Chọn A

Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của 7 phần tử nên số cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành một hàng ngang là ${P_7}$.

Câu 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau mà các chữ số được lấy từ tập hợp $X = \left\{ {1\,;2\,;3\,;4\,;5} \right\}$?

A. $C_5^2$. B. ${5^2}$. C. ${2^5}$. D. $A_5^2$.

Lời giải

Chọn D

Từ $5$ chữ số của tập $X$, ta lấy $2$ chữ số bất kì rồi sắp xếp vị trí được một số có hai chữ số.

Như vậy có $A_5^2$ số được tạo thành.

Câu 9: Từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $3$chữ số đôi một khác nhau?

A. $C_6^3$. B. $A_6^3$. C. ${3^6}$. D. ${6^3}$.

Lời giải

Chọn B

Mỗi số tự nhiên được lập như vậy là một chỉnh hợp chập $3$của $6$phần tử.

Vậy, có thể lập được $A_6^3$số tự nhiên.

Câu 10: Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc thì số các cách xếp khác nhau là:

A. $10!$. B. $5!5!$. C. $5.5!$. D. $40$.

Lời giải

Chọn A

Mỗi cách sắp xếp 10 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 10 phần tử.

Vậy số cách xếp 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ là: $10!$.

Câu 11: Cho tập hợp $T$ gồm 7 phần tử khác nhau. Số tập hợp con gồm 3 phần tử của tập hợp $T$ là

A. $\frac{{7!}}{{3!}}$. B. $21$. C. $A_7^3$. D. $C_7^3$.

Lời giải

Chọn D

Mỗi cách chọn 3 phần tử trong 7 phần tử của tập hợp $T$ là một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử trong tập hợp $T$.

Số tập hợp con gồm 3 phần tử của tập hợp $T$ là $C_7^3$.

Câu 12: Từ một tổ có $6$ bạn nam và 4 bạn nữ, có bao nhiêu cách chọn $1$ bạn nam và $3$ bạn nữ?

A. $80$. B. $24$. C. $10$. D. $144$.

Lời giải

Chọn B

Có $6.C_4^3 = 24$ cách chọn $1$ bạn nam và $3$ bạn nữ.

Câu 13: Một tổ có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nữ?

A. $16800$. B. $350$. C. $45$. D. $860$.

Lời giải

Chọn B

Chọn ra 6 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nữ nên có 4 học sinh nam.

Vậy số cách chọn là: $C_7^4.C_5^2 = 350$.

2. Xác suất của biến cố

Câu 1: Một hộp bút gồm $6$ bút màu xanh, $4$ bút màu đỏ, $5$ bút màu đen. Chọn ngẫu nhiên $6$ bút bất kỳ. Tính xác suất để $6$ bút được chọn có đúng $2$ màu.

A. $\frac{{58}}{{385}}$. B. $\frac{6}{{323}}$. C. $\frac{{158}}{{1001}}$. D. $\frac{{108}}{{715}}$.

Câu 2: Xếp ngẫu nhiên $3$ học sinh lớp $A$, $2$ học sinh lớp $B$ và 1 học sinh lớp $C$ vào $6$ ghế xếp xung quanh một bàn tròn. Tính xác suất để học sinh lớp $C$ ngồi giữa hai học sinh lớp $B$.

A. $\frac{2}{{13}}$. B. $\frac{1}{{10}}$. C. $\frac{2}{7}$. D. $\frac{3}{{14}}$.

Câu 3: Chọn ngẫu nhiên $5$ học sinh từ một nhóm gồm $8$ học sinh nam và $7$ học sinh nữ. Xác suất để trong $5$ học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ mà số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là

A. $\frac{{70}}{{143}}.$ B. $\frac{{60}}{{143}}.$ C. $\frac{{238}}{{429}}.$ D. $\frac{{82}}{{143}}.$

Câu 4: Từ một hộp chứa 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời năm bi. Xác suất để 5 bi lấy được có đủ ba màu bằng

A. $\frac{{185}}{{273}}$. B. $\frac{{310}}{{429}}$. C. $\frac{{106}}{{273}}$. D. $\frac{{136}}{{231}}$.

Câu 5: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ra ngẫu nhiên 10 thẻ. Tính xác suất để 10 thẻ được chọn có 5 thẻ lẻ và 5 thẻ chẵn trong đó chỉ có đúng 1 thẻ chia hết cho 10

A. $\frac{{200}}{{3335}}$. B. $\frac{{1001}}{{3335}}$. C. $\frac{{99}}{{667}}$. D. $\frac{{568}}{{667}}$.

Câu 6: Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ. Xác suất để tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ bằng

A. $\frac{{12}}{{33}}$. B. $\frac{{17}}{{33}}$. C. $\frac{4}{{33}}$. D. $\frac{{16}}{{33}}$.

Câu 7: Từ một hộp chứa 13 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ, 6 quả màu xanh và 3 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả có màu khác nhau bằng

A. $\frac{{33}}{{143}}$. B. $\frac{1}{{22}}$. C. $\frac{{25}}{{286}}$. D. $\frac{{40}}{{143}}$.

Câu 8: Một hộp đựng $4$ quả cầu xanh, $3$ quả cầu đỏ, $5$ quả cầu vàng. Biết rằng các quả cầu đều giống nhau về kích thước và chất liệu. Chọn đồng thời cùng một lúc $4$ quả cầu. Xác suất chọn được $4$ quả cầu có đủ cả $3$ màu bằng

A. $\frac{1}{2}$. B. $\frac{5}{{11}}$. C. $\frac{6}{{11}}$. D. $\frac{5}{8}$.

Câu 9: Một hộp chứa $4$viên bi trắng, $5$ viên bi đỏ và $6$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra $4$viên bi. Xác suất để $4$ viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ nhiều nhất là

A. $P = \frac{{C_4^1C_5^2C_6^1}}{{C_{15}^4}}$. B. $P = \frac{{C_4^1C_5^3C_6^2}}{{C_{15}^2}}$. C. $P = \frac{{C_4^1C_5^2C_6^1}}{{C_{15}^2}}$. D. $P = \frac{{C_4^1C_5^2C_6^1}}{{C_{15}^2}}$.

Câu 10. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có $6$ chữ số phân biệt được lấy từ các số $1$,$2$,$3$,$4$,$5$,$6$,$7$,$8$,$9$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$. Xác suất chọn được số chỉ chứa 3 số lẻ là

A. $P = \frac{{16}}{{42}}$. B. $P = \frac{{16}}{{21}}$. C. $P = \frac{{10}}{{21}}$. D. $P = \frac{{23}}{{42}}$.

Câu 11. Một nhóm gồm $8$ nam và $7$ nữ. Chọn ngẫu nhiên $5$ bạn. Xác suất để trong $5$ bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là:

A. $\frac{{60}}{{143}}$. B. $\frac{{238}}{{429}}$. C. $\frac{{210}}{{429}}$. D. $\frac{{82}}{{143}}$.

Hướng dẫn giải

Câu 1: Một hộp bút gồm $6$ bút màu xanh, $4$ bút màu đỏ, $5$ bút màu đen. Chọn ngẫu nhiên $6$ bút bất kỳ. Tính xác suất để $6$ bút được chọn có đúng $2$ màu.

A. $\frac{{58}}{{385}}$. B. $\frac{6}{{323}}$. C. $\frac{{158}}{{1001}}$. D. $\frac{{108}}{{715}}$.

Lời giải

Chọn ngẫu nhiên $6$ bút bất kỳ $15$ bút trong hộp: $n\left( \Omega \right) = C_{15}^6 = 5005$.

Gọi $A$ là biến cố: “$6$ bút được chọn có đúng $2$ màu”

TH1 : Chọn 6 bút màu đỏ và đen ⇒$C_9^6 = 84$.

TH2 : Chọn 6 bút màu đỏ và xanh ⇒$C_{10}^6 – C_6^6 = 209$.

TH3 : Chọn 6 bút màu xanh và đen ⇒$C_{11}^6 – C_6^6 = 461$.

Nên $n\left( A \right) = 84 + 209 + 461 = 754$.

Xác suất của biến cố $A$: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{754}}{{5005}} = \frac{{58}}{{385}}$.

Câu 2: Xếp ngẫu nhiên $3$ học sinh lớp $A$, $2$ học sinh lớp $B$ và 1 học sinh lớp $C$ vào $6$ ghế xếp xung quanh một bàn tròn. Tính xác suất để học sinh lớp $C$ ngồi giữa hai học sinh lớp $B$.

A. $\frac{2}{{13}}$. B. $\frac{1}{{10}}$. C. $\frac{2}{7}$. D. $\frac{3}{{14}}$.

Lời giải

Số cách xếp ngẫu nhiên $6$ học sinh vào $6$ ghế quanh một bàn tròn là:$5!$.

Cố định vị trị để học sinh lớp $C$.Có $2!$ cách xếp vị trí cho $2$ học sinh lớp $B$.

Còn lại ba vị trí để xếp $3$ học sinh $A$. Nên số cách xếp là: $3!$

Vậy xác suất cần tính là:$P = \frac{{2!3!}}{{5!}} = \frac{1}{{10}}$.

Câu 3: Chọn ngẫu nhiên $5$ học sinh từ một nhóm gồm $8$ học sinh nam và $7$ học sinh nữ. Xác suất để trong $5$ học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ mà số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là

A. $\frac{{70}}{{143}}.$ B. $\frac{{60}}{{143}}.$ C. $\frac{{238}}{{429}}.$ D. $\frac{{82}}{{143}}.$

Lời giải

$n\left( \Omega \right) = C_{15}^5 = 3003$ cách chọn

Gọi biến cố $A:”$$5$ học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ mà số học sinh nam nhiều

hơn số học sinh nữ

+ TH 1 : Chọn $4$ học sinh nam và $1$ học sinh nữ $ \to C_8^4 \times C_7^1 = 490$ cách

+ TH 2 : Chọn $3$ học sinh nam và $2$ học sinh nữ $ \to C_8^3 \times C_7^2 = 1176$ cách

$n\left( A \right) = 490 + 1176 = 1666$ cách.

$P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{238}}{{429}}.$

Câu 4: Từ một hộp chứa 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời năm bi. Xác suất để 5 bi lấy được có đủ ba màu bằng

A. $\frac{{185}}{{273}}$. B. $\frac{{310}}{{429}}$. C. $\frac{{106}}{{273}}$. D. $\frac{{136}}{{231}}$.

Lời giải

Số cách chọn 5 viên bi trong 15 viên bi là $n\left( \Omega \right) = C_{15}^5 = 3003$.

Gọi $A$:’’ 5 viên bi lấy được có đủ 3 màu ”

Gọi $\overline A $:’’ 5 viên bi lấy được có không đủ 3 màu ”

Chọn 5 viên bi không đủ 3 màu xảy ra các trường hợp

+ 5 viên màu đỏ có 1 cách

+ 5 viên màu vàng và 1 viên màu xanh hoặc đỏ có $C_6^5 = 6$ cách.

+ Chỉ có xanh và đỏ có $C_4^4.C_5^1 + C_4^3.C_5^2 + C_4^2.C_5^3 + C_4^1C_5^4 = 125$.

+ Chỉ có xanh và vàng có $C_4^4.C_6^1 + C_4^3.C_6^2 + C_4^2.C_6^3 + C_4^1C_6^4 = 246$.

+ Chỉ có đỏ và vàng có $C_5^4.C_6^1 + C_5^3.C_6^2 + C_5^2.C_6^3 + C_5^1C_6^4 = 455$.

Vậy $n\left( {\overline A } \right) = 833 \Rightarrow n\left( \Omega \right) – n\left( {\overline A } \right) = 2170 \Rightarrow p\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{310}}{{429}}$.

Câu 5: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ra ngẫu nhiên 10 thẻ. Tính xác suất để 10 thẻ được chọn có 5 thẻ lẻ và 5 thẻ chẵn trong đó chỉ có đúng 1 thẻ chia hết cho 10

A. $\frac{{200}}{{3335}}$. B. $\frac{{1001}}{{3335}}$. C. $\frac{{99}}{{667}}$. D. $\frac{{568}}{{667}}$.

Lời giải

Trong 30 thẻ có 15 thẻ lẻ, có 3 thẻ chia hết cho 10, có 12 thẻ chỉ chia hết cho 2 mà không chia hết cho 10

Chọn 5 thẻ trong 15 thẻ lẻ là $C_{15}^5$

Chọn 4 thẻ trong 12 thẻ lẻ là $C_{12}^4$

Chọn 1 thẻ trong 3 thẻ lẻ là $C_3^1$

Không gian mẫu $C_{30}^{10}$

Xác suất để chọn theo yêu cầu bài toán là $P = \frac{{C_{15}^5.C_{12}^4.C_3^1}}{{C_{30}^{10}}} = \frac{{99}}{{667}}$

Câu 6: Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ. Xác suất để tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ bằng

A. $\frac{{12}}{{33}}$. B. $\frac{{17}}{{33}}$. C. $\frac{4}{{33}}$. D. $\frac{{16}}{{33}}$.

Lời giải

Không gian mẫu $\Omega \Rightarrow $ $n\left( \Omega \right) = C_{11}^3$

Gọi A: “tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ”

Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn. Để có tổng của 3 số là một số lẻ ta có 2 trường hợp.

Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 2 thẻ mang số chẵn có: $C_6^1 \cdot C_5^2 = 60$ cách.

Trường hợp 2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ có: $C_6^3 = 20$

Do đó

$n(A) = 60 + 20 = 80.$

Vậy $P(A) = \frac{{16}}{{33}}$

Câu 7: Từ một hộp chứa 13 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ, 6 quả màu xanh và 3 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả có màu khác nhau bằng

A. $\frac{{33}}{{143}}$. B. $\frac{1}{{22}}$. C. $\frac{{25}}{{286}}$. D. $\frac{{40}}{{143}}$.

Lời giải

Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả bóng từ 13 quả bóng đã cho có $C_{13}^3$ cách.

Lấy được 1 quả màu đỏ từ 4 quả màu đỏ đã cho có $C_4^1$ cách.

Lấy được 1 quả màu xanh từ 6 quả màu xanh đã cho có $C_6^1$ cách.

Lấy được 1 quả màu vàng từ 3 quả màu vàng đã cho có $C_3^1$ cách.

Vậy xác suất để lấy được 3 quả màu có màu khác nhau là $P = \frac{{C_4^1.C_6^1C_3^1}}{{C_{13}^3}} = \frac{{33}}{{143}}$.

Câu 8: Một hộp đựng $4$quả cầu xanh, $3$ quả cầu đỏ, $5$ quả cầu vàng. Biết rằng các quả cầu đều giống nhau về kích thước và chất liệu. Chọn đồng thời cùng một lúc $4$ quả cầu. Xác suất chọn được $4$ quả cầu có đủ cả $3$ màu bằng

A. $\frac{1}{2}$. B. $\frac{5}{{11}}$. C. $\frac{6}{{11}}$. D. $\frac{5}{8}$.

Lời giải

Ta có: $n\left( \Omega \right) = C_{12}^4 = 495$

Gọi A: “$4$ quả lấy ra có đủ $3$ màu”

Để chọn ra $4$ quả cầu có đủ cả $3$ màu gồm các trường hợp sau:

TH1: $1$ quả cầu xanh, $1$ quả cầu đỏ, $2$ quả cầu vàng có: $C_4^1.C_3^1.C_5^2$ cách.

TH2: $1$ quả cầu xanh, $2$ quả cầu đỏ, $1$ quả cầu vàng có: $C_4^1.C_3^2.C_5^1$ cách.

TH3: $2$ quả cầu xanh, $1$ quả cầu đỏ, $1$ quả cầu vàng có: $C_4^2.C_3^1.C_5^1$ cách.

$ \Rightarrow n\left( A \right) = C_4^1.C_3^1.C_5^2 + C_4^1.C_3^2.C_5^1 + C_4^2.C_3^1.C_5^1 = 270$

$ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{270}}{{495}} = \frac{6}{{11}}$.

Câu 9: Một hộp chứa $4$ viên bi trắng, $5$ viên bi đỏ và $6$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra $4$ viên bi. Xác suất để $4$ viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ nhiều nhất là

A. $P = \frac{{C_4^1C_5^2C_6^1}}{{C_{15}^4}}$. B. $P = \frac{{C_4^1C_5^3C_6^2}}{{C_{15}^2}}$. C. $P = \frac{{C_4^1C_5^2C_6^1}}{{C_{15}^2}}$. D. $P = \frac{{C_4^1C_5^2C_6^1}}{{C_{15}^2}}$.

Lời giải

Chọn A

Số phần tử không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = C_{15}^4$.

Gọi $A$ là biến cố cần tìm. Khi đó: $n\left( A \right) = C_4^1.C_5^2.C_6^1$ (vì số bi đỏ nhiều nhất là $2$)

Xác suất của biến cố $A$ là $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_4^1.C_5^2.C_6^1}}{{C_{15}^4}}$.

Câu 10. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có $6$ chữ số phân biệt được lấy từ các số $1$,$2$,$3$,$4$,$5$,$6$,$7$,$8$,$9$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$. Xác suất chọn được số chỉ chứa 3 số lẻ là

A. $P = \frac{{16}}{{42}}$. B. $P = \frac{{16}}{{21}}$. C. $P = \frac{{10}}{{21}}$. D. $P = \frac{{23}}{{42}}$.

Lời giải

Chọn C

Số phần tử không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = A_9^6 = 60480$.

(mỗi số tự nhiên $\overline {abcdef} $ thuộc $S$l à một chỉnh hợp chập 6 của 9- số phần tử của $S$ là số chỉnh hợp chập 6 của 9).

Gọi $A$: “số được chọn chỉ chứa $3$ số lẻ”. Ta có: $n\left( A \right) = C_5^3.A_6^3.A_4^3 = 28800$.

(bốc ra 3 số lẻ từ 5 số lẻ đã cho- chọn ra 3 vị trí từ 6 vị trí của số $\overline {abcdef} $ xếp thứ tự 3 số vừa chọn – bốc ra 3 số chẵn từ 4 số chẵn đã cho xếp thứ tự vào 3 vị trí còn lại của số $\overline {abcdef} $)

Khi đó: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{28800}}{{60480}} = \frac{{10}}{{21}}$.

Câu 11. Một nhóm gồm $8$ nam và $7$ nữ. Chọn ngẫu nhiên $5$ bạn. Xác suất để trong $5$ bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là:

A. $\frac{{60}}{{143}}$. B. $\frac{{238}}{{429}}$. C. $\frac{{210}}{{429}}$. D. $\frac{{82}}{{143}}$.

Lời giải

Chọn B

Gọi A là biến cố: “$5$ bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ “

-Không gian mẫu: $\left| \Omega \right| = C_{15}^5$.

-Số cách chọn $5$ bạn trong đó có $4$ nam, $1$ nữ là: $C_8^4.C_7^1.$

– Số cách chọn $5$ bạn trong đó có $3$ nam, $2$ nữ là: $C_8^3.C_7^2.$

$ \Rightarrow n\left( A \right) = C_8^4.C_7^1 + C_8^3.C_7^2 = 1666$

$ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{1666}}{{C_{15}^5}} = \frac{{238}}{{429}}$.

ĐÁNH GIÁ TỔNG QUAN
Chuyên Đề Đại Số Tổ Hợp Xác Suất Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT
Bài trướcChuyên Đề Dãy Số Cấp Số Cộng Cấp Số Nhân Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT
Bài tiếp theoPhân Phối Chương Trình Khoa Học Tự Nhiên 8 Kết Nối Tri Thức
chuyen-de-dai-so-to-hop-xac-suat-on-thi-tot-nghiep-thptChuyên đề Đại số tổ hợp Xác suất ôn thi tốt nghiệp THPT rất hay. Các bạn tham khảo và ôn tập để chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp sắp đến.
Nhận thông báo qua email
Thông báo cho
guest

0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments