Chuyên đề số phức liên hợp luyện thi tốt nghiệp THPT có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 18 của đề tham khảo môn Toán.
SỐ PHỨC LIÊN HỢP
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Định nghĩa số phức
Định nghĩa:
Một số phức là một biểu thức dạng $z = a + bi$ với $a,b \in \mathbb{R}$ và ${i^2} = – 1$, trong đó: $i$ được gọi là đơn vị ảo, $a$ được gọi là phần thực và $b$ được gọi là phần ảo của số phức .
$z = a + bi$
Tập hợp các số phức được kí hiệu là $\mathbb{C}$ tức là $\mathbb{C} = \left\{ {a + bi/a,b \in \mathbb{R};{i^2} = – 1} \right\}$.
Chú ý:
– Khi phần ảo $b = 0 \Leftrightarrow z = a$ là số thực.
– Khi phần thực $a = 0 \Leftrightarrow z = bi \Leftrightarrow z$ là số thuần ảo.
– Số $0 = 0 + 0i$ vừa là số thực, vừa là số ảo.
Hai số phức bằng nhau: $a + bi = c + di \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = c}\\{b = d}\end{array}} \right.$ với $a,b,c,d \in \mathbb{R}$.
Hai số phức ${z_1} = a + bi;{\rm{ }}{z_2} = – a – bi$ được gọi là hai số phức đối nhau.
2. Số phức liên hợp.
Số phức liên hợp của $z = a + bi$ với $a,b \in \mathbb{R}$ là $a – bi$ và được kí hiệu bởi $\overline z $ . Rõ ràng $\overline {\overline z } = z$
3. Biểu diễn hình học.
Trong mặt phẳng phức $Oxy$ ($Ox$ là trục thực, $Oy$ là trục ảo ), số phức $z = a + bi$ với $a,b \in \mathbb{R}$ được biểu diễn bằng điểm $M\left( {a;b} \right)$.
4. Mô đun của số phức.
Môđun của số phức $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ là $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $.
5. Các phép toán trên tập số phức.
Cho hai số phức: $z = a + bi$; $z’ = a’ + b’i{\rm{ }}$với $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$và số $k \in \mathbb{R}$.
Tổng hai số phức: $z + z’ = a + a’ + (b + b’)i$.
Hiệu hai số phức: $z – z’ = a – a’ + (b – b’)i{\rm{ }}{\rm{.}}$
Nhân hai số phức: $z.z’ = \left( {a + bi} \right)\left( {a’ + b’i} \right) = \left( {a.a’ – b.b’} \right) + \left( {a.b’ + a’.b} \right)i$.
Nếu $z \ne 0$ thì $\frac{{z’}}{z} = \frac{{z’.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}$, nghĩa là nếu muốn chia số phức $z’$cho số phức $z \ne 0$ thì ta nhân cả tử và mẫu của thương $\frac{{z’}}{z}$cho $\overline z $.
6. Căn bậc 2 của số thực âm.
Căn bậc hai của số thực $a$ âm là $ \pm i\sqrt {\left| a \right|} $.
7. Giải phương trình bậc 2 trên tập số phức.
Cho phương trình bậc 2: $a{z^2} + bz + c = 0{\rm{ }}(1)$ Trong đó $a$,$b$,$c$ là những số thực và $a \ne 0$.
Xét biệt thức .
Nếu $\Delta > 0$thì phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt:.
Nếu $\Delta < 0$thì phương trình (1) có 2 nghiệm phức phân biệt:.
Nếu $\Delta = 0$thì phương trình (1) có nghiệm kép: .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Thực hiện các phép toán.
Tìm phần thực, phần ảo.
Số phức liên hợp.
Tính mô đun của số phức.
Phương trình bậc nhất theo z (và liên hợp của z).
Hỏi tổng hợp về các khái niệm.
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA – BDG 2020 – 2021) Số phức liên hợp của số phức $z = 3 + 2i$ là
A. $\bar z = 3 – 2i$. B. $\bar z = 2 + 3i$. C. $\bar z = – 3 + 2i$. D. $\bar z = – 3 – 2i$.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định số phức liên hợp khi đã biết số phức..
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Số phức $z$có dạng: $z = a + bi$.
B2: Số phức liên hợp của số phức $z$có dạng:$\bar z = a – bi$.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Số phức $z = 3 + 2i$ có số phức liên hợp là $\bar z = 3 – 2i$.
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 1
Câu 1. Tìm số phức liên hợp của số phức $z = – i$.
A. $\bar z = i$. B. $\bar z = 1$. C. $\bar z = – i$. D. $\bar z = – 1$.
Lời giải
Chọn A
Câu 2. Cho số phức $z = – 2 + 3i$. Số phức liên hợp của $z$ là?
A. $\bar z = \sqrt {13} $. B. $\bar z = 2 – 3i$. C. $\bar z = 3 – 2i$. D. $\bar z = – 2 – 3i$.
Lời giải
Chọn D
$\bar z = – 2 – 3i$.
Câu 3. Số phức $z$ thỏa mãn $\overline z = – 3 – 2i$ là
A. $z = – 3 – 2i$ B. $z = – 3 + 2i$ C. $z = 3 – 2i$ D. $z = 3 + 2i$
Lời giải
Chọn B
Ta có $\overline z = – 3 – 2i$ suy ra $z = – 3 + 2i$.
Câu 4. Tìm số phức liên hợp của số phức $z = \left( {2 + i} \right)\left( { – 3i} \right).$
A. $\bar z = 3 – 6i$. B. $\bar z = 3 + 6i$. C. $\bar z = – 3 + 6i$. D. $\bar z = – 3 – 6i$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: $z = \left( {2 + i} \right)\left( { – 3i} \right) = 3 – 6i$$ \Rightarrow \bar z = 3 + 6i$.
Câu 5. Tìm số phức liên hợp của số phức $z = \left( {2 – 3i} \right)\left( {3 + 2i} \right)$.
A. $\overline z = 12 – 5i$. B. $\overline z = – 12 + 5i$. C. $\overline z = – 12 – 5i$. D. $\overline z = 12 + 5i$.
Lời giải:
Chọn D
Ta có $z = \left( {2 – 3i} \right)\left( {3 + 2i} \right)$$ = 6 – 5i – 6{i^2} = 12 – 5i$$ \Rightarrow \overline z = 12 + 5i$.
Câu 6. Tìm số phức liên hợp của số phức $z = 3\left( {2 + 3i} \right) – 4\left( {2i – 1} \right)$.
A. $10 + i$. B. $ – 10 – i$. C. $1 – 10i$. D. $10 – i$.
Lời giải:
Chọn D
Ta có: $z = 3(2 + 3i) – 4(2i – 1) = 6 + 9i – 8i + 4 = 10 + i \Rightarrow \overline z = 10 – i$.
Câu 7. Tìm số phức liên hợp của số phức $z$ biết $z = i.z + 2$.
A. $1 – i$. B. $ – 1 + i$. C. $ – 1 – i$. D. $1 + i$.
Lời giải:
Chọn A
Ta có $z = i.z + 2 \Leftrightarrow z = \frac{2}{{1 – i}} = \frac{{2\left( {1 + i} \right)}}{2} = 1 + i$. Vậy $\bar z = 1 – i$.
Câu 8. Cho các số phức ${z_1} = 2 + 3i$, ${z_2} = 4 + 5i$. Số phức liên hợp của số phức $w = 2\left( {{z_1} + {z_2}} \right)$ là
A. $\bar w = 28i$. B. $\bar w = 8 + 10i$. C. $\bar w = 12 – 16i$. D. $\bar w = 12 + 8i$.
Lời giải:
Chọn C
Ta có $w = 2\left( {6 + 8i} \right) = 12 + 16i \Rightarrow \bar w = 12 – 16i$.
Câu 9. Kí hiệu $a,b$ lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức $z = – 4 – 3i$. Tìm $a,b$.
A. $a = 4$, $b = 3$. B. $a = – 4$, $b = – 3i$. C. $a = – 4$, $b = 3$. D. $a = – 4$, $b = – 3$.
Lời giải:
Chọn D
Câu 10. Cho điểm $M$ là điểm biểu diễn của số phức $z$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $z$.
A. Phần thực là $3$ và phần ảo là $ – 4$. B. Phần thực là $ – 4$ và phần ảo là $3i$.
C. Phần thực là $3$ và phần ảo là $ – 4i$. D. Phần thực là $ – 4$ và phần ảo là $3$.
Lời giải:
Chọn D
Câu 11. Cho số phức $z$ có số phức liên hợp $\bar z = 3 – 2i$. Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z$ bằng.
A. $ – 1$. B. $1$. C. $ – 5$. D. $5$.
Lời giải:
Chọn D
Ta có: $z = 3 + 2i$. Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức $z$ bằng $5$.
Câu 12. Cho số phức $z = 3 – 2i$. Tìm phần ảo của của số phức liên hợp $z$.
A. $ – 2i$. B. $ – 2$. C. $2$. D. $2i$.
Lời giải:
Chọn C
Ta có: $\overline z = 3 + 2i \Rightarrow $ phần ảo của $\overline z $ là $2$.
Câu 13. Cho số phức ${z_1} = 1 + 2i$ và ${z_2} = 2 – 3i$. Phần thực và phần ảo của số phức ${z_1} – 2{z_2}$ là.
A. Phần thực là $ – 3$ và phần ảo là $8i$. B. Phần thực là $ – 3$ và phần ảo là $8$.
C. Phần thực là $ – 3$ và phần ảo là $ – 8$. D. Phần thực là $3$ và phần ảo là $8$.
Lời giải:
Chọn B
Ta có: ${z_1} – 2{z_2} = 1 + 2i – 2\left( {2 – 3i} \right) = – 3 + 8i$. Vậy phần thực của ${z_1} – 2{z_2}$là $ – 3$ và phần ảo là $8$.
Câu 14. Cho số phức $z = 1 – \sqrt 2 i$. Tìm phần ảo của số phức $P = \frac{1}{{\overline z }}$.
A. $ – \sqrt 2 $. B. $ – \sqrt 2 $. C. $ – \frac{{\sqrt 2 }}{3}$. D. $ – \frac{{\sqrt 2 }}{3}$.
Lời giải:
Chọn C
Ta có: $P = \frac{1}{{\overline z }} = \frac{1}{{1 + i\sqrt 2 }} = \frac{{1 – i\sqrt 2 }}{{{1^2} + {{\sqrt 2 }^2}}} = \frac{{1 – i\sqrt 2 }}{3} = \frac{1}{3} – \frac{{\sqrt 2 }}{3}i$.
Mức độ 2
Câu 1. Cho số phức $z$ thoả mãn $\frac{z}{{3 + 2i}} = 1 – i$ Số phức liên hợp $\bar z$ là.
A. $\bar z = 5 + i$. B. $\bar z = – 5 – i$. C. $\bar z = – 1 – 5i$. D. $\bar z = – 1 + 5i$.
Lời giải
Chọn A
$z = \left( {3 + 2i} \right)\left( {1 – i} \right) = 5 – i$.
Số phức liên hợp $\bar z = 5 + i$.
Câu 2. Tìm số phức liên hợp của số phức $z = \left( {2 + i} \right)\left( { – 1 + i} \right){\left( {2i + 1} \right)^2}$.
A. $\bar z = 5 + 15i$. B. $\bar z = 5 + 5i$. C. $\bar z = 1 + 3i$. D. $\bar z = 5 – 15i$.
Lời giải:
Chọn A
$z = (2 + i)( – 1 + i){(2i + 1)^2} = \left( { – 3 + i} \right)\left( { – 3 + 4i} \right) = 5 – 15i$$ \Rightarrow \bar z = 5 + 15i$.
Câu 3. Số phức liên hợp của số phức $z = \frac{{{{\left( {1 – \sqrt 3 i} \right)}^3}}}{{1 – i}}$ là
A. $\overline z = – 4 + 4i$. B. $\overline z = 4 – 4i$. C. $\overline z = – 4 – 4i$. D. $\overline z = 4 + 4i$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: $z = \frac{{{{\left( {1 – \sqrt 3 i} \right)}^3}}}{{1 – i}}$$ = \frac{{{{\left( {1 – \sqrt 3 i} \right)}^3}\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {1 – i} \right)\left( {1 + i} \right)}}$$ = – 4 – 4i$. Suy ra $\overline z = – 4 + 4i$.
Câu 4. Tìm số phức $\bar z$ thỏa mãn $\frac{{2 + i}}{{1 – i}}z = \frac{{ – 1 + 3i}}{{2 + i}}$.
A. $ – \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i$. B. $\frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i$. C. $\frac{{22}}{{25}} – \frac{4}{{25}}i$. D. $\frac{{22}}{{25}}i + \frac{4}{{25}}$.
Lời giải
Chọn C
Dùng máy tính: $z = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i$. Vậy $\bar z = \frac{{22}}{{25}} – \frac{4}{{25}}i$.
Câu 5. Cho hai số phức $z = 1 + 3i$, $w = 2 – i$. Tìm phần ảo của số phức $u = \overline z .w$.
A. $5$. B. $ – 7i$. C. $ – 7$. D. $5i$.
Lời giải.
Chọn C
$\overline z = 1 – 3i$; $u = \overline z .{\rm{w}} = \left( {1 – 3i} \right)\left( {2 – i} \right) = – 1 – 7i$.
Vậy phần ảo của số phức $u$ bằng $ – 7$.
Câu 6. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {3 + 2i} \right)z = 7 + 5i$. Số phức liên hợp $\overline z $ của số phức $z$ là
A. $\overline z = \frac{{31}}{5} – \frac{1}{5}i$. B. $\overline z = \frac{{31}}{{13}} – \frac{1}{{13}}i$. C. $\overline z = – \frac{{31}}{{13}} + \frac{1}{{13}}i$. D. $\overline z = – \frac{{31}}{5} + \frac{1}{5}i$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: $\left( {3 + 2i} \right)z = 7 + 5i$$ \Rightarrow z = \frac{{7 + 5i}}{{3 + 2i}} = \frac{{31}}{{13}} + \frac{1}{{13}}i$.
Vậy $\overline z = \frac{{31}}{{13}} – \frac{1}{{13}}i$.
Câu 7. Cho số phức $z$ thỏa mãn: $\left( {1 + i} \right)z = 14 – 2i$. Tổng phần thực và phần ảo của $\bar z$ bằng:
A. $ – 4$. B. $14$. C. $4$. D. $ – 14$.
Lời giải.
Chọn B
Ta có: $\left( {1 + i} \right)z = 14 – 2i \Leftrightarrow z = \frac{{14 – 2i}}{{1 + i}} = 6 – 8i \Rightarrow \bar z = 6 + 8i$
Vậy tổng phần thực phần ảo của $\bar z$ là $14$.
Câu 8. Cho số phức $z$ thỏa mãn: $(3 + 2i)z + {(2 – i)^2} = 4 + i$. Hiệu phần thực và phần ảo của số phức $z$ là:
A. $0$ B. $2$ C. $1$ D. $3$.
Lời giải.
Chọn A
Ta có :
$(3 + 2i)z + {(2 – i)^2} = 4 + i$$ \Leftrightarrow (3 + 2i)z = 4 + i – {\left( {2 – i} \right)^2}$$ \Leftrightarrow (3 + 2i)z = 1 + 5i$$ \Leftrightarrow z = \frac{{1 + 5i}}{{3 + 2i}}$$ \Leftrightarrow z = 1 + i$
$ \Rightarrow $ phần thực của số phức $z$ là $a = 1$, phần ảo của số phức $z$ là $b = 1$.
Vậy $a – b = 0$.
Câu 9. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {4 + 7i} \right)z – \left( {5 – 2i} \right) = 6iz$. Tìm phần ảo của số phức $z$?
A. $\frac{{18}}{{17}}$. B. $ – \frac{{18}}{{17}}$. C. $ – \frac{{13}}{{17}}$. D. $\frac{{13}}{{17}}$.
Lời giải:
Chọn C
$\left( {4 + 7i} \right)z – \left( {5 – 2i} \right) = 6iz \Leftrightarrow \left( {4 + i} \right)z = 5 – 2i \Leftrightarrow z = \frac{{5 – 2i}}{{4 + i}} = \frac{{\left( {5 – 2i} \right)\left( {4 – i} \right)}}{{\left( {4 + i} \right)\left( {4 – i} \right)}} = \frac{{18 – 13i}}{{17}} = \frac{{18}}{{17}} – \frac{{13}}{{17}}i$.
Câu 10. Cho số phức $z = 1 + 2i$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $w = 2z + \bar z$.
A. Phần thực là $2$ và phần ảo là $3$. B. Phần thực là $3$ và phần ảo là $2i$.
C. Phần thực là $2i$ và phần ảo là $3$. D. Phần thực là $3$ và phần ảo là $2$.
Lời giải:
Chọn D
$w = 2z + \bar z = 2\left( {1 + 2i} \right) + \left( {1 – 2i} \right) = 3 + 2i$. Phần thực là $3$ và phần ảo là $2$.
Câu 11. Cho số phức $z = a + bi$. Số phức ${z^2}$ có phần ảo là?
A.$2ab$. B. ${a^2}{b^2}$. C. ${a^2} – {b^2}$. D. $2abi$.
Lời giải.
Chọn A
Ta có : ${z^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi$. Phần ảo của ${z^2}$ là $2ab$.
Câu 12. Gọi ${z_1}$; ${z_2}$ là các nghiệm của phương trình ${z^2} – 3z + 5 = 0$. Mô đun của số phức $\left( {2\overline {{z_1}} – 3} \right)\left( {2\overline {{z_2}} – 3} \right)$ bằng
A. $7$. B. $11$. C. $29$. D. $1$.
Lời giải.
Chọn B
Phương trình ${z^2} – 3z + 5 = 0$ có nghiệm là $z = \frac{3}{2} \pm \frac{{\sqrt {11} }}{2}i$
Không mất tính tổng quát, giả sử: ${z_1} = \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {11} }}{2}i$ và ${z_2} = \frac{3}{2} – \frac{{\sqrt {11} }}{2}i$
Ta có: $\left( {2\overline {{z_1}} – 3} \right)\left( {2\overline {{z_2}} – 3} \right) = \left( {3 – i\sqrt {11} – 3} \right)\left( {3 + i\sqrt {11} – 3} \right) = \left( { – i\sqrt {11} } \right) \cdot i\sqrt {11} = – 11{i^2} = 11$
Vậy mô đun của số phức $\left( {2\overline {{z_1}} – 3} \right)\left( {2\overline {{z_2}} – 3} \right)$ bằng $11$.
Mức độ 3
Câu 1. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa $\left| {\frac{{z + 1}}{{i – z}}} \right| = 1$ và $\left| {\frac{{z – i}}{{2 + z}}} \right| = 1?$
A. 1. B. 2. C. 3. D. $y = 2$.
Lời giải:
Chọn A
Đặt $z = x + yi$ với $x,y \in \mathbb{R}$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {\frac{{z + 1}}{{i – z}}} \right| = 1\\\left| {\frac{{z – i}}{{2 + z}}} \right| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {z + 1} \right| = \left| {i – z} \right|\\\left| {z – i} \right| = \left| {2 + z} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 1 + yi} \right| = \left| { – x + \left( {1 – y} \right)i} \right|\\\left| {x + \left( {y – 1} \right)i} \right| = \left| {x + 2 + yi} \right|\end{array} \right.$.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( { – x} \right)}^2} + {{\left( {1 – y} \right)}^2}} \\\sqrt {{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – y\\4x + 2y = – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{3}{2}\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow z = – \frac{3}{2} + \frac{3}{2}i.$
Câu 2. Cho số phức $z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 – i}}} \right)^m},\,$$m$ nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị $m \in \left[ {1;50} \right]$ để $z$ là số thuần ảo?
A. 24. B. 26. C. 25. D. 50.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 – i}}} \right)^m} = {(2i)^m} = {2^m}.{i^m}\,$
$z$ là số thuần ảo khi và chỉ khi $m = 2k + 1,\,\,k \in \mathbb{N}$ (do $z \ne 0;{\rm{ }}\forall m \in {\mathbb{N}^*}$).
Vậy có 25 giá trị $m$ thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 3. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left( {1 + i} \right)z + \overline z $ là số thuần ảo và $\left| {z – 2i} \right| = 1$.
A. $2$. B. $1$. C. $0$. D. Vô số.
Lời giải
Chọn A
Đặt $z = a + bi$ với $a,b \in \mathbb{R}$ ta có : ${z^2} = {x^2} – {y^2} + 2xy{\rm{i}}$$ = \left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + a – bi$$ = 2a – b + ai$.
Mà $\left( {1 + i} \right)z + \overline z $ là số thuần ảo nên $2a – b = 0$$ \Leftrightarrow b = 2a$.
Mặt khác $\left| {z – 2i} \right| = 1$ nên ${a^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} = 1$$ \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {2a – 2} \right)^2} = 1$$ \Leftrightarrow 5{a^2} – 8a + 3 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = \frac{3}{5}\end{array} \right.$.
Câu 4. Cho số phức $z = {\left( {\frac{{1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}}} \right)^3}$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $\bar z$?
A. Phần thực bằng $2$ và phần ảo bằng $2i$. B. Phần thực bằng $2$ và phần ảo bằng $2$.
C. Phần thực bằng $2$ và phần ảo bằng $ – 2i$. D. Phần thực bằng $2$ và phần ảo bằng $ – 2$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $z = {\left( {\frac{{1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}}} \right)^3} = \frac{{{{\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)}^3}}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^3}}} = \frac{{ – 8}}{{ – 2 + 2i}} = 2 + 2i \Rightarrow \bar z = 2 – 2i$.
Câu 5. Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left( {3 + 2i} \right)z + {\left( {2 – i} \right)^2} = 4 + i.$ Tìm phần ảo của số phức $w = \left( {1 + z} \right)\bar z$.
A. $ – 1$. B. $0$. C. $ – i$. D. $ – 2$.
Lời giải:
Chọn A
Ta có $\left( {3 + 2i} \right)z + {\left( {2 – i} \right)^2} = 4 + i$ $ \Leftrightarrow $ $z = 1 + i$.
Do đó $w = \left( {1 + z} \right)\bar z = \left( {2 + i} \right)\left( {1 – i} \right) = 3 – i$ $ \Rightarrow $ phần ảo của số phức $w = – 1$.
Câu 6. Tìm phần ảo của số phức $z$ thỏa mãn $z + 2\overline z = {\left( {2 – i} \right)^3}\left( {1 – i} \right)$.
A. $ – 9$. B. $13$. C. $ – 13$. D. $9$.
Lời giải:
Chọn B
Ta có $z + 2\overline z = {\left( {2 – i} \right)^3}\left( {1 – i} \right) \Leftrightarrow z + 2\overline z = – 9 – 13i$.
Đặt $z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)$. Khi đó $\left( {a + bi} \right) + 2\left( {a – bi} \right) = – 9 – 13i \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a = – 9}\\{ – b = – 13}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = – 3}\\{b = 13}\end{array}} \right.$.
Câu 7. Nếu số phức $z \ne 1$ thoả mãn $\left| z \right| = 1$ thì phần thực của $\frac{1}{{1 – z}}$ bằng:
A. $1$. B. $\frac{1}{2}$. C. $2$. D. $4$.
Lời giải:
Chọn B
$z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$, $\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1$.
$\frac{1}{{1 – z}} = \frac{1}{{1 – x – yi}} = \frac{{1 – x}}{{{{\left( {1 – x} \right)}^2} + {y^2}}} + \frac{y}{{{{\left( {1 – x} \right)}^2} + {y^2}}}i$ có phần thực là.
$\frac{{1 – x}}{{{{\left( {1 – x} \right)}^2} + {y^2}}} = \frac{{1 – x}}{{1 – 2x + {x^2} + {y^2}}} = \frac{{1 – x}}{{2 – 2x}} = \frac{1}{2}$.
Câu 8. Cho hai số phức ${z_1}$, ${z_2}$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = 1$, $\left| {{z_2}} \right| = 2$ và $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3$. Giá trị của $\left| {{z_1} – {z_2}} \right|$ là:
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. một giá trị khác.
Lời giải:
Chọn B
Giả sử ${z_1} = {a_1} + {b_1}i,\,\,\,\,\left( {{a_1},\,\,{b_1} \in \mathbb{R}} \right)$, ${z_2} = {a_2} + {b_2}i,\,\,\,\,\left( {{a_2},\,\,{b_2} \in \mathbb{R}} \right)$.
Theo bài ra ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = 1\\\left| {{z_2}} \right| = 2\\\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a_1^2 + b_1^2 = 1\\a_2^2 + b_2^2 = 4\\{\left( {{a_1} + {a_2}} \right)^2} + {\left( {{b_1} + {b_2}} \right)^2} = 9\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a_1^2 + b_1^2 = 1\\a_2^2 + b_2^2 = 4\\2{a_1}{a_2} + 2{b_1}{b_2} = 4\end{array} \right.$.
Khi đó, ta có:
$\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{a_1} – {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} – {b_2}} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {\left( {a_1^2 + b_1^2} \right) + \left( {a_2^2 + b_2^2} \right) – \left( {2{a_1}{a_2} + 2{b_1}{b_2}} \right)} $ $ = 1$.
Vậy $\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1$.
Câu 9. Cho $2$ số phức ${z_1}$, ${z_2}$ thỏa $\left| {{z_1}} \right| = 1$, $\left| {{z_2}} \right| = 1$,$\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 3 $. Khi đó $\left| {{z_1} – {z_2}} \right|$ bằng:
A. $2$. B. $\sqrt 3 $. C. $2 – \sqrt 3 $. D. $1$.
Lời giải:
Chọn D
Giả sử ${z_1} = a + bi$, ${z_2} = c + di$ với $a$, $b$, $c$, $d \in \mathbb{R}$.
Ta có $\left| {{z_1}} \right| = 1$$ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 1$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1$.
$\left| {{z_2}} \right| = 1$$ \Leftrightarrow \sqrt {{c^2} + {d^2}} = 1$$ \Leftrightarrow {c^2} + {d^2} = 1$.
$\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 3 $$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} = \sqrt 3 $$ \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} + 2ac + {b^2} + {d^2} + 2bd = 3$
$ \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} + {b^2} + {d^2} + 2bd + 2ac = 3$$ \Leftrightarrow 2bd + 2ac = 1$.
Khi đó $\left| {{z_1} – {z_2}} \right|$$ = \sqrt {{{\left( {a – c} \right)}^2} + {{\left( {b – d} \right)}^2}} $$ = \sqrt {{a^2} + {c^2} + {b^2} + {d^2} – 2bd – 2ac} $$ = 1$.
Câu 10. Cho số phức $z = a + bi$ $\left( {a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $z + 1 + 3i – \left| z \right|i = 0$. Tính $S = a + 3b$.
A. $S = \frac{7}{3}$. B. $S = – 5$. C. $S = 5$. D. $S = – \frac{7}{3}$.
Lời giải:
Chọn B
Ta có $z + 1 + 3i – \left| z \right|i = 0$$ \Leftrightarrow a + bi + 1 + 3i – i\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0$
$ \Leftrightarrow a + 1 + \left( {b + 3 – \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)i = 0$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 0\\b + 3 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\\left\{ \begin{array}{l}b \ge – 3\\{\left( {b + 3} \right)^2} = 1 + {b^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = – \frac{4}{3}\end{array} \right.$$ \Rightarrow S = – 5$.
Câu 11. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + 1 – 3i} \right| = 3\sqrt 2 $ và ${\left( {z + 2i} \right)^2}$ là số thuần ảo?
A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $4$.
Lời giải:
Chọn C
Gọi $z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$, khi đó
$\left| {z + 1 – 3i} \right| = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 18\,\,\,\,\left( 1 \right)$.
${\left( {z + 2i} \right)^2} = {\left[ {x + \left( {y + 2} \right)i} \right]^2} = {x^2} – {\left( {y + 2} \right)^2} + 2x\left( {y + 2} \right)i$.
Theo giả thiết ta có ${x^2} – {\left( {y + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + 2\\x = – \left( {y + 2} \right)\end{array} \right.$.
Trường hợp 1: $x = y + 2$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được phương trình $2{y^2} = 0$
và giải ra nghiệm $y = 0$, ta được $1$ số phức ${z_1} = 2$.
Trường hợp 2: $x = – \left( {y + 2} \right)$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được phương trình $2{y^2} – 4y – 8 = 0$
và giải ra ta được $\left[ \begin{array}{l}y = 1 + \sqrt 5 \\y = 1 – \sqrt 5 \end{array} \right.$, ta được $2$ số phức $\left[ \begin{array}{l}{z_2} = – 3 – \sqrt 5 + \left( {1 + \sqrt 5 } \right)i\\{z_3} = – 3 + \sqrt 5 + \left( {1 – \sqrt 5 } \right)i\end{array} \right.$.
Vậy có $3$ số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 12. Cho số phức $z$thỏa $\bar z = \frac{{{{\left( {1 – i\sqrt 3 } \right)}^3}}}{{1 – i}}$. Môđun của số phức $\bar z + iz$ bằng.
A. $8\sqrt 2 $. B. $2\sqrt 2 $. C. $4\sqrt 2 $. D. $\sqrt 2 $.
Lời giải:
Chọn A
$\bar z = – 4 – 4i \Rightarrow \bar z + iz = – 8 – 8i \Rightarrow \left| {\bar z + iz} \right| = 8\sqrt 2 $.
Câu 13. Cho số phức $z$ thỏa điều kiện $\frac{{1 + 5i}}{{1 + i}}z + \bar z = 10 – 4i$. Tính môđun của số phức $w = 1 + iz + {z^2}$.
A. $\left| w \right| = 5$. B. $\left| w \right| = \sqrt {47} $. C. $\left| w \right| = 6$. D. $\left| w \right| = \sqrt {41} $.
Lời giải:
Chọn D
Gọi $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$.
Khi đó $\frac{{1 + 5i}}{{1 + i}}z + \bar z = 10 – 4i \Leftrightarrow \left( {1 + 5i} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {1 + i} \right)\left( {a – bi} \right) = \left( {10 – 4i} \right)\left( {1 + i} \right)$.
$ \Leftrightarrow \left( {2a – 4b – 14} \right) + \left( {6a – 6} \right)i = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\b = – 3\end{array} \right. \Rightarrow z = 1 – 3i$.
suy ra $w = 1 + i\left( {1 – 3i} \right) + {\left( {1 – 3i} \right)^2} = – 4 – 5i$.
vậy $\left| w \right| = \sqrt {41} $.
Câu 14. Biết số phức $z$ có phần ảo khác $0$ và thỏa mãn $\left| {z – \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} $ và $z.\bar z = 25$. Điểm nào sau đây biểu diễn số phức $z$ trên?
A. $P\left( {4;{\rm{ }} – 3} \right)$ B. $N\left( {3;{\rm{ }} – 4} \right)$ C. $M\left( {3;{\rm{ }}4} \right)$ D. $Q\left( {4;{\rm{ }}3} \right)$
Lời giải:
Chọn C
Giả sử $z = x + yi$ $\left( {x,y \in \mathbb{R},{\rm{ }}y \ne 0} \right)$.
Ta có $\left| {z – \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} $$ \Leftrightarrow \left| {x + yi – \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} $
$ \Leftrightarrow \left| {\left( {x – 2} \right) + \left( {y – 1} \right)i} \right| = \sqrt {10} $$ \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 10$$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} – 4x – 2y = 5$.
Lại có $z.\bar z = 25$$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 25$ nên $25 – 4x – 2y = 5$$ \Leftrightarrow 2x + y = 10$$ \Leftrightarrow y = 10 – 2x$
$ \Rightarrow {x^2} + {\left( {10 – 2x} \right)^2} = 25$$ \Leftrightarrow 5{x^2} – 40x + 75 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 3\end{array} \right.$.
+ Với $x = 5 \Rightarrow y = 0$, không thỏa mãn vì $y \ne 0$.
+ Với $x = 3 \Rightarrow y = 4$, thỏa mãn $y \ne 0$$ \Rightarrow z = 3 + 4i$.
Do đó điểm $M\left( {3;{\rm{ }}4} \right)$ biểu diễn số phức $z$.
Câu 15. Cho số phức $z = a + bi$ $\left( {a,b \in \mathbb{R},a > 0} \right)$ thỏa mãn $\left| {z – 1 + 2i} \right| = 5$ và $z.\bar z = 10$. Tính $P = a – b$.
A. $P = 4$ B. $P = – 4$ C. $P = – 2$ D. $P = 2$
Lời giải:
Chọn C
Từ giả thiết $\left| {z – 1 + 2i} \right| = 5$ và $z.\bar z = 10$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a – 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = 25\\{a^2} + {b^2} = 10\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a – 2b = – 5\\{a^2} + {b^2} = 10\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b – 5\\{\left( {2b – 5} \right)^2} + {b^2} = 10\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 3\\b = 1\end{array} \right.$(loại) hay $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right.$. Vậy $P = – 2$.
Câu 16. Số phức $z = a + bi$ ( với $a$, $b$ là số nguyên) thỏa mãn $\left( {1 – 3i} \right)z$ là số thực và $\left| {\overline z – 2 + 5i} \right| = 1$. Khi đó $a + b$ là
A. $9$ B. $8$ C. $6$ D. $7$
Lời giải:
Chọn B
Ta có: $\left( {1 – 3i} \right)z$$ = \left( {1 – 3i} \right)\left( {a + bi} \right)$$ = a + 3b + \left( {b – 3a} \right)i$.
Vì $\left( {1 – 3i} \right)z$ là số thực nên $b – 3a = 0$$ \Rightarrow b = 3a$ $\left( 1 \right)$.
$\left| {\overline z – 2 + 5i} \right| = 1$$ \Leftrightarrow \left| {a – 2 + \left( {5 – b} \right)i} \right| = 1$$ \Leftrightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {5 – b} \right)^2} = 1$ $\left( 2 \right)$.
Thế $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$ ta có: ${\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {5 – 3a} \right)^2} = 1$$ \Leftrightarrow 10{a^2} – 34a + 28 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2 \Rightarrow b = 6\\a = \frac{7}{5}{\rm{ (}}loa\”i i)\end{array} \right.$.
Vậy $a + b = 2 + 6 = 8$.
Mức độ 4
Câu 1. Cho số phức $w = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + … + {\left( {1 + i} \right)^{20}}$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $\bar w$.
A. Phần thực bằng $ – {2^{10}}$ và phần ảo bằng $\left( {1 + {2^{10}}} \right)$.
B. Phần thực bằng $ – {2^{10}}$ và phần ảo bằng $ – \left( {1 + {2^{10}}} \right)$.
C. Phần thực bằng ${2^{10}}$ và phần ảo bằng $\left( {1 + {2^{10}}} \right)$.
D. Phần thực bằng ${2^{10}}$ và phần ảo bằng $ – \left( {1 + {2^{10}}} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có ${\left( {1 + i} \right)^{20}} = {\left( {2i} \right)^{10}} = – {2^{10}} \Rightarrow {\left( {1 + i} \right)^{21}} = – {2^{10}} – {2^{10}}i$.
Suy ra $w = \frac{{\left[ {1 – {{\left( {1 + i} \right)}^{21}}} \right]}}{{ – i}} = \frac{{1 + {2^{10}}}}{{ – i}} + \frac{{{2^{10}}i}}{{ – i}} = – {2^{10}} + \left( {1 + {2^{10}}} \right)i \Rightarrow \bar w = – {2^{10}} – \left( {1 + {2^{10}}} \right)i$.
Vậy $\bar w$ có phần thực bằng $ – {2^{10}}$ và phần ảo bằng $ – \left( {1 + {2^{10}}} \right)$.
Câu 2. Cho số phức $z \ne 0$ thỏa mãn $\frac{{iz – \left( {3i + 1} \right)\overline z }}{{1 + i}} = {\left| z \right|^2}$. Số phức $w = \frac{{13}}{3}iz$ có môđun bằng:
A. $26$. B. $\sqrt {26} $. C. $\frac{{3\sqrt {26} }}{2}$. D. $13$.
Lời giải
Chọn C
Gọi $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$. Suy ra $\overline z = a – bi$.
Ta có $\frac{{iz – \left( {3i + 1} \right)\overline z }}{{1 + i}} = {\left| z \right|^2} \Leftrightarrow \frac{{i\left( {a + bi} \right) – \left( {3i + 1} \right)\left( {a – bi} \right)}}{{1 + i}} = {a^2} + {b^2}$
$ \Leftrightarrow ai – b – 3ai – 3b – a + bi = {a^2} + {b^2} + {a^2}i + {b^2}i$
$ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2} + 2a – b} \right)i + \left( {{a^2} + {b^2} + 4b + a} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 2a – b = 0\\{a^2} + {b^2} + a + 4b = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}26{b^2} + 9b = 0\\a = 5b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0,a = 0\\b = \frac{{ – 9}}{{26}},a = \frac{{ – 45}}{{26}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = \frac{{ – 45}}{{26}}i – \frac{9}{{26}}\end{array} \right.$$ \Rightarrow z = \frac{{ – 45}}{{26}}i – \frac{9}{{26}}$ (Vì $z \ne 0$).
Với $z = \frac{{ – 45}}{{26}}i – \frac{9}{{26}} \Rightarrow {\rm{w}} = \frac{{15}}{2} – \frac{3}{2}i \Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \frac{{3\sqrt {26} }}{2}$.
Câu 3. Cho hai số phức $z$, $w$ thỏa mãn $\left| {z + 2w} \right| = 3$, $\left| {2z + 3w} \right| = 6$ và $\left| {z + 4w} \right| = 7$. Tính giá trị của biểu thức $P = z.\overline w + \overline z .w$.
A. $P = – 14i$. B. $P = – 28i$. C. $P = – 14$. D. $P = – 28$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $\left| {z + 2w} \right| = 3$$ \Leftrightarrow {\left| {z + 2w} \right|^2} = 9$$ \Leftrightarrow \left( {z + 2w} \right).\left( {\overline {z + 2w} } \right) = 9$$ \Leftrightarrow \left( {z + 2w} \right).\left( {\overline z + 2\overline w } \right) = 9$
$ \Leftrightarrow z.\overline z + 2\left( {z.\overline w + \overline z .w} \right) + 4w.\overline w = 9$$ \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} + 2P + 4{\left| w \right|^2} = 9$ $\left( 1 \right)$.
Tương tự:
$\left| {2z + 3w} \right| = 6$$ \Leftrightarrow {\left| {2z + 3w} \right|^2} = 36$$ \Leftrightarrow \left( {2z + 3w} \right).\left( {2\overline z + 3\overline w } \right) = 36$$ \Leftrightarrow 4{\left| z \right|^2} + 6P + 9{\left| w \right|^2} = 36$ $\left( 2 \right)$.
$\left| {z + 4w} \right| = 7$$ \Leftrightarrow \left( {z + 4w} \right).\left( {\overline z + 4\overline w } \right) = 49$$ \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} + 4P + 16{\left| w \right|^2} = 49$ $\left( 3 \right)$.
Giải hệ phương trình gồm $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{\left| z \right|^2} = 33\\P = – 28\\{\left| w \right|^2} = 8\end{array} \right.$$ \Rightarrow P = – 28$.
Câu 4. Cho các số phức${z_1},{z_2},{z_3}$ thoả mãn $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1$và ${z_1}^3 + {z_2}^3 + {z_3}^3 + {z_1}{z_2}{z_3} = 0$. Đặt $z = {z_1} + {z_2} + {z_3}$, giá trị của ${\left| z \right|^3} – 3{\left| z \right|^2}$ bằng:
A. $\left\{ { – 2;\,2} \right\}$. B. $\left\{ { – 2;\, – 4} \right\}$. C. $\left\{ { – 4;4} \right\}$. D. $\left\{ {2;\,4} \right\}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1 \Rightarrow {\overline z _1} = \frac{1}{{{z_1}}};{\overline z _2} = \frac{1}{{{z_2}}};{\overline z _3} = \frac{1}{{{z_3}}}$ và đặt $\left| z \right| = x$
${\left| z \right|^2} = {\left| {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right|^2} = \left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)\left( {\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} + \overline {{z_3}} } \right) = 3 + {z_1}\left( {\overline {{z_2}} + \overline {{z_3}} } \right) + {z_2}\left( {\overline {{z_1}} + \overline {{z_3}} } \right) + {z_3}\left( {\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} } \right)$
$ = 3 + \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}} + \frac{{{z_1}}}{{{z_3}}} + \frac{{{z_3}}}{{{z_1}}} + \frac{{{z_3}}}{{{z_2}}} + \frac{{{z_2}}}{{{z_3}}} = 3 + \frac{{{z_1}^2\left( {{z_2} + {z_3}} \right) + {z_2}^2\left( {{z_1} + {z_3}} \right) + {z_3}^2\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}}{{{z_1}{z_2}{z_3}}}$
$ = 3 + \frac{{z\left( {{z_1}^2 + {z_2}^2 + {z_3}^2} \right) – {z_1}^3 – {z_2}^3 – {z_3}^3}}{{{z_1}{z_2}{z_3}}} = 4 + z\frac{{{{\left( {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right)}^2} – 2\left( {{z_1}{z_2} + {z_1}{z_2} + {z_2}{z_3}} \right)}}{{{z_1}{z_2}{z_3}}}$
$ = 4 + \frac{{{z^3}}}{{{z_1}{z_2}{z_3}}} – 2z\left( {\frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} + \frac{1}{{{z_3}}}} \right) = 4 + \frac{{{z^3}}}{{{z_1}{z_2}{z_3}}} – 2z\left( {\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} + \overline {{z_3}} } \right)$
$ = 4 + \frac{{{z^3}}}{{{z_1}{z_2}{z_3}}} – 2{x^2} \Rightarrow \left| {3{x^2} – 4} \right| = {x^3}$.
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1 \Rightarrow {\left| z \right|^3} – 3{\left| z \right|^2} = – 2\\x = 2 \Rightarrow \left| z \right| = 2 \Rightarrow {\left| z \right|^3} – 3{\left| z \right|^2} = – 4\end{array} \right.$.
Câu 5. Xét số phức $z$ thỏa mãn $\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} – 2 + i.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $\frac{3}{2} < \left| z \right| < 2.$ B. $\left| z \right| > 2.$ C. $\left| z \right| < \frac{1}{2}.$ D. $\frac{1}{2} < \left| z \right| < \frac{3}{2}.$
Lời giải:
Chọn D
Ta có ${z^{ – 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\bar z.$
Vậy $\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} – 2 + i$$ \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| + 2} \right) + \left( {2\left| z \right| – 1} \right)i = \left( {\frac{{\sqrt {10} }}{{{{\left| z \right|}^2}}}} \right).\overline z \Rightarrow \left| {\left( {\left| z \right| + 2} \right) + \left( {2\left| z \right| – 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{{{{\left| z \right|}^2}}}} \right).\overline z } \right|$
$ \Rightarrow {\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| – 1} \right)^2} = \left( {\frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^4}}}} \right).{\left| z \right|^2} = \frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}}.$ Đặt $\left| z \right| = a > 0.$
$ \Rightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {2a – 1} \right)^2} = \left( {\frac{{10}}{{{a^2}}}} \right) \Leftrightarrow {a^4} + {a^2} – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} = 1\\{a^2} = – 2\end{array} \right. \Rightarrow a = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1.$
Câu 6. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|\left( {z – 4 – i} \right) + 2i = \left( {5 – i} \right)z$?
A. $2$ B. $3$ C. $1$ D. $4$
Lời giải:
Chọn B
Ta có $\left| z \right|\left( {z – 4 – i} \right) + 2i = \left( {5 – i} \right)z$
$ \Leftrightarrow \left| z \right|z – 4\left| z \right| – \left| z \right|i + 2i = \left( {5 – i} \right)z$ $ \Leftrightarrow z\left( {\left| z \right| – 5 + i} \right) = 4\left| z \right| + \left( {\left| z \right| – 2} \right)i$.
Lấy module 2 vế ta được
$\left| z \right|\sqrt {{{\left( {\left| z \right| – 5} \right)}^2} + 1} = \sqrt {{{\left( {4\left| z \right|} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| – 2} \right)}^2}} $
$ \Leftrightarrow {\left| z \right|^2}\left[ {{{\left( {\left| z \right| – 5} \right)}^2} + 1} \right] = {\left( {4\left| z \right|} \right)^2} + {\left( {\left| z \right| – 2} \right)^2}$ (1)
Đặt $t = \left| z \right|$, $t \ge 0$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành
${t^2}\left[ {{{\left( {t – 5} \right)}^2} + 1} \right] = {\left( {4t} \right)^2} + {\left( {t – 2} \right)^2}$$ \Leftrightarrow {t^2}\left( {{t^2} – 10t + 26} \right) = 17{t^2} – 4t + 4$
$ \Leftrightarrow {t^4} – 10{t^3} + 9{t^2} + 4t – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {t – 1} \right)\left( {{t^3} – 9{t^2} + 4} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\{t^3} – 9{t^2} + 4 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 & & \left( n \right)\\t \approx 8,95 & \left( n \right)\\t \approx 0,69 & \left( n \right)\\t \approx – 0,64 & \left( l \right)\end{array} \right.$.
Ứng với mỗi giá trị $t \ge 0$, với $z = \frac{{ – 4t + \left( {2 – t} \right)i}}{{5 – i – t}}$ suy ra có 3 số phức $z$ thỏa mãn.
Câu 7. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn $\left| z \right|\left( {z – 6 – i} \right) + 2i = \left( {7 – i} \right)z$?
A. $2$ B. $3$ C. $1$ D. $4$
Lời giải:
Chọn B
Đặt $\left| z \right| = a \ge 0,a \in \mathbb{R}$, khi đó ta có
$\left| z \right|\left( {z – 6 – i} \right) + 2i = \left( {7 – i} \right)z$$ \Leftrightarrow a\left( {z – 6 – i} \right) + 2i = \left( {7 – i} \right)z$$ \Leftrightarrow \left( {a – 7 + i} \right)z = 6a + ai – 2i$$ \Leftrightarrow \left( {a – 7 + i} \right)z = 6a + \left( {a – 2} \right)i$$ \Leftrightarrow \left| {\left( {a – 7 + i} \right)} \right|\left| z \right| = \left| {6a + \left( {a – 2} \right)i} \right|$
$ \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {a – 7} \right)}^2} + 1} \right]{a^2} = 36{a^2} + {\left( {a – 2} \right)^2}$$ \Leftrightarrow {a^4} – 14{a^3} + 13{a^2} + 4a – 4 = 0$$ \Leftrightarrow \left( {a – 1} \right)\left( {{a^3} – 13{a^2} + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\{a^3} – 13{a^2} + 4 = 0\end{array} \right.$
Xét hàm số $f\left( a \right) = {a^3} – 13{a^2} + 4\left( {a \ge 0} \right)$, có bảng biến thiên là
Đường thẳng $y = – 4$ cắt đồ thị hàm số $f\left( a \right)$ tại hai điểm nên phương trình ${a^3} – 13{a^2} + 4 = 0$ có hai nghiệm khác $1$ (do $f\left( 1 \right) \ne 0$). Mỗi giá trị của $a$ cho ta một số phức $z$.
Vậy có $3$ số phức thỏa mãn điều kiện.
Câu 8. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|\left( {z – 3 – i} \right) + 2i = \left( {4 – i} \right)z$?
A. $1$ B. $3$ C. $2$ D. $4$
Lời giải:
Chọn B
$\left| z \right|\left( {z – 3 – i} \right) + 2i = \left( {4 – i} \right)z$$ \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| – 4 + i} \right)z = 3\left| z \right| + \left( {\left| z \right| – 2} \right)i$ (*)
$ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {\left| z \right| – 4} \right)}^2} + 1} .\left| z \right| = \sqrt {9{{\left| z \right|}^2} + {{\left( {\left| z \right| – 2} \right)}^2}} $ (1).
Đặt $m = \left| z \right| \ge 0$ ta có $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {{{\left( {m – 4} \right)}^2} + 1} \right).{m^2} = 9{m^2} + {\left( {m – 2} \right)^2}$$ \Leftrightarrow {m^4} – 8{m^3} + 7{m^2} + 4m – 4 = 0$$ \Leftrightarrow \left( {m – 1} \right)\left( {{m^3} – 7{m^2} + 4} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\{m^3} – 7{m^2} + 4 = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}m = 1 \hfill \\m \approx 6,91638 \hfill \\m \approx 0,80344 \hfill \\m \approx – 0,71982\,(loai) \hfill \\\end{gathered} \right.$
Từ (*) ta suy ra ứng với mỗi $\left| z \right| = m$ sẽ có một số phức $z = \frac{{3m + \left( {m – 2} \right)i}}{{m – 4 + i}}$ thỏa mãn đề bài.
Vậy có $3$ số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 9. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa $\left| {z + 1 – 2i} \right| = \left| {\overline z + 3 + 4i} \right|$ và $\frac{{z – 2i}}{{\overline z + i}}$ là một số thuần ảo ?
A. 0. B. Vô số. C. 1. D. 2.
Lời giải:
Chọn C
Đặt $z = x + yi\,(x,y \in \mathbb{R})$
Theo bài ra ta có
$\begin{array}{l}\left| {x + 1 + \left( {y – 2} \right)i} \right| = \left| {x + 3 + \left( {4 – y} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} \Leftrightarrow y = x + 5\end{array}$
Số phức ${\rm{w}} = \frac{{z – 2i}}{{\overline z + i}} = \frac{{x + \left( {y – 2} \right)i}}{{x + \left( {1 – y} \right)i}} = \frac{{{x^2} – \left( {y – 2} \right)\left( {y – 1} \right) + x\left( {2y – 3} \right)i}}{{{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}}$
$w$ là một số ảo khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – \left( {y – 2} \right)\left( {y – 1} \right) = 0\\{x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} > 0\\y = x + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{{12}}{7}\\y = \frac{{23}}{7}\end{array} \right.$
Vậy $z = – \frac{{12}}{7} + \frac{{23}}{7}i$.Vậy chỉ có $1$ số phức $z$ thỏa mãn.
Câu 10. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|\left( {z – 5 – i} \right) + 2i = \left( {6 – i} \right)z$?
A. $1$ B. $3$ C. $4$ D. $2$
Lời giải:
Chọn B
Ta có $\left| z \right|\left( {z – 5 – i} \right) + 2i$$ = \left( {6 – i} \right)z$$ \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| – 6 + i} \right)z$$ = 5\left| z \right| + \left( {\left| z \right| – 2} \right)i$ $\left( 1 \right)$
Lây môđun hai vế của $\left( 1 \right)$ ta có:
$\sqrt {{{\left( {\left| z \right| – 6} \right)}^2} + 1} .\left| z \right|$$ = \sqrt {25{{\left| z \right|}^2} + {{\left( {\left| z \right| – 2} \right)}^2}} $
Bình phương và rút gọn ta được:
${\left| z \right|^4} – 12{\left| z \right|^3} + 11{\left| z \right|^2} + 4\left| z \right| – 4 = 0$$ \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| – 1} \right)\left( {{{\left| z \right|}^3} – 11{{\left| z \right|}^2} + 4} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| z \right| = 1\\{\left| z \right|^3} – 11{\left| z \right|^2} + 4 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| z \right| = 1\\\left| z \right| = 10,9667…\\\left| z \right| = 0,62…\\\left| z \right| = – 0,587…\end{array} \right.$
Do $\left| z \right| \ge 0$, nên ta có $\left| z \right| = 1$, $\left| z \right| = 10,9667…$, $\left| z \right| = 0,62…$. Thay vào $\left( 1 \right)$ ta có $3$ số phức thỏa.
