Chuyên Đề Sự Đồng Biến Nghịch Biến Của Hàm Số Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT

Chuyên đề Sự đồng biến nghịch biến của hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT file word và PDF gồm 40 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

CHUYÊN ĐỀ: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I. Hệ thống kiến thức

1. Định nghĩa 1.

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và $y = f\left( x \right)$ là một hàm số xác định trên K. Ta nói:

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu

$\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

$\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.

2. Nhận xét.

a. Nhận xét 1.

Nếu hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số $f\left( x \right) + g\left( x \right)$ cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu $f\left( x \right) – g\left( x \right)$.

b. Nhận xét 2.

Nếu hàm số$f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số $f\left( x \right).g\left( x \right)$ cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ không là các hàm số dương trên D.

c. Nhận xét 3.

Cho hàm số $u = u\left( x \right)$, xác định với $x \in \left( {a;b} \right)$ và $u\left( x \right) \in \left( {c;d} \right)$. Hàm số $f\left[ {u\left( x \right)} \right]$ cũng xác định với $x \in \left( {a;b} \right)$. Ta có nhận xét sau:

i. Giả sử hàm số $u = u\left( x \right)$ đồng biến với $x \in \left( {a;b} \right)$. Khi đó, hàm số $f\left[ {u\left( x \right)} \right]$ đồng biến với $x \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow f\left( u \right)$ đồng biến với $u \in \left( {c;d} \right)$.

ii. Giả sử hàm số $u = u\left( x \right)$ nghịch biến với $x \in \left( {a;b} \right)$. Khi đó, hàm số $f\left[ {u\left( x \right)} \right]$ nghịch biến với $x \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow f\left( u \right)$nghịch biến với $u \in \left( {c;d} \right)$.

3. Định lí 1.

Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì $f’\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in K$.

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì $f’\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in K$.

4. Định lí 2.

Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu $f’\left( x \right) > 0,\forall x \in K$ thì hàm số $f$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f’\left( x \right) < 0,\forall x \in K$ thì hàm số $f$ nghịch biến trên K.

c) Nếu $f’\left( x \right) = 0,\forall x \in K$ thì hàm số $f$ không đổi trên K.

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’. Chẳng hạn:

Nếu hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f’\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)$ thì hàm số $f$ đồng biến trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.

Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên như sau:

5. Định lí 3.(mở rộng của định lí 2)

Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu $f’\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in K$ và $f’\left( x \right) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số $f$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f’\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in K$ và $f’\left( x \right) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số $f$ đồng biến trên K.

II. Các dạng bài/câu thường gặp

1. DẠNG 1: XÁC ĐỊNH TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A. PHƯƠNG PHÁP

Bài toán: Xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị của hàm số đã cho.

Kí hiệu $K$ là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng.

Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $K$.

 Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là đồng biến (tăng) trên $K$ nếu:

$\forall {x_1},\,{x_2} \in K,\,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$

Khi đó, đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

 Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu:

$\forall \,{x_1},\,{x_2} \in \,K,\,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

Khi đó, đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$

được gọi chung là đơn điệu trên $K$.

Ví dụ 1: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó

A. Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

B. Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – 3;0} \right)$.

C. Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – 1;0} \right)$.

D. Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;3} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – 1;0} \right)$.

Ví dụ 2: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – 3;1} \right)$.

B. Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;3} \right)$.

C. Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$.

D. Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Ví dụ 3: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – 1;1} \right)$.

B. Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – 1; + \infty } \right)$.

C. Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

D. Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$.

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$.

Ví dụ 4: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

B. Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

C. Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1;1} \right)$.

D. Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1;1} \right)$.

Ví dụ 5: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $f\left( x \right)$ như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$.

B. Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {2;4} \right)$.

C. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {4;5} \right)$.

D. Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {5; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;2} \right)$ và $\left( {4; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {2;4} \right)$.

2. DẠNG 2: XÁC ĐỊNH TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN

A. PHƯƠNG PHÁP

Bài toán: Xác định tính đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên của hàm số.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left( {a;\,b} \right)$, ta dựa vào bảng biên thiên để xét tính đơn điệu:

 $f’\left( x \right)$ mang dấu $ + $ (dương) thì $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {a;\,b} \right)$.

Khi đó: Chiều mũi tên hướng lên trên.

 $f’\left( x \right)$ mang dấu $ – $ (âm) thì $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( {a;\,b} \right)$.

Khi đó: Chiều mũi tên hướng xuống dưới.

Minh họa bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;\,{x_1}} \right)$ và $\left( {{x_2};\,{x_3}} \right)$.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên các khoảng $\left( {{x_1};\,{x_2}} \right)$ và $\left( {{x_3};\, + \infty } \right)$.

Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau. Tìm mệnh đề đúng?

A. Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $( – \infty ;1)$.

B. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $( – 1;1)$.

C. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $( – 2;2)$.

D. Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $( – 1; + \infty )$.

Lời giải

Chọn B

Ví dụ 2: Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau. Tìm mệnh đề đúng?

A. Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $( – 1;3)$.

B. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $( – 1; + \infty )$.

C. Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $( – 1;1)$.

D. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $( – \infty ;1)$.

Lời giải

Chọn D

Ví dụ 3: Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $( – 1;3)$.

B. Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(3; + \infty )$.

C. Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $( – \infty ; – 1)$.

D. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;6)$.

Lời giải

Chọn D

Ví dụ 4: Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $( – \infty ;0)$. B. $(0;1)$.

C. $( – 1;1)$. D. $(0; + \infty )$.

Lời giải

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;1)$.

Ví dụ 5: Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $( – 1;0)$.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $( – \infty ;\,0)$.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $( – \infty ;2)$.

Lời giải

Chọn C

3. DẠNG 3: XÁC ĐỊNH TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO ĐỒ THỊ HÀM SỐ $f’\left( x \right)$

A. PHƯƠNG PHÁP

Bài toán: Xác định tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị $f’\left( x \right)$.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ trên $D$. nếu:

 Đồ thị hàm số $f’\left( x \right)$ nằm phía trên $Ox$ nên $f’\left( x \right) \geqslant 0$.

Do đó: Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D$.

 Đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ nằm phía dưới $Ox$ nên $f’\left( x \right) < 0$.

Do đó: Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D$.

Dựa vào đồ thị:

Đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ nằm phía trên trục hoành trong các khoảng $\left( {{x_1};\,{x_2}} \right)$ và $\left( {{x_3};\,{x_4}} \right)$.

Đồ thị $y = f’\left( x \right)$ nằm phía dưới trục hoành trong các khoảng $\left( { – \infty ;\,{x_1}} \right)$, $\left( {{x_2};\,{x_3}} \right)$ và $\left( {{x_4};\, + \infty } \right)$.

Vậy

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( {{x_1};\,{x_2}} \right)$ và $\left( {{x_3};\,{x_4}} \right)$.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;\,{x_1}} \right)$, $\left( {{x_2};\,{x_3}} \right)$ và $\left( {{x_4};\, + \infty } \right)$.

 Hàm số $y = f\left( x \right) = h\left( x \right) – g\left( x \right)$, cho trước các đồ thị $h’\left( x \right)$, $g’\left( x \right)$.

+ Nếu đồ thị $h’\left( x \right)$ nằm phía trên đồ thị $g’\left( x \right)$ thì $f’\left( x \right) > 0$.

Do đó: Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $K$.

+ Nếu đồ thị $h’\left( x \right)$ nằm phía dưới đồ thị $g’\left( x \right)$ thì $f’\left( x \right) < 0$.

Do đó: Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $K$.

Ví dụ: Hàm số $y = f\left( x \right) = h\left( x \right) – g\left( x \right)$ có đồ thị $h’\left( x \right)$, $g’\left( x \right)$ như hình bên dưới.

Dựa vào đồ thị:

Đồ thị $h’\left( x \right)$ nằm phía trên đồ thị $g’\left( x \right)$ trên các khoảng $\left( { – \infty ;\,{x_1}} \right)$ và $\left( {{x_2};\,{x_3}} \right)$.

Đồ thị $h’\left( x \right)$ nằm phía dưới đồ thị $g’\left( x \right)$ trên các khoảng $\left( {{x_1};\,{x_2}} \right)$ và $\left( {{x_3};\, + \infty } \right)$.

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { – \infty ;\,{x_1}} \right)$ và $\left( {{x_2};\,{x_3}} \right)$.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( {{x_1};\,{x_2}} \right)$ và $\left( {{x_3};\, + \infty } \right)$.

Ví dụ 1: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f’\left( x \right)$ như hình vẽ bên.

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – 2; + \infty } \right)$.

B. Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1;1} \right)$.

C. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – 2;1} \right)$.

D. Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Dựa vào đồ thị suy ra $f’\left( x \right) \geqslant 0$ khi $x \geqslant – 2$, $f’\left( x \right) < 0$ khi $x < – 2$. Do đó hàm số đồng biến trên $\left( { – 2; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { – \infty ; – 2} \right)$.

Ví dụ 2: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $f’\left( x \right)$ như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

B. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

C. Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$.

D. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {1;3} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị suy ra $f’\left( x \right) \geqslant 0$ khi $x \leqslant – 1$ hoặc $x \geqslant 3$, $f’\left( x \right) < 0$ khi $ – 1 < x < 3$.Do đó hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$, hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { – 1;3} \right)$.

Ví dụ 3: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $f’\left( x \right)$ như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – 2;0} \right)$.

B. Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

C. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 3} \right)$.

D. Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – 3; – 2} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Dựa vào đồ thị suy ra $f’\left( x \right) > 0$ khi $x \in \left( { – 3; – 2} \right)$ , $f’\left( x \right) \leqslant 0$ khi $x \in \left( { – \infty ; – 3} \right] \cup \left( { – 2; + \infty } \right)$.

Do đó hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { – 3; – 2} \right)$, hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { – \infty ; – 3} \right)$ và $\left( { – 2; + \infty } \right)$.

Ví dụ 4: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $f’\left( x \right)$ như hình vẽ.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây

A. $\left( {2; + \infty } \right)$. B. $\left( { – \infty ;1} \right)$. C. $\left( {3; + \infty } \right)$. D. $\left( {1;3} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị suy ra $f’\left( x \right) > 0$ khi $x \in \left( {3; + \infty } \right)$ , $f’\left( x \right) \leqslant 0$ khi $x \in \left( { – \infty ;3} \right]$.

Do đó hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {3; + \infty } \right)$, hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { – \infty ;3} \right)$.

Ví dụ 5: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f’\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $\left( {1; + \infty } \right).$

B. Hàm số đồng biến trên $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right).$

C. Hàm số nghịch biến trên $\left( { – \infty ; – 1} \right).$

D. Hàm số đồng biến trên $\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).$

Lời giải

Chọn B

Dựa vào đồ thị của hàm số $f’\left( x \right)$, ta có nhận xét:

⏺ $f’\left( x \right)$ đổi dấu từ $” + ”$ sang $” – ”$ khi qua điểm $x = – 1.$

⏺ $f’\left( x \right)$ đổi dấu từ $” – ”$ sang $” + ”$ khi qua điểm $x = 3.$

Do đó ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy B đúng.

4. DẠNG 4: XÁC ĐỊNH TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ SỬ DỤNG $y = f’\left( x \right)$

PHƯƠNG PHÁP XÉT HÀM SỐ

A. PHƯƠNG PHÁP

Bài toán: Xác định tính đơn điệu của hàm số sử dụng phương pháp xét hàm số $y = f’\left( x \right)$.

Bước 1: Lập bảng biến thiên (nếu cần).

Bước 2: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Câu 1: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = {x^3} – 3x$. Chọn khẳng định đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $\left( { – \infty ;1} \right)$.

B. Hàm số đồng biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$.

C. Hàm số đồng biến trên $\left( { – 1;1} \right)$.

D. Hàm số đồng biến trên $\left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn B

$f'(x) = {x^3} – 3x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x > 1 \hfill \\
– 1 < x < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Hàm số đồng biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$

Câu 2: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = {x^2} + 1$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên $\left( { – \infty ;\,1} \right)$.

B. Hàm số nghịch biến trên $\left( { – \infty ;\, + \infty } \right)$.

C. Hàm số nghịch biến trên $\left( { – 1;\,1} \right)$.

D. Hàm số đồng biến trên $\left( { – \infty ;\, + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn D

Do $f’\left( x \right) = {x^2} + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 3: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $y = f’\left( x \right) = {\left( {x – 2} \right)^2},\forall x \in \mathbb{R}$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;2} \right)$.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;2} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Do $f’\left( x \right) = {\left( {x – 2} \right)^2} \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 4: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f’\left( x \right) = {x^2}\left( {x – 1} \right)$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

A. $\left( {1; + \infty } \right)$. B. $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$. C. $\left( {0;1} \right)$. D. $\left( { – \infty ;1} \right)$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Bảng xét dấu

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Câu 5: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x – 1} \right)^3}\left( {2 – x} \right).$ Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?

A. $\left( { – 1;1} \right)$. B. $\left( {1;2} \right)$. C. $\left( { – \infty ; – 1} \right)$. D. $\left( {2; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn B

$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy: Hàm số $f\left( x \right)$đồng biến trên khoảng $\left( {1;2} \right).$

5. DẠNG 5: XÁC ĐỊNH TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ SỬ DỤNG $y = f\left( x \right)$

PHƯƠNG PHÁP XÉT HÀM SỐ

A. PHƯƠNG PHÁP

Bài toán: Xác định tính đơn điệu của hàm số sử dụng phương pháp xét hàm số.

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính $y’ = f’\left( x \right)$ và xét dấu $y’$. Tìm các điểm ${x_i}$ $\left( {i = 1,2,…,n} \right)$ mà tại đó đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên (nếu cần).

Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$.

A. $y = {x^4} + {x^2} + 1$. B. $y = {x^3} + 1$. C. $y = \frac{{4x + 1}}{{x + 2}}$. D. $y = \tan x$.

Lời giải

Chọn B

Cách 1: Xét hàm số $y = {x^3} + 1$ ta có:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

$y’ = 3{x^2} \geqslant 0\,\,\forall x$

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Cách 2:

Do hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên loại ý C; D vì hai hàm số này không có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Loại ý A vì đây là hàm trùng phương.

Vậy chọn ý B.

Câu 2: Hàm số $y = {x^4} – 2$ nghịch biến trên khoảng nào?

A. $\left( { – \infty ;\frac{1}{2}} \right)$. B. $\left( { – \infty ;0} \right)$. C. $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$. D. $\left( {0; + \infty } \right).$

Lời giải

Chọn B

Ta có: $y’ = {x^3}$.

Hàm số nghịch biến $ \Rightarrow y’ = {x^3} < 0 \Leftrightarrow x < 0$.

Câu 3: Cho hàm số $y = {x^3} – 3x.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $( – \infty ; + \infty ).$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1;1} \right)$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $y’ = 3{x^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D.

Câu 4: Cho hàm số $y = {x^4} – 2{x^2} – 5$. Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;\, – 1} \right)$.

B. Hàm số nghịch biến với mọi $x$.

C. Hàm số đồng biến với mọi $x$.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – 1;\,0} \right)$ và $\left( {1;\, + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $y’ = 4{x^3} – 4x$.

$y’ = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = \pm 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – 1;\,0} \right)$ và $\left( {1;\, + \infty } \right)$.

Câu 5: Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{2 – x}}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

Lời giải

Chọn D

Ta có $y = \frac{{x + 1}}{{2 – x}} = \frac{{x + 1}}{{ – x + 2}} = \frac{3}{{{{\left( { – x + 2} \right)}^2}}} > 0,{\text{ }}\forall x \ne 2.$

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

III. Hệ thống câu hỏi ôn tập:

1. DẠNG 1: XÁC ĐỊNH TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Câu 1. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( { – \infty – 1} \right)$ B. $\left( { – 1;1} \right)$ C. $\left( { – 1;0} \right)$ D. $\left( {0;1} \right)$

Lời giải

Chọn C

Từ đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$. Chọn

Câu 2. (Mã 102 – 2020 – Lần 2) Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( { – 1;\,0} \right).$ B. $\left( { – \infty ;\, – 1} \right)$. C. $\left( {0;\,1} \right)$. D. $\left( {0;\, + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn A

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ ta có:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên các khoảng $\left( { – 1;\,0} \right)$ và $\left( {1;\, + \infty } \right)$, đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;\, – 1} \right)$ và $\left( {0;\,1} \right).$

Câu 3. (Mã 107 – 2020 Lần 2) Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( {0\,;\,1} \right)$. B. $\left( { – \infty \,;\,0} \right)$. C. $\left( {1\,;\, + \infty } \right)$. D. $\left( { – 1\,;\,0} \right)$.

Lời giải

Chọn A

Từ đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ ta có hàm số đồng biến trên hai khoảng $\left( { – \infty \,;\, – 1} \right)$ và $\left( {0\,;\,1} \right)$

$ \Rightarrow $chọn đáp án A.

Câu 4. (Mã 103 – 2020 – Lần 2) Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( { – 1;0} \right)$. B. $\left( { – \infty ; – 1} \right)$. C. $\left( {0; + \infty } \right)$. D. $\left( {0;1} \right)$.

Lời giải

Chọn A

Câu 5. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( { – \infty ; – 1} \right).$ B. $\left( { – 1;1} \right).$ C. $\left( {0; + \infty } \right).$ D. $\left( { – \infty ; + \infty } \right).$

Lời giải

Chọn B

Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – 1;1} \right)$.

Câu 6. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào

dưới đây?

A. $\left( { – 1;1} \right).$ B. $\left( { – 1;2} \right).$ C. $\left( {1;2} \right).$ D. $\left( {2; + \infty } \right).$

Lời giải

Chọn C

Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$ nên nghịch biến trên khoảng $\left( {1;2} \right).$

Câu 7. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào

dưới đây?

A. $\left( { – \infty ; – 1} \right).$ B. $\left( { – 1;1} \right).$ C. $\left( {1;2} \right).$ D. $\left( {0;1} \right).$

Lời giải

Chọn D

Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có trên khoảng $\left( {0;1} \right)$ đồ thị hàm số đi xuống (theo chiều từ trái qua phải) nên nghịch biến trên khoảng $\left( {0;1} \right).$

Câu 8. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { – 1; + \infty } \right)$.

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1;2} \right)$.

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$.

Lời giải

Chọn D

Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có trên khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$ đồ thị hàm số đi xuống (theo chiều từ trái qua phải) nên nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$.

Câu 9. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

A. $\left( { – \infty \,;\,0} \right)$. B. $\left( {1\,;\,3} \right)$. C. $\left( {0\,;\,2} \right)$. D. $\left( {0;\, + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn C

Xét đáp án A, trên khoảng $\left( { – \infty \,;\,0} \right)$ đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại.

Xét đáp án B, trên khoảng $\left( {1\,;\,3} \right)$ đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại.

Xét đáp án C, trên khoảng $\left( {0\,;\,2} \right)$ đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên chọn.

Xét đáp án D, trên khoảng $\left( {0\,;\, + \infty } \right)$ đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại.

Câu 10. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

A. $\left( { – 2\,;\,0} \right)$. B. $\left( { – \infty \,;\,0} \right)$. C. $\left( { – 2\,;\,2} \right)$. D. $\left( {0\,;\,2} \right)$.

Lời giải

Chọn A

Xét đáp án A, trên khoảng $\left( { – 2\,;\,0} \right)$ đồ thị hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên chọn.

Xét đáp án B, trên khoảng $\left( { – \infty \,;\,0} \right)$ đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng xuống là hàm số đồng nghịch biến nên loại.

xét đáp án C, trên khoảng $\left( { – 2\,;\,2} \right)$ đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến và có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại.

Xét đáp án D, trên khoảng $\left( {0\,;\,2} \right)$ đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại.

2. DẠNG 2: XÁC ĐỊNH TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN

Câu 1. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( { – \infty ; – 1} \right)$. B. $\left( {0;1} \right)$. C. $\left( { – 1;1} \right)$. D. $\left( { – 1;0} \right)$

Lời giải

Chọn D

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { – 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$

Câu 2. (Mã 103 – 2019) Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. $\left( { – \infty ; – 1} \right).$ B. $\left( {0;1} \right)$ C. $\left( { – 1;0} \right).$ D. $\left( { – 1; + \infty } \right).$

Lời giải

Chọn C

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { – 1;0} \right).$

Câu 3. (Mã 104 – 2017) Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right)$ B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – 2;0} \right)$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$

Lời giải

Chọn D

Theo bảng xét dấu thì $y’ < 0$ khi $x \in (0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.

Câu 4. (Kim Liên – Hà Nội – 2019) Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( {1\,;\, + \infty } \right)$. B. $\left( { – \infty \,;\,1} \right)$. C. $\left( { – 1\,;\, + \infty } \right)$. D. $\left( { – \infty \,;\, – 1} \right)$.

Lời giải

Chọn D

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty \,;\, – 1} \right)$ và $\left( { – 1\,;\,1} \right)$.

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty \,;\, – 1} \right)$.

Câu 5. (Mã 101 – 2018) Cho hàm số$y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( { – 1;0} \right)$ B. $\left( { – \infty ;0} \right)$ C. $\left( {1; + \infty } \right)$ D. $\left( {0;1} \right)$

Lời giải

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $\left( {0;1} \right)$và $\left( { – \infty ; – 1} \right)$.

Câu 6. (Mã 102 – 2019) Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây

A. $\left( {0; + \infty } \right)$. B. $\left( {0;2} \right)$. C. $\left( { – 2;0} \right)$. D. $\left( { – \infty ; – 2} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Từ bảng biến thiên, suy ra trên khoảng $\left( { – 2;0} \right)$ hàm số đồng biến.

Câu 7. (Mã 103 – 2018) Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau :

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( {0;1} \right)$ B. $\left( {1; + \infty } \right)$ C. $\left( { – \infty ;1} \right)$ D. $\left( { – 1;0} \right)$

Lời giải

Chọn A

Câu 8. (Mã 101 – 2019) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( {0;2} \right).$ B. $\left( {0; + \infty } \right).$ C. $\left( { – 2;0} \right).$ D. $\left( {2; + \infty } \right).$

Lời giải

Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng $\left( {0;2} \right)$ thì $f’\left( x \right) < 0$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Câu 9. (Mã 102 – 2018) Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( { – 1; + \infty } \right)$. B. $\left( {1; + \infty } \right)$. C. $\left( { – 1;1} \right)$. D. $\left( { – \infty ;1} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Câu 10. (Mã 104 -2018) Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( { – 2;\,3} \right)$ B. $\left( {3;\, + \infty } \right)$ C. $\left( { – \infty ;\, – 2} \right)$ D. $\left( { – 2;\, + \infty } \right)$

Lời giải

Chọn A

3. DẠNG 3: XÁC ĐỊNH TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO ĐỒ THỊ HÀM SỐ $f’\left( x \right)$

Câu 1. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Hàm số $y = f’\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ sau

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trong khoảng nào?

A. $\left( {1\,;\, + \infty } \right)$. B. $\left( { – 1\,;\,1} \right)$. C. $\left( { – \infty \,;\,0} \right)$. D. $\left( {2\,;\, + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn B

Dựa vào hàm số  $y = f’\left( x \right)$. Ta có bảng biến thiên

Từ các đáp án đã cho ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trong khoảng $\left( { – 1\,;\,1} \right)$.

Câu 2. Hình bên là đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right).$ Hỏi hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( {0;1} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$. B. $\left( {1;2} \right)$. C. $\left( {2; + \infty } \right)$. D. $\left( {0;1} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ ta có

$f’\left( x \right) > 0$ ,$\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$.

$f’\left( x \right) \leqslant 0$ , $\forall x \in \left( { – \infty ;2} \right)$ (dấu “$ = $” chỉ xảy ra tại 1 điểm).

Do đó hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$, nghịch biến trên $\left( { – \infty ;2} \right)$.

Câu 3. Cho hàm bậc ba $y\, = \,f\left( x \right)$ có đồ thị đạo hàm $y = f’\left( x \right)$ như hình sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

A. $\left( {1\,;\,2} \right)$. B. $\left( { – 1\,;\,0} \right)$. C. $\left( {3\,;\,4} \right)$. D. $\left( {2\,;\,3} \right)$ .

Lời giải

Chọn A

Từ đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ ta có bảng xét dấu $f’\left( x \right)$ sau:

Căn cứ vào bảng xét dấu đạo hàm ta có hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0\,;\,2} \right)$.

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( {1\,;\,2} \right)$.

Câu 4. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ liên tục trên $R$. Hàm $f’\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng

A. $f\left( { – 3} \right) < f\left( { – 2} \right)$.

B. Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty \,;\, – 1} \right)$.

C. $f\left( 0 \right) < f\left( 1 \right)$.

D. Hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x = 0$.

Lời giải

Chọn C

Từ đồ thị hàm số $f’\left( x \right)$ ta có $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = {x_1} \hfill \\
x = 1 \hfill \\
x = {x_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.$ với $ – 1 < {x_1} < 1 < {x_2} < 2$.

Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số$f\left( x \right)$ là:

Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty \,;\,{x_1}\,} \right)$, $ – 3 < – 2 < {x_1}$ $ \Rightarrow f\left( { – 3} \right) > f\left( { – 2} \right)$. Nên A sai.

Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty \,;\,{x_1}\,} \right)$ , $\left( { – \infty \,;\, – 1} \right) \subset \left( { – \infty \,;\,{x_1}\,} \right)$$ \Rightarrow $hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty \,;\, – 1} \right)$. Nên B sai.

Qua $x = 0$ đạo hàm $f’\left( x \right)$ không đổi dấu nên $x = 0$ không là điểm cực trị. Nên D sai.

Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {\,{x_1}\,\,;\,1\,} \right)$, ${x_1} < 0 < 1$ $ \Rightarrow f\left( 0 \right) < f\left( 1 \right)$. Vậy C đúng.

Câu 5. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Hàm số $y = f’\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ sau

Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trong khoảng nào ?

A. $\left( {1\,;\,4} \right)$. B. $\left( { – 1\,;\,1} \right)$. C. $\left( {0\,;\,3} \right)$. D. $\left( { – \infty \,;\,0} \right)$.

Lời giải

Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ ta có

$f’\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – 1\,;\,1} \right) \cup \left( {4\,;\, + \infty } \right)$ và $f’\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty \,;\, – 1} \right) \cup \left( {1\,;\,4} \right)$.

Do đó hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( { – 1\,;\,1} \right)$ và $\left( {4\,;\, + \infty } \right)$, nghịch biến trên các khoảng $\left( { – \infty \,;\, – 1} \right)$ và $\left( {1\,;\,4} \right)$.

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1\,;\,4} \right)$.

Câu 6: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên có đồ thị của hàm số$y = f’\left( x \right)$ như hình vẽ. Hỏi hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( {2\,;\, + \infty } \right)$. B. $\left( {1\,;\,2} \right)$.

C. $\left( {0\,;\,1} \right)$. D. $\left( {0\,;1} \right)$ và $\left( {2\,;\, + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn A

Ta có hàm số $y = f\left( x \right)$đồng biến khi và chỉ khi $f’\left( x \right) \geqslant 0$.

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ ta thấy $f’\left( x \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 2$.

Vậy hàm số đồng biến trên $\left( {2\,;\, + \infty } \right)$.

Câu 7: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Hàm số $y = f’\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng

A. $\left( { – \infty ;\, – 1} \right)$. B. $\left( {2;\, + \infty } \right)$. C. $\left( { – 1;\,1} \right)$. D. $\left( {1;\,4} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f’\left( x \right)$ ta thấy: $f’\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
– 1 < x < 1 \hfill \\
x > 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – 1;\,1} \right)$ và $\left( {4;\, + \infty } \right)$.

Câu 8: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1;\,1} \right)$.

B. Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {1;\,2} \right)$.

C. Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { – 2;\,1} \right)$.

D. Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;\,2} \right)$.

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị của hàm $y = f’\left( x \right)$ ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;\,2} \right)$.

Câu 9: Hàm số $f(x)$có đạo hàm trên $\mathbb{R}$là hàm số $f'(x)$. Biết đồ thị hàm số $f'(x)$ được cho như hình vẽ. Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng

A. $\left( {\frac{1}{3};1} \right)$. B. $\left( {0; + \infty } \right)$. C. $\left( { – \infty ;\frac{1}{3}} \right)$. D. $\left( { – \infty ;0} \right)$.

Lời giải

Chọn D

Từ đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến trên $\left( { – \infty ;0} \right).$

Câu 10: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ trên khoảng $\left( { – \infty \,;\, + \infty } \right)$. Đồ thị của hàm số $y = f’\left( x \right)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. $\left( { – \infty \,;\,\frac{5}{2}} \right)$. B. $\left( {3\,;\, + \infty } \right)$. C. $\left( {0\,;\,3} \right)$. D. $\left( { – \infty \,;\,0} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị thấy $f’\left( x \right) \leqslant 0$, $\forall x \in \left( {0\,;\,3} \right)$ nên hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0\,;\,3} \right)$.

4. DẠNG 4: XÁC ĐỊNH TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ SỬ DỤNG $y = f’\left( x \right)$

Câu 1: Hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $y’ = {x^2}(x – 5)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $\left( {5; + \infty } \right).$ B. Hàm số nghịch biến trên $(0; + \infty )$.

C. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. D. Hàm số nghịch biến trên $\left( { – \infty ;0} \right)$ và$\left( {5; + \infty } \right).$

Lời giải

Chọn A

Vì hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $y’ = {x^2}(x – 5)$. Ta có bảng xét dấu $y’$.

Căn cứ vào bảng xét dấu suy ra hàm đồng biến trên $\left( {5; + \infty } \right).$ Do đó đáp án A đúng.

Câu 2: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = {x^2} + 2,\forall x \in \mathbb{R}.$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $f\left( { – 1} \right) \geqslant f\left( 1 \right)$. B. $f\left( { – 1} \right) = f\left( 1 \right)$. C. $f\left( { – 1} \right) > f\left( 1 \right)$. D. $f\left( { – 1} \right) < f\left( 1 \right)$.

Lời giải

Chọn D

Từ $f’\left( x \right) = {x^2} + 2,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Mà $ – 1 < 1 \Rightarrow f\left( { – 1} \right) < f\left( 1 \right).$

Câu 3: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x – 2} \right)^3}\left( {2x + 3} \right)$. Tìm số điểm cực trị của $f\left( x \right)$

A. $3$. B. $2$. C. $0$. D. $1$.

Lời giải

Chọn B

$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
x = – \frac{3}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

Bảng xét dấu của $f’\left( x \right)$ như sau:

Từ bảng xét dấu của $f’\left( x \right)$ suy ra hàm số $f\left( x \right)$ có $2$ điểm cực trị.

Câu 4: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm$y’ = {x^3} – 3x$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;\,1} \right)$.

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {1;\, + \infty } \right)$.

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { – 1;\,1} \right)$.

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {\sqrt 3 ;\, + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $y’ = 0 \Leftrightarrow {x^3} – 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = \pm \sqrt 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Bảng xét dấu

Dựa vào BXD ta có hàm số đồng biến trên $\left( {\sqrt 3 ;\, + \infty } \right)$

Câu 5: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2 – x} \right)\left( {x + 3} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – 3;2} \right)$.

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { – 3; – 1} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 3} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – 3;2} \right)$.

Lời giải

Chọn D

$f’\left( x \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
x = – 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Bảng xét dấu $f’\left( x \right)$

Dựa vào bảng trên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – 3;2} \right)$.

Câu 6: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = \left( {{x^2} – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {5 – x} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $f\left( 1 \right) < f\left( 4 \right) < f\left( 2 \right)$. B. $f\left( 1 \right) < f\left( 2 \right) < f\left( 4 \right)$.

C. $f\left( 2 \right) < f\left( 1 \right) < f\left( 4 \right)$. D. $f\left( 4 \right) < f\left( 2 \right) < f\left( 1 \right)$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $f’\left( x \right) = \left( {{x^2} – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {5 – x} \right)$

$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
x = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trong khoảng $\left( {1;{\text{ }}5} \right)$.

Do đó $\forall x \in \left( {1;5} \right)$ thì ta có $1 < 2 < 4$ $ \Rightarrow f\left( 1 \right) < f\left( 2 \right) < f\left( 4 \right)$.

Câu 7: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = {x^2} – 2x$,$\forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số $y = – 2f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng

A. $\left( {0;2} \right)$. B. $\left( {2; + \infty } \right)$. C. $\left( { – \infty ; – 2} \right)$. D. $\left( { – 2;0} \right)$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: $y’ = – 2f’\left( x \right) = – 2{x^2} + 4x > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {0;2} \right)$.

Suy ra: hàm số $y = – 2f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$

Câu 8: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ thỏa mãn $f’\left( x \right) = {x^2} – 5x + 4.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;3} \right)$.

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( {2;3} \right)$.

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$.

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {1;4} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Ta có: $f’\left( x \right) = 0$$ \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 4 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
x = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( {2;3} \right)$.

Câu 9: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2 – x} \right)\left( {x + 3} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { – 3\,;\,\, – 1} \right)$ và $\left( {2\,;\,\, + \infty } \right)$.

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – 3\,;\,\,2} \right)$.

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty \,;\,\, – 3} \right)$ và $\left( {2\,;\,\, + \infty } \right)$.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – 3\,;\,\,2} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Câu 10: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f’\left( x \right) = \left( {x + 2} \right){\left( {x – 1} \right)^{2018}}{\left( {x – 2} \right)^{2019}}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 1$ và đạt cực tiểu tại các điểm $x = \pm 2$.

B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( {1\,;\,2} \right)$ và $\left( {2\,;\, + \infty } \right)$.

C. Hàm số có ba điểm cực trị.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – 2\,;\,2} \right)$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $f’\left( x \right) = \left( {x + 2} \right){\left( {x – 1} \right)^{2020}}{\left( {x – 2} \right)^{2021}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 2 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

$f’\left( x \right) = \left( {{x^2} – 4} \right){\left( {x – 1} \right)^{2020}}{\left( {x – 2} \right)^{2020}}$. Do ${\left( {x – 1} \right)^{2020}}{\left( {x – 2} \right)^{2020}} \geqslant 0,\,\forall x$ nên dấu $f’\left( x \right)$ phụ thuộc vào dấu của tam thức bậc hai ${x^2} – 4$.

Bảng xét dấu $f’\left( x \right)$:

Từ bảng xét dấu trên ta thấy đáp án D là đúng.

5. DẠNG 5: XÁC ĐỊNH TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ SỬ DỤNG $y = f\left( x \right)$

Câu 1. (Mã 110 – 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$?

A. $y = \frac{{x – 1}}{{x – 2}}$ B. $y = {x^3} + x$ C. $y = – {x^3} – 3x$ D. $y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}$

Lời giải

Chọn B

Vì $y = {x^3} + x$$ \Rightarrow y’ = 3{x^2} + 1 > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Câu 2. (Đề Tham Khảo – 2017) Cho hàm số $y = \frac{{x – 2}}{{x + 1}}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1; + \infty } \right)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$

Lời giải

Chọn D

Tập xác định: $\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}$.

Ta có $y’ = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0$, $\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}$.

Câu 3. (Đề Tham Khảo – 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$?

A. $y = {x^4} + 3{x^2}$. B. $y = \frac{{x – 2}}{{x + 1}}$. C. $y = 3{x^3} + 3x – 2$. D. $y = 2{x^3} – 5x + 1$.

Lời giải

Chọn C

Hàm số $y = 3{x^3} + 3x – 2$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

$y’ = 9{x^2} + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.

Câu 4. (Mã 110 – 2017) Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$ B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$

Lời giải

Chọn B

Ta có $y’ = 3{x^2} – 6x$; $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

Lập bảng biến thiên rồi suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$

Câu 5. (Dề Minh Họa – 2017) Hỏi hàm số $y = 2{x^4} + 1$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $\left( { – \infty ;0} \right).$ B. $\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right)$. C. $\left( {0; + \infty } \right)$. D. $\left( { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn C

$y = 2{x^4} + 1$. Tập xác định:$D = \mathbb{R}$

Ta có: $y’ = 8{x^3}$; $y’ = 0 \Leftrightarrow 8{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$suy ra $y\left( 0 \right) = 1$

Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {\mkern 1mu} y = + \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} y = + \infty $

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Câu 6. (Mã 105 – 2017) Cho hàm số $y = {x^3} – 2{x^2} + x + 1$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{1}{3};1} \right)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;\frac{1}{3}} \right)$ D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {\frac{1}{3};1} \right)$

Lời giải

Chọn B

Ta có $y’ = 3{x^2} – 4x + 1 \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
x = \frac{1}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{1}{3};1} \right)$.

Câu 7. (Mã 105 – 2017) Cho hàm số $y = {x^4} – 2{x^2}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;\, – 2} \right)$ B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – 1;\,1} \right)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1;\,1} \right)$ D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;\, – 2} \right)$

Lời giải

Chọn A

TXĐ: $D = \mathbb{R}.$

$y’ = 4{x^3} – 4x;\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – 1;\,0} \right)$, $\left( {1;\, + \infty } \right)$; hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;\, – 1} \right)$, $\left( {0;\,1} \right)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;\, – 2} \right)$.

Cách 2: Dùng chức năng mode 7 trên máy tính kiểm tra từng đáp án.

Câu 8. (Mã 123 – 2017) Hàm số $y = \frac{2}{{{x^2} + 1}}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $( – \infty ; + \infty )$ B. $(0; + \infty )$ C. $( – \infty ;0)$ D. $( – 1;1)$

Lời giải

Chọn B

Ta có $y’ = \frac{{ – 4x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow x > 0$

Câu 9. (Mã 123 – 2017) Cho hàm số $y = {x^3} + 3x + 2$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$

Lời giải

Chọn C

Ta có:

+) TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

+) $y’ = 3{x^2} + 3 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$, do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 10. (Mã 104 – 2017) Cho hàm số $y = \sqrt {2{x^2} + 1} $. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$ B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;\,0} \right)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$ D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1;\,1} \right)$

Lời giải

Chọn A

Ta có $D = \mathbb{R}$, $y’ = \frac{{2x}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }}$; $y’ > 0 \Leftrightarrow x > 0$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;\,0} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$.