Chuyên đề tìm công thức thể tích khối nón trụ cầu luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 23 của đề tham khảo môn Toán.
TÌM CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI NÓN
Ⓐ Tóm tắt lý thuyết
Vấn đề ①: Mặt nón, khối nón
. Lý thuyết cần nắm:
①. Các thông số:
|
 |
②. Công thức tính toán:
| . Diện tích đáy:
. Chu vi đáy: |
${S_đ} = \pi {r^2}$
$C{V_đ} = 2\pi r$ |
 |
| . Diện tích xung quanh: | ${S_{xq}} = \pi rl$ | |
| . Diện tích toàn phần: | ${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_đ }$ | |
| . Thể tích khối nón: | ${V_{KN}} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h$ |
Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng $R$, chiều cao bằng $h$, độ dài đường sinh bằng $l$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ⓐ. $h = \sqrt {{R^2} – {l^2}} $. Ⓑ. $l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} $. Ⓒ. $l = \sqrt {{R^2} – {h^2}} $. Ⓓ. $R = {l^2} + {h^2}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${l^2} = {R^2} + {h^2}$ $ \Rightarrow l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} $.
Câu 2: Gọi $l$, $h$, $R$ lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của một hình nón. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Ⓐ. ${l^2} = {h^2} + {R^2}$. Ⓑ. $\frac{1}{{{l^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{{R^2}}}$. Ⓒ. ${R^2} = {h^2} + {l^2}$. Ⓓ. ${l^2} = h.R$.
Lời giải
Chọn A
Gọi $A$, $B$ lần lượt là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón. Gọi $C$ là một điểm nằm trên đường tròn đáy của hình nón.
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ta có $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}$$ \Leftrightarrow {l^2} = {h^2} + {R^2}$.
Câu 3: Cho khối nón có thể tích bằng $2\pi {a^3}$ và bán kính đáy bằng $a$. Độ dài đường sinh của khối nón đã cho bằng
Ⓐ. $6a$ Ⓑ. $a\sqrt 5 $ Ⓒ. $a\sqrt {37} $ Ⓓ. $a\sqrt 7 $
Lời giải
Chọn C
$V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {a^2}h = 2\pi {a^3} \Rightarrow h = 6a$.
Độ dài đường sinh: $l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{a^2} + 36{a^2}} = a\sqrt {37} $.
Câu 4: Một hình nón có đường sinh bằng $l$ và bằng đường kính đáy. Bán kính hình cầu nội tiếp hình nón bằng:
Ⓐ. $\frac{3}{4}l$. Ⓑ. $\frac{1}{3}l$. Ⓒ. $\frac{{\sqrt 3 }}{6}l$. Ⓓ. $\frac{{\sqrt 2 }}{6}l$.
Lời giải
Chọn C
Dễ thấy thiết diện qua trục hình nón là một tam giác đều cạnh $l$.
Bán kính hình cầu nội tiếp hình nón chính là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đều nói trên: $R = \frac{{\sqrt 3 }}{6}l$.
Câu 5: [2H2-0.0-1] Cho hình nón có diện tích xung quanh là ${S_{xq}}$ và bán kính đáy là $r$. Công thức nào dưới đây dùng để tính đường sinh $l$ của hình nón đã cho.
Ⓐ. $l = \frac{{{S_{xq}}}}{{2{\rm{\pi }}r}}$. Ⓑ. $l = \frac{{2{S_{xq}}}}{{{\rm{\pi }}r}}$. Ⓒ. $l = 2{\rm{\pi }}{S_{xq}}r$. Ⓓ. $l = \frac{{{S_{xq}}}}{{{\rm{\pi }}r}}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có ${S_{xq}} = {\rm{\pi }}rl$$ \Leftrightarrow l = \frac{{{S_{xq}}}}{{{\rm{\pi }}r}}$.
Vấn đề ②: Mặt trụ, khối trụ
. Lý thuyết cần nắm:
Ⓐ- Các thông số:
Ⓑ- Công thức tính toán:
|
 |
Bài tập minh họa:
Câu 6: Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$ bằng:
Ⓐ. $\pi rl$. Ⓑ. $4\pi rl$. Ⓒ. $2\pi rl$. Ⓓ. $\frac{4}{3}\pi rl$.
Lời giải
Chọn C
Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$ là ${S_{xq}} = 2\pi rl$.
Câu 7: Cho hình trụ có bán kính đáy $5\,cm$, chiều cao $4\,cm$. Diện tích toàn phần của hình trụ này là
Ⓐ. $90\pi \left( {c{m^2}} \right)$. Ⓑ. $94\pi \left( {c{m^2}} \right)$. Ⓒ. $96\pi \left( {c{m^2}} \right)$. Ⓓ. $92\pi \left( {c{m^2}} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có bán kính hình trụ là $r = 5\,cm$, độ dài đường sinh $l$ bằng chiều cao $h$ của hình trụ tức là $l = h = 4\,cm$.
Diện tích toàn phần của hình trụ là ${S_{tp}} = 2\pi rl + 2\pi {r^2} = 2\pi .5.4 + 2\pi {.5^2} = 90\pi \left( {c{m^2}} \right)$.
Câu 8: Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có chiều cao $20\;{\rm{m}}$, chu vi đáy bằng $5\;{\rm{m}}$.
Ⓐ. $100\;{{\rm{m}}^2}$. Ⓑ. $50\;{{\rm{m}}^2}$. Ⓒ. $50\pi \;{{\rm{m}}^2}$. Ⓓ. $100\pi \;{{\rm{m}}^2}$.
Lời giải
Chọn A
Chu vi đáy bằng $5\;{\rm{m}}$nên ta có $2\pi R = 5$.
Diện tích xung quanh của hình trụ là $2\pi Rl = \left( {2\pi R} \right)h = 5.20 = 100\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.
Câu 9: Một hình trụ có bán kính đáy $r = a$, độ dài đường sinh $l = 2a$.Diện tích toàn phần của hình trụ này là:
Ⓐ. $2\pi {a^2}$. Ⓑ. $4\pi {a^2}$. Ⓒ. $6\pi {a^2}$. Ⓓ. $5\pi {a^2}$.
Lời giải
Chọn C
${S_{tp}} = 2{S_d} + {S_{xq}} = 2\pi {a^2} + 2\pi a.2a = 6\pi {a^2}$, chọn C
Vấn đề ③: Mặt cầu, khối cầu
. Phương pháp:
|
①. Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$ . ②. Áp dụng công thức tính thể tích khối cầu $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$. |
 |
Bài tập minh họa:
Câu 10: Một mặt cầu có diện tích $16{\rm{\pi }}$ thì bán kính mặt cầu bằng
Ⓐ. $2$ Ⓑ. $4\sqrt 2 $ Ⓒ. $2\sqrt 2 $ Ⓓ. $4$
Lời giải
Chọn A
Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là $S = 4{\rm{\pi }}{R^2}$$ = 16{\rm{\pi }}$$ \Rightarrow R = 2$.
Câu 11: Tính bán kính $r$ của khối cầu có thể tích là $V = 36\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$.
Ⓐ. $r = 3\left( {{\rm{cm}}} \right)$. Ⓑ. $r = 6\left( {{\rm{cm}}} \right)$. Ⓒ. $r = 4\left( {{\rm{cm}}} \right)$. Ⓓ. $r = 9\left( {{\rm{cm}}} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $V = \frac{4}{3}\pi {r^3}$$ \Rightarrow {r^3} = \frac{{3V}}{{4\pi }}$ $ \Rightarrow {r^3} = 27$$ \Rightarrow r = 3$. Vậy $r = 3\left( {{\rm{cm}}} \right)$.
Câu 12: Cho mặt cầu có diện tích bằng $\frac{{8\pi {a^2}}}{3}$. Khi đó bán kính mặt cầu bằng.
Ⓐ. $\frac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Ⓑ. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$. Ⓒ. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$. Ⓓ. $\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $\frac{{8\pi {a^2}}}{3} = 4\pi {R^2} \Leftrightarrow R = \frac{{\sqrt 6 }}{3}a$.
Câu 13: Một mặt cầu có diện tích xung quanh là $\pi $ thì có bán kính bằng
Ⓐ. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Ⓑ. $\sqrt 3 $. Ⓒ. $\frac{1}{2}$. Ⓓ. $1$.
Lời giải
Chọn A
Diện tích mặt cầu là $S = 4\pi {R^2} = \pi \Rightarrow R = \frac{1}{2}$
Câu 14: Cho hình chóp $D.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $DA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết $AB = 3a,BC = 4a,AD = 5a$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $D.ABC$ bằng
Ⓐ. $\frac{{5a\sqrt 3 }}{3}$ Ⓑ. $\frac{{5a\sqrt 2 }}{3}$ Ⓒ. $\frac{{5a\sqrt 3 }}{2}$ Ⓓ. $\frac{{5a\sqrt 2 }}{2}$
Lời giải
Chọn D
Do $DA$ vuông góc với mặt phẳng đáy nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp $D.ABC$ là${R_c} = \sqrt {R_{ABC}^2 + {{\left( {\frac{{DA}}{2}} \right)}^2}} $ với ${R_{ABC}} = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }}{2} = \frac{{5a}}{2}$, $DA = 5a$. Từ đó ${R_c} = \frac{{5a\sqrt 2 }}{2}$.
Câu 15: Diện tích của mặt cầu có bán kính $R$ bằng
Ⓐ. $2\pi {R^2}$. Ⓑ. $\pi {R^2}$. Ⓒ. $4\pi {R^2}$. Ⓓ. $2\pi R$.
Lời giải
Chọn C
Diện tích của mặt cầu có bán kính $R$ bằng $4\pi {R^2}$.
Câu 16: Nếu một khối cầu có bán kính bằng $R$ thì có thể tích bằng
Ⓐ. $4\pi {R^3}$. Ⓑ. $\frac{1}{3}\pi {R^3}$. Ⓒ. $\frac{4}{3}{R^3}$. Ⓓ. $\frac{4}{3}\pi {R^3}$.
Lời giải
Chọn D
Áp dụng công thức tính thể tích khối cầu ta có $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$.
Câu 17: Khối cầu bán kính $R = 2a$ có thể tích là
Ⓐ. $\frac{{32\pi {a^3}}}{3}$. Ⓑ. $6\pi {a^3}$. Ⓒ. $16\pi {a^2}$. Ⓓ. $\frac{{8\pi {a^3}}}{3}$.
Lời giải
Chọn A
Thể tích của khối cầu có bán kính $R = 2a$ là: $V = \frac{4}{3}\pi {\left( {2a} \right)^3} = \frac{{32}}{3}\pi {a^3}$.
Ⓑ Bài tập rèn luyện
Câu 1: Viết công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh $l$ và bán kính đường tròn đáy $r$.
A. ${S_{xq}} = \pi rl$. B. ${S_{xq}} = 2\pi rl$. C. ${S_{xq}} = \pi {r^2}l$. D. ${S_{xq}} = 2\pi {r^2}l$.
Câu 2: Tìm hình thu được khi quay một tam giác vuông quanh trục chứa một cạnh góc vuông?
A. Hình nón. B. Khối nón. C. Hình chóp. D. Khối chóp.
Câu 3: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AC$ ta được
A. Khối nón. B. Mặt nón. C. Khối trụ. D. Khối cầu
Câu 4: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Khi quay tam giác đó quanh cạnh góc vuông $AB$, đường gấp khúc $BCA$ tạo thành hình tròn xoay nào trong bốn hình sau đây.
A. Hình nón. B. Hình trụ. C. Hình cầu. D. Mặt nón.
Câu 5: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AB$ thì hình tròn xoay được tạo thành là.
A. hình cầu. B. hình trụ. C. hình nón. D. hình nón.
Câu 6: Cho hình nón đỉnh $S$ có đáy là đường tròn tâm $O$, bán kính $R$. Biết $SO = h$. Độ dài đường sinh của hình nón bằng
A. $\sqrt {{h^2} – {R^2}} $. B. $\sqrt {{h^2} + {R^2}} $. C. $2\sqrt {{h^2} – {R^2}} $. D. $2\sqrt {{h^2} + {R^2}} $.
Câu 7: Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng $9\pi $. Tính đường cao $h$ của hình nón.
A. $h = 3\sqrt 3 $. B. $h = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$. C. $h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. D. $h = \sqrt 3 $.
Câu 8: Cho hình nón có đường sinh bằng $4a,$ diện tích xung quanh bằng $8\pi {a^2}.$ Tính chiều cao của hình nón đó theo $a.$
A. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$ B. $a\sqrt 3 .$ C. $2a\sqrt 3 .$ D. $2a.$
Câu 9: Cho khối nón có thể tích bằng $2\pi {a^3}$ và bán kính đáy bằng $a$. Độ dài đường sinh của khối nón đã cho bằng
A. $6a$ B. $a\sqrt 5 $ C. $a\sqrt {37} $ D. $a\sqrt 7 $
Câu 10: Cho hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy $r$, chiều cao $h$ và đường sinh $l$.
Kết luận nào sau đây sai?
A. $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h$. B. ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}$. C. ${h^2} = {r^2} + {l^2}$. D. ${S_{xq}} = \pi rl$.
Câu 11: Trong không gian, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = 3a$ và $AC = 4a$. Độ dài đường sinh $l$ của hình nón nhận được khi quay $\Delta ABC$ xung quanh trục $AC$ bằng
A. $l = a$. B. $l = \sqrt 2 a$. C. $l = \sqrt 3 a$. D. $l = 5a$.
Câu 12: Khối nón có bán kính đáy bằng $2$, chiều cao bằng $2\sqrt 3 $ thì có đường sinh bằng:
A. $2$ B. $3$ C. $16$ D. $4$
Câu 13: Cho hình nón có đường sinh bằng $\sqrt 3 a,$ chiều cao là $a$. Tính bán kính đáy của hình nón đó theo $a.$
A. $2a.$. B. $a\sqrt 2 $. C. $\frac{a}{2}$. D. $2\sqrt 2 .\pi a$.
Câu 14: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng $\pi $. Chiều cao của hình nón bằng
A. $\sqrt 3 $. B. $\sqrt 5 $. C. $1$. D. $\sqrt 2 $.
Câu 15: Một hình nón có bán kính đáy là $5a$, độ dài đường sinh là $13a$ thì đường cao $h$ của hình nón là
A. $7a\sqrt 6 $. B. $8a$. C. $17a$. D. $12a$.
Câu 16: Một hình nón có đường kính của đường tròn đáy bằng 10 $(cm)$ và chiều dài của đường sinh bằng 15 $(cm)$. Thể tích của khối nón bằng.
A. $\frac{{500\pi \sqrt 5 }}{3}(c{m^3})$ B. $\frac{{250\pi \sqrt 2 }}{3}(c{m^3})$. C. $250\pi \sqrt 2 (c{m^3})$. D. $500\pi \sqrt 5 (c{m^3})$
Câu 17: Cho hình nón có diện tích xung quanh là ${S_{xq}}$ và bán kính đáy là $r$. Công thức nào dưới đây dùng để tính đường sinh $l$ của hình nón đã cho.
A. $l = \frac{{{S_{xq}}}}{{2{\rm{\pi }}r}}$. B. $l = \frac{{2{S_{xq}}}}{{{\rm{\pi }}r}}$. C. $l = 2{\rm{\pi }}{S_{xq}}r$. D. $l = \frac{{{S_{xq}}}}{{{\rm{\pi }}r}}$.
Câu 18: Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng $9\pi $. Tính đường cao $h$ của hình nón.
A. $h = 3\sqrt 3 .$ B. $h = \sqrt 3 .$ C. $h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$ D. $h = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$
Câu 19: Một hình nón có đường sinh bằng $l$ và bằng đường kính đáy. Bán kính hình cầu nội tiếp hình nón bằng:
A. $\frac{3}{4}l$. B. $\frac{1}{3}l$. C. $\frac{{\sqrt 3 }}{6}l$. D. $\frac{{\sqrt 2 }}{6}l$.
Câu 20: Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng $R$, chiều cao bằng $h$, độ dài đường sinh bằng $l$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $h = \sqrt {{R^2} – {l^2}} $. B. $l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} $. C. $l = \sqrt {{R^2} – {h^2}} $. D. $R = {l^2} + {h^2}$.
Câu 21: Gọi $l$, $h$, $R$ lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của một hình nón. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. ${l^2} = {h^2} + {R^2}$. B. $\frac{1}{{{l^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{{R^2}}}$. C. ${R^2} = {h^2} + {l^2}$. D. ${l^2} = h.R$.
Câu 22: Một khối nón có diện tích xung quanh bằng $2\pi $$\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$ và bán kính đáy $\frac{1}{2}$$\left( {{\rm{cm}}} \right)$. Khi đó độ dài đường sinh là
A. $2$$\left( {{\rm{cm}}} \right)$. B. $3$$\left( {{\rm{cm}}} \right)$. C. $1$$\left( {{\rm{cm}}} \right)$. D. $4$$\left( {{\rm{cm}}} \right)$.
Câu 23: Một hình nón có chiều cao bằng $a\sqrt 3 $ và bán kính đáy bằng $a$. Tính diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của hình nón.
A. ${S_{xq}} = 2\pi {a^2}$. B. ${S_{xq}} = \sqrt 3 \pi {a^2}$. C. ${S_{xq}} = \pi {a^2}$. D. ${S_{xq}} = 2{a^2}$.
Câu 24: Cho hình nón có bán kính đáy là$a$, chiều cao là $a$. Diện tích xung quanh hình nón bằng
A. $\sqrt 2 \pi {a^2}$. B. $\pi {a^2}$. C. $\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\pi {a^2}$. D. $\frac{1}{3}\pi {a^2}$.
Câu 25: Cho hình nón có bán kính đáy $r = \sqrt 3 $ và độ dài đường sinh $l = 4$. Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
A. ${S_{xq}} = \sqrt {39} \pi $. B. ${S_{xq}} = 12\pi $. C. ${S_{xq}} = 8\sqrt 3 \pi $. D. ${S_{xq}} = 4\sqrt 3 \pi $.
Câu 26: Gọi $l$, $h$, $R$ lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Diện tích xung quanh của hình trụ là
A. ${S_{xq}} = \pi Rl$. B. ${S_{xq}} = 2\pi Rl$. C. ${S_{xq}} = \pi Rh$. D. ${S_{xq}} = 4\pi Rl$.
Câu 27: Hình nón có đường sinh $l = 2a$ và bán kính đáy bằng $a$. Diện tích xung quanh của hình nón bằng bao nhiêu?
A. $2\pi {a^2}$. B. $4\pi {a^2}$. C. $\pi {a^2}$. D. $2\pi {a^2}$.
Câu 28: Cho hình nón $\left( N \right)$ có đường kính đáy bằng $4a$, đường sinh bằng $5a$. Tính diện tích xung quanh $S$ của hình nón $\left( N \right)$.
A. $S = 10\pi {a^2}$. B. $S = 14\pi {a^2}$. C. $S = 36\pi {a^2}$. D. $S = 20\pi {a^2}$.
Câu 29: Cho hình nón có đường sinh $l = 5$, bán kính đáy $r = 3$. Diện tích toàn phần của hình nón đó là:
A. ${S_{tp}} = 15\pi .$ B. ${S_{tp}} = 20\pi .$ C. ${S_{tp}} = 22\pi .$ D. ${S_{tp}} = 24\pi .$
Câu 30: Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ quay quanh đường cao $AH$ tạo nên một hình nón Diện tích xung quanh $S$ của hình nón đó là:
A. $S = \frac{{3\pi {a^2}}}{4}$. B. $S = \pi {a^2}$. C. $S = \frac{{\pi {a^2}}}{2}$. D. $S = 2\pi {a^2}$.
Câu 31: Trong không gian cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AC = 3a$, $AB = 4a$. Tính theo $a$ diện tích xung quanh $S$ của hình nón khi quay tam giác $ABC$ quanh trục $AC$.
A. $S = 20{a^2}\pi $. B. $S = 15{a^2}\pi $. C. $S = 40{a^2}\pi $. D. $S = 30{a^2}\pi $.
Câu 32: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng $a$. Diện tích xung quanh của hình nón bằng
A. $\frac{{{\rm{\pi }}{a^2}\sqrt 2 }}{4}$ B. $\frac{{{\rm{2\pi }}{a^2}\sqrt 2 }}{3}$ C. $\frac{{{\rm{\pi }}{a^2}\sqrt 2 }}{2}$ D. ${\rm{\pi }}{a^2}\sqrt 2 $
Câu 33: Cho hình nón có bán kính đáy là $r = \sqrt 2 $và độ dài đường sinh$l = 4$. Tính diện tích xung quanh $S$của hình nón đã cho.
A. $S = 16\pi $. B. $S = 8\sqrt 2 \pi $. C. $S = 16\sqrt 2 \pi $. D. $S = 4\sqrt 2 \pi $.
Câu 34: Một hình nón có chiều cao bằng $a\sqrt 3 $ và bán kính đáy bằng $a$. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
A. $2\pi {a^2}$. B. $\sqrt 3 \pi {a^2}$. C. $\pi {a^2}$. D. $3\pi {a^2}$.
Câu 35: Gọi $l$, $h$, $R$ lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính của hình nón. Diện tích toàn phần ${S_{tp}}$ của hình nón là
A. ${S_{tp}} = \pi Rl\, + \,2\pi {R^2}$. B. ${S_{tp}} = 2\pi Rl\, + \,2\pi {R^2}$.
C. ${S_{tp}} = 2\pi Rl\, + \,\pi {R^2}$. D. ${S_{tp}} = \pi Rl\, + \,\pi {R^2}$.
Câu 36: Cho khối nón có bán kính đáy $r = 2,$ chiều cao $h = \sqrt 3 .$ Thể tích của khối nón là
A. $\frac{{4\pi \sqrt 3 }}{3}.$ B. $\frac{{4\pi }}{3}.$ C. $\frac{{2\pi \sqrt 3 }}{3}.$ D. $4\pi \sqrt 3 .$
Câu 37: Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$ là
A. ${S_{xq}} = rl$. B. ${S_{xq}} = 2\pi rl$. C. ${S_{xq}} = \pi rl$. D. ${S_{xq}} = 2rl$.
Câu 38: Một hình nón có đường cao $h = 20{\rm{ cm}}$, bán kính đáy $r = 25{\rm{ cm}}$. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó:
A. $5\pi \sqrt {41} $. B. $125\pi \sqrt {41} $. C. $25\pi \sqrt {41} $. D. $75\pi \sqrt {41} $.
Câu 39: Công thức tính diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của hình nón có đường sinh $l,$bán kính đáy $r$ là
A. ${S_{xq}} = 4\pi rl$ B. ${S_{xq}} = 2\pi rl$ C. ${S_{xq}} = \pi rl$ D. ${S_{xq}} = 3\pi rl$
Câu 40: Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy là $R$ và đường sinh bằng $l$ là
A. $\frac{4}{3}\pi Rl$ B. $2\pi Rl$. C. $\pi Rl$. D. $\frac{1}{3}\pi Rl$.
Câu 41: Cho khối nón có bán kính đáy $r = \sqrt 3 $ và chiều cao $h = 4$. Tính thể tích $V$ của khối nón đã cho.
A. $V = 4\pi $. B. $V = 16\pi \sqrt 3 $. C. $V = 12\pi $. D. $V = \frac{{16\pi \sqrt 3 }}{3}$.
Câu 42: Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng $a$.
A. ${S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}$. B. ${S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}}}{3}$. C. ${S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}$. D. ${S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{6}$.
Câu 43: Hình nón đường sinh $l$, thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân. Diện tích xung quanh của hình nón là.
A. $\frac{{\pi {l^2}}}{4}.$ B. $\frac{{\pi {l^2}}}{{\sqrt 2 }}.$ C. $\frac{{\pi {l^2}}}{2}.$ D. $\frac{{\pi {l^2}}}{{2\sqrt 2 }}.$
Câu 44: Cho hình nón có đường sinh $l = 2a$ và hợp với đáy một góc $60^\circ $. Diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của khối nón bằng.
A. ${S_{xq}} = 2\pi {a^2}$. B. ${S_{xq}} = {a^2}$. C. ${S_{xq}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2}$. D. ${S_{xq}} = 2{a^2}$.
Câu 45: Nếu một hình nón có đường kính đường tròn đáy bằng $a$ và độ dài đường sinh bằng $l$ thì có diện tích xung quanh bằng
A. $\pi al$. B. $2\pi al$. C. $\frac{1}{3}\pi al$. D. $\frac{1}{2}\pi al$.
Câu 46: Một hình trụ có bán kính đáy $r = a$, độ dài đường sinh $l = 2a$. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
A. $4\pi {a^2}$. B. $2\pi {a^2}$. C. $5\pi {a^2}$. D. $6\pi {a^2}$.
Câu 47: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6,AC = 8.$ Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AC.$
A. ${S_{xq}} = 160\pi .$ B. ${S_{xq}} = 80\pi .$ C. ${S_{xq}} = 120\pi .$ D. ${S_{xq}} = 60\pi .$
Câu 48: Cho hình nón có bán kính đáy $r = \sqrt 3 $ và độ dài đường sinh $l = 4$. Tính diện tích xung quanh $S$ của hình nón đã cho.
A. $S = 8\sqrt 3 \pi $. B. $S = 24\pi $. C. $S = 16\sqrt 3 \pi $. D. $S = 4\sqrt 3 \pi $.
Câu 49: Cho hình nón có bán kính đáy là $4a$, chiều cao là $3a$. Diện tích xung quanh hình nón bằng
A. $24\pi {a^2}$.B. $20\pi {a^2}$. C. $40\pi {a^2}$. D. $12\pi {a^2}$.
Câu 50: Nếu một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng $R$ và độ dài đường sinh bằng $a$ thì có diện tích xung quanh bằng
A. $2\pi Ra$. B. $\frac{1}{3}\pi Ra$. C. $\pi Ra$. D. $\frac{1}{2}\pi Ra$.
Câu 51: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $AC = 2a,\,BC = a$, khi quay tam giác $ABC$ quay quanh cạnh góc vuông $AB$ thì đường gấp khúc $ABC$ tạo thành một hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh bằng:
A. $\pi {a^2}$. B. $3\pi {a^2}$. C. $4\pi {a^2}$. D. $2\pi {a^2}$.
Câu 52: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = a\sqrt 3 $, $AC = a$. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng $AB$ là:
A. ${S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2}$. B. ${S_{xq}} = \pi {a^2}\sqrt 3 $. C. ${S_{xq}} = 2\pi {a^2}$. D. ${S_{xq}} = 4\pi {a^2}$.
ĐÁP ÁN
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| A | A | A | A | D | B | A | C | C | C |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| D | D | B | A | D | B | D | A | C | D |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| A | C | A | A | D | B | A | A | D | C |
| 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
| A | C | D | A | D | A | C | B | C | C |
| 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
| A | A | B | A | D | A | D | D | B | C |
| 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| D | C |
Hướng dẫn giải
Dạng 00: Các câu hỏi chưa phân dạng
Câu 1: Viết công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh $l$ và bán kính đường tròn đáy $r$.
A. ${S_{xq}} = \pi rl$. B. ${S_{xq}} = 2\pi rl$. C. ${S_{xq}} = \pi {r^2}l$. D. ${S_{xq}} = 2\pi {r^2}l$.
Lời giải
Công thức.
Câu 2: Tìm hình thu được khi quay một tam giác vuông quanh trục chứa một cạnh góc vuông?
A. Hình nón. B. Khối nón. C. Hình chóp. D. Khối chóp.
Lời giải
Theo lý thuyết
Câu 3: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AC$ ta được
A. Khối nón. B. Mặt nón. C. Khối trụ. D. Khối cầu
Lời giải
Câu 4: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Khi quay tam giác đó quanh cạnh góc vuông $AB$, đường gấp khúc $BCA$ tạo thành hình tròn xoay nào trong bốn hình sau đây.
A. Hình nón. B. Hình trụ. C. Hình cầu. D. Mặt nón.
Lời giải
Khi quay tam giác đó quanh cạnh góc vuông $AB$, đường gấp khúc $BCA$ tạo thành hình tròn xoay là hình nón.
Câu 5: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AB$ thì hình tròn xoay được tạo thành là.
A. hình cầu. B. hình trụ. C. hình nón. D. hình nón.
Hình tròn xoay được tạo thành là hình nón.
Dạng 01: Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao
Câu 6: Cho hình nón đỉnh $S$ có đáy là đường tròn tâm $O$, bán kính $R$. Biết $SO = h$. Độ dài đường sinh của hình nón bằng
A. $\sqrt {{h^2} – {R^2}} $. B. $\sqrt {{h^2} + {R^2}} $. C. $2\sqrt {{h^2} – {R^2}} $. D. $2\sqrt {{h^2} + {R^2}} $.
Lời giải
Ta có đường sinh $l = \sqrt {{h^2} + {R^2}} $.
Câu 7: Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng $9\pi $. Tính đường cao $h$ của hình nón.
A. $h = 3\sqrt 3 $. B. $h = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$. C. $h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. D. $h = \sqrt 3 $.
Lời giải
Gọi $r,l$ lần lượt là bán kính đáy và đường sinh của hình nón.
Ta có: $\pi {r^2} = 9\pi \Leftrightarrow {r^2} = 9 \Leftrightarrow r = 3$.
$l = 2r = 2.3 = 6$.
$h = \sqrt {{l^2} – {r^2}} = \sqrt {{6^2} – {3^2}} = 3\sqrt 3 $.
Câu 8: Cho hình nón có đường sinh bằng $4a,$ diện tích xung quanh bằng $8\pi {a^2}.$ Tính chiều cao của hình nón đó theo $a.$
A. $\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$ B. $a\sqrt 3 .$ C. $2a\sqrt 3 .$ D. $2a.$
Lời giải
Ta có: ${S_{xq}} = \pi rl = 8\pi {a^2} \Rightarrow r = \frac{{8{a^2}}}{l} = \frac{{8{a^2}}}{{4a}} = 2a \Rightarrow h = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2} – {{\left( {2a} \right)}^2}} = 2\sqrt 3 a$.
Câu 9: Cho khối nón có thể tích bằng $2\pi {a^3}$ và bán kính đáy bằng $a$. Độ dài đường sinh của khối nón đã cho bằng
A. $6a$ B. $a\sqrt 5 $ C. $a\sqrt {37} $ D. $a\sqrt 7 $
Lời giải
$V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {a^2}h = 2\pi {a^3} \Rightarrow h = 6a$.
Độ dài đường sinh: $l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{a^2} + 36{a^2}} = a\sqrt {37} $.
Câu 10: Cho hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy $r$, chiều cao $h$ và đường sinh $l$.
Kết luận nào sau đây sai?
A. $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h$. B. ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}$. C. ${h^2} = {r^2} + {l^2}$. D. ${S_{xq}} = \pi rl$.
Lời giải
Ta có tam giác $SOB$ vuông tại $O$ nên: ${h^2} + {r^2} = {l^2} \Rightarrow {h^2} = {l^2} – {r^2}$.
Câu 11: Trong không gian, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = 3a$ và $AC = 4a$. Độ dài đường sinh $l$ của hình nón nhận được khi quay $\Delta ABC$ xung quanh trục $AC$ bằng
A. $l = a$. B. $l = \sqrt 2 a$. C. $l = \sqrt 3 a$. D. $l = 5a$.
Lời giải
Đường sinh của hình nón có độ dài bằng đoạn $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 5a$.
Câu 12: Khối nón có bán kính đáy bằng $2$, chiều cao bằng $2\sqrt 3 $ thì có đường sinh bằng:
A. $2$ B. $3$ C. $16$ D. $4$
Lời giải
Ta có $l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} $$ = \sqrt {{2^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} $$ = 4$.
Câu 13: Cho hình nón có đường sinh bằng $\sqrt 3 a,$ chiều cao là $a$. Tính bán kính đáy của hình nón đó theo $a.$
A. $2a.$. B. $a\sqrt 2 $. C. $\frac{a}{2}$. D. $2\sqrt 2 .\pi a$.
Lời giải
Ta có: $r = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2} – {{\left( a \right)}^2}} = \sqrt 2 a$.
Câu 14: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng $\pi $. Chiều cao của hình nón bằng
A. $\sqrt 3 $. B. $\sqrt 5 $. C. $1$. D. $\sqrt 2 $.
Lời giải
Theo đề bài, ta có $BC = AC = 2R$.
Mà ${S_{{\rm{day}}}} = \pi {R^2} = \pi \Rightarrow R = 1$.
Do đó $BC = 2$.
Tam giác $MBC$ vuông tại $M$ nên chiều cao hình nón $BM = \sqrt {B{C^2} – M{C^2}} = \sqrt {4 – 1} = \sqrt 3 $.
Câu 15: Một hình nón có bán kính đáy là $5a$, độ dài đường sinh là $13a$ thì đường cao $h$ của hình nón là
A. $7a\sqrt 6 $. B. $8a$. C. $17a$. D. $12a$.
Lời giải
Gọi $r$, $l$ lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.
Ta có $h = \sqrt {{l^2} – {r^2}} = \sqrt {{{\left( {13a} \right)}^2} – {{\left( {5a} \right)}^2}} = 12a$.
Vậy đường cao $h$ của hình nón là $12a$.
Câu 16: Một hình nón có đường kính của đường tròn đáy bằng 10 $(cm)$ và chiều dài của đường sinh bằng 15 $(cm)$. Thể tích của khối nón bằng.
A. $\frac{{500\pi \sqrt 5 }}{3}(c{m^3})$ B. $\frac{{250\pi \sqrt 2 }}{3}(c{m^3})$. C. $250\pi \sqrt 2 (c{m^3})$. D. $500\pi \sqrt 5 (c{m^3})$
Lời giải
Ta có bán kính đường tròn đáy$R = 5$, đường sinh $l = 15$
$h = \sqrt {{l^2} – {R^2}} = \sqrt {{{15}^2} – {5^2}} = 10\sqrt 2 $
$V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi .25.10\sqrt 2 = \frac{{250\pi \sqrt 2 }}{3}$
Suy ra
Câu 17: Cho hình nón có diện tích xung quanh là ${S_{xq}}$ và bán kính đáy là $r$. Công thức nào dưới đây dùng để tính đường sinh $l$ của hình nón đã cho.
A. $l = \frac{{{S_{xq}}}}{{2{\rm{\pi }}r}}$. B. $l = \frac{{2{S_{xq}}}}{{{\rm{\pi }}r}}$. C. $l = 2{\rm{\pi }}{S_{xq}}r$. D. $l = \frac{{{S_{xq}}}}{{{\rm{\pi }}r}}$.
Lời giải
Ta có ${S_{xq}} = {\rm{\pi }}rl$$ \Leftrightarrow l = \frac{{{S_{xq}}}}{{{\rm{\pi }}r}}$.
Câu 18: Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng $9\pi $. Tính đường cao $h$ của hình nón.
A. $h = 3\sqrt 3 .$ B. $h = \sqrt 3 .$ C. $h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$ D. $h = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$
Lời giải
Ta có $l = 2R$ và $S = 9\pi \Leftrightarrow \pi {R^2} = 9 \Leftrightarrow R = 3$
$ \Rightarrow h = AO = \sqrt {{6^2} – {3^2}} = 3\sqrt 3 $.
Câu 19: Một hình nón có đường sinh bằng $l$ và bằng đường kính đáy. Bán kính hình cầu nội tiếp hình nón bằng:
A. $\frac{3}{4}l$. B. $\frac{1}{3}l$. C. $\frac{{\sqrt 3 }}{6}l$. D. $\frac{{\sqrt 2 }}{6}l$.
Lời giải
Dễ thấy thiết diện qua trục hình nón là một tam giác đều cạnh $l$.
Bán kính hình cầu nội tiếp hình nón chính là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đều nói trên: $R = \frac{{\sqrt 3 }}{6}l$.
Câu 20: Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng $R$, chiều cao bằng $h$, độ dài đường sinh bằng $l$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $h = \sqrt {{R^2} – {l^2}} $. B. $l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} $. C. $l = \sqrt {{R^2} – {h^2}} $. D. $R = {l^2} + {h^2}$.
Lời giải
Ta có: ${l^2} = {R^2} + {h^2}$ $ \Rightarrow l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} $.
Câu 21: Gọi $l$, $h$, $R$ lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của một hình nón. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. ${l^2} = {h^2} + {R^2}$. B. $\frac{1}{{{l^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{{R^2}}}$. C. ${R^2} = {h^2} + {l^2}$. D. ${l^2} = h.R$.
Lời giải
Gọi $A$, $B$ lần lượt là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón. Gọi $C$ là một điểm nằm trên đường tròn đáy của hình nón.
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ta có $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}$$ \Leftrightarrow {l^2} = {h^2} + {R^2}$.
Câu 22: Một khối nón có diện tích xung quanh bằng $2\pi $$\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$ và bán kính đáy $\frac{1}{2}$$\left( {{\rm{cm}}} \right)$. Khi đó độ dài đường sinh là
A. $2$$\left( {{\rm{cm}}} \right)$. B. $3$$\left( {{\rm{cm}}} \right)$. C. $1$$\left( {{\rm{cm}}} \right)$. D. $4$$\left( {{\rm{cm}}} \right)$.
Lời giải
Ta có: ${S_{xq}} = \pi Rl \Rightarrow l = \frac{{{S_{xq}}}}{{\pi R}} = \frac{{2\pi }}{{\pi .\frac{1}{2}}} = 4$.
Dạng 02: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần
Câu 23: Một hình nón có chiều cao bằng $a\sqrt 3 $ và bán kính đáy bằng $a$. Tính diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của hình nón.
A. ${S_{xq}} = 2\pi {a^2}$. B. ${S_{xq}} = \sqrt 3 \pi {a^2}$. C. ${S_{xq}} = \pi {a^2}$. D. ${S_{xq}} = 2{a^2}$.
Lời giải
Đường sinh: $l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = 2a$. Diện tích xung quanh là ${S_{xq}} = \pi rl = 2\pi {a^2}$.
Câu 24: Cho hình nón có bán kính đáy là$a$, chiều cao là $a$. Diện tích xung quanh hình nón bằng
A. $\sqrt 2 \pi {a^2}$. B. $\pi {a^2}$. C. $\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\pi {a^2}$. D. $\frac{1}{3}\pi {a^2}$.
Lời giải
Đường sinh: $l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = \sqrt 2 a$. Diện tích xung quanh là ${S_{xq}} = \pi rl = \sqrt 2 \pi {a^2}$.
Câu 25: Cho hình nón có bán kính đáy $r = \sqrt 3 $ và độ dài đường sinh $l = 4$. Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
A. ${S_{xq}} = \sqrt {39} \pi $. B. ${S_{xq}} = 12\pi $. C. ${S_{xq}} = 8\sqrt 3 \pi $. D. ${S_{xq}} = 4\sqrt 3 \pi $.
Lời giải
Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón: ${S_{xq}} = \pi rl$
Ta có diện tích xung quanh cần tính là: ${S_{xq}} = 4\sqrt 3 \pi $
Câu 26: Gọi $l$, $h$, $R$ lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Diện tích xung quanh của hình trụ là
A. ${S_{xq}} = \pi Rl$. B. ${S_{xq}} = 2\pi Rl$. C. ${S_{xq}} = \pi Rh$. D. ${S_{xq}} = 4\pi Rl$.
Lời giải
Theo công thức ta có ${S_{xq}} = 2\pi Rl$
Câu 27: Hình nón có đường sinh $l = 2a$ và bán kính đáy bằng $a$. Diện tích xung quanh của hình nón bằng bao nhiêu?
A. $2\pi {a^2}$. B. $4\pi {a^2}$. C. $\pi {a^2}$. D. $2\pi {a^2}$.
Lời giải
Diện tích xung quanh của hình nón là ${S_{xq}} = \pi rl$$ = 2\pi {a^2}$.
Câu 28: Cho hình nón $\left( N \right)$ có đường kính đáy bằng $4a$, đường sinh bằng $5a$. Tính diện tích xung quanh $S$ của hình nón $\left( N \right)$.
A. $S = 10\pi {a^2}$. B. $S = 14\pi {a^2}$. C. $S = 36\pi {a^2}$. D. $S = 20\pi {a^2}$.
Lời giải
Diện tích xung quanh của hình nón $\left( N \right)$ là: $S = \pi rl$$ = \pi .2a.5a$$ = 10\pi {a^2}$.
Câu 29: Cho hình nón có đường sinh $l = 5$, bán kính đáy $r = 3$. Diện tích toàn phần của hình nón đó là:
A. ${S_{tp}} = 15\pi .$ B. ${S_{tp}} = 20\pi .$ C. ${S_{tp}} = 22\pi .$ D. ${S_{tp}} = 24\pi .$
Lời giải
Áp dụng công thức tính diện tích toàn phàn của hình nón ta có ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}$$ = 15\pi + 9\pi $$ = 24\pi $.
Câu 30: Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ quay quanh đường cao $AH$ tạo nên một hình nón Diện tích xung quanh $S$ của hình nón đó là:
A. $S = \frac{{3\pi {a^2}}}{4}$. B. $S = \pi {a^2}$. C. $S = \frac{{\pi {a^2}}}{2}$. D. $S = 2\pi {a^2}$.
Lời giải
Hình nón có bán kính đáy $R = \frac{a}{2}$ và độ dài đường sinh nên có diện tích xung quanh là.
$S = \pi Rl = \pi \frac{a}{2}a = \frac{{\pi {a^2}}}{2}$.$l = a$
Câu 31: Trong không gian cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AC = 3a$, $AB = 4a$. Tính theo $a$ diện tích xung quanh $S$ của hình nón khi quay tam giác $ABC$ quanh trục $AC$.
A. $S = 20{a^2}\pi $. B. $S = 15{a^2}\pi $. C. $S = 40{a^2}\pi $. D. $S = 30{a^2}\pi $.
Lời giải
Đường sinh $l = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 5a$.
Bán kính đáy $r = AB = 4a$.
Diện tích xung quanh$S = \pi rl = \pi .4a.5a = 20{a^2}\pi $.
Câu 32: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng $a$. Diện tích xung quanh của hình nón bằng
A. $\frac{{{\rm{\pi }}{a^2}\sqrt 2 }}{4}$ B. $\frac{{{\rm{2\pi }}{a^2}\sqrt 2 }}{3}$ C. $\frac{{{\rm{\pi }}{a^2}\sqrt 2 }}{2}$ D. ${\rm{\pi }}{a^2}\sqrt 2 $
Lời giải
Ta có $l = AB = a$, $r = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$, ${S_{xq}} = {\rm{\pi }}rl$$ = {\rm{\pi }}{\rm{.}}\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a$$ = \frac{{{\rm{\pi }}{a^2}\sqrt 2 }}{2}$.
Câu 33: Cho hình nón có bán kính đáy là $r = \sqrt 2 $và độ dài đường sinh$l = 4$. Tính diện tích xung quanh $S$của hình nón đã cho.
A. $S = 16\pi $. B. $S = 8\sqrt 2 \pi $. C. $S = 16\sqrt 2 \pi $. D. $S = 4\sqrt 2 \pi $.
Lời giải
Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón ta có $S = \pi rl$$ = 4\sqrt 2 \pi $.
Câu 34: Một hình nón có chiều cao bằng $a\sqrt 3 $ và bán kính đáy bằng $a$. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
A. $2\pi {a^2}$. B. $\sqrt 3 \pi {a^2}$. C. $\pi {a^2}$. D. $3\pi {a^2}$.
Lời giải
Hình nón có đường sinh $l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} $$ = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}} $$ = $$2a$.
Diện tích xung quanh của hình nón là ${S_{xq}} = \pi rl$$ = 2\pi {a^2}$.
Câu 35: Gọi $l$, $h$, $R$ lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính của hình nón. Diện tích toàn phần ${S_{tp}}$ của hình nón là
A. ${S_{tp}} = \pi Rl\, + \,2\pi {R^2}$. B. ${S_{tp}} = 2\pi Rl\, + \,2\pi {R^2}$.
C. ${S_{tp}} = 2\pi Rl\, + \,\pi {R^2}$. D. ${S_{tp}} = \pi Rl\, + \,\pi {R^2}$.
Lời giải
+ Diện tích toàn phần của hình nón là: ${S_{tp}} = \pi Rl\, + \,\pi {R^2}$ nên chọn đáp án
D.
Câu 36: Cho khối nón có bán kính đáy $r = 2,$ chiều cao $h = \sqrt 3 .$ Thể tích của khối nón là
A. $\frac{{4\pi \sqrt 3 }}{3}.$ B. $\frac{{4\pi }}{3}.$ C. $\frac{{2\pi \sqrt 3 }}{3}.$ D. $4\pi \sqrt 3 .$
Lời giải
Khối nón có thể tích là $V\, = \,\frac{1}{3}\pi {r^2}h\, = \,\frac{{4\pi \sqrt 3 }}{3}$
Câu 37: Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$ là
A. ${S_{xq}} = rl$. B. ${S_{xq}} = 2\pi rl$. C. ${S_{xq}} = \pi rl$. D. ${S_{xq}} = 2rl$.
Lời giải
Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$ là ${S_{xq}} = \pi rl$.
Câu 38: Một hình nón có đường cao $h = 20{\rm{ cm}}$, bán kính đáy $r = 25{\rm{ cm}}$. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó:
A. $5\pi \sqrt {41} $. B. $125\pi \sqrt {41} $. C. $25\pi \sqrt {41} $. D. $75\pi \sqrt {41} $.
Lời giải
Đường sinh của hình nón $\ell = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = 5\sqrt {41} \,cm$.
Diện tích xung quanh: ${S_{xq}} = \pi r\ell = 125\pi \sqrt {41} \,c{m^2}$.
Câu 39: Công thức tính diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của hình nón có đường sinh $l,$bán kính đáy $r$ là
A. ${S_{xq}} = 4\pi rl$ B. ${S_{xq}} = 2\pi rl$ C. ${S_{xq}} = \pi rl$ D. ${S_{xq}} = 3\pi rl$
Lời giải
Câu 40: Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy là $R$ và đường sinh bằng $l$ là
A. $\frac{4}{3}\pi Rl$ B. $2\pi Rl$. C. $\pi Rl$. D. $\frac{1}{3}\pi Rl$.
Lời giải
Diện tích xung quanh của hình nón là ${S_{xq}} = \pi Rl$.
Câu 41: Cho khối nón có bán kính đáy $r = \sqrt 3 $ và chiều cao $h = 4$. Tính thể tích $V$ của khối nón đã cho.
A. $V = 4\pi $. B. $V = 16\pi \sqrt 3 $. C. $V = 12\pi $. D. $V = \frac{{16\pi \sqrt 3 }}{3}$.
Lời giải
Ta có $V = \frac{1}{3}.h.\pi {r^2} = \frac{1}{3}.4.\pi .{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 4\pi $.
Câu 42: Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng $a$.
A. ${S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}$. B. ${S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}}}{3}$. C. ${S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}$. D. ${S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{6}$.
Lời giải
Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều có đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy của tứ diện có bán kính $R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ và đường sinh bằng $a$.
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là ${S_{xq}} = \pi Rl = \pi .\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.a = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}$.
Câu 43: Hình nón đường sinh $l$, thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân. Diện tích xung quanh của hình nón là.
A. $\frac{{\pi {l^2}}}{4}.$ B. $\frac{{\pi {l^2}}}{{\sqrt 2 }}.$ C. $\frac{{\pi {l^2}}}{2}.$ D. $\frac{{\pi {l^2}}}{{2\sqrt 2 }}.$
Lời giải
Do thiết diện qua trục là tam giác vuông nên $r = \frac{{l\sqrt 2 }}{2}$.
Vậy diện tích xung quanh của nón bằng ${S_{xq}} = \frac{{\pi {l^2}}}{{\sqrt 2 }}$.
Câu 44: Cho hình nón có đường sinh $l = 2a$ và hợp với đáy một góc $60^\circ $. Diện tích xung quanh ${S_{xq}}$ của khối nón bằng.
A. ${S_{xq}} = 2\pi {a^2}$. B. ${S_{xq}} = {a^2}$. C. ${S_{xq}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2}$. D. ${S_{xq}} = 2{a^2}$.
Lời giải
Đường sinh $l = 2a$ hợp với đáy một góc $60^\circ $$ \Rightarrow R = a$.
Ta có: ${S_{xq}} = \pi Rl = 2\pi {a^2}$.
Câu 45: Nếu một hình nón có đường kính đường tròn đáy bằng $a$ và độ dài đường sinh bằng $l$ thì có diện tích xung quanh bằng
A. $\pi al$. B. $2\pi al$. C. $\frac{1}{3}\pi al$. D. $\frac{1}{2}\pi al$.
Lời giải
Đường kính đường tròn đáy: $d{\rm{d}} = a \Rightarrow r = \frac{a}{2} \Rightarrow {S_{xq}} = \pi {\rm{r}}l = \pi \frac{a}{2}l = \frac{1}{2}\pi al$.
Câu 46: Một hình trụ có bán kính đáy $r = a$, độ dài đường sinh $l = 2a$. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
A. $4\pi {a^2}$. B. $2\pi {a^2}$. C. $5\pi {a^2}$. D. $6\pi {a^2}$.
Lời giải
Diện tích xung quanh của hình trụ là ${S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi a.2a = 4\pi {a^2}$
Câu 47: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6,AC = 8.$ Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AC.$
A. ${S_{xq}} = 160\pi .$ B. ${S_{xq}} = 80\pi .$ C. ${S_{xq}} = 120\pi .$ D. ${S_{xq}} = 60\pi .$
Lời giải
Ta có ${S_{xq}} = \pi Rl$.
Với $l = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 10$, $R = AB = 6$.
Vậy ${S_{xq}} = \pi .6.10 = 60\pi \left( {dvdt} \right)$.
Câu 48: Cho hình nón có bán kính đáy $r = \sqrt 3 $ và độ dài đường sinh $l = 4$. Tính diện tích xung quanh $S$ của hình nón đã cho.
A. $S = 8\sqrt 3 \pi $. B. $S = 24\pi $. C. $S = 16\sqrt 3 \pi $. D. $S = 4\sqrt 3 \pi $.
Lời giải
Ta có $S = \pi rl = 4\sqrt 3 \pi $.
Câu 49: Cho hình nón có bán kính đáy là $4a$, chiều cao là $3a$. Diện tích xung quanh hình nón bằng
A. $24\pi {a^2}$.B. $20\pi {a^2}$. C. $40\pi {a^2}$. D. $12\pi {a^2}$.
Lời giải
${S_{xq}} = \pi rl;\,{l^2} = {(3a)^2} + {(4a)^2} = 25{a^2}$
$ \Rightarrow l = 5a \Rightarrow {S_{xq}} = 20\pi {a^2}.$
Câu 50: Nếu một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng $R$ và độ dài đường sinh bằng $a$ thì có diện tích xung quanh bằng
A. $2\pi Ra$. B. $\frac{1}{3}\pi Ra$. C. $\pi Ra$. D. $\frac{1}{2}\pi Ra$.
Lời giải
Ta có: ${S_{xq}} = \pi rl = \pi Ra$.
Câu 51: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $AC = 2a,\,BC = a$, khi quay tam giác $ABC$ quay quanh cạnh góc vuông $AB$ thì đường gấp khúc $ABC$ tạo thành một hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh bằng:
A. $\pi {a^2}$. B. $3\pi {a^2}$. C. $4\pi {a^2}$. D. $2\pi {a^2}$.
Lời giải
Vậy ${S_{xq}} = \pi .a.2a = 2\pi {a^2}$.
Câu 52: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = a\sqrt 3 $, $AC = a$. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng $AB$ là:
A. ${S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2}$. B. ${S_{xq}} = \pi {a^2}\sqrt 3 $. C. ${S_{xq}} = 2\pi {a^2}$. D. ${S_{xq}} = 4\pi {a^2}$.
Lời giải
Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AB$ ta thu được hình nón có: $r = AC = a$; $l = BC = 2a$.
Ta có ${S_{xq}} = \pi rl = 2\pi {a^2}$.
