Chuyên đề tìm GTLN và GTNN của hàm hợp trên đoạn theo từng mức độ luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 39 của đề tham khảo môn Toán.
DẠNG TOÁN: TÌM MIN – MAX CỦA HÀM HỢP TRÊN ĐOẠN
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Giá trị lớn nhất
Định nghĩa:
Số $M$ gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên D nếu
$i)\,\forall x \in D:f(x) \le M\,$
$ii)\,\exists {x_0} \in D:f({x_0}) = M$
Kí hiệu $M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x)$.
2. Giá trị nhỏ nhất
Định nghĩa:
Số $m$ gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên D nếu
$i)\,\forall x \in D:f(x) \ge m\,$
$ii)\,\exists {x_0} \in D:f({x_0}) = m$
Kí hiệu $m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x)$.
2. Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 1 đoạn.
Định lý 1: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trong 1 đoạn
Nhận xét. Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ giữ nguyên dấu trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn . Do đó, $f\left( x \right)$ đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.
Quy tắc: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ta làm như sau
B1: Tính $f’\left( x \right)$ và tìm các điểm ${x_1},{\rm{ }}{x_2},…,{x_n}$ mà tại đó $f’\left( x \right) = 0$ hoặc hàm số $f’\left( x \right)$ không xác định.
B2: Tính các giá trị $f({x_1}),f({x_2}),…,f({x_n}),f(a),f(b)$.
B3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó
$M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\,b} \right]} f(x)$; $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a\,;\,b} \right]} f(x)$
* Hàm số liên tục trên 1 khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Lý thuyết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn.
Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.
Sử dụng GTLN, GTNN để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.
Sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để chứng minh bất đẳng thức.
Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vào bài toán thực tế.
Một số ứng dụng sự biến thiên của hàm số.
…
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA 2021) Cho hàm số $f\left( x \right)$, đồ thị của hàm số $y = f’\left( x \right)$ là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right) = f\left( {2x} \right) – 4x$ trên đoạn $\left[ { – \frac{3}{2};2} \right]$ bằng
A. $f\left( 0 \right)$. B. $f\left( { – 3} \right) + 6$. C. $f\left( 2 \right) – 4$. D. $f\left( 4 \right) – 8$.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn.
2. HƯỚNG GIẢI:
Cách 1.
B1: Đạo hàm – tìm nghiệm của đạo hàm (đặt ẩn phụ nếu cần)
B2: Lập bảng biến thiên tìm ra giá trị lớn nhất – nhỏ nhất
Cách 2.
Dùng định nghĩa
$\left\{ \begin{array}{l}f(x) \le M,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D,f({x_0}) = M\end{array} \right.$ thì $M = \mathop {\max }\limits_D {\kern 1pt} f(x)$
$\left\{ \begin{array}{l}f(x) \ge m,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D,f({x_0}) = m\end{array} \right.$ thì $m = \mathop {\min }\limits_D {\kern 1pt} f(x)$
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Ta có: $g’\left( x \right) = 2f’\left( {2x} \right) – 4$.
$g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2f’\left( {2x} \right) – 4 = 0 \Leftrightarrow f’\left( {2x} \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{2x = {x_1} < – 3}\\{2x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}}\\{2x = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}}\\{2x = {x_2} > 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_1} < – \frac{3}{2}}\\{x = 0\,\,\,\,}\end{array}}\\{x = 1\,\,\,\,\,}\end{array}}\\{{x_2} > 2\,\,}\end{array}} \right.$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = g\left( x \right)$:
Từ bảng biến thiên ta có: trên $\left[ { – \frac{3}{2};\,2} \right]$ hàm số $g\left( x \right) = f\left( {2x} \right) – 4x$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 1$ và $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – \frac{3}{2};\,1} \right]} y = f\left( 2 \right) – 4$.
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 3
Câu 1. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị $f’\left( x \right)$ như hình vẽ
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3} – x$ trên đoạn $\left[ { – 1;2} \right]$ bằng
A.$f\left( 2 \right) + \frac{2}{3}$. B. $f\left( { – 1} \right) + \frac{2}{3}$. C. $\frac{2}{3}$. D. $f\left( 1 \right) – \frac{2}{3}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $g\left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{3}{x^3} – x$$ \Rightarrow g’\left( x \right) = f’\left( x \right) + {x^2} – 1$
$g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = – {x^2} + 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$
Bảng biến thiên
Từ BBT ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) – \frac{2}{3}$.
Câu 2. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ như hình vẽ
Đặt $g\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} – x – f\left( x \right) + 2020$. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { – \sqrt 3 ;\,\sqrt 3 } \right]$. Hãy tính $M + m.$
A. $f\left( {\sqrt 3 } \right) + f\left( { – \sqrt 3 } \right)$. B. $f\left( {\sqrt 3 } \right) – f\left( { – \sqrt 3 } \right)$.
C. $2020 + f\left( { – \sqrt 3 } \right)$. D. $4040 – f\left( {\sqrt 3 } \right) – f\left( { – \sqrt 3 } \right)$.
Lời giải
Chọn D
Xét $g\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} – x – f\left( x \right) + 2020$, với $x \in \left[ { – \sqrt 3 \,;\,\sqrt 3 } \right]$.
Ta có $g’\left( x \right) = {x^2} – 1 – f’\left( x \right)$.
$g’\left( x \right) = 0$$ \Leftrightarrow $$f’\left( x \right) = {x^2} – 1$$ \Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.$.
Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$
Do đó
$M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 \,;\,\sqrt 3 } \right]} g\left( x \right) = g\left( {\sqrt 3 } \right) = – f\left( {\sqrt 3 } \right) + 2020$,
$m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 \,;\,\sqrt 3 } \right]} g\left( x \right) = g\left( { – \sqrt 3 } \right) = – f\left( { – \sqrt 3 } \right) + 2020$.
Vậy $M + m = – f\left( {\sqrt 3 } \right) – f\left( { – \sqrt 3 } \right) + 4040.$
Câu 3. Cho hàm số $f(x)$. Biết hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình bên. Trên đoạn ${\rm{[}} – 4;3]$,hàm số$g(x) = 2f(x) + {(1 – x)^2}$đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm.
A. ${x_0} = – 1$. B. ${x_0} = 3$. C. ${x_0} = – 4$. D. ${x_0} = – 3$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $g(x) = 2f(x) + {(1 – x)^2}$$ \Rightarrow g'(x) = 2f'(x) – 2(1 – x) = 2[f'(x) – (1 – x){\rm{]}}$
$g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 1 – x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 4\\x = – 1\\x = 3\end{array} \right.$.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, suy ra $g(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn ${\rm{[}} – 4;3]$ tại ${x_0} = – 1$
Ta có:$g(x) = 2f(x) + {(1 – x)^2}$$ \Rightarrow g'(x) = 2f'(x) – 2(1 – x) = 2[f'(x) – (1 – x){\rm{]}}$
Vì trong đoạn ${\rm{[}} – 4; – 1]$ đồ thị hàm số $y = f'(x)$ nằm phía dưới đồ thị hàm số $y = 1 – x$
$ \Rightarrow f'(x) < 1 – x\forall x \in {\rm{[}} – 4; – 1] \Rightarrow g'(x) < 0\forall x \in [ – 4; – 1] \Rightarrow g(x)$ nghịch biến trên ${\rm{( – 4; – 1)}}$
$ \Rightarrow g( – 4) > g( – 3) > g( – 1)$ $(*)$
Vì trong đoạn ${\rm{[ – 1;3}}]$ đồ thị hàm số $y = f'(x)$ nằm phía trên đồ thị hàm số $y = 1 – x$
$ \Rightarrow f'(x) > 1 – x\forall x \in {\rm{[ – 1}};3] \Rightarrow g'(x) > 0\forall x \in [ – 1;3] \Rightarrow g(x)$ đồng biến trên ${\rm{( – 1;3)}}$
$ \Rightarrow g(3) > g( – 1)$ $(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ suy ra $g(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn ${\rm{[}} – 4;3]$ tại ${x_0} = – 1$
Câu 4. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $y = f’\left( x \right)$ như hình vẽ dưới đây.
Xét hàm số $g\left( x \right) = 2f\left( x \right) – {\left( {x + 1} \right)^2}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3\,;\,3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right)$. B. $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { – 3\,;\,3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right)\,$.
C. $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { – 3\,;\,3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 3 \right)\,$. D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)$ trên $\left[ { – 3\,;\,3} \right]$.
Lời giải
Chọn B
$g’\left( x \right) = 2f’\left( x \right) – 2\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = x + 1\,\left( * \right)$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ ta thấy đường thẳng $y = x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ tại ba điểm lần lượt có hoành độ là: $ – 3\,;\,1\,;\,3$. Do đó phương trình $\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 3\\x = 1\\x = 3\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên của hàm số $y = g\left( x \right)$
Vậy $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { – 3\,;\,3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right)\,$.
Câu 5. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số đạo hàm $y = f’\left( x \right)$ như hình vẽ.
Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) – \frac{1}{3}{x^3} – \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + 2021$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { – 3} \right)$. B. $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right)$.
C. $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { – 1} \right)$. D. $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3;1} \right]} g\left( x \right) = \frac{{g\left( { – 3} \right) + g\left( 1 \right)}}{2}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $g’\left( x \right) = f’\left( x \right) – {x^2} – \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}$;
$g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = h\left( x \right) = {x^2} + \frac{3}{2}x – \frac{3}{2}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 3\\x = – 1\\x = 1\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { – 1} \right)$.
Câu 6. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Gọi $g\left( x \right) = f\left( x \right) – \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + x – 2019$. Biết $g\left( { – 1} \right) + g\left( 1 \right) > g\left( 0 \right) + g\left( 2 \right)$.
Với $x \in \left[ { – 1;\,\,2} \right]$ thì $g\left( x \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng
A. $g\left( 2 \right)$. B. $g\left( 1 \right)$. C. $g\left( { – 1} \right)$. D. $g\left( 0 \right)$.
Lời giải
Chọn A
+ Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) – \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + x – 2019$ trên đoạn $\left[ { – 1;\,\,2} \right]$.
+ Ta có $g’\left( x \right) = f’\left( x \right) – {x^2} + x + 1$.
Vẽ đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ và Parabol $\left( P \right):y = {x^2} – x – 1$ trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ.
+ Ta thấy $g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = {x^2} – x – 1$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.
+ Bảng biến thiên :
+ Từ giả thiết $g\left( { – 1} \right) + g\left( 1 \right) > g\left( 0 \right) + g\left( 2 \right)$
$ \Leftrightarrow g\left( { – 1} \right) – g\left( 2 \right) > g\left( 0 \right) – g\left( 1 \right)$
$ \Rightarrow g\left( { – 1} \right) – g\left( 2 \right) > 0$ (vì $g\left( 0 \right) > g\left( 1 \right)$)
$ \Leftrightarrow g\left( { – 1} \right) > g\left( 2 \right)$.
Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;\,\,2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 2 \right)$.
Câu 7. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$. Hàm số$y = f’\left( x \right)$ liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ.
Biết $f\left( { – 1} \right) = \frac{{13}}{4},\,f\left( 2 \right) = 6$. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) – 3f\left( x \right)$ trên $\left[ { – 1;2} \right]$ bằng
A. $\frac{{1573}}{{64}}$ B. $198$. C. $\frac{{37}}{4}$. D. $\frac{{14245}}{{64}}$.
Lời giải
Chọn D
Từ đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ ta có bảng biến thiên
Ta có $g’\left( x \right) = 3{f^2}\left( x \right).f’\left( x \right) – 3f’\left( x \right)$.
Xét trên đoạn $\left[ { – 1;2} \right]$ ta có $g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3f’\left( x \right)\left[ {{f^2}\left( x \right) – 1} \right] = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 2\end{array} \right.$.
$g\left( { – 1} \right) = \frac{{1573}}{{64}}$, $g\left( 2 \right) = 198$.
Từ đó suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} g\left( x \right) = 198,\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} g\left( x \right) = \frac{{1573}}{{64}}$.
Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} g\left( x \right) + \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} g\left( x \right) = \frac{{14245}}{{64}}$.
Câu 8. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right) = f\left( {4x – {x^2}} \right) + \frac{1}{3}{x^3} – 3{x^2} + 8x + \frac{1}{3}$ trên đoạn $\left[ {1\,;\,3} \right]$.
A. 15. B. $\frac{{25}}{3}$. C. $\frac{{19}}{3}$. D. 12.
Lời giải
Chọn D
$g’\left( x \right) = \left( {4 – 2x} \right)f’\left( {4x – {x^2}} \right) + {x^2} – 6x + 8$$ = \left( {2 – x} \right)\left[ {2f’\left( {4x – {x^2}} \right) + 4 – x} \right]$.
Với $x \in \left[ {1\,;\,3} \right]$ thì $4 – x > 0$; $3 \le 4x – {x^2} \le 4$ nên $f’\left( {4x – {x^2}} \right) > 0$.
Suy ra $2f’\left( {4x – {x^2}} \right) + 4 – x > 0$, $\forall x \in \left[ {1\,;\,3} \right]$.
Bảng biến thiên
Suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1\,;\,3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 2 \right)$$ = f\left( 4 \right) + 7 = 12$.
Câu 9. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp 2 trên $\mathbb{R}$, hàm số $y = f’\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( {\frac{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}{2}} \right)$ trên đoạn $\left[ { – \frac{{5\pi }}{6}\,;\,\frac{\pi }{6}} \right]$ bằng
A. $f\left( { – \frac{{5\pi }}{6}} \right)$. B. $f\left( { – \frac{\pi }{3}} \right)$. C. $f\left( 0 \right)$. D. $f\left( {\frac{\pi }{6}} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Đặt $t = \frac{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}{2} = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$.
Vì $x \in \left[ { – \frac{{5\pi }}{6}\,;\,\frac{\pi }{6}} \right] \Rightarrow x + \frac{\pi }{3} \in \left[ { – \frac{\pi }{2}\,;\,\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ { – 1\,;\,1} \right]$.
Dựa vào đồ thị của hàm số $f’\left( x \right)$, ta có bảng biến thiên
Ta có: $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – \frac{{5\pi }}{6}\,;\,\frac{\pi }{6}} \right]} f\left( {\frac{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}{2}} \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1\,;\,1} \right]} f\left( t \right)$ $ \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{3}$.
Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – \frac{{5\pi }}{6}\,;\,\frac{\pi }{6}} \right]} f\left( {\frac{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}{2}} \right) = f\left( { – \frac{\pi }{3}} \right)$.
Câu 10. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$, hàm số $f’\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right) = \frac{1}{2}f\left( {2x – 1} \right) + \frac{{11}}{{19}}{\left( {2x – 1} \right)^2} – 4x$ trên khoảng $\left[ {0;\frac{5}{2}} \right]$ bằng
A. $\frac{1}{2}f\left( 1 \right) + \frac{{11}}{{19}}$. B. $\frac{1}{2}f\left( 4 \right) – \frac{{`14}}{{19}}$.
C. $\frac{1}{2}f\left( 0 \right) – 2$. D. $\frac{1}{2}f\left( 2 \right) – \frac{{70}}{{19}}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $g’\left( x \right) = f’\left( {2x – 1} \right) + \frac{{44}}{{19}}\left( {2x – 1} \right) – 4 = 0$$ \Leftrightarrow f’\left( {2x – 1} \right) = – \frac{{44}}{{19}}\left( {2x – 1} \right) + 4$.
Đặt $t = 2x – 1 \Rightarrow f’\left( t \right) = – \frac{{44}}{{19}}t + 4$ với $0 \le x \le \frac{5}{2} \Rightarrow – 1 \le t \le 4$.
Từ đồ thị ta có $f’\left( t \right) = – \frac{{44}}{{19}}t + 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.$.
Lập bảng biến thiên hàm số $g\left( t \right)$ Giá trị nhỏ nhất hàm số đạt được khi $t = 2 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$.
suy ra ${\left( {g\left( x \right)} \right)_{\min }} = \frac{1}{2}f\left( 2 \right) – \frac{{70}}{{19}}$.
Câu 11. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $y = f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ trên đoạn $\left[ { – 2;6} \right]$ như hình vẽ bên.
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( { – 2} \right)$. B. $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$.
C. $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right)$. D. $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( { – 1} \right)$.
Lời giải
Chọn C
Lập bảng biến thiên của hàm số trên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số đồng biến trên $\left( { – 2; – 1} \right)$ và $\left( {2;6} \right)$.
Suy ra $f\left( { – 1} \right) > f\left( { – 2} \right)$ và $f\left( 6 \right) > f\left( 2 \right)$(1)
Hàm số nghịch biến trên $\left( { – 1;2} \right)$suy ra $f\left( { – 1} \right) > f\left( 2 \right)$.
Từ (1) và (2) suy ra :
$\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f(x) = \max \left\{ {f( – 2);f( – 1);f(2);f(6)} \right\} = \max \left\{ {f( – 1);f(6)} \right\}$
Ta có : ${S_1} = – \int\limits_{ – 1}^2 {f’\left( x \right)dx} = f\left( { – 1} \right) – f\left( 2 \right)$
${S_2} = \int\limits_2^6 {f’\left( x \right)dx = f\left( 6 \right) – f\left( 2 \right)} $
Theo hình vẽ ta thấy ${S_1} < {S_2}$ nên $f\left( { – 1} \right) – f\left( 2 \right) < f\left( 6 \right) – f\left( 2 \right)$$ \Rightarrow f\left( { – 1} \right) < f\left( 6 \right)$.
Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right)$.
Câu 12. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên trên đoạn $\left[ { – 1;4} \right]$ như sau:
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ trên đoạn đoạn $\left[ { – 1;4} \right]$ bằng
A. $4$. B. $24$. C. $8$. D. $0$.
Lời giải
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;4} \right]} f\left( x \right) = – 24 \Leftrightarrow x = – 1$; $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;4} \right]} f\left( x \right) = – 4 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = 4$.
Do đó, $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;4} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 24 \Leftrightarrow x = – 1$.
Câu 13. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Gọi $M$và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right) = f\left( {2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + 3} \right)$ trên $\mathbb{R}.$ Giá trị của $M + m$ bằng
A. $6.$ B. $8.$ C. $4.$ D. $5.$
Lời giải
Chọn A
Đặt $t = 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + 3 = \sin x + 3.$ Ta có: $\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow t \in \left[ {2;4} \right].$
Từ đồ thị ta thấy: $\forall t \in \left[ {2;4} \right] \Rightarrow 1 \le f\left( t \right) \le 5 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = 5\\m = \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = 1\end{array} \right. \Rightarrow M + m = 6.$.
Câu 14. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình $f\left( {\sqrt {x – 1} + 1} \right) \le m$ có nghiệm là
A. $m \ge 1$. B. $m \ge – 2$. C. $m \ge 4$. D. $m \ge 0$.
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số $f\left( {\sqrt {x – 1} + 1} \right)$. Đặt $t = \sqrt {x – 1} + 1 \ge 1,\forall x \ge 1$
Khi đó: $f\left( {\sqrt {x – 1} + 1} \right) \le m$ có nghiệm khi và chỉ khi $f\left( t \right) \le m,t \in \left[ {1; + \infty } \right)$có nghiệm
Từ bảng biến thiên ta thấy $f\left( t \right) \le m,t \in \left[ {1; + \infty } \right)$có nghiệm khi và chỉ khi $m \ge – 2.$
Câu 15. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Hàm số $y = f’\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình $f\left( x \right) < {x^3} + m$ đúng với mọi $x \in \left( { – 1\,;\,1} \right)$ khi và chỉ khi
A. $m > f\left( x \right) + 1$. B. $m \ge f\left( { – 1} \right) – 1$. C. $m \ge f\left( { – 1} \right) + 1$. D. $m > f\left( 1 \right) – 1$.
Lời giải
Chọn C
$f\left( x \right) < {x^3} + m \Leftrightarrow m > f\left( x \right) – {x^3}$$\left( 1 \right)$.
Xét $g\left( x \right) = f\left( x \right) – {x^3}$.
$g’\left( x \right) = f’\left( x \right) – 3{x^2} < 0,\forall x \in \left( { – 1\,;\,1} \right)$ vì $\left\{ \begin{array}{l}f’\left( x \right) < f’\left( 1 \right) = 0\,,\,\forall x \in \left( { – 1;1} \right)\\ – 3{x^2} \le 0\,,\,\forall x \in \left( { – 1;1} \right)\end{array} \right.$
$ \Rightarrow $ Hàm số $y = g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { – 1\,;\,1} \right)$$ \Rightarrow g\left( 1 \right) < g\left( x \right) < g\left( { – 1} \right)$, $\forall x \in \left( { – 1\,;\,1} \right)$.
$\left( 1 \right)$ đúng với mọi $x \in \left( { – 1\,;\,1} \right)$ $ \Leftrightarrow $ $m \ge g\left( { – 1} \right) = f\left( { – 1} \right) + 1$.
Câu 16. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ như hình vẽ bên dưới
Đặt $M = \max f\left( {\sqrt {4 – {x^2}} } \right),m = \min f\left( {\sqrt {4 – {x^2}} } \right)$. Tổng $M + m$ bằng
A. $3$. B. $6$. C. $4$. D. $5$.
Lời giải
Chọn A
Đặt $t = \sqrt {4 – {x^2}} $. Khi đó $\forall x \in \left[ { – 2;2} \right]$ thì $t \in \left[ {0;2} \right]$.
Xét hàm số $y = f\left( t \right)$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ ta thấy $M = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = 3$ và $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = 0$.
Vậy $M + m = 3$.
Câu 17. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình bên. Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(\sin x) = m$ có đúng hai nghiệm thuộc đoạn $[0;\pi ]?$
A. $4$. B.$\;7$. C.$5$. D. $6$.
Lời giải
Chọn C
Đăt $t = \sin x,$ để phương trình $f(\sin x) = m$ có đúng hai nghiệm $x \in [0;\pi ]$ thì phương trình $f(t) = m$ có đúng môt nghiệm $t \in [0:1).$ Dựa vào đồ thị ta có $m \in [ – 7; – 2),$ do $m$ nguyên nên $m \in \{ – 7: – 6; – 5; – 4; – 3\} .$ Vậy có 5 giá trị.
Mức độ 4
Câu 1. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;10} \right]} \,f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 4.$Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + x} \right) – {x^2} + 2x + m.$ Giá trị của tham số $m$ để $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) = 8$ là
A. $4$. B.$3$. C. $5$. D. $ – 1$.
Lời giải
Chọn B
Đặt $t = {x^3} + x,\;x \in \left[ {0;2} \right]$.
$t’ = 3{x^2} + 1 > 0,\;\forall x \in \left[ {0;2} \right]$, suy ra $0 \le t \le 10$.
Ta có $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \left[ {f\left( {{x^3} + x} \right) – {x^2} + 2x + m} \right] \le \mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} f\left( {{x^3} + x} \right) + \mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \left( { – {x^2} + 2x + m} \right)$.
Mà $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} f\left( {{x^3} + x} \right) = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{t \in \left[ {0;10} \right]} f\left( t \right) = 4$.
$\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \left( { – {x^2} + 2x + m} \right) = 1 + m$.
Suy ra $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) \le 4 + 1 + m = m + 5$.
$\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) = m + 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = {x^3} + x = 2\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$.
Theo giả thiết $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} \,g\left( x \right) = 8 \Leftrightarrow m + 5 = 8 \Leftrightarrow m = 3$.
Câu 2. Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng $m$ là tham số thực, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2} – 2mx + {m^2} + 1$ tương ứng bằng:
A. $1$. B.$3$. C. $ – 1$. D. $ – 2$.
Lời giải
Chọn D
Nhận thấy $\min f\left( x \right) = f\left( { – 1} \right) = – 3$.
Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2} – 2mx + {m^2} + 1$$ = f\left( x \right) + {\left( {x – m} \right)^2} + 1$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge f\left( { – 1} \right) = – 3\\{\left( {x – m} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.$$ \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right) + {\left( {x – m} \right)^2} + 1 \ge – 3 + 0 + 1 = – 2$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}x = – 1\\x = m\end{array} \right. \Rightarrow x = – 1$. Khi đó $\min g\left( x \right) = g\left( { – 1} \right) = – 2$.
Câu 3. Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng $m$ là tham số thực, để giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right) = f\left( {2x + 3} \right) + {x^2} – 4mx + 4{m^2} – 1$ bằng $ – 4$ thì tham số $m$ bằng
A. $ – 1$. B.$0$. C. $ – \frac{1}{2}$. D. $2$.
Lời giải
Chọn A
Nhận thấy $\min f\left( x \right) = f\left( { – 1} \right) = – 3$.
Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( {2x + 3} \right) + {\left( {x – 2m} \right)^2} – 1 \ge – 3 + 0 – 1 = – 4$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}f\left( {2x + 3} \right) = – 3\\x – 2m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3 = – 1\\x = 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 2\\x = 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 2\\m = – 1\end{array} \right.$.
Câu 4. Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $f\left( {3x – m} \right) + 2f\left( {{x^2} – 2x} \right)$ đạt giá trị lớn nhất. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc tập $S$ bằng:
A. $6$. B.$3$. C. $0$. D. $ – 2$.
Lời giải
Chọn C
Nhận thấy $\max f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 4$ $ \Leftrightarrow f\left( x \right) \le f\left( 3 \right) = 4$ ,$\forall x \in \mathbb{R}$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( {3x – m} \right) \le f\left( 3 \right) = 4\\f\left( {{x^2} – 2x} \right) \le f\left( 3 \right) = 4\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow f\left( {3x – m} \right) + 2f\left( {{x^2} – 2x} \right) \le 4 + 2.4 = 12$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}3x – m = 3\\{x^2} – 2x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3x – 3\\\left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { – 6;6} \right\}$.
Tổng giá trị các phần tử của tập $S$ bằng $0$.
Câu 5. Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng $m$ và $n$ là hai tham số thực. Để hàm số $g\left( x \right) = 3f\left( {3x – m} \right) + f\left( {x + n} \right) – {x^2} + 4x$ đạt giá trị lớn nhất thì $P = 2m – n$ bằng:
A. $3$. B.$0$. C. $5$. D. $1$.
Lời giải
Chọn C
Nhận thấy $\max f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 4 \Leftrightarrow f\left( x \right) \le f\left( 3 \right) = 4$ , $\forall x \in \mathbb{R}$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( {3x – m} \right) \le f\left( 3 \right) = 4\\f\left( {x + n} \right) \le f\left( 3 \right) = 4\\ – {x^2} + 4x = – {\left( {x – 2} \right)^2} + 4 \le 4\end{array} \right.$
$ \Rightarrow g\left( x \right) = 3f\left( {3x – m} \right) + f\left( {x + n} \right) – {x^2} + 4x \le 3.4 + 4 + 4 = 20$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}3x – m = 3\\x + n = 3\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 – m = 3\\2 + n = 3\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\n = 1\\x = 2\end{array} \right.$$ \Rightarrow P = 2m – n = 5$.
Câu 6. Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right) = {x^2} – 2{m^2}x + {m^4} – f\left( {f\left( x \right)} \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất ?
A. $6$. B.$4$. C. $3$. D. $8$.
Lời giải
Chọn A
Nhận thấy $\max f\left( x \right) = f\left( { – 3} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) \le f\left( { – 3} \right) \Leftrightarrow – f\left( x \right) \ge – f\left( { – 3} \right)$, $\forall x \in \mathbb{R}$.
Lại có $ – f\left( {f\left( x \right)} \right) \le – f\left( { – 3} \right)$, $\forall x \in \mathbb{R}$.
$g\left( x \right) = {x^2} – 2{m^2}x + {m^4} – f\left( {f\left( x \right)} \right) = {\left( {x – {m^2}} \right)^2} – f\left( {f\left( x \right)} \right) \ge 0 – f\left( { – 3} \right) = – f\left( { – 3} \right)$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( { – 3} \right)\\x = {m^2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = – 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1} < 0{\rm{ }}\left( {loai} \right)\\x = {x_2} > 0\\x = {x_3} > 0\\x = {x_4} > 0\end{array} \right.\\m = \pm \sqrt x \end{array} \right.$.
Vậy có tất cả $6$ giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 7. Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng $m$ là tham số thực. Để hàm số $g\left( x \right) = 2f\left( {2x – m} \right) – f\left( {3x + n} \right) + {x^2} – 2x$ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của biểu thức $T = 2m + 3n$ bằng:
A. $ – 11$. B.$ – 7$. C. $ – 13$. D. $5$.
Lời giải
Chọn C
Nhận thấy $ – 3 = f\left( 4 \right) \le f\left( x \right) \le f\left( 0 \right) + 5$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge f\left( 4 \right) = – 3\\ – f\left( x \right) \ge – f\left( 0 \right) = – 5\end{array} \right.$, $\forall x \in \mathbb{R}$.
Xét hàm số $g\left( x \right) = 2f\left( {2x – m} \right) – f\left( {3x + n} \right) + {x^2} – 2x = 2f\left( {2x – m} \right) – f\left( {3x + n} \right) + {\left( {x – 1} \right)^2} – 1$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( {2x – m} \right) \ge f\left( 4 \right) = – 3\\ – f\left( {3x + n} \right) \ge f\left( 0 \right) = – 5\\{\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.$$ \Rightarrow g\left( x \right) \ge 2.\left( { – 3} \right) – 5 + 0 – 1 = – 12$.
Dấu bằng xảy ra khi $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x – m = 4\\3x + n = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 – m = 4\\3 + n = 0\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = – 2\\b = – 3\\x = 1\end{array} \right.$$ \Rightarrow T = 2m + 3n = – 13$.
Câu 8. Cho hai hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới,
biết rằng $x = 1$ và $x = 3$ đều là các điểm cực trị của hai hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ đồng thời $3f\left( 1 \right) = g\left( 3 \right) + 1$, $2f\left( 3 \right) = g\left( 1 \right) + 4$, $f\left( { – 2x + 7} \right) = g\left( {2x – 3} \right) – 1\,\,\left( * \right)$.Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn $\left[ {1\,;3} \right]$ của hàm số$S\left( x \right) = f\left( x \right)g\left( x \right) – {g^2}\left( x \right) + f\left( x \right) – 4g\left( x \right) + 2$. Tính tổng $P = M – 2m$.
A. $39$. B. $107$. C. $19$. D. $51$.
Lời giải
Chọn B
Thay lần lượt $x = 2$, $x = 3$ vào $\left( * \right)$ ta có
$\left\{ \begin{array}{l}f\left( 3 \right) = g\left( 1 \right) – 1\\f\left( 1 \right) = g\left( 3 \right) – 1\end{array} \right.$, mà $\left\{ \begin{array}{l}3f\left( 1 \right) = g\left( 3 \right) + 1\\2f\left( 3 \right) = g\left( 1 \right) + 4\end{array} \right.$ nên $f\left( 1 \right) = 1$, $f\left( 3 \right) = 5$, $g\left( 1 \right) = 6$,$g\left( 3 \right) = 2$.
Nhìn vào đồ thị ta thấy $1 = f\left( 1 \right) \le f\left( x \right) \le f\left( 3 \right) = 5$, $2 = g\left( 3 \right) \le g\left( x \right) \le g\left( 1 \right) = 6\,\,\forall x \in \left[ {1\,;3} \right]$.
Đặt $u = f\left( x \right)$, $v = g\left( x \right)$ với $1 \le u \le 5$, $2 \le v \le 6$, xét
$h\left( {u\,,v} \right) = uv – {v^2} + u – 4v + 2 = – {v^2} + \left( {u – 4} \right)v + u + 2$.
Xem $h\left( {u\,,v} \right)$ là một hàm số bậc 2 theo biến $v$ ta có
$h’\left( {u\,,v} \right) = – 2v + u – 4 \le – 4 + 5 – 4 = – 3 < 0\,\,\,\forall v \in \left( {2\,;6} \right)$ $ \Rightarrow $ $h\left( {u,\,v} \right)$ nghịch biến trên $\left[ {2\,;6} \right]$.
Suy ra
$h\left( {u\,,6} \right) \le h\left( {u\,,v} \right) \le h\left( {u\,,2} \right) \Rightarrow 7u – 58 \le h\left( {u\,,v} \right) \le 3u – 10$
$ \Rightarrow – 51 \le h\left( {u\,,v} \right) \le 5$ (do $1 \le u \le 5$).
Từ đó $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1\,;3} \right]} S\left( x \right) = 5$, dấu bằng xảy ra khi $x = 3$, $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1\,;3} \right]} S\left( x \right) = – 51$, dấu bằng xảy ra khi $x = 1$.
Vậy $P = M – 2m = 107$.
Câu 9. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left[ { – 4;4} \right]$, có các điểm cực trị trên $\left( { – 4;4} \right)$ là $ – 3$, $ – \frac{4}{3}$; $0$; $2$và có đồ thị như hình vẽ. Đặt hàm số $y = g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 3x} \right) + m$ với $m$ là tham số. Gọi ${m_1}$ là giá trị của $m$để $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = 4$, ${m_2}$ là giá trị của $m$để $\mathop {\min g\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;0} \right]} = – 2$. Giá trị của ${m_1} + {m_2}$ bằng
A. $0$. B. $ – 2$. C. $2$. D. $ – 1$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $y = g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 3x} \right) + m$$ \Rightarrow $$g’\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 3} \right)f’\left( {{x^3} + 3x} \right)$
Do đó $g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {{x^3} + 3x} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} + 3x = – 3\\{x^3} + 3x = – \frac{4}{3}\\{x^3} + 3x = 0\\{x^3} + 3x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx – 0,82\\x \approx – 0,42\\x = 0\\x \approx 0,6\end{array} \right.$
Bảng biến thiên
Từ BBT suy ra $\mathop {\max g\left( x \right)}\limits_{\left[ {0;1} \right]} = 3 + m = 4 \Leftrightarrow m = 1$. Và $\mathop {\min g\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;0} \right]} = – 1 + m = – 2 \Leftrightarrow m = – 1$
Vậy ${m_1} + {m_2} = 0$.
Câu 10. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Hàm số $y = f’\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right),\;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right)$, $T = M + m$ Hỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. $T = f\left( 5 \right) + f\left( { – 2} \right)$. B. $T = f\left( 0 \right) + f\left( 2 \right)$. C. $T = f\left( 5 \right) + f\left( 6 \right)$. D. $T = f\left( 0 \right) + f\left( { – 2} \right)$.
Lời giải
Chọn A
+) Nhận xét: Đồ thị của hàm số $y = f’\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 5 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $ – 2;\;0;\;2;\;5;\;6$ nên phương trình $f’\left( x \right) = 0$ có 5 nghiệm phân biệt là ${x_1} = – 2;\;{x_2} = 0;\;{x_3} = 2;\;{x_4} = 5;\;{x_5} = 6$ . Hơn nữa $f’\left( x \right) > 0,\;\forall x \in \left( { – 2;\;0} \right) \cup \left( {2;\;5} \right)$ và ngược lại $f’\left( x \right) < 0,\;\forall x \in \left( {0;\;2} \right) \cup \left( {5;\;6} \right)$ Ta lập bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$.
+) Gọi ${S_1},\;{S_2},\;{S_3},\;{S_4}$ lần lượt là diện tích của các hình phẳng $\left( {{H_1}} \right),\;\left( {{H_2}} \right),\;\left( {{H_3}} \right),\;\left( {{H_4}} \right)$ .
$\left( {{H_1}} \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f’\left( x \right),\,y = 0,\;x = – 2,\;x = 0.$
$\left( {{H_2}} \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f’\left( x \right),\,y = 0,\;x = 2,\;x = 0.$
$\left( {{H_3}} \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f’\left( x \right),\,y = 0,\;x = 2,\;x = 5.$
$\left( {{H_4}} \right)$là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f’\left( x \right),\,y = 0,\;x = 5,\;x = 6.$
Ta có
${S_1} > {S_2} \Leftrightarrow \int\limits_{ – 2}^0 {f’\left( x \right)dx} > \int\limits_0^2 { – f’\left( x \right)dx} \Leftrightarrow f\left( 0 \right) – f\left( { – 2} \right) > f\left( 0 \right) – f\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( { – 2} \right) < f\left( 2 \right)\;\;\;\left( 1 \right)$
${S_2} > {S_3} \Leftrightarrow \int\limits_0^2 { – f’\left( x \right)dx} > \int\limits_2^5 {f’\left( x \right)dx} \Leftrightarrow f\left( 0 \right) – f\left( 2 \right) > f\left( 5 \right) – f\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) < f\left( 5 \right)\;\;\;\left( 2 \right)$
${S_3} > {S_4} \Leftrightarrow \int\limits_2^5 {f’\left( x \right)dx} > \int\limits_5^6 { – f’\left( x \right)dx} \Leftrightarrow f\left( 5 \right) – f\left( 2 \right) > f\left( 5 \right) – f\left( 6 \right) \Leftrightarrow f\left( 2 \right) < f\left( 6 \right)\;\;\;\left( 3 \right)$
+) Từ bảng biến thiên và 1), (2), (3) ta có:
$\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 5 \right),\;\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( { – 2} \right)$ và $T = f\left( 5 \right) + f\left( { – 2} \right)$.
Câu 11. Cho hàm số $y = f(x)$. Hàm số $y = f'(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Giá trị lớn nhất của hàm số $g(x) = f(2x) – {\sin ^2}x$ trên đoạn $\left[ { – 1;1} \right]$ là
A. $f( – 1)$. B. $f(0)$. C. $f(2)$. D. $f(1)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $g(x) = f(2x) – {\sin ^2}x = f(2x) + \frac{1}{2}\cos 2x – \frac{1}{2}$ .
Đặt $t = 2x$ . Với $x \in \left[ { – 1;1} \right]$ thì $t \in \left[ { – 2;2} \right]$.
Khi đó ta có $h(t) = f(t) + \frac{1}{2}\cos t \Rightarrow h'(t) = f'(t) – \frac{1}{2}\sin t$ .
Từ bảng biến thiên ta thấy:
Với $t \in ( – 2;0)$ thì $f'(t) > 0$ và $\sin t < 0$$ \Rightarrow h'(t) > 0$.
Với $t \in (0;2)$ thì $f'(t) < 0$ và $\sin t > 0$$ \Rightarrow h'(t) < 0$.
Với $t = 0$ thì $f'(t) = 0$ và $\sin t = 0$$ \Rightarrow h'(t) = 0$.
Từ đó ta có bảng biến thiên
Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} g(x) = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} h(t) = h(0) = f(0)$.
Câu 12. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Ký hiệu $g\left( x \right) = f\left( {2\sqrt {2x} + \sqrt {1 – x} } \right) + m.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) > 2\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right).$
A. $m > 4.$ B. $m < 3.$ C. $0 < m < 5.$ D. $m < 2.$
Lời giải
Chọn B
Đặt
Ta lại có $t = 2\sqrt {2x} + \sqrt {1 – x} = 2\sqrt 2 .\sqrt x + \sqrt {1 – x} \le \sqrt {\left[ {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + 1} \right]\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {1 – x} } \right)}^2}} \right]} = 3.$(Hoặc dùng đạo hàm)
Khi đó $g\left( x \right) = f\left( t \right) + m$ với $\,t \in \left[ {1;3} \right].$ Dựa vào đồ thị ta có $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = 5\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = 1\end{array} \right..$
Ycbt $ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left[ {f\left( x \right) + m} \right] > 2\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left[ {f\left( x \right) + m} \right] \Leftrightarrow 5 + m > 2\left( {1 + m} \right) \Leftrightarrow m < 3.$
Câu 13. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ dưới dây:
Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( {2{x^3} + x – 1} \right) + m$. Giá trị $m$ để $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = – 10$ bằng
A. $m = – 13$. B. $m = 5$. C. $m = 3$. D. $m = – 1$.
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số $u\left( x \right) = 2{x^3} + x – 1$$ \Rightarrow u’\left( x \right) = 6{x^2} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.
$ \Rightarrow $ hàm số $u\left( x \right) = 2{x^3} + x – 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Xét $x \in \left[ {0;1} \right]$ ta có: $u\left( x \right) \in \left[ {u\left( 0 \right);u\left( 1 \right)} \right]$$ \Rightarrow u\left( x \right) \in \left[ { – 1;2} \right]$.
Từ đồ thị suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} f\left( u \right) = f\left( { – 1} \right) = f\left( 2 \right) = 3$.
$ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( {2{x^3} + x – 1} \right) = 3 \Rightarrow $$\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = 3 + m$. Từ giả thiết $ \Rightarrow 3 + m = – 10$$ \Leftrightarrow m = – 13$.
Câu 14. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$. Hàm số $y = f’\left( x \right)$ liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ bên.
Biết $f\left( { – 1} \right) = \frac{{13}}{4},f\left( 2 \right) = 6$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) – 3f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { – 1;2} \right]$ bằng
A. $\frac{{1573}}{{64}}$. B. $198$. C. $\frac{{37}}{4}$. D. $\frac{{14245}}{{64}}$.
Lời giải
Chọn A
Bảng biến thiên
Ta có $g’\left( x \right) = 3{f^2}\left( x \right).f’\left( x \right) – 3f’\left( x \right)$
Xét trên đoạn $\left[ { – 1;2} \right]$, $g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3f’\left( x \right)\left[ {{f^2}\left( x \right) – 1} \right] = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 2\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên
$ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( { – 1} \right) = {f^3}\left( { – 1} \right) – 3f\left( { – 1} \right) = \frac{{1573}}{{64}}$.
Câu 15. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $y = f'(x)$ như hình vẽ.
Xét hàm số $g(x) = f(x) – \frac{1}{3}{x^3} – \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + 2018.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3;1} \right]} g(x) = g( – 1)$ B. $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3;1} \right]} g(x) = g(1)$.
C. $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { – 3} \right)$ D. $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3;1} \right]} g\left( x \right) = \frac{{g\left( { – 3} \right) + g\left( 1 \right)}}{2}$
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${g^\prime }(x) = {f^\prime }(x) – {x^2} – \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}$
${g^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow {f^\prime }(x) = {x^2} + \frac{3}{2}x – \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = – 1}\\{x = 1}\end{array}} \right.$
Lập bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: ${\min _{[ – 3;1]}}g(x) = g( – 1)$
Chọn đáp án A.
Câu 16. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm cấp hai trên $\mathbb{R}$ . Biết $f'(0) = 3,f'(2) = – 2018$ và bảng xét dấu của$f”(x)$ như sau:
Hàm số $y = f(x + 2017) + 2018x$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm ${x_0}$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $(0;2)$. B. $( – \infty ; – 2017)$. C. $( – 2017;0)$. D. $(2017; + \infty )$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $y’ = f'(x + 2017) + 2018 = 0$
Từ BXD của $f”\left( x \right)$ ta suy ra ${\rm{BBT}}$ của $f’\left( x \right)$ nhu sau:
Từ BBT ta có: $f'(x + 2017) = – 2018 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2017 = 2}\\{x + 2017 = a < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = – 2015}\\{{x_2} < – 2017}\end{array}} \right.} \right.$
Từ đó ta suy ra BBT của hàm số $f'(x + 2017) + 2018$ như sau:
Tịnh tiến đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ lên trên 2018 đơn vị.
Tịnh tiến dồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ sang trái 2017 đơn vị.
Suy ra BBT của hàm số $y = f\left( {x + 2017} \right) + 2018x$
Vậy hàm số đạt GTNN tại ${x_2} < – 2017$.
