Chuyên Đề Tìm Min Max Của Hàm Số Trên Một Đoạn Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Có Đáp Án Và Lời Giải

0
1574

Chuyên đề tìm min max của hàm số trên một đoạn theo từng mức độ luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 31 của đề tham khảo môn Toán.

DẠNG TOÁN TÌM MAX – MIN TRÊN ĐOẠN [a;b]

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Định nghĩa

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên tập $D.$

Số gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $D$ nếu: $\left\{ \begin{array}{l}f(x) \le M,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D,f({x_0}) = M\end{array} \right.$.

Kí hiệu: $M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} {\kern 1pt} f(x)$.

Số $m$ gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$trên $D$ nếu: $\left\{ \begin{array}{l}f(x) \ge m,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D,f({x_0}) = m\end{array} \right.$.

Kí hiệu: $m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} {\kern 1pt} f(x)$.

2. Phương pháp

Bước 1. Tính đạo hàm $f'(x)$.

Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm ${x_i} \in [a;b]$ của phương trình $f'(x) = 0$ và tất cả các điểm ${\alpha _i} \in [a;b]$ làm cho $f'(x)$ không xác định.

Bước 3. Tính $f(a)$, $f(b)$, $f({x_i})$, $f({\alpha _i})$.

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\kern 1pt} f(x)$, $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\kern 1pt} f(x)$.

Chú ý:

Nếu $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ {a;b} \right]$ thì $M = \mathop {max}\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\kern 1pt} f(x) = f\left( b \right);\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\kern 1pt} f(x) = f\left( a \right)$.

Nếu $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left[ {a;b} \right]$ thì $M = \mathop {max}\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\kern 1pt} f(x) = f\left( a \right);\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\kern 1pt} f(x) = f\left( b \right)$.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Max – Min khi biết đồ thị, BBT.

Max – min của hàm số trên đoạn [a;b].

Max – min của hàm số trên K.

Max – min của hàm số chứa trị tuyệt đối.

Bài toán tham số về Max – min.

Max – min của biểu thức nhiều biến.

Ứng dụng Max – min giải toán tham số.

Bài toán thực tế, liên môn về Max – min.

Tìm Max – min của hàm hợp.

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN BDG 2020-2021)Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = {x^4} – 2{x^2} + 3$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$. Tổng $M + m$ bằng

A.$11$. B.$14$. C.$5$. D.$13$.

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN:Đây là dạng toán tìm Max – min của hàm số trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1:

 Hàm số đã cho $y = f\left( x \right)$xác định và liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right].$

 Tìm các điểm ${x_1},{x_2},…,{x_n}$ trên khoảng $\left( {a;b} \right)$, tại đó $f’\left( x \right) = 0$ hoặc $f’\left( x \right)$ không xác định.

B2: Tính $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right).$

B3:Khi đó:

 $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {a,b} \right]} f\left( x \right) = {\rm{max}}\left\{ {f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right)} \right\}.$

 $\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {a,b} \right]} f\left( x \right) = {\rm{min}}\left\{ {f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right)} \right\}.$

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn D

Ta có $f'(x) = 4{x^3} – 4x$ và $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0,x = \pm 1$.

Trên $[0;2],$ ta xét các giá trị

$f(0) = 3,{\rm{ }}f(1) = 2,{\rm{ }}f(2) = 11.$

Do đó $M = 11,m = 2$ và $M + m = 13.$

Bài tập tương tự và phát triển:

Mức độ 1

Câu 1. Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} – 8{x^2} + 16x – 9$ trên đoạn $\left[ {1;\,3} \right]$ là

A. $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,3} \right]} f\left( x \right) = 5$. B. $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,3} \right]} f\left( x \right) = – 6$. C. $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,3} \right]} f\left( x \right) = \frac{{13}}{{27}}$. D. $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,3} \right]} f\left( x \right) = 0$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $f’\left( x \right) = 3{x^2} – 16x + 16$$ \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 16x + 16 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 \notin \left[ {1\,;\,3} \right]\\x = \frac{4}{3}\end{array} \right.$.

$f\left( 1 \right) = 0$, $f\left( 3 \right) = – 6$, $\left[ {\overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {MC} } \right].\overrightarrow {MN} = 0$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,3} \right]} f\left( x \right) = \frac{{13}}{{27}}$.

Câu 2. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right) = {x^4} – 8{x^2} + 16$ trên đoạn $\left[ { – 1;3} \right]$.

A. $9$. B. $19$. C. $25$. D. $0$.

Lời giải

Chọn C

$y = {x^4} – 8{x^2} + 16 \Rightarrow y’ = 4{x^3} – 16x$.

Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = – 2 \notin \left[ { – 1\,;\,3} \right]\end{array} \right.$

$y\left( { – 1} \right) = 9;y\left( 2 \right) = 0;y\left( 3 \right) = 25$ .

Vậy $\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} = 25$

Câu 3. Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^4} – 2{x^2} – 1.$ Kí hiệu $M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} f\left( x \right),$$m = \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} f\left( x \right).$ Khi đó $M – m$ bằng.

A. $9$. B. $5$. C. $1$. D. $7$.

Lời giải

Chọn A

$f\left( x \right) = {x^4} – 2{x^2} – 1$.

$D = \mathbb{R}$.

$f’\left( x \right) = 4{x^3} – 4x = 4x\left( {{x^2} – 1} \right)$.

$ \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.$.

$x = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = – 1$.

$x = 1 \Rightarrow f\left( x \right) = – 2 = m$.

$x = 2 \Rightarrow f\left( x \right) = 7 = M$.

$ \Rightarrow M – m = 9.$.

Câu 4. Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x – 4$ trên $\left[ { – 4;0} \right]$ lần lượt là $M$ và $m$. Giá trị của $M + m$ bằng

A. $\frac{4}{3}$. B. $ – \frac{{28}}{3}$. C. $ – 4$. D. $ – \frac{4}{3}$.

Lời giải

Chọn B

Hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x – 4$ xác định và liên tục trên $\left[ { – 4;0} \right]$.

$y’ = {x^2} + 4x + 3$, $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = – 3\end{array} \right.$.

Ta có $f\left( 0 \right) = – 4$, $f\left( { – 1} \right) = – \frac{{16}}{3}$, $f\left( { – 3} \right) = – 4$, $f\left( { – 4} \right) = – \frac{{16}}{3}$.

Vậy $M = – 4$, $m = – \frac{{16}}{3}$ nên $M + m = – \frac{{28}}{3}$.

Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = – {x^4} + 4{x^2} – 5$ trên đoạn $\left[ { – 2;3} \right]$ bằng

A. $ – 50$. B. $ – 1$. C. $ – 197$. D. $ – 5$.

Lời giải

Chọn A

$y’ = – 4{x^3} + 8x$; $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.$.

$y\left( { – 2} \right) = – 5$; $y\left( 0 \right) = – 5$; $y\left( { \pm \sqrt 2 } \right) = – 1$; $y\left( 3 \right) = – 50$.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = – 50$.

Câu 6. Gọi $M$, $N$ lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 1$ trên $\left[ {1;2} \right]$. Khi đó tổng $M + N$ bằng

A. $2$. B. $ – 2$. C. $ – 4$. D. $0$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $y’ = 3{x^2} – 6x$.

$\left\{ \begin{array}{l}y’ = 0\\x \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} – 6x = 0\\x \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right.$ (vô nghiệm).

Suy ra $M + N = $$y(1) + y(2)$$ = {1^3} – {3.1^2} + 1 + {2^3} – {3.2^2} + 1 = – 4$.

Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2} – 9x + 10$ trên $\left[ { – 2;\;2} \right]$.

A. $\mathop {\max }\limits_{[ – 2;\;2]} f\left( x \right) = 5$. B. $\mathop {\max }\limits_{[ – 2;\;2]} f\left( x \right) = 17$. C. $\mathop {\max }\limits_{[ – 2;\;2]} f\left( x \right) = – 15$. D. $\mathop {\max }\limits_{[ – 2;\;2]} f\left( x \right) = 15$.

Lời giải

Chọn D

Hàm số liên tục và xác định trên $\left[ { – 2;\;2} \right]$.

Ta có $f’\left( x \right) = 3{x^2} – 6x – 9$. Do đó $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x – 9 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1 \in \left[ { – 2;\;2} \right]\\x = 3 \notin \left[ { – 2;\;2} \right]\end{array} \right.$.

Khi đó $f\left( { – 1} \right) = 15$; $f\left( { – 2} \right) = 8$; $f\left( 2 \right) = – 12$. Vậy $\mathop {\max }\limits_{[ – 2;\;2]} f\left( x \right) = 15$.

Câu 8. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {x^3} + 2{x^2} – 4x + 3$ trên đoạn $\left[ { – 4;0} \right]$ lần lượt là $M{\rm{ v\`a }}m$. Giá trị của tổng $M + m$ bằng bao nhiêu?

A. $M + m = – 2$.B. $M + m = – 24$. C. $M + m = – 4$. D. $M + m = – 10$.

Lời giải

Chọn A

TXĐ: $D = \mathbb{R},y’ = 3{x^2} + 4x – 4 \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2 \in \left[ { – 4;0} \right]\\x = \frac{2}{3} \notin \left[ { – 4;0} \right]\end{array} \right.$.

Ta có $f\left( { – 2} \right) = 11;f\left( { – 4} \right) = – 13;f\left( 0 \right) = 3$.

$ \Rightarrow M + m = 11 – 13 = – 2$.

Câu 9. Gọi $M$ là giá trị lớn nhất, $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2{x^3} + 3{x^2} – 12x + 1$ trên đoạn $\left[ { – 1;3} \right].$ Khi đó tổng $M + m$ có giá trị là một số thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $\left( {59;61} \right)$. B. $\left( {39;42} \right)$. C. $\left( {0;2} \right)$ . D.$\left( {3;5} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $y’ = 6{x^2} + 6x – 12$ ; $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ { – 1;3} \right]\\x = – 2 \notin \left[ { – 1;3} \right]\end{array} \right.$

Mà $y(1) = – 6;y(3) = 46;y( – 1) = 14$ nên $M = 46;m = – 6 \Rightarrow M + m = 40 \in \left( {39;42} \right)$

Câu 10. Gọi $M,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}$ trên đoạn $\left[ {3;\,5} \right]$. Khi đó $M – m$ bằng

A. $2$ B. $\frac{3}{8}$ C. $\frac{7}{2}$ D. $\frac{1}{2}$

Lời giải

Chọn D

Ta có $f’\left( x \right) = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\forall x \in \left[ {3;\,5} \right]$ do đó:

$M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;\,5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 2$; $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;\,5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 5 \right) = \frac{3}{2}$

Suy ra $M – m = 2 – \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$ .

Câu 11. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} – 2{x^2} – 4x + 1$ trên đoạn $\left[ {1;3} \right].$

A. $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = – 7$. B. $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,3} \right]} f\left( x \right) = – 4$. C. $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = – 2$. D. $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = \frac{{67}}{{27}}$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $f’\left( x \right) = 3{x^2} – 4x – 4$$ \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{7}{3} \in \left[ {1;3} \right]\\x = \frac{{ – 2}}{3} \notin \left[ {1;3} \right]\end{array} \right.$.

Khi đó: $f\left( 1 \right) = – 4$;$f\left( 3 \right) = – 2$;$f\left( {\frac{7}{3}} \right) = – \frac{{176}}{{27}}.$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[ {1;3} \right]$ là $ – 2$.

Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {x^3} + 3{x^2}$ trên đoạn $\left[ { – 4; – 1} \right]$ bằng.

A. $0$. B. $ – 16$. C. $4$. D. $ – 4$.

Lời giải

Chọn B

Xét hàm số $y = {x^3} + 3{x^2}$ liên tục trên đoạn $\left[ { – 4; – 1} \right]$

+ $y’ = 3{x^2} + 6x$

+ $y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,(L)\\x = – 2\end{array} \right.$

+ $y\left( { – 4} \right) = – 16;\,y\left( { – 2} \right) = 4;\,y\left( { – 1} \right) = 2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là $ – 16$.

Câu 13. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$,$x \in \left[ { – 2\,;\,3} \right]$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { – 2\,;\,3} \right]$. Giá trị $M + m$ là

A. $6$. B. $1$. C. $5$. D. $3$.

Lời giải

Chọn B

Dựa vào độ thị nhận thấy $M = 3$ và $m = – 2$. Vậy $M + m = 1$.

Câu 14. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ { – 3;2} \right]$và có bảng biến thiên như sau.

Gọi $M,{\kern 1pt} \,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên

đoạn $\left[ { – 1;2} \right]$. Tính $M + {\kern 1pt} \,m$.

A. $3$. B. $2$. C. $1$. D. $4$.

Lời giải

Chọn A

Từ bảng biến thiên trên ta có:

+ Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ { – 1;2} \right]$ là $M = 3$

+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ { – 1;2} \right]$ là $m = 0$

Suy ra $M + {\kern 1pt} \,m = 3$.

Câu 15. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{9}{x}$ trên đoạn $\left[ {2;\,4} \right]$ là:

A. $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2\,;\,4} \right]} y = 6$. B. $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2\,;\,4} \right]} y = \frac{{13}}{2}$. C. $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2\,;\,4} \right]} y = \frac{{25}}{4}$. D. $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2\,;\,4} \right]} y = – 6$.

Lời giải

Chọn A

Ta có

$y’ = 1 – \frac{9}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} – 9}}{{{x^2}}}.$

$\left\{ \begin{array}{l}y’ = 0\\2 \le x \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} – 9}}{{{x^2}}} = 0\\2 \le x \le 4\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 9 = 0\\2 \le x \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3.$

$f\left( 2 \right) = \frac{{13}}{2}$, $f\left( 3 \right) = 6$, $f\left( 4 \right) = \frac{{25}}{4}$.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2\,;\,4} \right]} y = f\left( 3 \right) = 6$.

Câu 16. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{{3x + 2}}{{x + 1}}$ trên $\left[ {0;\,2} \right]$ bằng

A. $2$. B. $\frac{8}{3}$. C. $\frac{{10}}{3}$. D. $3$.

Lời giải

Chọn B

Hàm số đã cho liên tục trên $\left[ {0;\,2} \right]$.

Ta có $y’ = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0$ $\forall x \ne – 1$. Do đó hàm số đồng biến trên $\left[ {0;\,2} \right]$.

Từ đó $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = \frac{8}{3}$.

Câu 17. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{{x + 5}}{{x – 7}}$ trên đoạn $\left[ {8;12} \right]$là

A. $15.$ B. $\frac{{17}}{5}.$ C. $13.$ D. $\frac{{13}}{2}.$

Lời giải

Chọn C

Tập xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ 7 \right\}{\rm{.}}$

$y’ = \frac{{ – 12}}{{{{\left( {x – 7} \right)}^2}}} < 0$, $\forall {\rm{x}} \ne {\rm{7}}$.

Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left[ {8;12} \right]$ nên $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {8;12} \right]} y = y\left( 8 \right) = 13.$

Câu 18. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right)} y = 0$. B. $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right)} y = 2\sqrt 5 $. C. $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right)} y = 2$. D. $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right)} y = – 2$

Lời giải

Chọn D

Từ bảng biến thiên ta có: $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right)} y = y\left( 1 \right) = – 2$

Câu 19. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {e^x}$ trên đoạn $\left[ { – 1;\,\,1} \right]$ là:

A. $0$. B. $\frac{1}{e}$. C. $1$. D. $e$.

Lời giải

Chọn B

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $\left[ { – 1;1} \right]$.

Ta có $y’ = {e^x} > 0,\,\,\forall x \in \left[ { – 1;\,\,1} \right]$.

$f\left( { – 1} \right) = \frac{1}{e}$; $f\left( 1 \right) = e$.

Vậy$\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;\,\,1} \right]} f\left( x \right) = f\left( { – 1} \right) = \frac{1}{e}$.

Câu 20. Cho hàm số $y = – {x^3} + 3{x^2} + 2$.Gọi $M,n$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên $\left[ {0;3} \right]$.Tính $\left( {M + n} \right)$.

A. $8$. B. $10$. C. $6$. D. $4$.

Lời giải

Chọn D

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

$y’ = 0 \Rightarrow – 3{x^2} + 6x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

$f\left( 0 \right) = 2$;$f\left( 2 \right) = 6$;$f\left( 3 \right) = 2$.

Vậy $M = 6,n = 2 \Rightarrow M – n = 4$.

Mức độ 2

Câu 1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{{2{x^2} + x – 2}}{{2 – x}}$ trên đoạn $\left[ { – 2;\,1} \right]$ lần lượt bằng:

A.$1$ và $ – 1$. B.$2$ và $0$. C.$0$ và $ – 2$. D.$1$ và$ – 2$.

Lời giải

Chọn A

$y’ = \frac{{\left( {4x + 1} \right)\left( {2 – x} \right) + \left( {2{x^2} + x – 2} \right)}}{{{{\left( {2 – x} \right)}^2}}} = \frac{{ – 2{x^2} + 8x}}{{{{\left( {2 – x} \right)}^2}}}$.

$y’ = 0 \Leftrightarrow – 2{x^2} + 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ { – 2;1} \right]\\x = 4 \notin \left[ { – 2;1} \right]\end{array} \right.$.

$f\left( { – 2} \right) = 1,f\left( 0 \right) = – 1,f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} f\left( x \right) = 1,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} f\left( x \right) = – 1$.

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số$y = x + \frac{9}{x}$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$ là:

A.$\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;{\rm{ 4}}} \right]} y = 6$. B.$\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;{\rm{ 4}}} \right]} y = \frac{{13}}{2}$. C.$\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;{\rm{ 4}}} \right]} y = – 6$. D.$\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;{\rm{ 4}}} \right]} y = \frac{{25}}{4}$.

Lời giải

Chọn A

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$.

Ta có: $y’ = 1 – \frac{9}{{{x^2}}}$. Cho $y’ = 0$ ta được $\left[ \begin{array}{l}x = – 3 \notin \left[ {2;4} \right]\\x = 3 \in \left[ {2;4} \right]\end{array} \right.$

Khi đó: $f\left( 2 \right) = \frac{{13}}{2}$, $f\left( 3 \right) = 6$, $f\left( 4 \right) = \frac{{25}}{4}$.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;{\rm{ 4}}} \right]} y = 6$.

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x + 1 + \frac{4}{{x + 2}}$ trên đoạn [-1; 5].

A.$\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;5} \right]} = 3$. B.$\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;5} \right]} = 4$. C.$\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;5} \right]} = – 5$. D.$\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;5} \right]} = \frac{{46}}{7}$.

Lời giải

Chọn D

$\begin{array}{l}y\,\,’ = 1 – \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = – 4\end{array}$.

$f(0) = – 3;f( – 1) = 4;f(5) = \frac{{46}}{7}$.

Suy ra $\mathop {\max y}\limits_{\left[ { – 1;5} \right]} = \frac{{46}}{7}$.

Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số $y = x + \frac{1}{x}$ trên đoạn $\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]$.

A.$\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = \frac{{10}}{3}$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = \frac{5}{2}$. B.$\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = \frac{{10}}{3}$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = \frac{{13}}{6}$.

C.$\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = \frac{{10}}{3}$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = 2$. D.$\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = \frac{{16}}{3}$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = 2$.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

$y’ = 1 – \frac{1}{{{x^2}}}$, $y’ = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1 \notin \left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]\\x = 1 \notin \left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]\end{array} \right.$.

$y\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{{13}}{6}$, $y\left( 3 \right) = \frac{{10}}{3}$.

Suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = \frac{{10}}{3}$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]} y = \frac{{13}}{6}$.

Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{{{x^2} – 4x}}{{2x + 1}}$ trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$.

A.$\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = – 1$. B.$\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = – \frac{3}{7}$. C.$\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = – 4$. D.$\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = 0$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: $y’ = \frac{{2{x^2} + 2x – 4}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}$

Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 2\end{array} \right.$

$y\left( 0 \right) = 0;y\left( 3 \right) = – \frac{3}{7};y\left( 1 \right) = – 1$

Nên $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = – 1$.

Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x{\left( {3 – 2x} \right)^2}$ trên $\left[ {\frac{1}{4};1} \right]$.

A. $\frac{1}{2}$. B. $0$. C. $1$. D. $2$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $y’ = {\left( {3 – 2x} \right)^2} + x.2.\left( {3 – 2x} \right)\left( { – 2} \right) = 12{x^2} – 24x + 9$.

$y’ = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} – 24x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2} \notin \left[ {\frac{1}{4};1} \right]\\x = \frac{1}{2} \in \left[ {\frac{1}{4};1} \right]\end{array} \right.$ .

Ta có $y\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{{25}}{{16}}$; $y\left( 1 \right) = 1$; $y\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2$. Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{4};1} \right]} y = 1$.

Câu 7. Hàm số $y = {\left( {4 – {x^2}} \right)^2} + 1$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ { – 1;1} \right]$ là:

A. $12$. B. $14$. C. $17$. D. $10$.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $y’ = 4{x^3} – 16x$, cho $y’ = 0 \Rightarrow 4{x^3} – 16x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2 \notin \left[ { – 1;1} \right]\\x = 2 \notin \left[ { – 1;1} \right]\\x = 0 \in \left[ { – 1;1} \right]\end{array} \right.$.

Khi đó: $f\left( { – 1} \right) = 10$, $f\left( 1 \right) = 10$, $f\left( 0 \right) = 17$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = f\left( 0 \right) = 17$.

Câu 8. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \frac{{{x^2} – 3{\rm{x}} + 6}}{{x – 1}}$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$lần lượt là $M,\,\,m$. Tính $S = M + \,\,m.$

A. $S = 6.$ B. $S = 4.$ C. $S = 7.$ D. $S = 3.$

Lời giải

Chọn C

Ta có $f’\left( x \right) = \frac{{\left( {2x – 3} \right)\left( {x – 1} \right) – \left( {{x^2} – 3x + 6} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}$$ = \frac{{\left( {2{x^2} – 5x + 3} \right) – \left( {{x^2} – 3x + 6} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}$$ = \frac{{{x^2} – 2x – 3}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}$

$f’\left( x \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = – 1\end{array} \right.$

Ta có $f\left( 2 \right) = 4$ ; $f\left( 3 \right) = 3$ ; $f\left( 4 \right) = \frac{{10}}{3}$.

Vậy ta có $M = f\left( 2 \right) = 4$ và $m = f\left( 3 \right) = 3$$ \Leftrightarrow M + m = 4 + 3 = 7$.

Câu 9. Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = {x^5} – 5{x^4} + 5{x^3} + 1$ trên $\left[ { – 1;2} \right]?$

A. $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y = – 7,\,\,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y = 1$. B. $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y = – 10,\,\,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y = 2$.

C. $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y = – 2,\,\,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y = 10$. D. $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y = – 10,\,\,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y = – 2$.

Lời giải

Chọn B

$y’ = 5{x^4} – 20{x^3} + 15{x^2}$ . Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow 5{x^2}\left( {{x^2} – 4x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 3\end{array} \right.$

Ta có : $y\left( { – 1} \right) = – 10;y\left( 2 \right) = – 7;y\left( 0 \right) = 1;y\left( 1 \right) = 2$

Nên $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y = – 10,\,\,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y = 2$.

Câu 10. Cho $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} – 4x + 5}} – \frac{{{x^2}}}{4} + x$. Gọi $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right);m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right)$, khi đó$M–m$ bằng.

A.$\frac{9}{5}$. B.$\frac{3}{5}$. C.$\frac{7}{5}$. D.$1$.

Lời giải

Chọn A

$f’\left( x \right) = – \frac{{2x – 4}}{{{{\left( {{x^2} – 4x + 5} \right)}^2}}} – \frac{x}{2} + 1$$ \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \left[ {0;3} \right]$.

Có $m = f\left( 0 \right) = \frac{1}{5};f\left( 3 \right) = \frac{5}{4};M = f\left( 2 \right) = 2$.

Câu 11. Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x – {m^2}}}{{x + 8}}$ với $m$ là tham số thực. Giả sử ${m_0}$ là giá trị dương của tham số $m$ để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ bằng $ – 3$. Giá trị ${m_0}$ thuộc khoảng nào trong các khoảng cho dưới đây?

A. $\left( {2;5} \right).$ B. $\left( {1;4} \right).$ C. $\left( {6;9} \right).$ D. $\left( {20;25} \right).$

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x – {m^2}}}{{x + 8}}$ trên $\left[ {0;3} \right]$, $f'(x) = \frac{{8 + {m^2}}}{{{{\left( {x + 8} \right)}^2}}} > 0$nên hàm số đồng biến trên $\left[ {0;3} \right]$. Suy ra $\mathop {\min f(x)}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = f\left( 0 \right) = – \frac{{{m^2}}}{8}$. Ta có $\mathop {\min f(x)}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = – 3 \Leftrightarrow – \frac{{{m^2}}}{8} = – 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\sqrt 6 \\m = – 2\sqrt 6 \end{array} \right.$

$ \Rightarrow {m_0} = 2\sqrt 6 \in \left( {2;5} \right)$.

Câu 12. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + m$ có giá trị nhỏ nhất trên $\left[ { – 1;1} \right]$ bằng $\sqrt 2 $.

A. $m = 2 + \sqrt 2 $. B. $m = 4 + \sqrt 2 $. C. $\left[ \begin{array}{l}m = 2 + \sqrt 2 \\m = 4 + \sqrt 2 \end{array} \right.$. D. $m = \sqrt 2 $.

Lời giải

Chọn B

Xét hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + m$ trên $\left[ { – 1;1} \right]$.

Có $y’ = 3{x^2} – 6x$; $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2 \notin \left[ { – 1;1} \right]\end{array} \right.$

Ta có $y\left( 0 \right) = m$; $y\left( 1 \right) = m – 2$; $y\left( { – 1} \right) = m – 4$.

Suy ra $\mathop {Min\;y}\limits_{x \in \left[ { – 1;1} \right]} = y\left( { – 1} \right) = m – 4 = \sqrt 2 \Rightarrow m = 4 + \sqrt 2 $.

Câu 13. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = {\cos ^4}x – {\cos ^2}x + 4$ bằng:

A. $5$. B. $\frac{1}{2}$. C. $4$. D. $\frac{{17}}{4}$.

Lời giải

Chọn C

Đặt ${\cos ^2}x = t,\,\,\,t \in \left[ {0;1} \right]$

Yêu cầu của bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( t \right) = {t^2} – t + 4,\,\,\,t \in \left[ {0;1} \right]$.

Dễ thấy hàm số $f\left( t \right)$ liên tục trên $\left[ {0;1} \right]$.

Ta có $f’\left( t \right) = 2t – 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$

$f\left( 0 \right) = 4;\,\,\,f\left( 1 \right) = 4;\,\,\,f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{15}}{4}$.

Do đó $\mathop {{\rm{Max}}}\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\cos ^2}x = 0\\{\cos ^2}x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 14. Tìm $a$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} – 3a{x^2} + a – 1$ trên đoạn $\left[ { – 1;a} \right]$ bằng $10$, biết $a > 0.$

A. $a = 10$. B. $a = \frac{5}{2}$. C. $a = \frac{3}{2}$. D. $a = 11$.

Lời giải

Chọn D

$y = {x^3} – 3a{x^2} + a – 1$, xét $x \in \left[ { – 1;a} \right]$.

$ \Rightarrow y’ = 3{x^2} – 6ax$.

$y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6ax = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ { – 1;a} \right]\\x = 2a \notin \left[ { – 1;a} \right]\end{array} \right.$.

Với $a > 0$ ta có bảng biến thiên

Suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;a} \right]} y = y\left( 0 \right) = a – 1$.

$ \Rightarrow a – 1 = 10$$ \Leftrightarrow a = 11$.

Câu 15. Gọi $A$, $B$ là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{{x + {m^2} + m}}{{x – 1}}$ trên đoạn $\left[ {2;3} \right]$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $A + B = \frac{{13}}{2}$.

A. $m = 1$; $m = – 2$. B. $m = – 2$. C. $m = \pm 2$. D. $m = – 1$; $m = 2$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: $y’ = \frac{{ – ({m^2} + m + 1)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} < 0$, $\forall m$.

$ \Rightarrow A = y(3) = \frac{{{m^2} + m + 3}}{2};\,B = y(2) = {m^2} + m + 2$

$ \Rightarrow A + B = \frac{{13}}{2} \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + m + 3}}{2} + {m^2} + m + 2 = \frac{{13}}{2}$

$\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 3{m^2} + 3m – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = – 2\end{array} \right.$.

Câu 16. Có một giá trị ${m_0}$ của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + m + 1$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $5$ trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $2018{m_0} – m_0^2 \ge 0$. B. $2{m_0} – 1 < 0$. C. $6{m_0} – m_0^2 < 0$. D. $2{m_0} + 1 < 0$.

Lời giải

Chọn A

+ Đặt $f\left( x \right) = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + m + 1$.

+ Ta có: $y’ = 3{x^2} + {m^2} + 1$. Dễ thấy rằng $y’ > 0$ với mọi $x$, $m$ thuộc $\mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, suy ra hàm số đồng biến trên $\left[ {0;1} \right]$. Vì thế $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y$$ = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right)$$ = f\left( 0 \right)$$ = m + 1$.

+ Theo bài ra ta có: $m + 1 = 5$, suy ra $m = 4$.

+ Như vậy ${m_0} = 4$ và mệnh đề đúng là $2018{m_0} – m_0^2 \ge 0$.

Câu 17. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = – {x^2} – 1$. Với các số thực dương $a$,$b$ thỏa mãn $a < b$, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ bằng.

A. $f\left( {\sqrt {ab} } \right)$. B. $f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)$. C. $f\left( a \right)$. D. $f\left( b \right)$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $f’\left( x \right) = – {x^2} – 1 < 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Suy ra hàm số $y = f\left( x \right)$luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ bằng $f\left( b \right).$

Câu 18. Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} – 9x + m$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ { – 2;0} \right]$ bằng $2$, với $m$ là tham số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $m = – 3$. B. $m = 4$. C. $m = 2$. D. $m = 3$.

Lời giải

Chọn A

Đạo hàm: $y’ = 3{x^2} – 6x – 9$$ \to y’ = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 3\end{array} \right.$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}y\left( { – 2} \right) = m – 2\\y\left( { – 1} \right) = m + 5\\y\left( 0 \right) = m\end{array} \right.$ $ \to \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;0} \right]} y = 2 \Leftrightarrow m + 5 = 2$$ \Leftrightarrow m = – 3$.

Câu 19. Cho hàm số $y = \frac{{x + m}}{x}$ thỏa $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = 8$, với $m$ là tham số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $m > 4$. B. $0 < m \le 2$. C. $2 < m \le 4$. D. $m \le 0$.

Lời giải

Chọn C

Đạo hàm $y’ = \frac{{ – m}}{{{x^2}}}$, Với $m \ne 0$ ta có: $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = 8$$ \Leftrightarrow \frac{{1 + m}}{1} + \frac{{2 + m}}{2} = 8$$ \Leftrightarrow m = 4$.

Câu 20. Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x – {m^2}}}{{x + 8}},$ với $m$ là tham số. Giá trị lớn nhất của $m$ để $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = – 2$ là

A. $m = 5$. B. $m = 6$. C. $m = 4$. D. $m = 3$.

Lời giải

Chọn C

Có $f’\left( x \right) = \frac{{{m^2} + 8}}{{{{\left( {x + 8} \right)}^2}}}$; hàm số đồng biến trên $\left( { – \infty ; – 8} \right),\,\,\left( { – 8; + \infty } \right)$ nên đồng biến trên $\left[ {0;3} \right]$.

Do đó $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = – \frac{{{m^2}}}{8}.$

Vậy $ – \frac{{{m^2}}}{8} = – 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = – 4}\\{m = 4}\end{array}} \right..$ Giá trị lớn nhất của $m$ thoả mãn là $m = 4.$

Mức độ 3

Câu 1. Tìm tập giá trị $T$ của hàm số $y = x + \sqrt {4 – {x^2}} .$.

A.$T = \left[ { – 2;2} \right]$. B.$T = \left[ {0;2} \right]$. C.$T = \left[ {0;2\sqrt 2 } \right]$. D.$T = \left[ { – 2;2\sqrt 2 } \right]$.

Lời giải

Chọn D

Tập xác định $D = \left[ { – 2;2} \right].$ Hàm số liên tục trên đoạn$\left[ { – 2;2} \right].$.

$y’ = 1 – \frac{x}{{\sqrt {4 – {x^2}} }};$$y’ = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 – {x^2}} = x$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow x = \sqrt 2 $.

Ta có: $y\left( 2 \right) = 2;$$y\left( { – 2} \right) = – 2;$$y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 $.

Vì hàm số $y = x + \sqrt {4 – {x^2}} $liên tục trên đoạn$\left[ { – 2;2} \right]$ nên $\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ { – 2;2} \right]} = y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 ,$$\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ { – 2;2} \right]} = y\left( { – 2} \right) = – 2;$.

Vậy tập giá trị của hàm số là $T = \left[ { – 2;2\sqrt 2 } \right].$

Câu 2. $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = x + 1 + \sqrt {2 – {x^2}} $. Tính $M – m$?

A.$M – m = 2\sqrt 2 $. B.$M – m = 2 – \sqrt 2 $. C.$M – m = 4 – \sqrt 2 $. D.$M – m = 2 + \sqrt 2 $.

Lời giải

Chọn D

Tập xác định: $D = \left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$.

$f’\left( x \right) = 1 – \frac{x}{{\sqrt {2 – {x^2}} }}$; $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {2 – {x^2}} – x = 0 \Leftrightarrow 2 – {x^2} = {x^2}\left( {x \ge 0} \right)$.

$ \Leftrightarrow x = 1$ và đạo hàm không xác định tại $x = \pm \sqrt 2 $. Ta có:

$m = f\left( { – \sqrt 2 } \right) = 1 – \sqrt 2 ;\,f\left( {\sqrt 2 } \right) = 1 + \sqrt 2 ;\,f\left( 1 \right) = 3 = M$$ \Rightarrow M – m = 2 + \sqrt 2 $.

Câu 3. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = – 3 + \sqrt {4 – {x^2}} $ lần lượt là.

A.$0;2$. B.$ – 3; – 1$. C.$ – 3;0$. D.$ – 2;2$.

Lời giải

Chọn B

Tập xác định: $D = \left[ { – 2;2} \right]$.

Đạo hàm: $y’ = \frac{{ – x}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}, – 2 < x < 2$; $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in \left( { – 2;2} \right)$.

Tính các giá trị: $y\left( { – 2} \right) = y\left( 2 \right) = – 3$, $y\left( 0 \right) = – 1$.

Vậy $\mathop {{\mathop{\rm Max}\nolimits} y}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} = – 1$ và $\mathop {\min y}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} = – 3$.

Câu 4. Tìm $x$ để hàm số $y = \sqrt {x + 2} + \sqrt {6 – x} $đạt giá trị lớn nhất?

A.$x = 2$. B.$x = 0$. C.$x = – 2$. D.$x = 4$.

Lời giải

Chọn A

Ta có điều kiện: $x \in \left[ { – 2;6} \right]$, $y’ = \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }} – \frac{1}{{2\sqrt {6 – x} }}$, $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

$y\left( { – 2} \right) = y\left( 6 \right) = 2\sqrt 2 $, $y\left( 2 \right) = 4$. Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} y = 4$.

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{{x + 2{m^2} – m}}{{x – 3}}$ trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ bằng $ – 2$.

A.$m = – 1$ hoặc $m = \frac{3}{2}$. B.$m = 2$ hoặc $m = – \frac{3}{2}$.

C.$m = 1$ hoặc $m = – \frac{1}{2}$. D.$m = 3$ hoặc $m = – \frac{5}{2}$.

Lời giải

Chọn A

$y = \frac{{x + 2{m^2} – m}}{{x – 3}} \Rightarrow y’ = \frac{{ – 3 – 2{m^2} + m}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}} < 0$

$ \Rightarrow {y_{\min }} = {y_{\left( 1 \right)}} = \frac{{2{m^2} – m + 1}}{{ – 2}}$

$ \Rightarrow {y_{\min }} = – 2 \Leftrightarrow \frac{{2{m^2} – m + 1}}{{ – 2}} = – 2 \Leftrightarrow 2{m^2} – m + 1 = 4$

$ \Leftrightarrow 2{m^2} – m – 3 – 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = \frac{3}{2}\end{array} \right.$

Câu 6. Số các giá trị tham số $m$ để hàm số $y = \frac{{x – {m^2} – 1}}{{x – m}}$ có giá trị lớn nhất trên $\left[ {0;\,4} \right]$ bằng $ – 6$ là

A.$0$. B.$2$. C.$1$. D.$3$.

Lời giải.

Chọn C

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$.

Có $y’ = \frac{{{m^2} – m + 1}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}} > 0$, $\forall x \in D$ (do ${m^2} – m + 1 = {\left( {m – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$, $\forall m \in \mathbb{R}$).

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;\,m} \right)$ và $\left( {m;\, + \infty } \right)$.

Suy ra $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;\,4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)$

Để hàm số đã cho có giá trị lớn nhất trên $\left[ {0;\,4} \right]$ bằng $ – 6$ thì

$\left\{ \begin{array}{l}m \notin \left[ {0;\,4} \right]\\f\left( 4 \right) = – 6\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \notin \left[ {0;\,4} \right]\\\frac{{3 – {m^2}}}{{4 – m}} = – 6\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \notin \left[ {0;\,4} \right]\\{m^2} + 6m – 27 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \notin \left[ {0;\,4} \right]\\\left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = – 9\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow m = – 9$.

Vậy có một giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 7. Gọi $m$ và $M$ lần lượt là các giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2 – 3x}}$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$. Mối liên hệ giữa $M$và $m$ là

A. $M – m = e$. B. $m + M = 1$. C. $m.M = \frac{1}{{{{\rm{e}}^2}}}$. D. $\frac{M}{m} = {{\rm{e}}^2}$.

Lời giải

Chọn C

Hàm số $f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2 – 3x}}$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$.

$f’\left( x \right) = – 3{{\rm{e}}^{2 – 3x}} < 0$,$\forall x \in \left[ {0;2} \right]$.

$f\left( 0 \right) = {{\rm{e}}^2}$; $f\left( 2 \right) = \frac{1}{{{{\rm{e}}^4}}}$. Do đó $m = \frac{1}{{{{\rm{e}}^4}}}$ và $M = {{\rm{e}}^2}$.

Khi đó :

$M – m = {{\rm{e}}^2} – \frac{1}{{{{\rm{e}}^4}}}$;

$m + M = \frac{1}{{{{\rm{e}}^4}}} + {{\rm{e}}^2}$;

$m.M = \frac{1}{{{{\rm{e}}^4}}}.{{\rm{e}}^2} = \frac{1}{{{{\rm{e}}^2}}}$;

$\frac{M}{m} = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{{\frac{1}{{{{\rm{e}}^4}}}}} = {{\rm{e}}^6}$.

Câu 8. Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{mx + 5}}{{x – m}}$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ bằng $ – 7$ khi

A.$m = \frac{5}{7}$. B.$m = 0$. C.$m = 1$. D.$m = 2$.

Lời giải

Chọn D

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{mx + 5}}{{x – m}}$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ nên $m \notin \left[ {0;1} \right]$. Do đó hàm số $f\left( x \right) = \frac{{mx + 5}}{{x – m}}$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$.

$f’\left( x \right) = \frac{{ – {m^2} – 5}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}} < 0$, $\forall x \in \left[ {0;1} \right]$. Suy ra $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow – 7 = \frac{{m + 5}}{{1 – m}} \Leftrightarrow m = 2$.

Câu 9. Gọi $m$ là giá trị để hàm số $y = \frac{{x – {m^2}}}{{x + 8}}$ có giá trị nhỏ nhất trên $\left[ {0;\;3} \right]$ bằng $ – 2$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\left| m \right| < 5$. B. $\left| m \right| = 5$. C. $3 < m < 5$. D. ${m^2} \ne 16$.

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số $y = \frac{{x – {m^2}}}{{x + 8}}$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 8} \right\}$.

Ta có $y’ = \frac{{8 + {m^2}}}{{{{\left( {x + 8} \right)}^2}}} > 0\;,\forall m \in \mathbb{R}$.

$ \Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \infty ;\; – 8} \right)$ và $\left( { – 8;\; + \infty } \right)$.

Do đó trên $\left[ {0;\;3} \right]$, hàm số đồng biến.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left[ {0;\;3} \right]$ là $y\left( 0 \right) = \frac{{ – {m^2}}}{8} = – 2$$ \Leftrightarrow {m^2} = 16$$ \Leftrightarrow m = \pm 4$.

Câu 10. Chohàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} + {m^2}x – 2{m^2} + 2m – 9,m$ là tham số. Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị của $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ không vượt quá $3$. Tìm $m?$

A. $S = \left( { – \infty ; – 3} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$. B. $S = \left( { – 3;1} \right)$.

C. $S = \left( { – \infty ; – 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$. D. $S = \left[ { – 3;1} \right]$.

Lời giải

Chọn D

$\begin{array}{l}y’ = {x^2} + {m^2},x \in \mathbb{R}\\y’ \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}$

Do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \Rightarrow \mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;3} \right]} = y(3) = {m^2} + 2m$

Theo bài yêu cầu ta có ${m^2} + 2m \le 3 \Leftrightarrow m \in \left[ { – 3;1} \right]$

Câu 11. Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| {\sqrt {4 – {x^2}} + x – \frac{1}{2}} \right| + m$ là $18$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $0 < m < 5$. B. $10 < m < 15$. C. $5 < m < 10$. D. $15 < m < 20$.

Lời giải

Chọn D

Xét hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {4 – {x^2}} + x – \frac{1}{2}$ liên tục trên tập xác định $\left[ { – 2;2} \right]$.

$g’\left( x \right) = \frac{{ – x}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }} + 1$.

$g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ – x}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }} + 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 – {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4 – {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2 $.

$g\left( { – 2} \right) = – \frac{5}{2}$; $g\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{{ – 1 + 4\sqrt 2 }}{2}$; $g\left( 2 \right) = \frac{3}{2}$

$ \Rightarrow \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| = \frac{5}{2}$ khi $x = – 2$.

$ \Rightarrow $giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| {\sqrt {4 – {x^2}} + x – \frac{1}{2}} \right| + m$ bằng $\frac{5}{2} + m$

$ \Rightarrow $$\frac{5}{2} + m = 18 \Leftrightarrow m = 15,5.$

Vậy $15 < m < 20$.

Câu 12. Cho hàm số $y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}$ ($m$là tham số thực) thoả mãn $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1\;;\;2} \right]} y + \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1\;;\;2} \right]} y = \frac{{16}}{3}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $m \le 0$. B. $m > 4$. C. $0 < m \le 2$. D. $2 < m \le 4$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}$ suy ra $y’ = \frac{{1 – m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

Khi $m = 1$ ta có $y = 1$ với mọi $x \ne – 1$. Do đó $m = 1$ không thỏa mãn $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1\;;\;2} \right]} y + \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1\;;\;2} \right]} y = \frac{{16}}{3}$

Khi $m \ne 1$ ta có $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1\;;\;2} \right]} y + \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1\;;\;2} \right]} y = y(1) + y(2) = \frac{{m + 1}}{2} + \frac{{m + 2}}{3} = \frac{{5m + 7}}{6}$

$\mathop {\min }\limits_{\left[ {1\;;\;2} \right]} y + \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1\;;\;2} \right]} y = \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow \frac{{5m + 7}}{6} = \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow 5m + 7 = 32 \Leftrightarrow m = 5$. Do đó chọn phương án B.

Câu 13. Cho $x;y$ là hai số thực bất kỳ thuộc đoạn $\left[ {1;3} \right].$ Gọi $M,{\rm{ }}m$lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}.$ Tính $M + m.$

A. $M + n = \frac{{10}}{3}.$ B. $M + n = 3$. C. $M + n = 5$. D. $M + n = \frac{{16}}{3}$.

Lời giải

Chọn D

Đặt $t = \frac{x}{y}$. Không mất tổng quát, giả sử $1 \le y \le x \le 3$

Có $1 \le t \le 3$

$S = f(t) = t + \frac{1}{t}$

$f\prime (t) = \frac{{{t^2} – 1}}{t}$

Trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$: $f\prime (t) \ge 0$ nên $f(t)$ đồng biến trên khoảng $(1;3)$

Do đó: $m = f(1) = 2,{\rm{ }}$ $M = f(3) = \frac{{10}}{3}$

Vậy $M + m = \frac{{10}}{3} + 2 = \frac{{16}}{3}.$

Câu 14. Có một giá trị ${m_0}$ của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + m + 1$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $5$ trên đoạn $\left[ {0;\,1} \right]$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $2018{m_0} – m_0^2 \ge 0$. B. $2{m_0} – 1 < 0$. C. $6{m_0} – m_0^2 < 0$. D. $2{m_0} + 1 < 0$

Lời giải

Chọn A

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y’ = 3{x^2} + \left( {{m^2} + 1} \right) > 0,\,\forall x \in \left[ {0;\,1} \right]$. Do đó $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,1} \right]} y = y\left( 0 \right) = m + 1$.

Theo giả thiết ta có $m + 1 = 5 \Leftrightarrow m = 4$. Do đó ${m_0} = 4$ và $2018{m_0} – m_0^2 = 8056 > 0$.

Câu 15. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $y = f’\left( x \right)$ như hình bên. Đặt $g\left( x \right) = 2f\left( x \right) – {\left( {x + 1} \right)^2}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\mathop {Max}\limits_{\left[ { – 3;\,3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 3 \right)$. B. $\mathop {Min}\limits_{\left[ { – 3;\,3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right)$. C. $\mathop {Max}\limits_{\left[ { – 3;\,3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 0 \right)$. D. $\mathop {Max}\limits_{\left[ { – 3;\,3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right)$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $g’\left( x \right) = 2f’\left( x \right) – 2\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) – \left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 3\\x = 1\\x = x\end{array} \right.$.

Từ đồ thị của hàm số $y = f’\left( x \right)$ suy ra bảng biến thiên $g\left( x \right) = 2f\left( x \right) – {\left( {x + 1} \right)^2}$

Do đó Mệnh đề nào dưới đây đúng $\mathop {Max}\limits_{\left[ { – 3;\,3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right)$.

Câu 16. Cho hàm số $y = \frac{{1 – m\sin x}}{{\cos x + 2}}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ {0;10} \right]$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn $ – 2$?

A. $1$. B. $9$. C. $3$. D. $6$.

Lời giải

Chọn D

Hàm số đã cho luôn xác định $\forall x \in \mathbb{R}$ do $\cos x + 2 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$.$y = \frac{{1 – m\sin x}}{{\cos x + 2}} \Leftrightarrow y\cos x + 2y = 1 – m\sin x \Leftrightarrow y\cos x + m\sin x = 1 – 2y$.

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ${y^2} + {m^2} \ge {(1 – 2y)^2} \Leftrightarrow 3{y^2} – 4y + 1 – {m^2} \le 0$$ \Leftrightarrow \frac{{2 – \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3} \le y \le \frac{{2 + \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3}$.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng $\frac{{2 – \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3}$.

Do GTNN của hàm số nhỏ hơn $ – 2$ nên $\frac{{2 – \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3} < – 2 \Leftrightarrow \sqrt {1 + 3{m^2}} > 8 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \sqrt {21} }\\{m < – \sqrt {21} }\end{array}} \right.$.

Kết hợp với $0 \le m \le 10$ ta được $\sqrt {21} < m \le 10$. Do $m$ nguyên nên $m \in \left\{ {5;6;7;8;9;10} \right\}$.

Vậy có $6$ giá trị $m$ thỏa mãn bài toán.

Câu 17. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ dưới. Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( {2{x^3} + x – 1} \right) + m$. Tìm $m$ để $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = – 10$.

A. $m = – 13$. B. $m = 5$. C. $m = 3$. D. $m = – 1$.

Lời giải

Chọn A

$g\left( x \right) = f\left( {2{x^3} + x – 1} \right) + m$

Xét hàm số $u\left( x \right) = 2{x^3} + x – 1$$ \Rightarrow u’\left( x \right) = 6{x^2} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

$ \Rightarrow $ hàm số $u\left( x \right) = 2{x^3} + x – 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Xét $x \in \left[ {0;1} \right]$ ta có: $u\left( x \right) \in \left[ {u\left( 0 \right);u\left( 1 \right)} \right]$$ \Rightarrow u\left( x \right) \in \left[ { – 1;2} \right]$.

Từ đồ thị suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} f\left( u \right) = f\left( { – 1} \right) = f\left( 2 \right) = 3$.

$\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( {2{x^3} + x – 1} \right) = 3$

$\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = 3 + m$.

Từ giả thiết $ \Rightarrow 3 + m = – 10$$ \Leftrightarrow m = – 13$.

Câu 18. Cho hàm số $y = \left| {{x^2} + 2x + a – 4} \right|$. Tìm $a$ để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { – 2;1} \right]$ đạt giá trị nhỏ nhất?

A. $a = 1$. B. $a = 2$. C. Một giá trị khác. D. $a = 3$.

Lời giải

Chọn D

Đặt $f\left( x \right) = {x^2} + 2x + a – 4$. Ta có $f’\left( x \right) = 2x + 2$ và $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = – 1 \in \left[ { – 2;1} \right]$.

Ta có $f\left( { – 2} \right) = a – 4;\,\,f\left( { – 1} \right) = a – 5;\,\,f\left( 1 \right) = a – 1$ và $a – 5 \le a – 4 \le a – 1,\,\,\forall a$.

Bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $\left[ { – 2;1} \right]$

Suy ra $M = \max y = \max \left\{ {|a – 5|,\,\,|a – 1|} \right\}$. Suy ra

$2M = |a – 5| + |a – 1| = |5 – a| + |a – 1|\, \ge \,|5 – a + a – 1| = 4 \Rightarrow M \ge 2$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\left( {5 – a} \right).\left( {a – 1} \right) \ge 0\\\left| {5 – a} \right| = \left| {a – 1} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \in \left[ {1;\,5} \right]\\a = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 3$.

Vậy $\min M = 2$ khi $a = 3$.

Câu 19. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| {{x^2} + 2x + m – 4} \right|$ trên đoạn $\left[ { – 2;\,1} \right]$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số $m$ bằng

A. $1$. B. $3$. C. $4$. D. $5$.

Lời giải

Chọn B

Đặt $t = {x^2} + 2x + m – 4$.

Ta có: $t’ = 2x + 2$.

$t’ = 0 \Leftrightarrow x = – 1$.

Bảng biến thiên

C:\Users\admin\Desktop\113.PNG

Do đó: $t \in \left[ {m – 5;m – 1} \right]$.

Ta được hàm số: $y\left( t \right) = \left| t \right|,t \in \left[ {m – 5;\,m – 1} \right]$.

Nhận xét : $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} ;\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} \in \left[ {\left| {m – 5} \right|;\left| {m – 1} \right|} \right]$

Ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} y = \max \left\{ {\left| {m – 5} \right|;\left| {m – 1} \right|} \right\}$ .

+TH 1: $\left| {m – 5} \right| \le \left| {m – 1} \right|$

$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} y = \left| {m – 1} \right|;\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} y = \left| {m – 5} \right|$

$\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} y$ nhỏ nhất khi $\left| {m – 5} \right| = \left| {m – 1} \right| \Leftrightarrow m = 3$.

+TH 2: $\left| {m – 1} \right| \le \left| {m – 5} \right|$

$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} y = \left| {m – 5} \right|;\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} y = \left| {m – 1} \right|$.

$\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} y$ nhỏ nhất khi $\left| {m – 5} \right| = \left| {m – 1} \right| \Leftrightarrow m = 3$.

Câu 20. Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{{x – {m^2} – 2}}{{x – m}}$ trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ bằng $ – 1$.

A. $0$. B. $2$. C. $3$. D. $1$.

Lời giải

Chọn D

Điều kiện: $x \ne m$.

Hàm số đã cho xác định trên $\left[ {0\,;\,4} \right]$ khi $m \notin \left[ {0;4} \right]$ (*).

Ta có $y’ = \frac{{{m^2} – m + 2}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {m – \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{4}}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}} > 0$ với $\forall x \in \left[ {0;4} \right]$.

Hàm số đồng biến trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ nên $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y\left( 4 \right) = \frac{{2 – {m^2}}}{{4 – m}}$.

$\mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,4} \right]} y = – 1$$ \Leftrightarrow \frac{{2 – {m^2}}}{{4 – m}} = – 1$$ \Leftrightarrow {m^2} + m – 6 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = – 3\end{array} \right.$.

Kết hợp với điều kiện (*) ta được $m = – 3$. Do đó có một giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.

Mức độ 4

Câu 1. Biết rằng phương trình $\sqrt {2 – x} + \sqrt {2 + x} – \sqrt {4 – {x^2}} = m$ có nghiệm khi $m$ thuộc $\left[ {a;b} \right]$ với

$a$, $b$$ \in \mathbb{R}$. Khi đó giá trị của $T = \left( {a + 2} \right)\sqrt 2 + b$ là?

A.$T = 0$. B.$T = 3\sqrt 2 + 2$. C.$T = 6$. D.$T = 8$.

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: $ – 2 \le x \le 2$.

Đặt $t = \sqrt {2 – x} + \sqrt {2 + x} \ge 0 \Rightarrow {t^2} = 4 + 2\sqrt {4 – {x^2}} \Rightarrow \sqrt {4 – {x^2}} = \frac{{{t^2} – 4}}{2}$.

Phương trình đã cho thành $t – \frac{{{t^2} – 4}}{2} = m$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {2 – x} + \sqrt {2 + x} $, với $x \in \left[ { – 2;2} \right]$ ta có

$f’\left( x \right) = – \frac{1}{{2\sqrt {2 – x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {2 + x} }}$; $\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { – 2;2} \right)\\f’\left( x \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { – 2;2} \right)\\2 – x = 2 + x\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0$.

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ { – 2;2} \right]$ và $f\left( { – 2} \right) = 2$; $f\left( 2 \right) = 2$; $f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 $

$ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} f\left( x \right) = 2$ và $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} f\left( x \right) = 2\sqrt 2 $$ \Rightarrow 2 \le f\left( x \right) \le 2\sqrt 2 \Rightarrow t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]$.

Xét hàm số $f\left( t \right) = t – \frac{{{t^2} – 4}}{2}$, với $t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]$ ta có $f’\left( t \right) = 1 – t < 0$, $\forall t \in \left( {2;2\sqrt 2 } \right)$.

Bảng biến thiên:

YCBT $ \Leftrightarrow $ trên $\left[ { – 2;2} \right]$ đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$ cắt đường thẳng $y = m$$ \Leftrightarrow 2\sqrt 2 – 2 \le m \le 2$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}a = 2\sqrt 2 – 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow T = \left( {a + 2} \right)\sqrt 2 + b = 6$.

Câu 2. Hàm số $y = 4\sqrt {{x^2} – 2x + 3} + 2x – {x^2}$ đạt giá trị lớn nhất tại hai giá trị $x$ mà tích của chúng là:

A.$ – 1$. B.$1$. C.$0$. D.$2$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $y = 4\sqrt {{x^2} – 2x + 3} + 2x – {x^2} = 4\sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + 2} – {\left( {x – 1} \right)^2} + 1$.

Đặt $t = {\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0$. Xét hàm số $y = 4\sqrt {t + 2} – t + 1$

.

$ \Rightarrow y'(t) = \frac{{2 – \sqrt {t + 2} }}{{\sqrt {t + 2} }} = 0 \Leftrightarrow t = 2.$

Lập bảng biến thiên của hàm số

02

Ta được hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $t = 2 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 2 $. Suy ra ${x_1}{x_2} = – 1$.

Câu 3. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x\left( {2017 + \sqrt {2019 – {x^2}} } \right)$ trên tập xác định của nó. Tính $M – m$.

A.$2019\sqrt {2019} + 2017\sqrt {2017} $. B.$4036$.

C.$4036\sqrt {2018} $. D.$\sqrt {2019} + \sqrt {2017} $.

Lời giải

Chọn C

TXĐ: $D = \left[ { – \sqrt {2019} ;\sqrt {2019} } \right]$

Ta có $y’ = 2017 + \sqrt {2019 – {x^2}} – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2019 – {x^2}} }}$

$ \Rightarrow y’ = 0$$ \Leftrightarrow 2017 + \sqrt {2019 – {x^2}} – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2019 – {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2017\sqrt {2019 – {x^2}} + 2019 – 2{x^2}}}{{\sqrt {2019 – {x^2}} }} = 0$

Trên $D$, đặt $t = \sqrt {2019 – {x^2}} $, $t \ge 0$. Ta được:

$2{t^2} + 2017t – 2019 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = – \frac{{2019}}{2}\end{array} \right.$$ \Rightarrow \sqrt {2019 – {x^2}} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – \sqrt {2018} \\x = \sqrt {2018} \end{array} \right.$

Khi đó $f\left( { – \sqrt {2018} } \right) = – 2018\sqrt {2018} $; $f\left( {\sqrt {2018} } \right) = 2018\sqrt {2018} $

$f\left( { – \sqrt {2019} } \right) = – 2017\sqrt {2019} $; $f\left( {\sqrt {2019} } \right) = 2017\sqrt {2019} $

Suy ra $m = \mathop {\min y}\limits_D = – 2018\sqrt {2018} $, $M = \mathop {\max y}\limits_D = 2018\sqrt {2018} $

Vậy $M – m = 4036\sqrt {2018} .$

Câu 4. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right) = 5\left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt {3 – x} } \right) + \sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {3 – x} \right)} $ lần lượt là $m$ và $M$, tính $S = {m^2} + {M^2}$.

A.$S = 170$. B.$S = 169$. C.$S = 172$. D.$S = 171$.

Lời giải

Chọn D

Tập xác định $D = \left[ {1;3} \right]$.

Đặt $t = \sqrt {x – 1} + \sqrt {3 – x} $ ta có $\sqrt 2 \le t \le 2$ ( dùng máy tính hoặc tìm GTLN, GTNN của $t$).

$ \Rightarrow \sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {3 – x} \right)} = \frac{{{t^2} – 2}}{2}$ vậy ta có hàm số $g\left( t \right) = \frac{{{t^2}}}{2} + 5t – 1$ với $\sqrt 2 \le t \le 2$.

Hàm số $g’\left( t \right) = t + 5 = 0 \Leftrightarrow t = – 5 \notin \left[ {\sqrt 2 ;2} \right]$.

$g\left( {\sqrt 2 } \right) = 5\sqrt 2 $, $g\left( 2 \right) = 11$ nên $m = 5\sqrt 2 ,M = 11$.

Vậy $S = {m^2} + {M^2} = 171$.

Câu 5. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} \left( {{x^4} – 6m{x^2} + {m^2}} \right) = 16$. Số phần tử của $S$ là ?

A. $3$. B. $1$. C. $0$. D. $2$.

Lời giải

Chọn D

Hàm số $f\left( x \right) = {x^4} – 6m{x^2} + {m^2}$ đã xác định và liên tục trên $\left[ { – 2;1} \right]$.

Ta có $f’\left( x \right) = 0$$ \Leftrightarrow 4{x^3} – 12mx = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 3m\end{array} \right.$.

Tính $f\left( 0 \right) = {m^2}$, $f\left( 1 \right) = 1 – 6m + {m^2}$, $f\left( { – 2} \right) = 16 – 24m + {m^2}$.

Nhận xét: $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} \left( {{x^4} – 6m{x^2} + {m^2}} \right) = 16$ suy ra $f\left( 0 \right) = {m^2} \in \left[ {0;16} \right] \Leftrightarrow m \in \left[ { – 4;4} \right]$

Khi đó $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} \left( {{x^4} – 6m{x^2} + {m^2}} \right) = 16$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 16\\16 – 24m + {m^2} = 16\\1 – 6m + {m^2} = 16\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \pm 4\\m = 0\\m = 24\\m = 3 \pm 2\sqrt 6 \end{array} \right.$.

Thử lại:

Với $m = 0$, ta có $f\left( 0 \right) = 0$, $f\left( 1 \right) = 1$, $f\left( { – 2} \right) = 16$$ \Rightarrow m = 0$ thỏa mãn.

Với $m = 4$, ta có $f\left( 0 \right) = 16$, $f\left( 1 \right) = – 7$, $f\left( { – 2} \right) = – 64$$ \Rightarrow m = 4$ thỏa mãn.

Với $m = – 4$, ta có $f\left( { – 2} \right) = 128 > 16 \Rightarrow m = – 4$ không thỏa mãn.

Với $m = 3 – 2\sqrt 6 $, ta có $f\left( { – 2} \right) = 36\sqrt 6 – 23 > 16 \Rightarrow m = 3 – 2\sqrt 6 $ không thỏa mãn.

Như vậy ta được $m = 0$, $m = 4$ thỏa mãn bài toán.

Câu 6. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| {{x^2} – 2x + m} \right|$ trên đoạn $\left[ { – 1;2} \right]$ bằng $5$.

A. $3$. B. $1$. C. $2$. D. $4$.

Lời giải

Chọn C

Ta có Parabol $\left( P \right)$$y = {x^2} – 2x + m$ có đỉnh $I\left( {1; – 1 + m} \right);y\left( { – 1} \right) = m + 3;y\left( 2 \right) = m$.

Trường hợp 1. $m + 3 < 0 \Leftrightarrow m < – 3 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} \left| y \right| = – m – 3$(do lấy đối xứng qua $Ox$ )

Theo giả thiết ta có: $ – m – 3 = 5 \Leftrightarrow m = – 8$ (thỏa $m < – 3)$$ \Rightarrow $ Nhận.

Trường hợp 2.$\left\{ \begin{array}{l}m + 3 > 0\\m – 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow – 3 < m < 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} \left| y \right| = 0 \Rightarrow $ Không thỏa yêu cầu.

Trường hợp 3. $m – 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} \left| y \right| = m – 1$. Theo yêu cầu ta có $m – 1 = 5 \Leftrightarrow m = 6$.

Vậy có $2$ giá trị $m$ thỏa yêu cầu.

Câu 7. Gọi $M$, $m$lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt {1 – {x^2}} + 3\sqrt[3]{{{{\left( {1 – {x^2}} \right)}^2}}}$. Hỏi điểm $A\left( {M;m} \right)$ thuộc đường tròn nào sau đây?

A. ${x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 1$. B. ${\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 20$

C. ${\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 2$. D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 1$.

Lời giải

Chọn C

TXĐ: $D = \left[ { – 1;1} \right]$.

Đặt $t = \sqrt[6]{{1 – {x^2}}}$. Vì $x \in \left[ { – 1;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]$.

Vậy $y = f\left( t \right) = {t^3} + 3{t^4},t \in \left[ {0;1} \right]$.

$f’ = 3{t^2} + 12{t^3}$, $f’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – \frac{1}{4}\\t = 0\end{array} \right.$.

$f\left( 1 \right) = 4,f\left( 0 \right) = 0$.

$\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( x \right) = 4$;$\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( x \right) = 0$ .

Vậy điểm $A\left( {4;0} \right)$.

Ta có: ${\left( {4 – 3} \right)^2} + {\left( {0 – 1} \right)^2} = 2$$\Rightarrow A \in (C):{(x – 3)^2} + {(y – 1)^2} = 2$.

Câu 8. Biết hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có $M$ và $m$ lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$. Trong các hàm số sau, hàm số nào cũng có GTLN và GTNN tương ứng là $M$ và $m$?.

A.$y = f\left( {x + \sqrt {2 – {x^2}} } \right)$. B.$y = f\left( {\frac{{4x}}{{{x^2} + 1}}} \right)$.

C.$y = f\left( {\sqrt {2\left( {\sin x + cosx} \right)} } \right)$. D.$y = f\left( {\sqrt {2\left( {{{\sin }^3}x + co{s^3}x} \right)} } \right)$.

Lời giải

Chọn B

Đặt $t = \frac{{4x}}{{{x^2} + 1}}$ trên $\left[ {0;2} \right]$

Ta có: ${t’_x} = \frac{{ – 4{x^2} + 4}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$

${t’_x} = 0 \Leftrightarrow x = 1$ trên $\left[ {0;2} \right]$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: $0 \le t \le 2$.

Do đó: Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có $M$ và $m$ lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ khi và chỉ khi hàm số $y = f\left( t \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có $M$ và $m$ lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$.

Câu 9. Tìm các giá trị nguyên dương $n \ge 2$ để hàm số $y = {\left( {2 – x} \right)^n} + {\left( {2 + x} \right)^n}$ với $x \in \left[ { – 2;{\rm{ 2}}} \right]$ có giá trị lớn nhất gấp 8 lần giá trị nhỏ nhất.

A. $n = 5$. B. $n = 6$. C. $n = 2$. D. $n = 4$.

Lời giải

Chọn D

$y’ = – n{\left( {2 – x} \right)^{n – 1}} + n{\left( {2 + x} \right)^{n – 1}} = n\left[ {{{\left( {2 + x} \right)}^{n – 1}} – {{\left( {2 – x} \right)}^{n – 1}}} \right]$

$y’ = 0 \Leftrightarrow {\left( {2 + x} \right)^{n – 1}} = {\left( {2 – x} \right)^{n – 1}}$

Trường hợp 1. $n$ chẵn $ \Leftrightarrow n – 1$ lẻ $ \Rightarrow $$y’ = 0 \Leftrightarrow \left( {2 + x} \right) = \left( {2 – x} \right) \Leftrightarrow x = 0$

Trường hợp 2. $n$ lẻ $ \Leftrightarrow n – 1$ chẵn $ \Rightarrow $$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 + x = 2 – x\\2 + x = – 2 + x\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0$

Ta có bảng biên thiên:

vv

$\mathop {{\rm{Min}}}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} = f\left( 0 \right) = {2^{n + 1}}$; $\mathop {{\rm{Max}}}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} = f\left( 2 \right) = f\left( { – 2} \right) = {4^n}$

Theo bài ra ta có ${4^n} = {8.2^{n + 1}} \Leftrightarrow n = 4$.

Câu 10. Đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ là đường cong nét đậm và $y = g’\left( x \right)$ là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao điểm $A,B,C$ của $y = f’\left( x \right)$ và $y = g’\left( x \right)$ trên hình vẽ lần lượt có hoành độ $a,b,c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $h\left( x \right) = f\left( x \right) – g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;c} \right]$?

A. $\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;c} \right]} h\left( x \right) = h\left( a \right)$. B. $\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;c} \right]} h\left( x \right) = h\left( b \right)$.

C. $\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;c} \right]} h\left( x \right) = h\left( c \right)$. D. $\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;c} \right]} h\left( x \right) = h\left( 0 \right)$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $h’\left( x \right) = f’\left( x \right) – g’\left( x \right)$, $h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\\x = b\\x = c\end{array} \right.$.

Trên miền $b < x < c$ thì đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ nằm phía trên đồ thị hàm số $y = g’\left( x \right)$ nên $f’\left( x \right) – g’\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow h’\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {b;c} \right)$.

Trên miền $a < x < b$ thì đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ nằm phía dưới đồ thị hàm số $y = g’\left( x \right)$ nên $f’\left( x \right) – g’\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow h’\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)$.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;c} \right]} h\left( x \right) = h\left( b \right)$.

Câu 11. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm là $f’\left( x \right)$. Đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ được cho như hình vẽ bên. Biết rằng $f\left( 0 \right) + f\left( 2 \right) = f\left( 1 \right) + f\left( 3 \right)$. Giá trị lớn nhất của $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ là

A. $f\left( 1 \right)$. B. $f\left( 0 \right)$. C. $f\left( 2 \right)$. D. $f\left( 3 \right)$.

Lời giải

Chọn D

Từ đồ thị của hàm số $y = f’\left( x \right)$ ta có bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$ như sau:

Từ bảng biến thiên ta có: $f\left( 3 \right) > f\left( 2 \right) > f\left( 1 \right)$.

Theo bài ra $f\left( 0 \right) + f\left( 2 \right) = f\left( 1 \right) + f\left( 3 \right) \Rightarrow f\left( 3 \right) – f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) – f\left( 1 \right) > 0 \Rightarrow f\left( 3 \right) > f\left( 0 \right)$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[ {0;3} \right]$ là $f\left( 3 \right)$

Câu 12. Cho hàm số $y = {x^3} + 3m{x^2} + 3\left( {2m – 1} \right)x + 1$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để trên đoạn $\left[ { – 2;0} \right]$ hàm số trên đạt giá trị lớn nhất bằng $6.$

A. $m = 1.$ B. $m = 0.$ C. $m = 3.$ D. $m = – 1.$

Lời giải

Chọn D

Ta có $y’ = 3{x^2} + 6mx + 3\left( {2m – 1} \right) = 3\left[ {{x^2} + 2mx + 2m – 1} \right]$;$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 1 – 2m\end{array} \right.$.

Và $y\left( { – 2} \right) = – 1;y\left( 0 \right) = 1$. Mặt khác theo yêu cầu $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;0} \right]} y = 6$ nên giá trị lớn nhất không đạt tại $x = – 2;x = 0$. Ta có: $y\left( { – 1} \right) = – 3m + 3$, $y\left( {1 – 2m} \right) = {\left( {1 – 2m} \right)^2}\left( {m – 2} \right) + 1$

• Xét $ – 3m + 3 = 6 \Leftrightarrow m = – 1.$ Thử lại với $m = – 1$, ta có $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 3 \notin \left[ { – 2;0} \right]\end{array} \right.$ nên $m = – 1$ là một giá trị cần tìm.

• Xét $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 – 2m} \right)^2}\left( {m – 2} \right) + 1 = 6\\ – 2 < 1 – 2m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 – 2m} \right)^2}\left( {m – 2} \right) = 5\,\,\left( 1 \right)\\\frac{1}{2} < m < \frac{3}{2}\end{array} \right.$

Vì $\frac{1}{2} < m < \frac{3}{2} \Rightarrow m – 2 < 0 \Rightarrow {\left( {1 – 2m} \right)^2}\left( {m – 2} \right) < 0$ nên $\left( 1 \right)$ vô nghiệm.

Vậy $m = – 1$ thỏa mãn.

Câu 13. Để giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right) = \left| {{x^3} – 3x + 2m – 1} \right|$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ là nhỏ nhất thì giá trị của $m$ thuộc

A. $\left( {0;1} \right)$. B. $\left[ { – 1;0} \right]$. C. $\left( {1;2} \right)$. D. $\left( { – 2; – 1} \right)$.

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số $y = g\left( x \right) = {x^3} – 3x + 2m – 1$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$, ta có:

$y’ = 3{x^2} – 3,\,\,\,y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 1\end{array} \right.$

Bảng biến thiên của hàm số hàm số $y = g\left( x \right) = {x^3} – 3x + 2m – 1$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$

Ta luôn có: $2m – 3 < 2m – 1 < 2m + 1 \Leftrightarrow g\left( 1 \right) < g\left( 0 \right) < g\left( 2 \right)$

Suy ra: $F = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {\left| {2m – 3} \right|,\left| {2m + 1} \right|} \right\}$.

Nếu $\left| {2m – 3} \right| \le \left| {2m + 1} \right| \Leftrightarrow {\left( {2m – 3} \right)^2} \le {\left( {2m + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 8 \le 16m \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{2}$ thì

$F = \left| {2m + 1} \right| \ge \left| {2.\frac{1}{2} + 1} \right| \ge 2$.

Suy ra:${F_{\min }} = 2 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$.

Nếu $\left| {2m – 3} \right| \ge \left| {2m + 1} \right| \Leftrightarrow {\left( {2m – 3} \right)^2} \ge {\left( {2m + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 8 \ge 16m \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}$ thì

$F = \left| {2m – 3} \right| = 3 – 2m \ge 3 – 2.\frac{1}{2} \ge 2$.

Suy ra:${F_{\min }} = 2 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$.

Vậy $m \in \left( {0;1} \right)$.

Câu 14. Cho hàm số $y = {x^3} + 3m{x^2} + 3\left( {2m – 1} \right)x + 1$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để trên đoạn $\left[ { – 2;0} \right]$ hàm số trên đạt giá trị lớn nhất bằng $6.$

A. $m = 1.$ B. $m = 0.$ C. $m = 3.$ D. $m = – 1.$

Lời giải

Chọn D

Ta có $y’ = 3{x^2} + 6mx + 3\left( {2m – 1} \right) = 3\left[ {{x^2} + 2mx + 2m – 1} \right]$;$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 1 – 2m\end{array} \right.$.

Và $y\left( { – 2} \right) = – 1;y\left( 0 \right) = 1$. Mặt khác theo yêu cầu $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;0} \right]} y = 6$ nên giá trị lớn nhất không đạt tại $x = – 2;x = 0$. Ta có: $y\left( { – 1} \right) = – 3m + 3$, $y\left( {1 – 2m} \right) = {\left( {1 – 2m} \right)^2}\left( {m – 2} \right) + 1$

• Xét $ – 3m + 3 = 6 \Leftrightarrow m = – 1.$ Thử lại với $m = – 1$, ta có $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 3 \notin \left[ { – 2;0} \right]\end{array} \right.$ nên $m = – 1$ là một giá trị cần tìm.

• Xét $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 – 2m} \right)^2}\left( {m – 2} \right) + 1 = 6\\ – 2 < 1 – 2m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 – 2m} \right)^2}\left( {m – 2} \right) = 5\,\,\left( 1 \right)\\\frac{1}{2} < m < \frac{3}{2}\end{array} \right.$

Vì $\frac{1}{2} < m < \frac{3}{2} \Rightarrow m – 2 < 0 \Rightarrow {\left( {1 – 2m} \right)^2}\left( {m – 2} \right) < 0$ nên $\left( 1 \right)$ vô nghiệm.

Vậy $m = – 1$ thỏa mãn.

Câu 15. Xét hàm số $y = \left| {{x^2} + ax + b} \right|$, với $a,b$ là tham số. Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[ { – 1;3} \right]$. Khi $M$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính $a + 2b$.

A. $5$. B. $ – 4$. C. $2$. D. $ – 3$.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

$M \ge \left| {f\left( { – 1} \right)} \right| = \left| {b – a + 1} \right|\,\,\left( 1 \right)$

$M \ge \left| {f\left( 3 \right)} \right| = \left| {b + 3a + 9} \right|\,\left( 2 \right)$

$M \ge \left| {f\left( 1 \right)} \right| = \left| {b + a + 1} \right| \Rightarrow 2M \ge \left| { – 2b – 2a – 2} \right|\,\,\left( 3 \right)$

Cộng theo vế các bất đẳng thức $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ ta được:

$4M \ge \left| {b – a + 1} \right| + \left| {b + 3a + 9} \right| + \left| { – 2b – 2a + 2} \right| \ge \left| {\left( {b – 1 + 1} \right) + \left( {b + 3a + 9} \right) + \left( { – 2b – 2a + 2} \right)} \right| = 8$

Suy ra $M \ge 2$.

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}\left| {b – a + 1} \right| = 2\\\left| {b + 3a + 9} \right| = 2\\\left| {b + a + 1} \right| = 2\end{array} \right.$ và $b – a + 1,b + 3a + 9, – b – a – 1$ cùng dấu, hay ta được $a = – 2,b = – 1$. Vậy $a + 2b = – 4$.

Câu 16. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|$ trên $\left[ {1;2} \right]$ bằng $2$. Số phần tử của tập $S$ là

A. $3$. B. $1$. C. $4$. D. $2$.

Lời giải

Chọn D

Xét $y = \frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}$. Ta có: $f’\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$, $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;2} \right]\\x = – 2 \notin \left[ {1;2} \right]\end{array} \right.$.

Mà $f\left( 1 \right) = \frac{{2m + 1}}{2},f\left( 2 \right) = \frac{{3m + 4}}{3} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y = \left\{ {\left| {\frac{{2m + 1}}{2}} \right|;\left| {\frac{{3m + 4}}{3}} \right|} \right\}$.

Trường hợp 1: $\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y = \left| {\frac{{2m + 1}}{2}} \right| = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\m = – \frac{5}{2}\end{array} \right.$.

• Với $m = \frac{3}{2} \Rightarrow \left| {\frac{{3m + 4}}{3}} \right| = \frac{{17}}{6} > 2$ (loại)

• Với $m = – \frac{5}{2} \Rightarrow \left| {\frac{{3m + 4}}{3}} \right| = \frac{7}{6} < 2$ (thỏa mãn)

Trường hợp 2: $\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y = \left| {\frac{{3m + 4}}{3}} \right| = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 4 = 6\\3m + 4 = – 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\m = – \frac{{10}}{3}\end{array} \right.$.

• Với $m = \frac{2}{3} \Rightarrow \left| {\frac{{2m + 1}}{2}} \right| = \frac{7}{6} < 2$ (thỏa mãn)

• Với $m = – \frac{{10}}{3} \Rightarrow \left| {\frac{{2m + 1}}{2}} \right| = \frac{{17}}{6} > 2$ (loại)

Vậy có $2$ giá trị của $m$ thỏa mãn.

Câu 17. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$. Hàm số$y = f’\left( x \right)$ liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ.

Biết $f\left( { – 1} \right) = \frac{{13}}{4},\,f\left( 2 \right) = 6$. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) – 3f\left( x \right)$ trên $\left[ { – 1;2} \right]$ bằng:

A. $\frac{{1573}}{{64}}$. B. $198$. C. $\frac{{37}}{4}$. D. $\frac{{14245}}{{64}}$.

Lời giải

Chọn A

Bảng biến thiên

Ta có $g’\left( x \right) = 3{f^2}\left( x \right).f’\left( x \right) – 3f’\left( x \right)$.

Xét trên đoạn $\left[ { – 1;2} \right]$.

$g’\left( x \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 3f’\left( x \right)\left[ {{f^2}\left( x \right) – 1} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow f’\left( x \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 2\end{array} \right.$

Bảng biến thiên

$ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( { – 1} \right) = {f^3}\left( { – 1} \right) – 3f\left( { – 1} \right) = \frac{{1573}}{{64}}$.

Câu 18. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

$y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|$ trên $\left[ {1;\,2} \right]$ bằng $2$. Số phần tử của $S$ là

A. $1$. B. $4$. C. $3$. D. $2$.

Lờigiải

Chọn D

Xét hàm số $f(x) = \frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}$ trên $\left[ {1;\,2} \right]$. Ta có $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {1;\,2} \right]$ và $f’\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right].$ Suy ra $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ {1;\,2} \right]$. Do đó $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \frac{{3m + 4}}{3},$ $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{{2m + 1}}{2}$.

TH1: $\frac{{2m + 1}}{2} \ge 0 \Leftrightarrow m \ge – \frac{1}{2}.$ Trong trường hợp này ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{{3m + 4}}{3}$. Theo yêu cầu bài toán ta có $\frac{{3m + 4}}{3} = 2 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}$ (thỏa mãn).

TH2: $\frac{{3m + 4}}{3} \le 0 \Leftrightarrow m \le – \frac{4}{3}.$ Trong trường hợp này ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{{ – 2m – 1}}{2}$. Theo yêu cầu bài toán ta có $\frac{{ – 2m – 1}}{2} = 2 \Leftrightarrow m = – \frac{5}{2}$ (thỏa mãn).

TH3: $\frac{{2m + 1}}{2} < 0 < \frac{{3m + 4}}{3} \Leftrightarrow – \frac{4}{3} < m < – \frac{1}{2}.$

+) Nếu $\frac{{ – 2m – 1}}{2} \le \frac{{3m + 4}}{3} \Leftrightarrow – \frac{{11}}{{12}} \le m < – \frac{1}{2}$ thì $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{{3m + 4}}{3}$. Theo yêu cầu bài toán ta có $\frac{{3m + 4}}{3} = 2 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}$ (không thỏa mãn).

+) Nếu $\frac{{ – 2m – 1}}{2} \ge \frac{{3m + 4}}{3} \Leftrightarrow – \frac{{11}}{{12}} \ge m > – \frac{4}{3}$ thì $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{{ – 2m – 1}}{2}$. Theo yêu cầu bài toán ta có $\frac{{ – 2m – 1}}{2} = 2 \Leftrightarrow m = – \frac{5}{2}$ (không thỏa mãn).

Vậy $S = \left\{ {\frac{2}{3}; – \frac{5}{2}} \right\} \Rightarrow \left| S \right| = 2.$

Câu 19. Cho hàm số $f(x) = \left| {{x^4} – 8{x^2} – m} \right|.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in {\rm{[}} – 50;50]$ sao cho với mọi số thực $a, b, c \in {\rm{[}}0;3]$ thì $f(a),{\rm{ }}f(b),{\rm{ }}f(c)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

A. $29.$ B. $23.$ C. $27$. D. $25.$

Lời giải

Chọn D

Đặt $g(x) = {x^4} – 8{x^2} – m$ thì $f(x) = \left| {g(x)} \right|.$

$ + {\rm{ }}{g^/}(x) = 4{x^3} – 16x,$ ${\rm{ }}{g^/}(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = – 2\end{array} \right.$

+ Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra $ – m – 16 \le g(x) \le 9 – m$.

$\forall a, b, c \in {\rm{[}}0;3]:{\rm{ }}f(a),f(b),f(c)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác $ \Leftrightarrow 2\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) > \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x)$(1)

Trường hợp 1: $ – m – 16 > 0 \Leftrightarrow m < – 16$$ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = – m – 16,{\rm{ }}\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = 9 – m$

$(1) \Leftrightarrow 2( – m – 16) > 9 – m \Leftrightarrow m < – 41{\rm{ (2)}}$

Trường hợp 2: $9 – m < 0 \Leftrightarrow m > 9$$ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = \left| {9 – m} \right| = m – 9,{\rm{ }}\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = \left| {m + 16} \right|$

$(1) \Leftrightarrow 2(m – 9) > \left| {m + 16} \right| \Leftrightarrow m > 34{\rm{ (3)}}$

Vì $m$ nguyên, $m \in {\rm{[}} – 50;50{\rm{]}}$ nên từ (2) và (3) ta có $9 + 16 = 25$ giá trị m nguyên thỏa đề.

Câu 20. Để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| {\sqrt {2x – {x^2}} – 3m + 4} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $m$ thỏa

A. $m = \frac{3}{2}$. B. $m = \frac{5}{3}$. C. $m = \frac{4}{3}$. D. $m = \frac{1}{2}$.

Lời giải

Chọn A

Tập xác định: $D = \left[ {0;2} \right]$

Đặt $f(x) = \sqrt {2x – {x^2}} – 3m + 4,x \in D$, ta có $f'(x) = \frac{{1 – x}}{{\sqrt {2x – {x^2}} }},f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Do $f(x)$ liên tục trên $D$ nên ta có

$P = \mathop {\max }\limits_D \left| {f(x)} \right| = \max \left\{ {\left| {f(0)} \right|;\left| {f(1)} \right|;\left| {f(2)} \right|} \right\} = \max \left\{ {\left| {3m – 4} \right|;\left| {3m – 5} \right|} \right\}$.

Ta có $\left| {3m – 5} \right| > \left| {3m – 4} \right| \Leftrightarrow {\left( {3m – 5} \right)^2} > {\left( {3m – 4} \right)^2} \Leftrightarrow m < \frac{3}{2}$

Trường hợp 1. $m = \frac{3}{2}$ ta được $P = \frac{1}{2}$.

Trường hợp 2. $m > \frac{3}{2}$ ta được $P = \left| {3m – 4} \right| = 3m – 4 > 3.\frac{3}{2} – 4 = \frac{1}{2}$.

Trường hợp 3. $m < \frac{3}{2}$ ta được $P = \left| {3m – 5} \right| = 5 – 3m > 5 – 3.\frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi $m = \frac{3}{2}$.

Câu 21. Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = \left| {{x^3} + 3{x^2} – 72x + 90} \right| + m$ trên đoạn $\left[ { – 5;5} \right]$là $2018.$Trong các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng?

A. $1600 < m < 1700$. B. $m = 400$. C. $m < 1618$. D. $1500 < m < 1600$.

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số $g(x) = {x^3} + 3{x^2} – 72x + 90$

$\;g'(x) = 3{x^2} + 6x – 72$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x – 72 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 \in \left[ { – 5;5} \right]\\x = – 6 \notin \left[ { – 5;5} \right]\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g( – 5) = 400;g(5) = – 70;g(4) = – 86\\\end{array}$

$ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\scriptstyle\left[ { – 5;5} \right]\atop\scriptstyle} \left| {g(x)} \right| = \left| {g( – 5)} \right| = 400$

$ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\scriptstyle\left[ { – 5;5} \right]\atop\scriptstyle} f(x) = m + 400$

Theo bài ra:

$\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 5;5} \right]} f(x) = 2018 \Leftrightarrow m + 400 = 2018 \Leftrightarrow m = 1618$

Bài trướcChuyên Đề Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Có Đáp Án Và Lời Giải
Bài tiếp theoChuyên Đề Bất Phương Trình Mũ Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Có Đáp Án Và Lời Giải
Nhận thông báo qua email
Thông báo cho
guest

0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments