Chuyên Đề Tìm Nguyên Hàm Của Hàm Số Đơn Giản Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Có Đáp Án Và Lời Giải

0
664

Chuyên đề tìm nguyên hàm của hàm số đơn giản luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có lời giải và đáp án được phát triển từ câu 14 của đề tham khảo môn Toán.

TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ ĐƠN GIẢN

Ⓐ Tóm tắt lý thuyết

Phương pháp:

Định nghĩa: Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)\;$trên $K$nếu $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$ với mọi x thuộc $K$.

Tính chất:

$\smallint \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx = \smallint f\left( x \right) \pm \smallint g\left( x \right)dx$.

$\smallint kf\left( x \right)dx = k\smallint f\left( x \right)dx,\forall k \in {\mathbb{R}^*} \Rightarrow $ $\smallint \left[ {k.f\left( x \right) + l.g\left( x \right)} \right]dx = k\smallint f\left( x \right)dx + l\smallint g\left( x \right)dx$.

${\left( {\int {f(x)dx} } \right)^\prime } = f(x) + C$

Bảng nguyên hàm:

$\smallint dx = x + C$

$\smallint {x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne – 1} \right)$

$\smallint \frac{{dx}}{x} = \ln |x| + C$

$\smallint \frac{{dx}}{{{x^2}}} = – \frac{1}{x} + C$

▪ $\smallint kdx = kx + C$

▪ $\smallint {(kx + b)^\alpha }dx = \frac{1}{k}\frac{{{{\left( {kx + b} \right)}^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne – 1} \right)$

▪ $\smallint \frac{{dx}}{{kx + b}} = \frac{1}{k}\ln \left| {kx + b} \right| + C$

▪ $\smallint \frac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + C$

$\smallint \sin xdx = – \cos x + C$

$\smallint \cos xdx = \sin x + C$

$\smallint \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C$

$\smallint \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx = \tan x + C$

$\smallint \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = – \cot x + C$

$\smallint \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)dx = – \cot x + C$

▪ $\smallint \sin (kx + b)dx = – \frac{1}{k}\cos (kx + b) + C$

▪ $\smallint \cos (kx + b)dx = \frac{1}{k}\sin (kx + b) + C$

▪ $\smallint \frac{1}{{{{\cos }^2}(kx + b)}}dx = \frac{1}{k}\tan (kx + b) + C$

▪ $\smallint \frac{1}{{{{\sin }^2}(kx + b)}}dx = – \frac{1}{k}\cot (kx + b) + C$

$\smallint {e^x}dx = {e^x} + C$

$\smallint {a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)$

▪ $\smallint {e^{kx + b}}dx = \frac{1}{k}{e^{kx + b}} + C$

▪ $\smallint {a^{kx + b}}dx = \frac{1}{k}\frac{{{a^{kx + b}}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)$

 

Vấn đề ①: Nguyên hàm theo định nghĩa và tính chất cơ bản

Phương pháp: Casio.

Xét $\frac{{\frac{d}{{dx}}{{\left. {(F(x))} \right|}_{x = {x_0}}}}}{{f(x)}} = 1$

Calc giá trị x tùy ý

 Bài tập minh họa:

Câu 1: Tất cả nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 3}}$ là

Ⓐ. $\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$. Ⓑ. $\frac{1}{2}\ln \left( {2x + 3} \right) + C$.

Ⓒ. $\ln \left| {2x + 3} \right| + C$. Ⓓ. $\frac{1}{{\ln 2}}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.

Lời giải

Chọn A

$\begin{array}{l}\int {f\left( x \right){\rm{d}}} x = \int {\frac{1}{{2x + 3}}{\rm{d}}} x = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{2x + 3}}{\rm{d}}} \left( {2x + 3} \right)\\ = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C\end{array}$

PP nhanh trắc nghiệm

Casio:

Calc: x= 2.5

Lưu ý: Gặp ln thì có trị tuyệt đối, rắt dễ chọn nhằm đáp án B

Câu 2: Nếu $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 4{x^3} + {x^2} + C$ thì hàm số $f\left( x \right)$ bằng

Ⓐ. $f\left( x \right) = {x^4} + \frac{{{x^3}}}{3} + Cx$. Ⓑ. $f\left( x \right) = 12{x^2} + 2x + C$.

Ⓒ.$f\left( x \right) = 12{x^2} + 2x$. Ⓓ. $f\left( x \right) = {x^4} + \frac{{{x^3}}}{3}$.

Lời giải

Chọn B

Ta có: $f\left( x \right) = {\left( {\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x} \right)^\prime } = {\left( {4{x^3} + {x^2} + C} \right)^\prime } = 12{x^2} + 2x$

PP nhanh trắc nghiệm

Thử đạo hàm

Casio

Chú ý dễ chọn nhằm câu B

Câu 3: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có $f’\left( x \right) = \frac{1}{{2x – 1}}$ với mọi $x \ne \frac{1}{2}$ và $f\left( 1 \right) = 1$. Khi đó giá trị của $f\left( 5 \right)$ bằng

Ⓐ. $\ln 2$. Ⓑ.$\ln 3$. Ⓒ.$\ln 2 + 1$. Ⓓ. $\ln 3 + 1$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $\int {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( x \right) + C$ nên $f\left( x \right) = \int {\frac{1}{{2x – 1}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {\frac{{{\rm{d}}\left( {2x – 1} \right)}}{{2x – 1}} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x – 1} \right|} + C$

Mặt khác theo đề ra ta có: $f\left( 1 \right) = 1$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\ln \left| {2.1 – 1} \right| + C = 1 \Leftrightarrow C = 1$ nên $f\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x – 1} \right| + 1$

Do vậy $f\left( 5 \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2.5 – 1} \right| + 1 = \frac{1}{2}\ln 9 + 1 = \ln 3 + 1$

PP nhanh trắc nghiệm

Tư duy Casio

$\begin{array}{l}\int\limits_1^5 {f’\left( x \right)} dx = f\left( 5 \right) – f\left( 1 \right)\\ \Rightarrow f\left( 5 \right) = f\left( 1 \right) + \int\limits_1^5 {f’\left( x \right)} dx = 1 + \int\limits_1^5 {f’\left( x \right)} dx\end{array}$

Tổng quát:

$\begin{array}{l}\int\limits_a^b {f’\left( x \right)} dx = f\left( b \right) – f\left( a \right)\\ \Rightarrow \bullet f\left( b \right) = f\left( a \right) + \int\limits_a^b {f’\left( x \right)} dx;\,\,\,\\\,\,\,\,\,\, \bullet f\left( a \right) = f\left( b \right) – \int\limits_a^b {f’\left( x \right)} dx\end{array}$

 

Vấn đề ②: Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước thức chứa lũy thừa.

 -Phương pháp:

Xác định $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ sao cho $F\left( {{x_0}} \right) = k$

Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$.

Thế điều kiện $F\left( {{x_0}} \right) = k$ tìm hằng số C

Kết luận cho bài toán.

Bài tập minh họa:

Câu 1: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có $f’\left( x \right) = \frac{1}{{2x – 1}}$ với mọi $x \ne \frac{1}{2}$ và $f\left( 1 \right) = 1$. Khi đó giá trị của $f\left( 5 \right)$ bằng

Ⓐ. $\ln 2$. Ⓑ.$\ln 3$. Ⓒ.$\ln 2 + 1$. Ⓓ. $\ln 3 + 1$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $\int {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( x \right) + C$ nên $f\left( x \right) = \int {\frac{1}{{2x – 1}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {\frac{{{\rm{d}}\left( {2x – 1} \right)}}{{2x – 1}} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x – 1} \right|} + C$

Mặt khác theo đề ra ta có: $f\left( 1 \right) = 1$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\ln \left| {2.1 – 1} \right| + C = 1 \Leftrightarrow C = 1$ nên $f\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x – 1} \right| + 1$

Do vậy $f\left( 5 \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2.5 – 1} \right| + 1 = \frac{1}{2}\ln 9 + 1 = \ln 3 + 1$.

PP nhanh trắc nghiệm

Casio

$\begin{array}{l}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx = F\left( b \right) – F\left( a \right)\\ \Rightarrow \bullet F\left( b \right) = F\left( a \right) + \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx;\,\,\,\\\,\,\,\,\,\, \bullet F\left( a \right) = F\left( b \right) – \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\end{array}$

Câu 2: Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x + {2^x}$ thoả mãn $F\left( 0 \right) = 0$. Ta có $F\left( x \right)$ bằng

Ⓐ. ${x^2} + \frac{{{2^x} – 1}}{{\ln 2}}$. Ⓑ. ${x^2} + \frac{{1 – {2^x}}}{{\ln 2}}$. Ⓒ.$1 + \left( {{2^x} – 1} \right)\ln 2$. Ⓓ. ${x^2} + {2^x} – 1$.

Lời giải

Chọn A

Ta có:$\int {\left( {2x + {2^x}} \right)\,} {\rm{d}}x = {x^2} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$. Do đó .

Theo giả thiết $F\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow {0^2} + \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + C = 0 \Leftrightarrow C = – \frac{1}{{\ln 2}}$.

Vậy $F\left( x \right) = {x^2} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} – \frac{1}{{\ln 2}} = {x^2} + \frac{{{2^x} – 1}}{{\ln 2}}$.

PP nhanh trắc nghiệm

Casio: Thử đáp án

 

Ⓑ Bài tập rèn luyện

Câu 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x + \cos x$.

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} + \sin x + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1 – \sin x + C$.

C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = x\sin x + \cos x + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} – \sin x + C$.

Câu 2: Cho các hàm số $f\left( x \right)$, $g\left( x \right)$ liên tục trên tập xác định. Tìm mệnh đề sai?

A. $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int {g\left( x \right){\rm{d}}x} $.

B. $\int {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( x \right) + C$.

C. $\int {kf\left( x \right){\rm{d}}x} = k\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $$\forall k \in \mathbb{R}$.

D. $\int {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} – \int {g\left( x \right){\rm{d}}x} $.

Câu 3: Tìm $\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2 – 3x}}} $

A. $\frac{1}{3}\ln \left| {2 – 3x} \right| + C$. B. $\frac{1}{{{{\left( {2 – 3x} \right)}^2}}} + C$. C. $ – \frac{1}{3}\ln \left| {3x – 2} \right| + C$. D. $ – \frac{3}{{{{\left( {2 – 3x} \right)}^2}}} + C$.

Câu 4: Một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2}$ là

A. $F\left( x \right) = {x^3} + x$. B. $F\left( x \right) = {x^3} + 1$. C. $F\left( x \right) = 6x$. D. $F\left( x \right) = 3{x^3}$.

Câu 5: Mệnh đề nào sau đây sai.

A. $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} $.

B. Nếu $\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C$ thì $\int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C$.

C. Nếu $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$thì $F\left( x \right) = G\left( x \right) + C$với C là hằng số.

D. $\int {\left[ {{f_1}\left( x \right) + {f_2}(x)} \right]dx} = \int {{f_1}\left( x \right)dx} + \int {{f_2}\left( x \right)dx} $.

Câu 6: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\int {{\rm{cos}}2x{\rm{d}}x = – 2\sin 2x + C} $ B. $\int {{\rm{cos}}2x{\rm{d}}x = 2{\rm{sin}}2x + C} $

C. $\int {{\rm{cos}}2x{\rm{d}}x = \frac{1}{2}{\rm{sin}}2x + C} $ D. $\int {{\rm{cos}}2x{\rm{d}}x = – \frac{1}{2}{\rm{sin}}2x + C} $

Câu 7: Hàm số $F\left( x \right) = {x^2} + \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số

A. $f\left( x \right) = 2x – {\rm{cos}}\,x$. B. $f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + {\rm{cos}}\,x$.

C. $f\left( x \right) = 2x + {\rm{cos}}\,x$. D. $f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} – {\rm{cos}}\,x$.

Câu 8: Cho biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$. Tìm $I = \int {\left[ {2f\left( x \right) + 1} \right]{\rm{d}}x} $

A. $I = 2F\left( x \right) + 1 + C$. B. $I = 2F\left( x \right) + x + C$.

C. $I = 2xF\left( x \right) + x + C$. D. $I = 2xF\left( x \right) + 1 + C$.

Câu 9: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = \sin 2x$.

A. $F\left( x \right) = – 2\cos 2x + C$. B. $F\left( x \right) = 2\cos 2x + C$.

C. $F\left( x \right) = – \frac{1}{2}\cos 2x + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x – \sin 2x$ là

A. $\frac{{{x^2}}}{2} + \cos 2x + C$. B. $\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

C. ${x^2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C$. D. $\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Câu 11: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. $\int {kf\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x$với $k \in \mathbb{R}$. B. $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x = \int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int {g\left( x \right)} {\rm{d}}x$ với $f\left( x \right)$; $g\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

C. $\int {{x^\alpha }} {\rm{d}}x = \frac{1}{{\alpha + 1}}{x^{\alpha + 1}}$ với $\alpha \ne – 1$. D. ${\left( {\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x} \right)^\prime } = f\left( x \right)$.

Câu 12: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $K$ và $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $f’\left( x \right) = F\left( x \right)$, $\forall x \in K$. B. $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$, $\forall x \in K$.

C. $F\left( x \right) = f\left( x \right)$, $\forall x \in K$. D. $F’\left( x \right) = f’\left( x \right)$, $\forall x \in K$.

Câu 13: Cho $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = F\left( x \right) + C} $. Khi đó với $a \ne 0\,$, $a\,$, $b\,$ là hằng số ta có $\int {f\left( {ax + b} \right){\rm{d}}x} $ bằng.

A. $\int {f\left( {ax + b} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C$. B. $\int {f\left( {ax + b} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{{a + b}}F\left( {ax + b} \right) + C$.

C. $\int {f\left( {ax + b} \right){\rm{d}}x} = F\left( {ax + b} \right) + C$. D. $\int {f\left( {ax + b} \right){\rm{d}}x} = aF\left( {ax + b} \right) + C$.

Câu 14: Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x) =  – \cos x$ và $f(0) = 2022$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $f(x) = – \sin x + 2022$.B. $f(x) = \cos x + 2022$.

C. $f(x) = \sin x + 2022$. D. $f(x) =  – \cos x + 2022$.

Câu 15: Hàm số $F\left( x \right) = x – \cos x$ là một nguyên hàm của hàm số nào?

A. $y = 1 – \sin x$. B. $y = \frac{{{x^2}}}{2} – \sin x$. C. $y = \frac{{{x^2}}}{2} + \sin x$. D. $y = 1 + \sin x$.

Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} + {2^x}$ là:

A. $F\left( x \right) = \ln {x^2} + {2^x}.\ln 2 + C$. B. $F\left( x \right) = \ln {x^2} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

C. $F\left( x \right) = – \frac{1}{x} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{1}{x} + {2^x}.\ln 2 + C$.

Câu 17: Nếu $\int {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C$ thì $f\left( x \right)$ bằng:

A. $f\left( x \right) = {x^2} + {e^x}$. B. $f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{3} + {e^x}$. C. $f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{{12}} + {e^x}$. D. $f\left( x \right) = 3{x^2} + {e^x}$.

Câu 18: Biết một nguyên hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ là $F\left( x \right) = {x^2} + 4x + 1$. Khi đó, giá trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại $x = 3$ là.

A. $f\left( 3 \right) = 30$. B. $f\left( 3 \right) = 22$. C. $f\left( 3 \right) = 10$. D. $f\left( 3 \right) = 6$.

Câu 19: Công thức nào sau đây sai?

A. $\int {\ln x{\rm{d}}x} = \frac{1}{x} + C$. B. $\int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} = \ln \left| x \right| + C$.

C. $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = \tan x + C} $. D. $\int {\sin 2x} {\rm{d}}x = – \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Câu 20: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x + 1$.

A. $\int {\left( {2x + 1} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + x + C$. B. $\int {\left( {2x + 1} \right)} {\rm{d}}x = {x^2} + x + C$.

C. $\int {\left( {2x + 1} \right)} {\rm{d}}x = 2{x^2} + 1 + C$. D. $\int {\left( {2x + 1} \right)} {\rm{d}}x = {x^2} + C$.

Câu 21: Hàm số $F\left( x \right) = 2\sin x – 3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số.

A. $f\left( x \right) = – 2\cos x – 3\sin x$. B. $f\left( x \right) = – 2\cos x + 3\sin x$.

C. $f\left( x \right) = 2\cos x – 3\sin x$. D. $f\left( x \right) = 2\cos x + 3\sin x$.

Câu 22: Cho biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$. Tìm $I = \int {\left[ {3f\left( x \right) + 1} \right]{\rm{d}}x} $.

A. $I = 3F\left( x \right) + 1 + C$. B. $I = 3F\left( x \right) + x + C$.

C. $I = 3xF\left( x \right) + 1 + C$. D. $I = 3xF\left( x \right) + x + C$.

Câu 23: Tìm một nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = ax + \frac{b}{{{x^2}}}$ $\left( {x \ne 0} \right)$ biết rằng $F\left( { – 1} \right) = 1$; $F\left( 1 \right) = 4$; $f\left( 1 \right) = 0$.

A. $F\left( x \right) = \frac{{3{x^2}}}{4} + \frac{3}{{2x}} + \frac{7}{4}$. B. $F\left( x \right) = \frac{{3{x^2}}}{4} – \frac{3}{{2x}} – \frac{7}{4}$.

C. $F\left( x \right) = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{3}{{4x}} – \frac{7}{4}$. D. $F\left( x \right) = \frac{{3{x^2}}}{2} – \frac{3}{{2x}} – \frac{1}{2}$.

Câu 24: Hàm số $F\left( x \right) = \cos 3x$ là nguyên hàm của hàm số:

A. $f\left( x \right) = \frac{{\sin 3x}}{3}$. B. $f\left( x \right) = – 3\sin 3x$. C. $f\left( x \right) = 3\sin 3x$. D. $f\left( x \right) = – \sin 3x$.

Câu 25: Hàm số $F\left( x \right) = {e^{{x^2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số:

A. $f\left( x \right) = {x^2}{e^{{x^2}}} – 1$. B. $f\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^2}}}}}{{2x}}$. C. $f\left( x \right) = {e^{2x}}$. D. $f\left( x \right) = 2x{e^{{x^2}}}$.

Câu 26: Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( x \right) + C$ thì $\int {f\left( u \right){\rm{d}}u} = F\left( u \right) + C$.

B. $\int {kf\left( x \right){\rm{d}}x} = k\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ ($k$ là hằng số và $k \ne 0$).

C. Nếu $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ thì $F\left( x \right) = G\left( x \right)$.

D. $\int {\left[ {{f_1}\left( x \right) + {f_2}\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int {{f_1}\left( x \right){\rm{d}}x} + \int {{f_2}\left( x \right){\rm{d}}x} $.

Câu 27: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3}$?

A. $y = \frac{{{x^4}}}{4} – {2^{2018}}$. B. $y = \frac{{{x^4}}}{4} – 2018$. C. $y = 3{x^2}$. D. $y = \frac{1}{4}{x^4} + 2018$.

Câu 28: Cho $g(x) = 6x + 6$; $F(x) = {x^3} + 3{x^2}$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$, khi đó.

A. $g(x) = f”'(x)$. B. $g(x) = f(x)$. C. $g(x) = f”(x)$. D. $g(x) = f'(x)$.

Câu 29: Hàm số $F\left( x \right) = {{\rm{e}}^{{x^2}}}$là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây ?.

A. $f\left( x \right) = 2x.{{\rm{e}}^{{x^2}}}$. B. $f\left( x \right){\rm{ = }}{{\rm{e}}^{{x^2}}}$. C. $f\left( x \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{{x^2}}}}}{{2x}}$. D. $y = {x^2}{\rm{.e}}{}^{{x^2}} – 1$.

Câu 30: Họ nguyên hàm của hàm số $y = {x^2} + x$ là

A. $\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$. B. ${x^3} + {x^2} + C$. C. $\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}$. D. $1 + 2x + C$.

Câu 31: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {1000^x}.$

A. $F\left( x \right) = {1000^x} + C$. B. $F\left( x \right) = {3.10^{3x}}\ln 10$.

C. $F\left( x \right) = \frac{{{{1000}^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{{{{10}^{3x}}}}{{3\ln 10}} + C$.

Câu 32: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^{2018}}$, $(x \in \mathbb{R})$ là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A. $F(x) = 2017.{x^{2018}} + C$, $(C \in \mathbb{R})$. B. $F(x) = \frac{{{x^{2019}}}}{{2019}} + C$, $(C \in \mathbb{R})$.

C. $F(x) = {x^{2019}} + C$,$(C \in \mathbb{R})$. D. $F(x) = 2018.{x^{2017}} + C$, $(C \in \mathbb{R})$.

Câu 33: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^2} + \frac{3}{x}$ trên $( – \infty ;0)$ và $(0; + \infty )$ là

A. B. $\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| + C.$

C. $\frac{{{x^3}}}{3} – 3\ln \left| x \right| + C.$ D. $\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln x + C.$– $\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| + C.$

Câu 34: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3x – \sin x$.

A. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 3{x^2} + \cos x + C$. B. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{{3{x^2}}}{2} – \cos x + C$.

C. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{{3{x^2}}}{2} + \cos x + C$. D. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 3 + \cos x + C$.

Câu 35: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos \left( {5x – 2} \right)$ là:

A. $F\left( x \right) = – 5\sin \left( {5x – 2} \right) + C$. B. $F\left( x \right) = 5\sin \left( {5x – 2} \right) + C$.

C. $F\left( x \right) = – \frac{1}{5}\sin \left( {5x – 2} \right) + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{1}{5}\sin \left( {5x – 2} \right) + C$.

Câu 36: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos 3x$ là:

A. $ – 3\sin 3x + C$. B. $ – \frac{1}{3}\sin 3x + C$. C. $ – \sin 3x + C$. D. $\frac{1}{3}\sin 3x + C$.

Câu 37: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. Nếu $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ thì $F\left( x \right) – G\left( x \right) = C$.

B. $\int {u(x)v'(x)dx + \int {v(x)u'(x)dx = u(x)v(x)} } $.

C. $F\left( x \right) = {x^2}$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right) = 2x$.

D. $\int {\left( {{f_1}\left( x \right) + {f_2}\left( x \right)} \right)dx = \int {{f_1}\left( x \right)dx + } } \int {{f_2}\left( x \right)dx} $.

Câu 38: Tất cả nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 3}}$ là

A. $\frac{1}{2}\ln \left( {2x + 3} \right) + C$. B. $\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.

C. $\ln \left| {2x + 3} \right| + C$. D. $\frac{1}{{\ln 2}}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.

Câu 39: Tìm $\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2x + 1}}} $, ta được:

A. $\frac{1}{2}\ln \left( {2x + 1} \right) + C$. B. $\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C$. C. $ – \frac{2}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} + C$. D. $\ln \left| {2x + 1} \right| + C$.

Câu 40: Một nguyên hàm của hàm số $y = \cos 2x$ là

A. $ – 2\sin 2x$. B. $\frac{1}{2}\sin 2x$. C. $\frac{{ – 1}}{2}\sin 2x$. D. $2\sin 2x$.

Câu 41: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {5^x}$.

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {5^x} + C$. B. $\int {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = {5^x}\ln 5 + C$.

C. $\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{5^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$.

Câu 42:

Giá trị của $\int\limits_0^3 {{\rm{d}}x} $ bằng

A. $3$. B. $0$. C. $2$. D. $1$.

Câu 43: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = {\left( {3x – 1} \right)^5}$.

A. $\int {f(x)dx = \frac{1}{{18}}{{\left( {3x – 1} \right)}^5} + C} $. B. $\int {f(x)dx = \frac{1}{6}{{\left( {3x – 1} \right)}^6} + C} $.

C. $\int {f(x)dx = \frac{1}{{18}}{{\left( {3x – 1} \right)}^6} + C} $. D. $\int {f(x)dx = \frac{1}{3}{{\left( {3x – 1} \right)}^6} + C} $.

Câu 44: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} + {2^x}$ là:

A. $F\left( x \right) = \ln {x^2} + {2^x}.\ln 2 + C$. B. $F\left( x \right) = \ln {x^2} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

C. $F\left( x \right) = – \frac{1}{x} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{1}{x} + {2^x}.\ln 2 + C$.

Câu 45: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = 12{x^5}$.

A. $y = 12{x^6} + 5$. B. $y = 2{x^6} + 3$. C. $y = 12{x^4}$. D. $y = 60{x^4}$.

Câu 46: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\left( {x – 1} \right)^3}$ là

A. $\frac{1}{4}{\left( {x – 1} \right)^4} + C$. B. $\frac{1}{4}{\left( {x – 1} \right)^3} + C$. C. $3\left( {x – 1} \right) + C$. D. $4{\left( {x – 1} \right)^4} + C$.

Câu 47: Cho hàm số $f\left( x \right) = {2^x} + x + 1$. Tìm $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $.

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {2^x} + {x^2} + x + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C$.

C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{{x + 1}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C$.

Câu 48: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt x $.

A. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = – \frac{1}{2}\sqrt x + C$. B. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{2}{3}\sqrt x + C$.

C. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{3}{2}x\sqrt x + C$. D. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{2}{3}x\sqrt x + C$.

Câu 49: Một nguyên hàm  của hàm số $f(x) = {2^x}$ là:

A. $F(x) = {2^x} + 2022$.B. $F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2022$.

C. $F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2022x$. D. $F(x) = {2^x}\ln 2$.

Câu 50: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x + \sin 2x$ là

A. ${x^2} – \frac{1}{2}\cos 2x + C$. B. ${x^2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C$. C. ${x^2} – 2\cos 2x + C$. D. ${x^2} + 2\cos 2x + C$.

Câu 51: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 5{x^4} + 2$ là

A. ${x^5} + 2x + C$. B. $\frac{1}{5}{x^5} + 2x + C$. C. $10x + C$. D. ${x^5} + 2$.

Câu 52: $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {2x + 1} $. Khi đó, $F\left( x \right)$ là hàm số

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}} \sqrt {2x + 1} + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = – \frac{1}{3}} \sqrt {2x + 1} + C$.

C. $\int {f(x){\rm{d}}x = \frac{1}{3}} \left( {2x + 1} \right)\sqrt {2x + 1} + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{2}{3}} \left( {2x + 1} \right)\sqrt {2x + 1} + C$.

Câu 53: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + \sin x.$

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^4}}}{4} + \cos x + C$.

C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {x^3} + \cos x + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^4}}}{4} – \cos x + C$.

Câu 54: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\left( {x + 1} \right)$.

A. $x\left( {x + 1} \right) + C$ B. $2x + 1 + C$ C. ${x^3} + {x^2} + C$ D. $\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$

Câu 55: Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau sai?

A. $\int {\sin {\rm{x}}dx = } – {\mathop{\rm cosx}\nolimits} + c$. B. $\int {\ln xdx = \frac{1}{x}} + c$.

C. $\int {2xdx = {x^2}} + c$. D. $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = – \cot x + c$.

Câu 56: Cho hàm số $f\left( x \right) = {\left( {2x + 1} \right)^{2017}}$. Tìm tất cả các hàm số $F\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2018}}}}{{4036}} + 2018$.

A. $\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2018}}}}{{2018}} + 2018$. B. $F\left( x \right) = 2017{\left( {2x + 1} \right)^{2016}} + 2018$.

C. $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$ và $F\left( { – \frac{1}{2}} \right) = 2018$. D. $F\left( x \right) = 4034{\left( {2x + 1} \right)^{2016}} + 2018$.

Câu 57: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x} + x$ là

A. ${e^x} + {x^2} + C$ B. ${e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C$ C. $\frac{1}{{x + 1}}{e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C$ D. ${e^x} + 1 + C$

Câu 58: Họ nguyên hàm của hàm số $y = 2x + 1$ là

A. $\frac{{{x^2}}}{2} + x + C$. B. $2x + 1 + C$. C. ${x^2} + x + C$. D. $2x + C$.

Câu 59: Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số $F\left( x \right) = \ln \left| x \right|$?

A. $f\left( x \right) = x.$ B. $f\left( x \right) = \frac{1}{x}.$ C. $f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{2}.$ D. $f\left( x \right) = \left| x \right|.$

Câu 60: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right) = \int {{\pi ^2}} {\rm{d}}x$.

A. $F\left( x \right) = {\pi ^2}x + C$. B. $F\left( x \right) = 2\pi x + C$.

C. $F\left( x \right) = \frac{{{\pi ^3}}}{3} + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{{{\pi ^2}{x^2}}}{2} + C$.

Câu 61: Tìm $\int {\frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} $.

A. $\int {\frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{x} + C$. B. $\int {\frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = – \frac{1}{x} + C$.

C. $\int {\frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{{2x}} + C$. D. $\int {\frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = \ln {x^2} + C$.

Câu 62: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x + {2^x}$ là:

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1 + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} + {2^x} + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} + {2^x}\ln 2 + C$.

Câu 63: Nguyên hàm của hàm số $y = {2^x}$ là

A. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{x + 1}} + C$. B. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \ln {2.2^x} + C$.

C. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = {2^x} + C$. D. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

Câu 64: Tìm nguyên hàm của hàm số $y = {2^x}$?

A. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$. B. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \ln {2.2^x} + C$.

C. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{x + 1}} + C$. D. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = {2^x} + C$.

Câu 65: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos x$ là

A. $ – \sin x + C$. B. $\sin x + C$. C. $\cos x + C$. D. $ – \cos x + C$.

Câu 66: Tính $\int {\sin 3x{\rm{d}}x} $

A. $ – \cos 3x + C$. B. $ – \frac{1}{3}\cos 3x + C$. C. $\frac{1}{3}\cos 3x + C$. D. $\cos 3x + C$.

Câu 67: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 4{x^3} + 2018$ là

A. ${x^4} + 2018x + C$. B. $\frac{{{x^4}}}{3} + 2018x + C$. C. $12{x^2} + C$. D. ${x^4} + C$.

Câu 68: Tìm $\int {x\cos 2x{\rm{d}}x} $.

A. $\frac{1}{2}x.\sin 2x – \frac{1}{4}\cos 2x + C$. B. $x.\sin 2x + \cos 2x + C$.

C. $\frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{2}{\rm{cos}}2x + C$. D. $\frac{1}{2}x.\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C$.

Câu 69: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x + \sin 2x$ là.

A. $\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{2}\cos 2x + C$. B. $\frac{{{x^2}}}{2} – \cos 2x + C$.

C. ${x^2} – \frac{1}{2}\cos 2x + C$. D. $\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Câu 70: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 5x + 2$ là

A. $5\cos 5x + C$. B. $ – \frac{1}{5}\cos 5x + 2x + C$.

C. $\frac{1}{5}\cos 5x + 2x + C$. D. $\cos 5x + 2x + C$.

Câu 71: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){\rm{ = }}\,\cos 2x$.

A. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{{\sin 2x}}{2} + C$. B. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 2\sin 2x + C$.

C. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \sin 2x + C$. D. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = – \frac{{\sin 2x}}{2} + C$.

Câu 72: Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = 4{x^3} – 3{x^2} + 2$ thõa điều kiện $F\left( { – 1} \right) = 3$ là:

A. ${x^4} – {x^3} + 2x + 3$. B. ${x^4} – {x^3} + 2x$. C. ${x^4} – {x^3} + 2x + 4$. D. ${x^4} – {x^3} + 2x – 3$.

Câu 73: Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số$f\left( x \right) = x + \sin x$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 19$ là.

A. $\frac{{{x^2}}}{2} – \cos x + 2$. B. $\frac{{{x^2}}}{2} – \cos x + 20$. C. $\frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + 20$. D. $\frac{{{x^2}}}{2} – \cos x$.

Câu 74: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos x$

A. $\int {\cos x{\rm{d}}x} = \sin x + C$ B. $\int {\cos x{\rm{d}}x} = – \sin x + C$

C. $\int {\cos x{\rm{d}}x} = \sin 2x + C$ D. $\int {\cos x{\rm{d}}x} = – \frac{1}{2}\sin x + C$

Câu 75: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + \frac{x}{2}$ là:

A. $\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C$. B. ${x^3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C$. C. ${x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$. D. ${x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$.

Câu 76: Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = {3^{ – x}}$ là

A. $ – \frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$ B. $ – {3^{ – x}} + C$ C. ${3^{ – x}}\ln 3 + C$ D. $\frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$

Câu 77: Nguyên hàm $\int {\sin 2x{\rm{d}}x} $ bằng:

A. $ – \frac{1}{2}\cos 2x + C$. B. $\cos 2x + C$. C. $\frac{1}{2}\cos 2x + C$. D. $ – \cos 2x + C$.

Câu 78: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 2x$.

A. $\int {\sin 2x} {\rm{d}}x = – \frac{1}{2}\cos 2x + C$. B. $\int {\sin 2x} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

C. $\int {\sin 2x} {\rm{d}}x = 2\cos 2x + C$. D. $\int {\sin 2x{\rm{d}}x} = – 2\cos 2x + C$.

Câu 79: Khi tính nguyên hàm $\int {\frac{{x – 3}}{{\sqrt {x + 1} }}{\rm{d}}x} $, bằng cách đặt $u = \sqrt {x + 1} $ ta được nguyên hàm nào?

A. $\int {2\left( {{u^2} – 4} \right)du} $. B. $\int {\left( {{u^2} – 4} \right)du} $. C. $\int {\left( {{u^2} – 3} \right)du} $. D. $\int {2u\left( {{u^2} – 4} \right)du} $.

Câu 80: Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $f’\left( x \right) = x + \sin x$ và $f\left( 0 \right) = 1$. Tìm $f\left( x \right)$.

A. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – \cos x + 2$ B. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – \cos x – 2$

C. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x$ D. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + \frac{1}{2}$

Câu 81: Tìm nguyênhàmcủahàmsố $\int {\left( {{x^2} + \frac{3}{x} – 2\sqrt x } \right){\rm{d}}x} $.

A. $\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| + \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C$. B. $\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| – \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C$.

C. $\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln x – \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} $. D. $\frac{{{x^3}}}{3} – 3\ln \left| x \right| – \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C$.

Câu 82: Nguyên hàm của hàm số:$y = {\cos ^2}x.\sin x$ là

A. $ – \frac{1}{3}{\cos ^3}x + C$. B. $ – {\cos ^3}x + C$. C. $\frac{1}{3}{\sin ^3}x + C$. D. $\frac{1}{3}{\cos ^3}x + C$.

Câu 83: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – \frac{1}{3}$ là

A. $\frac{{ – {x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C$. B. $\frac{{ – 2}}{{{x^2}}} – 2x + C$. C. $ – \frac{{{x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C$. D. $\frac{{ – {x^3}}}{3} – \frac{1}{x} – \frac{x}{3} + C$.

Câu 84: Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} – 3x + \frac{1}{x}$ là:

A. $F\left( x \right) = 2x – 3 – \frac{1}{{{x^2}}} + C$ B. $F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C$

C. $F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{3}{2}{x^2} + \ln x + C$ D. $F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{3}{2}{x^2} + \ln x + C$

Câu 85: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {e^x}\left( {1 – 3{e^{ – 2x}}} \right)$.

A. $F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ – 2x}} + C$. B. $F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ – x}} + C$.

C. $F\left( x \right) = {e^x} – 3{e^{ – 3x}} + C$. D. $F\left( x \right) = {e^x} – 3{e^{ – x}} + C$.

Câu 86: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {x^4} – {e^{3x}} + \cos 2x$.

A. $F\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{5} – \frac{{{e^{3x}}}}{3} – \frac{{\sin 2x}}{2} + C$. B. $F\left( x \right) = 4{x^3} – \frac{{{e^{3x}}}}{3} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C$.

C. $F\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{5} – \frac{{{e^{3x}}}}{3} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{5} – 3{e^{3x}} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C$.

Câu 87: Cho hàm số $F\left( x \right) = \cos 2x – \sin x + C$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$.

Tính $f\left( \pi \right)$.

A. $f\left( \pi \right) = – 3$. B. $f\left( \pi \right) = – 1$. C. $f\left( \pi \right) = 1$. D. $f\left( \pi \right) = 0$.

Câu 88: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}} + \cos x$ là:

A. $\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + \sin x + C$. B. $\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| – \sin x + C$.

C. $\frac{1}{{2{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} + \sin x + C$. D. $\ln \left| {2x + 1} \right| + \sin x + C$.

Câu 89: Tính $\int {\left( {{x^2} + \frac{3}{x} – 2\sqrt x } \right)} {\rm{d}}x$ ta được kết quả là.

A. $\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| – \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C$. B. $\frac{{{x^3}}}{3} – 3\ln \left| x \right| + \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C$.

C. $\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| + \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C$. D. $\frac{{{x^3}}}{3} – 3\ln \left| x \right| – \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C$.

Câu 90: Hàm số $F\left( x \right) = 2\sin x – 3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số.

A. $f\left( x \right) = – 2\cos x – 3\sin x$. B. $f\left( x \right) = – 2\cos x + 3\sin x$.

C. $f\left( x \right) = 2\cos x – 3\sin x$. D. $f\left( x \right) = 2\cos x + 3\sin x$.

Câu 91: Tìm họ nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + x + 1$

A. $F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{2} + C$. B. $F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} + x + C$.

C. $F\left( x \right) = {x^4} + \frac{{{x^3}}}{2} + x + C$. D. $F\left( x \right) = 3{x^3} + C$.

Câu 92: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = – 3\sin 2x + 2\cos x – {{\rm{e}}^x}$ là

A. $ – 6\cos 2x + 2\sin x – {{\rm{e}}^x} + C$ B. $6\cos 2x – 2\sin x – {{\rm{e}}^x} + C$

C. $\frac{3}{2}\cos 2x – 2\sin x – {{\rm{e}}^x} + C$ D. $\frac{3}{2}\cos 2x + 2\sin x – {{\rm{e}}^x} + C$

Câu 93: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5$ là

A. $F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + 5$. B. $F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + C$.

C. $F\left( x \right) = {x^3} + x + C$. D. $F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + 5x + C$.

Câu 94: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin x + cosx$.

A. $\cos x + \sin x + C$. B. $\sin 2x + C$.

C. $sinx – cosx + C$. D. $ – \cos x + \sin x + C$.

Câu 95: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{1 – x\sin x}}{x}.$.

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – \frac{1}{{2{x^2}}} + \cos x + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – \frac{1}{{{x^2}}} + \cos x + C$.

C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \ln \left| x \right| – \cos x + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \ln \left| x \right| + \cos x + C$.

Câu 96: Nguyên hàm  $F(x)$của hàm số $f(x) = {x^3} – x + 1$

A. $F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^2}}}{2} + x$  B. $F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^2}}}{2} + x + C$.

C. $F(x) = 3{x^2} – 1$.  D. $F(x) = {x^4} – {x^2} + 1 + C$.

Câu 97: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {x + \sin \frac{x}{2}} \right)$.

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{4}{x^2} – \frac{1}{4}\cos \frac{x}{2} + C} $. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{4}{x^2} – \cos \frac{x}{2} + C} $.

C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{4}{x^2} – \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2} + C} $. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = {x^2} + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2} + C} $.

Câu 98: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3\sqrt x + {x^{2018}}$là

A. $\sqrt x + \frac{{{x^{2019}}}}{{673}} + C$ B. $2\sqrt {{x^3}} + \frac{{{x^{2019}}}}{{2019}} + C$

C. $\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{{x^{2019}}}}{{673}} + C$ D. $\frac{1}{{2\sqrt x }} + 6054{x^{2017}} + C$

Câu 99: Tính$\int {\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \frac{4}{x}} \right){\rm{d}}x} $.

A. $\frac{3}{5}\sqrt[3]{{{x^5}}} + 4\ln \left| x \right| + C$. B. $\frac{5}{3}\sqrt[3]{{{x^5}}} + 4\ln \left| x \right| + C$.

C. $\frac{3}{5}\sqrt[3]{{{x^5}}} + 4\ln x + C$. D. $\frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + 4\ln \left| x \right| + C$.

Câu 100: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3{x^2} + 2x + 5$ là

A. $F(x) = {x^3} + {x^2} + 5$ B. $F(x) = {x^3} + {x^2} + C$

C. $F(x) = {x^3} + x + C$ D. $F(x) = {x^3} + {x^2} + 5x + C$

Câu 101: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + 1$ là

A. $\frac{{{x^3}}}{3} + x + C$. B. ${x^3} + x + C$. C. $6x + C$. D. ${x^3} + C$.

Câu 102: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x}\left( {1 + {e^{ – x}}} \right)$.

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {e^x} + 1 + C$ B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {e^x} + x + C$

C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – {e^x} + x + C$ D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {e^x} + C$

Câu 103: Tìm $\int {\frac{{6x + 2}}{{3x – 1}}{\rm{d}}x} $.

A. $F\left( x \right) = 2x + \frac{4}{3}\ln \left| {3x – 1} \right| + C$ B. $F\left( x \right) = 2x + 4\ln \left| {3x – 1} \right| + C$

C. $F\left( x \right) = \frac{4}{3}\ln \left| {3x – 1} \right| + C$ D. $F\left( x \right) = 2x + 4\ln \left( {3x – 1} \right) + C$

Câu 104: Họ nguyên hàm của hàm số $y = {e^{3x + 1}}$ là:

A. $F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x + 1}} + {\rm{ }}C$. B. $F(x) = 3{e^{3x + 1}} + {\rm{ }}C$.

C. $F(x) = 3{e^{3x + 1}}.\ln 3 + {\rm{ }}C$. D. $F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x + 1}}.\ln 3 + {\rm{ }}C$.

Câu 105: Nguyên hàm $\int {\frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}{\rm{d}}x} $

A. ${x^2} + \ln \left| {x – 1} \right| + C$. B. $\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x – 1} \right| + C$. C. $1 – \frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} + C$. D. $x + \frac{1}{{x – 1}} + C$.

Câu 106: Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 3}}$ là.

A. $\frac{1}{2}\ln \left( {2x + 3} \right) + C$ B. $\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$ C. $\ln \left| {2x + 3} \right| + C$ D. $2\ln \left| {2x + 3} \right| + C$

Câu 107: Nguyên hàm $\int {\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{\rm{d}}x} $ bằng

A. ${x^2}\sqrt {1 + {x^2}} + C$. B. $\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}} + C$. C. $x\sqrt {1 + {x^2}} + C$. D. $\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{x} + C$.

Câu 108: Tìm $\int {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} .$.

A. $x + 2\ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C$. B. $x + 2\ln \left| x \right| – \frac{1}{x} + C$.

C. $x – 2\ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C$. D. $x – 2\ln \left| x \right| – \frac{1}{x} + C$.

Câu 109: Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\tan ^2}x$ và $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1$. Tính $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right)$.

A. $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} – 1$. B. $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{2} – 1$. C. $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = – 1$. D. $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{2} + 1$.

Câu 110: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 2x$.

A. $ – 2\cos 2x + C$. B. $\frac{1}{2}\cos 2x + C$. C. $2\cos 2x + C$. D. $ – \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Câu 111: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \int {\left( {\sin 2x – \cos 3x} \right)} {\rm{d}}x$.

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = – \frac{1}{2}\cos 2x – \frac{1}{3}\sin 3x + C} $. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = – \cos 2x – \sin 3x + C} $.

C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \cos 2x + \sin 3x + C} $. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\cos 2x – \frac{1}{3}\sin 3x + C} $.

Câu 112: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin x\cos x$ là:

A. $ – \sin x\cos x$. B. $\frac{1}{4}\cos 2x + C$. C. $ – \frac{1}{4}\cos 2x + C$. D. $\frac{1}{4}\sin 2x + C$.

Câu 113: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 3x$ là:

A. $\frac{1}{3}\cos 3x + C$. B. $\cos 3x + C$. C. $ – \frac{1}{3}\cos 3x + C$. D. $ – \cos 3x + C$.

Câu 114: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} + {2^x}$ là

A. $F(x) = \ln {x^2} + {2^x}.\ln 2 + C.$ B. $F(x) = \ln {x^2} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

C. $F(x) = – \frac{1}{x} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$. D. $F(x) = \frac{1}{x} + {2^x}.\ln 2 + C$.

Câu 115: Biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{{x – 1}}$ và $F(2) = 1.$ Tính $F(3)$.

A. $F(3) = \ln \frac{3}{2}$. B. $F(3) = \ln 2$. C. $F(3) = \ln 2 + 1$. D. $F(3) = \frac{1}{2}$.

Câu 116: Cho $F\left( x \right)$là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{6}{{2x + 1}};F\left( 0 \right) = 1$Tính $F\left( 1 \right)$

A. $F\left( 1 \right) = \ln 27 + 1$. B. $F\left( 1 \right) = 3\ln 3 – 1$. C. $F\left( 1 \right) = \ln 3 + 1$. D. $F\left( 1 \right) = 3\ln 3$

Câu 117: Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}$ và $F\left( 0 \right) = 1$. Tính giá trị của $F\left( 2 \right)$.

A. $F\left( 2 \right) = \frac{{\ln 5}}{2}$. B. $F\left( 2 \right) = 1 + \ln 5$. C. $F\left( 2 \right) = \frac{{\ln 5}}{2} – 1$. D. $F\left( 2 \right) = 1 + \frac{{\ln 5}}{2}$.

Câu 118: Nếu $f(x) = \int {\sin 2x{\rm{d}}x{\rm{ }}} $ và $f\left( 0 \right) = 1$ thì $f\left( x \right)$ bằng

A. $1 – \frac{{\cos 2x}}{2}$. B. $\cos 2x$. C. $\frac{{1 – \cos 2x}}{2}$. D. $2 – \cos 2x$.

Câu 119: Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x – 1}}$; biết $F\left( 1 \right) = 2$. Tính $F\left( 2 \right)$.

A. $F\left( 2 \right) = \frac{1}{2}\ln 3 + 2$ B. $F\left( 2 \right) = \frac{1}{2}\ln 3 – 2$ C. $F\left( 2 \right) = \ln 3 + 2$ D. $F\left( 2 \right) = 2\ln 3 – 2$

Câu 120: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = 2\sin x – 3\cos x$.

A. $F\left( x \right) = – 2\cos x – 3\sin x + C$. B. $F\left( x \right) = 2\cos x + 3\sin x + C$.

C. $F\left( x \right) = 2\cos x – 3\sin x + C$. D. $F\left( x \right) = – 2\cos x + 3\sin x + C$.

Câu 121: Biết $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {x^2} – 2x + C$. Tìm $\int {f\left( { – x} \right){\rm{d}}x} $?

A. $F\left( x \right) = {x^2} – 2x + C$. B. $F\left( x \right) = {x^2} + 2x + C$.

C. $F\left( x \right) = – {x^2} + 2x + C$. D. $F\left( x \right) = – {x^2} – 2x + C$.

Câu 122: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{x} – \frac{2}{{2x + 1}}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

A. $F\left( x \right) = – \ln x + 4\ln \left( {2x + 1} \right) + C$. B. $F\left( x \right) = – \ln x + \ln \left( {2x + 1} \right) + C$.

C. $F\left( x \right) = \ln x – \ln \left( {2x + 1} \right) + C$. D. $F\left( x \right) = \ln x – 4\ln \left( {2x + 1} \right) + C$.

Câu 123: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai

A. $\int {2xdx} = {x^2} + C$. B. $\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$.

C. $\int {{e^x}dx} = {e^x} + C$. D. $\int {\sin xdx} = \cos x + C$.

Câu 124: Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {(2x + 1)dx} $

A. $I = 5$. B. $I = 6$. C. $I = 2$. D. $I = 4$.

Câu 125: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = x – \sin 6x$

A. $\int {f(x){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{{\cos 6x}}{6} + C} $. B. $\int {f(x){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{{\sin 6x}}{6} + C} $.

C. $\int {f(x){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{\cos 6x}}{6} + C} $. D. $\int {f(x){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{\sin 6x}}{6} + C} $.

Câu 126: Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của $\int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {4 + 5{x^2}} }}} {\rm{d}}x$?

A. $\frac{1}{{10}}$. B. $\frac{1}{5}$. C. $\frac{1}{2}$. D. $\frac{1}{3}$.

Câu 127: Cho hàm số $f,g$ liên tục trên K và $a,b,c$ thuộc K. Công thức nào sau đây sai?

A. $\int\limits_a^b {f(x)dx = } \int\limits_b^a {f(x)dx} $ B. $\int\limits_a^b {f(x)dx + \int\limits_b^c {f(x)dx} = } \int\limits_a^c {f(x)dx} $

C. $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx = } \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_a^b {g(x)dx} $ D. $\int\limits_a^b {kf(x)dx = } k\int\limits_a^b {f(x)dx} $

Câu 128: Nguyên hàm $\int {\frac{{1 + \ln x}}{x}{\rm{d}}x} \,\left( {x > 0} \right)$ bằng

A. $\frac{1}{2}{\ln ^2}x + \ln x + C$ B. $x + {\ln ^2}x + C$ C. ${\ln ^2}x + \ln x + C$ D. $x + \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C$

Câu 129: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là hàm số $F(x).$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\int\limits_a^b {f(x)dx} = f(b) – f(a)$. B. $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(a) – F(b)$.

C. $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(b) + F(a)$. D. $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(b) – F(a).$.

Câu 130: Tìm $\int {\frac{{\ln x}}{x}{\rm{d}}x} $ có kết quả là.

A. $\frac{{{x^2}}}{2}\left( {\ln x – 1} \right) + C$. B. $\frac{1}{2}{\ln ^2}x + C$. C. $\ln \left| {\ln x} \right| + C$. D. $\ln \frac{{{x^2}}}{2} + C$.

Câu 131: Tìm một nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số$f\left( x \right) = \frac{{\ln 2x}}{{{x^2}}}$.

A. $F\left( x \right) = – \frac{1}{x}\left( {1 – \ln 2x} \right)$. B. $F\left( x \right) = – \frac{1}{x}\left( {\ln 2x + 1} \right)$.

C. $F\left( x \right) = – \frac{1}{x}\left( {\ln 2x – 1} \right)$. D. $F\left( x \right) = \frac{1}{x}\left( {\ln 2x + 1} \right)$.

Câu 132: Để tính $\int {x\ln \left( {2 + x} \right){\rm{d}}x} $ theo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta đặt:

A. $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\{\rm{d}}v = \ln \left( {2 + x} \right){\rm{d}}x\end{array} \right.$. B. $\left\{ \begin{array}{l}u = x\ln \left( {2 + x} \right)\\{\rm{d}}v = {\rm{d}}x\end{array} \right.$.

C. $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {2 + x} \right)\\{\rm{d}}v = {\rm{d}}x\end{array} \right.$. D. $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {2 + x} \right)\\{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\end{array} \right.$.

Câu 133: Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1\,,\,\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3$. Khi đó $\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $bằng

A. $2$. B. $1$. C. $3$. D. $4$.

Câu 134: Phát biểu nào sau đây là đúng.

A. $\int {{e^x}\sin x{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} = – {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos x{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} $. B. $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = – {e^x}\cos x – \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} $.

C. $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = {e^x}\cos x – \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} $. D. $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} $.

Câu 135: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\int {\sin x{\rm{d}}x = \cos x + C} $. B. $\int {2x{\rm{d}}x = {x^2} + C} $.

C. $\int {{e^x}{\rm{d}}x = {e^x} + C} $. D. $\int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x = \ln \left| x \right| + C} $.

Câu 136: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\int {{{\rm{e}}^x}\sin x{\rm{d}}x} = {{\rm{e}}^x}\cos x – \int {{{\rm{e}}^x}\cos x{\rm{d}}x} $ B. $\int {{{\rm{e}}^x}\sin x{\rm{d}}x} = – {{\rm{e}}^x}\cos x + \int {{{\rm{e}}^x}\cos x{\rm{d}}x} $

C. $\int {{{\rm{e}}^x}\sin x{\rm{d}}x} = {{\rm{e}}^x}\cos x + \int {{{\rm{e}}^x}\cos x{\rm{d}}x} $ D. $\int {{{\rm{e}}^x}\sin x{\rm{d}}x} = – {{\rm{e}}^x}\cos x – \int {{{\rm{e}}^x}\cos x{\rm{d}}x} $

Câu 137: Phát biểu nào sau đây là đúng

A. $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = – {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} .$ B. $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = {e^x}\cos x – \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} .$

C. $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} .$ D. $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = – {e^x}\cos x – \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} .$

Câu 138: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{x}\left( {2x – \ln x} \right)$ là

A. $2x – \frac{{{{\ln }^2}x}}{2} + C$. B. $2x – \frac{1}{{{x^2}}} + C$. C. $\frac{{2\ln x}}{x} – \frac{1}{x} + C$. D. $2x – \frac{{\ln x}}{x} + C$.

Câu 139: Tìm nguyên hàm $\int {x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^9}{\rm{d}}x} $.

A. $\frac{1}{{20}}{\left( {{x^2} + 1} \right)^{10}} + C$. B. $\frac{1}{{10}}{\left( {{x^2} + 1} \right)^{10}} + C$.

C. $ – \frac{1}{{20}}{\left( {{x^2} + 1} \right)^{10}} + C$. D. ${\left( {{x^2} + 1} \right)^{10}} + C$.

Câu 140: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\int {x\sin x{\rm{d}}x} = – x\cos x + \sin x + C$. B. $\int {x\sin x{\rm{d}}x} = x\cos x + \sin x + C$.

C. $\int {x\sin x{\rm{d}}x} = x\cos x – \sin x + C$. D. $\int {x\sin x{\rm{d}}x} = – x\cos x – \sin x + C$.

Câu 141: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = \ln x$?

A. $y = \frac{1}{x}$ B. $y = x + x\ln x$ C. $y = \ln x$ D. $y = x\ln x – x$

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.C 3.C 4.B 5.A 6.C 7.C 8.B 9.C 10.B
11.A 12.B 13.A 14.A 15.D 16.C 17.A 18.C 19.A 20.B
21.D 22.B 23.A 24.B 25.D 26.C 27.C 28.D 29.A 30.A
31.D 32.B 33.A 34.C 35.D 36.D 37.B 38.B 39.B 40.B
41.C 42.A 43.C 44.C 45.B 46.A 47.B 48.D 49.B 50.A
51.A 52.C 53.D 54.D 55.B 56.C 57.B 58.C 59.B 60.A
61.B 62.A 63.D 64.A 65.B 66.B 67.A 68.D 69.A 70.B
71.A 72.A 73.B 74.A 75.B 76.A 77.A 78.A 79.A 80.A
81.B 82.A 83.D 84.B 85.B 86.C 87.C 88.A 89.A 90.D
91.B 92.D 93.D 94.D 95.D 96.B 97.B 98.B 99.A 100.D
101.B 102.B 103.A 104.A 105.B 106.B 107.C 108.B 109.B 110.D
111.A 112.C 113.C 114.C 115.C 116.A 117.D 118.C 119.A 120.A
121.D 122.C 123.D 124.B 125.C 126.B 127.A 128.A 129.D 130.B
131.B 132.D 133.D 134.A 135.A 136.B 137.A 138.A 139.A 140.A
141.D

Hướng dẫn giải

 Dạng 01: Các câu hỏi lý thuyết

Câu 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x + \cos x$.

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} + \sin x + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1 – \sin x + C$.

C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = x\sin x + \cos x + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} – \sin x + C$.

Lời giải

$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {x + \cos x} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} + \sin x + C$.

Câu 2: Cho các hàm số $f\left( x \right)$, $g\left( x \right)$ liên tục trên tập xác định. Tìm mệnh đề sai?

A. $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int {g\left( x \right){\rm{d}}x} $.

B. $\int {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( x \right) + C$.

C. $\int {kf\left( x \right){\rm{d}}x} = k\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $$\forall k \in \mathbb{R}$.

D. $\int {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} – \int {g\left( x \right){\rm{d}}x} $.

Lời giải

Ta có $\int {kf\left( x \right){\rm{d}}x} = k\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $, $\forall k \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.

Câu 3: Tìm $\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2 – 3x}}} $

A. $\frac{1}{3}\ln \left| {2 – 3x} \right| + C$. B. $\frac{1}{{{{\left( {2 – 3x} \right)}^2}}} + C$. C. $ – \frac{1}{3}\ln \left| {3x – 2} \right| + C$. D. $ – \frac{3}{{{{\left( {2 – 3x} \right)}^2}}} + C$.

Lời giải

$\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2 – 3x}}} = $$ – \frac{1}{3}\ln \left| {3x – 2} \right| + C$

Câu 4: Một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2}$ là

A. $F\left( x \right) = {x^3} + x$. B. $F\left( x \right) = {x^3} + 1$. C. $F\left( x \right) = 6x$. D. $F\left( x \right) = 3{x^3}$.

Lời giải

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx = \int {3{x^2}dx} = {x^3} + C} $ với $C$ là một hằng số.

Do đó các phương án ACD bị loại.

Ta chọn phương án $C = 1$.

Câu 5: Mệnh đề nào sau đây sai.

A. $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} $.

B. Nếu $\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C$ thì $\int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C$.

C. Nếu $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$thì $F\left( x \right) = G\left( x \right) + C$với C là hằng số.

D. $\int {\left[ {{f_1}\left( x \right) + {f_2}(x)} \right]dx} = \int {{f_1}\left( x \right)dx} + \int {{f_2}\left( x \right)dx} $.

Lời giải

$k$phải là hằng số khác $0$

Câu 6: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\int {{\rm{cos}}2x{\rm{d}}x = – 2\sin 2x + C} $ B. $\int {{\rm{cos}}2x{\rm{d}}x = 2{\rm{sin}}2x + C} $

C. $\int {{\rm{cos}}2x{\rm{d}}x = \frac{1}{2}{\rm{sin}}2x + C} $ D. $\int {{\rm{cos}}2x{\rm{d}}x = – \frac{1}{2}{\rm{sin}}2x + C} $

Lời giải

Áp dụng công thức nguyên hàm: $\int {{\rm{cos}}\left( {{\rm{a}}x + b} \right){\rm{d}}x = \frac{1}{a}{\rm{sin}}\left( {{\rm{a}}x + b} \right) + C} $.

Ta có: $\int {{\rm{cos}}2x{\rm{d}}x = \frac{1}{2}{\rm{sin}}2x + C} $.

Câu 7: Hàm số $F\left( x \right) = {x^2} + \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số

A. $f\left( x \right) = 2x – {\rm{cos}}\,x$. B. $f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + {\rm{cos}}\,x$.

C. $f\left( x \right) = 2x + {\rm{cos}}\,x$. D. $f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} – {\rm{cos}}\,x$.

Lời giải

Ta có $f\left( x \right) = F’\left( x \right) = {\left( {{x^2} + \sin x} \right)^\prime } = 2x + c{\rm{os}}\,x$.

Câu 8: Cho biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$. Tìm $I = \int {\left[ {2f\left( x \right) + 1} \right]{\rm{d}}x} $

A. $I = 2F\left( x \right) + 1 + C$. B. $I = 2F\left( x \right) + x + C$.

C. $I = 2xF\left( x \right) + x + C$. D. $I = 2xF\left( x \right) + 1 + C$.

Lời giải

Ta có $I = \int {\left[ {2f\left( x \right) + 1} \right]{\rm{d}}x} = 2F\left( x \right) + x + C$.

Câu 9: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = \sin 2x$.

A. $F\left( x \right) = – 2\cos 2x + C$. B. $F\left( x \right) = 2\cos 2x + C$.

C. $F\left( x \right) = – \frac{1}{2}\cos 2x + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Lời giải

Ta có: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}} x = \int {\sin 2x{\rm{d}}} x = – \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x – \sin 2x$ là

A. $\frac{{{x^2}}}{2} + \cos 2x + C$. B. $\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

C. ${x^2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C$. D. $\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Lời giải

Ta có: $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = \int {\left( {x – \sin 2x} \right){\rm{d}}x} $$ = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

.

Câu 11: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. $\int {kf\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x$với $k \in \mathbb{R}$. B. $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x = \int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int {g\left( x \right)} {\rm{d}}x$ với $f\left( x \right)$; $g\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

C. $\int {{x^\alpha }} {\rm{d}}x = \frac{1}{{\alpha + 1}}{x^{\alpha + 1}}$ với $\alpha \ne – 1$. D. ${\left( {\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x} \right)^\prime } = f\left( x \right)$.

Lời giải

Ta có $\int {kf\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x$với $k \in \mathbb{R}$ sai vì tính chất đúng khi $k \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.

Câu 12: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $K$ và $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $f’\left( x \right) = F\left( x \right)$, $\forall x \in K$. B. $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$, $\forall x \in K$.

C. $F\left( x \right) = f\left( x \right)$, $\forall x \in K$. D. $F’\left( x \right) = f’\left( x \right)$, $\forall x \in K$.

Lời giải

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $, $\forall x \in K$$ \Rightarrow {\left[ {F\left( x \right)} \right]^\prime } = f\left( x \right)$, $\forall x \in K$.

Câu 13: Cho $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = F\left( x \right) + C} $. Khi đó với $a \ne 0\,$, $a\,$, $b\,$ là hằng số ta có $\int {f\left( {ax + b} \right){\rm{d}}x} $ bằng.

A. $\int {f\left( {ax + b} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C$. B. $\int {f\left( {ax + b} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{{a + b}}F\left( {ax + b} \right) + C$.

C. $\int {f\left( {ax + b} \right){\rm{d}}x} = F\left( {ax + b} \right) + C$. D. $\int {f\left( {ax + b} \right){\rm{d}}x} = aF\left( {ax + b} \right) + C$.

Lời giải

Theo công thức nguyên hàm mở rộng ta có: $\int {f\left( {ax + b} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C$.

 Dạng 02: Câu hỏi giải bằng định nghĩa

Câu 14: Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x) =  – \cos x$ và $f(0) = 2022$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $f(x) = – \sin x + 2022$.B. $f(x) = \cos x + 2022$.

C. $f(x) = \sin x + 2022$. D. $f(x) =  – \cos x + 2022$.

Lời giải

$f'(x) =  – \cos x \Rightarrow \int {f(x)dx = \int { – \cos xdx = }  – \sin x + C} $

$f(0) = 2022 \Leftrightarrow  – \sin 0 + C = 2022 \Leftrightarrow C = 2022$

Vậy $f(x) =  – \sin x + 2022$

Câu 15: Hàm số $F\left( x \right) = x – \cos x$ là một nguyên hàm của hàm số nào?

A. $y = 1 – \sin x$. B. $y = \frac{{{x^2}}}{2} – \sin x$. C. $y = \frac{{{x^2}}}{2} + \sin x$. D. $y = 1 + \sin x$.

Lời giải

Ta có ${F^\prime }\left( x \right) = 1 + \sin x$.

Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} + {2^x}$ là:

A. $F\left( x \right) = \ln {x^2} + {2^x}.\ln 2 + C$. B. $F\left( x \right) = \ln {x^2} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

C. $F\left( x \right) = – \frac{1}{x} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{1}{x} + {2^x}.\ln 2 + C$.

Lời giải

Ta có $F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + {2^x}} \right)} {\rm{d}}x = \int {\frac{{\rm{1}}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x + \int {{2^x}{\rm{d}}x} } = – \frac{1}{x} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} + {2^x}$ là $F\left( x \right) = – \frac{1}{x} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

Câu 17: Nếu $\int {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C$ thì $f\left( x \right)$ bằng:

A. $f\left( x \right) = {x^2} + {e^x}$. B. $f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{3} + {e^x}$. C. $f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{{12}} + {e^x}$. D. $f\left( x \right) = 3{x^2} + {e^x}$.

Lời giải

Ta có: $f\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C} \right)^\prime } = {x^2} + {e^x}$.

Câu 18: Biết một nguyên hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ là $F\left( x \right) = {x^2} + 4x + 1$. Khi đó, giá trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại $x = 3$ là.

A. $f\left( 3 \right) = 30$. B. $f\left( 3 \right) = 22$. C. $f\left( 3 \right) = 10$. D. $f\left( 3 \right) = 6$.

Lời giải

Ta có: $F’\left( x \right) = f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 4x + 1} \right)^\prime } = 2x + 4$.

$f\left( 3 \right) = 2.3 + 4 = 10$.

Cách 2: sử dụng máy tính.

 .

  .

Câu 19: Công thức nào sau đây sai?

A. $\int {\ln x{\rm{d}}x} = \frac{1}{x} + C$. B. $\int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} = \ln \left| x \right| + C$.

C. $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = \tan x + C} $. D. $\int {\sin 2x} {\rm{d}}x = – \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Lời giải

Câu 20: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x + 1$.

A. $\int {\left( {2x + 1} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + x + C$. B. $\int {\left( {2x + 1} \right)} {\rm{d}}x = {x^2} + x + C$.

C. $\int {\left( {2x + 1} \right)} {\rm{d}}x = 2{x^2} + 1 + C$. D. $\int {\left( {2x + 1} \right)} {\rm{d}}x = {x^2} + C$.

Lời giải

$\int {\left( {2x + 1} \right)} {\rm{d}}x = {x^2} + x + C$.

Câu 21: Hàm số $F\left( x \right) = 2\sin x – 3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số.

A. $f\left( x \right) = – 2\cos x – 3\sin x$. B. $f\left( x \right) = – 2\cos x + 3\sin x$.

C. $f\left( x \right) = 2\cos x – 3\sin x$. D. $f\left( x \right) = 2\cos x + 3\sin x$.

Lời giải

${\left( {F\left( x \right)} \right)^\prime } = {\left( {2\sin x – 3\cos x} \right)^\prime } = 2\cos x + 3\sin x$.

Câu 22: Cho biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$. Tìm $I = \int {\left[ {3f\left( x \right) + 1} \right]{\rm{d}}x} $.

A. $I = 3F\left( x \right) + 1 + C$. B. $I = 3F\left( x \right) + x + C$.

C. $I = 3xF\left( x \right) + 1 + C$. D. $I = 3xF\left( x \right) + x + C$.

Lời giải

$I = \int {\left[ {3f\left( x \right) + 1} \right]{\rm{d}}x} = 3\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int {{\rm{d}}x} = 3F\left( x \right) + x + C$.

Câu 23: Tìm một nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = ax + \frac{b}{{{x^2}}}$ $\left( {x \ne 0} \right)$ biết rằng $F\left( { – 1} \right) = 1$; $F\left( 1 \right) = 4$; $f\left( 1 \right) = 0$.

A. $F\left( x \right) = \frac{{3{x^2}}}{4} + \frac{3}{{2x}} + \frac{7}{4}$. B. $F\left( x \right) = \frac{{3{x^2}}}{4} – \frac{3}{{2x}} – \frac{7}{4}$.

C. $F\left( x \right) = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{3}{{4x}} – \frac{7}{4}$. D. $F\left( x \right) = \frac{{3{x^2}}}{2} – \frac{3}{{2x}} – \frac{1}{2}$.

Lời giải

Ta có họ các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = ax + \frac{b}{{{x^2}}}$ $\left( {x \ne 0} \right)$ có dạng: $F\left( x \right) = \frac{{a{x^2}}}{2} – \frac{b}{x} + C$.

Theo giả thiết ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{2} + b + C = 1\\\frac{a}{2} – b + C = 4\\a + b = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = – \frac{3}{2}\\C = \frac{7}{4}\end{array} \right.$. Từ đó hàm số $f\left( x \right)$ có một nguyên hàm là $F\left( x \right) = \frac{{3{x^2}}}{4} + \frac{3}{{2x}} + \frac{7}{4}$.

Câu 24: Hàm số $F\left( x \right) = \cos 3x$ là nguyên hàm của hàm số:

A. $f\left( x \right) = \frac{{\sin 3x}}{3}$. B. $f\left( x \right) = – 3\sin 3x$. C. $f\left( x \right) = 3\sin 3x$. D. $f\left( x \right) = – \sin 3x$.

Lời giải

Ta có $F\left( x \right) = \cos 3x$ $ \Rightarrow $ $F’\left( x \right) = – 3\sin 3x$.

Vậy hàm số $F\left( x \right) = \cos 3x$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = – 3\sin 3x$.

Câu 25: Hàm số $F\left( x \right) = {e^{{x^2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số:

A. $f\left( x \right) = {x^2}{e^{{x^2}}} – 1$. B. $f\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^2}}}}}{{2x}}$. C. $f\left( x \right) = {e^{2x}}$. D. $f\left( x \right) = 2x{e^{{x^2}}}$.

Lời giải

$F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Ta có: $\left( {{e^{{x^2}}}} \right)’ = \left( {{x^2}} \right)’.{e^{{x^2}}} = 2x{e^{{x^2}}}$.

Câu 26: Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Nếu $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( x \right) + C$ thì $\int {f\left( u \right){\rm{d}}u} = F\left( u \right) + C$.

B. $\int {kf\left( x \right){\rm{d}}x} = k\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ ($k$ là hằng số và $k \ne 0$).

C. Nếu $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ thì $F\left( x \right) = G\left( x \right)$.

D. $\int {\left[ {{f_1}\left( x \right) + {f_2}\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int {{f_1}\left( x \right){\rm{d}}x} + \int {{f_2}\left( x \right){\rm{d}}x} $.

Lời giải

Mệnh đề C sai, ví dụ $f\left( x \right) = 1$ thì $F\left( x \right) = x$ và $G\left( x \right) = x + 1$ cũng đều là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ mà $F\left( x \right) \ne G\left( x \right)$.

Câu 27: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3}$?

A. $y = \frac{{{x^4}}}{4} – {2^{2018}}$. B. $y = \frac{{{x^4}}}{4} – 2018$. C. $y = 3{x^2}$. D. $y = \frac{1}{4}{x^4} + 2018$.

Lời giải

Ta có $F\left( x \right) = \int {{x^3}} {\rm{d}}x = \frac{{{x^4}}}{4} + C$ nên các đáp án A, B, D đều đúng.

Câu 28: Cho $g(x) = 6x + 6$; $F(x) = {x^3} + 3{x^2}$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$, khi đó.

A. $g(x) = f”'(x)$. B. $g(x) = f(x)$. C. $g(x) = f”(x)$. D. $g(x) = f'(x)$.

Lời giải

Ta có: $F(x) = {x^3} + 3{x^2}$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$$ \Rightarrow f\left( x \right) = F’\left( x \right) = 3{x^2} + 6x$.

$f’\left( x \right) = 6x + 6 = g\left( x \right)$.

Câu 29: Hàm số $F\left( x \right) = {{\rm{e}}^{{x^2}}}$là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây ?.

A. $f\left( x \right) = 2x.{{\rm{e}}^{{x^2}}}$. B. $f\left( x \right){\rm{ = }}{{\rm{e}}^{{x^2}}}$. C. $f\left( x \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{{x^2}}}}}{{2x}}$. D. $y = {x^2}{\rm{.e}}{}^{{x^2}} – 1$.

Lời giải

 $\left( {{{\rm{e}}^{{x^2}}}} \right)’ = \left( {{x^2}} \right)’.{{\rm{e}}^{{x^2}}} = 2x.{{\rm{e}}^{{x^2}}}$.

 Dạng 03: Công thức nguyên hàm cơ bản, mở rộng

Câu 30: Họ nguyên hàm của hàm số $y = {x^2} + x$ là

A. $\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$. B. ${x^3} + {x^2} + C$. C. $\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}$. D. $1 + 2x + C$.

Lời giải

Ta có $\int {\left( {{x^2} + x} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$.

Câu 31: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {1000^x}.$

A. $F\left( x \right) = {1000^x} + C$. B. $F\left( x \right) = {3.10^{3x}}\ln 10$.

C. $F\left( x \right) = \frac{{{{1000}^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{{{{10}^{3x}}}}{{3\ln 10}} + C$.

Lời giải

Ta có $F\left( x \right) = \int {{{1000}^x}dx} = \frac{{{{1000}^x}}}{{\ln 1000}} + C = \frac{{{{\left( {{{10}^3}} \right)}^x}}}{{\ln {{10}^3}}} + C = \frac{{{{10}^{3x}}}}{{3\ln 10}} + C.$.

Câu 32: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^{2018}}$, $(x \in \mathbb{R})$ là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A. $F(x) = 2017.{x^{2018}} + C$, $(C \in \mathbb{R})$. B. $F(x) = \frac{{{x^{2019}}}}{{2019}} + C$, $(C \in \mathbb{R})$.

C. $F(x) = {x^{2019}} + C$,$(C \in \mathbb{R})$. D. $F(x) = 2018.{x^{2017}} + C$, $(C \in \mathbb{R})$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int {{x^{2018}}{\rm{d}}x} = \frac{{{x^{2019}}}}{{2019}} + C$.

Câu 33: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^2} + \frac{3}{x}$ trên $( – \infty ;0)$ và $(0; + \infty )$ là

A. B. $\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| + C.$

C. $\frac{{{x^3}}}{3} – 3\ln \left| x \right| + C.$ D. $\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln x + C.$– $\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| + C.$

Lời giải

$\int {\left( {{x^2} + \frac{3}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| + C.$

Câu 34: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3x – \sin x$.

A. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 3{x^2} + \cos x + C$. B. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{{3{x^2}}}{2} – \cos x + C$.

C. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{{3{x^2}}}{2} + \cos x + C$. D. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 3 + \cos x + C$.

Lời giải

Ta có $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {3x – \sin x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{3{x^2}}}{2} + \cos x + C$.

Câu 35: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos \left( {5x – 2} \right)$ là:

A. $F\left( x \right) = – 5\sin \left( {5x – 2} \right) + C$. B. $F\left( x \right) = 5\sin \left( {5x – 2} \right) + C$.

C. $F\left( x \right) = – \frac{1}{5}\sin \left( {5x – 2} \right) + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{1}{5}\sin \left( {5x – 2} \right) + C$.

Lời giải

Áp dụng công thức $\int {\cos \left( {ax + b} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C$.

Câu 36: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos 3x$ là:

A. $ – 3\sin 3x + C$. B. $ – \frac{1}{3}\sin 3x + C$. C. $ – \sin 3x + C$. D. $\frac{1}{3}\sin 3x + C$.

Lời giải

Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng, ta có: $\int {\cos 3x{\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\sin 3x + C$

Câu 37: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. Nếu $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ thì $F\left( x \right) – G\left( x \right) = C$.

B. $\int {u(x)v'(x)dx + \int {v(x)u'(x)dx = u(x)v(x)} } $.

C. $F\left( x \right) = {x^2}$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right) = 2x$.

D. $\int {\left( {{f_1}\left( x \right) + {f_2}\left( x \right)} \right)dx = \int {{f_1}\left( x \right)dx + } } \int {{f_2}\left( x \right)dx} $.

Lời giải

$\int {u(x)v'(x){\rm{d}}x + \int {v(x)u'(x){\rm{d}}x = \int {\left( {u(x)v'(x) + v(x)u'(x)} \right){\rm{d}}x} = \int {{{\left( {u(x)v(x)} \right)}^\prime }} {\rm{d}}x = u(x)v(x) + C} } $.

Câu 38: Tất cả nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 3}}$ là

A. $\frac{1}{2}\ln \left( {2x + 3} \right) + C$. B. $\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.

C. $\ln \left| {2x + 3} \right| + C$. D. $\frac{1}{{\ln 2}}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.

Lời giải

Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng: $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = \int {\frac{1}{{2x + 3}}{\rm{d}}x} $$ = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.

Câu 39: Tìm $\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2x + 1}}} $, ta được:

A. $\frac{1}{2}\ln \left( {2x + 1} \right) + C$. B. $\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C$. C. $ – \frac{2}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} + C$. D. $\ln \left| {2x + 1} \right| + C$.

Lời giải

$\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{2x + 1}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C$.

Câu 40: Một nguyên hàm của hàm số $y = \cos 2x$ là

A. $ – 2\sin 2x$. B. $\frac{1}{2}\sin 2x$. C. $\frac{{ – 1}}{2}\sin 2x$. D. $2\sin 2x$.

Lời giải

$\int {\cos 2x\,{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\sin 2x + C$.

Câu 41: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {5^x}$.

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {5^x} + C$. B. $\int {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = {5^x}\ln 5 + C$.

C. $\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{5^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$.

Lời giải

Từ công thức nguyên hàm $\int {{a^x}} \,{\rm{d}}x = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$ ta có ngay đáp án

C.

Câu 42: Giá trị của $\int\limits_0^3 {{\rm{d}}x} $ bằng

A. $3$. B. $0$. C. $2$. D. $1$.

Lời giải

$\int\limits_0^3 {{\rm{d}}x} = \left. x \right|_0^3 = 3$.

Câu 43: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = {\left( {3x – 1} \right)^5}$.

A. $\int {f(x)dx = \frac{1}{{18}}{{\left( {3x – 1} \right)}^5} + C} $. B. $\int {f(x)dx = \frac{1}{6}{{\left( {3x – 1} \right)}^6} + C} $.

C. $\int {f(x)dx = \frac{1}{{18}}{{\left( {3x – 1} \right)}^6} + C} $. D. $\int {f(x)dx = \frac{1}{3}{{\left( {3x – 1} \right)}^6} + C} $.

Lời giải

$\int {{{\left( {3x – 1} \right)}^5}{\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\int {{{\left( {3x – 1} \right)}^5}{\rm{d}}\left( {3x – 1} \right)} = \frac{1}{{18}}{\left( {3x – 1} \right)^6} + C$.

Câu 44: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} + {2^x}$ là:

A. $F\left( x \right) = \ln {x^2} + {2^x}.\ln 2 + C$. B. $F\left( x \right) = \ln {x^2} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

C. $F\left( x \right) = – \frac{1}{x} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{1}{x} + {2^x}.\ln 2 + C$.

Lời giải

Ta có $F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + {2^x}} \right)} {\rm{d}}x = \int {\frac{{\rm{1}}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x + \int {{2^x}{\rm{d}}x} } = – \frac{1}{x} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} + {2^x}$ là $F\left( x \right) = – \frac{1}{x} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

Câu 45: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = 12{x^5}$.

A. $y = 12{x^6} + 5$. B. $y = 2{x^6} + 3$. C. $y = 12{x^4}$. D. $y = 60{x^4}$.

Lời giải

Ta có $\int {12{x^5}{\rm{d}}x} $$ = 12.\frac{{{x^6}}}{6} + C$$ = 2{x^6} + C$.

Do đó

Câu 46: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\left( {x – 1} \right)^3}$ là

A. $\frac{1}{4}{\left( {x – 1} \right)^4} + C$. B. $\frac{1}{4}{\left( {x – 1} \right)^3} + C$. C. $3\left( {x – 1} \right) + C$. D. $4{\left( {x – 1} \right)^4} + C$.

Lời giải

Ta có $\int {{{\left( {x – 1} \right)}^3}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^4}}}{4} + C$.

Câu 47: Cho hàm số $f\left( x \right) = {2^x} + x + 1$. Tìm $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $.

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {2^x} + {x^2} + x + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C$.

C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{{x + 1}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C$.

Lời giải

Ta có: $\int {\left( {{2^x} + x + 1} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.$

Câu 48: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt x $.

A. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = – \frac{1}{2}\sqrt x + C$. B. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{2}{3}\sqrt x + C$.

C. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{3}{2}x\sqrt x + C$. D. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{2}{3}x\sqrt x + C$.

Lời giải

$\int {\sqrt x } {\rm{d}}x = \frac{2}{3}x\sqrt x + C$.

Câu 49: Một nguyên hàm  của hàm số $f(x) = {2^x}$ là:

A. $F(x) = {2^x} + 2022$.B. $F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2022$.

C. $F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2022x$. D. $F(x) = {2^x}\ln 2$.

Lời giải

Ta có:  $F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2022 \Rightarrow F'(x) = {2^x}$

Câu 50: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x + \sin 2x$ là

A. ${x^2} – \frac{1}{2}\cos 2x + C$. B. ${x^2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C$. C. ${x^2} – 2\cos 2x + C$. D. ${x^2} + 2\cos 2x + C$.

Lời giải

Ta có $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {2x + \sin 2x} \right)} {\rm{d}}x$$ = {x^2} – \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Câu 51: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 5{x^4} + 2$ là

A. ${x^5} + 2x + C$. B. $\frac{1}{5}{x^5} + 2x + C$. C. $10x + C$. D. ${x^5} + 2$.

Lời giải

Ta có: $\int\limits_{}^{} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{}^{} {\left( {5{x^4} + 2} \right){\rm{d}}x} = {x^5} + 2x + C$.

Câu 52: $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {2x + 1} $. Khi đó, $F\left( x \right)$ là hàm số

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}} \sqrt {2x + 1} + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = – \frac{1}{3}} \sqrt {2x + 1} + C$.

C. $\int {f(x){\rm{d}}x = \frac{1}{3}} \left( {2x + 1} \right)\sqrt {2x + 1} + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{2}{3}} \left( {2x + 1} \right)\sqrt {2x + 1} + C$.

Lời giải

Ta có: $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\int {\sqrt {2x + 1} {\rm{d}}\left( {2x + 1} \right)} } $$ = \frac{1}{2}\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}{\rm{d}}\left( {2x + 1} \right)} $$ = \frac{1}{3}\left( {2x + 1} \right)\sqrt {2x + 1} + C$.

Câu 53: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + \sin x.$

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\left( {3x + 2} \right)\sqrt {3x + 2} + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^4}}}{4} + \cos x + C$.

C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {x^3} + \cos x + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^4}}}{4} – \cos x + C$.

Lời giải

Ta có $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^4}}}{4} – \cos x + C$.

Câu 54: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\left( {x + 1} \right)$.

A. $x\left( {x + 1} \right) + C$ B. $2x + 1 + C$ C. ${x^3} + {x^2} + C$ D. $\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$

Lời giải

$I = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = \int {x\left( {x + 1} \right){\rm{d}}x} $$ = \int {\left( {{x^2} + x} \right){\rm{d}}x} $$ = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$.

Câu 55: Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau sai?

A. $\int {\sin {\rm{x}}dx = } – {\mathop{\rm cosx}\nolimits} + c$. B. $\int {\ln xdx = \frac{1}{x}} + c$.

C. $\int {2xdx = {x^2}} + c$. D. $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = – \cot x + c$.

Lời giải

Ta có ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^’} = \frac{{ – x’}}{{{x^2}}}$ nên $\int {\ln xdx = \frac{1}{x}} + c$ là sai.

Câu 56: Cho hàm số $f\left( x \right) = {\left( {2x + 1} \right)^{2017}}$. Tìm tất cả các hàm số $F\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2018}}}}{{4036}} + 2018$.

A. $\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2018}}}}{{2018}} + 2018$. B. $F\left( x \right) = 2017{\left( {2x + 1} \right)^{2016}} + 2018$.

C. $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$ và $F\left( { – \frac{1}{2}} \right) = 2018$. D. $F\left( x \right) = 4034{\left( {2x + 1} \right)^{2016}} + 2018$.

Lời giải

Ta có $F\left( x \right) = \int {{{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2018}}}}{{4036}} + C$.

Câu 57: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x} + x$ là

A. ${e^x} + {x^2} + C$ B. ${e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C$ C. $\frac{1}{{x + 1}}{e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C$ D. ${e^x} + 1 + C$

Lời giải

Câu 58: Họ nguyên hàm của hàm số $y = 2x + 1$ là

A. $\frac{{{x^2}}}{2} + x + C$. B. $2x + 1 + C$. C. ${x^2} + x + C$. D. $2x + C$.

Lời giải

$\int {\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} = {x^2} + x + C$.

Câu 59: Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số $F\left( x \right) = \ln \left| x \right|$?

A. $f\left( x \right) = x.$ B. $f\left( x \right) = \frac{1}{x}.$ C. $f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{2}.$ D. $f\left( x \right) = \left| x \right|.$

Lời giải

Áp dụng công thức SGK

Câu 60: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right) = \int {{\pi ^2}} {\rm{d}}x$.

A. $F\left( x \right) = {\pi ^2}x + C$. B. $F\left( x \right) = 2\pi x + C$.

C. $F\left( x \right) = \frac{{{\pi ^3}}}{3} + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{{{\pi ^2}{x^2}}}{2} + C$.

Lời giải

Ta có $F\left( x \right) = \int {{\pi ^2}{\rm{d}}x} = {\pi ^2}x + C$.

Câu 61: Tìm $\int {\frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} $.

A. $\int {\frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{x} + C$. B. $\int {\frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = – \frac{1}{x} + C$.

C. $\int {\frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{{2x}} + C$. D. $\int {\frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = \ln {x^2} + C$.

Lời giải

$\int {\frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = – \frac{1}{x} + C$.

Câu 62: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x + {2^x}$ là:

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1 + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} + {2^x} + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} + {2^x}\ln 2 + C$.

Lời giải

Áp dụng bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp ta có.

$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {x + {2^x}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

Câu 63: Nguyên hàm của hàm số $y = {2^x}$ là

A. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{x + 1}} + C$. B. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \ln {2.2^x} + C$.

C. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = {2^x} + C$. D. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

Lời giải

Áp dụng công thức $\int {{a^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$.

Câu 64: Tìm nguyên hàm của hàm số $y = {2^x}$?

A. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$. B. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \ln {2.2^x} + C$.

C. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{x + 1}} + C$. D. $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = {2^x} + C$.

Lời giải

Ta có $\int {{2^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

Câu 65: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos x$ là

A. $ – \sin x + C$. B. $\sin x + C$. C. $\cos x + C$. D. $ – \cos x + C$.

Lời giải

Ta có: $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\cos x{\rm{d}}x} = \sin x + C$.

Câu 66: Tính $\int {\sin 3x{\rm{d}}x} $

A. $ – \cos 3x + C$. B. $ – \frac{1}{3}\cos 3x + C$. C. $\frac{1}{3}\cos 3x + C$. D. $\cos 3x + C$.

Lời giải

Áp dụng trực tiếp công thức nguyên hàm cơ bản.

Câu 67: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 4{x^3} + 2018$ là

A. ${x^4} + 2018x + C$. B. $\frac{{{x^4}}}{3} + 2018x + C$. C. $12{x^2} + C$. D. ${x^4} + C$.

Lời giải

$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = \int {\left( {4{x^3} + 2018} \right){\rm{d}}x} $$ = {x^4} + 2018x + C$.

Câu 68: Tìm $\int {x\cos 2x{\rm{d}}x} $.

A. $\frac{1}{2}x.\sin 2x – \frac{1}{4}\cos 2x + C$. B. $x.\sin 2x + \cos 2x + C$.

C. $\frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{2}{\rm{cos}}2x + C$. D. $\frac{1}{2}x.\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C$.

Lời giải

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\{\rm{d}}v = \cos 2x{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\v = \frac{1}{2}\sin 2x\end{array} \right.$.

Khi đó: $\int {x\cos 2x{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}x\sin 2x – \frac{1}{2}\int {\sin 2x{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C$.

Câu 69: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x + \sin 2x$ là.

A. $\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{2}\cos 2x + C$. B. $\frac{{{x^2}}}{2} – \cos 2x + C$.

C. ${x^2} – \frac{1}{2}\cos 2x + C$. D. $\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Lời giải

Ta có: $\int {\left( {x + \sin 2x} \right)dx} = \int {xdx} + \int {\sin 2xdx} = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Câu 70: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 5x + 2$ là

A. $5\cos 5x + C$. B. $ – \frac{1}{5}\cos 5x + 2x + C$.

C. $\frac{1}{5}\cos 5x + 2x + C$. D. $\cos 5x + 2x + C$.

Lời giải

Ta có $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\sin 5x + 2} \right){\rm{d}}x = – \frac{1}{5}\cos 5x + 2x + C} $.

Câu 71: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){\rm{ = }}\,\cos 2x$.

A. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{{\sin 2x}}{2} + C$. B. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 2\sin 2x + C$.

C. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \sin 2x + C$. D. $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = – \frac{{\sin 2x}}{2} + C$.

Lời giải

Áp dụng công thức $\int {\cos \left( {ax + b} \right)} {\rm{d}}x = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C$.

Ta có: $\int {\cos 2x} {\rm{d}}x = \frac{{\sin 2x}}{2} + C$.

Câu 72: Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = 4{x^3} – 3{x^2} + 2$ thõa điều kiện $F\left( { – 1} \right) = 3$ là:

A. ${x^4} – {x^3} + 2x + 3$. B. ${x^4} – {x^3} + 2x$. C. ${x^4} – {x^3} + 2x + 4$. D. ${x^4} – {x^3} + 2x – 3$.

Lời giải

$\int {\left( {4{x^3} – 3{x^2} + 2} \right)dx = {x^4} – {x^3} + 2x + C} $. $F\left( { – 1} \right) = 3 \Leftrightarrow C = 3$.

Suy ra: $F\left( x \right) = $${x^4} – {x^3} + 2x + 3$.

Câu 73: Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số$f\left( x \right) = x + \sin x$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 19$ là.

A. $\frac{{{x^2}}}{2} – \cos x + 2$. B. $\frac{{{x^2}}}{2} – \cos x + 20$. C. $\frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + 20$. D. $\frac{{{x^2}}}{2} – \cos x$.

Lời giải

$F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – \cos x + C$, $F\left( 0 \right) = 19 \Leftrightarrow – 1 + C = 19 \Leftrightarrow C = 20$.

Câu 74: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos x$

A. $\int {\cos x{\rm{d}}x} = \sin x + C$ B. $\int {\cos x{\rm{d}}x} = – \sin x + C$

C. $\int {\cos x{\rm{d}}x} = \sin 2x + C$ D. $\int {\cos x{\rm{d}}x} = – \frac{1}{2}\sin x + C$

Lời giải

$\int {\cos x{\rm{d}}x} = \sin x + C$.

Câu 75: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + \frac{x}{2}$ là:

A. $\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C$. B. ${x^3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C$. C. ${x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$. D. ${x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$.

Lời giải

$\int {(3{x^2}} + \frac{x}{2})dx = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C$.

Câu 76: Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = {3^{ – x}}$ là

A. $ – \frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$ B. $ – {3^{ – x}} + C$ C. ${3^{ – x}}\ln 3 + C$ D. $\frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$

Lời giải

Ta có $\int {f(x){\rm{d}}x} = \int {{3^{ – x}}{\rm{d}}x} = – \int {{3^{ – x}}{\rm{d}}( – x)} = – \frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$.

Câu 77: Nguyên hàm $\int {\sin 2x{\rm{d}}x} $ bằng:

A. $ – \frac{1}{2}\cos 2x + C$. B. $\cos 2x + C$. C. $\frac{1}{2}\cos 2x + C$. D. $ – \cos 2x + C$.

Lời giải

Ta có $\int {\sin 2x{\rm{d}}x} $$ = \frac{1}{2}\int {\sin 2x{\rm{d2}}x} $$ = – \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Câu 78: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 2x$.

A. $\int {\sin 2x} {\rm{d}}x = – \frac{1}{2}\cos 2x + C$. B. $\int {\sin 2x} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

C. $\int {\sin 2x} {\rm{d}}x = 2\cos 2x + C$. D. $\int {\sin 2x{\rm{d}}x} = – 2\cos 2x + C$.

Lời giải

Ta có: $\int {\sin 2x} {\rm{d}}x = – \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

 Dạng 04: Tổng, hiệu, tích với số của các hàm đơn giản

Câu 79: Khi tính nguyên hàm $\int {\frac{{x – 3}}{{\sqrt {x + 1} }}{\rm{d}}x} $, bằng cách đặt $u = \sqrt {x + 1} $ ta được nguyên hàm nào?

A. $\int {2\left( {{u^2} – 4} \right)du} $. B. $\int {\left( {{u^2} – 4} \right)du} $. C. $\int {\left( {{u^2} – 3} \right)du} $. D. $\int {2u\left( {{u^2} – 4} \right)du} $.

Lời giải

Đặt $u = \sqrt {x + 1} $$ \Rightarrow x = {u^2} – 1 \Rightarrow dx = 2udu$.

Khi đó $\int {\frac{{x – 3}}{{\sqrt {x + 1} }}dx} $ trở thành $\int {\frac{{{u^2} – 4}}{u}.2udu = \int {2\left( {{u^2} – 4} \right)du} } $.

Câu 80: Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $f’\left( x \right) = x + \sin x$ và $f\left( 0 \right) = 1$. Tìm $f\left( x \right)$.

A. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – \cos x + 2$ B. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – \cos x – 2$

C. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x$ D. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + \frac{1}{2}$

Lời giải

Ta có $f’\left( x \right) = x + \sin x$$ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – \cos x + C$; $f\left( 0 \right) = 1$$ \Leftrightarrow – 1 + C = 1$$ \Leftrightarrow C = 2$.

Vậy $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} – \cos x + 2$.

Câu 81: Tìm nguyênhàmcủahàmsố $\int {\left( {{x^2} + \frac{3}{x} – 2\sqrt x } \right){\rm{d}}x} $.

A. $\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| + \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C$. B. $\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| – \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C$.

C. $\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln x – \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} $. D. $\frac{{{x^3}}}{3} – 3\ln \left| x \right| – \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C$.

Lời giải

Ta có: $\int {\left( {{x^2} + \frac{3}{x} – 2\sqrt x } \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}{x^3} + 3\ln \left| x \right| – \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C$.

Câu 82: Nguyên hàm của hàm số:$y = {\cos ^2}x.\sin x$ là

A. $ – \frac{1}{3}{\cos ^3}x + C$. B. $ – {\cos ^3}x + C$. C. $\frac{1}{3}{\sin ^3}x + C$. D. $\frac{1}{3}{\cos ^3}x + C$.

Lời giải

+ Áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ để tìm nguyên hàm.

+ Đặt $\cos x = a \Rightarrow – \sin x{\rm{d}}x = {\rm{d}}a \Leftrightarrow – \int {{a^2}{\rm{d}}a} = \frac{{{a^3}}}{3} + C = – \frac{{{{\cos }^3}x}}{3} + C$.

Câu 83: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – \frac{1}{3}$ là

A. $\frac{{ – {x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C$. B. $\frac{{ – 2}}{{{x^2}}} – 2x + C$. C. $ – \frac{{{x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C$. D. $\frac{{ – {x^3}}}{3} – \frac{1}{x} – \frac{x}{3} + C$.

Lời giải

Ta có $\int {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – \frac{1}{3}} \right){\rm{d}}x} $$ = \int {\left( {{x^{ – 2}} – {x^2} – \frac{1}{3}} \right){\rm{d}}x} $$ = – \frac{1}{x} – \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{x}{3} + C$.

Câu 84: Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} – 3x + \frac{1}{x}$ là:

A. $F\left( x \right) = 2x – 3 – \frac{1}{{{x^2}}} + C$ B. $F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C$

C. $F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{3}{2}{x^2} + \ln x + C$ D. $F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{3}{2}{x^2} + \ln x + C$

Lời giải

Ta có $\int {\left( {{x^2} – 3x + \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C$.

Câu 85: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {e^x}\left( {1 – 3{e^{ – 2x}}} \right)$.

A. $F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ – 2x}} + C$. B. $F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ – x}} + C$.

C. $F\left( x \right) = {e^x} – 3{e^{ – 3x}} + C$. D. $F\left( x \right) = {e^x} – 3{e^{ – x}} + C$.

Lời giải

Ta có$\int {f\left( x \right)} {\rm{ dx}} = \int {{e^x}\left( {1 – 3{e^{ – 2x}}} \right)} {\rm{ dx}} = \int {\left( {{e^x} – 3{e^{ – x}}} \right){\rm{dx}} = } {\rm{ }}{e^x} + 3{e^{ – x}} + C$.

Câu 86: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {x^4} – {e^{3x}} + \cos 2x$.

A. $F\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{5} – \frac{{{e^{3x}}}}{3} – \frac{{\sin 2x}}{2} + C$. B. $F\left( x \right) = 4{x^3} – \frac{{{e^{3x}}}}{3} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C$.

C. $F\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{5} – \frac{{{e^{3x}}}}{3} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C$. D. $F\left( x \right) = \frac{{{x^5}}}{5} – 3{e^{3x}} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C$.

Lời giải

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {{x^4} – {e^{3x}} + \cos 2x} \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^5}}}{5} – \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{1}{2}\sin 2x} + C} $.

Câu 87: Cho hàm số $F\left( x \right) = \cos 2x – \sin x + C$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$.

Tính $f\left( \pi \right)$.

A. $f\left( \pi \right) = – 3$. B. $f\left( \pi \right) = – 1$. C. $f\left( \pi \right) = 1$. D. $f\left( \pi \right) = 0$.

Hướng dẫn giải

Vì $F\left( x \right)$là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$nên $F’\left( x \right) = f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) = – 2\sin 2x – cosx$.

Vậy $f\left( \pi \right) = – 2\sin 2\pi – cos\pi = 1$.

Câu 88: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}} + \cos x$ là:

A. $\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + \sin x + C$. B. $\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| – \sin x + C$.

C. $\frac{1}{{2{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} + \sin x + C$. D. $\ln \left| {2x + 1} \right| + \sin x + C$.

Lời giải

Áp dụng công thức cơ bản của nguyên hàm ta có: $\int {\left( {\frac{1}{{2x + 1}} + \cos x} \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + \sin x + C} $.

Câu 89: Tính $\int {\left( {{x^2} + \frac{3}{x} – 2\sqrt x } \right)} {\rm{d}}x$ ta được kết quả là.

A. $\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| – \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C$. B. $\frac{{{x^3}}}{3} – 3\ln \left| x \right| + \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C$.

C. $\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| + \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C$. D. $\frac{{{x^3}}}{3} – 3\ln \left| x \right| – \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C$.

Lời giải

Ta có: $\int {\left( {{x^2} + \frac{3}{x} – 2\sqrt x } \right)} {\rm{d}}x = \int {{x^2}} {\rm{d}}x + 3\int {\frac{1}{x}} {\rm{d}}x – 2\int {{x^{\frac{1}{2}}}} {\rm{d}}x$$ = \frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| – \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C$.

Câu 90: Hàm số $F\left( x \right) = 2\sin x – 3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số.

A. $f\left( x \right) = – 2\cos x – 3\sin x$. B. $f\left( x \right) = – 2\cos x + 3\sin x$.

C. $f\left( x \right) = 2\cos x – 3\sin x$. D. $f\left( x \right) = 2\cos x + 3\sin x$.

Lời giải

${\left[ {F\left( x \right)} \right]^\prime } = {\left( {2\sin x – 3\cos x} \right)^\prime } = 2\cos x + 3\sin x$.

Câu 91: Tìm họ nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + x + 1$

A. $F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{2} + C$. B. $F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} + x + C$.

C. $F\left( x \right) = {x^4} + \frac{{{x^3}}}{2} + x + C$. D. $F\left( x \right) = 3{x^3} + C$.

Lời giải

Ta có $\int {\left( {{x^3} + x + 1} \right){\rm{d}}x} $$ = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} + x + C$.

Câu 92: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = – 3\sin 2x + 2\cos x – {{\rm{e}}^x}$ là

A. $ – 6\cos 2x + 2\sin x – {{\rm{e}}^x} + C$ B. $6\cos 2x – 2\sin x – {{\rm{e}}^x} + C$

C. $\frac{3}{2}\cos 2x – 2\sin x – {{\rm{e}}^x} + C$ D. $\frac{3}{2}\cos 2x + 2\sin x – {{\rm{e}}^x} + C$

Lời giải

$\int {\left( { – 3\sin 2x + 2\cos x – {{\rm{e}}^x}} \right){\rm{d}}x} = \frac{3}{2}\cos 2x + 2\sin x – {{\rm{e}}^x} + C$.

Câu 93: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5$ là

A. $F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + 5$. B. $F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + C$.

C. $F\left( x \right) = {x^3} + x + C$. D. $F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + 5x + C$.

Lời giải

Ta có: $\int {\left( {3{x^2} + 2x + 5} \right)dx = {x^3} + {x^2} + 5x + C} $.

Câu 94: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin x + cosx$.

A. $\cos x + \sin x + C$. B. $\sin 2x + C$.

C. $sinx – cosx + C$. D. $ – \cos x + \sin x + C$.

Lời giải

$\int {\left( {\sin x + \cos x} \right){\rm{d}}x} = – \cos x + \sin x + C$.

Câu 95: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{1 – x\sin x}}{x}.$.

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – \frac{1}{{2{x^2}}} + \cos x + C$. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – \frac{1}{{{x^2}}} + \cos x + C$.

C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \ln \left| x \right| – \cos x + C$. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \ln \left| x \right| + \cos x + C$.

Lời giải

Ta có $\int {\frac{{1 – x\sin x}}{x}{\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{1}{x} – \sin x} \right){\rm{d}}x = \ln \left| x \right| + \cos x + C} $.

Câu 96: Nguyên hàm  $F(x)$của hàm số $f(x) = {x^3} – x + 1$

A. $F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^2}}}{2} + x$ B. $F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^2}}}{2} + x + C$.

C. $F(x) = 3{x^2} – 1$ .D. $F(x) = {x^4} – {x^2} + 1 + C$.

Lời giải

Ta có:

$F(x) = \int {f(x)dx = \int {({x^3} – x + 1)dx = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^2}}}{2} + x + C} } $

Câu 97: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {x + \sin \frac{x}{2}} \right)$.

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{4}{x^2} – \frac{1}{4}\cos \frac{x}{2} + C} $. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{4}{x^2} – \cos \frac{x}{2} + C} $.

C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{4}{x^2} – \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2} + C} $. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = {x^2} + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2} + C} $.

Lời giải

Ta có $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}\int {\left( {x + \sin \frac{x}{2}} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{4}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – 2\cos \frac{x}{2}} \right) + C = \frac{1}{4}{x^2} – \cos \frac{x}{2} + C$.

Câu 98: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3\sqrt x + {x^{2018}}$là

A. $\sqrt x + \frac{{{x^{2019}}}}{{673}} + C$ B. $2\sqrt {{x^3}} + \frac{{{x^{2019}}}}{{2019}} + C$

C. $\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{{x^{2019}}}}{{673}} + C$ D. $\frac{1}{{2\sqrt x }} + 6054{x^{2017}} + C$

Lời giải

Ta có:

$\int {\left( {3\sqrt x + {x^{2018}}} \right){\rm{d}}x} $$ = \int {\left( {3{x^{\frac{1}{2}}} + {x^{2018}}} \right){\rm{d}}x} $$ = 3.\frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^{2019}}}}{{2019}} + C$$ = 2\sqrt {{x^3}} + \frac{{{x^{2019}}}}{{2019}} + C$.

Câu 99: Tính$\int {\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \frac{4}{x}} \right){\rm{d}}x} $.

A. $\frac{3}{5}\sqrt[3]{{{x^5}}} + 4\ln \left| x \right| + C$. B. $\frac{5}{3}\sqrt[3]{{{x^5}}} + 4\ln \left| x \right| + C$.

C. $\frac{3}{5}\sqrt[3]{{{x^5}}} + 4\ln x + C$. D. $\frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + 4\ln \left| x \right| + C$.

Lời giải

Ta có: $\int {\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \frac{4}{x}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{3\sqrt[3]{{{x^5}}}}}{5} + 4\ln \left| x \right| + C$.

Câu 100: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3{x^2} + 2x + 5$ là

A. $F(x) = {x^3} + {x^2} + 5$ B. $F(x) = {x^3} + {x^2} + C$

C. $F(x) = {x^3} + x + C$ D. $F(x) = {x^3} + {x^2} + 5x + C$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\int {(3{x^2} + 2x + 5} ){\rm{dx}} = {x^3} + {x^2} + 5x + C$.

Câu 101: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + 1$ là

A. $\frac{{{x^3}}}{3} + x + C$. B. ${x^3} + x + C$. C. $6x + C$. D. ${x^3} + C$.

Lời giải

$\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {3{x^2} + 1} \right){\rm{d}}x} = {x^3} + x + C$

Câu 102: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x}\left( {1 + {e^{ – x}}} \right)$.

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {e^x} + 1 + C$ B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {e^x} + x + C$

C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – {e^x} + x + C$ D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {e^x} + C$

Lời giải

Ta có: $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = \int {\left( {{e^x} + 1} \right){\rm{d}}x} $$ = {e^x} + x + C$.

 Dạng 05: Hàm phân thức

Câu 103: Tìm $\int {\frac{{6x + 2}}{{3x – 1}}{\rm{d}}x} $.

A. $F\left( x \right) = 2x + \frac{4}{3}\ln \left| {3x – 1} \right| + C$ B. $F\left( x \right) = 2x + 4\ln \left| {3x – 1} \right| + C$

C. $F\left( x \right) = \frac{4}{3}\ln \left| {3x – 1} \right| + C$ D. $F\left( x \right) = 2x + 4\ln \left( {3x – 1} \right) + C$

Lời giải

$\int {\frac{{6x + 2}}{{3x – 1}}{\rm{d}}x} $$ = \int {\left( {2 + \frac{4}{{3x – 1}}} \right){\rm{d}}x} $$ = 2x + \frac{4}{3}\ln \left| {3x – 1} \right| + C$.

Câu 104: Họ nguyên hàm của hàm số $y = {e^{3x + 1}}$ là:

A. $F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x + 1}} + {\rm{ }}C$. B. $F(x) = 3{e^{3x + 1}} + {\rm{ }}C$.

C. $F(x) = 3{e^{3x + 1}}.\ln 3 + {\rm{ }}C$. D. $F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x + 1}}.\ln 3 + {\rm{ }}C$.

Lời giải

$\int {{e^{3x + 1}}} dx = $$\frac{1}{3}{e^{3x + 1}} + {\rm{ }}C$

Câu 105: Nguyên hàm $\int {\frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}{\rm{d}}x} $

A. ${x^2} + \ln \left| {x – 1} \right| + C$. B. $\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x – 1} \right| + C$. C. $1 – \frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} + C$. D. $x + \frac{1}{{x – 1}} + C$.

Lời giải

$\int {\frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}{\rm{d}}x} = \int {\left( {x + \frac{1}{{x – 1}}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x – 1} \right| + C$.

Câu 106: Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 3}}$ là.

A. $\frac{1}{2}\ln \left( {2x + 3} \right) + C$ B. $\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$ C. $\ln \left| {2x + 3} \right| + C$ D. $2\ln \left| {2x + 3} \right| + C$

Lời giải

Ta có: $\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {\frac{1}{{2x + 3}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{2x + 3}}} {\rm{d}}\left( {2x + 3} \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.

Câu 107: Nguyên hàm $\int {\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{\rm{d}}x} $ bằng

A. ${x^2}\sqrt {1 + {x^2}} + C$. B. $\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}} + C$. C. $x\sqrt {1 + {x^2}} + C$. D. $\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{x} + C$.

Lời giải

Kiểm tra ngược bài toán

Xét${\left( {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{x} + C} \right)^\prime } = \frac{{\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} – \sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}} = \frac{{ – 1}}{{{x^2}\sqrt {1 + {x^2}} }}$ loại $\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{x} + C$.

Xét${\left( {x\sqrt {1 + {x^2}} + C} \right)^\prime } = \sqrt {1 + {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$. Vậy$x\sqrt {1 + {x^2}} + C$.

Câu 108: Tìm $\int {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} .$.

A. $x + 2\ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C$. B. $x + 2\ln \left| x \right| – \frac{1}{x} + C$.

C. $x – 2\ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C$. D. $x – 2\ln \left| x \right| – \frac{1}{x} + C$.

Lời giải

Ta có $\int {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = \int {\left( {1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x = x + 2\ln x} – \frac{1}{x} + C$.

 Dạng 06: Hàm lượng giác

Câu 109: Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\tan ^2}x$ và $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1$. Tính $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right)$.

A. $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} – 1$. B. $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{2} – 1$. C. $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = – 1$. D. $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{2} + 1$.

Lời giải

$\int {{{\tan }^2}x{\rm{d}}x} = \int {\left[ {\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) – 1} \right]{\rm{d}}x} = \tan x – x + C$.

Do $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{4} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{\pi }{4} \cdot $

Vậy $F\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \tan \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) – \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} – 1$.

Câu 110: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 2x$.

A. $ – 2\cos 2x + C$. B. $\frac{1}{2}\cos 2x + C$. C. $2\cos 2x + C$. D. $ – \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Lời giải

$\int {\sin 2x{\rm{d}}x} = – \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Câu 111: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \int {\left( {\sin 2x – \cos 3x} \right)} {\rm{d}}x$.

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = – \frac{1}{2}\cos 2x – \frac{1}{3}\sin 3x + C} $. B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = – \cos 2x – \sin 3x + C} $.

C. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \cos 2x + \sin 3x + C} $. D. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\cos 2x – \frac{1}{3}\sin 3x + C} $.

Lời giải

$f\left( x \right) = \int {\left( {\sin 2x – \cos 3x} \right)} {\rm{d}}x = – \frac{1}{2}\cos 2x – \frac{1}{3}\sin 3x + C$.

Câu 112: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin x\cos x$ là:

A. $ – \sin x\cos x$. B. $\frac{1}{4}\cos 2x + C$. C. $ – \frac{1}{4}\cos 2x + C$. D. $\frac{1}{4}\sin 2x + C$.

Lời giải

$\int {\sin x\cos x{\rm{d}}x = \int {\frac{{\sin 2x{\rm{d}}x}}{2} = – \frac{{\cos 2x}}{4} + C} } $.

Câu 113: Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin 3x$ là:

A. $\frac{1}{3}\cos 3x + C$. B. $\cos 3x + C$. C. $ – \frac{1}{3}\cos 3x + C$. D. $ – \cos 3x + C$.

Lời giải

Ta có $\int {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = \int {\sin 3x\,} {\rm{d}}x$$ = – \frac{1}{3}\cos 3x + C$.

Câu 114: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} + {2^x}$ là

A. $F(x) = \ln {x^2} + {2^x}.\ln 2 + C.$ B. $F(x) = \ln {x^2} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$.

C. $F(x) = – \frac{1}{x} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$. D. $F(x) = \frac{1}{x} + {2^x}.\ln 2 + C$.

Lời giải

$\int {(\frac{1}{{{x^2}}} + {2^x}} )dx = $$ – \frac{1}{x} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$

 Dạng 07: Nguyên hàm có điều kiện

Câu 115: Biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{{x – 1}}$ và $F(2) = 1.$ Tính $F(3)$.

A. $F(3) = \ln \frac{3}{2}$. B. $F(3) = \ln 2$. C. $F(3) = \ln 2 + 1$. D. $F(3) = \frac{1}{2}$.

Lời giải

Ta có $F\left( x \right) = \ln \left| {x – 1} \right| + C$.

$F\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow C = 1$$ \Rightarrow F\left( 3 \right) = \ln \left| {3 – 1} \right| + 1 = \ln 2 + 1$.

Câu 116: Cho $F\left( x \right)$là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{6}{{2x + 1}};F\left( 0 \right) = 1$Tính $F\left( 1 \right)$

A. $F\left( 1 \right) = \ln 27 + 1$. B. $F\left( 1 \right) = 3\ln 3 – 1$. C. $F\left( 1 \right) = \ln 3 + 1$. D. $F\left( 1 \right) = 3\ln 3$

Lời giải

Ta có: $F\left( x \right) = \int {\frac{6}{{2x + 1}}dx} = 3\ln \left| {2x + 1} \right| + C$.

$F\left( 0 \right) = 3\ln \left| {2.0 + 1} \right| + 1 + C = 1 \Rightarrow C = 1$.

Suy ra $F\left( x \right) = 3\ln \left| {2x + 1} \right| + 1 \Rightarrow F\left( 1 \right) = 3\ln 3 + 1 = \ln 27 + 1$,

Câu 117: Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}$ và $F\left( 0 \right) = 1$. Tính giá trị của $F\left( 2 \right)$.

A. $F\left( 2 \right) = \frac{{\ln 5}}{2}$. B. $F\left( 2 \right) = 1 + \ln 5$. C. $F\left( 2 \right) = \frac{{\ln 5}}{2} – 1$. D. $F\left( 2 \right) = 1 + \frac{{\ln 5}}{2}$.

Lời giải

Ta có: $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{1}{{2x + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C$.

Do $F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1$. Suy ra $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + 1 \Rightarrow F\left( 2 \right) = 1 + \frac{{\ln 5}}{2}$.

Câu 118: Nếu $f(x) = \int {\sin 2x{\rm{d}}x{\rm{ }}} $ và $f\left( 0 \right) = 1$ thì $f\left( x \right)$ bằng

A. $1 – \frac{{\cos 2x}}{2}$. B. $\cos 2x$. C. $\frac{{1 – \cos 2x}}{2}$. D. $2 – \cos 2x$.

Lời giải

$f(x) = \int {\sin 2x{\rm{d}}x{\rm{ }}} = – \frac{1}{2}{\rm{cos2}}x{\rm{ + C}}$.

$f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{2}$

$ \Rightarrow f(x) = – \frac{1}{2}{\rm{cos2}}x{\rm{ + }}\frac{1}{2}$.

Câu 119: Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x – 1}}$; biết $F\left( 1 \right) = 2$. Tính $F\left( 2 \right)$.

A. $F\left( 2 \right) = \frac{1}{2}\ln 3 + 2$ B. $F\left( 2 \right) = \frac{1}{2}\ln 3 – 2$ C. $F\left( 2 \right) = \ln 3 + 2$ D. $F\left( 2 \right) = 2\ln 3 – 2$

Lời giải

Ta có $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x – 1} \right| + C$; $F\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow C = 2$

$ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x – 1} \right| + 2$$ \Rightarrow F\left( 2 \right) = \frac{1}{2}\ln 3 + 2$.

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

 Dạng 00: Các câu hỏi chưa phân dạng

Câu 120: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = 2\sin x – 3\cos x$.

A. $F\left( x \right) = – 2\cos x – 3\sin x + C$. B. $F\left( x \right) = 2\cos x + 3\sin x + C$.

C. $F\left( x \right) = 2\cos x – 3\sin x + C$. D. $F\left( x \right) = – 2\cos x + 3\sin x + C$.

Lời giải

Ta có $F\left( x \right) = \int {\left( {2\sin x – 3\cos x} \right)} {\kern 1pt} {\rm{d}}x = – 2\cos x – 3\sin x + C$.

Câu 121: Biết $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = {x^2} – 2x + C$. Tìm $\int {f\left( { – x} \right){\rm{d}}x} $?

A. $F\left( x \right) = {x^2} – 2x + C$. B. $F\left( x \right) = {x^2} + 2x + C$.

C. $F\left( x \right) = – {x^2} + 2x + C$. D. $F\left( x \right) = – {x^2} – 2x + C$.

Lời giải

$\int {f\left( { – x} \right){\rm{d}}x} = – \int {f\left( { – x} \right){\rm{d}}\left( { – x} \right)} $$ = – \left[ {{{\left( { – x} \right)}^2} – 2\left( { – x} \right)} \right] + C = – {x^2} – 2x + C$.

Câu 122: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{x} – \frac{2}{{2x + 1}}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

A. $F\left( x \right) = – \ln x + 4\ln \left( {2x + 1} \right) + C$. B. $F\left( x \right) = – \ln x + \ln \left( {2x + 1} \right) + C$.

C. $F\left( x \right) = \ln x – \ln \left( {2x + 1} \right) + C$. D. $F\left( x \right) = \ln x – 4\ln \left( {2x + 1} \right) + C$.

Lời giải

Ta có $\int {\left( {\frac{1}{x} – \frac{2}{{2x + 1}}} \right){\rm{d}}x} $$ = \ln \left| x \right| – 2.\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C$$ = \ln x – \ln \left( {2x + 1} \right) + C$ với $x \in \left( {0; + \infty } \right)$.

Câu 123: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai

A. $\int {2xdx} = {x^2} + C$. B. $\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$.

C. $\int {{e^x}dx} = {e^x} + C$. D. $\int {\sin xdx} = \cos x + C$.

Lời giải

$\int {\sin xdx} = – \cos x + C$$ \Rightarrow $sai.

 Dạng 01: Thể hiện quy tắc đổi biến

Câu 124: Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {(2x + 1)dx} $

A. $I = 5$. B. $I = 6$. C. $I = 2$. D. $I = 4$.

Lời giải

Ta có $I = \int\limits_0^2 {(2x + 1)dx} = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_0^2 = 4 + 2 = 6$.

Câu 125: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = x – \sin 6x$

A. $\int {f(x){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{{\cos 6x}}{6} + C} $. B. $\int {f(x){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} – \frac{{\sin 6x}}{6} + C} $.

C. $\int {f(x){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{\cos 6x}}{6} + C} $. D. $\int {f(x){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{\sin 6x}}{6} + C} $.

Lời giải

$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = \int {\left( {x – \sin 6x} \right){\rm{d}}x} $$ = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{\cos 6x}}{6} + C$.

Câu 126: Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của $\int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {4 + 5{x^2}} }}} {\rm{d}}x$?

A. $\frac{1}{{10}}$. B. $\frac{1}{5}$. C. $\frac{1}{2}$. D. $\frac{1}{3}$.

Lời giải

Ta có: $\int\limits_0^1 {\frac{{x{\rm{d}}x}}{{\sqrt {4 + 5{x^2}} }} = \frac{1}{{10}}\int\limits_0^1 {\frac{{\left( {4 + 5{x^2}} \right)’}}{{\sqrt {4 + 5{x^2}} }}{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{\sqrt {4 + 5{x^2}} }}{5}} \right|} _0^1 = \frac{{3 – 2}}{5} = \frac{1}{5}$.

Vậy $\int\limits_0^1 {\frac{{x{\rm{d}}x}}{{\sqrt {4 + 5{x^2}} }} = \frac{1}{5}} $. Chú ý có thể sử dụng MTCT để ra kết quả nhanh.

Câu 127: Cho hàm số $f,g$ liên tục trên K và $a,b,c$ thuộc K. Công thức nào sau đây sai?

A. $\int\limits_a^b {f(x)dx = } \int\limits_b^a {f(x)dx} $ B. $\int\limits_a^b {f(x)dx + \int\limits_b^c {f(x)dx} = } \int\limits_a^c {f(x)dx} $

C. $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx = } \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_a^b {g(x)dx} $ D. $\int\limits_a^b {kf(x)dx = } k\int\limits_a^b {f(x)dx} $

Lời giải

Câu 128: Nguyên hàm $\int {\frac{{1 + \ln x}}{x}{\rm{d}}x} \,\left( {x > 0} \right)$ bằng

A. $\frac{1}{2}{\ln ^2}x + \ln x + C$ B. $x + {\ln ^2}x + C$ C. ${\ln ^2}x + \ln x + C$ D. $x + \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C$

Lời giải

Ta có $\int {\frac{{1 + \ln x}}{x}{\rm{d}}x} \, = \int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} \, + \int {\frac{{\ln x}}{x}{\rm{d}}x} \,$$ = \int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} + \int {\ln x{\rm{d}}\left( {\ln x} \right)} = \ln x + \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C$.

Câu 129: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là hàm số $F(x).$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\int\limits_a^b {f(x)dx} = f(b) – f(a)$. B. $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(a) – F(b)$.

C. $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(b) + F(a)$. D. $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(b) – F(a).$.

Lời giải

Theo định nghĩa tích phân, ta có: $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(b) – F(a)$.

Câu 130: Tìm $\int {\frac{{\ln x}}{x}{\rm{d}}x} $ có kết quả là.

A. $\frac{{{x^2}}}{2}\left( {\ln x – 1} \right) + C$. B. $\frac{1}{2}{\ln ^2}x + C$. C. $\ln \left| {\ln x} \right| + C$. D. $\ln \frac{{{x^2}}}{2} + C$.

Lời giải

Ta có $\int {\frac{{\ln x}}{x}{\rm{d}}x} = \int {\ln x{\rm{d}}\ln x = \frac{{{{\ln }^2}x}}{2} + C} $.

 Dạng 02: Thể hiện quy tắc nguyên hàm từng phần

Câu 131: Tìm một nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số$f\left( x \right) = \frac{{\ln 2x}}{{{x^2}}}$.

A. $F\left( x \right) = – \frac{1}{x}\left( {1 – \ln 2x} \right)$. B. $F\left( x \right) = – \frac{1}{x}\left( {\ln 2x + 1} \right)$.

C. $F\left( x \right) = – \frac{1}{x}\left( {\ln 2x – 1} \right)$. D. $F\left( x \right) = \frac{1}{x}\left( {\ln 2x + 1} \right)$.

Lời giải

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln 2x\\{\rm{d}}v = \frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \frac{1}{x}{\rm{d}}x\\v = – \frac{1}{x}\end{array} \right.$.

$\int {\frac{{\ln 2x}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = – \frac{{\ln 2x}}{x} + \int {\frac{1}{{{x^2}}}} {\rm{d}}x$$ = – \frac{{\ln 2x}}{x} – \frac{1}{x} + C$$ = – \frac{1}{x}\left( {\ln 2x + 1} \right) + C$.

Chọn $C = 0$ suy ra $F\left( x \right) = – \frac{1}{x}\left( {\ln 2x + 1} \right)$.

Câu 132: Để tính $\int {x\ln \left( {2 + x} \right){\rm{d}}x} $ theo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta đặt:

A. $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\{\rm{d}}v = \ln \left( {2 + x} \right){\rm{d}}x\end{array} \right.$. B. $\left\{ \begin{array}{l}u = x\ln \left( {2 + x} \right)\\{\rm{d}}v = {\rm{d}}x\end{array} \right.$.

C. $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {2 + x} \right)\\{\rm{d}}v = {\rm{d}}x\end{array} \right.$. D. $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {2 + x} \right)\\{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\end{array} \right.$.

Lời giải

Đối với nguyên hàm dạng $\int {P\left( x \right)\ln \left[ {Q\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $ ta đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left[ {Q\left( x \right)} \right]\\{\rm{d}}v = P\left( x \right){\rm{d}}x\end{array} \right.$ để tính theo phương pháp nguyên hàm từng phần.

Vậy

Câu 133: Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1\,,\,\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3$. Khi đó $\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $bằng

A. $2$. B. $1$. C. $3$. D. $4$.

Lời giải

Theo tính chất của tích phân ta có: $\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1 + 3 = 4$.

Vậy $\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4$.

Câu 134: Phát biểu nào sau đây là đúng.

A. $\int {{e^x}\sin x{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} = – {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos x{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} $. B. $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = – {e^x}\cos x – \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} $.

C. $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = {e^x}\cos x – \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} $. D. $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} $.

Lời giải

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^x}\\{\rm{d}}v = \sin x{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = {e^x}{\rm{d}}x\\v = – \cos x\end{array} \right.$. Ta có $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = – {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} $.

Câu 135: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\int {\sin x{\rm{d}}x = \cos x + C} $. B. $\int {2x{\rm{d}}x = {x^2} + C} $.

C. $\int {{e^x}{\rm{d}}x = {e^x} + C} $. D. $\int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x = \ln \left| x \right| + C} $.

Lời giải

$\int {\sin x{\rm{d}}x} = – \cos x + C$

Câu 136: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\int {{{\rm{e}}^x}\sin x{\rm{d}}x} = {{\rm{e}}^x}\cos x – \int {{{\rm{e}}^x}\cos x{\rm{d}}x} $ B. $\int {{{\rm{e}}^x}\sin x{\rm{d}}x} = – {{\rm{e}}^x}\cos x + \int {{{\rm{e}}^x}\cos x{\rm{d}}x} $

C. $\int {{{\rm{e}}^x}\sin x{\rm{d}}x} = {{\rm{e}}^x}\cos x + \int {{{\rm{e}}^x}\cos x{\rm{d}}x} $ D. $\int {{{\rm{e}}^x}\sin x{\rm{d}}x} = – {{\rm{e}}^x}\cos x – \int {{{\rm{e}}^x}\cos x{\rm{d}}x} $

Lời giải

Đặt

$\left\{ \begin{array}{l}u = {{\rm{e}}^x}\\{\rm{d}}v = \sin x{\rm{d}}x\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {e^x}{\rm{d}}x\\v = – \cos x\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \int {{{\rm{e}}^x}\sin x{\rm{d}}x} = – {{\rm{e}}^x}\cos x + \int {{{\rm{e}}^x}\cos x{\rm{d}}x} .$.

Câu 137: Phát biểu nào sau đây là đúng

A. $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = – {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} .$ B. $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = {e^x}\cos x – \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} .$

C. $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} .$ D. $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = – {e^x}\cos x – \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} .$

Lời giải

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^x}\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {e^x}dx\\v = – \cos x\end{array} \right.$. Ta có $\int {{e^x}\sin x{\rm{d}}x} = – {e^x}\cos x + \int {{e^x}\cos x{\rm{d}}x} $

 Dạng 03: Đổi biến t không qua biến đổi

Câu 138: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{x}\left( {2x – \ln x} \right)$ là

A. $2x – \frac{{{{\ln }^2}x}}{2} + C$. B. $2x – \frac{1}{{{x^2}}} + C$. C. $\frac{{2\ln x}}{x} – \frac{1}{x} + C$. D. $2x – \frac{{\ln x}}{x} + C$.

Lời giải

Ta có: $\int {\left[ {\frac{1}{x}\left( {2x – \ln x} \right)} \right]} dx = \int {\left( {2 – \frac{{\ln x}}{x}} \right)} dx = 2x – \int {\frac{{\ln x}}{x}} dx = 2x – \int {\ln xd\left( {\ln x} \right)} = 2x – \frac{{{{\ln }^2}x}}{2} + C$.

Câu 139: Tìm nguyên hàm $\int {x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^9}{\rm{d}}x} $.

A. $\frac{1}{{20}}{\left( {{x^2} + 1} \right)^{10}} + C$. B. $\frac{1}{{10}}{\left( {{x^2} + 1} \right)^{10}} + C$.

C. $ – \frac{1}{{20}}{\left( {{x^2} + 1} \right)^{10}} + C$. D. ${\left( {{x^2} + 1} \right)^{10}} + C$.

Lời giải

$\int {x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^9}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^9}{\rm{d(}}{x^2} + 1) = \frac{1}{{20}}} {\left( {{x^2} + 1} \right)^{10}}$.

 Dạng 06: PP từng phần với

Câu 140: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\int {x\sin x{\rm{d}}x} = – x\cos x + \sin x + C$. B. $\int {x\sin x{\rm{d}}x} = x\cos x + \sin x + C$.

C. $\int {x\sin x{\rm{d}}x} = x\cos x – \sin x + C$. D. $\int {x\sin x{\rm{d}}x} = – x\cos x – \sin x + C$.

Lời giải

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\{\rm{d}}v = \sin x{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\v = – \cos x\end{array} \right.$ nên $\int {x\sin x{\rm{d}}x} = – x\cos x + \int {\cos x{\rm{d}}x} = – x\cos x + \sin x + C$.

 Dạng 07: PP từng phần với

Câu 141: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = \ln x$?

A. $y = \frac{1}{x}$ B. $y = x + x\ln x$ C. $y = \ln x$ D. $y = x\ln x – x$

Lời giải

Đặt $u = \ln x \Rightarrow {\rm{d}}u = \frac{1}{x}{\rm{d}}x$, ${\rm{d}}v = {\rm{d}}x \Rightarrow v = x$

Vậy $\int {\ln x{\rm{d}}x} = x\ln x – \int {1{\rm{d}}x} $$ = x\ln x – x + C$.

Bài trướcChuyên Đề Tìm Nghiệm Của Phương Trình Bất Phương Trình Lôgarit Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Có Đáp Án Và Lời Giải
Bài tiếp theoChuyên Đề Tìm Nguyên Hàm Của Hàm Số Lượng Giác Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Có Đáp Án Và Lời Giải
Nhận thông báo qua email
Thông báo cho
guest

0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments