Chuyên đề tìm số cực tiếu cực đại của hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT 2021 có lời giải và đáp án được phát triển từ câu 5 của đề tham khảo môn Toán năm 2021.
Dạng 5: TÌM SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ TỪ BẢNG DẤU y’
Vấn đề : Tìm Cực trị
A. PHƯƠNG PHÁP:
Đề cho đồ thị hàm số có BBT hoặc bản dấu y’
. Quan sát sự đổi dấu của y’
. Chú ý khi y’ đổi dấu khi vượt qua x0 . Nếu tại x0 không tồn tại y’ thì x0 vẫn là điểm cực trị
B. BÀI TẬP MINH HỌA
Câu 1: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu $f’\left( x \right)$ như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?
Ⓐ. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$. Ⓑ. Hàm số đạt cực đại tại $x = – 3$.
Ⓒ. $x = 1$ là điểm cực trị của hàm số. Ⓓ. Hàm số có hai điểm cực trị.
Lời giải
Chọn B
Bảng biến thiên của hàm số
Dựa theo BBT, ta thấy phương án $B$ sai.
Câu 2: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đạt cực đại tại điểm
Ⓐ. $x = 0$. Ⓑ. $\left( {0;\, – 3} \right)$. Ⓒ. $y = – 3$. Ⓓ. $x = – 3$.
Lời giải
Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực đại tại điểm $x = 0$.
+Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 1 và hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$ nên B sai.
Câu 3: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$
có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào dưới đây sai?
Ⓐ. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3. Ⓑ. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.
Ⓒ. Hàm số có 2 điểm cực tiểu. Ⓓ. Hàm số có ba điểm cực trị.
Lời giải
Chọn B
Ⓐ. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3 (Đúng).
Ⓑ. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 (Sai vì hàm số có giá trị cực đại bằng 3).
Ⓒ. Hàm số có 2 điểm cực tiểu (Đúng).
Ⓓ. Hàm số có ba điểm cực trị (Đúng).
Câu 4: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ⓐ. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Ⓑ. Hàm số đã cho không có cực trị.
Ⓒ. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.
Ⓓ. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {{x_1}} \right\}$.
Vì ${x_1} \notin D$ nên ${x_1}$ không là điểm cực trị của hàm số.
Vì ${x_2} \in D$ và $y’$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ đi qua ${x_2}$ nên ${x_2}$là điểm cực tiểu của hàm số.
Câu 5: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ⓐ. Hàm số $y = f\left( x \right)$ có giá trị cực tiểu bằng 1.
Ⓑ. Hàm số $y = f\left( x \right)$ có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1.
Ⓒ. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x = 0$ và đạt cực tiểu tại $x = 1$.
Ⓓ. Hàm số $y = f\left( x \right)$ có đúng một cực trị.
Lời giải
Chọn C
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x = 0$ và đạt cực tiểu tại $x = 1$.
Hàm số $y = f\left( x \right)$ không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Câu 6: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu $f’\left( x \right)$như sau:
Kết luận nào sau đây đúng
Ⓐ. Hàm số có $4$ điểm cực trị. Ⓑ. Hàm số có $2$ điểm cực đại.
Ⓒ. Hàm số có $2$ điểm cực trị. Ⓓ. Hàm số có $2$ điểm cực tiểu.
Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng xét dấu, ta có:
$f’\left( x \right)$đổi dấu $3$ lần khi qua các điểm $1,3,4$. Suy ra loại phương án Ⓐ.
$f’\left( x \right)$đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm$1,4$và đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $3$. Suy ra hàm số có $2$ điểm cực tiểu.
Câu 7: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$liên tục trên $R$, có đạo hàm trên $R$và có bảng biến thiên như hình vẽ bên.
Khẳng định nào sau đây là sai?
Ⓐ. Hàm số đạt cực tiểu bằng $0$. Ⓑ. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$.
Ⓒ. Hàm số đạt cực đại bằng $3$. Ⓓ. Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$.
Lời giải
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$ ta thấy hàm số $y = f\left( x \right)$đạt cực tiểu tại $x = 2$, giá trị cực tiểu bằng $0$; đạt cực đại tại $x = 1$, giá trị cực đại bằng $3$.
Vậy B sai.
Câu 8: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
Ⓐ. $0$. Ⓑ. $ – 2$. Ⓒ. $ – 1$. Ⓓ. $1$.
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và giá trị cực tiểu là ${y_{CT}} = – 1$.
Câu 9: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số là
Ⓐ. $x = 1$
Ⓑ. $y = 5$
Ⓒ. $y = 2$
Ⓓ. $y = + \infty$
Lời giải
Chọn D
Nhìn bảng biến thiên ta có $y’$
đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x = 1$
suy ra giá trị cực đại của hàm số là $y = y\left( 1 \right) = 5$
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Dạng 04: Đếm số điểm cực trị
Câu 1: Số điểm cực trị của hàm số $y = {\left( {x – 1} \right)^{2023}}$ là
A. $0$. B. $2022$. C. $1$. D. $2023$.
Câu 2: Hàm số nào sau đây không có cực trị?
A. $y = {x^3} – 1$. B. $y = {x^3} + 3{x^2} + 1$. C. $y = {x^3} – x$. D. $y = {x^4} + 3{x^2} + 2$.
Câu 3: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {x + 3} \right)$. Số điểm cực tiểu của hàm số là
A. $1$. B. $2$. C. $3$ . D. $0$.
Câu 4: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = x{\left( {x + 2} \right)^2},\,\forall x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. $3$. B. $0$. C. $2$. D. $1$.
Câu 5: Số điểm cực trị của hàm số $y = {x^3} – 6{x^2} + 5x – 1$ là.
A. $1$. B. $4$ . C. $2$. D. $3$.
Câu 6: Số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = – {x^4} + 2{x^2} + 2$ là
A. $2$ B. $3$ C. $0$ D. $1$
Câu 7:Hàm số $y = \frac{{2x – 5}}{{x + 1}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $2$. B. $1$. C. $0$. D. $3$.
Câu 8: Số điểm cực trị của hàm số $y = \frac{1}{4}{x^5} – 2{x^3} + 6$ là.
A. $2$. B. $0$. C. $1$. D. $3$.
Câu 9: Số điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = {x^4} + 100$ là
A. $1$. B. $3$. C. $0$. D. $2$.
Câu 10: Hàm số $y = {x^4} – 2{x^2} + 2022$ có bao nhiêu cực trị?
A. $1$. B. $4$. C. $3$. D. $2$.
Câu 11: Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
A. $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$. B. $y = {x^4}$. C. $y = – {x^3} + x$. D. $y = \left| x \right|$.
Câu 12: Cho hàm số $y = – {x^4} + 2{x^2} + 3$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu.
B. Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu.
C. Hàm số không có cực đại, chỉ có 1 cực tiểu.
D. Hàm số có 1 cực đại và 1 cực tiểu.
Câu 13: Hàm số $y = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $3$. B. $0$. C. $2$. D. $1$.
Câu 14: Hàm số $y = {x^4} + 3{x^2} – 4$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $1$ B. $3$. C. $0$. D. $2$.
Câu 15: Hàm số $y = {x^4} – 2{x^2} + 1$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $1$. B. $0$. C. $3$. D. $2$.
Câu 16: Hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 3x – 4$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $1$ B. $2$ C. $0$ D. $3$
Câu 17: Cho đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = – {x^3} + 3{x^2} – 5x + 2$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. $\left( C \right)$ không có điểm cực trị. B. $\left( C \right)$ có hai điểm cực trị.
C. $\left( C \right)$ có ba điểm cực trị. D. $\left( C \right)$ có một điểm cực trị.
Câu 18: Số điểm cực trị của hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 4$ là
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 19: Số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{2 – x}}$ là:
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. $3$.
Câu 20: Hàm số $y = {x^3}{\left( {1 – x} \right)^2}$ có
A. Ba điểm cực trị. B. Một điểm cực trị.
C. Không có điểm cực trị. D. Hai điểm cực trị.
Câu 21: Cho hàm số $y = \sqrt 2 {x^4} – \frac{1}{{\sqrt 3 }}{x^2} + 3$. Số điểm cực trị của hàm số là.
A. $1$. B. $2$. C. $0$. D. $3$.
Câu 22: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ.
Hàm số $y = f\left( x \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $4$ B. $1$ C. $2$ D. $3$
Câu 23: Hàm số $y = – {x^4} – 3{x^2} + 1$ có:
A. Một cực tiểu và hai cực đại. B. Một cực đại duy nhất.
C. Một cực tiểu duy nhất. D. Một cực đại và hai cực tiểu.
Câu 24: Hàm số nào sau đây không có cực trị
A. $y = {x^3} + 3{x^2}$. B. $y = {x^3}$. C. $y = {x^4} – 3{x^2} + 2$. D. $y = {x^3} – x$.
Câu 25: Hàm số $y = {x^4} + {x^2} + 1$ có bao nhiêu cực trị?
A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $0$.
Câu 26: Hàm số$y = {x^4} + 2{x^3} – 2022$ có bao nhiêu điểm cực trị:
A. $0$. B. $1$. C. $3$. D. $2$.
Câu 27: Số điểm cực trị của hàm số $y = – 2{x^4} – {x^2} + 5$ là
A. 1. B. 3. C. 2. D. 0.
Câu 28: Cho hàm số $y = – {x^4} + 2017{x^2} – 2018$. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số là
A. $0$. B. $2$. C. $1$. D. $3$.
Câu 29: Hàm số $y = – {x^4} + 4$ có điểm cực đại là
A. $4$ B. $0$ C. $ – \sqrt 2 $ D. $\sqrt 2 $
Câu 30: Số điểm cực trị của hàm số $f\left( x \right) = – {x^4} + 2{x^2} – 3$ là
A. $1$ B. $0$ C. $2$ D. $3$
Câu 31: Cho hàm số $y = {x^4} – 2{x^2} – 3$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị. B. Hàm số chỉ có đúng hai điểm cực trị.
C. Hàm số chỉ có đúng ba điểm cực trị. D. Hàm số không có cực trị.
Câu 32: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f’\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){\left( {x – 2} \right)^2}{\left( {x – 3} \right)^3}$. Hỏi hàm số $f\left( x \right)$ có mấy điểm cực trị?
A. $2$. B. $3$. C. $1$. D. $5$.
Câu 33: Hàm số $y = {x^4} – {x^2} + 1$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $1$. B. $3$. C. $2$. D. $0$.
Câu 34: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {x + 3} \right)$. Số điểm cực tiểu của hàm số là
A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $0$.
Câu 35: Hàm số $y = \frac{{2x – 5}}{{x + 1}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $0$. B. $2$. C. $3$. D. $1$.
Câu 36: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu $f’\left( x \right)$ như sau
Hàm số $y = f\left( x \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. $3$.
Câu 37: Hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $1$. B. $2$. C. $0$. D. $3$.
Câu 38: Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = 2{x^3} – 6x + 1$là
A. $\left( {1; – 3} \right)$ B. ${x_{CD}} = – 1$ C. ${x_{CD}} = 1$ D. $\left( { – 1;5} \right)$
Câu 39: Hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị?
A. $y = \frac{1}{3}{x^3} – 3{x^2} + 7x + 2.$ B. $y = – {x^4} + 2{x^2}.$
C. $y = – {x^4} – 2{x^2} + 1.$ D. $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}.$
Câu 40: Trong các hàm số sau, hàm số nào có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu?
A. $y = {x^4} – {x^2} + 3$. B. $y = – {x^4} – {x^2} + 3$. C. $y = – {x^4} + {x^2} + 3$. D. $y = {x^4} + {x^2} + 3$.
Câu 41: Đồ thị hàm số $y = {x^4} – {x^2} + 1$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 42: Hàm số $y = – {x^4} + 8{x^2} – 7$ có bao nhiêu giá trị cực trị?
A. $3$. B. $1$. C. $0$. D. $2$.
Câu 43: Đồ thị hàm số nào sau đây có $3$ điểm cực trị.
A. $y = – {x^4} – 2{x^2} – 1$. B. $y = {x^4} + 2{x^2} – 1$. C. $y = 2{x^4} + 4{x^2} + 1$.
D. $y = {x^4} – 2{x^2} – 1$.
Câu 44: Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} + x + 1$ có mấy điểm cực trị?.
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. $3$.
Câu 45: Cho hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} – 2{x^2} + 3x + \frac{2}{3}$. Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là.
A. $\left( {1; – 2} \right)$. B. $\left( {1;2} \right)$. C. $\left( { – 1;2} \right)$. D. $\left( {3;\frac{2}{3}} \right)$.
Câu 46: Giá trị cực tiểu${y_{CT}}$ của hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 7$ là
A. ${y_{CT}} = 3$. B. ${y_{CT}} = 0$. C. ${y_{CT}} = 2$. D. ${y_{CT}} = 7$.
Câu 47: Tìm tọa độ điểm cực tiểu $M$ của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x + 2$.
A. $M\left( {1;4} \right)$. B. $M\left( { – 1;0} \right)$. C. $M\left( {1;0} \right)$. D. $M\left( { – 1;4} \right)$.
Câu 48: Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và cực tiểu tại $x = – 2$.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và cực đại tại $x = 0$.
C. Hàm số đạt cực đại tại $x = – 2$ và cực tiểu tại $x = 0$.
D. Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ và cực tiểu tại $x = 0$.
Câu 49: Điểm cực tiểu của hàm số $y = – {x^4} + 5{x^2} – 2$ là
A. $y = 0$. B. $x = – 2$. C. $x = 0$. D. $y = – 2$.
Câu 50: Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = – {x^3} + 3x + 4$ là?
A. $\left( {1;6} \right)$ B. $x = – 1$ C. $x = 1$ D. $\left( { – 1;2} \right)$
Câu 51: Cho hàm số $y = – \frac{2}{3}{x^3} + {x^2} + 1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $B\left( {0;\;1} \right)$. B. Điểm cực tiểu của hàm số là $B\left( {1;\;\frac{4}{3}} \right)$.
C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $B\left( {0;\;1} \right)$. D. Điểm cực đại của hàm số là $B\left( {1;\;\frac{4}{3}} \right)$.
Câu 52: Điểm cực đại của hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ là
A. $x = 0$. B. $x = 2$. C. $y = – 2$. D. $y = 2$.
Câu 53: Hàm số $y = {x^3} – 3x$ đạt cực tiểu tại $x$ bằng?
A. $ – 2$. B. $ – 1$. C. $1$. D. $0$.
Câu 54: Giá trị cực đại của hàm số $y = {x^3} + 2{x^2} + x + 3$ bằng
A. $ – 1$. B. $ – \frac{1}{3}$. C. $3$. D. $\frac{{77}}{{27}}$.
Câu 55: Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = – 2{x^3} + 3{x^2} + 1$ là:
A. $\left( { – 1;\,6} \right)$. B. $\left( {2;\,3} \right)$. C. $\left( {0;\,1} \right)$. D. $\left( {1;\,2} \right)$.
Câu 56: Hàm số$y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ đạt cực trị tại các điểm:
A. $x = \pm 1$
B. $x = 0,x = 2$
C. $x = \pm 2$
D. $x = 0,x = 1$
Câu 57: Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 3x – 1$ có các điểm cực trị là
A. $\left[ \begin{gathered}x = 1 \hfill \\x = 3 \hfill \\\end{gathered} \right.$.
B. $\left[ \begin{gathered}x = – 1 \hfill \\x = 3 \hfill \\\end{gathered} \right.$.
C. $\left[ \begin{gathered}x = – 1 \hfill \\x = – 3 \hfill \\\end{gathered} \right.$.
D. Hàm số không có cực trị.
Câu 58: Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 24x – 26$.
A. $( – 2;26)$. B. $(4; – 10)$. C. $(2; – 54)$. D. $( – 4;54)$.
Câu 59: Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = {x^4} + 3{x^2} – 3$ ?
A. $4$. B. $2$. C. $3$. D. $1.$
Do đây là hàm số trùng phương có $ab > 0$ nên hàm số có 1 cực trị.
Câu 60: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x + 5$ là điểm?
A. $Q\left( {3;{\rm{ }}1} \right)$ . B. $M\left( {1;{\rm{ }}3} \right)$.
C. $P\left( {7; – 1} \right)$. D. $N\left( { – 1;{\rm{ }}7} \right)$.
Câu 61: Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x$ là?
A. $\left( {1;0} \right)$. B. $\left( { – 1;0} \right)$. C. $\left( {1; – 2} \right)$. D. $\left( { – 1;2} \right)$.
Câu 62: Cho hàm số $y = {x^4} + 4{x^2} + 2$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$. B. Hàm số có cực đại và không có cực tiểu.
C. Hàm số có cực đại và cực tiểu. D. Hàm số không có cực trị.
Câu 63: Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + 2$ là
A. $\left( {2;0} \right)$. B. $\left( {0;2} \right)$. C. $( – 2;6)$. D. $\left( { – 2; – 18} \right)$.
Câu 64: Cho hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} – 2{x^2} + 3x + \frac{2}{3}$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số $\left( C \right)$.
A. $\left( {1; – 2} \right)$. B. $\left( {3;\frac{2}{3}} \right)$. C. $\left( { – 1;2} \right)$. D. $\left( {1;2} \right)$.
Câu 65: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x – 1}}$. Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là.
A. $\left( { – 1;1} \right)$. B. $\left( {2;10} \right)$. C. $\left( {3;9} \right)$. D. $\left( { – 3;0} \right)$.
Câu 66: Hàm số $y = {x^3} – 5{x^2} + 3x + 1$ đạt cực trị tại:
A. $\left[ \begin{gathered}x = – 3 \hfill \\x = – \frac{1}{3} \hfill \\\end{gathered} \right.$.
B. $\left[ \begin{gathered}x = 0 \hfill \\x = – \frac{{10}}{3} \hfill \\\end{gathered} \right.$.
C. $\left[ \begin{gathered}x = 3 \hfill \\x = \frac{1}{3} \hfill \\\end{gathered} \right.$.
D. $\left[ \begin{gathered}x = 0 \hfill \\x = \frac{{10}}{3} \hfill \\\end{gathered} \right.$.
Câu 67: Cho hàm số $y = {x^3} – 3x + 5$. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là:
A. $\left( { – 1;7} \right)$. B. $\left( {1;3} \right)$. C. $\left( {7; – 1} \right)$. D. $\left( {3;1} \right)$.
Câu 68: Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
A. $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$. B. $y = {x^4}$. C. $y = – {x^3} + x$. D. $y = \left| x \right|$.
Câu 69: Hàm số $y = {x^4} – {x^2} + 1$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $2$. B. $1$. C. $3$. D. $0$.
Câu 70: Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 1$.
A. $\left( {3;1} \right)$ B. $x = 3$ C. $\left( {1;\frac{7}{3}} \right)$ D. $x = 1$
Câu 71: Tìm điểm cực tiểu của đồ thị $\left( C \right):y = – {x^3} + 3x + 2$.
A. $y = 0$. B. $\left( {1;4} \right)$. C. $\left( { – 1;0} \right)$. D. $x = – 1$.
Câu 72: Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = 2{x^3} – 3{x^2} – 2$ là.
A. $\left( {1; – 3} \right)$. B. $\left( {2;2} \right)$. C. $\left( {0; – 2} \right)$. D. $\left( { – 1; – 7} \right)$.
Câu 73: Hàm số $y = 3{x^2} – 2{x^3}$ đạt cực trị tại
A. ${x_{{\rm{CD}}}} = 1;{x_{{\rm{CT}}}} = 0$. B. ${x_{{\rm{CD}}}} = – 1;{x_{{\rm{CT}}}} = 0$. C. ${x_{{\rm{CD}}}} = 0;{x_{{\rm{CT}}}} = – 1$. D. ${x_{{\rm{CD}}}} = 0;{x_{{\rm{CT}}}} = 1$.
Câu 74: Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x$ là?
A. $\left( {1;0} \right)$. B. $\left( { – 1;0} \right)$. C. $\left( {1; – 2} \right)$. D. $\left( { – 1;2} \right)$.
Câu 75: Hàm số$y = – {x^4} + 2{x^2} – 3$ có điểm cực đại và điểm cực tiểu ${x_{CT}}\,$ là.
A. ${x_{CT}} = \pm 1$, . B. , ${x_{CT}} = 0$.
C. , ${x_{CT}} = 0$. D. ${x_{CT}} = \pm 2$, .
Câu 76: Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 8}}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Điểm cực đại của hàm số $x = 2$. B. Điểm cực tiểu của hàm số là $x = 4$.
C. Giá trị cực tiểu của hàm số là $ – 4$. D. Giá trị cực đại của hàm số là $2$.
Câu 77: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là
A. $x = 1$. B. $x = – 1$. C. $M\left( { – 1;1} \right)$. D. $M\left( {1; – 3} \right)$.
Câu 78: Cho hàm số $y = {x^4} – 4{x^2} + 2$.Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $y = – 2$.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm $x = – \sqrt 2 $ và $x = \sqrt 2 $.
D. Hàm số đạt cực đại tại hai điểm $\left( { – \sqrt 2 ; – 2} \right)$ và $\left( {\sqrt 2 ; – 2} \right)$.
Câu 79: Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2\,$. Đồ thị hàm số có điểm cực đại là
A. $\left( {2;\, – 2} \right)$ B. $\left( {0;\,2} \right)$ C. $\left( {2;\,2} \right)$ D. $\left( {0;\, – 2} \right)$
Câu 80: Tìm cực đại của hàm số $y = – \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} – 1$.
A. $3$. B. $0$. C. $ – 1$. D. $ \pm 2$.
Câu 81: Các điểm cực tiểu của hàm số $y = {x^4} + 3{x^2} + 2$ là
A. $x = 0$. B. $x = – 1$. C. $x = 1$ và $x = 2$. D. $x = 5$.
Câu 82: Giá trị cực tiểu của hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} – 9x + 2$ là
A. $- 20$. B. $7$. C. $- 25$. D. $3$.
Câu 83: Hàm số $y = 2{x^3} – {x^2} + 5$ có điểm cực đại là.
A. $x = \frac{1}{3}$
B. $x = 5$
C. $x = 3$
D. $x = 0$
Câu 84: Hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 1$ đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
A. $x = 0$. B. $x = 2$. C. $x = – 3$. D. $x = 1$.
Câu 85: Cho hàm số $y = {x^4} – \frac{2}{3}{x^3} – {x^2}.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có hai giá trị cực tiểu là $ – \frac{2}{3}$ và $ – \frac{5}{{48}}$.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu là $ – \frac{2}{3}$ và giá trị cực đại là $ – \frac{5}{{48}}$.
C. Hàm số có giá trị cực tiểu là $0$.
D. Hàm số chỉ có một giá trị cực tiểu.
Câu 86: Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x + 2$ là:
A. $N\left( { – 1\,;\,4} \right)$. B. $x = 1$. C. $M\left( {1\,;\,0} \right)$. D. $x = – 1$.
Câu 87: Hàm số $y = {x^4} – 4{x^2} + 4$ đạt cực tiểu tại những điểm nào?
A. $x = \pm \sqrt 2 ,x = 0$. B. $x = – \sqrt 2$. C. $x = \sqrt 2 ,x = 0$. D. $x = \pm \sqrt 2$.
Câu 88: Tìm điểm cực tiểu của hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 1$
A. $x = – 3$ B. $x = 1$ C. $x = 3$ D. $x = – 1$
Câu 89: Cho hàm số $y = – {x^4} – 3{{\rm{x}}^2} + 1$. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Một cực tiểu và cực đại. B. Một cực tiểu duy nhất.
C. Một cực đại và 2 cực tiểu. D. Một cực đại duy nhất.
Câu 90: Hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên sau đây:
Hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại điểm
A. $x = 0$. B. $y = 0$. C. $x = – 1$. D. $y = – 1$.
Câu 91: Đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^4}}}{2} – {x^2} + 3$ có mấy điểm cực trị.
A. $0$. B. $2$. C. $1$ . D. $3$.
Câu 92: Giá trị cực đại của hàm số $y = {x^3} – 3x + 2$ bằng
A. $0$. B. $1$. C. $4$. D. $ – 1$.
Câu 93: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = – {x^4} + 18{x^2} – 1$ là
A. $\left( { – 3;80} \right)$ và $\left( {3;80} \right)$. B. $\left( {0;1} \right)$.
C. $\left( { – 1;0} \right)$. D. $\left( {0; – 1} \right)$.
Câu 94: Điểm cực đại của hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ là
A. $x = 0$. B. $x = 2$. C. $y = – 2$. D. $y = 2$.
Câu 95: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = {x^2}\left( {{x^2} – 1} \right)$. Điểm cực tiểu của hàm số $y = f\left( x \right)$ là
A. $x = 0$. B. $x = – 1$. C. $y = 0$. D. $x = 1$.
Câu 96: Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = 2{x^3} + 3{x^2} + 4$?
A. ${x_{CD}} = – 1,{x_{CT}} = 0$ B. ${y_{CD}} = 5,{y_{CT}} = 4$ C. ${x_{CD}} = 0,{x_{CT}} = – 1$ D. ${y_{CD}} = 4,{y_{CT}} = 5$
Câu 97: Giá trị cực tiểu ${y_{CT}}$ của hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ là
A. ${y_{CT}} = 0$. B. ${y_{CT}} = – 2$. C. ${y_{CT}} = 1$. D. ${y_{CT}} = 4$.
Câu 98: Hàm số $y = {x^3} – 5{x^2} + 7x – 1$ đạt cực đại tại.
A. $x = 1$. B. $x = \frac{7}{3}$. C. $x = – 1$. D. $x = – \frac{7}{3}$.
Câu 99: Hàm số $y = {x^3} – 3x + 2$ có giá trị cực đại bằng
A. $0$. B. $ \Leftrightarrow $. C. $ – 1$. D. $4$.
BẢNG ĐÁP ÁN
| 1.A | 2.A | 3.A | 4.D | 5.C | 6.B | 7.C | 8.A | 9.C | 10.C |
| 11.A | 12.B | 13.B | 14.A | 15.C | 16.C | 17.A | 18.C | 19.A | 20.D |
| 21.D | 22.A | 23.B | 24.B | 25.A | 26.B | 27.A | 28.D | 29.B | 30.D |
| 31.C | 32.A | 33.B | 34.A | 35.A | 36.C | 37.C | 38.D | 39.B | 40.C |
| 41.A | 42.D | 43.D | 44.A | 45.B | 46.A | 47.C | 48.B | 49.C | 50.D |
| 51.A | 52.A | 53.C | 54.C | 55.D | 56.B | 57.C | 58.C | 59.D | 60.B |
| 61.D | 62.A | 63.C | 64.D | 65.A | 66.C | 67.B | 68.A | 69.C | 70.A |
| 71.C | 72.C | 73.A | 74.D | 75.C | 76.A | 77.D | 78.C | 79.B | 80.D |
| 81.A | 82.C | 83.D | 84.A | 85.A | 86.A | 87.D | 88.C | 89.D | 90.A |
| 91.D | 92.C | 93.D | 94.A | 95.D | 96.A | 97.B | 98.A | 99.D |
Hướng dẫn giải
Dạng 04: Đếm số điểm cực trị
Câu 1: Số điểm cực trị của hàm số $y = {\left( {x – 1} \right)^{2023}}$ là
A. $0$. B. $2022$. C. $1$. D. $2023$./h1>
Lời giải
Tập xác định $D = \mathbb{R}$.
Ta có $y’ = 2023{\left( {x – 1} \right)^{2022}} \ge 0,\,\forall x$ nên hàm số không có cực trị.
Câu 2: Hàm số nào sau đây không có cực trị?
A. $y = {x^3} – 1$. B. $y = {x^3} + 3{x^2} + 1$. C. $y = {x^3} – x$. D. $y = {x^4} + 3{x^2} + 2$.
Lời giải
+ Hàm số $y = {x^3} – 1$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$,
Có: $y’ = 3{x^2} \ge 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó hàm số $y = {x^3} – 1$ không có cực trị. Vậy đúng.
+ Hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + 1$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$.
Có: $y’ = 3{x^2} + 6x$; $y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 2\end{array} \right.$.
Quan sát dấu của $y’$ ta thấy hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + 1$ có hai cực trị. Vậy sai.
+ Hàm số $y = {x^3} – x$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$.
Có: $y’ = 3{x^2} – 1$; $y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\x = – \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.$.
Quan sát dấu của $y’$ ta thấy hàm số $y = {x^3} – x$ có hai cực trị. Vậy sai.
+ Hàm số $y = {x^4} + 3{x^2} + 2$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$.
Có: $y’ = 4{x^3} + 6x = 2x\left( {2{x^2} + 3} \right)$; $y’ = 0 \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0.$
Quan sát dấu của $y’$ ta thấy hàm số $y = {x^4} + 3{x^2} + 2$ có một cực trị. Vậy sai.
Câu 3: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. có đạo hàm ..$f’\left( x \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {x + 3} \right)$. Số điểm cực tiểu của hàm số là
A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $0$.
Lời giải
Ta có $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 3\end{array} \right.$.
Bảng xét dấu của $f’\left( x \right)$
Số điểm cực tiểu của hàm số là $1$.
Câu 4: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = x{\left( {x + 2} \right)^2},\,\forall x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. $3$. B. $0$. C. $2$. D. $1$.
Lời giải
Ta có: $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = – 2\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có một điểm cực trị.
Câu 5: Số điểm cực trị của hàm số $y = {x^3} – 6{x^2} + 5x – 1$ là.
A. $1$. B. $4$. C. $2$. D. $3$.
Lời giải
Ta có $y’ = 3{x^2} – 12x + 5$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{6 – \sqrt {21} }}{3}\\{x_2} = \frac{{6 + \sqrt {21} }}{3}\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên.
Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.
Câu 6: Số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = – {x^4} + 2{x^2} + 2$ là
A. $2$ B. $3$ C. $0$ D. $1$
Lời giải
Ta có $y’ = – 4{x^3} + 4x$.
$y’ = 0$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0{\rm{ }}}\\{x = – 1}\\{x = 1{\rm{ }}}\end{array}} \right.$.
Bảng xét dấu
Vậy đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị.
Câu 7: Hàm số $y = \frac{{2x – 5}}{{x + 1}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $2$. B. $1$. C. $0$. D. $3$.
Lời giải
Ta có:
$y’ = {\left( {\frac{{2x – 5}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{7}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne – 1$.
Do đó hàm số không có điểm cực trị.
Câu 8: Số điểm cực trị của hàm số $y = \frac{1}{4}{x^5} – 2{x^3} + 6$ là.
A. $2$. B. $0$. C. $1$. D. $3$.
Lời giải
TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Ta có $y’ = \frac{5}{4}{x^4} – 6{x^2}$.
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{5}{4}{x^4} – 6{x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {\frac{5}{4}{x^2} – 6} \right) = 0$. Hàm số có 2 cực trị.
Câu 9: Số điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = {x^4} + 100$ là
A. $1$. B. $3$. C. $0$. D. $2$.
Lời giải
Tập xác định $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm $y’ = 4{x^3}$, nên $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Phương trình $y’ = 0$ có 1 nghiệm lại có hệ số $a = 1 > 0$ nên lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Câu 10: Hàm số $y = {x^4} – 2{x^2} + 2017$ có bao nhiêu cực trị?
A. $1$. B. $4$. C. $3$. D. $2$.
Cách 1: Ta có hàm số bậc bốn trùng phương $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ có $a.c < 0$ nên $y’ = 0$ có ba nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số đã cho có ba cực trị.
Cách 2: Ta có $y = {x^4} – 2{x^2} + 2017 \Rightarrow y’ = 4{x^3} – 4x \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow x = \left\{ {0; \pm 1} \right\}$.
Hàm số bậc bốn trùng phương $y’ = 0$ có ba nghiệm phân biệt nên có ba cực trị.
Câu 11: Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
A. $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$. B. $y = {x^4}$. C. $y = – {x^3} + x$. D. $y = \left| x \right|$.
Lời giải
Xét hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$ ta có $y’ = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0$với $x \ne – 1$ nên hàm số không có cực trị.
Câu 12: Cho hàm số $y = – {x^4} + 2{x^2} + 3$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu.
B. Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu.
C. Hàm số không có cực đại, chỉ có 1 cực tiểu.
D. Hàm số có 1 cực đại và 1 cực tiểu.
Lời giải
Có $y’ = – 4{x^3} + 4x$, $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = – 1\end{array} \right.$
Vì hàm số là hàm trùng phương có hệ số $a < 0$ và phương trình $y’ = 0$ có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu.
Câu 13: Hàm số $y = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $3$. B. $0$. C. $2$. D. $1$.
Lời giải
Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}$.
$y’ = \frac{{ – 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0$$,\forall x \ne – 1$suy ra hàm số không có điểm cực trị.
Câu 14: Hàm số $y = {x^4} + 3{x^2} – 4$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $1$. B. $3$. C. $0$. D. $2$.
Lời giải
Ta có $y’ = 4{x^3} + 6x$; $y’ = 0$$ \Leftrightarrow x = 0$.
$y” = 12{x^2} + 6$ $ \Rightarrow y”\left( 0 \right) = 6 > 0$.
Vậy hàm số có $1$ điểm cực trị.
Câu 15: Hàm số $y = {x^4} – 2{x^2} + 1$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $1$. B. $0$. C. $3$. D. $2$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 4{x^3} – 4x$.
$y’ = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
Do đó hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 16: Hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 3x – 4$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $1$ B. $2$ C. $0$ D. $3$
Lời giải
Ta có $y’ = 3{x^2} – 6x + 3 = 3{\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho có đạo hàm không đổi dấu trên $\mathbb{R}$ nên nó không có cực trị.
Câu 17: Cho đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = – {x^3} + 3{x^2} – 5x + 2$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. $\left( C \right)$ không có điểm cực trị. B. $\left( C \right)$ có hai điểm cực trị.
C. $\left( C \right)$ có ba điểm cực trị. D. $\left( C \right)$ có một điểm cực trị.
Lời giải
Tập xác định $D = \mathbb{R}$.
Ta có: $y’ = – 3{x^2} + 6x – 5$$ = – 3{\left( {x – 1} \right)^2} – 2$$ \le 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$.
Vì đạo hàm của hàm số không đổi dấu trên $\mathbb{R}$ nên đồ thị hàm số không có điểm cực trị.
Câu 18: Số điểm cực trị của hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 4$ là
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
Ta có: $y’ = {x^2} – 4x$.
$y’ = 0$$ \Leftrightarrow $${x^2} – 4x = 0$$ \Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 0\end{array} \right.$.
Suy ra số điểm cực trị của hàm số là 2.
Câu 19: Số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{2 – x}}$ là:
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. $3$.
Lời giải
Câu 20: Hàm số $y = {x^3}{\left( {1 – x} \right)^2}$ có
A. Ba điểm cực trị. B. Một điểm cực trị.
C. Không có điểm cực trị. D. Hai điểm cực trị.
Lời giải
Ta có : $y = {x^3}{\left( {1 – x} \right)^2} \Rightarrow y’ = 3{x^2}{\left( {1 – x} \right)^2} – 2{x^3}\left( {1 – x} \right) = {x^2}\left( {1 – x} \right)\left( {3 – 5x} \right)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {1 – x} \right)\left( {3 – 5x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\1 – x = 0\\3 – 5x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {{\rm{nghie\”a m}}\,\,{\rm{ke\`u p}}} \right)\\x = 1\\x = \frac{3}{5}\end{array} \right.$.
Vậy hàm số có hai cực trị.
Câu 21: Cho hàm số $y = \sqrt 2 {x^4} – \frac{1}{{\sqrt 3 }}{x^2} + 3$. Số điểm cực trị của hàm số là.
A. $1$. B. $2$. C. $0$. D. $3$.
Lời giải
Hàm số $y = \sqrt 2 {x^4} – \frac{1}{{\sqrt 3 }}{x^2} + 3$là hàm bậc 4 trùng phương có $a.b < 0$ nên có 3 cực trị.
Câu 22: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ.
Hàm số $y = f\left( x \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $4$ B. $1$ C. $2$ D. $3$
Lời giải
Số điểm cực trị của hàm số bằng số lần đổi dấu của đạo hàm.
Mặt khác do hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số có 4 điểm cực trị ($x = 0$vẫn là một điểm cực trị của hàm số dù đạo hàm không xác định).
Câu 23: Hàm số $y = – {x^4} – 3{x^2} + 1$ có:
A. Một cực tiểu và hai cực đại. B. Một cực đại duy nhất.
C. Một cực tiểu duy nhất. D. Một cực đại và hai cực tiểu.
Lời giải
Đạo hàm $y’ = – 4{x^3} – 6x = – x\left( {4{x^2} + 6} \right);y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0.$.
Vẽ phác họa bảng biến thiên và kết luận được hàm số có một cực đại duy nhất.
Câu 24: Hàm số nào sau đây không có cực trị
A. $y = {x^3} + 3{x^2}$. B. $y = {x^3}$. C. $y = {x^4} – 3{x^2} + 2$. D. $y = {x^3} – x$.
Lời giải
Xét phương án A: $y = {x^3} + 3{x^2} \Rightarrow y’ = 3{x^2} + 6x$.
Do $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 2\end{array} \right.$ và $y’$ đổi dấu khi $x$ qua hai nghiệm này nên hàm số có $2$ điểm cực trị.
Do đó loại phương án
Xét phương án B: $y = {x^3} \Rightarrow y’ = 3{x^2} \ge 0,\;\forall x \in \mathbb{R}$ nên hàm số không có cực trị.
Chọn phương án
B.
Xét phương án C: $y = {x^4} – 3{x^2} + 2 \Rightarrow y’ = 4{x^3} – 6x$.
Do $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.$ và $y’$ đổi dấu khi $x$ qua ba nghiệm này nên hàm số có $3$ điểm cực trị. Do đó loại phương án
C.
Xét phương án D: $y = {x^3} – x \Rightarrow y’ = 3{x^2} – 1$.
Do $y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}$, và $y’$ đổi dấu khi $x$ qua hai nghiệm này nên hàm số có $2$ điểm cực trị. Do đó loại phương án
D.
Câu 25: Hàm số $y = {x^4} + {x^2} + 1$ có bao nhiêu cực trị?
A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $0$.
Lời giải
Ta có $y’ = 4{x^3} + 2x = 4x\left( {2{x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$.
Và $y’$ đổi dấu khi đi qua $x = 0$ nên hàm số chỉ có 1 cực trị.
Câu 26: Hàm số$y = {x^4} + 2{x^3} – 2019$ có bao nhiêu điểm cực trị:
A. $0$. B. $1$. C. $3$. D. $2$.
Lờigiải
TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
Ta có: $y’ = 4{x^3} + 6{x^2};y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + 6{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = – \frac{3}{2}}\end{array}} \right.$
Bảng xét dấu $y’$:
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = – \frac{3}{2}$; tại $x = 0$ thì $y’$ không đổi dấu nên hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.
Câu 27: Số điểm cực trị của hàm số $y = – 2{x^4} – {x^2} + 5$ là
A. 1. B. 3. C. 2. D. 0.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
Ta có $y’ = – 8{x^3} – 2x$.
$y’ = 0$$ \Leftrightarrow – 8{x^3} – 2x = 0$$ \Leftrightarrow – 2x\left( {4{x^2} + 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow x = 0$.
Do $x = 0$ là nghiệm đơn nên đạo hàm đổi dấu khi qua $x = 0$.
Vậy hàm số trên có 1 điểm cực trị.
* Cách khác: hàm số có $a = – 2$, $b = – 1$ do đó $a,b$ cùng dấu nên hàm số có 1 điểm cực trị.
Câu 28: Cho hàm số $y = – {x^4} + 2017{x^2} – 2018$. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số là
A. $0$. B. $2$. C. $1$. D. $3$.
Lời giải
Hàm số đã cho là hàm trùng phương có $ab < 0$ nên đồ thị của nó có $3$ điểm cực trị.
Câu 29: Hàm số $y = – {x^4} + 4$ có điểm cực đại là
A. $4$ B. $0$ C. $ – \sqrt 2 $ D. $\sqrt 2 $
Lời giải
Tập xác định $D = \mathbb{R}$.
$y’ = – 4{x^3}$; $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số có điểm cực đại là $x = 0$
Câu 30: Số điểm cực trị của hàm số $f\left( x \right) = – {x^4} + 2{x^2} – 3$ là
A. $1$ B. $0$ C. $2$ D. $3$
Lời giải
$y = f\left( x \right) = – {x^4} + 2{x^2} – 3$.
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Ta có: $y’ = – 4{x^3} + 4x$; $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.$
Bảng biến thiên:
Vậy: Hàm số có $3$ điểm cực trị.
Câu 31: Cho hàm số $y = {x^4} – 2{x^2} – 3$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị. B. Hàm số chỉ có đúng hai điểm cực trị.
C. Hàm số chỉ có đúng ba điểm cực trị. D. Hàm số không có cực trị.
Lời giải
Ta có: $y’ = 4{x^3} – 4x = 4x\left( {{x^2} – 1} \right)$
$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.$
Vì $y’$ đổi dấu ba lần nên hàm số có đúng $3$ điểm cực trị.
Câu 32: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f’\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){\left( {x – 2} \right)^2}{\left( {x – 3} \right)^3}$. Hỏi hàm số $f\left( x \right)$ có mấy điểm cực trị?
A. $2$. B. $3$. C. $1$. D. $5$.
Lời giải
Ta có $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.$
Bảng biến thiên
Do đó hàm số $f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị.
Câu 33: Hàm số $y = \frac{{2x – 5}}{{x + 1}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $1$. B. $3$. C. $2$. D. $0$.
Lời giải
Ta có: $y’ = 4{x^3} – 2x$;$y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$. Nên hàm số có $3$ điểm cực trị.
Câu 34: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {x + 3} \right)$. Số điểm cực tiểu của hàm số là
A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $0$.
Lời giải
Ta có $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 3\end{array} \right.$.
Bảng xét dấu của $f’\left( x \right)$
Số điểm cực tiểu của hàm số là $1$.
Câu 35: Hàm số $y = \frac{{2x – 5}}{{x + 1}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $0$. B. $2$. C. $3$. D. $1$.
Lời giải
Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}$. Đạo hàm: $y’ = \frac{7}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,,\,\,\forall x \in D$.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định nên đồ thị không có điểm cực trị nào.
Câu 36: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu $f’\left( x \right)$ như sau
Hàm số $y = f\left( x \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. $3$.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số $y = f\left( x \right)$ có $2$ điểm cực trị.
Câu 37: Hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $1$. B. $2$. C. $0$. D. $3$.
Lời giải
Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.
Ta có $y’ = \frac{{ – 1}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D$.
Do đó hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định và không có cực trị.
Câu 38: Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = 2{x^3} – 6x + 1$ là
A. $\left( {1; – 3} \right)$ B. ${x_{CD}} = – 1$ C. ${x_{CD}} = 1$ D. $\left( { – 1;5} \right)$
Lời giải
Ta có:
$\begin{array}{l}y’ = 6{x^2} – 6 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.\\y” = 12x,\,y”\left( { – 1} \right) = – 12 < 0,y”\left( 1 \right) = 12 > 0\end{array}$
Nên điểm cực đại của đồ thị hàm số là $x = – 1$.
Câu 39: Hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị?
A. $y = \frac{1}{3}{x^3} – 3{x^2} + 7x + 2.$ B. $y = – {x^4} + 2{x^2}.$
C. $y = – {x^4} – 2{x^2} + 1.$ D. $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}.$
Lời giải
Hàm số có ba cực trị nên ta loại đáp án A và D
Xét đáp án C
$y’ = – 4{x^3} – 4x$
$y’ = 0 \Leftrightarrow – 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Đạo hàm có một nghiệm đơn nên đổi dấu một lần qua nghiệm $x = 0$ nên hàm số có 1 cực trị.
Loại đáp án C
Câu 40: Trong các hàm số sau, hàm số nào có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu?
A. $y = {x^4} – {x^2} + 3$. B. $y = – {x^4} – {x^2} + 3$. C. $y = – {x^4} + {x^2} + 3$. D. $y = {x^4} + {x^2} + 3$.
Lời giải
Hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ ($a \ne 0$) có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\ab < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\b > 0\end{array} \right.$. Do đó chọn
C.
Câu 41: Đồ thị hàm số $y = {x^4} – {x^2} + 1$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Lời giải
Ta có: $a = 1,b = – 1 \Rightarrow ab < 0.$
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Câu 42: Hàm số $y = – {x^4} + 8{x^2} – 7$ có bao nhiêu giá trị cực trị?
A. $3$. B. $1$. C. $0$. D. $2$.
Lời giải
Ta có: $y’ = – 4{x^3} + 16x \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0,y = – 7\\x = \pm 2,y = 9\end{array} \right.$.
Hàm số đạt cực đại bằng 9 tại điểm $x = \pm 2$, hàm số đạt cực tiểu bằng $ – 7$ tại điểm $x = 0$.
Suy ra hàm số có hai giá trị cực trị là ${y_{CD}} = 9,{y_{CT}} = – 7$.
Câu 43: Đồ thị hàm số nào sau đây có $3$ điểm cực trị.
A. $y = – {x^4} – 2{x^2} – 1$. B. $y = {x^4} + 2{x^2} – 1$. C. $y = 2{x^4} + 4{x^2} + 1$. D. $y = {x^4} – 2{x^2} – 1$.
Lời giải
Lưu ý hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)$ có ba cực trị khi $ – \frac{b}{a} > 0$.
Hàm số $y = {x^4} – 2{x^2} – 1$ có $ – \frac{b}{a} = – \frac{{ – 2}}{1} = 2 > 0$.
Câu 44: Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} + x + 1$ có mấy điểm cực trị?.
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. $3$.
Lời giải
TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
Ta có $y’ = {x^2} – 2x + 1 = {\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra hàm số không có cực trị.
Dạng 06: Tìm cực trị, điểm cực trị
Câu 45: Cho hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} – 2{x^2} + 3x + \frac{2}{3}$. Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là.
A. $\left( {1; – 2} \right)$. B. $\left( {1;2} \right)$. C. $\left( { – 1;2} \right)$. D. $\left( {3;\frac{2}{3}} \right)$.
Lời giải
Ta có: $y’ = {x^2} – 4x + 3 = 0 \Rightarrow x = 1;x = 3$.
Bảng biến thiên:
Câu 46: Giá trị cực tiểu${y_{CT}}$ của hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 7$ là
A. ${y_{CT}} = 3$. B. ${y_{CT}} = 0$. C. ${y_{CT}} = 2$. D. ${y_{CT}} = 7$.
Lời giải
Ta có tập xác định $D = \mathbb{R}$.
$y’ = 3{x^2} – 6x$, $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.
Ta có $y\left( 0 \right) = 7;\,$$y\left( 2 \right) = 3$. Do đó ${y_{CT}} = 3$ khi $x = 2$.
Câu 47: Tìm tọa độ điểm cực tiểu $M$ của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x + 2$.
A. $M\left( {1;4} \right)$. B. $M\left( { – 1;0} \right)$. C. $M\left( {1;0} \right)$. D. $M\left( { – 1;4} \right)$.
Lời giải
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$, vì hệ số của ${x^3}$ dương nên cực tiểu ứng với nghiệm lớn hơn của$y’$, điểm đó là $\left( {1;0} \right)$.
Câu 48: Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và cực tiểu tại $x = – 2$.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và cực đại tại $x = 0$.
C. Hàm số đạt cực đại tại $x = – 2$ và cực tiểu tại $x = 0$.
D. Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ và cực tiểu tại $x = 0$.
Lời giải
+ TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
+ $y’ = 3{x^2} – 6x$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$
+ BBT:
Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và cực tiểu tại $x = 2$.
Câu 49: Điểm cực tiểu của hàm số $y = – {x^4} + 5{x^2} – 2$ là
A. $y = 0$. B. $x = – 2$. C. $x = 0$. D. $y = – 2$.
Lời giải
Ta có $y’ = – 4{x^3} + 10x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt {\frac{5}{2}} \end{array} \right.$.
Lại có $y” = – 12{x^2} + 10$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y”\left( 0 \right) = 10 > 0\\y”\left( { \pm \sqrt {\frac{5}{2}} } \right) = – 20 < 0\end{array} \right.$$ \Rightarrow $ hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$.
Câu 50: Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = – {x^3} + 3x + 4$ là?
A. $\left( {1;6} \right)$ B. $x = – 1$ C. $x = 1$ D. $\left( { – 1;2} \right)$
Lời giải
$\begin{array}{l}y’ = – 3{x^2} + 3 = 0 \Rightarrow x = – 1;x = 1\\y” = – 6x\end{array}$
$y”( – 1) = 6 > 0$
Câu 51: Cho hàm số $y = – \frac{2}{3}{x^3} + {x^2} + 1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $B\left( {0;\;1} \right)$. B. Điểm cực tiểu của hàm số là $B\left( {1;\;\frac{4}{3}} \right)$.
C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $B\left( {0;\;1} \right)$. D. Điểm cực đại của hàm số là $B\left( {1;\;\frac{4}{3}} \right)$.
Lời giải
Xét hàm số $y = – \frac{2}{3}{x^3} + {x^2} + 1$ có tập xác định là $D = \mathbb{R}$.
Ta có $y’ = – 2{x^2} + 2x$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow y = 1}\\{x = 1 \Rightarrow y = \frac{4}{3}}\end{array}} \right.$.
Bảng biến thiên:
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $B\left( {0;\;1} \right)$.
Câu 52: Điểm cực đại của hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ là
A. $x = 0$. B. $x = 2$. C. $y = – 2$. D. $y = 2$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Ta có $y’ = 3{x^2} – 6x$, $y” = 6x – 6$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.
$y”\left( 0 \right) < 0$, $y”\left( 2 \right) > 0$.
Vậy $x = 0$ là điểm cực đại của hàm số.
Câu 53: Hàm số $y = {x^3} – 3x$ đạt cực tiểu tại $x$ bằng?
A. $ – 2$. B. $ – 1$. C. $1$. D. $0$.
Lời giải
Ta có: $y’ = 3{x^2} – 3 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$.
Câu 54: Giá trị cực đại của hàm số $y = {x^3} + 2{x^2} + x + 3$ bằng
A. $ – 1$. B. $ – \frac{1}{3}$. C. $3$. D. $\frac{{77}}{{27}}$.
Lời giải
$y’ = 3{x^2} + 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = – \frac{1}{3}\end{array} \right.$.
$y” = 6x + 4$.
Ta có: $y”\left( { – 1} \right) = – 2 < 0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x = – 1$ .
Câu 55: Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = – 2{x^3} + 3{x^2} + 1$ là:
A. $\left( { – 1;\,6} \right)$. B. $\left( {2;\,3} \right)$. C. $\left( {0;\,1} \right)$. D. $\left( {1;\,2} \right)$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
$y’ = – 6{x^2} + 6x$; $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
.
Vậy điểm cực đại là $\left( {1;\,2} \right)$.
Câu 56: Hàm số$y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ đạt cực trị tại các điểm:
A. $x = \pm 1$ B. $x = 0,x = 2$ C. $x = \pm 2$ D. $x = 0,x = 1$
Lời giải
$y’ = 3{x^2} – 6x$, $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.
Vậy hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ đạt cực trị tại điểm $x = 0,x = 2$.
Câu 57: Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 3x – 1$ có các điểm cực trị là
A. $\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$. B. $\left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 3\end{array} \right.$.
C. $\left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = – 3\end{array} \right.$. D. Hàm số không có cực trị.
Lời giải
Ta có $y’ = {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = – 3\end{array} \right.$. Chọn đáp án
C.
Câu 58: Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 24x – 26$.
A. $( – 2;26)$. B. $(4; – 10)$. C. $(2; – 54)$. D. $( – 4;54)$.
Lời giải
$y = {x^3} + 3{x^2} – 24x – 26$$ \Rightarrow y’ = 3{x^2} + 6x – 24$
$y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x – 24 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = – 4\end{array} \right.$.
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ $ \Rightarrow y = – 54$.
Câu 59: Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = {x^4} + 3{x^2} – 3$?
A. $4$. B. $2$. C. $3$. D. $1.$
Do đây là hàm số trùng phương có $ab > 0$ nên hàm số có 1 cực trị.
Câu 60: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x + 5$ là điểm?
A. $Q\left( {3;{\rm{ }}1} \right)$. B. $M\left( {1;{\rm{ }}3} \right)$. C. $P\left( {7; – 1} \right)$. D. $N\left( { – 1;{\rm{ }}7} \right)$.
Lời giải
Ta có $y’ = 3{x^2} – 3 \Rightarrow y” = 6x$.
Khi đó $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y”\left( 1 \right) = 6 > 0\\x = – 1 \Rightarrow y”\left( { – 1} \right) = – 6 < 0\end{array} \right.$
$ \Rightarrow $ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và hàm số đạt cực đại tại $x = – 1$.
Với $x = 1 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow $ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x + 5$ là $M\left( {1;{\rm{ }}3} \right)$.
Câu 61: Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x$ là?
A. $\left( {1;0} \right)$. B. $\left( { – 1;0} \right)$. C. $\left( {1; – 2} \right)$. D. $\left( { – 1;2} \right)$.
Lời giải
$y’ = 3{x^2} – 3$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên.
.
Suy ra điểm cực đại là $\left( { – 1;2} \right).$.
Câu 62: Cho hàm số $y = {x^4} + 4{x^2} + 2$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$. B. Hàm số có cực đại và không có cực tiểu.
C. Hàm số có cực đại và cực tiểu. D. Hàm số không có cực trị.
Lời giải
Ta có $y’ = 4{x^3} + 8x$$ \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$.
Lập bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$.
Câu 63: Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + 2$ là
A. $\left( {2;0} \right)$. B. $\left( {0;2} \right)$. C. $( – 2;6)$. D. $\left( { – 2; – 18} \right)$.
Lời giải
Ta có $y’ = 3{x^2} + 6x$. Khi đó: $y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 2\end{array} \right.$
Ta có bảng biến thiên:
Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ là $\left( { – 2;\,6} \right)$.
Câu 64: Cho hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} – 2{x^2} + 3x + \frac{2}{3}$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số $\left( C \right)$.
A. $\left( {1; – 2} \right)$. B. $\left( {3;\frac{2}{3}} \right)$. C. $\left( { – 1;2} \right)$. D. $\left( {1;2} \right)$.
Lời giải
$y’ = {x^2} – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 1 \Rightarrow y = 2$.
Câu 65: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x – 1}}$. Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là.
A. $\left( { – 1;1} \right)$. B. $\left( {2;10} \right)$. C. $\left( {3;9} \right)$. D. $\left( { – 3;0} \right)$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{{{x^2} – 2x – 3}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}$; $y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 3\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là $\left( { – 1;1} \right)$.
Câu 66: Hàm số $y = {x^3} – 5{x^2} + 3x + 1$ đạt cực trị tại:
A. $\left[ \begin{array}{l}x = – 3\\x = – \frac{1}{3}\end{array} \right.$. B. $\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – \frac{{10}}{3}\end{array} \right.$. C. $\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \frac{1}{3}\end{array} \right.$. D. $\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{10}}{3}\end{array} \right.$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Ta có: $y’ = 3{x^2} – 10x + 3$.
Hàm số đạt cực trị khi: $y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \vee x = \frac{1}{3}$.
Câu 67: Cho hàm số $y = {x^3} – 3x + 5$. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là:
A. $\left( { – 1;7} \right)$. B. $\left( {1;3} \right)$. C. $\left( {7; – 1} \right)$. D. $\left( {3;1} \right)$.
Lời giải
Câu 68: Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
A. $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$. B. $y = {x^4}$. C. $y = – {x^3} + x$. D. $y = \left| x \right|$.
Lời giải
Xét hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$ ta có $y’ = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0$với $x \ne – 1$ nên hàm số không có cực trị.
Câu 69: Hàm số $y = {x^4} – {x^2} + 1$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $2$. B. $1$. C. $3$. D. $0$.
Lời giải
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\b = – 1 < 0\end{array} \right.$ nên hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 70: Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 1$.
A. $\left( {3;1} \right)$ B. $x = 3$ C. $\left( {1;\frac{7}{3}} \right)$ D. $x = 1$
Lời giải
$y’ = {x^2} – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$.
Lập bảng biến thiên:
Dựa vào BBT suy ra, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $\left( {3;1} \right)$.
Câu 71: Tìm điểm cực tiểu của đồ thị $\left( C \right):y = – {x^3} + 3x + 2$.
A. $y = 0$. B. $\left( {1;4} \right)$. C. $\left( { – 1;0} \right)$. D. $x = – 1$.
Lời giải
Ta có: $y’ = – 3{x^2} + 3$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow – 3{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = – 1}\end{array}} \right..$.
Vì hệ số $a < 0$ nên ${x_{CT}} = – 1 \Rightarrow {y_{CT}} = 0.$.
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $\left( { – 1;0} \right)$.
Câu 72: Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = 2{x^3} – 3{x^2} – 2$ là.
A. $\left( {1; – 3} \right)$. B. $\left( {2;2} \right)$. C. $\left( {0; – 2} \right)$. D. $\left( { – 1; – 7} \right)$.
Lời giải
Đạo hàm $y’ = 6{x^2} – 6x$; $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 1$.
Giá trị cực đại $y(0) = – 2$.
Câu 73: Hàm số $y = 3{x^2} – 2{x^3}$ đạt cực trị tại
A. ${x_{{\rm{CD}}}} = 1;{x_{{\rm{CT}}}} = 0$. B. ${x_{{\rm{CD}}}} = – 1;{x_{{\rm{CT}}}} = 0$. C. ${x_{{\rm{CD}}}} = 0;{x_{{\rm{CT}}}} = – 1$. D. ${x_{{\rm{CD}}}} = 0;{x_{{\rm{CT}}}} = 1$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 6x – 6{x^2}$; $y’ = 0 \Leftrightarrow 6x – 6{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = 1$, đạt cực tiểu tại $x = 0$.
Câu 74: Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x$ là?
A. $\left( {1;0} \right)$. B. $\left( { – 1;0} \right)$. C. $\left( {1; – 2} \right)$. D. $\left( { – 1;2} \right)$.
Lời giải
$y’ = 3{x^2} – 3$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên.
Suy ra điểm cực đại là $\left( { – 1;2} \right).$.
Câu 75: Hàm số$y = – {x^4} + 2{x^2} – 3$ có điểm cực đại và điểm cực tiểu ${x_{CT}}\,$ là.
A. ${x_{CT}} = \pm 1$, . B. , ${x_{CT}} = 0$.
C. , ${x_{CT}} = 0$. D. ${x_{CT}} = \pm 2$, .
Lời giải
Ta có: $y’ = – 4{x^3} + 4x$, $y’ = 0 \Leftrightarrow – 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 1 \vee x = – 1$.
Từ bảng biến thiên ta có: , ${x_{CT}} = 0$.
Câu 76: Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 8}}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Điểm cực đại của hàm số $x = 2$. B. Điểm cực tiểu của hàm số là $x = 4$.
C. Giá trị cực tiểu của hàm số là $ – 4$. D. Giá trị cực đại của hàm số là $2$.
Lời giải
Có $y’\left( x \right) = \frac{{ – {x^2} – 2x + 8}}{{{{\left( {{x^2} + 8} \right)}^2}}},$$y’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 4\\x = 2\end{array} \right.$.
Dễ thấy$y’\left( x \right)$cùng dấu với $ – {x^2} – 2x + 8$.
Khi đó $x = 2$là điểm cực đại của hàm số.
Câu 77: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là
A. $x = 1$. B. $x = – 1$. C. $M\left( { – 1;1} \right)$. D. $M\left( {1; – 3} \right)$.
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy, $f’\left( x \right)$ đổi dấu từ “âm” sang “dương” khi đi qua $x = 1$ và $f\left( 1 \right) = – 3$.
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là $M\left( {1; – 3} \right)$.
Câu 78: Cho hàm số $y = {x^4} – 4{x^2} + 2$.Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $y = – 2$.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm $x = – \sqrt 2 $ và $x = \sqrt 2 $.
D. Hàm số đạt cực đại tại hai điểm $\left( { – \sqrt 2 ; – 2} \right)$ và $\left( {\sqrt 2 ; – 2} \right)$.
Lời giải
Có $y’ = 4{x^3} – 8x$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \sqrt 2 \\x = 0\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
Câu 79: Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2\,$. Đồ thị hàm số có điểm cực đại là
A. $\left( {2;\, – 2} \right)$ B. $\left( {0;\,2} \right)$ C. $\left( {2;\,2} \right)$ D. $\left( {0;\, – 2} \right)$
Lời giải
$y’ = 3{x^2} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.
Do hàm số bậc ba có hệ số $a = 1 > 0$ nên Điểm cực đại của đồ thị hàm số là$\left( {0;2} \right)$
Câu 80: Tìm cực đại của hàm số $y = – \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} – 1$.
A. $3$. B. $0$. C. $ – 1$. D. $ \pm 2$.
Lời giải
$y’ = – {x^3} + 4x$, $y” = – 3{x^2} + 4$
$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y”\left( 0 \right) = 4 > 0\\x = \pm 2 \Rightarrow y”\left( { \pm 2} \right) = – 8 < 0\end{array} \right.$
Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = \pm 2$.
Câu 81: Các điểm cực tiểu của hàm số $y = {x^4} + 3{x^2} + 2$ là
A. $x = 0$. B. $x = – 1$. C. $x = 1$ và $x = 2$. D. $x = 5$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
$y’ = 4{x^3} + 6x = x\left( {4{x^2} + 6} \right)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x\left( {4{x^2} + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$.
Vậy hàm số có điểm cực tiểu là $x = 0$.
Câu 82: Giá trị cực tiểu của hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} – 9x + 2$ là
A. $ – 20$. B. $7$. C. $ – 25$. D. $3$.
Lời giải
TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
$y’ = 3{x^2} – 6x – 9$. Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 3\end{array} \right.$
Bảng biến thiên:
Vậy giá trị cực tiểu là ${y_{CT}} = – 25$.
Câu 83: Hàm số $y = 2{x^3} – {x^2} + 5$ có điểm cực đại là.
A. $x = \frac{1}{3}$ B. $x = 5$ C. $x = 3$ D. $x = 0$
Lời giải
${f^’}(x) = 8{x^2} – 2x$.
$ \Leftrightarrow 8{x^2} – 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{1}{4}\end{array} \right.$
có điểm cực đại là $x = 0$
Câu 84: Hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 1$đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
A. $x = 0$. B. $x = 2$. C. $x = – 3$. D. $x = 1$.
Lời giải
Txđ: $D = \mathbb{R}$
$y’ = 3{x^2} – 6x$
$y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$
BBT
Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = 0$
Câu 85: Cho hàm số $y = {x^4} – \frac{2}{3}{x^3} – {x^2}.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có hai giá trị cực tiểu là $ – \frac{2}{3}$ và $ – \frac{5}{{48}}$.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu là $ – \frac{2}{3}$ và giá trị cực đại là $ – \frac{5}{{48}}$.
C. Hàm số có giá trị cực tiểu là $0$.
D. Hàm số chỉ có một giá trị cực tiểu.
Lời giải
$y = {x^4} – \frac{2}{3}{x^3} – {x^2} \Rightarrow y’ = 4{x^3} – 2{x^2} – 2x$; $y’ = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = – \frac{1}{2}\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên.
Câu 86: Điểm cực đại của đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x + 2$ là:
A. $N\left( { – 1\,;\,4} \right)$. B. $x = 1$.
C. $M\left( {1\,;\,0} \right)$. D. $x = – 1$.
Lời giải
Ta có $y’ = 3{x^2} – 3$
do đó $y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 3 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1}\\{x = 1}\end{array}} \right.$.
Khi đó
Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ $\left( { – 1\,;\,4} \right)$
Câu 87: Hàm số $y = {x^4} – 4{x^2} + 4$ đạt cực tiểu tại những điểm nào?
A. $x = \pm \sqrt 2 ,x = 0$. B. $x = – \sqrt 2 $. C. $x = \sqrt 2 ,x = 0$. D. $x = \pm \sqrt 2 $.
Lời giải
Ta có $y’ = 4{x^3} – 8x = 4x\left( {{x^2} – 2} \right)$; $y’ = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.$.
Bảng biến thiên.
Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x = \pm \sqrt 2 $.
Câu 88: Tìm điểm cực tiểu của hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 1$
A. $x = – 3$ B. $x = 1$ C. $x = 3$ D. $x = – 1$
Lời giải
Tập xác định $D = \mathbb{R}$
Ta có $y’ = {x^2} – 4x + 3$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = 3$
$y” = 2x – 4$
+) $y”(1) = – 2 < 0$. Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 1$.
+) $y”(3) = 2 > 0$. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 3$.
Câu 89: Cho hàm số $y = – {x^4} – 3{{\rm{x}}^2} + 1$. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Một cực tiểu và cực đại. B. Một cực tiểu duy nhất.
C. Một cực đại và 2 cực tiểu. D. Một cực đại duy nhất.
Lời giải
$y’ = – 4{x^3} – 6x = – x\left( {4{x^2} + 6} \right)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ và đổi dấu + sang –.
Suy ra hàm số có 1 cực đại duy nhất.
Câu 90: Hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên sau đây:
Hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại điểm
A. $x = 0$. B. $y = 0$. C. $x = – 1$. D. $y = – 1$.
Lời giải
Câu 91: Đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^4}}}{2} – {x^2} + 3$ có mấy điểm cực trị.
A. $0$. B. $2$. C. $1$. D. $3$.
Lời giải
Đạo hàm $y’ = 2{x^3} – 2x = 2x\left( {{x^2} – 1} \right)$.
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {{x^2} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 1\\x = 1\end{array} \right.$.
Câu 92: Giá trị cực đại của hàm số $y = {x^3} – 3x + 2$ bằng
A. $0$. B. $1$. C. $4$. D. $ – 1$.
Lời giải
Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Ta có $y’ = 3{x^2} – 3$$ \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 1\end{array} \right.$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cực đại của hàm số bằng $4$.
Câu 93: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = – {x^4} + 18{x^2} – 1$ là
A. $\left( { – 3;80} \right)$ và $\left( {3;80} \right)$. B. $\left( {0;1} \right)$.
C. $\left( { – 1;0} \right)$. D. $\left( {0; – 1} \right)$.
Lời giải
Tập xác định $D = \mathbb{R}$
$y’ = – 4{x^3} + 36x$; $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = – 1\\x = \pm 3 \Rightarrow y = 80\end{array} \right.$.
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $\left( {0; – 1} \right)$.
Câu 94: Điểm cực đại của hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ là
A. $x = 0$. B. $x = 2$. C. $y = – 2$. D. $y = 2$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Ta có $y’ = 3{x^2} – 6x$, $y” = 6x – 6$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.
$y”\left( 0 \right) < 0$, $y”\left( 2 \right) > 0$.
Vậy $x = 0$ là điểm cực đại của hàm số.
Câu 95: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = {x^2}\left( {{x^2} – 1} \right)$. Điểm cực tiểu của hàm số $y = f\left( x \right)$ là
A. $x = 0$. B. $x = – 1$. C. $y = 0$. D. $x = 1$.
Lời giải
Ta có: $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} – 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{x^2} – 1 = 0\end{array} \right.\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.$
Bảng biến thiên
Vậy điểm cực tiểu của hàm số $y = f\left( x \right)$là $x = 1$.
Câu 96: Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = 2{x^3} + 3{x^2} + 4$?
A. ${x_{CD}} = – 1,{x_{CT}} = 0$ B. ${y_{CD}} = 5,{y_{CT}} = 4$ C. ${x_{CD}} = 0,{x_{CT}} = – 1$ D. ${y_{CD}} = 4,{y_{CT}} = 5$
Lời giải
Ta có $y’ = 6{x^2} + 6x$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 1\end{array} \right.$
Bảng biến thiên
Do đó hàm số đạt cực đại tại $x = – 1$ và đạt cực tiểu tại $x = 0$.
Câu 97: Giá trị cực tiểu ${y_{CT}}$ của hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ là
A. ${y_{CT}} = 0$. B. ${y_{CT}} = – 2$. C. ${y_{CT}} = 1$. D. ${y_{CT}} = 4$.
Lời giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
Ta có $y’ = 3{x^2} – 6x$, $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.
Mặt khác:$y” = 6x – 6$.
Do $y”\left( 0 \right) = – 6 < 0$ nên $x = 0$ là điểm cực đại của hàm số, nên $x = 2$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Khi đó ${y_{CT}} = y\left( 2 \right) = – 2$.
Câu 98: Hàm số $y = {x^3} – 5{x^2} + 7x – 1$ đạt cực đại tại.
A. $x = 1$. B. $x = \frac{7}{3}$. C. $x = – 1$. D. $x = – \frac{7}{3}$.
Lời giải
$y’ = 3{x^2} – 10x + 7$; $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{7}{3}\\x = 1\end{array} \right.$.
Lập bảng biến thiên.
Dựa vào BBT, ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = 1$.
Câu 99: Hàm số $y = {x^3} – 3x + 2$ có giá trị cực đại bằng
A. $0$. B. $ \Leftrightarrow $. C. $ – 1$. D. $4$.
Lời giải
Ta có: $y’ = 3{x^2} – 3$. Xét $y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 0\\x = – 1 \Rightarrow y = 4\end{array} \right.$.
Và: $y” = 6x$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y”\left( 1 \right) = 6 > 0\\y”\left( { – 1} \right) = – 6 < 0\end{array} \right.$. Suy ra hàm số đạt cực đại tại $x = – 1$. Vậy .
