Chuyên Đề Tìm Số Phức Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Có Đáp Án Và Lời Giải

0
1839

Chuyên đề tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước theo từng mức độ luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 42 của đề tham khảo môn Toán 2021.

TÌM SỐ PHỨC THỎA NHIỀU ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 

1. Số phức  là một biểu thức dạng $a + bi$, trong đó $a,{\rm{ }}b$ là các số thực và số $i$ thỏa mãn  ${i^2} = – 1$ Kí hiệu  $z = a + bi.$

$i$đơn vị ảo $a$phần thực $b$phần ảo. 

Chú ý: 

* $z = a + 0i = a$ được gọi là số thực $(a \in \mathbb{R} \subset \mathbb{C})$

* $z = 0 + bi = bi$ được gọi là số ảo (hay số thuần ảo)

* $0 = 0 + 0i$ vừa là số thực vừa là số ảo

2. Biểu diễn hình học của số phức. 

 

* $M\left( {a;b} \right)$ biểu diễn cho số phức $z \Leftrightarrow z = a + bi$

3. Hai số phức bằng nhau.  Cho hai số phức $z = a + bi$    $z’ = a’ + b’i$  với $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$

$z = z’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b = b’\end{array} \right.$

4. Cộng và trừ số phức.  Cho hai số phức  $z = a + bi$    $z’ = a’ + b’i$  với $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$

$z + z’ = \left( {a + a’} \right) + \left( {b + b’} \right)i$

$z – z’ = \left( {a – a’} \right) + \left( {b – b’} \right)i$

5. Nhân hai số phức.  Cho hai số phức  $z = a + bi$  và $z’ = a’ + b’i$ với  $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l}z.z’ = \left( {aa’ – bb’} \right) + \left( {ab’ + a’b} \right)i\\k(a + bi) = ka + kbi\,\,(k \in \mathbb{R})\end{array}$

6. Môđun của số phức  $z = a + bi$

 Số thực $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \left| {\overrightarrow {OM} } \right|$ gọi là môdul của số phức $z = a + bi.$

 $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {z\bar z} = \left| {\overrightarrow {OM} } \right|$ với $M\left( {a;b} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z.$

 $\left| z \right| \ge 0,\;\forall z \in C\;,\,\,\left| z \right| = 0 \Leftrightarrow z = 0$.

 $\left| {z.z’} \right| = \left| z \right|.\left| {z’} \right|$;

 $\left| {\frac{z}{{z’}}} \right| = \frac{{\left| z \right|}}{{\left| {z’} \right|}}$; $\left| {\left| z \right| – \left| {z’} \right|} \right| \le \left| {z \pm z’} \right| \le \left| z \right| + \left| {z’} \right|$.

7. Số phức liên hợp  của số phức  $z = a + bi$ là  $z’ = a’ + b’i$

* $\overline{\overline z}  = z$

* $\overline {z \pm z’}  = \overline z  + \overline {z’} $

* $\left| {\overline z } \right| = \left| z \right|$

* $\overline {z.z’}  = \overline z .\overline {z’} $

* $z + z’ = 2a$

* $\overline {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)}  = \frac{{\overline {{z_1}} }}{{\overline {{z_2}} }}$

* $z.\overline z  = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2}$

8. Chia hai số phức. 

Cho hai số phức  $z = a + bi$  và $z’ = a’ + b’i$  với $a,b,a’,b’ \in \mathbb{R}$

Thương của $z’$ chia cho$z\left( {z \ne 0} \right)$:  $\frac{{z’}}{z} = \frac{{z’\overline z }}{{z\overline z }} = \frac{{z’\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{aa’ + bb’}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ab’ – a’b}}{{{a^2} + {b^2}}}i$

9. Căn bậc hai của số phức. 

$w = x + yi$ là căn bậc hai của số phức $z = a + bi$ khi và chỉ khi ${w^2} = z$ $\left\{ \begin{array}{c}{x^2} – {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.$.

Số $0$ có một căn bậc hai là số $w = 0.$

Số $z \ne 0$ có hai căn bậc hai đối nhau là $w$ và $–{\rm{ }}w.$

Hai căn bậc hai của số thực $a > 0\;$ là $ \pm \sqrt a $.

Hai căn bậc hai của số thực $a < 0$ là $ \pm i\sqrt { – a} $.

10. Lũy thừa đơn vị ảo  $i$

${i^0} = 1,{\rm{ }}{i^1} = i,{\rm{ }}{i^2} = – 1,{\rm{ }}{i^3} = {i^2}.i = – i$,…, bằng quy nạp ta được:

${i^{4n}} = 1,{\rm{ }}{i^{4n + 1}} = i,{\rm{ }}{i^{4n + 2}} = – 1,{\rm{ }}{i^{4n + 3}} = – i,{\rm{ }}$$\forall n \in {\mathbb{N}^ * }$

Do đó: ${i^n} \in \left\{ { – 1;1; – i;i} \right\},$ $\forall n \in {\mathbb{N}^ * }$

11. Căn bậc hai  của số thực 

o $z = 0$  có một căn bậc hai là $0$

o $z = a$ là số thực dương có 2 căn bậc 2 là $ \pm \sqrt a $

o $z = a$ là số thực âm có 2 căn bậc hai là $ \pm \sqrt {\left| a \right|} .i$

12. Phương trình bậc nhất  $ax + b = 0$$(a,{\rm{ }}b\;$ là số phức cho trước, $a \ne 0).$

Giải tương tự phương trình bậc nhất với hệ số thực

13. Phương trình bậc hai  $a{x^2} + bx + c = 0$$(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ là số thực cho trước, $a \ne 0).$

Tính $\Delta = {b^2} – 4ac$

o $\Delta < 0$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức ${x_{1,}}_2 = \frac{{ – b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}$

o $\Delta = 0$: Phương trình có 1 nghiệm kép là $x = – \frac{b}{{2a}}$

o $\Delta > 0$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức ${x_{1,}}_2 = \frac{{ – b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ LỜI GIẢI 

Mức độ 2 

Câu 1.  Biết $z = a + bi$ $\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ là số phức thỏa mãn $\left( {3 – 2i} \right)z – 2i\overline z = 15 – 8i$. Tổng $a + b$ là

A.  $a + b = 5$. B.  $a + b = – 1$. C.  $a + b = 9$. D.  $a + b = 1$.

Lời giải 

Chọn A 

Ta có $z = a + bi$$ \Rightarrow \overline z = a – bi$.

Theo đề bài ta có

$\left( {3 – 2i} \right)z – 2i\overline z = 15 – 8i$$ \Leftrightarrow \left( {3 – 2i} \right)\left( {a + bi} \right) – 2i\left( {a – bi} \right) = 15 – 8i$$ \Leftrightarrow 3a – \left( {4a – 3b} \right)i = 15 – 8i$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a = 15\\4a – 3b = 8\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 4\end{array} \right.$. Vậy $a + b = 9$.

Câu 2.  Cho số phức $z = a + bi$ (trong đó $a$, $b$ là các số thực thỏa mãn $3z – \left( {4 + 5i} \right)\overline z = – 17 + 11i$. Tính $ab$.

A.  $ab = 6$. B.  $ab = – 3$. C.  $ab = 3$. D.  $ab = – 6$.

Lời giải 

Chọn A 

Ta có $z = a + bi$ $ \Rightarrow \overline z = a – bi$.

Khi đó $3z – \left( {4 + 5i} \right)\overline z = – 17 + 11i \Leftrightarrow 3\left( {a + bi} \right) – \left( {4 + 5i} \right)\left( {a – bi} \right) = – 17 + 11i$

$ \Leftrightarrow \left( { – a – 5b} \right) – \left( {5a – 7b} \right)i = – 17 + 11i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – a – 5b = – 17\\ – 5a + 7b = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow z = 2 + 3i$.

Vậy $ab = 6$.

Câu 3.  Cho hai số phức $z = \left( {a – 2b} \right) – \left( {a – b} \right)i$ và $w = 1 – 2i$. Biết $z = w.i$. Tính $S = a + b$.

A.  $S = – 7$. B.  $S = – 4$. C.  $S = – 3$. D.  $S = 7$.

Lời giải 

Chọn A 

Ta có $z = \left( {a – 2b} \right) – \left( {a – b} \right)i$$ = \left( {1 – 2i} \right).i$$ = 2 + i$$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a – 2b = 2}\\{ – a + b = 1}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = – 4}\\{b = – 3}\end{array}} \right.$.

Vậy $S = a + b$$ = – 7$.

Câu 4.  Trong tất cả các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện sau: $\left| {z + 1} \right| = \left| {\frac{{z + \bar z}}{2} + 3} \right|$, gọi số phức $z = a + b{\rm{i}}$ là số phức có môđun nhỏ nhất. Tính $S = 2a + b$.

A.  $0$. B.  $ – 4$. C.  $2$. D.  $ – 2$

Lời giải 

Chọn C 

Ta có $\left| {z + 1} \right| = \left| {\frac{{z + \bar z}}{2} + 3} \right|$$ \Leftrightarrow \left| {\left( {a + 1} \right) + b{\rm{i}}} \right| = \left| {a + 3} \right|$$ \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2} = {\left( {a + 3} \right)^2}$$ \Leftrightarrow {b^2} = 4a + 8$.

Do đó ${\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2}$$ = {a^2} + 4a + 8$$ = {\left( {a + 1} \right)^2} + 4 \ge 4$.

$\min \left| z \right| = 2$ khi và chỉ khi $z = – 1 + 4{\rm{i}}$. Suy ra $S = 2a + b = 2$

Câu 5.  Cho số phức $z = a + bi$ $\left( {a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $z + 1 + 3i – \left| z \right|i = 0$. Tính $S = a + 3b$.

A.  $S = \frac{7}{3}$. B.  $S = – 5$. C.  $S = 5$. D.  $S = – \frac{7}{3}$.

Lời giải 

Chọn B 

Ta có $z + 1 + 3i – \left| z \right|i = 0$$ \Leftrightarrow a + bi + 1 + 3i – i\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0$

$ \Leftrightarrow a + 1 + \left( {b + 3 – \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)i = 0$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 0\\b + 3 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\\left\{ \begin{array}{l}b \ge – 3\\{\left( {b + 3} \right)^2} = 1 + {b^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = – \frac{4}{3}\end{array} \right.$$ \Rightarrow S = – 5$.

Câu 6.  Cho số phức $z = a + bi\,\left( {a,\,b \in \mathbb{Z}} \right)$ thỏa mãn $\left| {z + 2 + 5i} \right| = 5$ và $z.\bar z = 82$. Tính giá trị của biểu thức $P = a + b$.

A.  $10$. B.  $ – 8$. C.  $ – 35$. D.  $ – 7$.

Lời giải 

Chọn B 

Theo giả thiết ta có $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {{\left( {b + 5} \right)}^2}} = 5\\{a^2} + {b^2} = 82\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ – 5b – 43}}{2}\,\,\,\left( 1 \right)\\{a^2} + {b^2} = 82\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Thay $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$ ta được $29{b^2} + 430b + 1521 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = – 9\\b = \frac{{ – 169}}{{29}}\end{array} \right.$

Vì $b \in \mathbb{Z}$ nên $b = – 9 \Rightarrow a = 1$. Do đó $P = a + b = – 8$.

Câu 7.  Cho số phức $z = a + bi$ $\left( {a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $z + 1 + 3i – \left| z \right|i = 0$. Tính $S = a + 3b$.

A.  $S = \frac{7}{3}$. B.  $S = – 5$. C.  $S = 5$. D.  $S = – \frac{7}{3}$.

Lời giải 

Chọn B 

Ta có $z + 1 + 3i – \left| z \right|i = 0$$ \Leftrightarrow a + bi + 1 + 3i – i\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 0$

$ \Leftrightarrow a + 1 + \left( {b + 3 – \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)i = 0$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 0\\b + 3 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\\left\{ \begin{array}{l}b \ge – 3\\{\left( {b + 3} \right)^2} = 1 + {b^2}\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = – \frac{4}{3}\end{array} \right.$$ \Rightarrow S = – 5$.

Câu 8.  Cho số phức $z$ thỏa mãn: $\overline z = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)}^3}}}{{1 – i}}$. Tìm môđun của $\overline z + iz$.

A.  $4\sqrt 2 $. B.  $4$. C.  $8\sqrt 2 $. D.  $8$.

Lời giải 

Chọn C 

$\overline z = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)}^3}}}{{1 – i}}$$ \Leftrightarrow \overline z = – 4 – 4i$$ \Rightarrow $$z = – 4 + 4i$

$iz = i\left( { – 4 – 4i} \right) = – 4 – 4i$

$\overline z + iz = – 4 – 4i + \left( { – 4 – 4i} \right) = – 8 – 8i$

$\left| {\overline z + iz} \right| = \sqrt {{{\left( { – 8} \right)}^2} + {{\left( { – 8} \right)}^2}} = 8\sqrt 2 $

Câu 9.  Cho số phức z thỏa mãn $\mathop z\limits^ – = \frac{{1 + 3i}}{{1 – i}}.$Tính modun của số phức ${\rm{w}} = i.\mathop z\limits^ – + z?$

A.  $|{\rm{w| = 4}}\sqrt 2 $. B.  $|{\rm{w| = }}\sqrt 2 $. C.  $|{\rm{w| = 3}}\sqrt 2 $. D.  $|{\rm{w| = 2}}\sqrt 2 $.

Lời giải 

Chọn C 

Ta có: $\mathop z\limits^ – = \frac{{1 + 3i}}{{1 – i}} = – 1 + 2i.$

$ \Rightarrow z = – 1 – 2i.$

$ \Rightarrow $${\rm{w}} = i.( – 1 + 2i) + ( – 1 – 2i) = – 3 – 3i$.

$ \Rightarrow $$|{\rm{w| = }}\sqrt {{{( – 3)}^2} + {{( – 3)}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 $.

Câu 10.  Cho số phức $z = a + bi$, với $a,\,\,b$ là các số thực thỏa mãn $a + bi + 2i\left( {a – bi} \right) + 4 = i$, với $i$ là đơn vị ảo. Tìm mô đun của $\omega = 1 + z + {z^2}$.

A.  $\left| \omega \right| = \sqrt {229} $. B.  $\left| \omega \right| = \sqrt {13} $ C.  $\left| \omega \right| = 229$. D.  $\left| \omega \right| = 13$.

Lời giải 

Chọn A 

Ta có $a + bi + 2i\left( {a – bi} \right) + 4 = i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b = – 4\\b + 2a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = – 3\end{array} \right.$. Suy ra $z = 2 – 3i$

Do đó $\omega = 1 + z + {z^2} = – 2 – 15i$. Vậy $\left| \omega \right| = \sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} + {{\left( { – 15} \right)}^2}} = \sqrt {229} $

Mức độ 3 

Câu 1.  Tìm số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z – 2} \right| = \left| z \right|$ và $\left( {z + 1} \right)\left( {\bar z – i} \right)$ là số thực.

A.  $z = 1 + 2i.$ B.  $z = – 1 – 2i.$ C.  $z = 2 – i.$ D.  $z = 1 – 2i.$

Lời giải 

Chọn D 

Gọi $z = x + iy$ với $x,y \in \mathbb{R}$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left| {z – 2} \right| = \left| z \right|\\\left( {z + 1} \right)\left( {\bar z – i} \right) \in \mathbb{R}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + {y^2}\\\left( {x + 1 + iy} \right)\left( {x – iy – i} \right) \in \mathbb{R}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + {y^2}\\\left( {x + 1 + iy} \right)\left( {x – iy – i} \right) \in \mathbb{R}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\\left( { – x – 1} \right)\left( {y + 1} \right) + xy = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = – 2\end{array} \right.$

Câu 2.  Giả sử ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $\left| {\left( {2 + {\rm{i}}} \right)\left| z \right|z – \left( {1 – 2{\rm{i}}} \right)z} \right| = \left| {1 + 3{\rm{i}}} \right|$ và $\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1$. Tính $M = \left| {2{z_1} + 3{z_2}} \right|$.

A.  $M = 19$. B.  $M = 25$. C.  $M = 5$. D.  $M = \sqrt {19} $.

Lời giải 

Chọn D 

Từ giả thiết, ta có $\left| {\left( {2\left| z \right| – 1} \right) + \left( {\left| z \right| + 2} \right){\rm{i}}} \right|.\left| z \right| = \sqrt {10} $$ \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {2\left| z \right| – 1} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| + 2} \right)}^2}} \right].{\left| z \right|^2} = 10$

$ \Leftrightarrow 5{\left| z \right|^4} + 5{\left| z \right|^2} – 10 = 0$$ \Leftrightarrow \left| z \right| = 1$ (vì $\left| z \right| \ge 0$).

Gọi ${z_1} = {x_1} + {y_1}{\rm{i}}$ và ${z_2} = {x_2} + {y_2}{\rm{i}}$. Ta có $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1$ nên $x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 = 1$.

Mặt khác, $\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1$ nên ${\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} – {y_2}} \right)^2} = 1$. Suy ra ${x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = \frac{1}{2}$.

Khi đó $M = \left| {2{z_1} + 3{z_2}} \right|$$ = \sqrt {{{\left( {2{x_1} + 3{x_2}} \right)}^2} + {{\left( {2{y_1} + 3{y_2}} \right)}^2}} $

$ = \sqrt {4\left( {x_1^2 + y_1^2} \right) + 9\left( {y_1^2 + y_2^2} \right) + 12\left( {{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}} \right)} $

Vậy $M = \sqrt {19} $.

Do đó ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC$ $ \Leftrightarrow $ $\frac{1}{2}{\left| z \right|^2} = 18$ $ \Leftrightarrow $$\left| z \right| = 6$.

Câu 3.  Gọi ${z_1}$, ${z_2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $\left| {z – 1 + 2i} \right| = 5$ và $\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 8$. Tìm môđun của số phức $w = {z_1} + {z_2} – 2 + 4i$.

A.  $\left| w \right| = 6$. B.  $\left| w \right| = 16$. C.  $\left| w \right| = 10$. D.  $\left| w \right| = 13$.

Lời giải 

Chọn A 

Gọi $A$ là điểm biểu diễn của số phức ${z_1}$, $B$ là điểm biểu diễn của số phức ${z_2}$.

Theo giả thiết ${z_1}$, ${z_2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $\left| {z – 1 + 2i} \right| = 5$ nên $A$ và $B$ thuộc đường tròn tâm $I\left( {1; – 2} \right)$ bán kính $r = 5$.

Mặt khác $\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 8 \Leftrightarrow AB = 8$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ suy ra $M$ là điểm biểu diễn của số phức $\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}$ và $IM = 3$.

Do đó ta có

$3 = IM = \left| {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2} – 1 + 2i} \right|$$ \Leftrightarrow 3 = \frac{1}{2}\left| {{z_1} + {z_2} – 2 + 4i} \right| \Leftrightarrow \left| {{z_1} + {z_2} – 2 + 4i} \right| = 6$$ \Leftrightarrow \left| w \right| = 6$.

Câu 4.  Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left( {1 + i} \right)z + \overline z $ là số thuần ảo và $\left| {z – 2i} \right| = 1$?

A.  $2$. B.  $1$. C.  $0$. D.  Vô số.

Lời giải 

Chọn A 

Đặt $z = a + bi$ với $a,b \in \mathbb{R}$ ta có : $\left( {1 + i} \right)z + \overline z = \left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + a – bi$$ = 2a – b + ai$.

Mà $\left( {1 + i} \right)z + \overline z $ là số thuần ảo nên $2a – b = 0$$ \Leftrightarrow b = 2a$.

Mặt khác $\left| {z – 2i} \right| = 1$ nên ${a^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} = 1$

$ \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {2a – 2} \right)^2} = 1$

$ \Leftrightarrow 5{a^2} – 8a + 3 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 \Rightarrow b = 2\\a = \frac{3}{5} \Rightarrow b = \frac{6}{5}\end{array} \right.$.

Vậy có $2$ số phức thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 5.  Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + 1 – 3i} \right| = 3\sqrt 2 $ và ${\left( {z + 2i} \right)^2}$ là số thuần ảo?

A.  $1$. B.  $2$. C.  $3$. D.  $4$.

Lời giải 

Chọn C 

Gọi $z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$, khi đó

$\left| {z + 1 – 3i} \right| = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 18\,\,\,\,\left( 1 \right)$.

${\left( {z + 2i} \right)^2} = {\left[ {x + \left( {y + 2} \right)i} \right]^2} = {x^2} – {\left( {y + 2} \right)^2} + 2x\left( {y + 2} \right)i$.

Theo giả thiết ta có ${x^2} – {\left( {y + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + 2\\x = – \left( {y + 2} \right)\end{array} \right.$.

Trường hợp 1: $x = y + 2$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được phương trình $2{y^2} = 0$

và giải ra nghiệm $y = 0$, ta được $1$ số phức ${z_1} = 2$.

Trường hợp 2: $x = – \left( {y + 2} \right)$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được phương trình $2{y^2} – 4y – 8 = 0$

và giải ra ta được $\left[ \begin{array}{l}y = 1 + \sqrt 5 \\y = 1 – \sqrt 5 \end{array} \right.$, ta được $2$ số phức $\left[ \begin{array}{l}{z_2} = – 3 – \sqrt 5 + \left( {1 + \sqrt 5 } \right)i\\{z_3} = – 3 + \sqrt 5 + \left( {1 – \sqrt 5 } \right)i\end{array} \right.$.

Vậy có $3$ số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6.  Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${\left| {z – 1} \right|^2} + \left| {z – \overline z } \right|i + \left( {z + \overline z } \right){i^{2019}} = 1$?

A.  B. C.  D.  3

Lời giải 

Chọn D 

Gọi $z = a + bi$; $\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$$ \Rightarrow \overline z = a – bi$.

Ta có: ${\left| {z – 1} \right|^2} = {\left| {a + bi – 1} \right|^2} = {\left( {a – 1} \right)^2} + {b^2}$, $\left| {z – \overline z } \right|i = \left| {a + bi – a + bi} \right|i = \sqrt {{{\left( {2b} \right)}^2}} i = 2\left| b \right|i$,

${i^{2019}} = – i$, $\left( {z + \overline z } \right){i^{2019}} = – i\left( {a + bi + a – bi} \right) = – 2ai$.

Suy ra phương trình đã cho tương đương với: ${\left( {a – 1} \right)^2} + {b^2} + 2\left| b \right|i – 2ai = 1$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a – 1} \right)^2} + {b^2} = 1\\2\left| b \right| – 2a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} – 2a + {b^2} = 0\\a = \left| b \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\left| b \right|^2} – 2\left| b \right| = 0\\a = \left| b \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\left| b \right| = 0\\\left| b \right| = 1\end{array} \right.\\a = \left| b \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{b = 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = – 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$

Vậy có 3 số phức $z$thỏa mãn.

Câu 7.  Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${\left| z \right|^2} = \left| {z + \overline z } \right| + \left| {z – \overline z } \right|$ và ${z^2}$ là số thuần ảo

A.  $4$ B.  $2$ C.  $3$ D.  $5$

Lời giải 

Gọi số phức $z = a + bi$, $a,b \in \mathbb{R}$.

Ta có ${\left| z \right|^2} = \left| {z + \overline z } \right| + \left| {z – \overline z } \right| \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = \left| {2a} \right| + \left| {2bi} \right|$

$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2\left| a \right| + 2\left| b \right|\,\,\left( 1 \right)$.

Lại có ${z^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi$ là số thuần ảo, suy ra ${a^2} – {b^2} = 0 \Leftrightarrow a = \pm b$

Trường hợp 1 : $a = b$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được:

$ \Leftrightarrow 2{a^2} = 4\left| a \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| a \right| = 0\\\left| a \right| = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \pm 2\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 0\\a = b = \pm 2\end{array} \right.$.

Trường hợp 2 : $a = – b$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được:

$ \Leftrightarrow 2{a^2} = 4\left| a \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| a \right| = 0\\\left| a \right| = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \pm 2\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = \mp 2\end{array} \right.$.

Vậy có $5$ số phức thỏa mãn bài toán là $z = 0$, $z = 2 \pm 2i$, $z = – 2 \pm 2i$

Câu 8.  Cho số phức $z = a + b{\rm{i}}$ $\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn các điều kiện $z – \bar z = 4{\rm{i}}$ và $\left| {z + 1 + 2{\rm{i}}} \right| = 4$. Giá trị của $T = a + b$ bằng

A.  $3$. B.  $ – 3$. C.  $ – 1$. D.  $1$.

Lời giải 

Chọn D 

Ta có: $z – \bar z = 4{\rm{i}} \Rightarrow \left( {a + b{\rm{i}}} \right) – \left( {a – b{\rm{i}}} \right) = 4{\rm{i}} \Leftrightarrow 2b = 4 \Leftrightarrow b = 2$.

Mặt khác: $\left| {z + 1 + 2{\rm{i}}} \right| = 4 \Rightarrow \left| {a + 2{\rm{i}} + 1 + 2{\rm{i}}} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {\left( {a + 1} \right) + 4{\rm{i}}} \right| = 4$

$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {4^2}} = 4 \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = – 1$.

Vậy $z = – 1 + 2{\rm{i}}$. Suy ra: $T = a + b = – 1 + 2 = 1$.

Câu 9.  Cho số phức $z = a + bi,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn điều kiện $\frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} + 2iz + \frac{{2\left( {z + i} \right)}}{{1 – i}} = 0.$ Tính tỷ số $T = \frac{a}{b}.$

A.  $T = \frac{2}{5}$. B.  $T = – \frac{3}{5}$. C.  $T = \frac{3}{5}$. D.  $T = 5$.

Lời giải 

Chọn C 

Ta có $\frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{z} + 2iz + \frac{{2\left( {z + i} \right)}}{{1 – i}} = 0$

$ \Leftrightarrow \frac{{z\,\bar z}}{z} + 2iz + \frac{{2\left( {z + i} \right)\left( {1 + i} \right)}}{2} = 0$$ \Leftrightarrow \bar z + 2iz + z + iz + i – 1 = 0$

$ \Leftrightarrow a – bi + a + bi + 3i(a + bi) + i – 1 = 0$$ \Leftrightarrow \left( {2a – 3b – 1} \right) + \left( {3a + 1} \right)i = 0$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a – 3b – 1 = 0\\3a + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{3}\\b = – \frac{5}{9}\end{array} \right.$.

Vậy $T = \frac{3}{5}.$

Câu 10.  Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {z – 3 + i} \right)\left( {1 – i} \right) = {\left( {1 + i} \right)^{2019}}$. Khi đó số phức ${\rm{w}} = z + 1 – 2i$ có phần ảo?

A.  ${2^{1009}} – 1$. B.  $ – 2$. C.  $ – 3$. D.  ${2^{1009}} – 4$.

Lời giải 

Chọn C 

$\left( {z – 3 + i} \right)\left( {1 – i} \right) = {\left( {1 + i} \right)^{2019}} \Leftrightarrow \left( {z – 3 + i} \right)\left( {1 – i} \right)\left( {1 + i} \right) = {\left( {1 + i} \right)^{2020}}$

$ \Rightarrow z = \frac{{{{\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]}^{1010}}}}{{\left( {1 – i} \right)\left( {1 + i} \right)}} + 3 – i = \frac{{{{\left( {2i} \right)}^{1010}}}}{2} + 3 – i = \frac{{{{\left[ {{{\left( {2i} \right)}^2}} \right]}^{505}}}}{2} + 3 – i = \frac{{{{\left( { – 4} \right)}^{505}}}}{2} + 3 – i = – {2^{1009}} + 3 – i$.

Vậy: ${\rm{w}} = z + 1 – 2i = – {2^{1009}} + 3 – i + 1 – 2i = – {2^{1009}} – 3i + 4$

Do đó phần ảo của số phức phải tìm là -3 .

Câu 11.  Cho số phức $z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $\left| {\overline z – 2 + 3i} \right| = \sqrt 5 $ và $z$ có phần thực lớn hơn phần ảo $2$ đơn vị. Tính $S = a + b$.

A.  $S = 2$ và $S = 6$. B.  $S = 4$ và $S = 3$. C.  $S = 4$ và $S = 6$. D.  $S = – 2$ và $S = 4$.

Lời giải: 

Chọn C 

Gọi $z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi$.

Theo giả thiết, ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overline z – 2 + 3i} \right| = \sqrt 5 \\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a – bi – 2 + 3i} \right| = \sqrt 5 \\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {a – 2} \right)}^2} + {{\left( {3 – b} \right)}^2}} = \sqrt 5 \\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} + {\left( {3 – b} \right)^2} = 5\\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{b^2} – 6b + 4 = 0\\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = 2\end{array} \right.\\a = b + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\end{array} \right.\end{array} \right.$.

Vậy $S = 3 + 1 = 4$ và $S = 4 + 2 = 6$.

Câu 12.  Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z – 1 + 2i} \right| = \left| {\bar z + 4 – i} \right|$ và $\left| {z – 2} \right| = \sqrt {10} $?

A.  $2$. B.  $1$. C.  $0$. D.  $3$.

Lời  giải 

Chọn  A 

Gọi $z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi$.

Theo giả thiết, ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {z – 1 + 2i} \right| = \left| {\overline z + 4 – i} \right|\\\left| {z – 2} \right| = \sqrt {10} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a + bi – 1 + 2i} \right| = \left| {a – bi + 4 – i} \right|\\\left| {a + bi – 2} \right| = \sqrt {10} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a – 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = {\left( {a + 4} \right)^2} + {\left[ { – \left( {b + 1} \right)} \right]^2}\\{\left( {a – 2} \right)^2} + {b^2} = 10\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 10a + 2b = 12\\{\left( {a – 2} \right)^2} + {b^2} = 10\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 + 5a\\{\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {6 + 5a} \right)^2} = 10\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 + 5a\\26{a^2} + 56a + 30 = 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 + 5a\\\left[ \begin{array}{l}a = – 1\\a = – \frac{{15}}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = – 1\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{{15}}{{13}}\\b = \frac{3}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vậy có 2 số phức $z$ thỏa đề: $z = – 1 + i$ và $z = – \frac{{15}}{{13}} + \frac{3}{{13}}i$.

Câu 13.  Trong các số phức thỏa mãn điều kiện $\left| {z + 3i} \right| = \left| {z + 2 – i} \right|.$ Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?

A.  $z = 1 – 2i$. B.  $z = – \frac{1}{5} + \frac{2}{5}i$. C.  $z = \frac{1}{5} – \frac{2}{5}i$. D.  $z = – 1 + 2i$.

Lời giải: 

Chọn C 

Giả sử $z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$

$\left| {z + 3i} \right| = \left| {z + 2 – i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y + 3} \right)i} \right| = \left| {\left( {x + 2} \right) + \left( {y – 1} \right)i} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2}$

$ \Leftrightarrow 6y + 9 = 4x + 4 – 2y + 1 \Leftrightarrow 4x – 8y – 4 = 0 \Leftrightarrow x – 2y – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 2y + 1$

$\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( {2y + 1} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {5{y^2} + 4y + 1} = \sqrt {5{{\left( {y + \frac{2}{5}} \right)}^2} + \frac{1}{5}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{5}$

Suy ra ${\left| z \right|_{\min }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$ khi $y = – \frac{2}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{5}$

Vậy $z = \frac{1}{5} – \frac{2}{5}i.$

Câu 14.  Có bao nhiêu số phức $z$ có phần thực khác $0$, thỏa mãn $\left| {z – \left( {3 + i} \right)} \right| = 5$ và $z.\overline z = 25$?

A.  $3$. B.  $2$. C.  $0$. D.  $1$.

Lời giải 

Chọn D 

Gọi $z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi$. Điều kiện: $a \ne 0$.

Theo giả thiết, ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}\left| {z – \left( {3 + i} \right)} \right| = 5\\z.\overline z = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a + bi – 3 – i} \right| = 5\\\left( {a + bi} \right)\left( {a – bi} \right) = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {a – 3} \right)}^2} + {{\left( {b – 1} \right)}^2}} = 5\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} – 6a – 2b = 15\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 – 6a – 2b = 15\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 – 3a – b = 0\\{a^2} + {b^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 – 3a\\{a^2} + {\left( {5 – 3a} \right)^2} = 25\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 – 3a\\10{a^2} – 30a = 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 5\\a = 0(l)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = – 4\\a = 3(n)\end{array} \right.\end{array} \right.$.

Vậy có 1 số phức $z$ thỏa đề: $z = 3 – 4i$.

Câu 15.  Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z – 6} \right| = 2\sqrt 5 $ và ${z^2}$ là số thuần ảo?

A.  $2$. B.  $3$. C.  $4$. D.  $5$.

Lời giải: 

Chọn C 

Gọi $z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi$.

Theo giả thiết:

$\left| {z – 6} \right| = 2\sqrt 5 $$ \Leftrightarrow \left| {a + bi – 6} \right| = 2\sqrt 5 $$ \Leftrightarrow {\left( {a – 6} \right)^2} + {b^2} = 20$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 12a + 16 = 0$(1).

Mặt khác ${z^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi$ là số thuần ảo nên ${a^2} – {b^2} = 0$ hay ${a^2} = {b^2}$.

Thay ${b^2} = {a^2}$ vào (1), ta được: $ \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} – 12a + 16 = 0$$ \Leftrightarrow 2{a^2} – 12a + 16 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = 2\end{array} \right.$.

Với $a = 4$, ta có: $ \Rightarrow b = \pm 4$.

Với $a = 2$, ta có: $ \Rightarrow b = \pm 2$.

Vậy có 4 số phức $z$ thỏa đề: $z = 4 + 4i,z = 4 – 4i,z = 2 + 2i,z = 2 – 2i$.

Câu 16.  Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z – 2i} \right| = 1$ và $\left( {1 + i} \right)z + \overline z $ là số thuần ảo?

A.  $4$. B.  $3$. C.  $2$. D.  $5$.

Lời giải: 

Chọn C 

Gọi $z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi$.

Theo giả thiết:

$\left| {z – 2i} \right| = 1$$ \Leftrightarrow \left| {a + bi – 2i} \right| = 1$$ \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} = 1$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 4b + 3 = 0$(1).

Mặt khác $\left( {1 + i} \right)z + \overline z = \left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) + a – bi$$ = a + bi + ai – b + a – bi = 2a – b + ai$ là số thuần ảo nên $2a – b = 0$ hay $b = 2a$.

Thay $b = 2a$ vào (1), ta được: $ \Leftrightarrow {a^2} + 4{a^2} – 4.2a + 3 = 0$$ \Leftrightarrow 5{a^2} – 8a + 3 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = \frac{3}{5}\end{array} \right.$.

Với $a = 1$, ta có: $b = 2$.

Với $a = \frac{3}{5}$, ta có: $b = \frac{6}{5}$.

Vậy có 2 số phức $z$ thỏa đề: $z = 1 + 2i,z = \frac{3}{5} + \frac{6}{5}i$.

Câu 17.  Có bao nhiêu số phức $z$ có phần ảo nguyên thỏa mãn $\left| {z – 1} \right| = \sqrt 5 $ và $\left( {z – i} \right)\left( {\overline z + 2} \right)$ là số thực?

A.  $1$. B.  $2$. C.  $4$. D.  $3$.

Lời giải: 

Chọn A 

Gọi $z = a + bi,\left( {a \in \mathbb{R},b \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi$.

Theo giả thiết:

$\left| {z – 1} \right| = \sqrt 5 $$ \Leftrightarrow \left| {a + bi – 1} \right| = \sqrt 5 $$ \Leftrightarrow {\left( {a – 1} \right)^2} + {b^2} = 5$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} – 2a – 4 = 0$(1).

Mặt khác $\left( {z – i} \right)\left( {\overline z + 2} \right) = \left( {a + bi – i} \right)\left( {a – bi + 2} \right) = {a^2} + {b^2} + 2a – b + \left( {2b – a – 2} \right)i$ là số thực nên $2b – a – 2 = 0$ hay $a = 2b – 2$.

Thay $a = 2b – 2$ vào (1), ta được: $ \Leftrightarrow {\left( {2b – 2} \right)^2} + {b^2} – 2\left( {2b – 2} \right) – 4 = 0$$ \Leftrightarrow 5{b^2} – 12b + 4 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 2(n)\\b = \frac{2}{5}\left( l \right)\end{array} \right.$.

Với $b = 2$, ta có: $a = 2$.

Vậy có 1 số phức $z$ thỏa đề: $z = 2 + 2i$.

Câu 18.  Tìm số phức liên hợp của $z$ thỏa mãn $\left| {z – i} \right| = \left| {\overline z + 1 + 2i} \right|$ và $\frac{{z – 2i}}{{\overline z + i}}$ là số thuần ảo?

A.  $\overline z = 0$. B.  $\overline z = 2i$. C.  $\overline z = – 2i$. D.  $\overline z = 2$.

Lời giải: 

Chọn C 

Gọi $z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi$.

Theo giả thiết:

$\left| {z – i} \right| = \left| {\overline z + 1 + 2i} \right|$$ \Leftrightarrow \left| {a + bi – i} \right| = \left| {a – bi + 1 + 2i} \right|$$ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b – 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 – b} \right)}^2}} $$ \Leftrightarrow 2a – 2b + 4 = 0$$ \Leftrightarrow b = a + 2$ (1).

Mặt khác $\frac{{z – 2i}}{{\overline z + i}} = \frac{{a + bi – 2i}}{{a – bi + i}} = \frac{{\left( {a + bi – 2i} \right)\left( {a + bi – i} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {1 – b} \right)}^2}}}$ $\begin{array}{l} = \frac{{\left( {a + bi – 2i} \right)\left( {a + bi – i} \right)}}{{{a^2} + {{\left( {1 – b} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} – {b^2} + 3b – 2 + \left( {2ab – 3a} \right)i}}{{{a^2} + {{\left( {1 – b} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}$là số thuần ảo nên $\begin{array}{l}\frac{{{a^2} – {b^2} + 3b – 2}}{{{a^2} + {{\left( {1 – b} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} – {b^2} + 3b – 2 = 0,(2)\\{a^2} + {\left( {1 – b} \right)^2} > 0,(*)\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}$.

Thay $b = a + 2$ ở (1) vào (2), ta được: ${a^2} – {\left( {a + 2} \right)^2} + 3\left( {a + 2} \right) – 2 = 0$$ \Leftrightarrow {a^2} – \left( {{a^2} + 4a + 4} \right) + 3a + 6 – 2 = 0$$ \Leftrightarrow a = 0$

Với $a = 0$, ta có: $b = 2$ (thỏa (*)) nên $z = 2i$.

Vậy $\overline z = – 2i$.

Câu 19.  Có tất cả bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| = \sqrt 5 $ và $\left| {\frac{z}{{\overline z }} + \frac{{\overline z }}{z}} \right| = \frac{6}{5}$?

A.  $6$. B.  $4$. C.  $10$. D.  $8$.

Lời giải: 

Chọn D 

Gọi $z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi$.

Theo giả thiết: $\left| z \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5$ (1).

Mặt khác $\left| {\frac{z}{{\overline z }} + \frac{{\overline z }}{z}} \right| = \frac{6}{5} \Leftrightarrow \left| {\frac{{{z^2} + {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{z.\overline z }}} \right| = \frac{6}{5}$$ \Leftrightarrow \left| {\frac{{{{\left( {a + bi} \right)}^2} + {{\left( {a – bi} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right| = \frac{6}{5}$$ \Leftrightarrow \left| {2{a^2} – 2{b^2}} \right| = 6$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} – {b^2} = 3,(2)\\{a^2} – {b^2} = – 3,(3)\end{array} \right.$

Từ (1) và (2) ta có:$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1\\{b^2} = 4\end{array} \right.\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \pm 2\\b = \pm 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \pm 1\\b = \pm 2\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vậy có tất cả 8 số phức thỏa đề.

Câu 20.  Cho hai số phức ${z_1}$ và ${z_2}$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = 3,\left| {{z_2}} \right| = 4,\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt {37} $. Hỏi có bao nhiêu số phức $z$ mà $z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = x + yi$?

A.  $4$. B.  $2$. C.  $3$. D.  $1$.

Lời giải: 

Chọn B 

Gọi ${z_1} = a + bi,{z_2} = c + di,\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)$.

Theo giả thiết:

$\left| {{z_1}} \right| = 3 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 9$ (1).

$\left| {{z_2}} \right| = 4 \Leftrightarrow {c^2} + {d^2} = 16$ (2).

$\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt {37} $$ \Leftrightarrow {\left( {a – c} \right)^2} + {\left( {b – d} \right)^2} = 37$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} – 2ac – 2bd = 37$$ \Leftrightarrow ac + bd = – 6$

Mặt khác $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c – di} \right)}}{{{c^2} + {d^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{\left( {bc – ad} \right)}}{{{c^2} + {d^2}}}.i$$ = \frac{{ – 6}}{{16}} + yi = \frac{{ – 3}}{8} + yi$

Do đó $x = – \frac{3}{8}$

Hơn thế nữa $\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} = \frac{3}{4} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} $$ \Leftrightarrow \frac{3}{4} = \sqrt {{{\left( { – \frac{3}{8}} \right)}^2} + {y^2}} $$ \Leftrightarrow {y^2} = \frac{{27}}{{64}}$$ \Leftrightarrow y = \pm \frac{{3\sqrt 3 }}{8}$

Vậy có 2 số phức thỏa đề là $z = – \frac{3}{8} + \frac{{3\sqrt 3 }}{8}i,z = – \frac{3}{8} – \frac{{3\sqrt 3 }}{8}i$.

Mức độ 4 

Câu 1.  Trong mặt phẳng phức, cho $3$ điểm $A,\;B,\;C$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức

${z_1} = – 1 + i,\;{z_2} = 1 + 3i,\;{z_3}$. Biết tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và ${z_3}$ có phần thực dương. Khi đó, tọa độ điểm $C$ là:

A.  $\left( {2\;;\; – 2} \right)$. B.  $\left( {3\;;\; – 3} \right)$. C.  $\left( {\sqrt 8 – 1\;;\;1} \right)$. D.  $\left( {1\;;\; – 1} \right)$.

Lời giải 

Chọn D 

Giả sử ${z_3} = a + bi$ với $a,b \in R,\;a\; > \;0$ suy ra $C\left( {a\;;\;b} \right)$.

Ta có $A\left( { – 1\;;\;1} \right),\;B\left( {1\;;\;3} \right)$ $ \Rightarrow $ $\overrightarrow {AB} = \left( {2\;;\;2} \right),\;\overrightarrow {AC} = \left( {a + 1\;;\;b – 1} \right)$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow 2\left( {a + 1} \right) + 2\left( {b – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow a + b = 0 \Leftrightarrow b = – a\quad \left( 1 \right)$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AC = AB \Leftrightarrow A{C^2} = A{B^2} \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} = 8\quad (2)$.

Thế $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$ ta được:

${\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( { – a – 1} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 = 4 \Leftrightarrow {a^2} + 2a – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = – 3\end{array} \right.$.

Vì $a\; > \;0$ nên $a = 1 \Rightarrow b = – 1$.

Vậy điểm $C$ có tọa độ là $\left( {1\;;\; – 1} \right)$.

Câu 2.  Cho số phức $z$, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức $z$;$iz$ và $z + i\;z$tạo thành một tam giác có diện tích bằng $18$. Mô đun của số phức $z$ bằng

A.  $2\sqrt 3 $. B.  $3\sqrt 2 $. C.  $6$. D.  $9$.

Lời giải 

Chọn C 

Gọi $z = a + bi$, $a,b \in \mathbb{R}$ nên $iz = ai – b$, $z + i\;z$$ = a + bi – b + ai$$ = a – b + \left( {a + b} \right)i$

Ta gọi $A\left( {a,\,b} \right)$, $B\left( { – b,\,a} \right)$, $C\left( {a – b,\,a + b} \right)$nên $\overrightarrow {AB} \left( { – b – a,\,a – b} \right)$, $\overrightarrow {AC} \left( { – b,\,a} \right)$

$S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$ $ = \frac{1}{2}\left| { – {a^2} – {b^2}} \right|$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 18$$ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 6$.

 

Câu 4.  Gọi $S$ là tập hợp các số thực $m$ sao cho với mỗi $m \in S$ có đúng một số phức thỏa mãn $\left| {z – m} \right| = 6$ và $\frac{z}{{z – 4}}$ là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập $S$.

A.  $10.$ B.  $0.$ C.  $16.$ D.  $8.$

Lời giải 

Chọn D 

Gọi $z = x + iy$ với $x,y \in \mathbb{R}$ ta có $\frac{z}{{z – 4}} = \frac{{x + iy}}{{x – 4 + iy}} = \frac{{\left( {x + iy} \right)\left( {x – 4 – iy} \right)}}{{{{\left( {x – 4} \right)}^2} + {y^2}}} = \frac{{x\left( {x – 4} \right) + {y^2} – 4iy}}{{{{\left( {x – 4} \right)}^2} + {y^2}}}$

là số thuần ảo khi $x\left( {x – 4} \right) + {y^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} = 4$

Mà $\left| {z – m} \right| = 6 \Leftrightarrow {\left( {x – m} \right)^2} + {y^2} = 36$

Ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – m} \right)^2} + {y^2} = 36\\{\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {4 – 2m} \right)x = 36 – {m^2}\\{y^2} = 4 – {\left( {x – 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}}\\{y^2} = 4 – {\left( {\frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2} \right)^2}\end{array} \right.$

Ycbt $ \Leftrightarrow 4 – {\left( {\frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2} \right)^2} = 0$$ \Leftrightarrow 2 = \frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2$ hoặc $ – 2 = \frac{{36 – {m^2}}}{{4 – 2m}} – 2$

$ \Leftrightarrow m = 10$ hoặc $m = – 2$ hoặc $m = \pm 6$

Vậy tổng là $10 – 2 + 6 – 6 = 8$.

Câu 5.  Có bao nhiêu số phức $z$ thoả mãn $\left| {z – 3i} \right| = \sqrt 5 $ và $\frac{z}{{z – 4}}$ là số thuần ảo?

A.  B.  vô số. C.  D.  1

Lời giải 

Chọn C 

Cách 1 

Ta có $\frac{z}{{z – 4}} = bi \Leftrightarrow z = bi(z – 4) \Leftrightarrow z(bi – 1) = 4bi \Leftrightarrow z = \frac{{4bi}}{{bi – 1}}$

Khi đó $|z – 3i| = \left| {\frac{{4bi}}{{bi – 1}} – 3i} \right| = \left| {\frac{{(4b + 3)i + 3b}}{{bi – 1}}} \right| = \sqrt {\frac{{{{(4b + 3)}^2} + {{(3b)}^2}}}{{{b^2} + 1}}} = \sqrt 5 \Leftrightarrow b = – 1,b = – \frac{1}{5}$

Vậy có 2 số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6.  Xét số phức $z$ thỏa mãn $\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} – 2 + i.$

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.  $\frac{3}{2} < \left| z \right| < 2.$ B.  $\left| z \right| > 2.$ C.  $\left| z \right| < \frac{1}{2}.$ D.  $\frac{1}{2} < \left| z \right| < \frac{3}{2}.$

Lời giải 

Chọn D 

Tacó:$\left( {1 + 2i} \right)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} – 2 + i.$$ \Leftrightarrow $$\left( {\left| z \right| + 2} \right) + i\left( {2\left| z \right| – 1} \right) = \frac{{\sqrt {10} }}{z}$ lấy môđun hai vế

$ \Rightarrow \frac{{\sqrt {10} }}{{\left| z \right|}} = \sqrt {{{\left( {\left| z \right| + 2} \right)}^2} + {{\left( {2\left| z \right| – 1} \right)}^2}} \Rightarrow \left| z \right| = 1 \in \left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right).$

Câu 7.  Cho $z$ thỏa $z – 4 = \left( {1 + i} \right)\left| z \right| – \left( {4 + 3z} \right)i.$ Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A.  $0 < \left| z \right| \le 1.$ B.  $1 < \left| z \right| \le 3.$ C.  $3 < \left| z \right| \le 10.$ D.  $10 < \left| z \right| \le 50.$

Lời giải 

Chọn B 

Giả thiết bài toán $ \Leftrightarrow z + 3iz = \left| z \right| + 4 + i\left| z \right| – 4i$

$ \Leftrightarrow \left( {1 + 3i} \right).z = \left( {\left| z \right| + 4} \right) + \left( {\left| z \right| – 4} \right)i$

$ \Rightarrow \left| {\left( {1 + 3i} \right)z} \right| = \left| {\left( {\left| z \right| + 4} \right) + \left( {\left| z \right| – 4} \right)i} \right|$

$ \Leftrightarrow \left| {1 + 3i} \right|.\left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\left| z \right| + 4} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| – 4} \right)}^2}} $

$ \Leftrightarrow \sqrt {10} .\left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\left| z \right| + 4} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| – 4} \right)}^2}} $

$ \Leftrightarrow 10{\left| z \right|^2} = 2{\left| z \right|^2} + 32$$ \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 4 \Leftrightarrow \left| z \right| = 2.$

Câu 8.  Cho $z \ne 0$ thỏa $(1 – 3i)\left| z \right| = \frac{{4\sqrt {10} }}{z} + 3 + i.$ Giá trị của biểu thức ${\left| z \right|^4} + {\left| z \right|^2}$ bằng

A.  $1$. B.  $2$. C.  $9$. D.  $25$. 

Lời giải 

Chọn B 

Ta có: $(1 – 3i)\left| z \right| = \frac{{4\sqrt {10} }}{z} + 3 + i.$ $ \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| – 3} \right) + \left( { – 3\left| z \right| – 1} \right)i = \frac{{4\sqrt {10} }}{{\overline z }}$

$ \Rightarrow {\left( {\left| z \right| – 3} \right)^2} + {\left( { – 3\left| z \right| – 1} \right)^2} = \frac{{10.16}}{{{{\left| z \right|}^2}}}$ $ \Leftrightarrow {\left| z \right|^4} + {\left| z \right|^2} – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left| z \right|^2} = 1\\{\left| z \right|^2} = – 2\end{array} \right.$ $ \Rightarrow {\left| z \right|^2} = 1$.

Vậy $P = {\rm{|}}z{{\rm{|}}^4} + {\rm{|}}z{{\rm{|}}^2} = 1 + 1 = 2$.

Câu 9.  Cho các số phức ${z_1},{z_2},{z_3}$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1$ và $z_1^3 + z_2^3 + z_3^3 + {z_1}{z_2}{z_3} = 0$. Đặt $z = {z_1} + {z_2} + {z_3}$, giá trị của ${\left| z \right|^3} – 3{\left| z \right|^2}$ bằng:

A.  $ – 2$ B.  $ – 4$ C.  $4$ D.  $2$

Lời giải 

Chọn A 

${z_1} = {z_2} = 1$

$z_1^3 + z_2^3 + z_3^3 + {z_1}{z_2}{z_3} = 0 \Leftrightarrow 1 + 1 + z_3^3 + {z_3} = 0 \Leftrightarrow z_3^3 + {z_3} + 2 = 0 \Leftrightarrow {z_3} = – 1$, thỏa mãn $\left| {{z_3}} \right| = 1$

Khi đó ta có 1 cặp $({z_1},{z_2},{z_2}) = (1;1; – 1)$ thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Khi đó $z = {z_1} + {z_2} + {z_3} = 1 + 1 – 1 = 1$.

$ \Rightarrow {\left| z \right|^3} – 3{\left| z \right|^2} = 1 – 3.1 = – 2$

Câu 10.  Cho số phức $z$ thỏa mãn $z + \frac{1}{z} = 1$.Tìm phần thực của số phức ${z^{2019}} + \frac{1}{{{z^{2019}}}}$.

A.  $1$. B.  $ – 1$. C.  $2$. D.  $ – 2$.

Lời giải 

Chọn D 

Giải phương trình $z + \frac{1}{z} = 1$ ta được 2 nghiệm là ${z_1} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ và ${z_2} = \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$.

Ta thấy $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1$ và $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_1} = \overline {{z_2}} }\\{{z_2} = \overline {{z_1}} }\end{array}} \right.$ nên ${z_1}.{z_2} = {z_1}.\overline {{z_1}} = {z_2}.\overline {{z_2}} = 1$.

Do đó ${z_1}^{2019} + \frac{1}{{{z_1}^{2019}}} = z_1^{2019} + {(\overline {{z_1}} )^{2019}} = z_1^{2019} + z_2^{2019} = {z_2}^{2019} + \frac{1}{{{z_2}^{2019}}}$.

Lại có ${z_1} = cos\frac{\pi }{3} + isin\frac{\pi }{3}$ và ${z_2} = cos( – \frac{\pi }{3}) + isin( – \frac{\pi }{3})$.

Nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z_1^{2019} = cos\frac{{2019\pi }}{3} + isin\frac{{2019\pi }}{3} = cos673\pi + isin673\pi = – 1}\\{z_2^{2019} = cos( – \frac{{2019\pi }}{3}) + isin( – \frac{{2019\pi }}{3}) = cos( – 673\pi ) + isin( – 673\pi ) = – 1}\end{array}} \right.$.

Suy ra $z_1^{2019} + z_2^{2019} = – 2$.

Vậy nếu số phức $z$ thỏa mãn $z + \frac{1}{z} = 1$ thì ${z^{2019}} + \frac{1}{{{z^{2019}}}} = – 2$.

Câu 11.  số phức $z = a + bi\,\left( {a\,,b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $\left( {2 + i} \right)\left( {\overline z + 1 – i} \right) – \left( {2 – 3i} \right)\left( {z + i} \right) = 2 + 5i$. Giá trị của $S = 2a – 3b$ bằng

A.  $S = – 1.$ B.  $S = 5.$ C.  $S = – 5.$ D.  $S = 1.$

Lời giải: 

Chọn B 

Ta có $z = a + bi\,\left( {a\,,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi$

Vậy $\left( {2 + i} \right)\left( {\overline z + 1 – i} \right) – \left( {2 – 3i} \right)\left( {z + i} \right) = 2 + 5i \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)\left( {a – bi + 1 – i} \right) – \left( {2 – 3i} \right)\left( {a + bi + i} \right) = 2 + 5i$

$ \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)\left( {a + 1 – \left( {b + 1} \right)i} \right) – \left( {2 – 3i} \right)\left( {a + \left( {b + 1} \right)i} \right) = 2 + 5i$

$ \Leftrightarrow 2\left( {a + 1} \right) – 2\left( {b + 1} \right)i + \left( {a + 1} \right)i – \left( {b + 1} \right){i^2} – \left( {2a + 2\left( {b + 1} \right)i – 3ai – 3\left( {b + 1} \right){i^2}} \right) = 2 + 5i$

$ \Leftrightarrow 2a + 2 – \left( {2b + 2} \right)i + \left( {a + 1} \right)i + b + 1 – 2a – \left( {2b + 2} \right)i + 3ai – 3b – 3 = 2 + 5i$

$ \Leftrightarrow – 2b + \left( {4a – 3b – 3} \right)i = 2 + 5i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2b = 2\\4a – 4b – 3 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = – 1\end{array} \right.$

Suy ra $S = 2a – 3b = 2.1 – 3.\left( { – 1} \right) = 5.$

Câu 12.  Cho $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D$ là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số phức $1 + 2i;{\rm{ }}1 + \sqrt 3 + i;{\rm{ }}1 + \sqrt 3 – i;{\rm{ }}1 – 2i$. Biết $ABCD$ là tứ giác nội tiếp tâm $I.$ Tâm $I$ biểu diễn số phức nào sau đây?

A.  $z = \sqrt 3 .$ B.  $z = 1 – \sqrt 3 i.$ C.  $z = 1.$ D.  $z = – 1.$

Lời giải: 

Chọn C 

Ta có $\overrightarrow {AB} $ biểu diễn số phức $\sqrt 3 – i;$$\overrightarrow {DB} $ biểu diễn số phức $\sqrt 3 + 3i$.

Mặt khác $\frac{{\sqrt 3 + 3i}}{{\sqrt 3 – i}} = \sqrt 3 i$ nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DB} = 0$.

Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua $Ox$), $\overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AC} = 0$.

Từ đó suy ra $AD$ là một đường kính của đường tròn đi qua $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D.$

Vậy $I\left( {1;0} \right) \Rightarrow z = 1.$

Câu 13.  Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $2\left| {z – i} \right| = \left| {z – \overline z + 2i} \right|$ và $\left| {{z^2} – {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \right| = 16$?

A.  $1$. B.  $2$. C.  $0$. D.  $3$.

Lời giải 

Chọn B 

Gọi $z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a – bi$.

Theo giả thiết, ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}2\left| {z – i} \right| = \left| {z – \overline z + 2i} \right|\\\left| {{z^2} – {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \right| = 16\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left| {a + bi – i} \right| = \left| {a + bi – a + bi + 2i} \right|\\\left| {{{\left( {a + bi} \right)}^2} – {{\left( {a – bi} \right)}^2}} \right| = 16\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left| {a + bi – i} \right| = \left| {\left( {2b + 2} \right)i} \right|\\\left| {\left( {{a^2} + 2abi – {b^2}} \right) – \left( {{a^2} – 2abi – {b^2}} \right)} \right| = 16\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {{a^2} + {{\left( {b – 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2b + 2} \right)}^2}} \\\left| {4abi} \right| = 16\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left[ {{a^2} + {{\left( {b – 1} \right)}^2}} \right] = 4{\left( {b + 1} \right)^2}\\\left| {abi} \right| = 4\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} – 2b + 1 = {b^2} + 2b + 1\\{a^2}{b^2} = 16\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4b\\\left[ \begin{array}{l}ab = 4\\ab = – 4\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{{a^2}}}{4}\\a.\frac{{{a^2}}}{4} = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{{a^2}}}{4}\\a.\frac{{{a^2}}}{4} = – 4\end{array} \right.\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{{a^2}}}{4}\\{a^3} = 16\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{{a^2}}}{4}\\{a^3} = – 16\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = \sqrt[3]{4}\\a = 2\sqrt[3]{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = \sqrt[3]{4}\\a = – 2\sqrt[3]{2}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vậy có 2 số phức $z$ thỏa đề: $z = 2\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}i$ và$z = – 2\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}i$.

Câu 14.  Số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z – 3 – 4i} \right| = \sqrt 5 $. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = {\left| {z + 2} \right|^2} – {\left| {z – i} \right|^2}$. Tính môđun của số phức $w = M + mi$.

A.  $\left| w \right| = \sqrt {1258} $. B.  $\left| w \right| = 2\sqrt {309} $. C.  $\left| w \right| = 2\sqrt {230} $. D.  $\left| w \right| = 2\sqrt {314} $.

Lời giải: 

Chọn A 

Gọi $M\left( {x;y} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z$.

Với giả thiết $\left| {z – 3 – 4i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – 3} \right)}^2} + {{\left( {y – 4} \right)}^2}} = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} = 5$.

Nên $M$ nằm trên đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3\,;4} \right)$; bán kính $R = \sqrt 5 $.

Có $P = {\left| {z + 2} \right|^2} – {\left| {z – i} \right|^2} \Rightarrow P = \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} \right] – \left[ {{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} \right]$.

$ \Leftrightarrow P = 4x + 2y + 3 \Leftrightarrow 4x + 2y + 3 – P = 0$.

Nên $M$ nằm trên đường thẳng $d:4x + 2y + 3 – P = 0$.

Suy ra đường tròn $\left( C \right)$ và đường thẳng $d$ phải có điểm chung.

$d\left( {I;d} \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {23 – P} \right|}}{{2\sqrt 5 }} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {23 – P} \right| \le 10 \Leftrightarrow – 10 \le 23 – P \le 10$.

$ \Leftrightarrow 13 \le P \le 33$.

Như vậy $\left\{ \begin{array}{l}M = 33\\m = 13\end{array} \right. \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{33}^2} + {{13}^2}} = \sqrt {1258} $.

Câu 15.  Gọi $z = x + yi\;\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ là số phức thỏa mãn hai điều kiện ${\left| {z – 2} \right|^2} + {\left| {z + 2} \right|^2} = 26$ và $\left| {z – \frac{3}{{\sqrt 2 }} – \frac{3}{{\sqrt 2 }}i} \right|$ đạt giá trị lớn nhất. Tính tích $xy$

A.  $xy = \frac{9}{4}.$ B.  $xy = \frac{{13}}{2}.$ C.  $xy = \frac{{16}}{9}.$ D.  $xy = \frac{9}{2}.$

Lời giải: 

Chọn D 

Đặt $z = x + iy\;\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right).$

${\left| {z – 2} \right|^2} + {\left| {z + 2} \right|^2} = 26 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 36$

Đặt $x = 3\cos t,\;y = 3\sin t.$ Ta có :

$P = {\rm{\;}}\left| {z – \frac{3}{{\sqrt 2 }} – \frac{3}{{\sqrt 2 }}i} \right| = \sqrt {18 – 18\sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right)} \le 6.$

Dấu bằng xảy ra khi $\sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right) = – 1 \Rightarrow t = – \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow z = – \frac{{3\sqrt 2 }}{2} – \frac{{3\sqrt 2 }}{2}i.$

Câu 16.  Biết số phức $z$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $\left| {z – 3 – 4i} \right| = \sqrt 5 $ và biểu thức${\left| {z + 2} \right|^2} – {\left| {z – i} \right|^2}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức $z + i$

A.  $\left| {z + i} \right| = 2\sqrt {41} .$ B.  $\left| {z + i} \right| = 3\sqrt 5 .$ C.  $\left| {z + i} \right| = 5\sqrt 2 $ D.  $\left| {z + i} \right| = \sqrt {41} .$

Lời giải: 

Chọn D 

Gọi $z = x + yi;{\rm{ }}\left( {x \in \mathbb{R};y \in \mathbb{R}} \right)$.

Ta có: $\left| {z – 3 – 4i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow \left( C \right):{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} = 5$: tâm $I\left( {3;4} \right)$ và $R = \sqrt 5 .$

$M = {\left| {z + 2} \right|^2} – {\left| {z – i} \right|^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} – \left[ {\left( {{x^2}} \right) + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} \right] = 4x + 2y + 3 \Leftrightarrow d:4x + 2y + 3 – M = 0.$

Do số phức $z$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên $d$ và $\left( C \right)$ có điểm chung

$ \Leftrightarrow d\left( {I;d} \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {23 – M} \right|}}{{2\sqrt 5 }} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {23 – M} \right| \le 10 \Leftrightarrow 13 \le M \le 33$

$ \Rightarrow {M_{\max }} = 33 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 2y – 30 = 0\\{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = – 5\end{array} \right. \Rightarrow z + i = 5 – 4i \Rightarrow \left| {z + i} \right| = \sqrt {41} .$

Câu 17.  Trong mặt phẳng phức $Oxy$, các số phức $z$ thỏa $\left| {z + 2i – 1} \right| = \left| {z + i} \right|$. Tìm số phức $z$ được biểu diễn bởi điểm $M$sao cho $MA$ ngắn nhất với $A\left( {1,3} \right)$.

A.  $3 + i$ B.  $1 + 3i$ C.  $2 – 3i$ D.  $ – 2 + 3i$

Lời giải: 

Chọn A 

Gọi $M\left( {x,y} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$

Gọi $E\left( {1, – 2} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $1 – 2i$

Gọi $F\left( {0, – 1} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $ – i$

Ta có : $\left| {z + 2i – 1} \right| = \left| {z + i} \right| \Leftrightarrow ME = MF$$ \Rightarrow $ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường trung trục $EF:x – y – 2 = 0$ .

Để $MA$ ngắn nhất khi $MA \bot EF$ tại $M$$ \Leftrightarrow M\left( {3,1} \right) \Rightarrow z = 3 + i$ => Đáp án A. 

Câu 18.  Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện : $\left| {z – 1 + 2i} \right| = \sqrt 5 $ và $w = z + 1 + i$ có môđun lớn nhất. Số phức $z$ có môđun bằng:

A.  $2\sqrt 5 $ B.  $3\sqrt 2 $ C.  $\sqrt 6 $ D.  $5\sqrt 2 $

Lời giải: 

Chọn B 

Gọi $z = x + yi\quad \left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\quad \Rightarrow z – 1 + 2i = \left( {x – 1} \right) + \left( {y + 2} \right)i$

Ta có: $\left| {z – 1 + 2i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5$

Suy ra tập hợp điểm $M\left( {x;y} \right)$ biểu diễn số phức $z$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( {1; – 2} \right)$ bán kính $R = \sqrt 5 $ như hình vẽ:

Dễ thấy $O \in \left( C \right)$, $N\left( { – 1; – 1} \right) \in \left( C \right)$

Theo đề ta có: $M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)$là điểm biểu diễn cho số phức $z$thỏa mãn:

$w = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = \left( {x + 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i$

$ \Rightarrow \left| {z + 1 + i} \right| = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|$

Suy ra $\left| {z + 1 + i} \right|$đạt giá trị lớn nhất $ \Leftrightarrow MN$lớn nhất

Mà $M,N \in \left( C \right)$ nên $MN$lớn nhất khi $MN$ là đường kính đường tròn $\left( C \right)$

$ \Leftrightarrow I$ là trung điểm $MN \Rightarrow M\left( {3; – 3} \right) \Rightarrow z = 3 – 3i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 $

Câu 19.  Cho số phức $z$ thỏa mãn Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện sau $\left| {z + 1} \right| = \left| {\frac{{z + \overline z }}{2} + 3} \right|$, hãy tìm căn bậc hai của số phức z có môđun nhỏ nhất.

A.  $2$ B.  $ \pm i\sqrt 2 $ C.  $ – 2$ D.  $\sqrt 2 $

Lời giải: 

Chọn B 

Đặt $z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$

Khi đó $\left| {z + 1} \right| = \left| {\frac{{z + \overline z }}{2} + 3} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {x + 1} \right) + yi} \right| = \left| {x + 3} \right|$

$ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} \Leftrightarrow {y^2} = 4x + 8$

Ta có $\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + 4x + 8} = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 4} \ge 2$

Dấu = xảy ra khi $x = – 2 \Rightarrow y = 0$. Vậy số phức $z = – 2$.

Vậy căn bậc hai của số số phức $z = – 2$ là $ \pm i\sqrt 2 $.

Câu 20.  Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| {\frac{{\left( {1 + i} \right)z}}{{1 – i}} + 2} \right| = \sqrt 3 $, gọi ${z_1}$ là số phức có số phức z có môđun nhỏ nhất và ${z_2}$ là số phức có môđun lớn nhất. Tìm số phức ${z_1} + {z_2}$.

A.  $\left( {2 + \sqrt 3 } \right)i$ B.  $\left( {2 + \sqrt 3 } \right)i$ C.  $4i$ D.  $2\sqrt 3 i$

Lời giải: 

Chọn C 

Đặt $z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$. Ta có : $\left| {\frac{{\left( {1 + i} \right)z}}{{1 – i}} + 2} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {i\left( {x + yi} \right) + 2} \right| = \sqrt 3 $

$ \Leftrightarrow \left| {\left( {2 – y} \right) + xi} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 3$ $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{y – 2}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = 1$

Đặt $x = \sqrt 3 \sin \alpha ,y = 2 + \sqrt 3 \cos \alpha $ thì tìm được $\left| z \right|$ lớn nhất khi $z = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)i$ và $\left| z \right|$ nhỏ nhất khi $z = \left( {2 – \sqrt 3 } \right)i$.

Vậy ${z_1} + {z_2} = 4i$

Bài trướcBộ 5 Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2021 Môn Toán Có Đáp Án Và Lời Giải-Bộ 2
Bài tiếp theoChuyên Đề Thể Tích Khối Đa Diện Có Yếu Tố Góc Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Có Đáp Án Và Lời Giải
Nhận thông báo qua email
Thông báo cho
guest

0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments