Chuyên Đề Tính Tích Phân Bằng Tính Chất Và Định Nghĩa Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Có Đáp Án Và Lời Giải

0
763

Chuyên đề tính tích phân bằng tính chất và định nghĩa luyện thi tốt nghiệp THPT có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 16 của đề tham khảo môn Toán.

TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT

Ⓐ Tóm tắt lý thuyết

Vấn đề ①: Tích phân dùng định nghĩa

.Phương pháp:

Nhận xét: Tích phân của hàm số $f$ từ a đến b có thể kí hiệu bởi $\int\limits_a^b {f(x)dx} $ hay $\int\limits_a^b {f(t)dt} .$ Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận ab mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

. Chú ý: Học thuộc bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản thường gặp.

Vấn đề ②: Tích phân dùng tính chất

 .Phương pháp:

Giả sử cho hai hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ liên tục trên $K,a,b,c$ là ba số bất kỳ thuộc$K$. Khi đó ta có

①.\(\int\limits_a^a {f(x)dx = 0} \) ②.\(\int\limits_a^b {f(x)} dx = – \int\limits_b^a {f(x)dx} \).

③.\(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} \) ④.\(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} \).

⑤.\(\int\limits_a^b {kf(x)dx} = k.\int\limits_a^b {f(x)dx} \).

Bài tập minh họa:

Câu 1: Tính tích phân $\int\limits_a^b {{\rm{d}}x} $.

Ⓐ. $a – b$. Ⓑ. $a.b$. Ⓒ.$b – a$. Ⓓ. $a + b$.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $\int\limits_a^b {{\rm{d}}x} = x\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. = b – a$

PP nhanh trắc nghiệm

 

Câu 2: Giá trị của $\int\limits_{ – 1}^0 {{{\rm{e}}^{x + 1}}{\rm{d}}x} $ bằng

Ⓐ. $1 – {\rm{e}}$ . Ⓑ. ${\rm{e}} – 1$. Ⓒ.$ – {\rm{e}}$. Ⓓ. ${\rm{e}}$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $\int\limits_{ – 1}^0 {{{\rm{e}}^{x + 1}}{\rm{d}}x} $ = $\left. {{{\rm{e}}^{x + 1}}} \right|_{ – 1}^0$ = ${\rm{e}} – 1$ .

PP nhanh trắc nghiệm

 

Câu 3: Tích phân $I = \int\limits_0^1 {{x^{2020}}{\rm{d}}x} $ bằng

Ⓐ. $\frac{1}{{2021}}$. Ⓑ. $0$. Ⓒ.$\frac{1}{{2019}}$. Ⓓ. $1$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $I = \int\limits_0^1 {{x^{2020}}{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{{x^{2021}}}}{{2021}}} \right|_0^1 = \frac{1}{{2021}}$.

PP nhanh trắc nghiệm

 

Câu 4: Cho biết $\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} $ và $\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x = – 2} $. Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {\left[ {2x + f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x$.

Ⓐ. $I = 11$. Ⓑ. $I = 18$. Ⓒ.$I = 5$. Ⓓ. $I = 3$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $I = \int\limits_0^2 {\left[ {2x + f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x$$ = \int\limits_0^2 {2x{\rm{d}}x} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – 2\int\limits_0^2 {g\left( x \right)} {\rm{d}}x$$ = 4 + 3 – 2.\left( { – 2} \right) = 11$.

PP nhanh trắc nghiệm

 

 

Ⓑ Bài tập rèn luyện

Câu 1: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$, $f\left( 0 \right) = 1$ và $\int\limits_0^2 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = – 3$. Tính $f\left( 2 \right)$.

A. $f\left( 2 \right) = 4$. B. $f\left( 2 \right) = – 4$. C. $f\left( 2 \right) = – 2$. D. $f\left( 2 \right) = – 3$.

Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$, biết $\int\limits_0^9 {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = 9$và $F\left( 0 \right) = 3$. Giá trị của $F\left( 9 \right)$bằng

A. $F\left( 9 \right) = 6$ B. $F\left( 9 \right) = 12$ C. $F\left( 9 \right) = – 6$ D. $F\left( 9 \right) = – 12$

Câu 3: Biết $F\left( x \right)\,$ là nguyên hàm của $f\left( x \right) = {4^x}\,$ và $F\left( 1 \right) = \frac{3}{{\ln 2}}$. Khi đó giá trị của $F\left( 2 \right)\,$ bằng.

A. $\frac{9}{{\ln 2}}$. B. $\frac{8}{{\ln 2}}$. C. $\frac{3}{{\ln 2}}$. D. $\frac{7}{{\ln 2}}$.

Câu 4: Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 2$ và $\int\limits_1^6 {f\left( x \right)} dx = 5$, khi đó $\int\limits_0^6 {f\left( x \right)} dx$ bằng?

A. $7$. B. $ – 3$. C. $6$. D. $10$

Câu 5: Cho $a,\,b > 0$. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. $\ln \frac{a}{b} = \ln a + \ln \frac{1}{b}$. B. $\ln \frac{a}{b} = \ln a – \ln \frac{1}{b}$. C. $\ln \frac{a}{b} = \ln b – \ln a$. D. $\ln \frac{a}{b} = \frac{{\ln a}}{{\ln b}}$.

Câu 6: Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2$ và $\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = 1$. Khi đó $\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]dx} $ bằng

A. 4. B. 3. C. 0. D. 1.

Câu 7: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên đoạn $\left[ {1;2} \right]$, $f\left( 1 \right) = 1$ và $f\left( 2 \right) = 2$. Tính $I = \int\limits_1^2 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} $.

A. $I = 3$. B. $I = 1$. C. $I = – 1$. D. $I = \frac{7}{2}$.

Câu 8: Cho $\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 17$ và $\int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – 11$ với $a < b < c$. Tính $I = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} $.

A. $I = – 6$. B. $I = 6$. C. $I = 28$. D. $I = – 28$.

Câu 12: Cho $a < b < c$, $\int\limits_a^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 5{\mkern 1mu} $ và $\int\limits_c^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 2{\mkern 1mu} $. Tính $\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x{\mkern 1mu} $.

A. $\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 7$. B. $\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = – 2$. C. $\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 1$. D. $\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 3$.

Câu 13: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left[ {0;1} \right]$, $f\left( 0 \right) = 1$, $f\left( 1 \right) = – 1$, tính $I = \int\limits_1^0 {f’\left( x \right)dx} $.

A. $I = 2$. B. $I = – 2$. C. $I = 1$. D. $I = 0$.

Câu 14: Cho hai số thực dương $a$ và $b$, với $a > b$, $\left( {a – 1} \right)\left( {b – 1} \right) > 0$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

A. $\left( {{b^2} – {a^2}} \right){\log _b}a < 0$. B. $\left( {{a^2} – {b^2}} \right){\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) < 0$.

C. $\left( {a – b} \right){\log _{\frac{1}{b}}}a > 0$. D. $\left( {a – b} \right){\log _a}b > 0$.

Câu 15: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ { – 1;1} \right]$ thỏa mãn $\int\limits_{ – 1}^1 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = 5$ và $f\left( { – 1} \right) = 4$. Tìm $f\left( 1 \right)$.

A. $f\left( 1 \right) = – 1$. B. $f\left( 1 \right) = 1$. C. $f\left( 1 \right) = 9$. D. $f\left( 1 \right) = – 9$.

Câu 16: Trong các mệnh đề sau,mệnh đề nào sai?

A. Nếu $0 \ne a < 1$ thì ${\log _a}M > {\log _a}N \Leftrightarrow 0 < M < N$. B. Nếu $0 < a < 1$ thì ${\log _a}2007 > {\log _a}2008$.

C. Nếu $M,N > 0$ và $0 < a \ne 1$ thì ${\log _a}\left( {M.N} \right) = {\log _a}M.{\log _a}N$. D. Nếu $a > 1$ thì ${\log _a}M > {\log _a}N \Leftrightarrow M > N > 0$.

Câu 17: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 2$ và $f\left( 3 \right) = 9$. Tính $I = \int\limits_1^3 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} $.

A. $I = 11$. B. $I = 7$. C. $I = 2$. D. $I = 18$.

Câu 18: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. $\ln x > 0 \Leftrightarrow x > 1$. B. ${\log _2}x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1$.

C. ${\log _{\sqrt 2 }}a = {\log _{\sqrt 2 }}b \Leftrightarrow a = b > 0$. D. ${\log _{\frac{1}{3}}}a > {\log _{\frac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a > b > 0$.

Câu 19: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $R$ và có $\int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = 9;\;\int\limits_2^4 {f(x){\rm{d}}x} = 4.$Tính $I = \int\limits_0^4 {f(x){\rm{d}}x} .$

A. $I = 5$. B. $I = 36$. C. $I = \frac{9}{4}$. D. $I = 13$.

Câu 20: Cho $a,b$ là các số thực dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. ${\log _{{a^2}}}{b^3} = \frac{2}{3}{\log _a}b$. B. ${\log _a}{a^2}b = 2 + {\log _a}b$.

C. ${\log _a}\frac{b}{a} = {\log _a}b – 1$. D. ${\log _a}b.{\log _b}a = 1$.

Câu 21: Giá trị của $\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x} $ là:

A. ${e^4} – 1$. B. $4{e^4}$. C. ${e^4}$. D. $3{e^4} – 1$.

Câu 22: Tích phân $\int\limits_{ – 1}^0 {\frac{1}{{\sqrt {1 – 2x} }}{\rm{d}}x} $ bằng

A. $1 – \sqrt 3 $ B. $\sqrt 3 – 1$ C. $\sqrt 3 + 1$ D. $ – \sqrt 3 – 1$

Câu 23: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\int {{\rm{d}}x} = x + 2C$($C$ là hằng số). B. $\int {{x^n}{\rm{d}}x} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$($C$ là hằng số; $n \in \mathbb{Z}$).

C. $\int {0{\rm{d}}x} = C$($C$ là hằng số). D. $\int {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = {{\rm{e}}^x} – C$($C$ là hằng số).

Câu 24: Biết $\int_0^1 {{e^{4x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{e^a} – 1}}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. $a < b$. B. $a = b$. C. $a + b = 10$. D. $a = 2b$.

Câu 25: Giá trị của $\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x} $ là:

A. $3{e^4}$. B. $4{e^4}$. C. ${e^4} – 1$. D. ${e^4}$.

Câu 26: $I = \int\limits_{\frac{1}{e}}^e {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} $ có giá trị là:

A. $0$. B. $e$. C. $ – 2$. D. $2$.

Câu 27: Tích phân $I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} $ bằng

A. $I = 2\left( {{{\rm{e}}^2} – 1} \right)$. B. $I = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2}$. C. $\frac{{{{\rm{e}}^2} – 1}}{2}$. D. ${{\rm{e}}^2} – 1$.

Câu 28: Tích phân $\int\limits_0^1 {{e^{ – x}}{\rm{d}}x} $ bằng

A. $e – 1$ B. $\frac{1}{e} – 1$ C. $\frac{{e – 1}}{e}$ D. $\frac{1}{e}$

Câu 29: Biết rằng $\int\limits_0^{\ln a} {{e^x}{\rm{d}}x} = 1$, khi đó giá trị của $a$ là:

A. $a = 1$. B. $a = 3$. C. $a = 2$. D. $a = 4$.

Câu 30: Tích phân $\int\limits_1^2 {2x{\rm{d}}x} $ có giá trị là:

A. $2$. B. $3$. C. $1$. D. $4$.

Câu 31: Cho $\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10$. Kết quả $\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng:

A. $34$. B. $36$. C. $40$. D. $32$.

Câu 32: Cho $0 < a < \frac{\pi }{2}$, $0 < b < \frac{\pi }{2}$, khi đó.

A. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{{\cos b}} – \frac{1}{{\cos a}}$. B. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} {\rm{d}}x = \tan a – \tan b$.

C. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{{\cos a}} – \frac{1}{{\cos b}}$. D. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} {\rm{d}}x = \tan b – \tan a$.

Câu 33: Cho miền phẳng $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = \sqrt x $, hai đường thẳng $x = 1$, $x = 2$ và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( D \right)$ quanh trục hoành.

A. $3\pi $. B. $\frac{{3\pi }}{2}$. C. $\frac{{2\pi }}{3}$. D. $\frac{3}{2}$.

Câu 34: Tích phân $I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{x + 1}}{\rm{d}}x} $ bằng

A. ${{\rm{e}}^2} – 1$. B. ${{\rm{e}}^2} – {\rm{e}}$. C. ${{\rm{e}}^2} + {\rm{e}}$. D. ${\rm{e}} – {{\rm{e}}^2}$.

Câu 35: Tích phân $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{{x + 3}}{\rm{d}}x} $ bằng:

A. $\ln \left[ {4\left( {{\rm{e}} + 3} \right)} \right]$. B. $\ln \left( {{\rm{e}} – 2} \right)$. C. $\ln \left( {{\rm{e}} – 7} \right)$. D. $\ln \left( {\frac{{3 + {\rm{e}}}}{4}} \right)$.

Câu 36: Tính $I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{3x}}.{\rm{d}}x} $.

A. $I = {{\rm{e}}^3} – 1$. B. $I = {\rm{e}} – 1$. C. $\frac{{{{\rm{e}}^3} – 1}}{3}$. D. $I = {{\rm{e}}^3} + \frac{1}{2}$.

Câu 37: Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin x{\rm{d}}x} $.

A. $I = \frac{{2 – \sqrt 2 }}{2}$. B. $I = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$. C. $I = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}$. D. $I = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}$.

Câu 38: Tính $I = \int\limits_0^1 {{e^{2x}}{\rm{d}}x} $.

A. $e + \frac{1}{2}$. B. $e – 1$. C. ${e^2} – 1$. D. $\frac{{{e^2} – 1}}{2}$.

Câu 39: Tích phân $\int\limits_1^e {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} $ có giá trị bằng

A. $1$. B. $1 – e$. C. $e – 1$. D. $2$.

Câu 40: Tích phân $f\left( x \right) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos x{\rm{d}}x} $ bằng

A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ C. $ – \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ D. $ – \frac{1}{2}$

Câu 41: Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ – x}}{\rm{d}}x} $.

A. $ – \frac{1}{2}$. B. $\frac{1}{2}$. C. $2$. D. $0$.

Câu 42: Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {2{e^x}dx} $.

A. $I = {e^2} – 2e$. B. $I = 2e$. C. $I = 2e + 2$. D. $I = 2e – 2$.

Câu 43: Nếu $\int\limits_0^m {\left( {2x – 1} \right){\rm{d}}x} = 2$ thì $m$ có giá trị bằng

A. $\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = – 2\end{array} \right.$. B. $\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.$. C. $\left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = 2\end{array} \right.$. D. $\left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = – 2\end{array} \right.$.

Câu 44: Cho $\int\limits_2^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{x}} = \ln a$. Tìm $a$.

A. $\frac{5}{2}$. B. $5$. C. $2$. D. $\frac{2}{5}$.

Câu 45: Tính $I = \int\limits_{ – 1}^2 {2x{\rm{d}}x} $. Chọn kết quả đúng:

A. $ – 6$. B. $ – 3$. C. $6$. D. $3$.

Câu 46: Giá trị của $\int\limits_0^3 {{\rm{d}}x} $ bằng

A. $3$. B. $2$. C. $0$. D. $1$.

Câu 47: $\int\limits_a^b x {\rm{d}}x$ bằng.

A. $ – \frac{1}{2}\left( {{b^2} – {a^2}} \right)$. B. $ – \frac{1}{2}\left( {{a^2} – {b^2}} \right)$. C. $b – a$. D. $\frac{1}{2}\left( {{a^2} – {b^2}} \right)$.

Câu 48: Tích phân $I = \int\limits_0^2 {\left( {2x – 1} \right){\rm{d}}x} $ có giá trị bằng:

A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $0$.

Câu 49: Tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right){\rm{d}}x} $ bằng.

A. $\frac{{1 – \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}$. B. $1 – \sqrt 2 $. C. $\frac{{\sqrt 2 – 1}}{{\sqrt 2 }}$. D. $\sqrt 2 – 1$.

Câu 50: Tích phân $I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\sin }^2}x}}} $ bằng?

A. $\cot \frac{\pi }{3} – \cot \frac{\pi }{4}$. B. $\cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{4}$. C. $ – \cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{4}$. D. $ – \cot \frac{\pi }{3} – \cot \frac{\pi }{4}$.

Câu 51: Cho $\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10$. Kết quả $\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng

A. $32$. B. $34$. C. $36$. D. $40$.

Câu 52: Giả sử $\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 37$ và $\int\limits_9^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 16$. Khi đó, $I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g(x)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng:

A. $I = 26$. B. $I = 58$. C. $I = 143$. D. $I = 122$.

Câu 53: Cho $\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10$. Khi đó $\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng:

A. 36. B. 40. C. 34. D. 32.

Câu 54: Tính tích phân $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{1 + x}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} $.

A. $I = 1 + \frac{1}{{\rm{e}}}$ B. $I = 2 – \frac{1}{{\rm{e}}}$ C. $I = 2 + \frac{1}{{\rm{e}}}$ D. $I = 1 – \frac{1}{{\rm{e}}}$

Câu 55: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) + 2x} \right){\rm{d}}x} = 5$. Tính $\int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} $.

A. $ – 9$. B. $ – 1$. C. $9$. D. $1$.

Câu 56: Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3 – 2x}}} $

A. $ – \frac{1}{2}\ln 3$. B. $ – \ln 3$. C. $\frac{1}{2}\ln 3$. D. $\frac{1}{2}\log 3$.

Câu 57: Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\,$ và $\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\,$, khi $\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \,$ bằng

A. $ – 3$ B. $12$ C. $ – 8$ D. $1$

Câu 58: Cho hai hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$liên tục trên $\left[ {1;3} \right]$ thỏa mãn$\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx = 1$, $\int\limits_1^3 {g\left( x \right)} dx = 3$Tính $\int\limits_3^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]} dx$?

A. $1$ B. $\frac{5}{2}$ C. $ – 1$ D. $5$

Câu 59: Biết tích phân $\int\limits_0^1 {\frac{{2x + 3}}{{2 – x}}{\rm{d}}x} = a\ln 2 + b$ ($a$, $b \in \mathbb{Z}$), giá trị của $a$ bằng:

A. $7$ B. $2$ C. $3$ D. $1$

Hướng dẫn giải

 Dạng 02: Câu hỏi giải bằng định nghĩa, ý nghĩa HH

Câu 1: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$, $f\left( 0 \right) = 1$ và $\int\limits_0^2 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = – 3$. Tính $f\left( 2 \right)$.

A. $f\left( 2 \right) = 4$. B. $f\left( 2 \right) = – 4$. C. $f\left( 2 \right) = – 2$. D. $f\left( 2 \right) = – 3$.

Lời giải

Ta có $\int\limits_0^2 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^2 = f\left( 2 \right) – f\left( 0 \right) = – 3 \Rightarrow f\left( 2 \right) = – 3 + f\left( 0 \right) = – 3 + 1 = – 2$.

Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$, biết $\int\limits_0^9 {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = 9$và $F\left( 0 \right) = 3$. Giá trị của $F\left( 9 \right)$bằng

A. $F\left( 9 \right) = 6$ B. $F\left( 9 \right) = 12$ C. $F\left( 9 \right) = – 6$ D. $F\left( 9 \right) = – 12$

Lời giải

$\int\limits_0^9 {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x$$ = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^9$$ = F\left( 9 \right) – F\left( 0 \right) = 9$$ \Leftrightarrow F\left( 9 \right) = F\left( 0 \right) + 9$$ = 3 + 9 = 12$.

Câu 3: Biết $F\left( x \right)\,$ là nguyên hàm của $f\left( x \right) = {4^x}\,$ và $F\left( 1 \right) = \frac{3}{{\ln 2}}$. Khi đó giá trị của $F\left( 2 \right)\,$ bằng.

A. $\frac{9}{{\ln 2}}$. B. $\frac{8}{{\ln 2}}$. C. $\frac{3}{{\ln 2}}$. D. $\frac{7}{{\ln 2}}$.

Lời giải

Ta có: $F\left( 2 \right) = \int\limits_1^2 {{4^x}{\rm{d}}x} + F(1) = \frac{9}{{\ln 2}}$.

Câu 4: Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 2$ và $\int\limits_1^6 {f\left( x \right)} dx = 5$, khi đó $\int\limits_0^6 {f\left( x \right)} dx$ bằng?

A. $7$. B. $ – 3$. C. $6$. D. $10$

Lời giải

Ta có: $\int\limits_0^6 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_1^6 {f\left( x \right)} dx = 2 + 5 = 7$.

Vậy $\int\limits_0^6 {f\left( x \right)} dx = 7$.

Câu 5: Cho $a,\,b > 0$. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. $\ln \frac{a}{b} = \ln a + \ln \frac{1}{b}$. B. $\ln \frac{a}{b} = \ln a – \ln \frac{1}{b}$. C. $\ln \frac{a}{b} = \ln b – \ln a$. D. $\ln \frac{a}{b} = \frac{{\ln a}}{{\ln b}}$.

Lời giải

Ta có $\ln \frac{a}{b} = \ln \left( {a.\frac{1}{b}} \right) = \ln a + \ln \frac{1}{b}$.

Câu 6: Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2$ và $\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = 1$. Khi đó $\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]dx} $ bằng

A. 4. B. 3. C. 0. D. 1.

Lời giải

Ta có $\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} – 2\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = 2 – 2.1 = 0$.

Câu 7: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên đoạn $\left[ {1;2} \right]$, $f\left( 1 \right) = 1$ và $f\left( 2 \right) = 2$. Tính $I = \int\limits_1^2 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} $.

A. $I = 3$. B. $I = 1$. C. $I = – 1$. D. $I = \frac{7}{2}$.

Lời giải

$I = \int\limits_1^2 {f'(x){\rm{d}}x} = \left. {f(x)} \right|_1^2 = f(2) – f(1) = 2 – 1 = 1$.

Câu 8: Cho $\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 17$ và $\int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – 11$ với $a < b < c$. Tính $I = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} $.

A. $I = – 6$. B. $I = 6$. C. $I = 28$. D. $I = – 28$.

Lời giải

Với $a < b < c$: $\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} $.

$ \Rightarrow I = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} – \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = 17 + 11$$ = 28$.

Câu 12: Cho $a < b < c$, $\int\limits_a^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 5{\mkern 1mu} $ và $\int\limits_c^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 2{\mkern 1mu} $. Tính $\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x{\mkern 1mu} $.

A. $\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 7$. B. $\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = – 2$. C. $\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 1$. D. $\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 3$.

Lời giải

Ta có: $\int\limits_a^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_b^c {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x – \int\limits_c^b {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 3$.

Câu 13: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left[ {0;1} \right]$, $f\left( 0 \right) = 1$, $f\left( 1 \right) = – 1$, tính $I = \int\limits_1^0 {f’\left( x \right)dx} $.

A. $I = 2$. B. $I = – 2$. C. $I = 1$. D. $I = 0$.

Lời giải

Ta có: $I = \int\limits_1^0 {f’\left( x \right)dx} = f\left( 0 \right) – f\left( 1 \right) = 2$.

Câu 14: Cho hai số thực dương $a$ và $b$, với $a > b$, $\left( {a – 1} \right)\left( {b – 1} \right) > 0$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

A. $\left( {{b^2} – {a^2}} \right){\log _b}a < 0$. B. $\left( {{a^2} – {b^2}} \right){\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) < 0$.

C. $\left( {a – b} \right){\log _{\frac{1}{b}}}a > 0$. D. $\left( {a – b} \right){\log _a}b > 0$.

Lời giải

$a > b$ nên $a – b > 0(1)$,.

Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}a > b > 0\\\left( {a – 1} \right)\left( {b – 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > b > 1\\1 > a > b > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{b}}}\left( a \right) = – {\log _b}a < 0(2)$.

Từ $(1);(2)$ $\left( {a – b} \right){\log _{\frac{1}{b}}}\left( a \right) > 0$ sai.

Câu 15: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ { – 1;1} \right]$ thỏa mãn $\int\limits_{ – 1}^1 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = 5$ và $f\left( { – 1} \right) = 4$. Tìm $f\left( 1 \right)$.

A. $f\left( 1 \right) = – 1$. B. $f\left( 1 \right) = 1$. C. $f\left( 1 \right) = 9$. D. $f\left( 1 \right) = – 9$.

Lời giải

$\int\limits_{ – 1}^1 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = 5$$ \Rightarrow $ $f\left( 1 \right) – f\left( { – 1} \right) = 5$$ \Rightarrow f\left( 1 \right) – 4 = 5$$ \Rightarrow f\left( 1 \right) = 9$.

Câu 16: Trong các mệnh đề sau,mệnh đề nào sai?

A. Nếu $0 \ne a < 1$ thì ${\log _a}M > {\log _a}N \Leftrightarrow 0 < M < N$. B. Nếu $0 < a < 1$ thì ${\log _a}2007 > {\log _a}2008$.

C. Nếu $M,N > 0$ và $0 < a \ne 1$ thì ${\log _a}\left( {M.N} \right) = {\log _a}M.{\log _a}N$. D. Nếu $a > 1$ thì ${\log _a}M > {\log _a}N \Leftrightarrow M > N > 0$.

Lời giải

Nếu ${\rm{M,}}\,{\rm{N}}\,{\rm{ > 0}}$ và $0 < a \ne 1$ thì ${\log _a}\left( {{\rm{M}}{\rm{.N}}} \right) = {\log _a}{\rm{M + lo}}{{\rm{g}}_a}{\rm{N}}$.

Câu 17: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 2$ và $f\left( 3 \right) = 9$. Tính $I = \int\limits_1^3 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} $.

A. $I = 11$. B. $I = 7$. C. $I = 2$. D. $I = 18$.

Lời giải

Ta có: $I = \int\limits_1^3 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = \left. {f\left( x \right)} \right|_1^3$$ = f\left( 3 \right) – f\left( 1 \right)$$ = 9 – 2 = 7$.

Câu 18: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. $\ln x > 0 \Leftrightarrow x > 1$. B. ${\log _2}x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1$.

C. ${\log _{\sqrt 2 }}a = {\log _{\sqrt 2 }}b \Leftrightarrow a = b > 0$. D. ${\log _{\frac{1}{3}}}a > {\log _{\frac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a > b > 0$.

Lời giải

Do $0 < \frac{1}{3} < 1$ nên ${\log _{\frac{1}{3}}}x$ nghịch biến trên TXĐ. Do đó ${\log _{\frac{1}{3}}}a > {\log _{\frac{1}{3}}}b \Rightarrow 0 < a < b$.

Câu 19: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $R$ và có $\int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = 9;\;\int\limits_2^4 {f(x){\rm{d}}x} = 4.$Tính $I = \int\limits_0^4 {f(x){\rm{d}}x} .$

A. $I = 5$. B. $I = 36$. C. $I = \frac{9}{4}$. D. $I = 13$.

Lời giải

Ta có: $I = \int\limits_0^4 {f(x){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_2^4 {f(x){\rm{d}}x} = 9 + 4 = 13.$

Câu 20: Cho $a,b$ là các số thực dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. ${\log _{{a^2}}}{b^3} = \frac{2}{3}{\log _a}b$. B. ${\log _a}{a^2}b = 2 + {\log _a}b$.

C. ${\log _a}\frac{b}{a} = {\log _a}b – 1$. D. ${\log _a}b.{\log _b}a = 1$.

Lời giải

Ta có ${\log _{{a^2}}}{b^3} = \frac{3}{2}{\log _a}b.$.

 Dạng 03: Sử dụng nguyên hàm cơ bản, mở rộng

Câu 21: Giá trị của $\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x} $ là:

A. ${e^4} – 1$. B. $4{e^4}$. C. ${e^4}$. D. $3{e^4} – 1$.

Lời giải

Ta có: $\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x = \left. {{e^{2x}}} \right|_0^2} = {e^4} – 1$.

Câu 22: Tích phân $\int\limits_{ – 1}^0 {\frac{1}{{\sqrt {1 – 2x} }}{\rm{d}}x} $ bằng

A. $1 – \sqrt 3 $ B. $\sqrt 3 – 1$ C. $\sqrt 3 + 1$ D. $ – \sqrt 3 – 1$

Lời giải

$\int\limits_{ – 1}^0 {\frac{1}{{\sqrt {1 – 2x} }}{\rm{d}}x} = – \frac{1}{2}\int\limits_{ – 1}^0 {\frac{1}{{\sqrt {1 – 2x} }}{\rm{d}}\left( {1 – 2x} \right)} $$ = – \frac{1}{2}.2\sqrt {1 – 2x} \left| \begin{array}{l}0\\ – 1\end{array} \right.$$ = – \sqrt {1 – 2x} \left| \begin{array}{l}0\\ – 1\end{array} \right.$$ = – 1 + \sqrt 3 $.

Câu 23: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\int {{\rm{d}}x} = x + 2C$($C$ là hằng số). B. $\int {{x^n}{\rm{d}}x} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$($C$ là hằng số; $n \in \mathbb{Z}$).

C. $\int {0{\rm{d}}x} = C$($C$ là hằng số). D. $\int {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = {{\rm{e}}^x} – C$($C$ là hằng số).

Lời giải

Đáp án B sai vì công thức trên chỉ đúng khi bổ sung thêm điều kiện $n \ne – 1$.

Câu 24: Biết $\int_0^1 {{e^{4x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{e^a} – 1}}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. $a < b$. B. $a = b$. C. $a + b = 10$. D. $a = 2b$.

Lời giải

Ta có: $\int_0^1 {{e^{4x}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{4}{e^{4x}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array} = \frac{{{e^4} – 1}}{4}} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow a = b.$.

Câu 25: Giá trị của $\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x} $ là:

A. $3{e^4}$. B. $4{e^4}$. C. ${e^4} – 1$. D. ${e^4}$.

Lời giải

$\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x} = {e^4} – 1$.

Câu 26: $I = \int\limits_{\frac{1}{e}}^e {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} $ có giá trị là:

A. $0$. B. $e$. C. $ – 2$. D. $2$.

Lời giải

Sử dụng MTCT  .

Câu 27: Tích phân $I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} $ bằng

A. $I = 2\left( {{{\rm{e}}^2} – 1} \right)$. B. $I = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2}$. C. $\frac{{{{\rm{e}}^2} – 1}}{2}$. D. ${{\rm{e}}^2} – 1$.

Lời giải

Ta có $I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} $$ = \frac{1}{2}\left. {{{\rm{e}}^{2x}}} \right|_0^1$$ = \frac{{{{\rm{e}}^2} – 1}}{2}$.

Câu 28: Tích phân $\int\limits_0^1 {{e^{ – x}}{\rm{d}}x} $ bằng

A. $e – 1$ B. $\frac{1}{e} – 1$ C. $\frac{{e – 1}}{e}$ D. $\frac{1}{e}$

Lời giải

Ta có: $\int\limits_0^1 {{e^{ – x}}{\rm{d}}x} = – {e^{ – x}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array} = – \left( {\frac{1}{e} – 1} \right) = \frac{{e – 1}}{e}} \right.$.

Câu 29: Biết rằng $\int\limits_0^{\ln a} {{e^x}{\rm{d}}x} = 1$, khi đó giá trị của $a$ là:

A. $a = 1$. B. $a = 3$. C. $a = 2$. D. $a = 4$.

Lời giải

Ta có $\int {{e^x}{\rm{d}}x} = {e^x} + C$. Do đó: $\int\limits_0^{\ln a} {{e^x}{\rm{d}}x} = \left. {{e^x}} \right|_0^{\ln a} = {e^{\ln a}} – {e^0} = a – 1 = 1 \Rightarrow a = 2$.

Câu 30: Tích phân $\int\limits_1^2 {2x{\rm{d}}x} $ có giá trị là:

A. $2$. B. $3$. C. $1$. D. $4$.

Lời giải

Ta có: $\int\limits_1^2 {2x{\rm{d}}x} = \left. {{x^2}} \right|_1^2$$ = 3$.

Câu 31: Cho $\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10$. Kết quả $\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng:

A. $34$. B. $36$. C. $40$. D. $32$.

Lời giải

Tacó $\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 2\int\limits_5^2 {{\rm{d}}x} – 4\int\limits_5^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = \left. { – 2x} \right|_2^5 + 4\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – 2.\left( {5 – 2} \right) + 4.10 = 34$.

Câu 32: Cho $0 < a < \frac{\pi }{2}$, $0 < b < \frac{\pi }{2}$, khi đó.

A. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{{\cos b}} – \frac{1}{{\cos a}}$. B. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} {\rm{d}}x = \tan a – \tan b$.

C. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{{\cos a}} – \frac{1}{{\cos b}}$. D. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} {\rm{d}}x = \tan b – \tan a$.

Lời giải

Ta có $\int\limits_{}^{} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} {\rm{d}}x = \tan x + C \Rightarrow \int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} {\rm{d}}x = \tan b – \tan a$.

Câu 33: Cho miền phẳng $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = \sqrt x $, hai đường thẳng $x = 1$, $x = 2$ và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( D \right)$ quanh trục hoành.

A. $3\pi $. B. $\frac{{3\pi }}{2}$. C. $\frac{{2\pi }}{3}$. D. $\frac{3}{2}$.

Lời giải

$V = \pi \int\limits_1^2 {xdx} $$ = \left. {\frac{{\pi {x^2}}}{2}} \right|_1^2 = \frac{{3\pi }}{2}$.

Câu 34: Tích phân $I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{x + 1}}{\rm{d}}x} $ bằng

A. ${{\rm{e}}^2} – 1$. B. ${{\rm{e}}^2} – {\rm{e}}$. C. ${{\rm{e}}^2} + {\rm{e}}$. D. ${\rm{e}} – {{\rm{e}}^2}$.

Lời giải

Ta có $I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{x + 1}}{\rm{d}}x} $$ = \left. {{{\rm{e}}^{x + 1}}} \right|_0^1 = {{\rm{e}}^2} – {\rm{e}}$.

Câu 35: Tích phân $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{{x + 3}}{\rm{d}}x} $ bằng:

A. $\ln \left[ {4\left( {{\rm{e}} + 3} \right)} \right]$. B. $\ln \left( {{\rm{e}} – 2} \right)$. C. $\ln \left( {{\rm{e}} – 7} \right)$. D. $\ln \left( {\frac{{3 + {\rm{e}}}}{4}} \right)$.

Lời giải

$I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{{x + 3}}{\rm{d}}x} = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{{\rm{d}}\left( {x + 3} \right)}}{{x + 3}}} = \ln \left| {x + 3} \right|\left| \begin{array}{l}{\rm{e}}\\1\end{array} \right. = \ln \left( {\frac{{3 + {\rm{e}}}}{4}} \right)$.

Câu 36: Tính $I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{3x}}.{\rm{d}}x} $.

A. $I = {{\rm{e}}^3} – 1$. B. $I = {\rm{e}} – 1$. C. $\frac{{{{\rm{e}}^3} – 1}}{3}$. D. $I = {{\rm{e}}^3} + \frac{1}{2}$.

Lời giải

Ta có $I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{3x}}.{\rm{d}}x} = \frac{1}{3}{{\rm{e}}^{3x}}\left| \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\end{array} \right. = \frac{{{{\rm{e}}^3} – 1}}{3}$.

Câu 37: Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin x{\rm{d}}x} $.

A. $I = \frac{{2 – \sqrt 2 }}{2}$. B. $I = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$. C. $I = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}$. D. $I = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}$.

Lời giải

Ta có $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin x{\rm{d}}x} = – \cos x\left| \begin{array}{l}^{\frac{\pi }{4}}\\_0\end{array} \right.$$ = – \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 1 = \frac{{2 – \sqrt 2 }}{2}$.

Câu 38: Tính $I = \int\limits_0^1 {{e^{2x}}{\rm{d}}x} $.

A. $e + \frac{1}{2}$. B. $e – 1$. C. ${e^2} – 1$. D. $\frac{{{e^2} – 1}}{2}$.

Lời giải

Ta có: $I = \int\limits_0^1 {{e^{2x}}{\rm{d}}x} = \left. {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_0^1 = \frac{{{e^2} – 1}}{2}$.

Câu 39: Tích phân $\int\limits_1^e {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} $ có giá trị bằng

A. $1$. B. $1 – e$. C. $e – 1$. D. $2$.

Lời giải

Ta có $\int\limits_1^e {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} $$ = \left. {\ln x} \right|_1^e = \ln e – \ln 1 = 1$.

Câu 40: Tích phân $f\left( x \right) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos x{\rm{d}}x} $ bằng

A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ C. $ – \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ D. $ – \frac{1}{2}$

Lời giải

$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos x{\rm{d}}x} = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Câu 41: Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ – x}}{\rm{d}}x} $.

A. $ – \frac{1}{2}$. B. $\frac{1}{2}$. C. $2$. D. $0$.

Lời giải

Ta có: $I = \int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ – x}}{\rm{d}}x} $$ = \left. { – {e^{ – x}}} \right|_0^{\ln 2}$$ = \frac{1}{2}$.

Câu 42: Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {2{e^x}dx} $.

A. $I = {e^2} – 2e$. B. $I = 2e$. C. $I = 2e + 2$. D. $I = 2e – 2$.

Lời giải

Ta có $I = \int\limits_0^1 {2{e^x}{\rm{d}}x} $$ = \left. {2{e^x}} \right|_0^1$$ = 2e – 2$.

Câu 43: Nếu $\int\limits_0^m {\left( {2x – 1} \right){\rm{d}}x} = 2$ thì $m$ có giá trị bằng

A. $\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = – 2\end{array} \right.$. B. $\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.$. C. $\left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = 2\end{array} \right.$. D. $\left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = – 2\end{array} \right.$.

Lời giải

Ta có: $\int\limits_0^m {\left( {2x – 1} \right){\rm{d}}x} = 2 \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^2} – x} \right)} \right|_0^m = 2 \Leftrightarrow {m^2} – m – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = 2\end{array} \right.$.

Câu 44: Cho $\int\limits_2^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{x}} = \ln a$. Tìm $a$.

A. $\frac{5}{2}$. B. $5$. C. $2$. D. $\frac{2}{5}$.

Lời giải

Ta có: $\int\limits_2^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{x}} = \ln a \Leftrightarrow \left. {\ln \left| x \right|} \right|_2^5 = \ln a \Leftrightarrow \ln 5 – \ln 2 = \ln a \Leftrightarrow \ln \frac{5}{2} = \ln a \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}$.

Câu 45: Tính $I = \int\limits_{ – 1}^2 {2x{\rm{d}}x} $. Chọn kết quả đúng:

A. $ – 6$. B. $ – 3$. C. $6$. D. $3$.

Lời giải

Ta có: $I = \int\limits_{ – 1}^2 {2x{\rm{d}}x} = \left. {{x^2}} \right|_{ – 1}^2 = 3$.

Câu 46: Giá trị của $\int\limits_0^3 {{\rm{d}}x} $ bằng

A. $3$. B. $2$. C. $0$. D. $1$.

Lời giải

Ta có $\int\limits_0^3 {{\rm{d}}x} = \left. x \right|_0^3 = 3 – 0 = 3$.

Câu 47: $\int\limits_a^b x {\rm{d}}x$ bằng.

A. $ – \frac{1}{2}\left( {{b^2} – {a^2}} \right)$. B. $ – \frac{1}{2}\left( {{a^2} – {b^2}} \right)$. C. $b – a$. D. $\frac{1}{2}\left( {{a^2} – {b^2}} \right)$.

Lời giải

$\int\limits_a^b x dx = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_a^b = \frac{{{b^2}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{2} = – \frac{1}{2}\left( {{a^2} – {b^2}} \right)$.

Câu 48: Tích phân $I = \int\limits_0^2 {\left( {2x – 1} \right){\rm{d}}x} $ có giá trị bằng:

A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $0$.

Lời giải

$I = \int\limits_0^2 {\left( {2x – 1} \right){\rm{d}}x} $$ = \left. {\left( {{x^2} – x} \right)} \right|_0^2 = 2$.

Câu 49: Tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right){\rm{d}}x} $ bằng.

A. $\frac{{1 – \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}$. B. $1 – \sqrt 2 $. C. $\frac{{\sqrt 2 – 1}}{{\sqrt 2 }}$. D. $\sqrt 2 – 1$.

Lời giải

Ta có: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right){\rm{d}}x} $$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin x{\rm{d}}x} $$ = \left. { – \cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}$$ = \frac{{\sqrt 2 – 1}}{{\sqrt 2 }}$.

Câu 50: Tích phân $I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\sin }^2}x}}} $ bằng?

A. $\cot \frac{\pi }{3} – \cot \frac{\pi }{4}$. B. $\cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{4}$. C. $ – \cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{4}$. D. $ – \cot \frac{\pi }{3} – \cot \frac{\pi }{4}$.

Lời giải

Ta có $I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\sin }^2}x}}} $$ = – \cot x\left| \begin{array}{l}^{\frac{\pi }{3}}\\_{\frac{\pi }{4}}\end{array} \right.$$ = – \cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{4}$.

 Dạng 04: Tổng, hiệu, tích với số của các hàm đơn giản

Câu 51: Cho $\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10$. Kết quả $\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng

A. $32$. B. $34$. C. $36$. D. $40$.

Lời giải

Ta có: $\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = – \int\limits_2^5 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = – 2\int\limits_2^5 {{\rm{d}}x} + 4\int\limits_2^5 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x$.

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = – \left. {2x} \right|_2^5 + 4\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } – 6 + 40 = 34$.

Câu 52: Giả sử $\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 37$ và $\int\limits_9^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 16$. Khi đó, $I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g(x)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng:

A. $I = 26$. B. $I = 58$. C. $I = 143$. D. $I = 122$.

Lời giải

Ta có: $I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g(x)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^9 {2f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^9 {3g\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – 3\int\limits_9^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 26$.

Câu 53: Cho $\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10$. Khi đó $\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng:

A. 36. B. 40. C. 34. D. 32.

Lời giải

$\int\limits_5^2 {\left( {2 – 4f\left( x \right)} \right)} {\rm{d}}x = 2\int\limits_5^2 {{\rm{d}}x} – 4\int\limits_5^2 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = – 6 + 40 = 34$.

Câu 54: Tính tích phân $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{1 + x}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} $.

A. $I = 1 + \frac{1}{{\rm{e}}}$ B. $I = 2 – \frac{1}{{\rm{e}}}$ C. $I = 2 + \frac{1}{{\rm{e}}}$ D. $I = 1 – \frac{1}{{\rm{e}}}$

Lời giải

$I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{1 + x}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} $$ = \int\limits_1^{\rm{e}} {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x} $$ = \left. {\left( { – \frac{1}{x} + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^{\rm{e}}$$ = 2 – \frac{1}{{\rm{e}}}$.

Câu 55: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) + 2x} \right){\rm{d}}x} = 5$. Tính $\int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} $.

A. $ – 9$. B. $ – 1$. C. $9$. D. $1$.

Lời giải

Ta có: $\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) + 2x} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^2 {{\rm{2}}x{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 4 = 5$. Do đó $\int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = 1$.

Câu 56: Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3 – 2x}}} $

A. $ – \frac{1}{2}\ln 3$. B. $ – \ln 3$. C. $\frac{1}{2}\ln 3$. D. $\frac{1}{2}\log 3$.

Lời giải

Ta có $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3 – 2x}}} $$ = \left. { – \frac{1}{2}\ln \left| {3 – 2x} \right|} \right|_0^1$$ = \frac{1}{2}\ln 3$.

Câu 57: Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\,$ và $\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\,$, khi $\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \,$ bằng

A. $ – 3$ B. $12$ C. $ – 8$ D. $1$

Lời giải

Có $\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – 2\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = 2 – 2.5 = – 8$.

Câu 58: Cho hai hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$liên tục trên $\left[ {1;3} \right]$ thỏa mãn$\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx = 1$, $\int\limits_1^3 {g\left( x \right)} dx = 3$Tính $\int\limits_3^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]} dx$?

A. $1$ B. $\frac{5}{2}$ C. $ – 1$ D. $5$

Lời giải

$\int\limits_3^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]} dx = – \int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]} dx = – \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx + 2\int\limits_1^3 {g\left( x \right)} dx = – 1 + 2.3 = 5$

 Dạng 05: Hàm phân thức

Câu 59: Biết tích phân $\int\limits_0^1 {\frac{{2x + 3}}{{2 – x}}{\rm{d}}x} = a\ln 2 + b$ ($a$, $b \in \mathbb{Z}$), giá trị của $a$ bằng:

A. $7$ B. $2$ C. $3$ D. $1$

Lời giải

$\int\limits_0^1 {\frac{{2x + 3}}{{2 – x}}{\rm{d}}x} = $$\int\limits_0^1 {\left( { – 2 + \frac{7}{{2 – x}}} \right){\rm{d}}x} = $$\left. {\left( { – 2x – 7\ln \left| {2 – x} \right|} \right)} \right|_0^1$$ = 7\ln 2 – 2$.

 

 

Bài trướcChuyên Đề Tìm Nguyên Hàm Của Hàm Số Lượng Giác Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Có Đáp Án Và Lời Giải
Bài tiếp theoChuyên Đề Tính Tích Phân Cơ Bản Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Có Đáp Án Và Lời Giải
Nhận thông báo qua email
Thông báo cho
guest

0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments