Chuyên đề tính tích phân cơ bản luyện thi tốt nghiệp THPT có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 17 của đề tham khảo môn Toán.
TÍNH TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Ⓐ Tóm tắt lý thuyết
Vấn đề ①: Phương pháp tích phân bằng cách đổi biến số cơ bản
Phương pháp: Cho hàm số $f$ liên tục trên đoạn${\rm{[}}a;b{\rm{]}}{\rm{.}}$Giả sử hàm số$u = u(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn ${\rm{[}}a;b{\rm{]}}$ và $\alpha \le u(x) \le \beta .$ Giả sử có thể viết $f(x) = g(u(x))u'(x),x \in {\rm{[}}a{\rm{;}}b{\rm{],}}$ với $g$ liên tục trên đoạn${\rm{[}}\alpha ;\beta {\rm{]}}.$ Khi đó, ta có
$I = \int\limits_a^b {f(x)dx = }$${\int\limits_a^b {g(u(x)).u'(x)dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {g(u)du} } }$
Để tính tích phân: $I = \int\limits_a^b {g(u(x))u'(x)dx} $ ta thực hiện các bước:
. Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt $t = u\left( x \right)$$ \Rightarrow dt = u'(x)dx$
. Bước 2. Thực hiện phép đổi cận:
Với $x = a$ thì $t = u\left( a \right)$; $x = b$ thì$t = u\left( b \right)$ . (Ghi Nhớ : đổi biến phải đổi cận)
. Bước 3. Đưa về dạng $I = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(t)dt}$ đơn giản và dễ tính hơn.
. Dấu hiệu nhận biết và cách đặt.
| Dấu hiệu | Có thể đặt | |
| . | Có căn $\sqrt {f\left( x \right)}$ | $t = \sqrt {f(x)}$ |
| . | Có ngoặc ${(ax + b)^n}$ | $t = ax + b$ |
| . | Có mũ ${a^{f(x)}}$ | $t = f(x)$ |
| . | Có $\frac{{dx}}{x} và ln x$ | $t = \ln x$ hoặc biểu thức chứa $\ln x$ |
| . | Có ${e^x}dx$ | $t = {e^x}$ hoặc biểu thức chứa ${e^x}$ |
| . | Có $\sin xdx$ | $t = \cos x$ |
| . | Có $\cos xdx$ | $t = \sin xdx$ |
| . | Có $\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}$ | $t = \tan x$ |
| . | Có $\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}$ | $t = \cot x$ |
| . | Có mẫu:$\frac{{f’\left( x \right)dx}}{{f\left( x \right)}}$ | $t =$mẫu |
Bài tập minh họa:
| Câu 1: Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {x{{(1 + {x^2})}^4}} dx$
Ⓐ. $I = \frac{{16}}{5}$ Ⓑ. $I = \frac{{31}}{{10}}$ Ⓒ. $I = \frac{1}{{10}}$ Ⓓ. $I = – \frac{1}{{10}}$ |
|
| Lời giải
Chọn B Đặt $t = 1 + {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx$. Đổi cận $x = 0 \Rightarrow t = 1$;$x = 1 \Rightarrow t = 2$ Nên $I = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^4}}}{2}} dt = \frac{{31}}{{10}}$ |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio:
|
| Câu 2: Tính tích phân $I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} – 1} dx} $ bằng cách đặt $u = {x^2} – 1$, mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ⓐ. $I = 2\int\limits_0^3 {\sqrt u } du$ Ⓑ. $I = \int\limits_1^2 {\sqrt u } du$ Ⓒ. $I = \int\limits_0^3 {\sqrt u } du$ Ⓓ.$I = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\sqrt u } du$ |
|
| Lời giải
Chọn C $I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} – 1} dx} $ Đặt $u = {x^2} – 1 \Rightarrow du = 2xdx$. Đổi cận $x = 1 \Rightarrow u = 0$;$x = 2 \Rightarrow u = 3$ Nên $I = \int\limits_0^3 {\sqrt u } du$ |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: xét hiệu bằng 0
|
| Câu 3: Tính tích phân $I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x\sin xdx} $ .
Ⓐ. $I = – \frac{1}{4}{\pi ^4}$ Ⓑ. $I = – {\pi ^4}$ Ⓒ. $I = 0$ Ⓓ. $I = – \frac{1}{4}$ |
|
| Lời giải
Chọn C Ta có:$I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x.\sin x} dx$. Đặt $t = \cos x \Rightarrow dt = – \sin xdx \Leftrightarrow – dt = \sin xdx$ Đổi cận: với $x = 0 \Rightarrow t = 1$;với$x = \pi \Rightarrow t = – 1$. Vậy$I = – \int\limits_1^{ – 1} {{t^3}} dt = \int\limits_{ – 1}^1 {{t^3}} dt = \left. {\frac{{{t^4}}}{4}} \right|_{ – 1}^1 = \frac{{{1^4}}}{4} – \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^4}}}{4} = 0$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Sử dụng máy tính, tính tích phân hàm lượng giác phải chuyển về đơn vị radian.
|
Vấn đề ②: Tích phân hàm ẩn đổi biến số cơ bản
Phương pháp:
Tính tích phân $I = \int\limits_a^b {g(x)dx} $.Giả sử $g(x)$ được viết dưới dạng $f\left[ {u(x)} \right].u'(x)$,trong đó hàm số $u(x)$có đạo hàm trên$K$, hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp $f\left[ {u(x)} \right]$ xác định trên $K$ và $a,b$ là hai số thuộc $K$.
Khi đó $\int\limits_a^b {f\left[ {u(x)} \right].u'(x)dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} } $
Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho $x$. Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là $\int\limits_a^b {f(x)dx = } \int\limits_a^b {f(u)du = } \int\limits_a^b {f(t)dt = …} $
Bài tập minh họa:
| Câu 1: Biết $f\left( x \right)$là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_0^9 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 9$. Khi đó giá trị của $\int\limits_1^4 {f\left( {3x – 3} \right)} {\rm{d}}x$ là
Ⓐ. $0$. Ⓑ. $27$. Ⓒ. $3$. Ⓓ.$24$. |
|
| Lời giải
Chọn C Đặt $u = 3x – 3$, suy ra $du = 3{\rm{d}}x$. Đổi cận: $x = 1$ thì $u = 0$; $x = 4$ thì $u = 9$. Ta có: $\int\limits_1^4 {f\left( {3x – 3} \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_0^9 {\frac{1}{3}f\left( u \right)} {\rm{d}}u = \frac{1}{3}\int\limits_0^9 {f\left( u \right)} {\rm{d}}u = \frac{1}{3}\int\limits_0^9 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{1}{3}.9 = 3.$. Vậy $\int\limits_1^4 {f\left( {3x – 3} \right)} {\rm{d}}x = 3$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Nếu có $\int\limits_n^m {f\left( x \right)} dx = M$ thì $\begin{array}{l}\int\limits_\alpha ^\beta {f\left( {ax + b} \right)} dx = \frac{M}{a};\\n = a.\alpha + b,m = a.\beta + b\end{array}$ Áp dụng: $\frac{9}{3} = 3$ |
| Câu 2: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $R$ và thỏa mãn $f({x^3} + 2x – 2) = 3x – 1$ với $\forall x \in R$. Tính tích phân $I = \int\limits_1^{10} {f(x)} dx$
Ⓐ. $\frac{{151}}{4}$. Ⓑ. $27$. Ⓒ. $\frac{{121}}{4}$. Ⓓ.$\frac{{105}}{6}$. |
|
| Lời giải
Chọn A Đặt $x = {t^3} + 2t – 2 \Rightarrow dx = \left( {3{t^2} + 2t} \right)dt$, Đổi cận : $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow {t^3} + 2t = 3 \Leftrightarrow t = 1\\x = 10 \Rightarrow {t^3} + 2t = 12 \Leftrightarrow t = 2\end{array} \right.$ Ta có $I = \int\limits_1^2 {f({t^3} + 2t – 2).\left( {3{t^2} + 2t} \right)} dt = \int\limits_1^2 {\left( {3t – 1} \right)\left( {3{t^2} + 2t} \right)} dt$$ = \int\limits_1^2 {\left( {9{t^3} + 3{t^2} – 2t} \right)dt} $ $ = \left. {\left( {\frac{{9{t^4}}}{4} + {t^3} – {t^2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{{151}}{4}$ |
PP nhanh trắc nghiệm
|
| Câu 3: Cho Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $R$ và thỏa mãn $\int\limits_0^{2021} {f(x)dx = 2} $. Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^{2021}} – 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left( {\ln ({x^2} + 1)} \right).dx} $
Ⓐ. $3$. Ⓑ. $5$. Ⓒ. $1$. Ⓓ.$ – 3$. |
|
| Lời giải
Chọn C Đặt $t = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow dt = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}dx \Rightarrow \frac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \frac{1}{2}dt$, Đổi cận : $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \sqrt {{e^{2021}} – 1} \Rightarrow t = 2021\end{array} \right.$ Ta có $I = \frac{1}{2}\int\limits_0^{2021} {f(t)} dt = \frac{1}{2}\int\limits_0^{2021} {f(x)} dx = \frac{1}{2}.2 = 1$ |
PP nhanh trắc nghiệm
|
Vấn đề ③: Tích phân từng phần
. Định lí:
Nếu $u\left( x \right)$ và $v\left( x \right)$ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ thì:
$\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx = \left( {u(x)v(x)} \right)\left| \begin{gathered}b \hfill \\
a \hfill \\\end{gathered} \right. – \int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx} }$
Hay $\int\limits_a^b {udv} $$ = uv\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right.$$ – \int\limits_a^b {vdu} $
.Phương pháp chung:
- Bước 1: Viết $f\left( x \right)dx$ dưới dạng $udv = uv’dx$ bằng cách chọn một phần thích hợp của $f\left( x \right)$ làm $u\left( x \right)$ và phần còn lại $dv = v'(x)dx$
- Bước 2: Tính $du = u’dx$ và $v = \int {dv} $$ = \int {v'(x)dx} $
- Bước 3: Tính $\int\limits_a^b {vu'(x)dx} $ và $uv\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right.$
.Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
| Đặt u theo thứ tự ưu tiên:
Lô-đa-lượng-mũ |
$\int\limits_a^b {P(x){e^x}dx} $ | $\int\limits_a^b {P(x)\ln xdx} $ | $\int\limits_a^b {P(x)\cos xdx} $ | $\int\limits_a^b {{e^x}\cos xdx} $ |
| u | P(x) | lnx | P(x) | ${e^x}$ |
| dv | ${e^x}dx$ | P(x)dx | cosxdx | cosxdx |
Chú ý: Nên chọn $u$ là phần của $f\left( x \right)$ mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn $dv = v’dx$ là phần của $f\left( x \right)dx$ là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
①. Loại 1: Tích phân chứa đa thức với lượng giác hoặc mũ
$\int\limits_\alpha ^\beta {f\left( x \right)\left[ \begin{array}{l}\sin ax\\\cos ax\\{e^{ax}}\end{array} \right]dx} $
Phương pháp:
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \left[ \begin{array}{l}\sin ax\\\cos ax\\{e^{ax}}\end{array} \right]dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f’\left( x \right)dx\\v = \int {\left[ \begin{array}{l}\sin ax\\\cos ax\\{e^{ax}}\end{array} \right]} dx\end{array} \right.$.
Bài tập minh họa:
| Câu 1: Tính tích phân $I = \int\limits_1^2 {x{e^x}dx} $.
Ⓐ. $I = {e^2}$. Ⓑ. $I = – {e^2}$. Ⓒ. $I = e$. Ⓓ. $I = 3{e^2} – 2e$. |
|
| Lời giải
Chọn A Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$ $\begin{array}{l}I = \int\limits_1^2 {x{e^x}dx} = x{e^x}\left| {_1^2} \right. – \int\limits_1^2 {{e^x}dx} = 2{e^2} – e – {e^x}\left| {_1^2} \right.\\\,\, = 2{e^2} – e – \left( {{e^2} – e} \right) = {e^2}\end{array}$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Tính tích phân
+ Kiểm tra các đáp án: $A – {e^2} = 0$ (đúng). |
| Câu 2: Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {(x – 2){e^{2x}}dx} $.
Ⓐ. $I = \frac{{5 – 3{e^2}}}{4}$. Ⓑ. $I = \frac{{5 – 3{e^2}}}{4}$. Ⓒ. $I = \frac{{5 – 3{e^2}}}{4}$. Ⓓ. $I = \frac{{5 – 3{e^2}}}{4}$. |
|
| Lời giải
Chọn B Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x – 2\\dv = {e^{2x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \frac{1}{2}{e^{2x}}\end{array} \right.$ (chọn $C = 0$) $ \Rightarrow I = \left. {(x – 2)\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_0^1 – \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} = \frac{{5 – 3{e^2}}}{4}$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Tính tích phân:
+Kiểm tra các đáp án:
|
| Câu 3: Tích phân $\int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){{\cos }^2}x\,{\rm{d}}x} $ bằng
Ⓐ. $\frac{3}{4}{\pi ^2} – \pi $. Ⓑ. $\frac{3}{4}{\pi ^2} + \pi $. Ⓒ. $\frac{1}{4}{\pi ^2} + \pi $. Ⓓ. $\frac{1}{4}{\pi ^2} – \pi $. |
|
| Lời giải
Chọn B Đặt $I = \int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){{\cos }^2}x\,{\rm{d}}x} $. Ta có: $ = \frac{1}{2}\int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right)\,{\rm{d}}x} $ $ = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right)\cos 2x\,{\rm{d}}x} } \right] = \frac{1}{2}\left( {{I_1} + {I_2}} \right)$. ${I_1} = \int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){\rm{d}}x} = $$\left. {\left( {\frac{3}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_0^\pi = \frac{3}{2}{\pi ^2} + 2\pi $. ${I_2} = \int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right)\cos 2x\,{\rm{d}}x} $. Dùng tích phân từng phần Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 3x + 2\\{\rm{d}}v = \cos 2x\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = 3\,{\rm{d}}x\\v = \frac{1}{2}\sin 2x\end{array} \right.$. Khi đó ${I_2} = \left. {\frac{1}{2}\left( {3x + 2} \right)\sin 2x} \right|_0^\pi – \frac{3}{2}\int\limits_0^\pi {\sin 2x\,{\rm{d}}x} $ $ = 0 + \left. {\frac{3}{4}\left( {cos2x} \right)} \right|_0^\pi = 0$. Vậy $I = \frac{1}{2}\left( {\frac{3}{2}{\pi ^2} + 2\pi } \right) = \frac{3}{4}{\pi ^2} + \pi $ |
PP nhanh trắc nghiệm
Tính tích phân:
Kiểm tra các đáp án:
|
②. Loại 2: Tích phân chứa đa thức và lnf(x)
$\int\limits_\alpha ^\beta {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} $
-Phương pháp:
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\\\dv = P(x)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{x}dx\\\\v = \int {P(x)dx} = Q(x)\end{array} \right.$
Bài tập minh họa:
| Câu 1: Tích phân $\int\limits_1^e {x\ln xdx} $ bằng
Ⓐ. $\frac{{{e^2}}}{4} + \frac{1}{4}$. Ⓑ. $\frac{{{e^2}}}{4} – 1$. Ⓒ. $\frac{{{e^2} – 1}}{4}$. Ⓓ. $\frac{1}{2} – \frac{{{e^2}}}{4}.$ |
|
| Lời giải
Chọn D $\int\limits_1^e {x\ln xdx} = \frac{{{{\rm{x}}^2}}}{2}\ln {\rm{x}}\left| {_1^e} \right. – \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{\rm{x}}}{2}} {\rm{dx}} = ( – \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{{\rm{x}}^2}}}{2}\ln {\rm{x)}}\left| {_1^e} \right. = \frac{{{e^2} + 1}}{4}$ |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: |
| Câu 2: Tính tích phân $I = \int\limits_4^5 {\left( {x + 1} \right)\ln \left( {x – 3} \right){\rm{d}}x} $?
Ⓐ. $10\ln 2$. Ⓑ. $10\ln 2 + \frac{{19}}{4}$. Ⓒ. $\frac{{19}}{4} – 10\ln 2$. Ⓓ. $10\ln 2 – \frac{{19}}{4}$. |
|
| Lời giải
Chọn D Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x – 3} \right)\\{\rm{d}}v = x + 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \frac{1}{{x – 3}}{\rm{d}}x\\v = \frac{1}{2}{x^2} + x\end{array} \right.$. $\begin{array}{l}I = \left( {\frac{1}{2}{x^2} + x} \right)\ln \left( {x – 3} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5\\4\end{array}} \right. – \int\limits_4^5 {\frac{{\frac{1}{2}{x^2} + x}}{{x – 3}}} {\rm{d}}x\\{\mkern 1mu} \end{array}$ ${\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{{35}}{2}\ln 2 – \frac{1}{2}\int\limits_4^5 {\frac{{{x^2} – 9 + 9}}{{x – 3}}dx – \int\limits_4^5 {\frac{{x – 3 + 3}}{{x – 3}}} } dx$ ${\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{{35}}{2}\ln 2 – \frac{1}{2}\left( {\frac{9}{2} + 3 + 9\ln 2} \right) – \left( {1 + 3\ln 2} \right)$ ${\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 10\ln 2 – \frac{{19}}{4}$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio:
Kiểm tra các đáp án:
|
| Câu 3: Tính $\int\limits_1^e {{x^2}\ln x{\rm{d}}x} $
Ⓐ. $\frac{{2{e^3} + 1}}{9}$. Ⓑ. $\frac{{2{e^3} – 1}}{9}$. Ⓒ. $\frac{{{e^3} – 2}}{9}$. Ⓓ. $\frac{{{e^3} + 2}}{9}$. |
|
| Lời giải
Chọn A $\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{x}dx\\v = \frac{1}{3}{x^3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow I = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3}\ln x} \right)} \right|_1^e – \frac{1}{3}\int\limits_1^e {{x^2}dx} = \frac{1}{3}{e^3} – \left. {\frac{1}{9}{x^3}} \right|_1^e\\ = \frac{1}{3}{e^3} – \frac{{{e^3} – 1}}{9} = \frac{{2{e^3} + 1}}{9}\end{array}$ |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio |
Ⓑ Bài tập rèn luyện
Câu 1: Tập hợp các giá trị của $b$ sao cho $\int\limits_0^b {(2x – 4){\rm{d}}x = 5} $ là
A. $\left\{ { – 1;4} \right\}$. B. $\left\{ { – 1} \right\}$. C. $\left\{ 5 \right\}$. D. $\left\{ { – 1;5} \right\}$.
Câu 2: Biết $\int_0^1 {{e^{4x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{e^a} – 1}}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. $a < b$. B. $a = b$. C. $a + b = 10$. D. $a = 2b$.
Câu 3: Biết rằng $\int\limits_0^{\ln a} {{e^x}{\rm{d}}x} = 1$, khi đó giá trị của $a$ là:
A. $a = 1$. B. $a = 3$. C. $a = 2$. D. $a = 4$.
Câu 4: Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {2{e^x}dx} $.
A. $I = {e^2} – 2e$. B. $I = 2e$. C. $I = 2e + 2$. D. $I = 2e – 2$.
Câu 5: Cho $\int\limits_2^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{x}} = \ln a$. Tìm $a$.
A. $\frac{5}{2}$. B. $5$. C. $2$. D. $\frac{2}{5}$.
Câu 6: Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{4}{{2x + 1}}{\rm{d}}x} $.
A. $4\ln 3$. B. $4\ln 2$. C. $I = 2\ln 3$. D. $2\ln 2$.
Lời giải
Ta có: $I = \int\limits_0^1 {\frac{4}{{2x + 1}}{\rm{d}}x} = 2\ln \left| {2x + 1} \right||_0^1 = 2\ln 3$.
Câu 7: Tích phân $I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\sin }^2}x}}} $ bằng?
A. $\cot \frac{\pi }{3} – \cot \frac{\pi }{4}$. B. $\cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{4}$. C. $ – \cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{4}$. D. $ – \cot \frac{\pi }{3} – \cot \frac{\pi }{4}$.
Câu 8: Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ – x}}{\rm{d}}x} $.
A. $ – \frac{1}{2}$. B. $\frac{1}{2}$. C. $2$. D. $0$.
Câu 9: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. $\int {{\rm{d}}x} = x + 2C$($C$ là hằng số). B. $\int {{x^n}{\rm{d}}x} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$($C$ là hằng số; $n \in \mathbb{Z}$).
C. $\int {0{\rm{d}}x} = C$($C$ là hằng số). D. $\int {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = {{\rm{e}}^x} – C$($C$ là hằng số).
Câu 10: Cho miền phẳng $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = \sqrt x $, hai đường thẳng $x = 1$, $x = 2$ và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( D \right)$ quanh trục hoành.
A. $3\pi $. B. $\frac{{3\pi }}{2}$. C. $\frac{{2\pi }}{3}$. D. $\frac{3}{2}$.
Câu 11: Tập hợp các giá trị của b sao cho $\int\limits_0^b {\left( {2x – 4} \right){\rm{d}}x = 5} $ là.
A. $\left\{ 5 \right\}$. B. $\left\{ {4; – 1} \right\}$. C. $\left\{ {5; – 1} \right\}$. D. $\left\{ 4 \right\}$.
Câu 12: Nếu $\int\limits_0^m {\left( {2x – 1} \right){\rm{d}}x} = 2$ thì $m$ có giá trị bằng
A. $\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = – 2\end{array} \right.$. B. $\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.$. C. $\left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = 2\end{array} \right.$. D. $\left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = – 2\end{array} \right.$.
Câu 13: Tích phân $I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} $ bằng
A. $I = 2\left( {{{\rm{e}}^2} – 1} \right)$. B. $I = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2}$. C. $\frac{{{{\rm{e}}^2} – 1}}{2}$. D. ${{\rm{e}}^2} – 1$.
Câu 14: Tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right){\rm{d}}x} $ bằng.
A. $\frac{{1 – \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}$. B. $1 – \sqrt 2 $. C. $\frac{{\sqrt 2 – 1}}{{\sqrt 2 }}$. D. $\sqrt 2 – 1$.
Câu 15: Tích phân $\int\limits_0^2 {\frac{2}{{2x + 1}}} {\rm{d}}x$ bằng.
A. $2\ln 5$. B. $\frac{1}{2}\ln 5$. C. $\ln 5$. D. $4\ln 5$.
Câu 16: Tích phân $f\left( x \right) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos x{\rm{d}}x} $ bằng
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ C. $ – \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ D. $ – \frac{1}{2}$
Câu 17: Tích phân $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{{x + 3}}{\rm{d}}x} $ bằng:
A. $\ln \left[ {4\left( {{\rm{e}} + 3} \right)} \right]$. B. $\ln \left( {{\rm{e}} – 2} \right)$. C. $\ln \left( {{\rm{e}} – 7} \right)$. D. $\ln \left( {\frac{{3 + {\rm{e}}}}{4}} \right)$.
Câu 18: Giá trị của $\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x} $ là:
A. $3{e^4}$. B. $4{e^4}$. C. ${e^4} – 1$. D. ${e^4}$.
Câu 19: Tích phân $\int\limits_1^2 {2x{\rm{d}}x} $ có giá trị là:
A. $2$. B. $3$. C. $1$. D. $4$.
Câu 20: Giả sử $\int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 3}}} = \ln \frac{a}{b}$ với $a$, $b$ là các số tự nhiên và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. ${a^2} + {b^2} = 41$. B. $3a – b < 12$. C. $a + 2b = 13$. D. $a – b > 2$.
Câu 21: Tích phân $\int\limits_1^e {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} $ có giá trị bằng
A. $1$. B. $1 – e$. C. $e – 1$. D. $2$.
Câu 22: Tính tích phân: $I = \int\limits_0^1 {{3^x}{\rm{d}}x.} $
A. $I = \frac{3}{{\ln 3}}$. B. $I = 2$. C. $I = \frac{2}{{\ln 3}}$. D. $I = \frac{1}{4}$.
Câu 23: Biết $I = \int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \sin 3x + C$. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. $f\left( x \right) = – 3\cos 3x$. B. $f\left( x \right) = 3\cos 3x$.
C. $f\left( x \right) = – \frac{{\cos 3x}}{3}$. D. $f\left( x \right) = \frac{{\cos 3x}}{3}$.
Câu 24: Giá trị của $\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x} $ là:
A. ${e^4} – 1$. B. $4{e^4}$. C. ${e^4}$. D. $3{e^4} – 1$.
Câu 25: Giả sử $\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 37$ và $\int\limits_9^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 16$. Khi đó, $I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g(x)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng:
A. $I = 26$. B. $I = 58$. C. $I = 143$. D. $I = 122$.
Câu 26: Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3 – 2x}}} $
A. $ – \frac{1}{2}\ln 3$. B. $ – \ln 3$. C. $\frac{1}{2}\ln 3$. D. $\frac{1}{2}\log 3$.
Câu 27: Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\,$ và $\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\,$, khi $\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \,$ bằng
A. $ – 3$ B. $12$ C. $ – 8$ D. $1$
Câu 28: Cho $\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10$. Kết quả $\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng
A. $32$. B. $34$. C. $36$. D. $40$.
Câu 29: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) + 2x} \right){\rm{d}}x} = 5$. Tính $\int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} $.
A. $ – 9$. B. $ – 1$. C. $9$. D. $1$.
Câu 30: Cho $\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10$. Khi đó $\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng:
A. 36. B. 40. C. 34. D. 32.
Câu 31: Cho hai hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$liên tục trên $\left[ {1;3} \right]$ thỏa mãn$\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx = 1$, $\int\limits_1^3 {g\left( x \right)} dx = 3$Tính $\int\limits_3^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]} dx$?
A. $1$ B. $\frac{5}{2}$ C. $ – 1$ D. $5$
Câu 32: Tính tích phân $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{1 + x}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} $.
A. $I = 1 + \frac{1}{{\rm{e}}}$ B. $I = 2 – \frac{1}{{\rm{e}}}$ C. $I = 2 + \frac{1}{{\rm{e}}}$ D. $I = 1 – \frac{1}{{\rm{e}}}$
BẢNG ĐÁP ÁN
| 1.D | 2.B | 3.C | 4.D | 5.D | 6.C | 7.C | 8.B | 9.B | 10.B |
| 11.C | 12.C | 13.D | 14.C | 15.C | 16.B | 17.D | 18.C | 19.B | 20.D |
| 21.A | 22.C | 23.B | 24.A | 25.A | 26.C | 27.C | 28.B | 29.D | 30.C |
| 31.D | 32.B |
Hướng dẫn giải
Câu 1: Tập hợp các giá trị của $b$ sao cho $\int\limits_0^b {(2x – 4){\rm{d}}x = 5} $ là:
A. $\left\{ { – 1;4} \right\}$. B. $\left\{ { – 1} \right\}$. C. $\left\{ 5 \right\}$. D. $\left\{ { – 1;5} \right\}$.
Lời giải
Ta có: $\int\limits_0^b {(2x – 4){\rm{d}}x = 5 \Leftrightarrow \left. {({x^2} – 4x)} \right|_0^b} = 5 \Leftrightarrow {b^2} – 4b – 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = – 1}\\{b = 5}\end{array}} \right.$.
Câu 2: Biết $\int_0^1 {{e^{4x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{e^a} – 1}}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. $a < b$. B. $a = b$. C. $a + b = 10$. D. $a = 2b$.
Lời giải
Ta có: $\int_0^1 {{e^{4x}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{4}{e^{4x}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array} = \frac{{{e^4} – 1}}{4}} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow a = b.$.
Câu 3: Biết rằng $\int\limits_0^{\ln a} {{e^x}{\rm{d}}x} = 1$, khi đó giá trị của $a$ là:
A. $a = 1$. B. $a = 3$. C. $a = 2$. D. $a = 4$.
Lời giải
Ta có $\int {{e^x}{\rm{d}}x} = {e^x} + C$. Do đó: $\int\limits_0^{\ln a} {{e^x}{\rm{d}}x} = \left. {{e^x}} \right|_0^{\ln a} = {e^{\ln a}} – {e^0} = a – 1 = 1 \Rightarrow a = 2$.
Câu 4: Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {2{e^x}dx} $.
A. $I = {e^2} – 2e$. B. $I = 2e$. C. $I = 2e + 2$. D. $I = 2e – 2$.
Lời giải
Ta có $I = \int\limits_0^1 {2{e^x}{\rm{d}}x} $$ = \left. {2{e^x}} \right|_0^1$$ = 2e – 2$.
Câu 5: Cho $\int\limits_2^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{x}} = \ln a$. Tìm $a$.
A. $\frac{5}{2}$. B. $5$. C. $2$. D. $\frac{2}{5}$.
Lời giải
Ta có: $\int\limits_2^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{x}} = \ln a \Leftrightarrow \left. {\ln \left| x \right|} \right|_2^5 = \ln a \Leftrightarrow \ln 5 – \ln 2 = \ln a \Leftrightarrow \ln \frac{5}{2} = \ln a \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}$.
Câu 6: Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{4}{{2x + 1}}{\rm{d}}x} $.
A. $4\ln 3$. B. $4\ln 2$. C. $I = 2\ln 3$. D. $2\ln 2$.
Lời giải
Ta có: $I = \int\limits_0^1 {\frac{4}{{2x + 1}}{\rm{d}}x} = 2\ln \left| {2x + 1} \right||_0^1 = 2\ln 3$.
Câu 7: Tích phân $I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\sin }^2}x}}} $ bằng?
A. $\cot \frac{\pi }{3} – \cot \frac{\pi }{4}$. B. $\cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{4}$. C. $ – \cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{4}$. D. $ – \cot \frac{\pi }{3} – \cot \frac{\pi }{4}$.
Ta có $I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\sin }^2}x}}} $$ = – \cot x\left| \begin{array}{l}^{\frac{\pi }{3}}\\_{\frac{\pi }{4}}\end{array} \right.$$ = – \cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{4}$.
Câu 8: Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ – x}}{\rm{d}}x} $.
A. $ – \frac{1}{2}$. B. $\frac{1}{2}$. C. $2$. D. $0$.
Lời giải
Ta có: $I = \int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ – x}}{\rm{d}}x} $$ = \left. { – {e^{ – x}}} \right|_0^{\ln 2}$$ = \frac{1}{2}$.
Câu 9: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. $\int {{\rm{d}}x} = x + 2C$($C$ là hằng số). B. $\int {{x^n}{\rm{d}}x} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$($C$ là hằng số; $n \in \mathbb{Z}$).
C. $\int {0{\rm{d}}x} = C$($C$ là hằng số). D. $\int {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = {{\rm{e}}^x} – C$($C$ là hằng số).
Lời giải
Đáp án B sai vì công thức trên chỉ đúng khi bổ sung thêm điều kiện $n \ne – 1$.
Câu 10: Cho miền phẳng $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = \sqrt x $, hai đường thẳng $x = 1$, $x = 2$ và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( D \right)$ quanh trục hoành.
A. $3\pi $. B. $\frac{{3\pi }}{2}$. C. $\frac{{2\pi }}{3}$. D. $\frac{3}{2}$.
Lời giải
$V = \pi \int\limits_1^2 {xdx} $$ = \left. {\frac{{\pi {x^2}}}{2}} \right|_1^2 = \frac{{3\pi }}{2}$.
Câu 11: Tập hợp các giá trị của b sao cho $\int\limits_0^b {\left( {2x – 4} \right){\rm{d}}x = 5} $ là.
A. $\left\{ 5 \right\}$. B. $\left\{ {4; – 1} \right\}$. C. $\left\{ {5; – 1} \right\}$. D. $\left\{ 4 \right\}$.
Lời giải
Ta có $\int_0^b {\left( {2x – 4} \right){\rm{d}}x} = \left( {{x^2} – 4x} \right)\left| \begin{array}{l}b\\0\end{array} \right. = {b^2} – 4b$.
Theo đề bài, ta có ${b^2} – 4b = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = – 1\\b = 5\end{array} \right.$.
Câu 12: Nếu $\int\limits_0^m {\left( {2x – 1} \right){\rm{d}}x} = 2$ thì $m$ có giá trị bằng
A. $\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = – 2\end{array} \right.$. B. $\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.$. C. $\left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = 2\end{array} \right.$. D. $\left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = – 2\end{array} \right.$.
Lời giải
Ta có: $\int\limits_0^m {\left( {2x – 1} \right){\rm{d}}x} = 2 \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^2} – x} \right)} \right|_0^m = 2 \Leftrightarrow {m^2} – m – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = 2\end{array} \right.$.
Câu 13: Tích phân $I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} $ bằng
A. $I = 2\left( {{{\rm{e}}^2} – 1} \right)$. B. $I = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2}$. C. $\frac{{{{\rm{e}}^2} – 1}}{2}$. D. ${{\rm{e}}^2} – 1$.
Lời giải
Ta có $I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} $$ = \frac{1}{2}\left. {{{\rm{e}}^{2x}}} \right|_0^1$$ = \frac{{{{\rm{e}}^2} – 1}}{2}$.
Câu 14: Tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right){\rm{d}}x} $ bằng.
A. $\frac{{1 – \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}$. B. $1 – \sqrt 2 $. C. $\frac{{\sqrt 2 – 1}}{{\sqrt 2 }}$. D. $\sqrt 2 – 1$.
Lời giải
Ta có: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right){\rm{d}}x} $$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin x{\rm{d}}x} $$ = \left. { – \cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}$$ = \frac{{\sqrt 2 – 1}}{{\sqrt 2 }}$.
Câu 15: Tích phân $\int\limits_0^2 {\frac{2}{{2x + 1}}} {\rm{d}}x$ bằng.
A. $2\ln 5$. B. $\frac{1}{2}\ln 5$. C. $\ln 5$. D. $4\ln 5$.
Lời giải
Ta có $\int\limits_0^2 {\frac{2}{{2x + 1}}} \,{\rm{d}}x = \left. {\ln \left| {2x + 1} \right|} \right|_0^2 = \ln 5$.
Câu 16: Tích phân $f\left( x \right) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos x{\rm{d}}x} $ bằng
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ C. $ – \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ D. $ – \frac{1}{2}$
Lời giải
$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos x{\rm{d}}x} = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
Câu 17: Tích phân $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{{x + 3}}{\rm{d}}x} $ bằng:
A. $\ln \left[ {4\left( {{\rm{e}} + 3} \right)} \right]$. B. $\ln \left( {{\rm{e}} – 2} \right)$. C. $\ln \left( {{\rm{e}} – 7} \right)$. D. $\ln \left( {\frac{{3 + {\rm{e}}}}{4}} \right)$.
Lời giải
$I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{{x + 3}}{\rm{d}}x} = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{{\rm{d}}\left( {x + 3} \right)}}{{x + 3}}} = \ln \left| {x + 3} \right|\left| \begin{array}{l}{\rm{e}}\\1\end{array} \right. = \ln \left( {\frac{{3 + {\rm{e}}}}{4}} \right)$.
Câu 18: Giá trị của $\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x} $ là:
A. $3{e^4}$. B. $4{e^4}$. C. ${e^4} – 1$. D. ${e^4}$.
Lời giải
$\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x} = {e^4} – 1$.
Câu 19: Tích phân $\int\limits_1^2 {2x{\rm{d}}x} $ có giá trị là:
A. $2$. B. $3$. C. $1$. D. $4$.
Lời giải
Ta có: $\int\limits_1^2 {2x{\rm{d}}x} = \left. {{x^2}} \right|_1^2$$ = 3$.
Câu 20: Giả sử $\int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 3}}} = \ln \frac{a}{b}$ với $a$, $b$ là các số tự nhiên và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. ${a^2} + {b^2} = 41$. B. $3a – b < 12$. C. $a + 2b = 13$. D. $a – b > 2$.
Lời giải
Ta có: $\int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x + 3}}} = \ln \left| {x + 3} \right|\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = \ln \frac{5}{4}$.
Câu 21: Tích phân $\int\limits_1^e {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} $ có giá trị bằng
A. $1$. B. $1 – e$. C. $e – 1$. D. $2$.
Lời giải
Ta có $\int\limits_1^e {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} $$ = \left. {\ln x} \right|_1^e = \ln e – \ln 1 = 1$.
Câu 22: Tính tích phân: $I = \int\limits_0^1 {{3^x}{\rm{d}}x.} $
A. $I = \frac{3}{{\ln 3}}$. B. $I = 2$. C. $I = \frac{2}{{\ln 3}}$. D. $I = \frac{1}{4}$.
Lời giải
Ta có: $I = \int\limits_0^1 {{3^x}{\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right)} \right|_0^1$$ = \frac{3}{{\ln 3}} – \frac{1}{{\ln 3}} = \frac{2}{{\ln 3}}$.
Câu 23: Biết $I = \int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \sin 3x + C$. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. $f\left( x \right) = – 3\cos 3x$. B. $f\left( x \right) = 3\cos 3x$.
C. $f\left( x \right) = – \frac{{\cos 3x}}{3}$. D. $f\left( x \right) = \frac{{\cos 3x}}{3}$.
Lời giải
$f\left( x \right) = F’\left( x \right) = 3\cos 3x$.
Câu 24: Giá trị của $\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x} $ là:
A. ${e^4} – 1$. B. $4{e^4}$. C. ${e^4}$. D. $3{e^4} – 1$.
Lời giải
Ta có: $\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x = \left. {{e^{2x}}} \right|_0^2} = {e^4} – 1$.
Dạng 04: Tổng, hiệu, tích với số của các hàm đơn giản
Câu 25: Giả sử $\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 37$ và $\int\limits_9^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 16$. Khi đó, $I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g(x)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng:
A. $I = 26$. B. $I = 58$. C. $I = 143$. D. $I = 122$.
Lời giải
Ta có: $I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g(x)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^9 {2f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^9 {3g\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – 3\int\limits_9^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 26$.
Câu 26: Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3 – 2x}}} $
A. $ – \frac{1}{2}\ln 3$. B. $ – \ln 3$. C. $\frac{1}{2}\ln 3$. D. $\frac{1}{2}\log 3$.
Lời giải
Ta có $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3 – 2x}}} $$ = \left. { – \frac{1}{2}\ln \left| {3 – 2x} \right|} \right|_0^1$$ = \frac{1}{2}\ln 3$.
Câu 27: Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\,$ và $\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\,$, khi $\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \,$ bằng
A. $ – 3$ B. $12$ C. $ – 8$ D. $1$
Lời giải
Có $\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – 2\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} $$ = 2 – 2.5 = – 8$.
Câu 28: Cho $\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10$. Kết quả $\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng
A. $32$. B. $34$. C. $36$. D. $40$.
Hướng dẫn giải
Ta có: $\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = – \int\limits_2^5 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = – 2\int\limits_2^5 {{\rm{d}}x} + 4\int\limits_2^5 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x$.
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = – \left. {2x} \right|_2^5 + 4\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x = } – 6 + 40 = 34$.
Câu 29: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) + 2x} \right){\rm{d}}x} = 5$. Tính $\int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} $.
A. $ – 9$. B. $ – 1$. C. $9$. D. $1$.
Lời giải
Ta có: $\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) + 2x} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^2 {{\rm{2}}x{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 4 = 5$. Do đó $\int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = 1$.
Câu 30: Cho $\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10$. Khi đó $\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $ bằng:
A. 36. B. 40. C. 34. D. 32.
Lời giải
$\int\limits_5^2 {\left( {2 – 4f\left( x \right)} \right)} {\rm{d}}x = 2\int\limits_5^2 {{\rm{d}}x} – 4\int\limits_5^2 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = – 6 + 40 = 34$.
Câu 31: Cho hai hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$liên tục trên $\left[ {1;3} \right]$ thỏa mãn$\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx = 1$, $\int\limits_1^3 {g\left( x \right)} dx = 3$Tính $\int\limits_3^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]} dx$?
A. $1$ B. $\frac{5}{2}$ C. $ – 1$ D. $5$
Lời giải
$\int\limits_3^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]} dx = – \int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]} dx = – \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx + 2\int\limits_1^3 {g\left( x \right)} dx = – 1 + 2.3 = 5$
Câu 32: Tính tích phân $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{1 + x}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} $.
A. $I = 1 + \frac{1}{{\rm{e}}}$ B. $I = 2 – \frac{1}{{\rm{e}}}$ C. $I = 2 + \frac{1}{{\rm{e}}}$ D. $I = 1 – \frac{1}{{\rm{e}}}$
Lời giải
$I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{1 + x}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} $$ = \int\limits_1^{\rm{e}} {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x} $$ = \left. {\left( { – \frac{1}{x} + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^{\rm{e}}$$ = 2 – \frac{1}{{\rm{e}}}$.
