Chuyên đề tổ hợp hoán vị chỉnh hợp ôn thi tốt nghiệp THPT 2021 có lời giải và đáp án phát triển từ cầu 1 của đề tham khảo năm 2021.
| Câu hỏi trong đề của TK 2021 |
Câu 1: Có bao nhiêu cách chọn ra $3$ học sinh từ một nhóm có $5$ học sinh?
Ⓐ. $5!.$ Ⓑ. $A_5^3.$ Ⓒ. $C_5^3.$ Ⓓ. ${5^3}.$
Lời giải
Mỗi bộ 3 học sinh từ nhóm 5 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 5 học sinh.
Vậy số tổ hợp chập 3 của 5 là $C_5^3$
Chọn Ⓒ.
Vấn đề 1. Quy tắc cộng – Quy tắc nhân.
I. Phương pháp:
❶. Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong $m$ phương án ${A_1},{A_2},…,{A_k}$. Có ${n_1}$ cách thực hiện phương án ${A_1}$,${n_2}$ cách thực hiện phương án ${A_2}$,…và ${n_k}$ cách thực hiện phương án ${A_k}$. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi ${n_1} + {n_2} + … + {n_k}$ cách.
- Một công việc được thực hiện theo n phương án => sử dụng QUY TẮC CỘNG
❷. Giả sử một công việc nào đó bao gồm công đoạn ${A_1},{A_2},…,{A_k}$. Công đoạn ${A_1}$ có thể thực hiện theo ${n_1}$ cách, công đoạn ${A_2}$ có thể thực hiện theo${n_2}$ cách,…, công đoạn ${A_k}$ có thể thực hiện theo ${n_k}$ cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo ${n_1}.{n_2}…{n_k}$ cách.
-
- Một công việc được thực hiện liên tiếp theo k công đoạn => sử dụng QUY TẮC NHÂN
II. Bài tập minh họa:
| Câu 1: Có $3$ cây bút đỏ, $4$ cây bút xanh trong một hộp bút. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một cây bút từ hộp bút?
Ⓐ. $7$. Ⓑ. $12$. Ⓒ. $3$. Ⓓ. $4$. |
|
| Lời giải
Chọn A Số cách lấy ra $1$ cây bút là màu đỏ có $3$ cách. Số cách lấy ra $1$ cây bút là màu xanh có $4$ cách. Theo quy tắc cộng, số cách lấy ra $1$ cây bút từ hộp bút là: $3 + 4 = 7$ cách. Vậy có $7$ cách lấy $1$ cây bút từ hộp bút. |
PP nhanh trắc nghiệm
@. Công Việc lấy 1 cây bút từ hộp bút thực hiện theo hai phương án. Phương án 1 hoặc phương án 2. Pa1: chọn bút đỏ có 3 cách lấy. Pa2:chọn bút xanh có 4 cách ĐS: $3 + 4 = 7$cách.
|
| Câu 2: Bạn muốn mua $2$ cây bút gồm một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có $8$ màu khác nhau, các cây bút chì có $9$ màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để mua?
Ⓐ. $8! + 9!$. Ⓑ. $72$. Ⓒ.$17$. Ⓓ.$8!.9!$ |
|
| Lời giải
Chọn B Số cách chọn một cây bút mực là $8$. Số cách chọn một cây bút chì là $9$ . Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách chọn là $8.9 = 72$.
|
PP nhanh trắc nghiệm
Phải mua 2 cây bút mới xong công việc nên phải thực hiện theo hai bước . Bước 1 và bước 2. Bước 1: chọn bút mực có 8 cách lấy. Bước 2:chọn bút chì có 9 cách ĐS: $8.9 = 72$cách. |
| Câu 3: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. không có con đường nào nối từ thành phố C đến thành phố Ⓑ. Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố D:
Ⓐ. $6$. Ⓑ. $12$. Ⓒ. $18$. Ⓓ. $36$.
|
|
| Lời giải
Chọn B Trường hợp : Từ A – B – D có $3.2 = 6$con đường . Trường hợp : Từ A – C – D có $2.3 = 6$con đường . Vậy có tất cả $6 + 6 = 12$ con đường.
|
PP nhanh trắc nghiệm
@ . Phải đi từ thành phố A đến Thành Phố D mới xong công việc. có hai phương án đi từ A đến D Phương án 1: A->B->D vì đi từ A đến D có hai bước. B1: A-> B có 3 cách B2: B->D có 2 cách Nên: Có$3.2 = 6$ cách đi Phương án 2: A->C->D vì đi từ A đến D có hai bước B1: A-> C có 2 cách B2: C->D có 3 cách Nên: Có $2.3 = 6$ cách đi
CV thực hiện theo phương án nên ĐS: 6+6 =12 cách.
|
Vấn đề 2. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
I-Phương pháp:
❶. Hoán vị: Cho một tập hợp A gồm n phần tử $\left( {n \ge 1} \right)$. Mỗi kết quả của sự sắp xếp theo thứ tự $n$ phần tử của tập hợp A gọi là một hoán vị của $n$ phần tử đó. Số các hoán vị của một tập hợp có $n$ phần tử $\left( {n \ge 1} \right)$ kí hiệu là ${P_n}$.
${P_n} = n! = n.(n – 1).\left( {n – 2} \right)…1$ $\left( {0! = 1} \right)$
❷. Chỉnh hợp: Cho tập A gồm $n$ phần tử $\left( {n \ge 1} \right)$ và một số nguyên $k$ với $1 \le k \le n$. Khi lấy ra $k$ phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử của tập A.. Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ được kí hiệu là $A_n^k$
$A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$với
❸. Tổ hợp: Cho tập A gồm $n$ phần tử và số nguyên $k$ với $0 \le k \le n$. Mỗi tập con của A có $k$ phần tử được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử của A. Số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử được kí hiệu là $C_n^k$
$C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!.k!}}$với
❹. Hoán vị vòng tròn: Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng tròn của n phần tử. Số các hoán vị vòng tròn của n phần tử là $(n – 1)!$
II_Bài tập minh họa:
| Câu 1: Một lớp có 35 học sinh chọn ra 2 bạn đi thi văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Ⓐ. $C_{35}^2$. Ⓑ. $A_{35}^2$. Ⓒ. $A_{10}^3 + A_8^2$. Ⓓ. $C_{10}^3 + C_8^2$. |
|
| Lời giải
Chọn A Số cách chọn ra 2 học sinh từ 35 học sinh là: $C_{35}^2$. Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu là: $C_{35}^2$.
|
PP nhanh trắc nghiệm
@. Công việc chọn 2 học sinh trong 35 học sinh. không phân biệt thứ tự nên ta chọn tổ hợp. $C_{35}^2$
|
| Câu 2: Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ 2 chức vụ tổ trưởng và tổ phó.
Ⓐ. $C_{10}^2$. Ⓑ. $A_{10}^8$. Ⓒ. ${10^2}$. Ⓓ. $A_{10}^2$. |
|
| Lời giải
Chọn D Theo yêu cầu bài toán thì chọn ra 2 học sinh từ 10 học sinh có quan tâm đến chức vụ của mỗi người nên mỗi cách chọn sẽ là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử. |
PP nhanh trắc nghiệm
@. Công việc chọn 2 học sinh trong 10 học sinh. để giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là có phân biệt thứ tự nên ta chọn chỉnh hợp $A_{10}^2$. |
| Câu 3: Có bao nhiêu các sắp xếp 10 bạn học sinh thành một hàng ngang ?
Ⓐ. ${P_{10}}$. Ⓑ. $C_{10}^1$. Ⓒ. $A_{10}^1$. Ⓓ. $C_{10}^{10}$. |
|
| Lời giải
Chọn B Mỗi cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của tập hợp có 10 phần tử. Suy ra số cách sắp xếp là ${P_{10}}$. |
PP nhanh trắc nghiệm
@ . có 10 học sinh lấy ra 10 học sinh sắp xếp theo thứ tự là hoán vị của 10 phần tử ${P_{10}}$ |
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $C_n^k = \frac{{k!}}{{n!\left( {n – k} \right)!}}$.B. $C_n^k = \frac{{k!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$. C. $C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$. D. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$.
Câu 2: Số $5! – {P_4}$ bằng:
A. $5$.B. $12$. C. $24$. D. $96$.
Câu 3: Với $k$ và $n$ là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn $k \le n$, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ${P_n} = \frac{{n!}}{{(n – k)!}}$.B. ${P_n} = \left( {n – k} \right)!$. C. ${P_n} = \frac{{n!}}{{k!}}$. D. ${P_n} = n!$
Câu 4: Kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử $\left( {1 \le k \le n} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n + k} \right)!}}$B. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n + k} \right)!}}$ C. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$ D. $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$
Câu 5: $C_n^3 = 10$ thì $n$ có giá trị là :
A. $6$. B. $5$. C. $3$. D. $4$.
Câu 6: Cho Công thức tính số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là:
A. $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$B. $C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!k!}}$ C. $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!k!}}$ D. $C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$
Câu 7: Công thức tính số hoán vị ${P_n}$là
A. ${P_n} = (n – 1)!$.B. ${P_n} = (n + 1)!$. C. ${P_n} = \frac{{n!}}{{(n – 1)}}$. D. ${P_n} = n!$.
Câu 8: Kết quả nào sau đây sai:
A. $C_{n + 1}^0 = 1$. B. $C_n^n = 1$. C. $C_n^1 = n + 1$. D. $C_n^{n – 1} = n$.
Câu 9: Cho $k$, $n$ $\left( {k < n} \right)$ là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. $A_n^k = k!.C_n^k$.B. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!.\left( {n – k} \right)!}}$. C. $C_n^k = C_n^{n – k}$. D. $A_n^k = n!.C_n^k$.
Câu 10: Công thức tính số hoán vị ${P_n}$ là
A. ${P_n} = \left( {n – 1} \right)!$.B. ${P_n} = \left( {n + 1} \right)!$. C. ${P_n} = \frac{{n!}}{{\left( {n – 1} \right)}}$. D. ${P_n} = n!$.
Câu 11: Cho $n,k$là những số nguyên thỏa mãn $0 \le k \le n$ và $n \ge 1$. Tìm khẳng định sai.
A. ${P_n} = A_n^n$B. $C_n^k = C_n^{n – k}$ C. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}$ D. ${P_k}.C_n^k = A_n^k$
Câu 12: Cho tập $A$ có $n$ phần tử (, $n \ge 2$), $k$ là số nguyên thỏa mãn $0 \le k \le n$. Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử trên là
A. $\frac{{n!}}{{k!}}$.B. $\frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$. C. $\frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$. D. $k!\left( {n – k} \right)!$.
Câu 13: Tập $A$ có $10$ phần tử, số tập con của $A$ bằng
A. $1024$.B. $2023$. C. $10$. D. $20$.
Câu 14: Với $k$ và $n$ là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn $k \le n$, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$B. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}$ C. $C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$ D. $C_n^k = \frac{{k!\left( {n – k} \right)!}}{{n!}}$
Câu 15: Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau?
A. $C_7^3$B. ${3^7}$ C. $A_7^3$ D. ${7^3}$
Câu 16: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau:
A. $4536$.B. ${4^9}$. C. $2156$. D. $4530$.
Câu 17: Cho $k$ và $n$ là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn $k \le n$, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $A_n^k = \frac{{n!}}{{(n – k)!}}$.B. $A_n^k = n!$. C. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n – k)!}}$. D. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}$.
Câu 18: Cho tập $S$ có $20$ phần tử. Số tập con gồm $3$ phần tử của $S$.
A. $A_{20}^3$B. $C_{20}^3$ C. $60$ D. ${20^3}$
Câu 19: Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong $12$ người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình.
A. $3991680$.B. $12!$. C. $35831808$. D. $7!$.
Câu 20: Cho tập hợp $A$ gồm có 9 phần tử. Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp $A$ là
A. ${P_4}$.B. $C_9^4$. C. $4 \times 9$. D. $A_9^4$.
Câu 21: Số cách chọn $3$ học sinh từ $5$ học sinh là
A. $C_5^3$.B. $A_5^3$. C. $3!$. D. $15$.
Câu 22: Cho $A = \left\{ {1,\,2,\,3,\,4} \right\}$. Từ $A$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau?
A. $32$.B. $24$. C. $256$. D. $1$.
Câu 23: Một hộp có $3$ bi xanh, $4$ bi đỏ và $5$ bi vàng. Chọn ngẫu nhiên $3$ bi sao cho có đủ ba màu. Số cách chọn là
A. $60$.B. $220$. C. $360$. D. $120$.
Câu 24: Giải bóng đá V-LEAGUE 2018 có tất cả $14$ đội bóng tham gia, các đội bóng thi đấu vòng tròn $2$ lượt. Hỏi giải đấu có tất cả bao nhiêu trận đấu?
A. $182$.B. $91$. C. $196$. D. $140$.
Câu 25: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh theo một hàng dọc?
A. $720.$B. $46656$. C. $4320.$ D. $360.$
Câu 26: Tìm số các số tự nhiên có 7 chữ số, các chữ số đôi một phân biệt và được lấy từ tập $\left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}$.
A. $4005$.B. $5004$. C. $5040$. D. $4050$.
Câu 27: Cho đa giác lồi $n$ đỉnh $\left( {n > 3} \right)$. Số tam giác có $3$ đỉnh là $3$ đỉnh của đa giác đã cho là
A. $A_n^3$.B. $C_n^3$. C. $\frac{{C_n^3}}{{3!}}$. D. $n!$.
Câu 28: Tính số chỉnh hợp chập $4$ của $7$ phần tử?
A. $24$.B. $720$. C. $840$. D. $35$.
Câu 29: Số tập hợp con có $3$ phần tử của một tập hợp có $7$ phần tử là:
A. $C_7^3$.B. $A_7^3$. C. $\frac{{7!}}{{3!}}$. D. $7$.
Câu 30: Số cách xếp 5 người vào 5 vị trí ngồi thành hàng ngang là?
A. $120$.B. $25$. C. $15$. D. $24$.
Câu 31: Số chỉnh hợp chập $2$ của $5$ phần tử bằng
A. $10$.B. $120$. C. $20$. D. $7$.
Câu 32: Từ $7$ chữ số $1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7$ có thể lập được bao nhiêu số từ $4$ chữ số khác nhau?
A. $7!$.B. ${7^4}$. C. $7.6.5.4$. D. $7!.6!.5!.4!$.
Câu 33: Số hoán vị của $n$ phần tử là
A. $n!$.B. $2n$. C. ${n^2}$. D. ${n^n}$.
Câu 34: Từ các chữ số $1;2;3;4;5;6;7;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau?
A. $A_9^2$.B. $C_9^2$. C. ${2^9}$. D. ${9^2}$.
Câu 35: Cho $k$ và $n$ là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn $k \le n$, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $A_n^k = \frac{{n!}}{{(n – k)!}}$.B. $A_n^k = n!$. C. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n – k)!}}$. D. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}$.
Câu 36: Từ các số $0,\,1,\,2,\,7,\,8,\,9$ tạo được bao nhiêu số chẵn có $5$ chữ số khác nhau?
A. $120$.B. $216$. C. $312$. D. $360$.
Câu 37: Từ các số $0,\,1,\,2,\,7,\,8,\,9$ tạo được bao nhiêu số lẻ có $5$ chữ số khác nhau?
A. $288$.B. $360$. C. $312$. D. $600$.
Câu 38: Số tập hợp con có $3$ phần tử của một tập hợp có $7$ phần tử là:
A. $C_7^3$.B. $A_7^3$. C. $\frac{{7!}}{{3!}}$. D. $7$.
Câu 39: Số cách sắp xếp $5$ học sinh ngồi vào một bàn dài có $5$ ghế là:
A. $4!$.B. $5$. C. $1$. D. $5!$.
Câu 40: Có bao nhiêu cách sắp xếp $6$ học sinh theo một hàng dọc?
A. $46656$.B. $4320$. C. $720$. D. $360$.
Câu 41: Có 5 người đến nghe một buổi hòa nhạc. Số cách xếp 5 người này vào một hàng có 5 ghế là:
A. $120$. B. $100$. C. $130$. D. $125$.
Câu 42: Từ các số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau đôi một?
A. $60$.B. $120$. C. $24$. D. $48$.
Câu 43: Cho tập hợp $X$ gồm $10$ phần tử. Số các hoán vị của $10$ phần tử của tập hợp $X$ là
A. $10!$.B. ${10^2}$. C. ${2^{10}}$. D. ${10^{10}}$.
Câu 44: Có bao nhiêu cách sắp xếp ${\rm{18}}$ thí sinh vào một phòng thi có ${\rm{18}}$ bàn mỗi bàn một thí sinh.
A. ${\rm{18}}$B. ${\rm{1}}$ C. ${\rm{1}}{{\rm{8}}^{{\rm{18}}}}$ D. ${\rm{18}}!$
Câu 45: Có $5$ người đến nghe một buổi hòa nhạc. Số cách xếp $5$ người này vào một hàng có $5$ ghế là:
A. $120$.B. $100$. C. $130$. D. $125$.
Câu 46: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh vào 5 ghế xếp thành một dãy?
A. $120$.B. $240$. C. $90$. D. $60$.
Câu 47: Trong một buổi hoà nhạc, có các ban nhạc của các trường đại học từ Huế, Đà Nằng, Quy Nhơn, Nha Trang, Đà Lạt tham dự. Tìm số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên.
A. $4$. B. $20$. C. $24$. D. $120$.
Câu 48: Có bao nhiêu cách xếp $5$ sách Văn khác nhau và $7$ sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?
A. $5!.7!$.B. $2.5!.7!$. C. $5!.8!$. D. $12!$.
Câu 49: Có $5$ người đến nghe một buổi hòa nhạc. Số cách xếp $5$ người này vào một hàng có $5$ ghế là:
A. $120$. B. $100$. C. $130$. D. $125$.
Câu 50: Cho tứ giác $ABCD$. Có bao nhiêu vector có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tứ giác
A. $8$B. $12$ C. $6$ D. $4$
Câu 51: Có bao nhiêu cách xếp $5$ sách Văn khác nhau và $7$ sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?
A. $5!.7!$.B. $2.5!.7!$. C. $5!.8!$. D. $12!$.
Câu 52: Số cách xếp 3 học sinh vào một hàng ghế dài gồm 10 ghế, mỗi ghế chỉ một học sinh ngồi bằng
A. $C_{10}^3$B. $C_{10}^3.A_{10}^3$ C. $C_{10}^3 + A_{10}^3$ D. $A_{10}^3$
Câu 53: Số cách chọn một ban chấp hành gồm một trưởng ban, một phó ban, một thư kí và một thủ quỹ được chọn từ $16$ thành viên là:
A. $4$. B. $\frac{{16!}}{4}$. C. $\frac{{16!}}{{12!.4!}}$. D. $\frac{{16!}}{{12!}}$.
Câu 54: Cho tập hợp $S = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau lấy từ tập hợp $S$?
A. $360$.B. $120$. C. $15$. D. $20$.
Câu 55: Một tổ có $10$ học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra $2$ học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó.
A. $A_{10}^2$.B. $C_{10}^2$. C. $A_{10}^8$. D. ${10^2}$.
Câu 56: Trong một buổi hoà nhạc, có các ban nhạc của các trường đại học từ Huế, Đà Nằng, Quy Nhơn, Nha Trang, Đà Lạt tham dự. Tìm số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên.
A. $4$. B. $20$. C. $24$. D. $120$.
Câu 57: Giả sử ta dùng $5$ màu để tô cho $3$ nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là:
A. $\frac{{5!}}{{2!}}$.B. $8$. C. $\frac{{5!}}{{3!2!}}$. D. ${5^3}$.
Câu 58: Cho tập $X$ có $9$ phần tử. Tìm số tập con có $5$ phần tử của tập $X$.
A. $120$.B. $126$. C. $15120$. D. $216$.
Câu 59: Từ $7$ chữ số $1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7$ có thể lập được bao nhiêu số từ $4$ chữ số khác nhau?
A. $7!$.B. ${7^4}$. C. $7.6.5.4$. D. $7!.6!.5!.4!$.
Câu 60: Trong một lớp học có 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn: Ba học sinh làm ba nhiệm vụ lớp trưởng, lớp phó và bí thư.
A. 39270.B. 47599. C. 14684. D. 38690.
Câu 61: Một hộp có $3$ bi xanh, $4$ bi đỏ và $5$ bi vàng. Chọn ngẫu nhiên $3$ bi sao cho có đủ ba màu. Số cách chọn là
A. $60$.B. $220$. C. $360$. D. $120$.
Câu 62: Cho tập hợp $A$ có $20$ phần tử, số tập con có hai phần tử của $A$ là
A. $2C_{20}^2$.B. $2A_{20}^2$. C. $C_{20}^2$. D. $A_{20}^2$.
Câu 63: Trong một hộp bánh có $6$ loại bánh nhân thịt và $4$ loại bánh nhân đậu xanh. Có bao nhiêu cách lấy ra $6$ bánh để phát cho các em thiếu nhi.
A. $240$.B. $151200$. C. $14200$. D. $210$.
Câu 64: Một tổ công nhân có $12$ người. Cần chọn $3$ người để đi làm cùng một nhiệm vụ, hỏi có bao nhiêu cách chọn?
A. $A_{12}^3$B. $12!$ C. $C_{12}^3$ D. ${12^3}$
Câu 65: Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo thành từ $10$ điểm phân biệt khác nhau.
A. $45$.B. $90$. C. $35$. D. $55$.
Câu 66: Một hội đồng gồm $2$ giáo viên và $3$ học sinh được chọn từ một nhóm $5$ giáo viên và $6$ học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
A. $200$.B. $150$. C. $160$. D. $180$.
Câu 67: Cần chọn $3$ người đi công tác từ một tổ có $30$ người, khi đó số cách chọn là
A. $A_{30}^3$.B. ${3^{30}}$. C. $10$. D. $C_{30}^3$.
Câu 68: Cho tập hợp có 26 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con gồm 6 phần tử?
A. $26$. B.$C_{26}^6$. C. $A_{26}^6$. D. ${P_6}$.
Câu 69: Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều $12$ cạnh được vẽ thì số đường chéo là:
A. $121$.B. $66$. C. $132$. D. $54$.
Câu 70: Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó?
A. $3$.B. $4$. C. $2$. D. $6$.
Câu 71: Giả sử ta dùng $5$ màu để tô cho $3$ nước, mỗi nước được tô chỉ một màu và phải khác với màu của nước khác. Số các cách để chọn những màu cần dùng là:
A. $\frac{{5!}}{{2!}}$.B. $8$. C. $\frac{{5!}}{{3!2!}}$. D. ${5^3}$.
Câu 72: Số cách chọn $5$ học sinh trong một lớp có $25$ học sinh nam và $16$ học sinh nữ là
A. $C_{25}^5 + C_{16}^5$.B. $C_{25}^5$. C. $A_{41}^5$. D. $C_{41}^5$.
Câu 73: Cho tập hợp $M = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9} \right\}$ có $10$ phần tử. Số tập hợp con gồm $2$ phần tử của $M$ và không chứa phần tử $1$ là
A. $C_{10}^2$B. $A_9^2$ C. ${9^2}$ D. $C_9^2$
Câu 74: Mười hai đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?
A. $12$.B. $66$. C. $132$. D. $144$.
Câu 75: Số tập hợp con có $3$ phần tử của một tập hợp có $7$ phần tử là:
A. $C_7^3$.B. $A_7^3$. C. $\frac{{7!}}{{3!}}$. D. $7$.
Câu 76: Một tổ gồm $12$ học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn $4$ em đi trực trong đó phải có An:
A. $990$.B. $495$. C. $220$. D. $165$.
Câu 77: Cần phân công ba bạn từ một tổ có $10$ bạn để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau?
A. $720$.B. ${10^3}$. C. $120$. D. $210$.
Câu 78: Trong một lớp học có 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn: Ba học sinh làm ban các sự lớp.
A. 6545.B. 6830. C. 2475. D. 6554.
Câu 79: Lớp 12A có 15 bạn nữ, lớp 12B có 20 bạn nam. Có bao nhiêu cách chọn hai bạn nữ lớp 12A và ba bạn nam lớp 12B để tham gia đội xung kích của trường?
A. 239400B. 119700 C. 718200 D. 1436400
Câu 80: Cho điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $d$. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là $A$ và $2$ trong $6$ điểm phân biệt trên $d$?
A. $15$B. $16$ C. $30$ D. $8$
Câu 81: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều $10$ cạnh là:
A. $35$.B. $120$. C. $240$. D. $720$.
Câu 82: Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó thuộc vào 2010 điểm đã cho.
A. 141427544.B. 1284761260. C. 1351414120. D. 453358292.
Câu 83: Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
A. $6$B. $4$ C. $3$ D. $2$
Câu 84: Cho tứ giác $ABCD$. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ $\overrightarrow 0 $ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tứ giác?
A. $A_4^2$.B. $C_6^2$. C. ${4^2}$. D. $C_4^2$.
Câu 85: Mười hai đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?
A. $12$.B. $66$. C. $132$. D. $144$.
Câu 86: Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho ba điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi:Có bao nhiêu véc tơ khác véc tơ – không có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2010 điểm đã cho.
A. 4039137.B. 4038090. C. 4167114. D. 167541284.
Câu 87: Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều $12$ cạnh được vẽ thì số đường chéo là:
A. $121$.B. $66$. C. $132$. D. $54$.
Câu 88: Số $5! – {P_4}$ bằng:
A. $5$.B. $12$. C. $24$. D. $96$.
Câu 89: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n + k} \right)!}}$.B. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$. C. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k\left( {n – k} \right)!}}$. D. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)}}$.
Câu 90: Kết quả nào sau đây sai:
A. $C_{n + 1}^0 = 1$. B. $C_n^n = 1$. C. $C_n^1 = n + 1$. D. $C_n^{n – 1} = n$.
Câu 91: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều $10$ cạnh là:
A. $35$.B. $120$. C. $240$. D. $720$.
Câu 92: Cho các số nguyên $k,n$ thỏa mãn $0 < k \le n$. Công thức nào dưới đây đúng ?
A. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}$.B. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$. C. $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$. D. $A_n^k = \frac{{k!n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$.
Câu 93: Cho biết $C_n^{n – k} = 28$. Giá trị của n và k lần lượt là:
A. $8{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}4.$B. $8{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}3$. C. $8{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}2$. D. ${\rm{4 }}v\`a {\rm{ }}2$
Câu 94: Công thức tính số hoán vị ${P_n}$ là
A. ${P_n} = (n – 1)!$.B. ${P_n} = (n + 1)!$. C. ${P_n} = \frac{{n!}}{{(n – 1)}}$. D. ${P_n} = n!$.
Câu 95: Cho $k,n\left( {k < n} \right)$ là các số nguyên dương bất kì. Mệnh đề sau đây đúng?
A. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}$B. $A_n^k = k!.C_n^k$ C. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$ D. $A_n^k = n!.C_n^k$
Câu 96: Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều $12$ cạnh được vẽ thì số đường chéo là:
- $121$.B. $66$. C. $132$. D. $54$.
BẢNG ĐÁP ÁN
| 1.D | 2.D | 3.D | 4.D | 5.B | 6.C | 7.D | 8.C | 9.D | 10.D |
| 11.C | 12.C | 13.A | 14.A | 15.C | 16.A | 17.A | 18.B | 19.A | 20.B |
| 21.A | 22.B | 23.A | 24.A | 25.A | 26.A | 27.B | 28.C | 29.A | 30.A |
| 31.C | 32.C | 33.A | 34.A | 35.A | 36.C | 37.A | 38.A | 39.D | 40.C |
| 41.A | 42.B | 43.A | 44.D | 45.A | 46.A | 47.C | 48.C | 49.A | 50.B |
| 51.C | 52.D | 53.D | 54.A | 55.A | 56.C | 57.A | 58.B | 59.C | 60.A |
| 61.A | 62.C | 63.D | 64.C | 65.A | 66.A | 67.D | 68.B | 69.D | 70.B |
| 71.A | 72.D | 73.D | 74.B | 75.A | 76.D | 77.C | 78.A | 79.B | 80.A |
| 81.B | 82.C | 83.B | 84.A | 85.B | 86.B | 87.D | 88.D | 89.B | 90.C |
| 91.B | 92.C | 93.C | 94.D | 95.B | 96.D |
Lời giải chi tiết
Câu 1: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $C_n^k = \frac{{k!}}{{n!\left( {n – k} \right)!}}$.B. $C_n^k = \frac{{k!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$. C. $C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$. D. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$.
Lời giải
Ta có: $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$.
Câu 2: Số $5! – {P_4}$ bằng:
A. $5$.B. $12$. C. $24$. D. $96$.
Lời giải
Ta có: $5! – {P_4} = 5! – 4! = 96$
Câu 3: Với $k$ và $n$ là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn $k \le n$, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ${P_n} = \frac{{n!}}{{(n – k)!}}$.B. ${P_n} = \left( {n – k} \right)!$. C. ${P_n} = \frac{{n!}}{{k!}}$. D. ${P_n} = n!$
Lời giải
Câu 4: Kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử $\left( {1 \le k \le n} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n + k} \right)!}}$B. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n + k} \right)!}}$ C. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$ D. $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$
Lời giải
Lý thuyết.
Câu 5: $C_n^3 = 10$ thì $n$ có giá trị là :
A. $6$.B. $5$. C. $3$. D. $4$.
Lời giải
Ta có $C_5^3 = 10$.
Câu 6: Cho Công thức tính số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là:
A. $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$B. $C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!k!}}$ C. $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!k!}}$ D. $C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$
Lời giải
Câu 7: Công thức tính số hoán vị ${P_n}$là
A. ${P_n} = (n – 1)!$.B. ${P_n} = (n + 1)!$. C. ${P_n} = \frac{{n!}}{{(n – 1)}}$. D. ${P_n} = n!$.
Lời giải
Công thức tính số hoán vị $n$ phần tử là ${P_n} = n!$.
Câu 8: Kết quả nào sau đây sai:
A. $C_{n + 1}^0 = 1$. B. $C_n^n = 1$. C. $C_n^1 = n + 1$. D. $C_n^{n – 1} = n$.
Lời giải
Vì $C_n^1 = n$ nên câu C sai
Câu 9: Cho $k$, $n$ $\left( {k < n} \right)$ là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. $A_n^k = k!.C_n^k$.B. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!.\left( {n – k} \right)!}}$. C. $C_n^k = C_n^{n – k}$. D. $A_n^k = n!.C_n^k$.
Lời giải
Theo định nghĩa về tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị.
Câu 10: Công thức tính số hoán vị ${P_n}$ là
A. ${P_n} = \left( {n – 1} \right)!$.B. ${P_n} = \left( {n + 1} \right)!$. C. ${P_n} = \frac{{n!}}{{\left( {n – 1} \right)}}$. D. ${P_n} = n!$.
Lời giải
Công thức tính số hoán vị $n$ phần tử là ${P_n} = n!$.
Câu 11: Cho $n,k$là những số nguyên thỏa mãn $0 \le k \le n$ và $n \ge 1$. Tìm khẳng định sai.
A. ${P_n} = A_n^n$B. $C_n^k = C_n^{n – k}$ C. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}$ D. ${P_k}.C_n^k = A_n^k$
Lời giải
$A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$, chọn câu C
Câu 12: Cho tập $A$ có $n$ phần tử (, $n \ge 2$), $k$ là số nguyên thỏa mãn $0 \le k \le n$. Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử trên là
A. $\frac{{n!}}{{k!}}$.B. $\frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$. C. $\frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$. D. $k!\left( {n – k} \right)!$.
Lời giải
Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $\frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$.
Câu 13: Tập $A$ có $10$ phần tử, số tập con của $A$ bằng
A. $1024$. B. $2023$. C. $10$. D. $20$.
Lời giải
Số tập con của $10$ phần tử là ${2^{10}} = 1024$.
Câu 14: Với $k$ và $n$ là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn $k \le n$, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$ B. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}$ C. $C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$ D. $C_n^k = \frac{{k!\left( {n – k} \right)!}}{{n!}}$
Lời giải
Dạng 01: Đếm số
Câu 15: Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau?
A. $C_7^3$B. ${3^7}$ C. $A_7^3$ D. ${7^3}$
Lời giải
Chọn 3 chữ số phân biệt từ 7 chữ số nói trên và ta sắp xếp thứ tự của chúng là một chỉnh hợp chập 3 của 7.
Câu 16: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau:
A. $4536$. B. ${4^9}$. C. $2156$. D. $4530$.
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng: $\overline {abcd} {\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$
Chọn $a$: có 9 cách $\left( {a \ne 0} \right)$
Chọn $\overline {bcd} $: có $A_9^3$ cách
Theo quy tắc nhân, có $9.A_9^3 = 4536$
Câu 17: Cho $k$ và $n$ là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn $k \le n$, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.A. $A_n^k = \frac{{n!}}{{(n – k)!}}$. B. $A_n^k = n!$. C. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n – k)!}}$. D. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}$.
Lời giải
Câu 18: Cho tập $S$ có $20$ phần tử. Số tập con gồm $3$ phần tử của $S$.
A. $A_{20}^3$B. $C_{20}^3$ C. $60$ D. ${20^3}$
Lời giải
Mỗi cách chọn $3$ phần tử từ $20$ phần tử là một tổ hợp chập $3$ của $20$.
Số tập con gồm $3$ phần tử của $S$ là $C_{20}^3$.
Câu 19: Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong $12$ người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình.
A. $3991680$. B. $12!$. C. $35831808$. D. $7!$.
Lời giải
Vì 1 tuần có 7 ngày nên có $A_{12}^7 = 3991680$.
Câu 20: Cho tập hợp $A$ gồm có 9 phần tử. Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp $A$ là
A. ${P_4}$.B. $C_9^4$. C. $4 \times 9$. D. $A_9^4$.
Lời giải
Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp $A$ là $C_9^4$.
Câu 21: Số cách chọn $3$ học sinh từ $5$ học sinh là
A. $C_5^3$. B. $A_5^3$. C. $3!$. D. $15$.
Lời giải
Số cách chọn $3$ học sinh từ $5$ học sinh là $C_5^3$.
Câu 22: Cho $A = \left\{ {1,\,2,\,3,\,4} \right\}$. Từ $A$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau?
A. $32$.B. $24$. C. $256$. D. $1$.
Lời giải
Mỗi số tự nhiên tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau được lập từ tập $A$ là hoán vị của $4$ phần tử.
Vậy có $4! = 24$ số cần tìm.
Câu 23: Một hộp có $3$ bi xanh, $4$ bi đỏ và $5$ bi vàng. Chọn ngẫu nhiên $3$ bi sao cho có đủ ba màu. Số cách chọn là
A. $60$. B. $220$. C. $360$. D. $120$.
Lời giải
Chọn ngẫu nhiên $3$ bi sao có đủ ba màu có $C_3^1.C_4^1.C_5^1 = 60$ cách.
Câu 24: Giải bóng đá V-LEAGUE 2018 có tất cả $14$ đội bóng tham gia, các đội bóng thi đấu vòng tròn $2$ lượt. Hỏi giải đấu có tất cả bao nhiêu trận đấu?
A. $182$. B. $91$. C. $196$. D. $140$.
Lời giải
Số trận đấu là $A_{14}^2 = 182$.
Câu 25: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh theo một hàng dọc?
A. $720.$ B. $46656$. C. $4320.$ D. $360.$
Lời giải
Mỗi cách sắp xếp 6 học sinh theo một hàng dọc là một hoán vị của 6 phần tử và ngược lại.
Vậy số cách sắp xếp 6 học sinh theo một hàng dọc là: $6! = 720.$
Câu 26: Tìm số các số tự nhiên có 7 chữ số, các chữ số đôi một phân biệt và được lấy từ tập $\left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}$.
A. $4005$. B. $5004$. C. $5040$. D. $4050$.
Lời giải
Chọn 7 số từ tập hợp có 7 số phân biết có $7! = 5040$ cách.
Câu 27: Cho đa giác lồi $n$ đỉnh $\left( {n > 3} \right)$. Số tam giác có $3$ đỉnh là $3$ đỉnh của đa giác đã cho là
A. $A_n^3$.B. $C_n^3$. C. $\frac{{C_n^3}}{{3!}}$. D. $n!$.
Lời giải
Số tam giác có $3$ đỉnh là $3$ đỉnh của đa giác đã cho là số tổ hợp chập $3$ của $n$ phần tử.
Số tam giác lập được là $C_n^3$.
Câu 28: Tính số chỉnh hợp chập $4$ của $7$ phần tử?
A. $24$.B. $720$. C. $840$. D. $35$.
Lời giải
Ta có: $A_7^4 = \frac{{7!}}{{3!}} = 840$.
Câu 29: Số tập hợp con có $3$ phần tử của một tập hợp có $7$ phần tử là:
A. $C_7^3$. B. $A_7^3$. C. $\frac{{7!}}{{3!}}$. D. $7$.
Lời giải
Đây là tổ hợp chập $3$ của $7$ phần tử. Vậy có $C_7^3$ tập hợp con.
Câu 30: Số cách xếp 5 người vào 5 vị trí ngồi thành hàng ngang là?
A. $120$. B. $25$. C. $15$. D. $24$.
Lời giải
Mỗi cách xếp 5 người vào 5 vị trí ngồi thành hàng ngang là một hoán vị của 5 phần tử.
Suy ra số cách xếp là $5! = 120$ cách.
Câu 31: Số chỉnh hợp chập $2$ của $5$ phần tử bằng
A. $10$.B. $120$. C. $20$. D. $7$.
Lời giải
Ta có $A_5^2 = 20$.
Câu 32: Từ $7$ chữ số $1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7$ có thể lập được bao nhiêu số từ $4$ chữ số khác nhau?
A. $7!$.B. ${7^4}$. C. $7.6.5.4$. D. $7!.6!.5!.4!$.
Lời giải
Chọn $4$ trong $7$ chữ số để sắp vào $4$ vị trí có $A_7^4 = \frac{{7!}}{{3!}} = 7.6.5.4$.
Câu 33: Số hoán vị của $n$ phần tử là
A. $n!$. B. $2n$. C. ${n^2}$. D. ${n^n}$.
Lời giải
Sô hoán vị của tập có $n$ phần tử bằng $n!$.
Câu 34: Từ các chữ số $1;2;3;4;5;6;7;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau?
A. $A_9^2$. B. $C_9^2$. C. ${2^9}$. D. ${9^2}$.
Lời giải.
Số cách lấy hai chữ số khác nhau từ các chữ số $1;2;3;4;5;6;7;8;9$là chỉnh hợp chập $2$ của $9$: $A_9^2$
Dạng 02: Đếm số
Câu 35: Cho $k$ và $n$ là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn $k \le n$, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $A_n^k = \frac{{n!}}{{(n – k)!}}$. B. $A_n^k = n!$. C. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n – k)!}}$. D. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}$.
Lời giải
Câu 36: Từ các số $0,\,1,\,2,\,7,\,8,\,9$ tạo được bao nhiêu số chẵn có $5$ chữ số khác nhau?
A. $120$.B. $216$. C. $312$. D. $360$.
Lời giải
Gọi $\overline {abcde} $ là số cần tìm.
Nếu $e = 0$, chọn $4$ trong $5$ số còn lại sắp vào các vị trí $a,\,b,\,c,\,d$ có $A_5^4 = 120$ cách.
Nếu $e \ne 0$, chọn $e$ có $2$ cách.
Chọn $a \ne 0$ và $a \ne e$ có $4$ cách.
Chọn $3$ trong $4$ số còn lại sắp vào các vị trí $b,\,c,\,d$ có $A_4^3$ cách.
Như vậy có: $A_5^4 + 2.4.A_4^3 = 312$ số.
Câu 37: Từ các số $0,\,1,\,2,\,7,\,8,\,9$ tạo được bao nhiêu số lẻ có $5$ chữ số khác nhau?
A. $288$. B. $360$. C. $312$. D. $600$.
Lời giải
Gọi $\overline {abcde} $ là số cần tìm.
Chọn $e$ có $3$ cách.
Chọn $a \ne 0$ và $a \ne e$ có $4$ cách.
Chọn $3$ trong $4$ số còn lại sắp vào $b,\,c,\,d$ có $A_4^3$ cách.
Vậy có $3.4.A_4^3 = 288$ số.
Câu 38: Số tập hợp con có $3$ phần tử của một tập hợp có $7$ phần tử là:
A. $C_7^3$. B. $A_7^3$. C. $\frac{{7!}}{{3!}}$. D. $7$.
Lời giải
Đây là tổ hợp chập $3$ của $7$ phần tử. Vậy có $C_7^3$ tập hợp con.
Dạng 03: Chọn người, vật
Câu 39: Số cách sắp xếp $5$ học sinh ngồi vào một bàn dài có $5$ ghế là:
A. $4!$.B. $5$. C. $1$. D. $5!$.
Lời giải
Số cách sắp xếp là hoán vị của $5$ phần tử $ \to $ $5!$.
Câu 40: Có bao nhiêu cách sắp xếp $6$ học sinh theo một hàng dọc?
A. $46656$.B. $4320$. C. $720$. D. $360$.
Lời giải
Số cách sắp xếp $6$ học sinh theo một hàng dọc là số hoán vị của $6$ phần tử.
Vậy có ${P_6} = 6!$$ = 720$ cách.
Câu 41: Có 5 người đến nghe một buổi hòa nhạc. Số cách xếp 5 người này vào một hàng có 5 ghế là:
A. $120$. B. $100$. C. $130$. D. $125$.
Lời giải.
Số cách sắp xếp là số hoán vị của tập có 5 phần tử: ${P_5} = 5! = 120$.
Câu 42: Từ các số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau đôi một?
A. $60$.B. $120$. C. $24$. D. $48$.
Lời giải
Mỗi cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một hoán vị của 5 phần tử.
Vậy có $5! = 120$số cần tìm.
Câu 43: Cho tập hợp $X$ gồm $10$ phần tử. Số các hoán vị của $10$ phần tử của tập hợp $X$ là
A. $10!$. B. ${10^2}$. C. ${2^{10}}$. D. ${10^{10}}$.
Lời giải
Số các hoán vị của $10$ phần tử: $10!$.
Câu 44: Có bao nhiêu cách sắp xếp ${\rm{18}}$ thí sinh vào một phòng thi có ${\rm{18}}$ bàn mỗi bàn một thí sinh.
A. ${\rm{18}}$B. ${\rm{1}}$ C. ${\rm{1}}{{\rm{8}}^{{\rm{18}}}}$ D. ${\rm{18}}!$
Lời giải
Số cách xếp là: ${\rm{18}}!$.
Câu 45: Có $5$ người đến nghe một buổi hòa nhạc. Số cách xếp $5$ người này vào một hàng có $5$ ghế là:
A. $120$. B. $100$. C. $130$. D. $125$.
Lời giải
Số cách sắp xếp là số hoán vị của tập có $5$ phần tử: ${P_5} = 5! = 120$.
Câu 46: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh vào 5 ghế xếp thành một dãy?
A. $120$. B. $240$. C. $90$. D. $60$.
Lời giải
Số cách sắp xếp là: $5! = 120$.
Câu 47: Trong một buổi hoà nhạc, có các ban nhạc của các trường đại học từ Huế, Đà Nằng, Quy Nhơn, Nha Trang, Đà Lạt tham dự. Tìm số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên.
A. $4$. B. $20$. C. $24$. D. $120$.
Lời giải
Sắp xếp thứ tự biểu diễn của $4$ ban nhạc còn lại có $A_4^4 = 4! = 20$ cách.
Câu 48: Có bao nhiêu cách xếp $5$ sách Văn khác nhau và $7$ sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?
A. $5!.7!$.B. $2.5!.7!$. C. $5!.8!$. D. $12!$.
Lời giải
Sắp $5$ quyển văn có $5!$ cách sắp xếp.
Sắp $7$ quyển toán và bộ $5$ quyển văn có $8!$ cách sắp xếp.
Vậy có $5!.8!$ cách sắp xếp.
Câu 49: Có $5$ người đến nghe một buổi hòa nhạc. Số cách xếp $5$ người này vào một hàng có $5$ ghế là:
A. $120$. B. $100$. C. $130$. D. $125$.
Lời giải
Số cách sắp xếp là số hoán vị của tập có $5$ phần tử: ${P_5} = 5! = 120$.
Dạng 04: Chọn người, vật
Câu 50: Cho tứ giác $ABCD$. Có bao nhiêu vector có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tứ giác
A. $8$B. $12$ C. $6$ D. $4$
Lời giải
Số các vector là $A_4^2 = 12$
Câu 51: Có bao nhiêu cách xếp $5$ sách Văn khác nhau và $7$ sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?
A. $5!.7!$.B. $2.5!.7!$. C. $5!.8!$. D. $12!$.
Lời giải
Sắp $5$ quyển văn có $5!$ cách sắp xếp.
Sắp $7$ quyển toán và bộ $5$ quyển văn có $8!$ cách sắp xếp.
Vậy có $5!.8!$ cách sắp xếp.
Câu 52: Số cách xếp 3 học sinh vào một hàng ghế dài gồm 10 ghế, mỗi ghế chỉ một học sinh ngồi bằng
A. $C_{10}^3$B. $C_{10}^3.A_{10}^3$ C. $C_{10}^3 + A_{10}^3$ D. $A_{10}^3$
Lời giải
Câu 53: Số cách chọn một ban chấp hành gồm một trưởng ban, một phó ban, một thư kí và một thủ quỹ được chọn từ $16$ thành viên là:
A. $4$. B. $\frac{{16!}}{4}$. C. $\frac{{16!}}{{12!.4!}}$. D. $\frac{{16!}}{{12!}}$.
Lời giải
Chọn $4$ trong $16$ thành viên để bầu ban chấp hành có $A_{16}^4 = \frac{{16!}}{{12!}}$
Câu 54: Cho tập hợp $S = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau lấy từ tập hợp $S$?
A. $360$. B. $120$. C. $15$. D. $20$.
Lời giải
Từ tập $S$ lập được $A_6^4 = 360$ số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau.
Câu 55: Một tổ có $10$ học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra $2$ học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó.
A. $A_{10}^2$. B. $C_{10}^2$. C. $A_{10}^8$. D. ${10^2}$.
Lời giải
Chọn ra $2$ học sinh từ một tổ có $10$ học sinh và phân công giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là một chỉnh hợp chập $2$ của 10 phần tử. Số cách chọn là $A_{10}^2$ cách.
Câu 56: Trong một buổi hoà nhạc, có các ban nhạc của các trường đại học từ Huế, Đà Nằng, Quy Nhơn, Nha Trang, Đà Lạt tham dự. Tìm số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên.
A. $4$. B. $20$. C. $24$. D. $120$.
Lời giải
Sắp xếp thứ tự biểu diễn của $4$ ban nhạc còn lại có $A_4^4 = 4! = 20$ cách.
Câu 57: Giả sử ta dùng $5$ màu để tô cho $3$ nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là:
A. $\frac{{5!}}{{2!}}$. B. $8$. C. $\frac{{5!}}{{3!2!}}$. D. ${5^3}$.
Lời giải
Chọn $3$ trong $5$ màu để tô vào $3$ nước khác nhau nên có $A_5^3 = \frac{{5!}}{{2!}}$ cách.
Câu 58: Cho tập $X$ có $9$ phần tử. Tìm số tập con có $5$ phần tử của tập $X$.
A. $120$.B. $126$. C. $15120$. D. $216$.
Lời giải
Từ tập $X$ có $9$ phần tử chọn ra $5$ phần tử để hình thành nên tập con.
Vậy tập $X$có $C_9^5 = 126$ tập con chứa$5$ phần tử.
Câu 59: Từ $7$ chữ số $1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7$ có thể lập được bao nhiêu số từ $4$ chữ số khác nhau?
A. $7!$.B. ${7^4}$. C. $7.6.5.4$. D. $7!.6!.5!.4!$.
Lờigiải
Chọn $4$ trong $7$ chữ số để sắp vào $4$ vị trí có $A_7^4 = \frac{{7!}}{{3!}} = 7.6.5.4$.
Câu 60: Trong một lớp học có 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn: Ba học sinh làm ba nhiệm vụ lớp trưởng, lớp phó và bí thư.
- A. B. 47599. C. 14684. D. 38690.
Lời giải
Số cách chọn 3 học sinh làm lớp trưởng, lớp phó và bí thư là:$A_{35}^3 = 39270$.
Dạng 05: Chọn người, vật
Câu 61: Một hộp có $3$ bi xanh, $4$ bi đỏ và $5$ bi vàng. Chọn ngẫu nhiên $3$ bi sao cho có đủ ba màu. Số cách chọn là
A. $60$. B. $220$. C. $360$. D. $120$.
Lời giải
Chọn ngẫu nhiên $3$ bi sao có đủ ba màu có $C_3^1.C_4^1.C_5^1 = 60$ cách.
Câu 62: Cho tập hợp $A$ có $20$ phần tử, số tập con có hai phần tử của $A$ là
A. $2C_{20}^2$.B. $2A_{20}^2$. C. $C_{20}^2$. D. $A_{20}^2$.
Lời giải
Số tập con có hai phần tử của $A$ là $C_{20}^2$.
Câu 63: Trong một hộp bánh có $6$ loại bánh nhân thịt và $4$ loại bánh nhân đậu xanh. Có bao nhiêu cách lấy ra $6$ bánh để phát cho các em thiếu nhi.
A. $240$.B. $151200$. C. $14200$. D. $210$.
Lời giải
Chọn $6$ trong $10$ bánh có $C_{10}^6 = 210$ cách.
Câu 64: Một tổ công nhân có $12$ người. Cần chọn $3$ người để đi làm cùng một nhiệm vụ, hỏi có bao nhiêu cách chọn?
A. $A_{12}^3$B. $12!$ C. $C_{12}^3$ D. ${12^3}$
Lời giải
Số cách chọn $3$ người từ $12$ người là $C_{12}^3$
Câu 65: Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo thành từ $10$ điểm phân biệt khác nhau.
A. $45$. B. $90$. C. $35$. D. $55$.
Lời giải
Giả sử ta có hai điểm $A$, $B$ phân biệt thì cho ta một đoạn thẳng $AB$.
Vậy số đoạn thẳng được tạo thành từ $10$ điểm phân biệt khác nhau là: $C_{10}^2 = 45$.
Câu 66: Một hội đồng gồm $2$ giáo viên và $3$ học sinh được chọn từ một nhóm $5$ giáo viên và $6$ học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
A. $200$. B. $150$. C. $160$. D. $180$.
Lời giải
Chọn $2$ trong $5$ giáo viên có: $C_5^2 = 10$ cách chọn.
Chọn $3$ trong $6$ học sinh có $C_6^3 = 20$ cách chọn.
Vậy có $10.20 = 200$ cách chọn.
Câu 67: Cần chọn $3$ người đi công tác từ một tổ có $30$ người, khi đó số cách chọn là
A. $A_{30}^3$.B. ${3^{30}}$. C. $10$. D. $C_{30}^3$.
Lời giải
Số cách chọn $3$ người bất kì trong $30$ là: $C_{30}^3$.
Câu 68: Cho tập hợp A có 26 phần tử. Hỏi A có bao nhiêu tập con của gồm 6 phần tử?
A. $26$. B. $C_{26}^6$. C. $A_{26}^6$. D. ${P_6}$.
Lời giải
Câu 69: Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều $12$ cạnh được vẽ thì số đường chéo là:
A. $121$.B. $66$. C. $132$. D. $54$.
Lời giải
Cứ $2$ đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng.
Khi đó có $C_{12}^2 = 66$ cạnh.
Số đường chéo là: $66 – 12 = 54$.
Câu 70: Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó?
A. $3$.B. $4$. C. $2$. D. $6$.
Lời giải
Trong không gian, bốn điểm không đồng phẳng tạo thành một hình tứ diện. Vì vậy xác định nhiều nhất bốn mặt phẳng phân biệt.
Câu 71: Giả sử ta dùng $5$ màu để tô cho $3$ nước, mỗi nước được tô chỉ một màu và phải khác với màu của nước khác. Số các cách để chọn những màu cần dùng là:
A. $\frac{{5!}}{{2!}}$. B. $8$. C. $\frac{{5!}}{{3!2!}}$. D. ${5^3}$.
Lời giải
Chọn $3$ trong $5$ màu để tô vào $3$ nước khác nhau nên có $A_5^3 = \frac{{5!}}{{2!}}$ cách.
Câu 72: Số cách chọn $5$ học sinh trong một lớp có $25$ học sinh nam và $16$ học sinh nữ là
A. $C_{25}^5 + C_{16}^5$.B. $C_{25}^5$. C. $A_{41}^5$. D. $C_{41}^5$.
Lời giải
Chọn $5$ học sinh trong lớp có $41$ học sinh là số tập con có $5$ phần tử chọn trong $41$ phần tử nên số cách chọn là $C_{41}^5$.
Câu 73: Cho tập hợp $M = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9} \right\}$ có $10$ phần tử. Số tập hợp con gồm $2$ phần tử của $M$ và không chứa phần tử $1$ là
A. $C_{10}^2$B. $A_9^2$ C. ${9^2}$ D. $C_9^2$
Lời giải
Câu 74: Mười hai đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?
A. $12$.B. $66$. C. $132$. D. $144$.
Lời giải
Để được nhiều giao điểm nhất thì mười hai đường thẳng này phải đôi một cắt nhau tại các điểm phân biệt.
Như vậy có $C_{12}^2 = 66$.
Câu 75: Số tập hợp con có $3$ phần tử của một tập hợp có $7$ phần tử là:
A. $C_7^3$. B. $A_7^3$. C. $\frac{{7!}}{{3!}}$. D. $7$.
Lời giải
Đây là tổ hợp chập $3$ của $7$ phần tử. Vậy có $C_7^3$ tập hợp con.
Câu 76: Một tổ gồm $12$ học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn $4$ em đi trực trong đó phải có An:
A. $990$.B. $495$. C. $220$. D. $165$.
Lời giải
n có $1$ cách chọn.
Chọn $3$ bạn trong $11$ bạn còn lại có $C_{11}^3 = 165$ cách chọn.
Vậy có $165$ cách chọn.
Câu 77: Cần phân công ba bạn từ một tổ có $10$ bạn để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau?
A. $720$.B. ${10^3}$. C. $120$. D. $210$.
Lời giải
Số cách phân công là: $C_{10}^3 = 120$.
Câu 78: Trong một lớp học có 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn: Ba học sinh làm ban các sự lớp.
A. 6545. B. 6830. C. 2475. D. 6554.
Lời giải
Số cách chọn ban cán sự: $C_{35}^3 = 6545$.
Câu 79: Lớp 12A có 15 bạn nữ, lớp 12B có 20 bạn nam. Có bao nhiêu cách chọn hai bạn nữ lớp 12A và ba bạn nam lớp 12B để tham gia đội xung kích của trường?
A. 239400 B. 119700 C. 718200 D. 1436400
Lời giải
Chọn 2 bạn nữ lớp 12A và 3 bạn nam lớp 12B: $C_{15}^2.C_{20}^3 = 119700$ cách chọn.
Câu 80: Cho điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $d$. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là $A$ và $2$ trong $6$ điểm phân biệt trên $d$?
A. $15$ B. $16$ C. $30$ D. $8$
Lời giải
Để tạo được một tam giác từ đỉnh $A$ và hai điểm trên đường thẳng $d$ thì có $C_6^2 = 15$ cách chọn $2$ trong $6$ điểm phân biệt trên $d$.
Dạng 07: Bài toán liên quan hình học
Câu 81: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều $10$ cạnh là:
A. $35$.B. $120$. C. $240$. D. $720$.
Lời giải
Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác.
Chọn $3$ trong $10$ đỉnh của đa giác, có $C_{10}^3 = 120$.
Vậy có $120$ tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác $10$ cạnh.
Câu 82: Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó thuộc vào 2010 điểm đã cho.
A. 141427544.B. 1284761260. C. 1351414120. D. 453358292.
Lời giải
Mỗi tam giác thỏa yêu cầu bài toán ứng với một tổ hợp chập 3 của 2010, nên số tam giác cần tìm là: $C_{2010}^3$.
Câu 83: Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
A. $6$B. $4$ C. $3$ D. $2$
Lời giải
Vì $4$ điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có $4$ mặt.
Câu 84: Cho tứ giác $ABCD$. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ $\overrightarrow 0 $ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tứ giác?
A. $A_4^2$. B. $C_6^2$. C. ${4^2}$. D. $C_4^2$.
Lời giải
Ta có mỗi vectơ được tạo thành từ $2$ đỉnh của tứ giác là một chỉnh hợp chập $2$ của $4$ phần tử.
Vậy có $A_4^2$ vectơ thỏa yêu cầu bài.
Câu 85: Mười hai đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?
A. $12$.B. $66$. C. $132$. D. $144$.
Lời giải
Để được nhiều giao điểm nhất thì mười hai đường thẳng này phải đôi một cắt nhau tại các điểm phân biệt.
Như vậy có $C_{12}^2 = 66$.
Câu 86: Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho ba điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi:Có bao nhiêu véc tơ khác véc tơ – không có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2010 điểm đã cho.
A. 4039137.B. 4038090. C. 4167114. D. 167541284.
Lời giải
Mỗi véc tơ thỏa yêu cầu bài toán ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 2010, nên số véc tơ cần tìm là: $A_{2010}^2$.
Câu 87: Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều $12$ cạnh được vẽ thì số đường chéo là:
A. $121$.B. $66$. C. $132$. D. $54$.
Lời giải
Cứ $2$ đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng.
Khi đó có $C_{12}^2 = 66$ cạnh.
Số đường chéo là: $66 – 12 = 54$.
Dạng 08: Tính toán, rút gọn biểu thức chứa P,A,C
Câu 88: Số $5! – {P_4}$ bằng:
A. $5$.B. $12$. C. $24$. D. $96$.
Lời giải
Ta có: $5! – {P_4} = 5! – 4! = 96$.
Câu 89: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n + k} \right)!}}$.B. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$. C. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k\left( {n – k} \right)!}}$. D. $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)}}$.
Lời giải
Câu 90: Kết quả nào sau đây sai:
A. $C_{n + 1}^0 = 1$. B. $C_n^n = 1$. C. $C_n^1 = n + 1$. D. $C_n^{n – 1} = n$.
Lời giải
Vì $C_n^1 = n$ nên câu C sai
Câu 91: Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều $10$ cạnh là:
A. $35$.B. $120$. C. $240$. D. $720$.
Lời giải
Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác.
Chọn $3$ trong $10$ đỉnh của đa giác, có $C_{10}^3 = 120$.
Vậy có $120$ tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác $10$ cạnh.
Câu 92: Cho các số nguyên $k,n$ thỏa mãn $0 < k \le n$. Công thức nào dưới đây đúng ?
A. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}$.B. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$. C. $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$. D. $A_n^k = \frac{{k!n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$.
Lời giải
Câu 93: Cho biết $C_n^{n – k} = 28$. Giá trị của n và k lần lượt là:
A. $8$và $4.$B. $8$và $3$. C. $8$và $2$. D. ${\rm{4}}$và $2$
Lời giải.
Vì phương trình $C_n^{n – k} = 28$ có 2 ẩn nên không giải trực tiếp được.
Dùng phương pháp làm ngược thử từng đáp án thì đáp án C thỏa mãn.
Câu 94: Công thức tính số hoán vị ${P_n}$ là
A. ${P_n} = (n – 1)!$.B. ${P_n} = (n + 1)!$. C. ${P_n} = \frac{{n!}}{{(n – 1)}}$. D. ${P_n} = n!$.
Lời giải
Công thức tính số hoán vị $n$ phần tử là ${P_n} = n!$.
Câu 95: Cho $k,n\left( {k < n} \right)$ là các số nguyên dương bất kì. Mệnh đề sau đây đúng?
A. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}$B. $A_n^k = k!.C_n^k$ C. $A_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$ D. $A_n^k = n!.C_n^k$
lời giải
Ta có $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}}$ nên A sai và C sai.
Vì $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}} = k!\frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}} = k!.C_n^k$ nên D sai và B đúng
Câu 96: Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều $12$ cạnh được vẽ thì số đường chéo là:
A. $121$.B. $66$. C. $132$. D. $54$.
Lời giải
Cứ $2$ đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng.
Khi đó có $C_{12}^2 = 66$ cạnh.
Số đường chéo là: $66 – 12 = 54$.
