Chuyên Đề Viết Phương Trình Mặt Cầu Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Có Đáp Án Và Lời Giải

Chuyên đề viết phương trình mặt cầu theo từng mức độ luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 37 của đề tham khảo môn Toán.

DẠNG TOÁN: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Phương trình mặt cầu :

a. Phương trình mặt cầu dạng chính tắc : 

Cho mặt cầu có tâm $I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)$, bán kính $R$.

Khi đó phương trình chính tắc của mặt cầu là $\left( S \right)\,:\,{\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} + {\left( {z – c} \right)^2} = {R^2}$.

b. Phương trình mặt cầu dạng khai triển :

Phương trình mặt cầu dạng khai triển là $\left( S \right)\,:\,{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$

Khi đó mặt cầu có tâm $I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d} \,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d > 0} \right)$.

2. Vị trí tương đối giữa điểm và mặt cầu :

Cho điểm $A$ và mặt cầu $S\left( {O;\,R} \right)$. Ta có :

Điểm $A$ thuộc mặt cầu $ \Leftrightarrow OA = R$.

Điểm $A$ nằm trong mặt cầu $ \Leftrightarrow OA < R$.

Điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $ \Leftrightarrow OA > R$.

3. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu :

Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $S\left( {O;\,R} \right)$. Ta có :

Mặt phẳng $\left( P \right)$ không cắt mặt cầu $S\left( {O;\,R} \right)$$ \Leftrightarrow d\left( {O;\left( P \right)} \right) > R$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $S\left( {O;\,R} \right)$$ \Leftrightarrow d\left( {O;\left( P \right)} \right) = R$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $S\left( {O;\,R} \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính$r = \sqrt {{R^2} – {d^2}\left( {O,\left( P \right)} \right)} $$ \Leftrightarrow d\left( {O;\left( P \right)} \right) < R$. Khi $\left( P \right)$ đi qua tâm $O$ của mặt cầu ta nói $\left( P \right)$ cắt $S\left( {O;\,R} \right)$theo giao tuyến là một đường tròn lớn có tâm chính là $O$ và bán kính là $R$.

4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu :

Cho đường thẳng $\Delta $ và mặt cầu $S\left( {O;\,R} \right)$. Ta có :

Đường thẳng $\Delta $ ko cắt mặt cầu $S\left( {O;\,R} \right)$$ \Leftrightarrow d\left( {O;\left( \Delta \right)} \right) > R$.

Đường thẳng $\Delta $ tiếp xúc với mặt cầu $S\left( {O;\,R} \right)$$ \Leftrightarrow d\left( {O;\left( \Delta \right)} \right) = R$.

Đường thẳng $\Delta $ cắt mặt cầu $S\left( {O;\,R} \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ $ \Leftrightarrow d\left( {O;\left( \Delta \right)} \right) < R$. Khi đó ta có ${R^2} = \frac{1}{4}A{B^2} + {d^2}\left( {O;\left( \Delta \right)} \right)$.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Tìm tâm và bán kính, ĐK xác định mặt cầu.

PTMC biết tâm, bán kính.

PTMC biết 2 đầu mút của đường kính.

PTMC ngoại tiếp tứ diện.

PTMC qua nhiều điểm, thỏa mãn điều kiện cho trước.

PTMC biết tâm, tiếp xúc với mặt phẳng.

PTMC biết tâm thuộc d, thỏa mãn điều kiện cho trước.

PTMC biết tâm thuộc mặt phẳng, thỏa mãn điều kiện cho trước.

PTMC biết tâm, thỏa mãn các điều kiện khác.

Toán Max-Min liên quan đến mặt cầu.

Điểm thuộc mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước.

Toán thực tế, liên môn liên quan đến mặt cầu.

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA BDG 2020-2021) Trong không gian mặt cầu có tâm là gốc tọa độ $O\left( {0;0;0} \right)$và đi qua điểm $M\left( {0;0;2} \right)$ có phương trình là

A. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 2$. B. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 4$.

C. ${x^2} + {y^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 4$. D. ${x^2} + {y^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 2$.

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán lập phương trình mặt cầu khi biết tâm của nó.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Xác định bán kính $R$ của mặt cầu

B2: Lập phương trình mặt cầu có tâm là $O\left( {0;0;0} \right)$ và bán kính $R$

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn C

Ta có mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là $O\left( {0;0;0} \right)$ và đi qua $M\left( {0;0;2} \right)$ có bán kính là: $R = IM = 2$.

Vậy $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 4$.

Bài tập tương tự và phát triển:

Mức độ 1

Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 6z + 9 = 0$. Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu là

A. $I\left( { – 1;\,2;\, – 3} \right)$. B. $I\left( {1;\, – 2;\,3} \right)$. C. $I\left( {1;\,2;\,3} \right)$. D. $I\left( { – 1;\, – 2;\, – 3} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Ta có ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 6z + 9 = 0$$ \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 5$.

Vậy mặt cầu có tâm $I\left( {1;\, – 2;\,3} \right)$.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu có phương trình ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 9$. Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu đó là

A. $I\left( { – 1;3;0} \right)$. B. $I\left( {1;3;0} \right)$. C. $I\left( {1; – 3;0} \right)$. D. $I\left( { – 1; – 3;0} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Câu 3. Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y + 4z + 2 = 0.$ Độ dài đường

kính của mặt cầu $(S)$ bằng

A. $2\sqrt 3 .$ B. $\sqrt 3 .$ C. $2.$ D. $1.$

Lời giải

Chọn A

Mặt cầu $(S)$ có bán kính: $R = \sqrt {0 + 1 + 4 – 2} = \sqrt 3 $

Đường kính của nó bằng: $2R = 2\sqrt 3 $.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 9$ . Khối cầu $\left( S \right)$ có thể tích bằng

A. $V = 16\pi $. B. $V = 36\pi $. C. $V = 14\pi $. D. $V = \frac{4}{{36}}\pi $.

.

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 9$ có tâm là $\left( {1; – 2;0} \right)$, bán kính $R = 3$.

Thể tích khối cầu $V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 36\pi $.

Câu 5. Trong không gian $Oxyz,$ phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I( – 1;2;0),$ bán kính $R = 4$ là

A. ${(x + 1)^2} + {(y – 2)^2} + {z^2} = 4$. B. ${(x + 1)^2} + {(y – 2)^2} + {z^2} = 16$.

C. ${(x – 1)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 16$. D. ${(x + 1)^2} + {(y – 2)^2} + {z^2} = 4$.

Lời giải:

Chọn B

Phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I( – 1;2;0),$ bán kính $R = 4$ là

${(x + 1)^2} + {(y – 2)^2} + {z^2} = 16$.

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, Cho mặt cầu $\left( S \right)$$3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y – 18z – 3 = 0$. Tâm của

$(S)$ có tọa độ là

A. $I\left( { – 3\,;\, – 6\,;9} \right)$. B.$I\left( {1\,;\,2\,; – \,3} \right)$. C. $I\left( { – 1\,;\, – 2\,;\,3} \right)$. D. $I\left( {3\,;\,6\,; – 9} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x + 12y – 18z – 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y – 6z – 1 = 0$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là $I\left( { – 1\,;\, – 2\,;\,3} \right)$.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ ${x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 34$.Điểm nào dưới đây thuộc $\left( S \right)$

A. $M\left( {5;\,0;\,0} \right)$. B. $N\left( {0;\,6;\,0} \right)$. C. $P\left( {0;\,0;\, – 5} \right)$. D. $Q\left( {0;\,0;\,5} \right)$.

Lời giải

Chọn A

Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, ta thấy chỉ có tọa độ điểm $M$ thỏa mãn.

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y – 1 = 0$. Trong các điểm cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$?

A. $M\left( {1;1;1} \right)$ B. $N\left( {0;1;0} \right)$ C. $P\left( {1;0;1} \right)$ D. $Q\left( {1;1;0} \right)$

Lời giải

Chọn C

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0;1;0} \right)$, bán kính $R = \sqrt 2 $.

Khoảng cách từ các điểm đã cho tới tâm mặt cầu:

$MI = \sqrt 2 = R$; $NI = 0 < R$, $PI = \sqrt 3 > R$, $QI = 1 < R$. Do đó điểm $P$ nằm ngoài mặt cầu.

Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$: ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 4z – 16 = 0$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $r$. Khi đó, giá trị của biểu thức $L = a + b + c + r$ bằng

A. $24$. B. $26$. C. $6$. D. $4$.

Lời giải:

Chọn C

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1; – 2;2} \right)$ và bán kính $r = \sqrt {1 + 4 + 4 + 16} = 5$.

Vậy $L = a + b + c + r = 6$.

Câu 10. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu có tâm $I\left( { – 1;1;0} \right){\rm{ }}?$

A. ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 2y = 0.$. B. ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 2y + 1 = 0.$.

C. $2{x^2} + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} – {z^2} + 2x – 1 – 2xy.$. D. ${\left( {x + y} \right)^2} = 2xy – {z^2} + 1 – 4x.$.

Lời giải:

Chọn B

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I\left( {1;\,0;\, – 2} \right)$, bán kính $r = 4$?

A. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 16$. B. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 16$.

C. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 4$. D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4$.

Lời giải

Chọn A

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {1;\,0;\, – 2} \right)$, bán kính $r = 4$ có dạng ${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 16$.

Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = 4$ có tâm $I$ và bán kính $R$ lần lượt là

A. $I\left( {2; – 1;0} \right),R = 4$. B. $I\left( {2; – 1;0} \right),R = 2$. C. $I\left( { – 2;1;0} \right),R = 2$. D. $I\left( { – 2;1;0} \right),R = 4$.

Lời giải

Chọn C

Câu 13. Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1; – 3;2} \right)$ và đi qua $A\left( {5; – 1;4} \right)$ có phương trình:

A. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = \sqrt {24} $. B. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \sqrt {24} $.

C. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 24$. D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 24$.

Lời giải

Chọn D

Tâm $I\left( {1; – 3;2} \right)$

Bán kính $R = IA = \sqrt {16 + 4 + 4} = \sqrt {24} $

Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right):$ ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 24$.

Câu 14. Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình mặt cầu?

A. ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y – 4z – 21 = 0$. B. $2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 4x + 4y – 8z – 11 = 0$.

C. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$. D. ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y – 4z + 11 = 0$.

Lời giải

Chọn D

Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu

$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} – d > 0$.

Biến đổi $2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 4x + 4y – 8z – 11 = 0$$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y – 4z – \frac{{11}}{2} = 0$.

Từ đó ta thấy phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y – 4z + 11 = 0$ không là phương trình mặt cầu vì ${a^2} + {b^2} + {c^2} – d = {1^2} + {1^2} + {\left( { – 2} \right)^2} – 11 < 0$.

Câu 15. Cho mặt cầu có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 6z + 9 = 0$. Mặt cầu có tâm $I$ và bán kính $R$ là:

A. $I\left( {1; – 2;3} \right)$ và $R = 5$. B. $I\left( {1; – 2;3} \right)$ và $R = \sqrt 5 $.

C. $I\left( { – 1;2; – 3} \right)$ và $R = 5$. D. $I\left( { – 1;2; – 3} \right)$ và $R = \sqrt 5 $.

Lời giải:

Chọn B

${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 6z + 9 = 0$$ \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 5$

Mặt cầu có tâm $I\left( {1; – 2;3} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 5 $.

Câu 16. Trong không gian $Oxyz$, tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x – 2y + 2z + m = 0$ là phương trình của một mặt cầu.

A. $m \le 6$. B. $m < 6$. C. $m > 6$. D. $m \ge 6$.

Lời giải:

Chọn B

Ta có ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x – 2y + 2z + m = 0$ là phương trình của một mặt cầu

$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} – d > 0 \Leftrightarrow {( – 2)^2} + {1^2} + {( – 1)^2} – m > 0 \Leftrightarrow m < 6$.

Câu 17. Mặt cầu tâm $I\left( { – 1;2;0} \right)$ đường kính bằng $10$ có phương trình là:

A. ${(x + 1)^2} + {(y – 2)^2} + {z^2} = 100$. B. ${(x – 1)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 25$.

C. ${(x + 1)^2} + {(y – 2)^2} + {z^2} = 25$. D. ${(x – 1)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 100$.

Lời giải

Chọn C

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu nào sau đây có tâm nằm trên mặt phẳng tọa độ $\left( {Oxy} \right)$?

A. $\left( {{S_1}} \right):{\rm{ }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y – 2 = 0$. B. $\left( {{S_2}} \right):{\rm{ }}{x^2} + {y^2} + {z^2} – 4y + 6z – 2 = 0$.

C. $\left( {{S_3}} \right):{\rm{ }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 6z – 2 = 0$. D. $\left( {{S_4}} \right):{\rm{ }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y + 6z – 2 = 0$.

Lời giải

Chọn A

Câu 19. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu có tâm $I\left( { – 1;1;0} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {0,1,0} \right)$

A. ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 2y = 0.$. B. ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 2y + 1 = 0.$.

C. $2{x^2} + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} – {z^2} + 2x – 1 – 2xy.$ D. ${\left( {x + y} \right)^2} = 2xy – {z^2} + 1 – 4x.$.

Lời giải:

Chọn B

Vì mặt cầu tâm $I$ đi qua điểm $A$ nên bán kính $R = IA = \sqrt 1 $.

Do đó mặt cầu cần tìm có pt: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 2y + 1 = 0.$

Câu 20. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;0; – 1} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {2;2; – 3} \right)$ là:

A. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 3$. B. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 3$.

C. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 9$. D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$.

Lời giải

Chọn D

Ta có:$R = IA = \sqrt {{{\left( {2 – 1} \right)}^2} + {{\left( {2 – 0} \right)}^2} + {{\left( { – 3 + 1} \right)}^2}} = 3$

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;0; – 1} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {2;2; – 3} \right)$ là:

${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$

Mức độ 2

Câu 1. Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 4z – m = 0$ có bán kính

$R = 5.$ Giá trị của tham số $m$ bằng

A. $ – 16.$ B. $16.$ C. $4.$ D. $ – 4.$

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( {1; – 2;2} \right)$.

Ta có $R = \sqrt {1 + 4 + 4 + m} = 5 \Leftrightarrow m = 16$.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} – \left( {2m – 2} \right)x + 3my + \left( {6m – 2} \right)z – 7 = 0$. Gọi $R$ là bán kính của $\left( S \right)$, giá trị nhỏ nhất của $R$ bằng:

A. 7 B. $\frac{{\sqrt {377} }}{7}$ C. $\sqrt {377} $ D. $\frac{{\sqrt {377} }}{4}$

Lời giải:

Chọn D

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {m – 1; – \frac{{3m}}{2};1 – 3m} \right)$.

Ta có $R = \sqrt {{{(m – 1)}^2} + {{\left( { – \frac{{3m}}{2}} \right)}^2} + {{(1 – 3m)}^2} + 7} = \sqrt {\frac{{49{m^2}}}{4} – 8m + 9} = \sqrt {{{\left( {\frac{7}{2}m – \frac{8}{7}} \right)}^2} + \frac{{377}}{{49}}} \ge \frac{{\sqrt {377} }}{7}$

Vậy ${R_{\min }} = \frac{{\sqrt {377} }}{7} \Leftrightarrow m = \frac{{16}}{{49}}$.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz,$ phươngtrình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; – 3;2)$ và qua điểm $A(5; – 1;4)$ là

A. ${(x – 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z – 2)^2} = \sqrt {24} .$ B. ${(x + 1)^2} + {(y – 3)^2} + {(z + 2)^2} = \sqrt {24} .$

C. ${(x + 1)^2} + {(y – 3)^2} + {(z + 2)^2} = 24.$ D. ${(x – 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z – 2)^2} = 24.$

Lời giải

Chọn D

Phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; – 3;2)$ bán kính $R = IA = \sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 6 $ là

${(x – 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z – 2)^2} = 24.$

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có đường kính $AB$ với $A\left( {2;1;1} \right)$, $B\left( {0;3; – 1} \right)$ có phương

trình là

A. ${x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 3$. B. ${(x – 1)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 3$,

C. ${(x – 1)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$. D. ${(x – 1)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 9$.

Lời Giải

Chọn B

Tọa độ trung điểm của $AB$ là $I\left( {1;2;0} \right)$

Ta có $R = IA = \sqrt {{1^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 $.

Mặt cầu $(S)$: $\left\{ \begin{array}{l}Ta\^a m I\left( {1;2;0} \right)\\R = \sqrt 3 \end{array} \right.{\rm{ }}$có phương trình:${(x – 1)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 3$ .

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và tiếp xúc với trục hoành có dạng

A. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 13$. B. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 5$.

C. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9$. D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25$.

Lời Giải

Chọn A

Ta có $d\left( {I,Ox} \right) = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} = R$

Mặt cầu $(S):$$\left\{ \begin{array}{l}Ta\^a m I\left( {1;2;3} \right)\\R = \sqrt {13} \end{array} \right.{\rm{ }}$có phương trình ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 13$.

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y – 2z – 8 = 0$. Phương trình mặt cầu tâm

$I\left( {1;2; – 1} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ là

A. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 3$. B. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 3$.

C. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$. D. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 9$.

Lời Giải

Chọn C

Ta có mặt cầu $(S)$ tâm $I\left( {1;2; – 1} \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên

$R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 – 4 + 2 – 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }} = 3$

Mặt cầu $(S):$$\left\{ \begin{array}{l}Ta\^a m I\left( {1;2; – 1} \right)\\R = 3\end{array} \right.{\rm{ }}$có PT: ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$.

Câu 7. Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và diện tích bằng $32\pi .$ Phương trình của $\left( S \right)$ là

A. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 16.$ B. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 16.$

C. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 8.$ D. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 8.$

Lời giải

Chọn C

Ta có: $S = 4\pi {R^2} \Leftrightarrow 4\pi {R^2} = 32\pi \Leftrightarrow R = \sqrt 8 $.

Khi đó

$ \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 8.$

Câu 8. Viết phương trình mặt cầu có tâm$I\left( {1;2;3} \right)$và đi qua giao điểm của đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 – t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ .

A. ${(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 27$ B. ${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 3)^2} = 27$

C. ${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 3)^2} = 3\sqrt 3 $ D. ${(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 3\sqrt 3 $

Lời giải

Chọn B

Mặt phẳng $Oxy$ có phương trình là : $z = 0$

Gọi $A = d \cap (Oxy) \Rightarrow A( – 2;5;0)$

Vì điểm$A$ thuộc mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là $R = IA = \sqrt {{{( – 3)}^2} + {3^2} + {{( – 3)}^2}} = 3\sqrt 3 $.

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và bán kính $R = 3\sqrt 3 $ là

${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 27$.

Câu 9. Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2y + z – {m^2} – 3m = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 9$. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$.

A. $3$. B. $1$. C. $2$. D. $4$.

Lời giải:

Chọn C

Mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 9$ có tâm và bán kính lần lượt là $I\left( {1; – 1;1} \right),{\rm{ }}R = 3$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ khi và chỉ khi $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R$

$ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.1 + 2.\left( { – 1} \right) + 1 – {m^2} – 3m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^1}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| { – {m^2} – 3m + 1} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} + 3m – 1 = 9}\\{{m^2} + 3m – 1 = – 9}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m = – 5}\end{array}} \right.$

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, xét mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x + 2y – 2az + 10a = 0$. Tập hợp các giá trị thực của $a$ để $\left( S \right)$ có chu vi đường tròn lớn bằng $8\pi $ là

A. $\left\{ {1;10} \right\}$. B. $\left\{ {2; – 10} \right\}$. C. $\left\{ { – 1;11} \right\}$. D. $\left\{ {1; – 11} \right\}$.

Lời giải

Chọn C

Đường tròn lớn có chu vi bằng $8\pi $ nên bán kính của $\left( S \right)$ là $\frac{{8\pi }}{{2\pi }} = 4$.

Từ phương trình của $\left( S \right)$ suy ra bán kính của $\left( S \right)$ là $\sqrt {2{}^2 + {1^2} + {a^2} – 10a} $.

Do đó: $\sqrt {2{}^2 + {1^2} + {a^2} – 10a} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = – 1\\a = 11\end{array} \right.$.

Câu 11. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính $AB$ với $A\left( {2;1;1} \right)$, $B\left( {0;3; – 1} \right)$ là:

A. ${x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 3$. B. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 3$.

C. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$. D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 9$.

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu $\left( S \right)$đường kính $AB$có tâm $I$là trung điểm đoạn $AB$$ \Rightarrow I(1;2;0)$

Bán kính $R = IA = \sqrt 3 $

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính $AB$ với $A\left( {2;1;1} \right)$, $B\left( {0;3; – 1} \right)$ là:

${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 3$

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I\left( {1;\,2;\, – 4} \right)$ và thể tích của khối cầu tương ứng bằng $36\pi $?

A. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 9$. B. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 9$.

C. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 3$. D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 9$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 36\pi \Leftrightarrow R = 3.$

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {1;\,2;\, – 4} \right)$ và bán kính $R = 3$ là: ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 9.$

Câu 13. Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2; – 4} \right)$ và diện tích bằng $36\pi $. Phương trình của $\left( S \right)$ là:

A. ${\left( {x – 1} \right)^2} + \left( {y – 2} \right){}^2 + {\left( {z + 4} \right)^2} = 9$. B. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 9$.

C. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 9$. D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 3$.

Lời giải

Chọn A

Diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2} = 36\pi \Rightarrow R = 3$

Phương trình của $\left( S \right)$ là: ${\left( {x – 1} \right)^2} + \left( {y – 2} \right){}^2 + {\left( {z + 4} \right)^2} = 9$

Câu 14. Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và thể tích bằng $\frac{{256\pi }}{3}$. Phương trình của $\left( S \right)$ là:

A. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 16$. B. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 16$.

C. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 8$. D. $\left( {x + 1} \right){}^2 + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 8$.

Lời giải

Chọn A

Thể tích khối cầu $V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{256\pi }}{3} \Rightarrow R = 4$

Phương trình của $\left( S \right)$ là: ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 16$.

Câu 15. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;1);B(2; – 1;0)$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O$ và bán kính $AB$ là:

A. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 9$. B. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 3$.

C. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 3$. D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 9$.

Lời giải

Chọn B

Bán kính $R = AB = \sqrt 3 $

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O$ và bán kính $AB$ là: ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 3$.

Câu 16. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và tiếp xúc với trục hoành là

A. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 13.$ B. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 5.$

C. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.$ D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25.$

Lời giải

Chọn A

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên trục hoành $ \Rightarrow H(1;0;0)$

Bán kính $R = IH = \sqrt {13} $

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và tiếp xúc với trục hoành là:

${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 13.$

Câu 17. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1; – 1;3} \right)$ và tiếp xúc với trục tung là

A. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 10.$ B. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 9.$

C. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 10.$ D. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.$

Lời giải

Chọn C

Gọi $H$là hình chiếu của $I$trên trục tung $ \Rightarrow H(0; – 1;0)$

Bán kính $R = IH = \sqrt {10} $

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1; – 1;3} \right)$ và tiếp xúc với trục tung là:

${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 10.$

Câu 18. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là

A. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.$ B. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 14.$

C. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 14.$ D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 1.$

Lời giải

Chọn D

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $\left( {Oyz} \right)$ $ \Rightarrow H(0;2;3)$

Bán kính $R = IH = 1$

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1; – 1;3} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là

${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 1.$

Câu 19. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua $A\left( {1;1;3} \right)$, có tâm $I \in {\rm{Oy}}$ và bán kính bằng $\sqrt {10} $ là:

A. ${x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = \sqrt {10} $. B. ${x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = \sqrt {10} $.

C. ${x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = 10$ D. ${x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 10$.

Lời giải

Chọn C

Gọi $I(0;y;0) \in Oy$

Bán kính $R = IA = \sqrt {1 + {{\left( {y – 1} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {{{\left( {y – 1} \right)}^2} + 10} = \sqrt {10} $

$ \Leftrightarrow {\left( {y – 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = 1 \Rightarrow I(0;1;0)$

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$là: ${x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = 10$

Câu 20. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I(1;1;2)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + z – 7 = 0$

A. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 36$. B. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 6$.

C. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = \sqrt 6 $ D. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 6$.

Lời giải

Chọn B

Bán kính $R = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 – 2 + 2 – 7} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + 1} }} = \sqrt 6 $

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 6$.

Mức độ 3

Câu 1. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm $A\left( {1;\,1;0} \right),B\left( {3;1;2} \right),C\left( { – 1;1;2} \right),D\left( {1; – 1;2} \right)$viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

A. $(S):{(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 2)^2} = 4$. B. $(S):{(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4$ .

C. $(S):{(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 2)^2} = 2$. D. $(S):{(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4$.

Lời giải:

Chọn A

Phương trình mặt cầu có dạng:

$\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$ ${\rm{(}}{{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2} – d > 0)$.

Do $A$, $B$, $C$ và $D$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ nên:

$\left\{ \begin{array}{l}A \in (S)\\B \in (S)\\C \in (S)\\D \in (S)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 2b + d = – 2\\6{\rm{a}} + 2b + 4c + d = – 14\\ – 2{\rm{a}} + 2b + 4c + d = – 6\\2{\rm{a}} – 2b + 4c + d = – 6\end{array} \right. \Leftrightarrow a = – 1,\,b = – 1;\,c = – 2;d = 2$

Vậy $(S):{(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 2)^2} = 4.$

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { – 1\,;\,2\,;\,3} \right)$ và $B\left( {2\,;\,0\,;\, – 2} \right)$. Phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục $Ox$ và đi qua hai điểm $A$ và $B$ có phương trình là

A. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 13$. B. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 13$.

C. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \sqrt {13} $. D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \sqrt {13} $.

Lời Giải

Chọn A

Gọi $I\left( {x\,;\,0\,;\,0} \right) \in Ox$.

Ta có $A{I^2} = B{I^2}$$ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + 4 + 9 = {\left( {x – 2} \right)^2} + 4$$ \Leftrightarrow x = – 1$.Suy ra $I\left( { – 1\,;\,0\,;\,0} \right)$.

Bán kính mặt cầu $r = IA = \sqrt {13} $.

Phương trình mặt cầu: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 13$.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là điểm $I\left( {1\,;\, – 1\,;\,2} \right)$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right):2x – 2y + z + 3 = 0$ theo một đường tròn có bán kính bằng $4$ có phương trình là

A. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 5$. B. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25$.

C. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 25$. D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 5$.

Lời giải

Chọn C

Khoảng cách từ $I$ đến $\left( P \right)$: $d = d\left( {I,\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 – 2\left( { – 1} \right) + 2 + 3} \right|}}{3} = 3$.

Bán kính mặt cầu $R = \sqrt {{r^2} + {d^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^3}} = 5$.

Phương trình mặt cầu: ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 25$.

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x – 2}}{3} = \frac{y}{6} = \frac{{z – 1}}{2}$ và điểm $I\left( {1; – 2;5} \right)$. Lập phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I$ và cắt đường thẳng $d$ tại hai điểm $A$, $B$sao cho tam giác $IAB$ vuông tại $I$.

A.$\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x – 5} \right)^2} = 40$. B. $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x – 5} \right)^2} = 49$

C. $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x – 5} \right)^2} = 69$. D. $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x – 5} \right)^2} = 64$.

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {2;0;1} \right)$ và có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {3;6;2} \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên đường thẳng $d$ ta có $IH = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$ , với $\overrightarrow {IM} = \left( {1;2; – 4} \right)$, $\overrightarrow u = \left( {3;6;2} \right)$; $IH = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {20} $.

Theo đề bài ta có tam giác $IAB$ vuông cân tại $I$ nên $IA = IH\sqrt 2 = \sqrt {40} $.

Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x – 5} \right)^2} = 40$.

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $H\left( {1;\,2;\, – 2} \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $H$ và cắt các trục $Ox$,

$Oy$, $Oz$ tại $A$, $B$, $C$ sao cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Viết phương trình mặt cầu tâm $O$

và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

A. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 81$ B. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$ C. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 9$ D. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 25$

Lời giải

Chọn C

Ta có $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ $ \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)$.

Thật vậy :

$\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OA\\OC \bot OB\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot AB$ (1)

Mà $CH \bot AB$ (vì $H$ là trực tâm tam giác $ABC$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AB \bot \left( {OHC} \right)$ $ \Rightarrow AB \bot OH$ (*)

Tương tự $BC \bot \left( {OAH} \right)$ $ \Rightarrow BC \bot OH$. (**)

Từ (*) và (**) suy ra $OH \bot \left( {ABC} \right)$.

Khi đó mặt cầu tâm $O$ tiếp xúc mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có bán kính $R = OH = 3$.

Vậy mặt cầu tâm $O$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9$.

Câu 6. Cho điểm $I\left( {1;0;3} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}$. Phương trình mặt cầu (S) tâm I

và cắt $d$ tại hai điểm A, B sao cho $\Delta IAB$ đều là:

A. $(S):{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{20}}{{27}}$ B. $(S):{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{{80}}{{27}}$

C. $(S):{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{40}}{{27}}$ D. $(S):{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{80}}{{27}}$

Lời giải:

Chọn D

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {2;1;2} \right)$ và $P\left( {1; – 1;1} \right) \in d$.

Ta có: $\overrightarrow {IP} = \left( {0; – 1; – 2} \right)$$ \Rightarrow \left[ {\vec u,\overrightarrow {IP} } \right] = \left( {0; – 4; – 2} \right)$. Suy ra: ${\rm{d}}\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {IP} } \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {20} }}{3}$.

Gọi R là bán kính của (S).

Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có : $IH = d\left( {I,\,AB} \right) = \frac{{\sqrt {20} }}{3}$.

Xét tam giác IAB, có $IH = R.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow R = \frac{{2IH}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt {15} }}{9}$.

Vậy (S) : ${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{80}}{{27}}$.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ ${\rm{Ox}}yz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 1}}$ và mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I$ có phương trình $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 18$. Đường thẳng $d$ cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm $A,B$. Tính diện tích tam giác $IAB$.

A. $\frac{{8\sqrt {11} }}{3}$. B. $\frac{{16\sqrt {11} }}{3}$. C. $\frac{{\sqrt {11} }}{6}$. D. $\frac{{8\sqrt {11} }}{9}$.

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $C\left( {1;0; – 3} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( { – 1;2; – 1} \right)$

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2; – 1} \right)$, bán kính $R = 3\sqrt 2 $

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $d$.

Khi đó: $IH = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IC} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$, với $\overrightarrow {IC} = \left( {0; – 2; – 2} \right)$.

Vậy $IH = \frac{{\sqrt {{6^2} + {2^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \frac{{\sqrt {66} }}{3}$. Suy ra $HB = \sqrt {18 – \frac{{22}}{3}} = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}$

Vậy: ${S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt {66} }}{3} \cdot \frac{{8\sqrt 6 }}{3} = \frac{{8\sqrt {11} }}{3}.$

Câu 8. Cho $I\left( {1; – 2;3} \right)$. Viết phương trình mặt cầu tâm $I$ cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho $AB = 2\sqrt 3 $.

A. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 16$. B. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 20$.

C. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25$. D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 9$.

Lời giải:

Chọn C

Gọi M là hình chiếu vuông góc của $I\left( {1; – 2;3} \right)$ trên trục $Ox$

$ \Rightarrow $ $M\left( {1;0;0} \right)$ và $M$ là trung điểm của $AB$.

Ta có: $IM = \sqrt {{{\left( {1 – 1} \right)}^2} + {{\left( {0 + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 – 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} ,\,\,AM = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 3 $ .

$\Delta IMA$ vuông tại $M \Rightarrow IA = \sqrt {I{M^2} + A{M^2}} = \sqrt {13 + 3} = 4 \Rightarrow R = 4$ .

Phương trình mặt cầu cần tìm là: ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 16$.

Câu 9. Cho mặt phẳng $(P):2x – y – 2z – 2 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = – t\\y = 2t – 1\\z = t + 2\end{array} \right.$.

Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ thuộc $d$, $I$ có hoành độ dương, biết $I$ cách $\left( P \right)$ một khoảng bằng 2 và $\left( S \right)$ cắt $\left( P \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng $3$.

A. $\left( S \right):{\rm{ }}{\left( {x – \frac{{11}}{6}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{6}} \right)^2} = 13$. B. $\left( S \right):{\rm{ }}{\left( {x + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {z – \frac{{13}}{6}} \right)^2} = 13$.

C. $\left( S \right):{\rm{ }}{\left( {x – \frac{{11}}{6}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{6}} \right)^2} = 13$. D. $\left( S \right):{\rm{ }}{\left( {x – \frac{{11}}{6}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {z – \frac{1}{6}} \right)^2} = 13$.

Lời giải:

Chọn D

Gọi $I\left( { – t;2t – 1;t + 2} \right) \in d:$ là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).

Theo giả thiết : $R = \sqrt {{{\left[ {d\left( {I;\left( P \right)} \right)} \right]}^2} + {r^2}} = \sqrt {4 + 9} = \sqrt {13} $.

Mặt khác: $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 2t – 2t + 1 – 2t – 4 – 2} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 2 \Leftrightarrow \left| {6t + 5} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{6}\\t = – \frac{{11}}{6}\end{array} \right.$

Với $t = \frac{1}{6}$ ta có $I\left( { – \frac{1}{6}; – \frac{2}{3};\frac{{13}}{6}} \right)$ (loại).

Với $t = – \frac{{11}}{6}$ ta có $I\left( {\frac{{11}}{6}; – \frac{2}{3};\frac{1}{6}} \right)$ (thỏa mãn).

Vậy $\left( S \right):{\rm{ }}{\left( {x – \frac{{11}}{6}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {z – \frac{1}{6}} \right)^2} = 13$.

Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { – 1;2;3} \right)$ cắt mặt phẳng $\left( \beta \right):2x – y + 2z – 8 = 0$ theo một hình tròn giao tuyến có chu vi bằng bằng $8\pi $ có diện tích bằng

A. $80\pi $. B. $50\pi $. C. $100\pi $. D. $25\pi $.

Lời giải

Chọn A

Đường tròn giao tuyến có chu vi bằng $8\pi $ nên bán kính của nó là $r = 4$.

Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyến là $d = d\left( {I,\left( \beta \right)} \right) = \frac{{\left| { – 2 – 2 + 6 – 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^1} + {2^2}} }} = 2$.

Theo công thức ${R^2} = {r^2} + {d^2} = 20$.

Diện tích của mặt cầu $\left( S \right)$ là $S = 4\pi {R^2} = 80\pi $.

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ biết $\left( S \right)$ có bán kính $R = 3$ và tiếp xúc với mặt phẳng $Oxy$ tại điểm $M\left( {1;2;0} \right)$.

A. ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x – 2y – 6z + 5 = 0$ B. ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y + 6z + 5 = 0$

C. ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x – 2y – 6z + 11 = 0$ D. ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y + 6z + 11 = 0$

Lời giải

Chọn A

Giả sử mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$,

Do mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng $Oxy$ tại điểm $M\left( {1;2;0} \right)$ nên $M$ là hình chiếu của$I\left( {a;b;c} \right)$ lên mp $Oxy$ suy ra $I\left( {2;1;c} \right)$

Ta có mp $Oxy$ có phương trình là $z = 0$

Ta có $d(I,({\rm{Ox}}y)) = \frac{{\left| c \right|}}{1} \Leftrightarrow c = \pm 3$ .

Với $c = 3$

Mặt cầu $I\left( {2;1;3} \right)$, bán kính $R = 3$ có ph­ương trình là:

${(x – 2)^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 3)^2} = 9 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x – 2y – 6z + 5 = 0$.

Với $c = – 3$

Mặt cầu $I\left( {2;1; – 3} \right)$, bán kính $R = 3$ có ph­ương trình là:

${(x – 2)^2} + {(y – 1)^2} + {(z + 3)^2} = 9 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x – 2y + 6z + 5 = 0$.

Câu 12. Phương trình mặt cầu $(S)$ đi qua $A(1;2; – 4),{\rm{ }}B(1; – 3;1),{\rm{ }}C(2;2;3)$ và tâm $I \in (Oxy)$ là.

A. ${(x + 2)^2} + {(y – 1)^2} + {z^2} = 26.$ B. ${(x + 2)^2} + {(y – 1)^2} + {z^2} = 9.$

C. ${(x – 2)^2} + {(y – 1)^2} + {z^2} = 26.$ D. ${(x – 2)^2} + {(y – 1)^2} + {z^2} = 9.$

Lời giải

Chọn A

Vì $I \in (Oxy)$ nên gọi $I(x;y;0)$. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{(x – 1)}^2} + {{(y – 2)}^2} + {4^2}} = \sqrt {{{(x – 1)}^2} + {{(y + 3)}^2} + {1^2}} \\\sqrt {{{(x – 1)}^2} + {{(y – 2)}^2} + {4^2}} = \sqrt {{{(x – 2)}^2} + {{(y – 2)}^2} + {3^2}} \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10y = 10\\2x = – 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 2\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow I( – 2;1;0) \Rightarrow R = IA = \sqrt {26} $.

$ \Rightarrow {(x + 2)^2} + {(y – 1)^2} + {z^2} = 26$.

Câu 13. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M(2;1;1)

A. $\left[ \begin{array}{l}{(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 1)^2} = 1\\{(x + 3)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 3)^2} = 9\end{array} \right.$. B. $\left[ \begin{array}{l}{(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 1)^2} = 1\\{(x – 3)^2} + {(y – 3)^2} + {(z – 3)^2} = 9\end{array} \right.$.

C. $\left[ \begin{array}{l}{(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 1)^2} = 3\\{(x + 3)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 3)^2} = 1\end{array} \right.$. D. $\left[ \begin{array}{l}{(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 1)^2} = 3\\{(x – 3)^2} + {(y – 3)^2} + {(z – 3)^2} = 1\end{array} \right.$.

Lời giải

Chọn B

Gỉa sử $I\left( {a;\,b\,;\,c} \right)$ là tâm mặt cầu $(S)$tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm $M(2;1;1).$

Vì mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm $M(2;1;1)$ có các thành phần tọa độ đều dương nên $a = b = c = r$.

Phương trình mặt cầu $(S)$ là ${(x – a)^2} + {(y – a)^2} + {(z – a)^2} = {a^2}$

Vì mặt cầu $(S)$ đi qua điểm M(2;1;1) nên

${(2 – a)^2} + {(1 – a)^2} + {(1 – a)^2} = {a^2} \Leftrightarrow 2{a^2} – 8a + 6 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 \Rightarrow (S):{(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 1)^2} = 1\\a = 3 \Rightarrow (S):{(x – 3)^2} + {(y – 3)^2} + {(z – 3)^2} = 9\end{array} \right.$

Câu 14. Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I(1;2;0).$ Một mặt phẳng $(P)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn $\left( C \right)$ Biết diện tích lớn nhất của $\left( C \right)$ bằng $3\pi .$ Phương trình của $\left( S \right)$ là

A. ${x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 3.$ B. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 3.$

C. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9.$ D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 9.$

Lời giải

Chọn B

Nhận xét : Mặt phẳng $(P)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn $\left( C \right)$ và diện tích của $\left( C \right)$ lớn nhất khi $(P)$ qua tâm $I$ của $(S).$

Ta có: $S = \pi {R^2} = 3\pi \Leftrightarrow R = \sqrt 3 $.

Khi đó

$ \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 3.$

Câu 15. Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {1;2;4} \right)$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( {{S_1}} \right):{(x + 1)^2} + {y^2} + {(z – 2)^2} = 27$ có phương trình:

A. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 3.$ B. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = \sqrt 3 .$

C. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 3.$ D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = \sqrt 3 .$

Lời giải

Chọn C

Ta có $\left( {{S_1}} \right):{(x + 1)^2} + {y^2} + {(z – 2)^2} = 27$ có tâm ${I_1}( – 1;0;2)$và bán kính ${R_1} = 3\sqrt 3 $.

Do $I{I_1} = 2\sqrt 3 < 3\sqrt 3 = {R_1}$ vậy điểm $I\left( {1;2;4} \right)$ nằm trong mặt cầu $\left( {{S_1}} \right).$

$\left( S \right)$ và $\left( {{S_1}} \right)$ tiếp xúc $ \Leftrightarrow \left| {R – {R_1}} \right| = I{I_1} \Leftrightarrow \left| {R – 3\sqrt 3 } \right| = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}R = 5\sqrt 3 \\R = \sqrt 3 \end{array} \right.$

Bán kính mặt cầu là : $R = \sqrt 3 $.

Phương trình mặt cầu là: ${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 4)^2} = 3$.

Câu 16. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {2;0;0} \right)$, $B\left( {0; – 3;0} \right)$ và $C\left( {0;0;6} \right)$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $OABC$ là:

A. $\frac{7}{2}$. B. $\sqrt {11} $. C. $11$. D. $\frac{7}{3}$.

Lời giải

Chọn A

Phương trình mặt cầu có dạng: $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$.

Do $A$, $B$, $C$ và $O$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ nên: $\left\{ \begin{array}{l}4 – 4a + d = 0\\9 + 6b + d = 0\\36 – 12c + d = 0\\d = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow a = 1$, $b = – \frac{3}{2}$, $c = 3\,$, $d = 0$.

Do đó, mặt cầu có bán kính bằng: $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d} = \frac{7}{2}$.

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {2\,;\,0\,;\,1} \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 2}}{1}$ là

A. ${\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 9$. B. ${\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 4$.

C. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 24$. D. ${\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 2$.

Lời giải

Chọn D

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là: $\vec u = \left( {1\,;\,2\,;\,1} \right)$.

Gọi $H\left( {1 + t\,;\,2t\,;\,2 + t} \right) \in d$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $d$.

Suy ra : $\overrightarrow {IH} = \left( {t – 1\,;\,2t\,;\,t + 1} \right)$.

Ta có : $\overrightarrow {IH} \bot \vec u \Leftrightarrow \overrightarrow {IH} .\,\vec u = 0 \Leftrightarrow t – 1 + 4t + t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow $$\overrightarrow {IH} = \left( { – 1\,;\,0\,;\,1} \right)$.

Suy ra : $IH = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2 $.

Mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$ nên có bán kính $R = IH = \sqrt 2 $.

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 2$.

Câu 18. Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0; – 2;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y – 2z + 3 = 0$. Biết mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là $2\pi $. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là

A. $\left( S \right):{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 3$. B. $\left( S \right):{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 1$.

C. $\left( S \right):{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 3$. D. $\left( S \right):{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 2$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $h = d(I,(P)) = 1$

Gọi $\left( C \right)$ là đường tròn giao tuyến có bán kính $r$.

Vì $S = {r^2}.\pi = 2\pi \Leftrightarrow r = \sqrt 2 $.

Mà ${R^2} = {r^2} + {h^2} = 3 \Rightarrow R = \sqrt 3 $.

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I\left( {0; – 2;1} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 3 $.

$\left( S \right):{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 3$.

Câu 19. Trong không gian $Oxyz$, gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu có tâm $I$ thuộc đường thẳng $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 1}}{4}$ và đi qua điểm $M\left( {0;3;9} \right)$. Biết điểm $I$ có hoành độ là số nguyên và cách đều hai mặt phẳng $x – 2y + 2z + 2 = 0$, $3x – 2 = 0$. Phương trình của $\left( S \right)$ là:

A. ${\left( {x – 6} \right)^2} + {\left( {y – 9} \right)^2} + {\left( {z – 13} \right)^2} = \sqrt {88} $. B. ${\left( {x – 4} \right)^2} + {\left( {y – 6} \right)^2} + {\left( {z – 9} \right)^2} = 5$.

C. ${\left( {x – 6} \right)^2} + {\left( {y – 9} \right)^2} + {\left( {z – 13} \right)^2} = 88$. D. ${x^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 73$.

Lời giải

Chọn C

Vì tâm $I$ thuộc đường thẳng $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z – 1}}{4}$ nên $I = \left( {2t;3t;1 + 4t} \right)$.

Do $I$ cách đều hai mặt phẳng nên ta có

$\frac{{\left| {\left( {2t} \right) – 2\left( {3t} \right) + 2\left( {1 + 4t} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {3\left( {2t} \right) – 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2}} }}$

$ \Leftrightarrow \left| {2t + 2} \right| = \left| {3t – 1} \right|$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3 \Rightarrow I\left( {6;9;13} \right)\\t = – \frac{1}{5} \Rightarrow I\left( { – \frac{2}{5}; – \frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)\end{array} \right.$.

Vì điểm $I$ có hoành độ là số nguyên, do đó $I\left( {6;9;13} \right)$

$ \Rightarrow IM = \sqrt {{{\left( { – 6} \right)}^2} + {{\left( {3 – 9} \right)}^2} + {{\left( {9 – 13} \right)}^2}} = \sqrt {88} $.

Vậy, phương trình mặt cầu cần lập là: ${\left( {x – 6} \right)^2} + {\left( {y – 9} \right)^2} + {\left( {z – 13} \right)^2} = 88$.

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ thuộc đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{2}$. Biết rằng mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính bằng $2\sqrt 2 $ và cắt mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ theo một đường tròn có bán kính bằng $2$. Tìm tọa độ của điểm $I.$

A. $I\left( {1; – 2;2} \right),{\rm{ }}I\left( { – 1;2; – 2} \right)$. B. $I\left( {1; – 2;2} \right),{\rm{ }}I\left( {5;2;10} \right)$.

C. $I\left( {1; – 2;2} \right),{\rm{ }}I\left( {0; – 3;0} \right)$. D. $I\left( {5;2;10} \right),{\rm{ }}I\left( {0; – 3;0} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Mặt phẳng $\left( {Oxz} \right):y = 0$. $I \in \Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{2} \Rightarrow I\left( {t; – 3 + t;2t} \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$. $R,{\rm{ }}r$ lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn giao tuyến. Theo bài ta có $IH = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = \sqrt {{R^2} – {r^2}} = \sqrt {8 – 4} = 2$.

$ \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 3 + t} \right|}}{1} = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = 5}\end{array}} \right.$.

Với $t = 1 \Rightarrow I\left( {1; – 2;2} \right)$, với $t = 5 \Rightarrow I\left( {5;2;10} \right)$.

Câu 21. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x – 2}}{3} = \frac{y}{6} = \frac{{z – 1}}{2}$ và điểm $I\left( {1; – 2;5} \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I$ và cắt đường thẳng $d$ tại hai điểm $A$, $B$ sao cho tam giác $IAB$ vuông tại $I$ có phương trình là:

A. $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x – 5} \right)^2} = 40$. B. $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x – 5} \right)^2} = 49$.

C. $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x – 5} \right)^2} = 69$. D. $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x – 5} \right)^2} = 64$.

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {2;0;1} \right)$ và có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {3;6;2} \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên đường thẳng $d$ ta có $IH = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$ , với $\overrightarrow {IM} = \left( {1;2; – 4} \right)$, $\overrightarrow u = \left( {3;6;2} \right)$

$IH = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {20} $.

Theo đề bài ta có tam giác $IAB$ vuông cân tại $I$ nên$IA = IH\sqrt 2 = \sqrt {40} $.

Vậy phương trình mặt là $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x – 5} \right)^2} = 40$.

Câu 22. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\left( d \right):\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + y – 2z + 2 = 0$. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng $\left( d \right)$, có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với $\left( P \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1; – 1;1} \right)$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là

A. $\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = 1$. B. $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 1$.

C. $\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 1$. D. $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = 1$.

Lời giải

Chọn B

Gọi $I,{\rm{ }}R$ lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu$\left( S \right)$. Ta có: $I \in \left( d \right)$.

$ \Rightarrow I\left( {1 + 3t; – 1 + t;t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \left( {3t;t;t – 1} \right)$. $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ và đi qua $A$ nên ta có:

$R = AI = {d_{\left( {I,\left( P \right)} \right)}} = \frac{{\left| {5t + 3} \right|}}{3} \Rightarrow 37{t^2} – 24t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{{24}}{{37}}\end{array} \right.$.

Do mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính nhỏ nhất nên ta chọn $t = 0$, suy ra $I\left( {1; – 1;0} \right),R = 1$.

Vậy $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 1$.

Câu 23. Cho điểm $I\left( {1;7;5} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 6}}{{ – 1}} = \frac{z}{3}$. Phương trình mặt cầu có tâm $I$ và cắt đường thẳng $d$ tại hai điểm $A$, $B$ sao cho diện tích tam giác $IAB$ bằng $2\sqrt {6015} $ là

A. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 7} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 2018.$ B. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 7} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 2019.$

C. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 7} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 2016.$ D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 7} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 2017.$

Lời giải

Chọn D

Gọi $H$ là hình chiếu của $I\left( {1;7;5} \right)$ trên d$ \Rightarrow H\left( {3;5;3} \right)$$ \Rightarrow IH = d\left( {I;\,d} \right) = 2\sqrt 3 $

${S_{\Delta AIB}} = \frac{{IH.AB}}{2} \Rightarrow AB = \frac{{2{S_{\Delta AIB}}}}{{IH}} = \sqrt {8020} $$ \Rightarrow {R^2} = I{H^2} + {\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2} = 2017$

Vậy phương trình mặt cầu là: ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 7} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 2017.$

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{3}$ và ${d_2}:\frac{{x – 2}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 9}}{3}$. Mặt cầu có một đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của ${d_1}$ và ${d_2}$ có phương trình là:

A. ${\left( {x – \frac{{16}}{3}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {z – 14} \right)^2} = 3$. B. ${\left( {x – \frac{8}{3}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {z – 7} \right)^2} = 12$.

C. ${\left( {x – \frac{8}{3}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {z – 7} \right)^2} = 3$. D. ${\left( {x – \frac{{16}}{3}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {z – 14} \right)^2} = 12$.

Lời giải

Chọn C

Vectơ chỉ phương của ${d_1}$ và ${d_2}$ lần lượt là ${\vec u_1} = \left( {2;1;3} \right)$, ${\vec u_2} = \left( {1;2;3} \right)$.

Gọi $AB$ là đoạn vuông góc chung của ${d_1}$ và ${d_2}$ với $A \in {d_1}$, $B \in {d_2}$.

Suy ra: $A\left( { – 1 + 2a; – 1 + a; – 1 + 3a} \right)$; $B\left( {2 + b;2b;9 + 3b} \right)$.

Khi đó: $\overrightarrow {AB} = \left( { – 2a + b + 3; – a + 2b + 1; – 3a + 3b + 10} \right)$.

Vì $AB$ là đoạn vuông góc chung của ${d_1}$ và ${d_2}$ nên:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \bot {{\vec u}_1}\\\overrightarrow {AB} \bot {{\vec u}_2}\end{array} \right. \Rightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}14a – 13b = 37\\13a – 14b = 35\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{3}\\b = – \frac{1}{3}\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {\frac{{11}}{3};\frac{4}{3};6} \right)\\B\left( {\frac{5}{3}; – \frac{2}{3};8} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB = 2\sqrt 3 $.

Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính là $AB$. Suy ra $I\left( {\frac{8}{3};\frac{1}{3};7} \right)$ và $R = \frac{1}{2}AB = \sqrt 3 $.

Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x – \frac{8}{3}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {z – 7} \right)^2} = 3$.

Câu 25. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $H\left( {1;\,2;\, – 2} \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $H$ và cắt các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ tại $A$, $B$, $C$ sao cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Viết phương trình mặt cầu tâm $O$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

A. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 81$. B. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$.

C. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 9$. D. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 25$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ $ \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)$.

Thật vậy : $\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OA\\OC \bot OB\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot AB$ (1)

Mà $CH \bot AB$ (vì $H$ là trực tâm tam giác $ABC$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AB \bot \left( {OHC} \right)$ $ \Rightarrow AB \bot OH$ (*)

Tương tự $BC \bot \left( {OAH} \right)$ $ \Rightarrow BC \bot OH$. (**)

Từ (*) và (**) suy ra $OH \bot \left( {ABC} \right)$.

Khi đó mặt cầu tâm $O$ tiếp xúc mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có bán kính $R = OH = 3$.

Vậy mặt cầu tâm $O$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9$.

Mức độ 4

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A\left( {0; – 1;2} \right)$, $B\left( {2; – 3;0} \right)$, $C\left( { – 2;1;1} \right)$, $D\left( {0; – 1;3} \right)$.

Gọi $\left( L \right)$ là tập hợp tất cả các điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = 1$. Biết

rằng $\left( L \right)$ là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính $r$ bằng bao nhiêu?

A. $r = \frac{{\sqrt {11} }}{2}$. B. $r = \frac{{\sqrt 7 }}{2}$. C. $r = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. D. $r = \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

Lời giải

Chọn A

Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$ là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có

$\overrightarrow {AM} = \left( {x;y + 1;z – 2} \right)$, $\overrightarrow {BM} = \left( {x – 2;y + 3;z} \right)$, $\overrightarrow {CM} = \left( {x + 2;y – 1;z – 1} \right)$, $\overrightarrow {DM} = \left( {x;y + 1;z – 3} \right)$.

Từ giả thiết: $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 1\\\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = 1\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x – 2} \right) + \left( {y + 1} \right)\left( {y + 3} \right) + z\left( {z – 2} \right) = 1\\x\left( {x + 2} \right) + \left( {y + 1} \right)\left( {y – 1} \right) + \left( {z – 1} \right)\left( {z – 3} \right) = 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 2z + 2 = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4z + 1 = 0\end{array} \right.$

Suy ra quỹ tích điểm $M$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm ${I_1}\left( {1; – 2;1} \right)$, ${R_1} = 2$ và mặt cầu tâm ${I_2}\left( { – 1;0;2} \right)$, ${R_2} = 2$.

Ta có: ${I_1}{I_2} = \sqrt 5 $.

Dễ thấy: $r = \sqrt {R_1^2 – {{\left( {\frac{{{I_1}{I_2}}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {4 – \frac{5}{4}} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}$.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):\,\,{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 9$ và tam giác $ABC$ với $A(5;0;0),\,\,B(0;3;0),\,\,C(4;5;0)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc cầu $(S)$ sao cho khối tứ diên $MABC$ có thể tích lớn nhất.

A. $M\left( {0;0;3} \right)$. B. $M\left( {0;0;3} \right)$. C. $M\left( {2;3;8} \right)$. D. $M\left( {0;0; – 3} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Kẻ $MJ \bot \left( {ABC} \right)$, với $J \in \left( {ABC} \right)$. Khi đó ${V_{M.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.MJ$.

Để ${V_{M.ABC}}$ lớn nhất $ \Leftrightarrow MJ$ lớn nhất $ \Leftrightarrow MJ$đi qua tâm $I$ của mặt cầu $(S)$

$ \Rightarrow M = IJ \cap \left( S \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$: $z = 0$

Đường thẳng $JI:$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 3}\\{z = 5 + t}\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow M\left( {2;3;5 + t} \right)$

Vì $M \in \left( S \right) \Rightarrow $ ${\left( {2 – 2} \right)^2} + {\left( {3 – 3} \right)^2} + {\left( {5 + t – 5} \right)^2} = 9$$ \Leftrightarrow t = \pm 3$ ta được ${M_1}\left( {2;3;2} \right),{M_2}\left( {2;3;8} \right)$.

Do $MJ = d\left( {{M_2},\left( {ABC} \right)} \right) > d\left( {{M_1},\left( {ABC} \right)} \right)$ $ \Rightarrow {M_2}\left( {2;3;8} \right)$ là điểm cần tìm. Chọn đáp án C.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt cầu $\left( {{S_1}} \right):\,{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 25$,
$\left( {{S_2}} \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y + 4z – 4 = 0$. Biết các tiếp tuyến chung của hai mặt cầu đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu đi qua điểm cố định $M\left( {a;b;c} \right)$. Tính ${a^2} + bc$ bằng
A. $ – 44$. B. $44$. C. $54$. D. $ – 54$.

Lời giải

Chọn A

Mặt cầu $\left( {{S_1}} \right)$ có tâm $I\left( {0; – 2;2} \right)$, bán kính ${R_1} = 5$.
$\left( {{S_2}} \right)$có tâm $J\left( {0;1; – 2} \right),$ bán kính ${R_2} = 3$.

Do $\left| {{R_2} – {R_1}} \right| = 2 < IJ = 5 < {R_2} + {R_1} = 8$ nên 2 mặt cầu cắt nhau.

Khi đó các tiếp tuyến chung của hai mặt cầu nằm trên hình nón có đỉnh $M$trục $IJ$.

Theo định lý Ta-let ta có $\frac{{MJ}}{{MI}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{3}{5} \Rightarrow 5\overrightarrow {MJ} = 3\overrightarrow {MI} $

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {5\overrightarrow {OJ} – 3\overrightarrow {OI} } \right) \Leftrightarrow M\left( {0;\frac{{11}}{2}; – 8} \right)$.

Vậy ${a^2} + bc = – 44$.

Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25$

và hình nón $\left( H \right)$ có đỉnh $A\left( {3;2; – 2} \right)$ và nhận $AI$ làm trục đối xứng với $I$ là tâm mặt cầu. Một

đường sinh của hình nón $\left( H \right)$ cắt mặt cầu tại $M,{\rm{ }}N$ sao cho $AM = 3AN$. Viết phương trình

mặt cầu đồng tâm với mặt cầu $\left( S \right)$ và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón $\left( H \right)$.

A. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{71}}{3}$. B. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{70}}{3}$.

C. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{74}}{3}$. D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{76}}{3}$.

Lời giải

Chọn A

Gọi hình chiếu vuông góc của $I$ trên $MN$ là $K$.

Dễ thấy $AN = NK = \frac{1}{3}AM$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và bán kính $R = 5$

Có $AM.AN = A{I^2} – {R^2} = 4 \Rightarrow A{N^2} = \frac{4}{3} \Rightarrow KN = AN = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow IK = \sqrt {I{N^2} – K{N^2}} = \frac{{\sqrt {213} }}{3}$.

Nhận thấy mặt cầu đồng tâm với mặt cầu $\left( S \right)$ và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón $\left( H \right)$ chính là mặt cầu tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ có bán kính $IK = \frac{{\sqrt {213} }}{3}$.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \frac{{71}}{3}$.

Câu 5. Cho mặt phẳng $\left( P \right):2{\rm{x}} + 2y – 2{\rm{z}} + 15 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y – 2{\rm{z}} – 1 = 0.$ Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ đến một điểm thuộc mặt cầu$\left( S \right)$ là

A. $\frac{{3\sqrt 3 }}{2}$. B. $\sqrt 3 $. C. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$. D. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Lời giải

Chọn A

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0;1;1} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 3 .$

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $\left( P \right)$ và $A$ là giao điểm của $IH$ với $\left( S \right).$

Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ đến một điểm thuộc mặtcầu $\left( S \right)$ là đoạn $AH,AH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) – R = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$.

Câu 7. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 27$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A\left( {0;\,0;\, – 4} \right)$, $B\left( {2;\,0;\,0} \right)$ và cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ sao cho khối nón đỉnh là tâm của $\left( S \right)$ và đáy là là đường tròn $\left( C \right)$ có thể tích lớn nhất. Biết rằng $\left( \alpha \right):ax + by – z + c = 0$, khi đó $a – b + c$ bằng

A. $ – 4$. B. $8$. C. $0$. D. $2$.

Lời giải

Chọn A

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1; – 2;3} \right)$ và bán kính $R = 3\sqrt 3 $.

Vì $\left( \alpha \right):ax + by – z + c = 0$ đi qua hai điểm $A\left( {0;\,0;\, – 4} \right)$, $B\left( {2;\,0;\,0} \right)$ nên $c = – 4$ và $a = 2$.

Suy ra $\left( \alpha \right):2x + by – z – 4 = 0$.

Đặt $IH = x$, với $0 < x < 3\sqrt 3 $ ta có $r = \sqrt {{R^2} – {x^2}} $$ = \sqrt {27 – {x^2}} $.

Thể tích khối nón là $V = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}{r^2}IH$$ = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}\left( {27 – {x^2}} \right)x$$ = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}{\rm{\pi }}\sqrt {\left( {27 – {x^2}} \right).\left( {27 – {x^2}} \right).2{x^2}} $$ \le 18{\rm{\pi }}$.

${V_{\max }} = 18{\rm{\pi }}$ khi $27 – {x^2} = {x^2}$$ \Leftrightarrow x = 3$.

Khi đó, $d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right)$$ = \frac{{\left| {2b + 5} \right|}}{{\sqrt {{b^2} + 5} }}$$ = 3$$ \Leftrightarrow {\left( {2b + 5} \right)^2} = 9\left( {{b^2} + 5} \right)$$ \Leftrightarrow b = 2$.

Vậy $a – b + c = – 4$.

Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):\,{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 4$. Gọi $N\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ là điểm thuộc $\left( S \right)$ sao cho khoảng cách từ điểm $N$ đến mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ lớn nhất. Giá trị của biểu thức $P = {x_0} + {y_0} + {z_0}$ bằng

A. $8$. B. $6$. C. $5$. D. $3$.

Lời giải:

Chọn A

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua tâm $I\left( {1;3;2} \right)$ của mặt cầu $\left( S \right)$ và vuông góc với $\left( {Oxz} \right)$.

Phương trình tham số của $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3 + t\\z = 2\end{array} \right.\,,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Gọi $A,\,\,B$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $\left( S \right)$ suy ra: $A\left( {1;5;2} \right)$, $B\left( {1;1;2} \right)$.

Ta có: $d\left( {A;\left( {Oxz} \right)} \right) > d\left( {B;\left( {Oxz} \right)} \right)$.

Theo đề bài thì $N \equiv A$$ \Rightarrow N\left( {1;5;2} \right)$$ \Rightarrow {x_0} + {y_0} + {z_0} = 8$.

Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):\,{(x – 1)^2} + (y – 2){}^2 + {(z + 1)^2} = 9$ và

hai điểm $A(4\,;\,3\,;\,1)$, $B(3\,;\,1\,;\,3)$; $M$ là điểm thay đổi trên $(S)$. Gọi $m,\,n$ lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 2M{A^2} – M{B^2}$. Xác định $m – n$.

A. $64$. B. $68$. C. $60$. D. $48$.

Lời giải:

Chọn C

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow {IA} – \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 $

$ \Rightarrow I(2{x_A} – {x_B};2{y_A} – {y_B};2{z_A} – {z_B})$$ \Rightarrow I(5\,;\,5\,;\, – 1)$. Suy ra $I$ là điểm cố định.

Ta có $P = 2M{A^2} – M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} – {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}$

$ = 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\left( {2\overrightarrow {IA} – \overrightarrow {IB} } \right) + 2I{A^2} – I{B^2}$

$ = 3M{I^2} + 2I{A^2} – I{B^2}$.

Khi đó $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MI$ đạt giá trị nhỏ nhất, $P$ đạt giá trị lớn nhất khi $MI$ đạt giá trị lớn nhất.

Mặt cầu $(S):\,{(x – 1)^2} + (y – 2){}^2 + {(z + 1)^2} = 9$ có tâm $J(1\,;\,2\,;\, – 1)$ và bán kính $R = 3$

Suy ra $IJ = 5$

Mà $M$ là điểm thay đổi trên $(S)$

Do đó: min$MI = I{M_1} = JI – R = 5 – 3 = 2$

max$MI = I{M_2} = JI + R = 5 + 3 = 8$

Vậy $m – n = {8^2} – {2^2} = 60$.

Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình là ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 6z + 7 = 0$. Cho ba điểm $A$, $M$, $B$ nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho. Diện tích tam giác $AMB$ có giá trị lớn nhất bằng?

A. $5$. B. $2$. C. $4\pi $. D. $4$

Lời giải:

Chọn D

Ta có $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 4$$ \Rightarrow \left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;1;3} \right)$ và bán kính $R = 2$.

Theo bài ra $A$, $M$, $B$ nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$ và $\widehat {AMB} = 90^\circ $$ \Rightarrow AB$ qua $I \Rightarrow AB = 2R = 4$.

Ta có ${S_{AMB}} = \frac{1}{2}MA.MB$$ \le \frac{{M{A^2} + M{B^2}}}{4}$$ = \frac{{A{B^2}}}{4} = 4$.

Dấu xảy ra $ \Leftrightarrow MA = MB = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 $ và $AB = 4$.

Do đó diện tích tam giác $AMB$ có giá trị lớn nhất bằng $4$.

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { – 2;2; – 2} \right)$; $B\left( {3; – 3;3} \right)$. Điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{2}{3}$. Khi đó độ dài $OM$ lớn nhất bằng

A. $6\sqrt 3 $. B. $5\sqrt 3 $. C. $\frac{{5\sqrt 3 }}{2}$. D. $12\sqrt 3 $

Lời giải:

Chọn D

Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$.

Ta có $\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{2}{3}$$ \Leftrightarrow 3MA = 2MB$$ \Leftrightarrow 9M{A^2} = 4M{B^2}$

$ \Leftrightarrow 9\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y – 2} \right)}^2} + {{\left( {z + 2} \right)}^2}} \right] = 4\left[ {{{\left( {x – 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2} + {{\left( {z – 3} \right)}^2}} \right]$

$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 12x – 12y + 12z = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y – 6} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 108$.

Như vậy, điểm $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( { – 6;6; – 6} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {108} = 6\sqrt 3 $.

Do đó $OM$lớn nhất bằng $OI + R = \sqrt {{{\left( { – 6} \right)}^2} + {6^2} + {{\left( { – 6} \right)}^2}} + 6\sqrt 3 = 12\sqrt 3 $.

Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y – 2z + \frac{9}{2} = 0$ và hai điểm $A\left( {0;2;0} \right)$, $B\left( {2; – 6; – 2} \right)$. Điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ thuộc $\left( S \right)$ thỏa mãn $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} $ có giá trị nhỏ nhất. Tổng $a + b + c$ bằng

A. $ – 1$. B. $1$. C. $3$. D. $2$

Lời giải:

Chọn B

Ta có $\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y – 2z + \frac{9}{2} = 0$$ \Leftrightarrow \left( S \right){\rm{:}}\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = \frac{3}{2}$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { – 1;2;1} \right)$, bán kính $R = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.

Vì $IA = \sqrt 2 > R$ và $IB = \sqrt {82} > R$ nên hai điểm $A$, $B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.

Gọi $K$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $K\left( {1; – 2; – 1} \right)$ và $K$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} $$ = \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KA} } \right).\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KB} } \right)$

$ = M{K^2} + \overrightarrow {MK} .\left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} } \right) + \overrightarrow {KA} .\overrightarrow {KB} $$ = M{K^2} – K{A^2}$.

Suy ra $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} $ nhỏ nhất khi $M{K^2}$ nhỏ nhất, tức là $MK$ nhỏ nhất.

Đánh giá: Ta có $IM + MK \ge IK \Rightarrow R + MK \ge IK \Rightarrow MK$$ \ge IK – R$.

Suy ra $MK$ nhỏ nhất bằng $IK – R$, xảy ra khi $I$, $M$, $K$ thẳng hàng và $M$ nằm giữa hai điểm $I$, $K$. Như vậy $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $IK$ và mặt cầu $\left( S \right)$.

Lại có $\overrightarrow {IK} = \left( {2; – 4; – 2} \right)$, $IK = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – 4} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 6 = 4R = 4IM$.

Suy ra $\overrightarrow {IK} = 4\overrightarrow {IM} $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 4\left( {a + 1} \right)\\ – 4 = 4\left( {b – 2} \right)\\ – 2 = 4\left( {c – 1} \right)\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{2}\\b = 1\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Vậy $a + b + c = 1$.

Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {0\,;\, – 1\,;\,3} \right)$,$B\left( { – 2\,;\, – 8\,;\, – 4} \right)$, $C\left( {2\,;\, – 1\,;\,1} \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 14$. Gọi $M\left( {{x_M}\,;\,{y_M}\,;\,{z_M}} \right)$ là điểm trên $\left( S \right)$ sao cho biểu thức $\left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $P = {x_M} + {y_M}$.

A. $P = 0$. B. $P = 6$. C. $P = \sqrt {14} $. D. $P = 3\sqrt {14} $

Lời giải:

Chọn B

Gọi $J$ là điểm thỏa mãn $3\overrightarrow {JA} – 2\overrightarrow {JB} + \overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 $$ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {JO} + 3\overrightarrow {OA} – 2\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 $ $ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {OJ} = 3\overrightarrow {OA} – 2\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} $ $ \Rightarrow J(3\,;\,6\,;\,9)$.

Mà $3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MJ} + \left( {3\overrightarrow {JA} – 2\overrightarrow {JB} + \overrightarrow {JC} } \right)$ nên $\left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MJ} } \right|$

Do đó ${\left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|_{\min }} \Leftrightarrow {\left| {2\overrightarrow {MJ} } \right|_{\min }}$.

Mặt khác: $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)$, bán kính $R = \sqrt {14} $ và $IJ = 2\sqrt {14} > R$$ \Rightarrow $ điểm $J$ nằm ngoài mặt cầu nên $IJ$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm ${M_1}\,,\,{M_2}$.

Phương trình đường thẳng $\left( {IJ} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 4t\\z = 3 + 6t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}$.

Xét hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 4t\\z = 3 + 6t\\{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 14\end{array} \right.\,$.

Từ hệ trên ta có phương trình: ${\left( {2t} \right)^2} + {\left( {4t} \right)^2} + {\left( {6t} \right)^2} = 14$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = – \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Suy ra ${M_1}\left( {2\,;\,4\,;\,6} \right)\,,\,{M_2}\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)$,${M_1}J = \sqrt {14} \,;\,{M_2}J = 3\sqrt {14} $.

Vậy ${\left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|_{\min }} \Leftrightarrow {\left| {2\overrightarrow {MJ} } \right|_{\min }}$$ \Leftrightarrow M \equiv {M_1}$. Khi đó $P = {x_M} + {y_M} = 2 + 4 = 6$.

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 4 = 0$ và hai điểm $A(4;2;4),\,\,B(1;4;2)$. $MN$ là dây cung của mặt cầu thỏa mãn $\overrightarrow {MN} $ cùng hướng với$\vec u = (0;1;1)$ và $MN = 4\sqrt 2 $. Tính giá trị lớn nhất của $\left| {AM – BN} \right|$.

A. $\sqrt {41} $. B. $7$. C. $4\sqrt 2 $. D. $\sqrt {17} $

Lời giải:

Chọn B

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I(1;2;0)$, bán kính $R = 3$.

Ta có $\overrightarrow {IA} = (3;0;4) \Rightarrow IA = 5$, $\overrightarrow {IB} = (0;2;2) \Rightarrow IB = 2\sqrt 2 $ nên điểm $A(4;2;4)$nằm ngoài mặt cầu $(S)$ và điểm $B(1;4;2)$nằm trong mặt cầu $(S)$.

Do $\overrightarrow {MN} $ cùng hướng với $\vec u = (0;1;1)$ suy ra $\overrightarrow {MN} = \left( {0;k;k} \right),\,k > 0$ do $MN = 4\sqrt 2 $ suy ra $\overrightarrow {MN} = \left( {0;4;4} \right)$.

Gọi $A’ = {T_{\overrightarrow {MN} }}(A)$, suy ra $A’ = (4;6;8)$. Khi đó $AMNA’$ là hình bình hành nên $AM = A’N$

Ta có $\left| {AM – BN} \right| = \left| {A’N – BN} \right| \le A’B$, dấu bằng xảy ra khi $A’,\,\,N,\,\,B$ thẳng hàng $ \Leftrightarrow $$N$ là giao điểm của mặt cầu với đường thẳng $A’B$ (Điểm $N$ luôn tồn tại).

$\overrightarrow {A’B} = ( – 3; – 2; – 6)$ suy ra $A’B = \sqrt {{{( – 3)}^2} + {{( – 2)}^2} + {{( – 6)}^2}} = 7$. Vậy ${\left| {AM – BN} \right|_{\min }} = A’B = 7$

Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$,$\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {z^2} = 4$ và các điểm $A\left( {4;0;0} \right)$, $B\left( {\frac{1}{4};0;0} \right)$, $C\left( {1;4;0} \right)$, $D\left( {4;4;0} \right)$. Gọi $M$là điểm thay đổi trên $\left( {{S_1}} \right)$, $N$ là điểm thay đổi trên $\left( {{S_2}} \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức$Q = MA + 2ND + 4MN + 4BC$ là

A. $2\sqrt {265} $. B. $\sqrt {265} $. C. $3\sqrt {265} $. D. $4\sqrt {265} $

Lời giải:

Chọn A

Ta có $\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$ nên $\left( {{S_1}} \right)$có tâm $O\left( {0;0;0} \right)$ và bán kính ${R_1} = 1$

$\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {z^2} = 4$nên $\left( {{S_2}} \right)$có tâm $I\left( {0;4;0} \right)$ và bán kính ${R_2} = 2$

Vậy các điểm $A\left( {4;0;0} \right)$, $B\left( {\frac{1}{4};0;0} \right)$, $C\left( {1;4;0} \right)$, $D\left( {4;4;0} \right)$, $O\left( {0;0;0} \right)$và $I\left( {0;4;0} \right)$ cùng thuộc $\left( {Oxy} \right)$

Nhận thấy $OB.OA = O{M^2}$ suy ra $OM$là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $MAB$.

Do đó $\Delta MOB$đồng dạng $\Delta AOM$

$ \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{OA}}{{OM}} = 4 \Rightarrow MA = 4MB$.

Hoàn tòan tương tự ta cũng có: $\frac{{ND}}{{NC}} = \frac{{DI}}{{NI}} = 2 \Rightarrow ND = 2NC$.

$Q = MA + 2ND + 4MN + 4BC = 4\left( {MB + NC + MN} \right) + 4BC \ge 4BC + 4BC = 8BC = 2\sqrt {265} $.

Dấu bằng xảy ra khi bốn điểm $B,M,N,C$ thẳng hàng. Vậy $MinQ = 2\sqrt {265} $.

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A\left( {0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1} \right)$, $B\left( {3;{\rm{ }}0; – 1} \right)$, $C\left( {0;{\rm{ }}21; – 19} \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1$. $M\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)$ là điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho biểu thức $T = 3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $a + b + c$.

A. $a + b + c = \frac{{14}}{5}$ . B. $a + b + c = 0$. C. $a + b + c = \frac{{12}}{5}$. D. $a + b + c = 12$.

Lời giải

Chọn A

$\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1$ có tâm $I\left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1} \right)$

Gọi $G\left( {x;\,y;\,z} \right)$ là điểm thỏa $3\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 $, khi đó

$\left\{ \begin{array}{l}3\left( {0 – x} \right) + 2\left( {3 – x} \right) + \left( {0 – x} \right) = 0\\3\left( {1 – y} \right) + 2\left( {0 – y} \right) + \left( {21 – y} \right) = 0\\3\left( {1 – z} \right) + 2\left( { – 1 – z} \right) + \left( { – 19 – z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\\z = – 3\end{array} \right.$ $ \Rightarrow G\left( {1;{\rm{ }}4; – 3} \right)$

Lúc này ta có: $\begin{array}{c}T = 3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}\\ = 3M{G^2} + 6\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + 3G{A^2} + 2M{G^2} + 4\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + 2G{B^2} + M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + G{C^2}\\ = 6M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} \left( {3\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + 3G{A^2} + 2G{B^2} + G{C^2}\\ = 6M{G^2} + 3G{A^2} + 2G{B^2} + G{C^2}\end{array}$

Vì $3G{A^2} + 2G{B^2} + G{C^2}$ có giá trị là một số thực không đổi nên $T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MG$ nhỏ nhất. Kho đó $M$ là một trong hai giao điểm của đường thẳng $IG$ và mặt cầu $\left( S \right)$.

Phương trình đường thẳng $IG:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + 3t\\z = 1 – 4t\end{array} \right.$

$M = IG \cap \left( S \right)$ nên tọa độ $M$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + 3t\\z = 1 – 4t\\{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{5}\\t = – \frac{1}{5}\end{array} \right.$. Khi đó: $\left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {1;\,\frac{8}{5};\,\frac{1}{5}} \right)\\{M_2}\left( {1;\,\frac{2}{5};\,\frac{9}{5}} \right)\end{array} \right.$

Vì ${M_1}G < {M_2}G$ nên điểm $M \equiv {M_1}\left( {1;\,\frac{8}{5};\,\frac{1}{5}} \right)$

Vậy $a + b + c = \frac{{14}}{5}$ .

Câu 17. Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là $2$,$3$,$3$,$2$(đơn vị độ dài) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng

A. $\frac{6}{{11}}$ B. $\frac{3}{7}$ C. $\frac{7}{{15}}$ D. $\frac{5}{9}$

Lời giải

Chọn A

Gọi $A,B$ là tâm mặt cầu bán kính bằng $2$; $C,D$là tâm mặt cầu bán kính bằng $3$; $I$ là tâm mặt cầu bán kính $x$ tiếp xúc ngoài với $4$ mặt cầu tâm $A,B,C,D$ nói trên.

Dễ thấy $A,B,C,D$ không đồng phẳng.

Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.

Mặt cầu $\left( I \right)$ tiếp xúc ngoài với $4$ mặt cầu tâm $A,B,C,D$ nên $IA = IB = x + 2,\,\,IC = ID = x + 3$.

Gọi $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ lần lượt là các mặt phẳng trung trực đoạn $AB$ và $CD$.

Ta có $M \in \left( P \right)$; $N \in \left( Q \right)$.

$\left\{ \begin{array}{l}IA = IB \Rightarrow I \in \left( P \right)\\IC = ID \Rightarrow I \in \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( P \right) \cap \left( Q \right)\,\,\,\left( 1 \right)$.

Tứ diện $ABCD$ có $DA = DB = CA = CB = 5$ nên $\Delta CAB = \Delta DAB$$ \Rightarrow NA = NB$ hay $N \in \left( P \right)$.

Tương tự chứng minh được $M \in \left( Q \right)$.

suy ra $MN = \left( P \right) \cap \left( Q \right)$ và $MN$ là đường vuông góc chung của $AB$ và $CD$. (2).

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $I \in MN$

Tam giác $IAM$ có $IM = \sqrt {I{A^2} – A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} – 4} $.

Tam giác $CIN$ có $IN = \sqrt {I{C^2} – C{N^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} – 9} $.

Tam giác $ABN$ có $NM = \sqrt {N{A^2} – A{M^2}} = \sqrt {12} $.

Suy ra $\sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} – 9} + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} – 4} = \sqrt {12} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 6x} + \sqrt {{x^2} + 4x} = \sqrt {12} $

$ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 6x} = \sqrt {12} – \sqrt {{x^2} + 4x} $

$ \Rightarrow {x^2} + 6x = 12 + {x^2} + 4x – 4\sqrt {3{x^2} + 12x} $$ \Leftrightarrow 2\sqrt {3{x^2} + 12x} = 6 – x$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\12{x^2} + 48x = 36 – 12x + {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\11{x^2} + 60x – 36 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{6}{{11}}\\x = – 6\end{array} \right.\end{array} \right.$.

Vì bán kính không âm nên: $x = \frac{6}{{11}}$.

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {5;1; – 1} \right)$, $B\left( {14; – 3;3} \right)$ và đường thẳng $\Delta $ có vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {1;2;2} \right)$. Gọi $C$, $D$ lần lượt là hình chiếu của $A$ và $B$ lên $\Delta $. Mặt cầu đi qua hai điểm $C$, $D$ có diện tích nhỏ nhất là

A. ${\rm{36\pi }}$. B. $44{\rm{\pi }}$. C. ${\rm{6\pi }}$. D. ${\rm{9\pi }}$.

Lời giải

Chọn D

Từ $A$ dựng đường thẳng $d$ song song với $\Delta $. Gọi $E$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $d$ nên $CD = AE$ và $AE$ không đổi.

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu đi qua hai điểm $C$, $D$$ \Rightarrow CD \le 2R \Rightarrow R \ge \frac{{CD}}{2} = \frac{{AE}}{2}$.

Ta có ${S_c} = 4{\rm{\pi }}{R^2} \ge 4{\rm{\pi }}\frac{{A{E^2}}}{4} = A{E^2}.{\rm{\pi }}$.

Diện tích mặt cầu nhỏ nhất là ${S_c} = A{E^2}{\rm{\pi }}$.

$AE = AB.\cos \varphi $ với $\varphi = \widehat {\left( {d,AB} \right)}$.

$\overrightarrow {AB} = \left( {9; – 4;4} \right)$, $AB = \sqrt {{9^2} + {4^2} + {4^2}} = \sqrt {113} $.

$\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right)} \right| = \left| {\frac{{\overrightarrow {AB} .\vec u}}{{AB.\left| {\vec u} \right|}}} \right| = \frac{3}{{\sqrt {113} }}$$ \Rightarrow AE = \sqrt {113} .\frac{3}{{\sqrt {113} }} = 3$.

Diện tích nhỏ nhất mặt cầu là ${S_c} = 9{\rm{\pi }}$.

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {5;0;0} \right)$và $B\left( {3;4;0} \right)$. Với $C$ là điểm nằm trên trục $Oz$, gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Khi $C$ di động trên trục $Oz$ thì $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng

A. $\sqrt 3 $. B. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$. C. $\frac{{\sqrt 5 }}{2}$. D. $\frac{{\sqrt 5 }}{4}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $OA{\kern 1pt} = OB = 5$ nên tam giác $OAB$ cân tại $O$.

Ta có $C\left( {0;0;c} \right)$.

Gọi $E\left( {4;2;0} \right)$ là trung điểm của $AB$.

Do $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OC\\AB \bot OE\end{array} \right.$, suy ra mặt phẳng $\left( {OCE} \right)$ cố định vuông góc với $AB$ và tam giác $ABC$ cân tại $C$. Khi đó $H \in \left( {OCE} \right)$.

Gọi $K$ là trực tâm tam giác $OAB$, do $A$, $B$ và $K$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ nên $K\left( {a;b;0} \right)$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OK} .\overrightarrow {AB} = 0\\\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {OA} = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.\left( { – 2} \right) + b.4 = 0\\a – 3 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = \frac{3}{2}\end{array} \right.$. Tìm được $K = \left( {3;\frac{3}{2};0} \right)$.

Ta chứng minh được $KH \bot \left( {CAB} \right)$ (do $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot \left( {OEC} \right)\\CA \bot \left( {BHK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HK \bot AB\\HK \bot CA\end{array} \right.$).

Suy ra $\widehat {KHE} = 90^\circ $.

Suy ra $H$ thuộc mặt cầu đường kính $KE = \sqrt {1 + \frac{1}{4}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}$và thuộc mặt phẳng $\left( {OCE} \right)$ cố định. Vậy $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính $R = \frac{{\sqrt 5 }}{4}$.