Chuyên đề tính xác suất theo từng mức độ luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 29 của đề tham khảo môn Toán.
DẠNG TOÁN XÁC SUẤT
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Định nghĩa về phép thử và không gian mẫu
Phép thử là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không đoán trước được nhưng có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó, và thường được kí hiệu bằng chữ $T$.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử, người ta kí hiệu bởi chữ cái Hi lạp $\Omega $ (đọc là ô – mê – ga). Khi đó người ta nói phép thử $T$ được mô tả bởi tập hợp $\Omega $.
Như vậy ta có thể hiểu không gian mẫu là một tập hợp, kí hiệu $\Omega $ chỉ kí hiệu của tập hợp.
Số phần tử của tập hợp $\Omega $ được gọi là số phần tử của không gian mẫu, kí hiệu là $\left| \Omega \right|$ hoặc $n\left( \Omega \right)$.
Việc đếm số phần tử của tập hợp không gian mẫu là quan trọng với các bài toán mà ta không thể tự liệt kê hết được tất cả các phần tử có trong tập không gian mẫu, chẳng hạn tập hợp gồm các số tự nhiên gồm $5$ chữ số khác nhau, tập hợp số cách hoàn thành một đề thi trắc nghiệm gồm $50$ câu – mỗi câu gồm $4$ phương án trả lời, trong đó chỉ có $1$ phương án đúng,…
2. Định nghĩa về biến cố
Biến cố $A$ liên quan đến phép thử $T$ là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của $A$phụ thuộc vào kết quả của phép thử $T$.
Mỗi kết quả của phép thử $T$ làm cho biến cố $A$ xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho $A$.
Tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho $A$ được kí hiệu là ${\Omega _A}$. Khi đó người ta nói biến cố $A$ đượcmô tả bởi tập hợp ${\Omega _A}$.
Như vậy ta có nhận xét ${\Omega _A} \subset \Omega $.
Số phần tử của tập hợp ${\Omega _A}$, được gọi là số phần tử của biến cố $A$, và được kí hiệu là $\left| {{\Omega _A}} \right|$hay $n\left( A \right)$
Biến cố đối
Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là $\overline A $, được gọi là biến cố đối của A.
Nếu ${\Omega _A}$ là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho $\overline A $ là $\Omega \backslash {\Omega _A}$. Ta nói A và $\overline A $ là hai biến cố đối nhau.
Chú ý.
Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc nhưng hai biến cố xung khắc chưa chắc là hai biến cố đối nhau.
3. Định nghĩa xác suất
Xét phép thử $T$ và biến cố $A$ liên quan đến phép thử $T$, xác suất xảy ra biến cố $A$ là một số và được kí hiệu là $P\left( A \right)$ và được xác định theo công thức $P\left( A \right) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}}$.
Từ định nghĩa ta có:
$0 \le P\left( A \right) \le 1$.
$P\left( \Omega \right) = 1;P\left( \emptyset \right) = 0$.
Định lí. Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối $\overline A $ là $P(\overline A ) = 1 – P(A)$
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA BDG 2020-2021) Chọn ngẫu nhiên một số trong $15$ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số chẵn bằng
A.$\frac{7}{8}$. B.$\frac{8}{{15}}$. C.$\frac{7}{{15}}$. D.$\frac{1}{2}$.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN:Đây là dạng toán tính xác suất chọn được số chẵn – lẻ .
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Tìm số phần tử của không gian mẫu.
B2: Liệt kê hoặc sử dụng tổ hợp chỉnh hợp hoán vị để đếm số phần tử của biến cố.
B3: Áp dụng công thức tính xác suất.
Cách khác: Sử dụng biến cố đối để tính.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Xác suất cần tính là: $P = \frac{7}{{15}}$.
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 1
Câu 1. Gieo hai con súc sắc, tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7.
A. $\frac{1}{6}$. B. $\frac{7}{{36}}$. C. $\frac{2}{9}$. D. $\frac{5}{{36}}$.
Lời giải
Chọn A
Không gian mẫu có số phần tử là: $\left| \Omega \right| = 36$
Gọi $A$: “tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7”.
$A = \left\{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,5} \right);\left( {3,4} \right);\left( {4,3} \right);\left( {5,2} \right);\left( {6,1} \right)} \right\}$.
Xác suất cần tính là: $P\left( A \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}$.
Câu 2. Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất. Xác suất để xuất hiện mặt có số chấm là một số
nguyên tố bằng
A. $\frac{1}{4}$. B. $\frac{1}{2}$. C. $\frac{2}{3}$. D. $\frac{1}{3}$.
Lời giải
Chọn B
Không gian mẫu có số phần tử là: $\left| \Omega \right| = 6$
Gọi $A$: “xuất hiện mặt có số chấm là một số nguyên tố”.
$A = \left\{ {2;3;5} \right\}$.
Xác suất cần tính là: $P\left( A \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Câu 3. Gieo hai con xúc sắc cân đối và đồng chất. Gọi $X$là biến cố “ Tích số chấm xuất hiện trên hai mặt con xác sắc là số lẻ”
A. $\frac{1}{5}$. B. $\frac{1}{4}$. C. $\frac{1}{3}$. D. $\frac{1}{2}$.
Lời giải
Chọn B
Số phần tử không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36$.
$n\left( A \right) = 3.3 = 9$.
Do đó $P\left( X \right) = \frac{9}{{36}} = \frac{1}{4}$.
Câu 4. Chọn ngẫu nhiên $3$ số trong $50$ số tự nhiên $1;2;3;4…50$. Tính xác suất biến cố $A:$ trong $3$ số đó chỉ có $2$ số là bội của $5$.
A. $0.09$. B. $0,08$. C. $0,19$. D. $0,18$.
Lời giải
Chọn A
$n\left( \Omega \right) = C_{50}^3$.
Gọi $A$ :”trong $3$ số đó chỉ có $2$ số là bội của $5$ ”.
$n\left( A \right) = C_{10}^2.C_{40}^1$.
Vậy $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{9}{{98}} \approx 0,09$.
Câu 5. Có hai cái rương, mỗi rương chứa $5$ cái thẻ đánh số tự $1$ đến $5$. Rút ngẫu nhiên từ mỗi cái
rương một tấm thẻ. Xác suất để $2$thẻ rút ra đều ghi số lẻ là
A. $\frac{1}{3}$. B. $\frac{3}{5}$. C. $\frac{3}{{10}}$ D. $\frac{9}{{25}}$.
Lời giải
Chọn D
Số phần tử không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = 25$.
Gọi $C$ là biến cố: “$2$thẻ rút ra đều ghi số lẻ” thì $n\left( C \right) = 3.3 = 9$
Vậy $P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{9}{{25}}$.
Câu 6. Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để hiệu số chấm xuất hiện của hai con súc sắc bằng $1$.
A. $\frac{5}{{36}}$. B. $\frac{5}{9}$. C. $\frac{5}{{18}}$. D. $\frac{1}{9}$.
Lời giải
Chọn C
Số phần tử không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36$.
Gọi $A$ là biến cố hiệu số chấm xuất hiện của hai con súc sắc bằng $1$.
$A = \left\{ {\left( {1;2} \right),\left( {2;1} \right),\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right),\left( {3;4} \right),\left( {4;3} \right),\left( {4;5} \right),\left( {5;4} \right),\left( {5;6} \right),\left( {6;5} \right)} \right\}$
$ \Rightarrow n\left( A \right) = 10 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}$.
Câu 7. Có hai hòm, mỗi hòm chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm 1 tấm thẻ. Xác suất để 2 thẻ rút ra đều ghi số lẻ là:
A. $\frac{9}{{25}}$. B. $\frac{1}{3}$. C. $\frac{3}{{10}}$. D. $\frac{3}{5}$.
Lời giải
Chọn A
Gọi $A,B$ lầ lượt là biến cố rút ra được tấm thẻ ghi số lẻ ở hòm thứ nhất và thứ hai. Ta có $A,B$ là các biến cố độc lập. Khi đó, xác suất để cả 2 thẻ đều ghi số lẻ là:
$P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{3}{5}.\frac{3}{5} = \frac{9}{{25}}$.
Câu 8. Một hộp chứa $30$quả cầu gồm $10$ quả cầu đỏ được đánh số từ $1$ đến $10$ và $20$ quả màu xanh được đánh số từ $1$ đến $20$. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho quả được chọn là quả màu xanh hoặc ghi số lẻ.
A. $\frac{2}{3}$. B. $\frac{7}{8}$. C. $\frac{5}{6}$. D. $\frac{3}{4}$.
Lời giải
Chọn C
Số cách lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp: $C_{30}^1 = 30$(cách).
Có 5 cách chọn được quả cầu ghi số lẻ và có 20 cách để chọn được quả cầu màu xanh.
Vậy xác suất cần tìm: $P = \frac{{5 + 20}}{{30}} = \frac{5}{6}$.
Mức độ 2
Câu 1. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ $27$ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai
số có tổng là một số chẵn bằng
A.$\frac{{13}}{{27}}$. B.$\frac{{14}}{{27}}$. C.$\frac{1}{2}$. D.$\frac{{365}}{{729}}$.
Lời giải
Chọn A
Không gian mẫu có số phần tử là: $C_{27}^2 = 351$.
Hai số có tổng là một số chẵn khi hai số đó là hai số chẵn hoặc hai số đó là hai số lẻ do đó ta có $C_{13}^2 + C_{14}^2 = 78 + 91 = 169$ cách chọn.
Xác suất cần tính là: $P = \frac{{169}}{{351}} = \frac{{13}}{{27}}$.
Câu 2. Gọi $S$ là tập các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được tạo từ tập $E = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$. Chọn
ngẫu nhiên một số từ tập $S$. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn?
A.$\frac{3}{4}$. B.$\frac{2}{5}$. C.$\frac{3}{5}$. D.$\frac{1}{2}$.
Lời giải
Chọn B
Số các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được tạo từ tập $E = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$ là: $5! = 120$.
Do đó tập $S$ có số phần tử là: $120$.
Không gian mẫu có số phần tử là: $C_{120}^1 = 120$.
Số các số chẵn có bốn chữ số khác nhau được tạo từ tập $E = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$ là: $2.4! = 48$.
Xác suất cần tính là: $P = \frac{{C_{48}^1}}{{120}} = \frac{{48}}{{120}} = \frac{2}{5}$.
Câu 3. Một hộp đựng $11$ viên bi được đánh số từ $1$ đến $11$. Lấy ngẫu nhiên $4$ viên bi, rồi cộng các số trên các bi lại với nhau. Xác suất để kết quả thu được là một số lẻ bằng?
A.$\frac{{31}}{{32}}$. B.$\frac{{11}}{{32}}$. C.$\frac{{16}}{{33}}$. D.$\frac{{21}}{{32}}$.
Lời giải
Chọn C
Không gian mẫu có sốp phần tử là: $C_{11}^4 = 330$.
Để tổng của bốn số là số lẻ thì trong bốn số phải có 1 số lẻ, ba số chẵn hoặc ba số lẻ, 1 số chẵn do đó ta có: $C_6^3.C_5^1 + C_6^1.C_5^3 = 160$ cách lấy bốn số có tổng là số lẻ.
Xác suất cần tính là: $P = \frac{{160}}{{330}} = \frac{{16}}{{33}}$.
Câu 4. Cho $14$ tấm thẻ được đánh số từ $1$ đến $14$. Chọn ngẫu nhiên $3$tấm thẻ. Xác suất để tích $3$ số ghi trên $3$ tấm thẻ này chia hết cho $3$bằng?
A.$\frac{{30}}{{91}}$. B.$\frac{{61}}{{91}}$. C.$\frac{{31}}{{91}}$. D.$\frac{{12}}{{17}}$.
Lời giải
Chọn B
Không gian mẫu có sốp phần tử là: $C_{14}^3 = 364$.
Để tích của ba số ghi trên $3$ tấm thẻ chia hết cho $3$thì trong ba số phải có ít nhất 1 số chia hết cho $3$ do đó ta có: $C_4^1.C_{10}^2 + C_4^2.C_{10}^1 + C_4^3 = 244$ cách lấy ra ba số để tích ba số ghi trên $3$ tấm thẻ chia hết cho $3$.
Xác suất cần tính là: $P = \frac{{244}}{{364}} = \frac{{61}}{{91}}$.
Câu 5. Gọi $S$ là tập các số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau lập từ $0,1,2,3,4,5,6$. Chọn ngẫu nhiên
hai số từ tập $S$. Tính xác suất để tích hai số được chọn là số chẵn?
A.$\frac{1}{6}$. B.$\frac{2}{5}$. C.$\frac{5}{6}$. D.$\frac{3}{4}$.
Lời giải
Chọn C
Số các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau được tạo từ tập $0,1,2,3,4,5,6$ là: $6.6 = 36$.
Do đó tập $S$ có số phần tử là: $36$.
Không gian mẫu có số phần tử là: $C_{36}^2 = 630$.
Số các số lẻ có hai chữ số khác nhau được tạo từ tập $0,1,2,3,4,5,6$ là: $3.5 = 15$số.
Xác suất cần tính là: $P = 1 – \frac{{C_{15}^2}}{{630}} = 1 – \frac{{105}}{{630}} = \frac{5}{6}$.
Câu 6. Trong một hộp có 50 viên bi được đánh số từ1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp,
tính xác suất để tổng ba số trên 3 viên bi được chọn là một số chia hết cho 3.
A. $\frac{{816}}{{1225}}$. B. $\frac{{409}}{{1225}}$. C. $\frac{{289}}{{1225}}$. D. $\frac{{936}}{{1225}}$.
Lời giải
Chọn B
Số phần tử không gian mẫu là $\left| \Omega \right|$=$C_{50}^3 = 19600$.
Gọi A là biến cố “3 viên bi được chọn là một số chia hết cho 3”.Trong 50 viên bi được chia thành 3 loại gồm: 16 viên bi có số chia hết cho 3; 17 viên bi có số chia cho 3 dư 1; 17 viên bi còn lại có số chia cho 3 dư 2. Để tìm số kết quả thuận lợi của biến cố A, ta xét các trường hợp
TH1: 3 viên bi được chọn cùng một loại, có ($C_{16}^3 + C_{17}^3 + C_{17}^3$) cách.
TH2: 3 viên bi được chọn có mỗi viên mỗi loại, có $C_{16}^3.C_{17}^3.C_{17}^3$cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là $\left| {{\Omega _A}} \right| = 6544$.
Vậy xác suất cần tìm là: $P(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{6544}}{{19600}} = \frac{{409}}{{1255}}$.
Câu 7. Một hộp đựng $10$ chiếc thẻ được đánh số từ $0$ đến $9$. Lấy ngẫu nhiên ra $3$ chiếc thẻ, tính xác
suất để $3$ chữ số trên $3$ chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho $5$.
A. $\frac{8}{{15}}$. B. $\frac{7}{{15}}$. C. $\frac{2}{5}$. D. $\frac{3}{5}$.
Lời giải
Chọn A
Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_{10}^3 = 120$.
Gọi $A$ là biến cố ‘‘$3$ chữ số trên $3$ chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho $5$’’.
Để biến cố $A$ xảy ra thì trong $3$ thẻ lấy được phải có thẻ mang chữ số $0$ hoặc chữ số $5$. Ta đi tìm số phần tử của biến cố $\overline {\rm{A}} $, tức là $3$ thẻ lấy ra không có thẻmang chữ số $0$ và cũng không có thẻ mang chữ số $5$.
Ta có$n\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = C_8^3 \Rightarrow n\left( A \right) = C_{10}^3 – C_8^3 = 64$.
Vậy xác suất cần tìm là $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{64}}{{120}} = \frac{8}{{15}}$.
Câu 8. Một hộp đựng $20$chiếc thẻ được đánh số từ $1$ đến $20$. Chọn ra ngẫu nhiên hai chiếc thẻ, tính xác suất để tích của hai số trên hai chiếc thẻ là một số chẵn.
A.$\frac{{29}}{{38}}$. B. $\frac{9}{{38}}$. C. $\frac{9}{{19}}$. D.$\frac{{10}}{{19}}$.
Lời giải
Chọn A
Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_{20}^2 = 190$.
Gọi $A$ là biến cố: “ Chọn ngẫu nhiên hai chiếc thẻ, mà tích của hai số trên hai chiếc thẻ là một số chẵn”.
Khi đó $n\left( A \right) = C_{10}^1.C_{10}^1 + C_{10}^2 = 145$.
Do đó xác suất cần tìm là $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{29}}{{38}}$.
Câu 9. Gieo hai con súc sắc đồng chất, tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng $10$.
A. $\frac{1}{{12}}$. B. $\frac{1}{{18}}$. C. $\frac{1}{{36}}$. D. $\frac{1}{9}$.
Lời giải
Chọn A
Gieo hai con súc sắc cân đối, số phần tử của không gian mẫu là $36$.
Đặt $A$ là biến cố “tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng $10$”
Tập tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $\left\{ {\left( {4;6} \right),\left( {6;4} \right),\left( {5;5} \right)} \right\}$, suy ra số kết quả thuận lợi là $3$.
Suy ra $P\left( A \right) = \frac{3}{{36}} = \frac{1}{{12}}$.
Câu 10. Gieo hai con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.
A. $\frac{5}{{36}}$. B. $\frac{1}{{12}}$. C. $\frac{1}{{18}}$. D. $\frac{1}{6}$.
Lời giải
Chọn A
Không gian mẫu $\Omega $,với $\left| \Omega \right| = {6^2} = 36$.
Số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là bộ số $\left( {a;b} \right),\;a + b = 8,\;1 \le a \le 6,1 \le b \le 6$ Khi đó $\left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {2;6} \right);\left( {6;2} \right);\left( {3;5} \right);\left( {5;3} \right);\left( {4;4} \right)} \right\}$.
Số cách chọn để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8 là 5 cách.
Xác suất cần tìm là $P = \frac{5}{{36}}$.
Mức độ 3
Câu 1. Chọn ngẫu nhiên một số có$4$ chữ số. Gọi $P$ là xác suất để tổng các chữ số của số đó là một số lẻ. Khi đó $P$ bằng
A. $\frac{{11}}{{21}}$. B.$\frac{1}{2}$. C. $\frac{{100}}{{189}}$. D. $\frac{4}{{15}}$.
Lời giải
Chọn B
Chọn ngẫu nhiên một số có $4$ chữ số có: $9000$ (cách).
Gọi số có bốn chữ số là $\overline {abcd} $ ($a \ne 0$) thỏa mãn $\left( {a + b + c + d} \right)$ là một số lẻ.
+) Nếu $\left( {a + b + c} \right)$ lẻ thì $d$ chẵn, nên có: $5$ (cách chọn $d$ )
+) Nếu $\left( {a + b + c} \right)$ chẵn thì $d$ lẻ, nên có: $5$ (cách chọn $d$ )
Vậy trong mọi trường hợp của $a$,$b$,$c$ luôn có $5$ cách chọn $d$
Có $9$ cách chọn $a$, $10$ cách chọn $b$, $10$ cách chọn $c$.
Vậy $P = \frac{{5.9.10.10}}{{9000}} = \frac{1}{2}$.
Câu 2. Cho tập hợp $A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7} \right\}$. Từ tập $A$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau đôi một sao cho các số này là số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ $3$ luôn chia hết cho $2$?
A. $5400$. B.$5040$. C. $5004$. D. $4500$.
Lời giải
Chọn B
Gọi số cần tìm là: $\bar n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} $
Số $\bar n$ có tính chất:
+ Lẻ $ \Rightarrow {a_6} \in \left\{ {1;3;5;7} \right\}$.
+ ${a_3}$ chia hết cho $2$$ \Rightarrow {a_3} \in \left\{ {0;2;4;6} \right\}$.
* Trường hợp $1$: ${a_3} = 0$
${a_6}$ có $4$ cách.
${a_1}$ có $6$ cách.
Chọn $3$ chữ số còn lại có $A_5^3$ cách.
* Trường hợp $2$: ${a_3} = 2$
${a_6}$ có $4$ cách.
${a_1}$ có $5$ cách.
Chọn $3$ chữ số còn lại có $A_5^3$ cách.
* Trường hợp $3$: ${a_3} = 4$ hoặc ${a_3} = 6$ tương tự trường hợp ${a_3} = 2$
Vậy: $4.6.A_5^3 + 3.4.5.A_5^3 = 5040$ số.
Câu 3. Cho $X$ là tập hợp các số tự nhiên có $6$ chữ số đôi một khác nhau mà tổng các chữ số bằng $18$. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc tập $X$. Tính xác suất để chọn được là số lẻ.
A. $\frac{{16}}{{45}}$. B. $\frac{{29}}{{45}}$. C.$\frac{{32}}{{75}}$. D. $\frac{{43}}{{75}}$.
Lời giải
Chọn C
Gọi số có $6$ chữ số khác nhau là $\overline {abcdef} $, mà tổng các chữ số bằng $18$ nên tập $\left\{ {a;b;c;d;e;f} \right\}$ là một trong các tập hợp sau: $\left\{ {0;1;2;3;4;8} \right\}$; $\left\{ {0;1;2;3;5;7} \right\}$; $\left\{ {0;1;2;4;5;6} \right\}$.
Ứng với mỗi trường hợp có $5$cách chọn chữ số $a$, các chữ số còn lại có $5!$ cách chọn.
Suy ra có $3.5.5! = 1800$ số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau mà tổng bằng $18$
$ \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 1800$
Gọi $A$ là biến cố “Số tự nhiên được chọn là số lẻ”.
TH1: $a,b,c,d,e,f \in \left\{ {0;1;2;3;4;8} \right\}$$ \Rightarrow $ có $2.4.4! = 192$ (số).
TH2: $a,b,c,d,e,f \in \left\{ {0;1;2;3;5;7} \right\}$$ \Rightarrow $có $4.4.4! = 384$ (số).
TH3: $a,b,c,d,e,f \in \left\{ {0;1;2;4;5;6} \right\}$$ \Rightarrow $có $2.4.4! = 192$ (số).
Suy ra $n\left( A \right) = 768$$ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{32}}{{75}}$.
Câu 4. Cho một bảng ô vuông $3 \times 3$. Điền ngẫu nhiên các số $1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9$ vào bảng trên (mỗi ô điền một số khác nhau). Gọi $A$ là biến cô “mỗi hàng, mỗi cột bất kì đều có ít nhất một số lẻ”. Xác suất của biến cố $A$ bằng
A. $P\left( A \right) = \frac{{10}}{{21}}$. B. $P\left( A \right) = \frac{1}{3}$. C.$P\left( A \right) = \frac{5}{7}$. D. $P\left( A \right) = \frac{1}{{56}}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $n\left( \Omega \right) = 9!$.
Gọi $\bar A$ là biến cố “tồn tại một hàng hoặc một cột gồm toàn số chẵn”.
Do chỉ có 4 số chẵn là $2,\,4,\,6,\,8$ nên chỉ có thể có một hàng hoặc một cột gồm toàn số chẵn.
+ Chọn một hàng hoặc một cột: có 6 cách.
+ Chọn thêm một ô: có 6 cách.
+ Điền 4 số chẵn $2,\,4,\,6,\,8$vào 4 ô vừa chọn: có $4!$ cách.
+ Điền 5 số còn lại vào 5 ô còn lại: có $5!$ cách.
$ \Rightarrow n\left( A \right) = 6.6.4!.5!$
Xác suất cần tính là $P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – \frac{{6.6.4!.5!}}{{9!}} = \frac{5}{7}$.
Câu 5. Chọn ngẫu nhiên 3 số khác nhau từ $35$ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được 3 số lập thành cấp số cộng có công sai là số lẻ bằng
A.$\frac{9}{{385}}$. B. $\frac{8}{{385}}$. C. $\frac{{17}}{{385}}$. D. $\frac{{30}}{{112019}}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $n\left( \Omega \right) = C_{35}^3$.
Gọi $a,\,b,\,c$ là 3 số theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai $d$ ($1 \le a < \,b < \,c \le 35$).
Nhận thấy ứng với mỗi trường hợp $d$ lẻ, một cách chọn $b$ sẽ có duy nhất một cách chọn cặp $a,\,c$.
TH1: $d = 17 \Rightarrow b = 18$, có 1 cách chọn $b$.
TH2: $d = 15 \Rightarrow 16 \le b \le 20$, có 5 cách chọn $b$.
TH3: $d = 13 \Rightarrow 14 \le b \le 22$, có 9 cách chọn $b$.
………………………………………………
TH8: $d = 3 \Rightarrow 4 \le b \le 32$, có $29$ cách chọn $b$.
TH9: $d = 1 \Rightarrow 2 \le b \le 34$, có $33$cách chọn $b$.
$ \Rightarrow n\left( A \right) = 1 + 5 + 9 + … + 29 + 33 = \frac{{\left( {1 + 33} \right).9}}{2} = 153$
$ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{153}}{{C_{35}^3}} = \frac{9}{{385}}$.
Câu 6. Chọn ngẫu nhiên hai số tự nhiên có$4$ chữ số khác nhau. Tính xác suất để chọn được ít nhất một số chẵn. ( kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)
A. $0,652$. B. $0,256$. C. $0,756$. D. $0,922$.
Lời giải
Chọn C
Số các số tự nhiên có $4$chữ số khác nhau là $9.A_9^3 = 4536$.
Gọi $\Omega $ là không gian mẫu,$\left| \Omega \right| = C_{4536}^2$.
Gọi $A$ là biến cố “ chọn được ít nhất một số chẵn”
$\overline A $ là biến cố “ chọn được cả hai số lẻ”
Số các số tự nhiên lẻ có 4 chữ số khác nhau là $5.8.A_8^2 = 2240$.
Suy ra $\left| {\overline A } \right| = C_{2240}^2$.
Xác suất để chọn được ít nhất một số chẵn là
$P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – \frac{{\left| {\overline A } \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = 1 – \frac{{C_{2240}^2}}{{C_{4536}^2}} \approx 0,756$.
Câu 7. Gọi $S$ là tập hợp các ước số nguyên dương của số $43200$. Lấy ngẫu nhiên hai phần tửthuộc $S$. Tính xác suất lấy được hai phần tử là hai số không chia hết cho $2$.
A. $\frac{{C_{12}^2}}{{C_{84}^2}}$. B. $\frac{{C_8^2}}{{C_{84}^2}}$. C. $\frac{{C_6^2}}{{C_{84}^2}}$. D. $\frac{{C_{10}^2}}{{C_{84}^2}}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $43200 = {2^6}{.3^3}{.5^2}$
Mỗi ước số nguyên dương của số $43200$ có dạng ${2^i}{.3^j}{.5^k}$, trong đó $i \in \left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6} \right\}$, $j \in \left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,3} \right\}$, $k \in \left\{ {0\,;\,1\,;\,2} \right\}$, suy ra số các ước nguyên dương của $43200$ là $7.4.3 = 84$.
Gọi $\Omega $ là không gian mẫu,$\left| \Omega \right| = C_{84}^2$.
Mỗi ước số nguyên dương của số $43200$ mà không chia hết cho $2$ có dạng ${2^0}{.3^j}{.5^k}$, suy ra số các ước nguyên dương của số $43200$ không chia hết cho $2$ là $4.3 = 12$.
Gọi $A$ là biến cốchọn được hai số không chia hết cho $2$, $\left| A \right| = C_{12}^2$.
Vậy xác suất cần tìm là $P\left( A \right) = \frac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{C_{12}^2}}{{C_{84}^2}}$.
Câu 8. Cho tập hợp $A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}$. Gọi $X$ là tập các số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau được lập từ $A$. Chọn một số từ $X$, tính xác suất sao cho số được chọn có đúng $3$ chữ số chẵn.
A. $\frac{4}{7}$. B. $\frac{{17}}{{35}}$. C. $\frac{{17}}{{30}}$. D. $\frac{2}{3}$.
Lời giải
Chọn C
Gọi $\Omega $ là không gian mẫu,$\left| \Omega \right| = 6.A_6^4 = 2160$.
Gọi $A$ là biến cố “số được chọn có đúng $3$ chữ số chẵn”
+TH1: $3$ chữ số chẵn không có số $0$.
Xếp $\left\{ {2\,;\,4\,;\,6} \right\}$ vào $5$ vị trí, sau đó xếp 2 số lẻ vào vị trí còn lại. Số các số thỏa là $A_5^3.A_3^2 = 360$.
+TH2: $3$ chữ số chẵn có số $0$, gồm các nhóm $\left\{ {0\,;\,2\,;\,4} \right\}$, $\left\{ {0\,;\,2\,;\,6} \right\}$, $\left\{ {0\,;\,4\,;\,6} \right\}$.
Ứng với mỗi nhóm, số $0$ xếp vào 4 vị trí ( trừ vị trí đầu), rồi xếp 2 số chẵn, 2 số lẻ vào vị trí còn lại. Số các số thỏa là $4.A_4^2.A_3^2 = 288$.
Suy ra $\left| A \right| = 360 + 3.288 = 1224$.
Vậy xác suất cần tìm là $P\left( A \right) = \frac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{1224}}{{2160}} = \frac{{17}}{{30}}$.
Câu 9. Cho$X$ là tập hợp các số tự nhiên có $6$chữ số đôi một khác nhau mà tổng các chữ số bằng $18$.Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập $X$. Tính xác suất để chọn được số chẵn.
A. $\frac{{43}}{{75}}$. B. $\frac{{32}}{{75}}$. C. $\frac{{16}}{{75}}$. D. $\frac{8}{{25}}$.
Lời giải
Chọn A
Có $3$ tập hợp có $6$ phần tử mà tổng bằng $18$ là $\left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,8} \right\}$, $\left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,5\,;\,7} \right\}$, $\left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,4\,;\,5\,;\,6} \right\}$.
Ứng với mỗi tập hợp, vị trí đầu tiên có $5$ cách chọn, các chữ số còn lại có $5!$ cách.
Suy ra số các số có $6$ chữ số khác nhau mà có tổng bằng $18$ là $3.5.5! = 1800$.
Gọi $\Omega $ là không gian mẫu,$\left| \Omega \right| = 1800$.
Gọi $A$ là biến cố “ chọn được số chẵn”
$\overline A $ là biến cố “ chọn được số lẻ”
+TH1: $\left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,8} \right\}$. Số các số lẻ có chữ số khác nhau là $2.4.4! = 192$.
+TH2: $\left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,5\,;\,7} \right\}$. Số các số lẻ có chữ số khác nhau là $4.4.4! = 384$.
+TH3: $\left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,4\,;\,5\,;\,6} \right\}$. Số các số lẻ có chữ số khác nhau là $2.4.4! = 192$.
Suy ra $\left| {\overline A } \right| = 768$.
Xác suất cần tìm là: $P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – \frac{{\left| {\overline A } \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = 1 – \frac{{768}}{{1800}} = \frac{{43}}{{75}}$.
Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt được lấy từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Xác suất chọn được số chỉ chứa 3 số lẻ là?
A. $P = \frac{{16}}{{21}}$. B. $P = \frac{{10}}{{21}}$. C. $P = \frac{{16}}{{42}}$. D. $P = \frac{{23}}{{42}}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $\left| {{\Omega _S}} \right| = 9.8.7.6.5.4$.
Sáu chữ số 1; 3; 5; 2; 4; 6 lập được 6! số thỏa mãn.
Tương tự như vậy đối với $\left( {1;3;5;2;4;8} \right),\left( {1;3;5;2;6;8} \right),\left( {1;3;5;4;6;8} \right)$.
Như vậy cố định $1;3;5$ thì có $6!.4$ số thỏa mãn.
Tương tự với $\left( {1;3;7} \right),\left( {1;3;9} \right),\left( {1;5;7} \right),\left( {1;5;9} \right),\left( {1;7;9} \right),\left( {3;5;7} \right),\left( {3;5;9} \right),\left( {3;7;9} \right),\left( {5;7;9} \right)$.
Xác suất cần tìm là $\frac{{6!.4.10}}{{9.8.7.6.5.4}} = \frac{{10}}{{21}}$.
Mức độ 4
Câu 1. Cho $K$ là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ $K$. Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là bội của $4$.
A. $\frac{{2249}}{{9000}}$. B. $\frac{{2243}}{{9000}}$. C. $\frac{{11}}{{45}}$. D. $\frac{{49}}{{9000}}$.
Lời giải
ChọnA
Ta có: $\left| K \right| = {9.10^3} = 9000$
Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số mà tổng các chữ số của nó chia hết cho 4. $A = \left\{ {\overline {abcd} \,\, \in \mathbb{N}:\,\,\left( {a + b + c + d} \right) \vdots \,\,4} \right\}$.
Xét $b + c + d = 4k + r\,\,\left( {0 \le r \le 3} \right)$. Nếu $r \in \left\{ {0;1;2} \right\}$ thì mỗi giá trị của $r$ sẽ có hai giá trị của $a$ sao cho $\left( {a + b + c + d} \right)\, \vdots \,\,4$ (đó là $a = 4 – r,\,\,a = 8 – r$). Nếu $r = 3$ thì mỗi giá trị của $r$ sẽ có ba giá trị của $a$ sao cho $\left( {a + b + c + d} \right)\, \vdots \,\,4$ (đó là $a = 1,\,\,a = 5,\,\,a = 9$).
Gọi $B = \left\{ {\overline {bcd} \in \mathbb{N}:\,\,0 \le b,c,d \le 9,\,\,b + c + d = 4k + r,\,\,0 \le r \le 2} \right\}$, $C = \left\{ {\overline {bcd} \in \mathbb{N}:\,\,0 \le b,c,d \le 9,\,\,b + c + d = 4k + 3} \right\}$.
Khi đó, ta có: $\left| A \right| = 2\left| B \right| + 3\left| C \right| = 2\left( {\left| B \right| + \left| C \right|} \right) + \left| C \right| = {2.10^3} + \left| C \right|$.
Xét tập hợp $C$ với $c + d = 4m + n$. Nếu $n \in \left\{ {0;1} \right\}$ thì mỗi giá trị của $n$ sẽ có hai giá trị của $b$ sao cho $b + c + d = \,4k + 3$. Nếu $n \in \left\{ {2;3} \right\}$ thì mỗi giá trị của $n$ sẽ có ba giá trị của $b$ sao cho $b + c + d = \,4k + 3$.
Gọi $D = \left\{ {\overline {cd} \in \mathbb{N}:\,\,0 \le c,d \le 9,\,c + d = 4m + n,\,\,0 \le n \le 1} \right\}$, $E = \left\{ {\overline {cd} \in \mathbb{N}:\,\,0 \le c,d \le 9,\,\,c + d = 4m + n,\,\,2 \le n \le 3} \right\}$.
Khi đó, ta có: $\left| C \right| = 2\left| D \right| + 3\left| E \right| = 2\left( {\left| D \right| + \left| E \right|} \right) + \left| E \right| = {2.10^2} + \left| E \right|$, với $\left| E \right| = 25 + 24 = 49$.
Suy ra: $\left| A \right| = {2.10^3} + {2.10^2} + 49 = 2249$.
Gọi biến cố $X$: “Số được chọn có tổng các chữ số là bội của 4”. Khi đó, xác suất của biến cố $X$ là: $P\left( X \right) = \frac{{2249}}{{9000}}$.
Câu 2. Một hộp đựng $6$ bi xanh đánh số từ $1$ đến $6$, $7$ bi vàng đánh số từ $1$ đến $7$ và $8$ bi đỏ đánh số từ $1$ đến $8$. Lấy ngẫu nhiên $3$ bi từ hộp. Tính xác suất để ba bi lấy được có $3$ số khác nhau và khác màu.
A. $\frac{{108}}{{775}}$. B. $\frac{{108}}{{665}}$. C. $\frac{{116}}{{565}}$. D. $\frac{{109}}{{785}}$.
Lời giải
ChọnB
Số phần tử không gian mẫu là: $\left| \Omega \right| = C_{21}^3$.
Gọi $A$ là biến cố ba bi lấy được có 3 số khác nhau và 3 màu khác nhau.
Cách 1.
Ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1. Bi đỏ được chọn ghi số $8$. Khi đó có hai khả năng sau:
Khả năng 1. Bi vàng được chọn ghi số $7$. Khi đó có $6$ cách chọn bi xanh.
Khả năng 2. Bi vàng được chọn ghi số bé hơn $7$. Khi đó bi vàng có $6$ cách chọn, bi xanh có $5$ cách chọn.
Trường hợp 1 có $6 + 6.5 = 36$ cách chọn.
Trường hợp 2. Bi đỏ được chọn ghi số $7$. Khi đó bi vàng có $6$ cách chọn (từ $1$ đến $6$) và bi xanh có $5$ cách chọn (vì ghi số phải khác số bi vàng). Trường hợp này có $6.5 = 30$ cách chọn.
Trường hợp 3. Bi đỏ được chọn ghi số bé hơn $7$. Bi đỏ có $6$ cách chọn.
Khả năng 1. Bi vàng được chọn ghi số $7$. Khi đó bi xanh có $5$ cách chọn (ghi số khác bi đỏ).
Khả năng 2. Bi vàng được chọn ghi số bé hơn $7$ và khác số bi đỏ. Khi đó bi vàng có $5$ cách chọn và bi xanh có $4$ cách chọn.
Trường hợp 3 này có $6\left( {5 + 5.4} \right) = 150$ cách chọn.
Vậy số phần tử của biến cố $A$ là: $\left| A \right| = 36 + 30 = 150 = 216$.
Vậy xác suất cần tìm là: $P\left( A \right) = \frac{{216}}{{C_{21}^3}} = \frac{{108}}{{665}}$.
Cách 2.
Có $6$ cách chọn bi xanh.
Với mỗi cách chọn bi xanh có $6$ cách chọn bi vàng để bi vàng ghi số khác với bi xanh.
Với mỗi cách chọn bi xanh và bi vàng có $6$ cách chọn bi đỏ ghi số khác với bi vàng, bi xanh.
Vậy số phần từ của biến cố $A$ là: $\left| A \right| = {6^3}$.
Xác suất cần tìm là: $P\left( A \right) = \frac{{{6^3}}}{{C_{21}^3}} = \frac{{108}}{{665}}$.
Câu 3. Cho tập $A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}$. Gọi $S$ là tập hợp gồm $5$ chữ số khác nhau chọn từ các phần tử của tập $A$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S$. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho $15$.
A. $\frac{{97}}{{360}}$. B. $\frac{{43}}{{360}}$. C. $\frac{{31}}{{360}}$ . D. $\frac{{37}}{{360}}$.
Lời giải
Chọn D
Số phần tử của tập $S$ là $6.6.5.4.3 = 2160$.
Gọi $\Omega $ là không gian mẫu. Khi đó $n\left( \Omega \right) = 2160$.
Gọi $B$ là biến cố: “Số được chọn chia hết cho $15$”.
Gọi $\overline {abcde} $ là số có $5$ chữ số khác nhau và chia hết cho $15$ chọn từ các phần tử của tập $A$.
Ta có $15 = 3.5,\,\,\left( {3,5} \right) = 1$. Do đó $\overline {abcde} \vdots 15 \Leftrightarrow \overline {abcde} \vdots 5$ và $\overline {abcde} \vdots 3$.
TH1. $e = 0$. Khi đó $\overline {abcde} \vdots 3 \Leftrightarrow \left( {a + b + c + d} \right) \vdots 3$ khi và chỉ khi
$a,b,c,d \in \left\{ {1;2;4;5} \right\}$ hoặc $a,b,c,d \in \left\{ {3;6;2;1} \right\}$ hoặc $a,b,c,d \in \left\{ {3;6;2;5} \right\}$ hoặc $a,b,c,d \in \left\{ {3;6;4;1} \right\}$ hoặc $a,b,c,d \in \left\{ {3;6;4;5} \right\}$.
Vậy trong trường hợp này có $5.4! = 5! = 120$ số tự nhiên.
TH2. $e = 5$. Khi đó $\overline {abcde} \vdots 3 \Leftrightarrow \left( {a + b + c + d + 5} \right) \vdots 3 \Leftrightarrow a + b + c + d:3$ dư 1 khi và chỉ khi
$a,b,c,d \in \left\{ {3;2;4;1} \right\}$ hoặc $a,b,c,d \in \left\{ {6;2;4;1} \right\}$ hoặc $a,b,c,d \in \left\{ {0;2;4;1} \right\}$hoặc $a,b,c,d \in \left\{ {3;6;0;2} \right\}$ hoặc $a,b,c,d \in \left\{ {3;6;0;4} \right\}$.
Vậy trong trường hợp này có $2.4! + 3.3.3.2.1 = 102$ số tự nhiên.
Do đó $n\left( B \right) = 120 + 102 = 222$.
Vậy xác suất cần tìm là: $P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{222}}{{2160}} = \frac{{37}}{{360}}$.
Câu 4. Một chiếc hộp đựng $8$ viên bi màu xanh được đánh số từ $1$ đến $8$, $9$ viên bi màu đỏ được đánh số từ $1$ đến $9$ và $10$ viên bi màu vàng được đánh số từ $1$ đến $10$. Một người chọn ngẫu nhiên $3$ viên bi trong hộp. Tính xác suất để $3$ viên bi được chọn có số đôi một khác nhau.
A. $\frac{{772}}{{975}}$. B. $\frac{{209}}{{225}}$. C. $\frac{{512}}{{2925}}$. D. $\frac{{2319}}{{2915}}$.
Lời giải
Chọn A
Cách 1.
Số phần tử của không gian mẫu là $\left| \Omega \right| = C_{27}^3 = 2925$.
Để đếm số phần tử của không gian thuận lợi cho biến cố $A$ trong bài ta chia nhiều trường hợp theo số màu của $3$ viên bi được chọn.
TH 1: một màu.
Trường hợp này có $C_8^3 + C_9^3 + C_{10}^3 = 260$ phần tử (ứng với màu xanh, đỏ, vàng).
TH 2: hai màu.
Trường hợp này có $\underbrace {C_8^1.C_8^2 + C_8^2.C_7^1}_{} + \underbrace {C_8^1.C_9^2 + C_8^2.C_8^1}_{} + \underbrace {C_9^1.C_9^2 + C_9^2.C_8^1}_{} = 1544$ phần tử (ứng với các cặp màu xanh-đỏ, đỏ-vàng, xanh-vàng).
TH 3: ba màu.
Trường hợp này có $C_8^1.C_8^1.C_8^1 = 512$ phần tử (ứng với màu xanh, đỏ, vàng).
Như vậy $\left| {{\Omega _A}} \right| = 2316$.
Vậy xác suất của biến cố $A$ là $P = \frac{{2316}}{{2925}} = \frac{{772}}{{975}}$.
Cách 2.
Nhận thấy số viên bi mang cùng số thuộc tập hợp $X = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;…;\,\,8} \right\}$ đều là $3$, trong chỉ có $2$viên bi mang số $9$ và $1$ viên bi mang số $10$. Vì vậy để đếm số phần tử của không gian thuận lợi cho biến cố $A$ trong bài ta chia nhiều trường hợp theo việc ba viên bi có viên nào mang số $9$ hoặc số $10$ hay không.
TH 1: có đúng một viên bi mang số thuộc tập hợp $X$.
Trường hợp này có $C_8^1.3.2 = 48$ phần tử (chọn một số trong tập $X$, chọn một viên bi mang số này, chọn một viên bi mang số $9$, viên bi còn lại là viên bi mang số $10$).
TH 2: có đúng hai viên bi mang số thuộc tập hợp $X$.
Trường hợp này có $C_8^2.3.3.3 = 756$ phần tử (chọn hai số trong tập $X$, chọn một viên bi mang số thứ nhất, chọn một viên bi mang số thứ hai, chọn một viên bi trong ba viên bi mang số $9$ hoặc số $10$.
TH 3: cả ba viên bi mang số thuộc tập hợp $X$.
Trường hợp này có $C_8^3.3.3.3 = 1512$ phần tử (chọn ba số trong tập $X$, chọn lần lượt các viên bi mang các số này).
Như vậy $\left| {{\Omega _A}} \right| = 2316$.
Vậy xác suất của biến cố $A$ là $P = \frac{{2316}}{{2925}} = \frac{{772}}{{975}}$.
Câu 5. Từ 1 hộp đựng 100 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 100 lấy ngẫu nhiên 3 thẻ. Xác suất của biến cố: A=”Số ghi trên 3 thẻ là số đo 3 cạnh của một tam giác” là:
A. $\frac{{95}}{{132}}$. B.$\frac{{65}}{{132}}$. C.$\frac{{35}}{{236}}$. D.$\frac{{55}}{{236}}$.
Lờigiải
Chọn B
$n(\Omega ) = C_{100}^3 = 161700$ .
Gọi x,y, z là số ghi trên 3 thẻ được lấy ra thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đặt: ${{\rm{A}}_k} = \left\{ {(x;y;{\rm{z)/x}},y,{\rm{z}} \in \left\{ {1,2,…,100} \right\},1 \le x < y < {\rm{z = k, (x + y) > z}}} \right\}$.
$ \Rightarrow n({\rm{A}}) = \left| {{{\rm{A}}_1}} \right| + \left| {{{\rm{A}}_2}} \right| + \left| {{{\rm{A}}_3}} \right| + … + \left| {{{\rm{A}}_{100}}} \right|$
Tính Ak với $(4 \le k \le 100)$ .Dễ thấy rằng:$\left| {{{\rm{A}}_1}} \right| = \left| {{{\rm{A}}_2}} \right| = \left| {{{\rm{A}}_3}} \right| = 0$
TH1 :k chẵn,$k = 2m{\rm{ (m}} \ge {\rm{2)}}$ .
Xét $1 \le x \le m$,$ \Rightarrow k = 2m \ge 2{\rm{x}} \Rightarrow (k – x) \ge x$;$(x + y) > {\rm{z}} \Rightarrow {\rm{y > (k – x)}} \ge {\rm{x}} \Rightarrow {\rm{(k – x + 1)}} \le {\rm{y}} \le {\rm{(z}} – 1)$
Ta có số cách chọn y là:$(k – 1) – (k – x + 1) + 1 = (x – 1)$
Xét $x > m$,$ \Rightarrow (x + y) > 2{\rm{x}} > 2m = {\rm{z}}$(thỏa mãn đk) $ \Rightarrow (x + 1) \le y \le ({\rm{z – 1) = (2m – 1)}}$
Ta có số cách chọn y là:$(2m – 1) – (x + 1) + 1 = (2m – x + 1)$
Vậy,với $k = 2m{\rm{ }}$ta có:$\left| {{{\rm{A}}_k}} \right| = \sum\limits_{x = 1}^m {(x – 1) + } \sum\limits_{x = m + 1}^{2m – 1} {(2m – x – 1)} = {(m – 1)^2}$
TH2 :k lẻ,$k = (2m + 1){\rm{ (m}} \ge {\rm{2)}}$ .
Xét $1 \le x \le m$,$ \Rightarrow k = (2m + 1) > 2{\rm{x}} \Rightarrow (k – x) > x$$(x + y) > {\rm{z}} \Rightarrow {\rm{y > (k – x) > x}} \Rightarrow {\rm{(k – x + 1)}} \le {\rm{y}} \le {\rm{(z}} – 1)$
Ta có số cách chọn y là:$(k – 1) – (k – x + 1) + 1 = (x – 1)$
Xét $x > m$,ta thấy rằng :$\forall y$ sao cho $(x + 1) \le y \le ({\rm{z}} – 1)$ ta có:$(x + y) \ge x + (x + 1) = (2{\rm{x}} + 1) > (2m + 1) = {\rm{z}}$(thỏa mãn đk)
Ta có số cách chọn y là:$(2m + 1 – 1) – (x + 1) + 1 = (2m – x)$
Vậy,với $k = (2m{\rm{ + 1)}}$ta có:$\left| {{{\rm{A}}_k}} \right| = \sum\limits_{x = 1}^m {(x – 1) + } \sum\limits_{x = m + 1}^{2m} {(2m – x)} = m{(m – 1)^{}}$
$ \Rightarrow n({\rm{A}}) = \left| {{{\rm{A}}_1}} \right| + \left| {{{\rm{A}}_2}} \right| + \left| {{{\rm{A}}_3}} \right| + … + \left| {{{\rm{A}}_{100}}} \right| = (\left| {{{\rm{A}}_1}} \right| + \left| {{{\rm{A}}_3}} \right| + … + \left| {{{\rm{A}}_{99}}} \right|) + (\left| {{{\rm{A}}_2}} \right| + \left| {{{\rm{A}}_4}} \right| + … + \left| {{{\rm{A}}_{100}}} \right|)$
$ \Rightarrow n({\rm{A}}) = \sum\limits_{m = 0}^{49} {m(m – 1) + } \sum\limits_{m = 1}^{50} {{{(m – 1)}^2}} = 39200 + 40425 = 79625$
$ \Rightarrow P({\rm{A}}) = \frac{{n({\rm{A}})}}{{n(\Omega )}} = \frac{{79625}}{{161700}} = \frac{{65}}{{132}}$
Câu 6. Cho tập hợp số $A = \left\{ {1;\;2;\;3;…;2019} \right\}$. Lấy ngẫu nhiên ra hai số, tính xác suất để lấy được hai số mà bình phương số này cộng ba lần số kia đều là các số chính phương.
A. $0$. B. $\frac{1}{{C_{2009}^2}}$. C. $\frac{2}{{C_{2009}^2}}$. D. $\frac{5}{{C_{2009}^2}}$.
Lời giải
Chọn B
Gọi hai số được lấy ra đồng thời từ tập $A$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là
$x,\;y\;\left( {x,\;y \in \mathbb{Z}_ + ^*,x \ne y} \right)$.
Không làm mất tính tổng quát giả sử $x > y$.
${x^2} + 3y = {k^2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}_ + ^*,k > x} \right)$. Ta thấy rằng $4x > 3x > 3y$. Đặt $k = x + t\left( {t \ge 1} \right)$
Nếu $t \ge 2$ thì ${x^2} + 2xt + {t^2} = {k^2} \Rightarrow 2xt + {t^2} = 3y \Rightarrow 3y \ge 2xt \ge 4x$ (Vô lý)
Nên $t < 2 \Rightarrow t = 1$. Khi đó, $2x + 1 = 2y \Rightarrow x = \frac{{3y – 1}}{2},\;3x = \frac{{9y – 3}}{2} < 6y$ (*)
Tương tự: ${y^2} + 3x = {m^2}\;\left( {m \in \mathbb{Z}_ + ^*,m > y} \right)$. Đặt $m = y + z$
Nếu $z \ge 3$ thì ${m^2} = {y^2} + 2yz + {z^2} \Rightarrow 3x = 2yz + {z^2} \Rightarrow 3x \ge 2yz \ge 6y$ ( Vô lý với (*)).
Nên $z < 3 \Rightarrow z = \left\{ {1,2} \right\}$
Với $z = 1 \Rightarrow \frac{{9y – 3}}{2} = 2y + 1 \Rightarrow y = 1,\;x = 1$ (loại).
Với $z = 2 \Rightarrow \frac{{9y – 3}}{2} = 4y + 4 \Rightarrow y = 11,\;x = 16$
Suy ra:$\left( {x;y} \right) = \left( {16;11} \right)$
Số phần tử của biến cố bằng $1$.
Vậy xác suất của biến cố là $\frac{1}{{C_{2019}^2}}.$ Đáp án B.
Câu 7. Gọi $S$ là tập tất cả các số tự nhiên có $8$ chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc $S$. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho $45.$
A. $\frac{{53}}{{2268}}$. B. $\frac{{53}}{{2520}}.$. C. $\frac{{53}}{{252}}$. D. $\frac{5}{{324}}$.
Lời giải
Chọn A
Số phần tử của không gian mẫu $\left| \Omega \right| = A_{10}^8 – A_9^7.$
Gọi $A$ là biến cố chọn được số chia hết cho $45.$Gọi $B = \left\{ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \right\}$. Số chia hết cho $45$ khi và chỉ khi số đó chia hết cho 9 và chia hết cho 5. Do $0 + 1 + 2 + … + 9 = 45 \vdots 9$ nên ta có các bộ số mà tổng chia hết cho 9 là: $B\backslash \left\{ {0,9} \right\};B\backslash \left\{ {1,8} \right\};B\backslash \left\{ {2,7} \right\};B\backslash \left\{ {3,6} \right\};B\backslash \left\{ {4,5} \right\}$
TH1: Số có 8 chữ số lấy từ tập $B\backslash \left\{ {0,9} \right\}$có dạng $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} $ và chia hết cho 5 nên ${a_8} = 5$, suy ra có $7!$ số
TH2: Số có 8 chữ số lấy từ tập $B\backslash \left\{ {4,5} \right\}$có dạng $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} $ và chia hết cho 5 nên ${a_8} = 0$, suy ra có $7!$ số
TH3 :Số có 8 chữ số lấy từ tập $B\backslash \left\{ {1,8} \right\}$có dạng $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} $ và chia hết cho 5 nên có 2 trường hợp :
* ${a_8} = 0$ có $7!$ số.
* ${a_8} = 5$ có $6.6!$ số.
Suy ra trong trường hợp này có $7! + 6.6!$ số. Tương tự các trường hợp $B\backslash \left\{ {2,7} \right\},B\backslash \left\{ {3,6} \right\}$mỗi trường hợp có $7! + 6.6!$ số.
Số kết quả thuận lợp cho biến cố $A$ là $\left| {{\Omega _A}} \right| = 2.7! + 3.\left( {7! + 6.6!} \right) = 38160.$ Vậy xác suất biến cố $A$ là $p\left( A \right) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{38160}}{{A_{10}^8 – A_9^7}} = \frac{{53}}{{2268}}.$
Câu 8. Cho tập $A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}$. Gọi $X$ là tập các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ $A$. Chọn một số từ $X$, tính xác suất sao cho số được chọn có đúng $3$ chữ số chẵn
A. $\frac{4}{7}$. B. $\frac{{17}}{{35}}$. C.$\frac{{281}}{{540}}$. D. $\frac{2}{3}$.
Lời giải
Chọn C
Có $6.A_6^4 = 2160$ số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau lập từ $A$, $ \Rightarrow n\left( X \right) = 2160$
Chọn một số từ $X$, số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = 2160$
Gọi $B$là biến cố “chọn được số có đúng $3$ chữ số chẵn”
Xét: $\overline {abcde} $ là số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số chẵn
TH1: Xét bộ có 5 số trong đó có $3$ chữ số chẵn có mặt số $0$ và $2$ số lẻ. Có tất cả $C_3^2.C_3^2$ bộ.
Ứng với mỗi bộ có $4.4!$ số
Suy ra có: $C_3^2.C_3^2.4.4! = 864$ số
TH2: Xét bộ có 5 số trong đó có $3$ chữ số chẵn không có số $0$ và 2 chữ số lẻ. Có tất cả $C_3^2$ bộ.
Ứng với mỗi bộ trên có $5!$ số
Suy ra có: $C_3^2.5! = 360$ số
– Vậy số phần tử của biến cố $B$ là $n\left( B \right) = 1224$
Xác suất $P\left( A \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{281}}{{540}}$
Câu 9. Từ các chữ số $\{ 0,1;2;3;4;5,6\} $ viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} $ Tính xác suất để viết được các số thỏa mãn điều kiện ${a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6}$
A. $\frac{5}{{158}}$. B. $\frac{4}{{135}}$. C. $\frac{4}{{85}}$. D. $\frac{3}{{20}}$.
Lời giải
Chọn B
Để viết một số có 6 chữ số khác nhau bất kì ta có $n\left( \Omega \right) = 6.6.5.4.3.2 = 4320$số.
Gọi $A$ là biến cố số thỏa mãn điều kiện ${a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6}$
TH1: ${a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6} = 5$, ta có $0 + 5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 5$
– Nếu $\left( {{a_1};{a_2}} \right) = \left( {0;5} \right) \Rightarrow $có 1 cách chọn$\left( {{a_1};{a_2}} \right)$
Có 2 cách chọn $\left( {{a_3};{a_4}} \right)$, hai số này có thể đổi vị trí cho nhau nên có 4 cách chọn.
Tương tự $\left( {{a_5};{a_6}} \right)$có 2 cách chọn.
Suy ra có $1.4.2 = 8$số thỏa mãn.
– Nếu $\left( {{a_1};{a_2}} \right) \ne (0;5) \Rightarrow $có 2 cách chọn $\left( {{a_1};{a_2}} \right)$, 2 số này có thể đổi vị trí cho nhau nên có 4 cách chọn.
Có 2 cách chọn $\left( {{a_3};{a_4}} \right)$, hai số này có thể đổi vị trí cho nhau nên có 4 cách chọn.
Tương tự $\left( {{a_5};{a_6}} \right)$có 2 cách chọn.
Suy ra có $4.4.2 = 32$số thỏa mãn.
Vậy TH1 có: $8 + 32 = 40$ số thỏa mãn.
TH2: ${a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6} = 6$ta có $0 + 6 = 1 + 5 = 2 + 4 = 6$
Tương tự như TH1 có 40 số thỏa mãn.
TH3: ${a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6} = 7$, ta có $1 + 6 – 2 + 5 = 3 + 4 = 7$
Có 3 cách chọn $\left( {{a_1};{a_2}} \right)$, hai số này có thể đổi chỗ cho nhau nên có 6 cách chọn.
Tương tự có 4 cách chọn $\left( {{a_3};{a_4}} \right)$và 2 cách chọn $\left( {{a_5};{a_6}} \right)$.
Vậy TH3 có $6.4.2 = 48$ số thỏa mãn.
$n\left( A \right) = $$40 + 40 + 48 = 128$ số có 6 chữ số khác nhau thỏa mãn ${a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6}$
Vậy $P\left( A \right) = \frac{{128}}{{4320}} = \frac{4}{{135}}$.
Câu 10. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có năm chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng $\overline {abcde} $ trong đó $1 \le a \le b \le c \le d \le e \le 9$.
A. $\frac{{143}}{{10000}}$. B. $\frac{{138}}{{1420}}$. C. $\frac{{11}}{{200}}$. D. $\frac{3}{7}$
Lời giải
Chọn A
Cách 1
Lập số tự nhiên có 5 chữ số có ${9.10^4}$(số) $ \Rightarrow n(\Omega ) = {9.10^4}.$
Biến cố A:”Số được chọn có dạng $\overline {abcde} $ trong đó $1 \le a \le b \le c \le d \le e \le 9$.”
Ta có
$1 \le a \le b \le c \le d \le e \le 9 \Rightarrow 1 \le a < b + 1 < c + 2 < d + 3 < e + 4 \le 13.$
Như vậy chọn $\left\{ {a;b + 1;c + 2;d + 3;e + 4} \right\}$ có $C_{13}^5$ (cách).
$ \Rightarrow $ Chọn $\left\{ {a;b;c;d;e} \right\}$có $C_{13}^5$ (cách) $ \Rightarrow n(A) = C_{13}^5$.
Vậy $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{C_{13}^5}}{{{{9.10}^4}}} = \frac{{143}}{{10000}}$.
Cách 2
Lập số tự nhiên có 5 chữ số có ${9.10^4}$(số) $ \Rightarrow n(\Omega ) = {9.10^4}.$
Biến cố A:”Số được chọn có dạng $\overline {abcde} $ trong đó $1 \le a \le b \le c \le d \le e \le 9$.”
TH1: Số có 5 chữ số giống nhau (Số được lập từ 1 chữ số, ví dụ 11111)$ \Rightarrow $ có $C_9^1$ số.
TH2: Số được lập từ bộ 2 chữ số (Ví dụ bộ {1; 2} có 11112, 11122, 11222, 12222) $ \Rightarrow $ có $4.C_9^2$ số.
TH3: Số được lập từ bộ 3 chữ số (Ví dụ bộ {1; 2; 3} có 11123; 11223; 11233; 12223; 12233; 12333) $ \Rightarrow $ có $6.C_9^3$ số.
TH4: Số được lập từ bộ 4 chữ số (Ví dụ bộ {1; 2; 3; 4} có 11234; 12234; 12334; 12344) $ \Rightarrow $ có $4.C_9^4$ số.
TH5: Số có 5 chữ số khác nhau (VD: 12568)$ \Rightarrow $ Bộ 5 số chỉ được 1 số thỏa mãn$ \Rightarrow $ có $C_9^5$ số.
$ \Rightarrow n(A) = C_9^1 + 4.C_9^2 + 6.C_9^3 + 4.C_9^4 + C_9^5 = 1287$
Vậy $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{1289}}{{{{9.10}^4}}} = \frac{{143}}{{10000}}$.
