- Phương Pháp Tìm Cực Trị Của Hàm Số Cho Bởi Công Thức
- Phương Pháp Tìm Cực Trị Của Hàm Số Dựa Vào Bảng Biến Thiên Và Đồ Thị
- Phương Pháp Tìm m Để Hàm Số Đạt Cực Trị Tại Một Điểm
Phương pháp tìm cực trị của hàm số cho bởi công thức: Hàm bậc hai, bậc ba, trùng phương; Hàm phân thức hữu tỉ.
I. Phương pháp
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính $f’\left( x \right)$. Tìm các điểm tại đó $f’\left( x \right)$ bằng 0 hoặc $f’\left( x \right)$ không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
II. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số $y = {x^2} – 4x – 9$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Ta có: $y’ = 2x – 4$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow 2x – 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2,{y_{CT}} = – 13$.
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số $y = – {x^3} + 3{x^2} + 5$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Ta có: $y’ = – 3{x^2} + 6x$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow – 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2} \\
{x = 0}
\end{array}} \right.$
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = 2,{y_{CĐ}} = 9$ và đạt cực tiểu tại $x = 0,{y_{CT}} = 5$.
Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} – 9x + 1$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Ta có: $y’ = 3{x^2} – 6x – 9$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x – 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3} \\
{x = – 1}
\end{array}} \right.$
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = – 1,{y_{CĐ}} = 6$ và đạt cực tiểu tại $x = 3,{y_{CT}} = – 26$.
Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số $y = – 2{x^3} – 3{x^2} – 6x + 1$.
Lời giải
Tập xác định $D = \mathbb{R}$.
Ta có: $y’ = – 6{x^2} – 6x – 6$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow – 6{x^2} – 6x – 6 = 0$ (Phương trình vô nghiệm)
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Ví dụ 5. Tìm cực trị của hàm số $y = {x^4} + 4{x^2} + 1$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Ta có: $y’ = 4{x^3} + 8x$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + 8x = 0 \Leftrightarrow x = 0$.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0,{y_{CT}} = 1$.
Ví dụ 6. Tìm cực trị của hàm số $y = – {x^4} + 4{x^2} – 2$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Ta có: $y’ = – 4{x^3} + 8x$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow – 4{x^3} + 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \sqrt 2 \hfill \\
x = 0 \hfill \\
x = – \sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = \pm \sqrt 2 ,{y_{CĐ}} = 2$ và đạt cực tiểu tại $x = 0,{y_{CT}} = – 2$.
Ví dụ 7. Tìm cực trị của hàm số $y = \frac{{5x – 3}}{{x + 4}}$.
Lời giải
Tập xác định .
$y’ = \frac{{23}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \in D$.
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Chú ý: Hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ không có cực trị.
Ví dụ 8. Tìm cực trị của hàm số $y = \frac{{{x^2} – 2x + 9}}{{x – 2}}$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.
Ta có: $y’ = \frac{{{{\left( {{x^2} – 2x + 9} \right)}^\prime }\left( {x – 2} \right) – \left( {{x^2} – 2x + 9} \right){{\left( {x – 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{\left( {2x – 2} \right)\left( {x – 2} \right) – \left( {{x^2} – 2x + 9} \right).1}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{2{x^2} – 4x – 2x + 4 – {x^2} + 2x – 9}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}$$ = \frac{{{x^2} – 4x – 5}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 5 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = – 1,{y_{CĐ}} = – 4$ và đạt cực tiểu tại $x = 5,{y_{CT}} = 8$.
Ví dụ 9. Tìm cực trị của hàm số $y = \frac{{ – 4{x^2} + 12x – 1}}{{x – 3}}$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.
Ta có: $y’ = \frac{{{{\left( { – 4{x^2} + 12x – 1} \right)}^\prime }\left( {x – 3} \right) – \left( { – 4{x^2} + 12x – 1} \right){{\left( {x – 3} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{{{\left( { – 4{x^2} + 12x – 1} \right)}^\prime }\left( {x – 3} \right) – \left( { – 4{x^2} + 12x – 1} \right){{\left( {x – 3} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{\left( { – 8x + 12} \right)\left( {x – 3} \right) – \left( { – 4{x^2} + 12x – 1} \right).1}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{ – 8{x^2} + 24x + 12x – 36 + 4{x^2} – 12x + 1}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}$.
$ = \frac{{ – 4{x^2} + 24x – 35}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}$
$y’ = 0 \Leftrightarrow – 4{x^2} + 24x – 35 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \frac{7}{2} \hfill \\
x = \frac{5}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = \frac{7}{2},{y_{CĐ}} = – 16$ và đạt cực tiểu tại $x = \frac{5}{2},{y_{CT}} = – 8$.
Ví dụ 10. Tìm cực trị của hàm số $y = \sqrt {{x^2} – 6x} $.
Lời giải
Tập xác định: $D = \left( { – \infty ;0} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)$.
Ta có: $y’ = \frac{{{{\left( {{x^2} – 6x} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} – 6x} }} = \frac{{2x – 6}}{{2\sqrt {{x^2} – 6x} }} = \frac{{x – 3}}{{\sqrt {{x^2} – 6x} }}$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 3$ (loại)
Bảng biến thiên
Vậy hàm số không có cực trị.
Ví dụ 11. Tìm cực trị của hàm số $y = \sqrt {8x – 2{x^2}} $.
Lời giải
Tập xác định: $D = \left[ {0;4} \right]$.
Ta có: $y’ = \frac{{{{\left( {8x – 2{x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {8x – 2{x^2}} }} = \frac{{8 – 4x}}{{2\sqrt {8x – 2{x^2}} }} = \frac{{4 – 2x}}{{\sqrt {8x – 2{x^2}} }}$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (nhận)
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = 2$, ${y_{CĐ}} = 2\sqrt 2 $.
Ví dụ 12. Tìm cực trị của hàm số $y = {(1 – x)^3}{(3x – 8)^2}$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Ta có: $y’ = 15{(1 – x)^2}\left( {3x – 8} \right)\left( {2 – x} \right)$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{8}{3}} \\
{x = 1} \\
{x = 2}
\end{array}} \right.$
Ta có bảng biến thiên
Suy ra hàm số đạt cực đại tại $x = \frac{8}{3},{y_{CĐ}} = 0$ và hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2,{y_{CT}} = – 4$.