Phương Pháp Tìm Giao Tuyến Giữa Hai Mặt Phẳng Giải Chi Tiết

Phương pháp tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 1 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

1. Phương pháp

Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta đi tìm hai điểm chung của chúng.

Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến

Chú ý: Điểm chung của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ thường được tìm như sau:

• Tìm hai đường thẳng $a$ và $b$ lần lượt thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ cùng nằm trong một mặt phẳng $\left( R \right)$

• Giao điểm $M = a \cap b$ chính là điểm chung của mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$, đáy là tứ giác lồi $ABCD$ có các cạnh đối không song song với nhau. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $SA$. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:

a. (SAC) và (SBD)

b. $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$

c. (SBC) và (SAD)

d. $\left( {BCM} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$

e. $\left( {CDM} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$

f. (BDM) và (SAC)

Lời giải

a. Trong $mp\left( {ABCD} \right)$ :

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{AC \cap BD = \left\{ O \right\}} \\
{AC \subset \left( {SAC} \right)} \\
{BD \subset \left( {SBD} \right)}
\end{array}} \right\} \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$

Mà $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ nên $SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

b. Trong $\left( {ABCD} \right)$ ta có:

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{AB \cap CD = \left\{ F \right\}} \\
{AB \subset \left( {SAB} \right)} \\
{CD \subset \left( {SCD} \right)}
\end{array}} \right\} \Rightarrow F \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$

Mà $S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$ nên $SF = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$.

c. Trong $\left( {ABCD} \right)$ ta có:

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \cap AD = \left\{ E \right\}} \\
{BC \subset \left( {SBC} \right)} \\
{AD \subset \left( {SAD} \right)}
\end{array}} \right\} \Rightarrow E \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$

Mà $S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$ nên $SE = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$.

d. Ta có: $M \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)$

$E \in BC \cap AD \Rightarrow E \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)$

Nên $ME = \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)$.

e. Ta có: $M \in \left( {MCD} \right) \cap \left( {SAB} \right)$

$F = AB \cap CD \Rightarrow F \in \left( {MCD} \right) \cap \left( {SAB} \right)$

Vậy $MF = \left( {MCD} \right) \cap \left( {SAB} \right)$.

f. Ta có: $M \in \left( {BDM} \right) \cap \left( {SAC} \right)$

$O \in \left( {BDM} \right) \cap \left( {SAC} \right)$

Do đó $MO = \left( {BDM} \right) \cap \left( {SAC} \right)$.

Ví dụ 2. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N,P$ là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh $AB,CD,AD$. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:

a. $\left( {ABN} \right)$ và $\left( {CDM} \right)$;

b. $\left( {ABN} \right)$ và $\left( {BCP} \right)$.

Lời giải

a. Ta có $M$ và $N$ là hai điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {ABN} \right)$ và $\left( {CDM} \right)$, nên giao tuyến của hai mặt phẳng này chính là đường thẳng $MN$.

b. Trong mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ : $AN$ cắt $CP$ tại $K$. Do đó $K$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {BCP} \right)$ và $\left( {ABN} \right)$.

Mà $B$ cũng là điểm chung của hai mặt phẳng này nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $BK$.

Ví dụ 3. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {IBC} \right)$ và $\left( {JAD} \right)$.

b) Điểm $M$ nằm trên cạnh $AB$, điểm $N$ nằm trên cạnh $AC$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {IBC} \right)$ và $\left( {DMN} \right)$.

Lời giải

a) Ta có: $I \in AD \Rightarrow I \in \left( {JAD} \right) \cap \left( {IBC} \right)$.

$J \in BC \Rightarrow J \in \left( {JAD} \right) \cap \left( {IBC} \right)$.

Do đó $IJ = \left( {IBC} \right) \cap \left( {JAD} \right)$.

b) Trong mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ gọi $E = DM \cap IB$ suy ra $E \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {IBC} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ gọi $F = DN \cap IC$ suy ra $F \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {IBC} \right)$.

Do đó $EF = \left( {DMN} \right) \cap \left( {IBC} \right)$.

Ví dụ 4. Cho tứ diện $ABCD$. Điểm $M$ nằm bên trong tam giác $ABD$, điểm $N$ nằm bên trong tam giác $ACD$. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:

a) $\left( {AMN} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$.

b) $\left( {DMN} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$.

Lời giải

a) Trong mặt phẳng $(ABD)$ gọi $Q = AM \cap BD$.

Khi đó $Q \in \left( {AMN} \right) \cap (BCD)$

Tương tự gọi gọi $Q = AN \cap CD$$ \Rightarrow P \in (AMN) \cap (BCD)$.

Do vậy $PQ = (AMN) \cap (BCD)$

b) Trong mặt phẳng $(ABD)$ gọi $E = DM \cap AB$

suy ra $E \in (DMN) \cap (ABC).$

Trong mặt phẳng $(ACD)$ gọi $F = DN \cap AC$

suy ra $F \in (DMN) \cap (ABC)$

Do đó $EF = (DMN) \cap (ABC)$

Ví dụ 5. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD$ và $SO$. Tìm giao tuyến của

a) Mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$.

b) Mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

Lời giải

a) Gọi $H = NO \cap AB$, trong mặt phẳng $\left( {SHN} \right)$ dựng $NP$ cắt $SH$ tại $Q \Rightarrow Q \cap \left( {MNP} \right) \cap \left( {SAB} \right)$.

Gọi $F = NM \cap AB \Rightarrow F \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SAB} \right)$.

Do đó $QF = \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right)$.

b) Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$, gọi $E = QF \cap SB \Rightarrow E = \left( {SBC} \right) \cap \left( {MNP} \right)$

Do đó $ME = \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBC} \right)$.