Các Dạng Trắc Nghiệm Đúng Sai Biểu Thức Tọa Độ Các Phép Toán Vectơ Lớp 12

Các dạng trắc nghiệm đúng sai biểu thức tọa độ các phép toán vectơ lớp 12 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec a = \left( {1;2;3} \right),\,\,\vec b = \left( {3;6;9} \right).$

a) $\vec b – \vec a = \left( {2;4;6} \right)$

b) $\vec a$ và $\vec b$ cùng phương

c) $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 6 $

d) $ – \overrightarrow b = 3\overrightarrow i + 6\overrightarrow j + 9\overrightarrow k $

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) $\vec b – \vec a = \left( {3 – 1;6 – 2;9 – 3} \right) = \left( {2;4;6} \right)$ nên a đúng.

b) Ta có: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9}$$ \Rightarrow $$\vec a$ và $\vec b$ cùng phương nên b đúng.

c) $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {14} $ nên c sai.

d) $ – \overrightarrow b = \left( { – 3; – 6; – 9} \right) = – 3\overrightarrow i – 6\overrightarrow j – 9\overrightarrow k $ nên d sai.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz,$ cho vectơ $\vec a = \left( {2; – 2; – 4} \right),\,\,\vec b = \left( {1; – 1;1} \right).$

a) $\vec a + \vec b = \left( {3; – 3; – 3} \right)$

b) $\vec a$ và $\vec b$ cùng phương

c) $\left| {\vec b} \right| = \sqrt 3 $

d) $\vec a = 2\overrightarrow i – 2\overrightarrow j – 4\overrightarrow k $

Lời giải

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) $\vec a + \vec b = \left( {3; – 3; – 3} \right)$ đúng.

b) $\vec a = 2\left( {1; – 1; – 2} \right) \ne \vec b = \left( {1; – 1;1} \right)$. Suy ra $\vec a$ và $\vec b$ không cùng phương. Suy ra b sai.

c) $\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{1^2} + {{( – 1)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 $ đúng.

d) $\vec a = \left( {2; – 2; – 4} \right) = 2\overrightarrow i – 2\overrightarrow j – 4\overrightarrow k $ đúng.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a = (2;1; – 2)$, $\vec b = (0; – 1;1)$.

a) $\left| {\vec a} \right| = 3$

b) $\vec a + \overrightarrow b = (2;0; – 1)$.

c) $\vec a.\overrightarrow b = – 1$

d) Góc giữa hai vectơ $\vec a,\vec b$ bằng ${60^\circ }$.

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) $\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( – 2)}^2}} = 3$ nên a đúng.

b) $\vec a + \overrightarrow b = (2 + 0;1 + ( – 1); – 2 + 1) = (2;0; – 1)$ nên b đúng.

c) $\vec a.\overrightarrow b = 2.0 + 1.( – 1) + ( – 2).1 = – 3$ nên c sai.

d) $cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{2.0 + 1.( – 1) + ( – 2).1}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( – 2)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {{( – 1)}^2} + {1^2}} }}$

$ = \frac{{ – 3}}{{3.\sqrt 2 }} = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {135^0}$ nên d sai.

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho các vectơ $\vec c = (3,4,0)$ và $\vec d = (1, – 2,2)$ .

a) $\left| {\vec c} \right| = 5$

b) $\vec c + \vec d = (4,2,2)$

c) $\vec c \cdot \vec d = 1$

d) Góc giữa hai vectơ $\vec c,\vec d$ bằng ${90^\circ }$.

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) $\left| {\vec c} \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}} = 5$ nên a đúng.

b) $\vec c + \vec d = (3 + 1,4 + ( – 2),0 + 2) = (4,2,2)$nên b đúng.

c) Tính tích vô hướng của $\vec c$ và $\vec d$:

$\vec c \cdot \vec d = 3.1 + 4.( – 2) + 0.2 = – 5$nên c sai.

d) Tính góc giữa hai vectơ $\vec c$ và $\vec d$:

$cos\left( {\overrightarrow c ,\overrightarrow d } \right) = \frac{{\overrightarrow c .\overrightarrow d }}{{\left| {\overrightarrow c } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|}} = \frac{{3.1 + 4.( – 2) + 0.2}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {{( – 2)}^2} + {2^2}} }} = – \frac{1}{3}$

$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow c ,\overrightarrow d } \right) \approx {109^0}$ nên d sai.

Câu 5. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow {\,a\,} = \left( {2;\,3;\,1} \right)$, $\overrightarrow {\,b\,} = \left( { – 1;\,5;\,2} \right)$, $\overrightarrow {\,c\,} = \left( {4;\, – 1;\,3} \right)$ và $\overrightarrow {\,x\,} = \left( { – 3;\,22;\,5} \right)$.

a) $\left| {2\overrightarrow {\,a\,} } \right| = \sqrt {14} $.

b) $\left| {\overrightarrow {\,a\,} + \overrightarrow {\,b\,} } \right| = \sqrt {74} $.

c) $3\overrightarrow {\,a\,} – 2\overrightarrow {\,c\,} = \left( { – 2;11; – 3} \right)$.

d) $\overrightarrow {\,x\,} = – 2\overrightarrow {\,a\,} – 3\overrightarrow {\,b\,} + \overrightarrow {\,c\,} $.

Lời giải

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) $2\overrightarrow a = \left( {4;6;2} \right)$

$ \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {\,a\,} } \right| = \sqrt {{4^2} + {6^2} + {2^2}} = 2\sqrt {14} $ nên a sai.

b) $\overrightarrow {\,a\,} + \overrightarrow {\,b\,} = \left( {1;8;3} \right)$

$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {\,a\,} + \overrightarrow {\,b\,} } \right| = \sqrt {{1^2} + {8^2} + {3^2}} = \sqrt {74} $ nên b đúng.

c) $3\overrightarrow {\,a\,} – 2\overrightarrow {\,c\,} = \left( {6;9;3} \right) – \left( {8; – 2;6} \right) = \left( { – 2;11; – 3} \right)$ nên c đúng.

d) Đặt: $\overrightarrow {\,x\,} = m.\overrightarrow {\,a\,} + n.\overrightarrow {\,b\,} + p.\overrightarrow {\,c\,} $, $m,n,p \in \mathbb{R}$.

$ \Rightarrow \left( { – 3;\,22;\,5} \right) = m.\left( {2;\,3;\,1} \right) + n.\left( { – 1;\,5;\,2} \right) + p.\left( {4;\, – 1;\,3} \right)$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
2m – n + 4p = – 3 \hfill \\
3m + 5n – p = 22 \hfill \\
m + 2n + 3p = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $\left( I \right)$.

Giải hệ phương trình $\left( I \right)$ ta được: $\left\{ \begin{gathered}
m = 2 \hfill \\
n = 3 \hfill \\
p = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

Vậy $\overrightarrow {\,x\,} = 2\overrightarrow {\,a\,} + 3\overrightarrow {\,b\,} – \overrightarrow {\,c\,} $ nên d sai.

Câu 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {2; – 5;3} \right)$, $\vec b = \left( {0;2; – 1} \right)$, $\vec c = \left( {1;7;2} \right)$

a) $\vec u = 3\vec a – \vec b + 5\vec c$ với $\vec u = \left( {11;22;18} \right)$.

b) $\vec x = \frac{1}{2}\vec a – \frac{4}{3}\vec b – 2\vec c$ với $\vec x = \left( { – 1; – \frac{{115}}{6}; – \frac{7}{6}} \right)$.

c) $\overrightarrow {\,v\,} = \overrightarrow {\,a\,} + \overrightarrow {\,b\,} $ với $\overrightarrow {\,v\,} = 2\overrightarrow i – 3\overrightarrow j + 2\overrightarrow k $.

d) $\overrightarrow {\,y\,} = \overrightarrow {\,b\,} – \overrightarrow {\,c\,} $ với $\overrightarrow {\,y\,} = – \overrightarrow i + 5\overrightarrow j – 3\overrightarrow k $.

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) $\vec u = 3\vec a – \vec b + 5\vec c$ với $\vec u = \left( {11;22;18} \right)$. Đúng

+ Ta có: $\left\{ \begin{gathered}
3\vec a = \left( {6; – 15;9} \right) \hfill \\
\vec b = \left( {0; – 2;1} \right) \hfill \\
5\vec c = \left( {5;35;10} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow 3\vec a – \vec b + 5\vec c = \left( {11;22;18} \right) = \vec u$

b) $\vec x = \frac{1}{2}\vec a – \frac{4}{3}\vec b – 2\vec c$ với $\vec x = \left( { – 1; – \frac{{115}}{6}; – \frac{7}{6}} \right)$. Đúng

+ Ta có: $\left\{ \begin{gathered}
\frac{1}{2}\vec a = \left( {1; – \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right) \hfill \\
\frac{4}{3}\vec b = \left( {0;\frac{8}{3}; – \frac{4}{3}} \right) \hfill \\
2\vec c = \left( {2;14;4} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Rightarrow \frac{1}{2}\vec a – \frac{4}{3}\vec b – 2\vec c = \left( { – 1; – \frac{{115}}{6}; – \frac{7}{6}} \right) = \vec x$

c) $\overrightarrow {\,v\,} = \overrightarrow {\,a\,} + \overrightarrow {\,b\,} $ với $\overrightarrow {\,v\,} = 2\overrightarrow i – 3\overrightarrow j + 2\overrightarrow k $. Đúng

$\overrightarrow {\,v\,} = \overrightarrow {\,a\,} + \overrightarrow {\,b\,} \Rightarrow \overrightarrow {\,v\,} = \left( {2; – 3;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {\,v\,} = 2\overrightarrow i – 3\overrightarrow j + 2\overrightarrow k $

d) $\overrightarrow {\,y\,} = \overrightarrow {\,b\,} – \overrightarrow {\,c\,} $ với $\overrightarrow {\,y\,} = – \overrightarrow i + 5\overrightarrow j – 3\overrightarrow k $. Sai

$\overrightarrow {\,y\,} = \overrightarrow {\,b\,} – \overrightarrow {\,c\,} \Rightarrow \overrightarrow {\,y\,} = \left( { – 1; – 5; – 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {\,y\,} = – \overrightarrow i – 5\overrightarrow j – 3\overrightarrow k $

DẠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ

Câu 7. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {2\,;\,1\,\,;\, – 3} \right)$, $\overrightarrow b = \left( { – 4\,;\, – 2\,\,;\,6} \right)$.

a) $\overrightarrow b = – 2\overrightarrow a $.

b) $\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = 0$.

c) $\overrightarrow a $ ngược hướng với $\overrightarrow b $.

d) $\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow a } \right|$.

Lời giải

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a)$\overrightarrow b = \left( { – 4\,;\, – 2\,\,;\,6} \right)$

$ – 2\overrightarrow a = ( – 4;2; – 6)$

$ \Rightarrow \overrightarrow b = – 2\overrightarrow a $ nên a đúng

b) $\overrightarrow a .\,\overrightarrow b = 2.( – 4) + 1.( – 2) + ( – 3).6 = – 28$ nên b sai.

c) Ta có: $\frac{2}{{ – 4}} = \frac{1}{{ – 2}} = \frac{{ – 3}}{6} < 0$

$ \Rightarrow $$\overrightarrow a $ ngược hướng với $\overrightarrow b $ nên c đúng.

d) $\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{( – 4)}^2} + {{( – 2)}^2} + {6^2}} = 2\sqrt {14} $

$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( – 3)}^2}} = \sqrt {14} \Rightarrow 2\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\sqrt {14} $

Suy ra $\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow a } \right|$nên d đúng

Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow a = \left( {1; – 2;3} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {1;1; – 1} \right)$.

a) $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 2$.

b) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = – 4$.

c) $\left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right| = 5$.

d) $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $.

Lời giải

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

a) $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 – 1} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 1 + 4} = 3 \ne 2$ (Sai).

b) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.1 + \left( { – 2} \right).1 + 3.\left( { – 1} \right) = 1 – 2 – 3 = – 4$ (đúng).

c) $\left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {1 – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2 – 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {0 + 9 + 16} = 5$ (đúng).

d) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.1 + \left( 2 \right)1 + 3.\left( { – 1} \right) = 0$ $ \Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b $ (đúng).

Câu 9. Biết $\overrightarrow c \, = \,\left( {x;\,y;\,z} \right)$ khác $\overrightarrow 0 $ và vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow a \, = \,\left( {1\,;\,3\,;\,4} \right)\,,\,\overrightarrow b = \,\left( { – 1\,;\,2\,;\,3} \right)$.

a) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 15$.

b) $\left| {\overrightarrow a \,} \right| = \,5$.

c) ${\overrightarrow b ^2} = 14$.

d) $7\,x\, + \,y\, = \,0$.

Lời giải

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.( – 1) + 3.2 + 4.3 = 17$ nên a sai.

b) $\left| {\overrightarrow a \,} \right| = \,\sqrt {{1^2} + {3^2} + {4^2}} = \sqrt {26} $ nên b sai.

c) ${\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {( – 1)^2} + {2^2} + {3^2} = 14$ nên c đúng.

d) Theo giả thiết ta có $\overrightarrow c \, = \,\left( {x;\,y;\,z} \right)$ khác $\overrightarrow 0 $ và vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow a \, = \,\left( {1\,;\,3\,;\,4} \right)\,,\,\overrightarrow b = \,\left( { – 1\,;\,2\,;\,3} \right)$ nên

$\left\{ \begin{gathered}
\overrightarrow c \,\,.\,\,\overrightarrow a \, = \,0 \hfill \\
\overrightarrow c \,\,.\,\,\overrightarrow b = \,0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{gathered}
1\,x + 3\,y + 4\,z\, = \,0 \hfill \\
– 1\,x + 2\,y + 3\,z\, = \,0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\,$

$ \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{gathered}
1\,x + 3\,y + 4\,z\, = \,0 \hfill \\
5\,y\, + 7\,z = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\,$$ \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{gathered}
1\,x + 3\,y + 4\,.\,\frac{{ – 5}}{7}\,y = 0 \hfill \\
z = \frac{{ – 5}}{7}\,y \hfill \\
\end{gathered} \right.\,$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{gathered}
7\,x + \,y\, = \,0 \hfill \\
5\,y\, + 7\,z = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Câu 10. Trong Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(0;0;3)$, $B(0;0; – 1)$, $C(1;0; – 1)$, $D(0;1; – 1)$.

a) $AB \bot BD$.

b) $AB \bot BC$.

c) $AB \bot AC$.

d) $AB \bot CD$.

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = (0;0; – 4),\overrightarrow {AC} = (1;0; – 4) \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 16 \ne 0 \Rightarrow AB$ và $AC$ không vuông góc.

Làm tương tự ta có:

b) $AB \bot BC$. Sai

c) $AB \bot AC$. đúng

d) $AB \bot CD$. đúng

DẠNG 3: ĐỘ DÀI ĐƯỜNG THẲNG-TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM

Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $A B C$ với $A(1 ;-3 ; 3)$; $B(2 ;-4 ; 5), C(a ;-2 ; b)$ nhận điểm $G(1 ; c ; 3)$ làm trọng tâm của nó.

a) Nếu $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì tọa độ điểm là $M\left( {\frac{3}{2}; – \frac{7}{2};4} \right)$.

b) Tọa độ vectơ là $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow i – \overrightarrow j – 2\overrightarrow k $

c) $2024a + 2025b = 2025$

d) $a + b + c = – 2$

Lời giải

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ nên $M\left( {\frac{3}{2}; – \frac{7}{2};4} \right)$ nên a đúng.

b) Tọa độ vectơ là $\overrightarrow {AB} = \left( {1; – 1;2} \right) = \overrightarrow i – \overrightarrow j + 2\overrightarrow k $ nên b sai.

c) làm trọng tâm tam giác nên

$G(1;c;3)$ làm trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 = \frac{{1 + 2 + a}}{3}} \\
{c = \frac{{ – 3 – 4 – 2}}{3}} \\
{3 = \frac{{3 + 5 + b}}{3}}
\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 0} \\
{b = 1} \\
{c = – 3}
\end{array}} \right.$

Vậy $2024a + 2025b = 2025$ nên c đúng.

d) $a + b + c = – 2$ nên d đúng.

Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm $A(0;1; – 2)$ và $B(3; – 1;1)$. Tọa độ điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ thỏa mãn $\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AB} $.

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {3; – 2;3} \right)$.

b) $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 4$.

c) Trung điểm đoạn $AB$ là $I\left( {\frac{3}{2};0; – \frac{1}{2}} \right)$ .

d) $x + y + z = 11$.

Lời giải

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {3 – 0; – 1 – 1;1 – ( – 2)} \right) = \left( {3; – 2;3} \right)$ nên a đúng.

b) $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{( – 2)}^2} + {3^2}} = \sqrt {22} $ nên b sai.

c) Trung điểm đoạn $AB$ là $I\left( {\frac{3}{2};0; – \frac{1}{2}} \right)$ nên c đúng.

d) Gọi $M(x;y;z)$. Ta có: $\overrightarrow {AM} = (x;y – 1;z + 2);\overrightarrow {AB} = (3; – 2;3)$. $\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 9} \\
{y – 1 = – 6} \\
{z + 2 = 9}
\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 9} \\
{y = – 5.} \\
{z = 7}
\end{array}} \right.$

Vậy $x + y + z = 11$ nên d đúng.

Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $A(0;0;0),B(3;0;0),D(0;3;0),D'(0;3; – 3)$. Toạ độ trọng tâm tam giác ${A^\prime }{B^\prime }C$ là $G\left( {{x_G};{y_G};{z_G}} \right)$.

a) Điểm $C\left( {3;3;0} \right)$.

b) Điểm $A'(0;0; – 3)$.

c) $OB’ = 3$.

d) ${x_G} – 2{y_G} – 3{z_G} = – 6$.

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = (3;0;0)$. Gọi $C(x,y;z) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = (x;y – 3;z)$

$ABCD$ là hình bình hành $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow (x;y;z) = (3;3;0)$

$ \Rightarrow C(3;3;0)$ nên a đúng.

b) Ta có $\overrightarrow {AD} = (0;3;0)$. Gọi ${A^\prime }\left( {{x^\prime };{y^\prime };{z^\prime }} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{A^\prime }{D^\prime }} = \left( { – {x^\prime };3 – {y^\prime }; – 3 – {z^\prime }} \right)$

$AD{D^\prime }{A^\prime }$ là hình bình hành $ \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {{A^\prime }{D^\prime }} \Rightarrow \left( {{x^\prime };{y^\prime };{z^\prime }} \right) = (0;0; – 3)$

$ \Rightarrow {A^\prime }(0;0; – 3)$ nên b đúng.

c) Goi ${B^\prime }\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} = \left( {{x_0};{y_0};{z_0} + 3} \right)$

$AB{B^\prime }{A^\prime }$ là hình bình hành $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} $$ \Rightarrow \left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) = (3;0; – 3) \Rightarrow {B^\prime }(3;0; – 3)$

$ \Rightarrow {B^\prime }(3;0; – 3)$$ \Rightarrow OB’ = \sqrt {{3^2} + {0^2} + {{( – 3)}^2}} = 3\sqrt 2 $ nên c sai.

d) $G$ là trọng tâm tam giác $ABC \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_G} = \frac{{0 + 3 + 3}}{3} = 2} \\
{{y_G} = \frac{{0 + 0 + 3}}{3} = 1} \\
{{z_G} = \frac{{ – 3 – 3 + 0}}{3} = – 2}
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow G(2;1; – 2)$.

Suy ra, ${x_G} – 2{y_G} – 3{z_G} = 6$ nên d sai.

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2; – 1),B(2; – 1;3)$ , $C( – 4;7;5)$. Tọa độ chân đường phân giác trong góc $B$ của tam giác $ABC$ là $D(a;b;c)$.

a) $\overrightarrow {CB} = \left( {6; – 8; – 2} \right)$.

b) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 3$.

c) Tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G\left( { – \frac{1}{2};4;\frac{7}{2}} \right)$

d) $a + b + c = 4$.

Lời giải

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) $\overrightarrow {CB} = \left( {2 – ( – 4); – 1 – 7;3 – 5} \right) = \left( {6; – 8; – 2} \right)$ nên a đúng.

b) $\overrightarrow {AB} = \left( {1; – 3;4} \right)$ ; $\overrightarrow {AC} = \left( { – 5;5;6} \right)$

$ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 1.( – 5) + ( – 3).5 + 4.6 = 4$ nên b sai

c) Tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G\left( { – \frac{1}{3};\frac{8}{3};\frac{7}{3}} \right)$ nên c sai.

d) Ta có: $\overrightarrow {BA} = ( – 1; – 3;4) \Rightarrow |\overrightarrow {BA} | = \sqrt {26} ;\overrightarrow {BC} = ( – 6;8;2) \Rightarrow |\overrightarrow {BC} | = 2\sqrt {26} $.

Gọi $D$ là chân đường phân giác trong kẻ từ $B$ lên $AC$ của tam giác $ABC$

Suy ra: $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} \Rightarrow \overrightarrow {DC} = – 2\overrightarrow {DA} \Rightarrow D\left( { – \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};1} \right)$.

Do đó, $a + b + c = 4$ nên d đúng.