- Các Dạng Bài Tập Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Trắc Nghiệm Đúng Sai Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trả Lời Ngắn Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Trắc Nghiệm Nguyên Hàm Thỏa Điều Kiện Cho Trước Giải Chi Tiết
- Các Dạng Câu Hỏi Trả Lời Ngắn Nguyên Hàm Thỏa Điều Kiện Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Ứng Dụng Thực Tế Của Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Về Tích Phân Năm Học 2024-2025 Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Tích Phân Có Điều Kiện Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Trắc Nghiệm Tích Phân Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Đúng Sai Tích Phân Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Ứng Dụng Tích Phân Trong Thực Tiễn Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Tích Phân Hàm Ẩn Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Trắc Nghiệm Ứng Dụng Tích Phân Để Tính Diện Tích Hình Phẳng
Các dạng bài tập về nguyên hàm giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:
Chú ý:
$\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C$ với $\alpha \ne – 1$;
$\int {kdx = k} x + C$;
$\int {kf(x)dx = k} \int {f(x)dx} $;
$\int {\left( {f(x) + g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} $;
$\int {\left( {f(x) – g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} – \int {g(x)dx} $.
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = {x^9}$; b) $f(x) = 5{x^3}$; c) $f(x) = {x^7} + 2025$;
Lời giải
a) $\int {f(x)dx} = \int {{x^9}dx} = \frac{{{x^{9 + 1}}}}{{9 + 1}} + C = \frac{{{x^{10}}}}{{10}} + C$;
b) $\int {f(x)dx} = \int {5{x^3}dx} = 5\int {{x^3}dx} = 5.\frac{{{x^{3 + 1}}}}{{3 + 1}} + C = \frac{{5{x^4}}}{4} + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {{x^7} + 2025} \right)dx} = \int {{x^7}dx} + \int {2025dx} $
$ = \frac{{{x^{7 + 1}}}}{{7 + 1}} + 2025x + C = \frac{{{x^8}}}{8} – 2025x + C$
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = {x^5} – {x^2}$; b) $f(x) = 4{x^3} – 3{x^4}$; c) $f(x) = {x^3} + 4x + 2$;
Lời giải
a) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {{x^5} – {x^2}} \right)dx} = \int {{x^5}dx – } \int {{x^2}dx} $
$ = \frac{{{x^{5 + 1}}}}{{5 + 1}} – \frac{{{x^{2 + 1}}}}{{2 + 1}} + C = \frac{{{x^6}}}{6} – \frac{{{x^3}}}{3} + C$;
b) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {4{x^3} – 3{x^4}} \right)dx} = \int {4{x^3}dx – } \int {3{x^4}dx} $
$ = 4\int {{x^3}dx – 3} \int {{x^4}dx} = 4.\frac{{{x^{3 + 1}}}}{{3 + 1}} – 3.\frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + C$
$ = {x^4} – \frac{{3{x^5}}}{5} + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {{x^3} + 4x + 2} \right)dx} = \int {{x^3}dx + } \int {4xdx} + \int {2dx} $
$ = \frac{{{x^{3 + 1}}}}{{3 + 1}} + 4.\frac{{{x^{1 + 1}}}}{{1 + 1}} + 2x + C = \frac{{{x^4}}}{4} + 2{x^2} + 2x + C$
Ví dụ 3: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}$ b) $f(x) = \frac{5}{{{x^4}}}$ c) $f(x) = – \frac{6}{{{x^7}}}$
Lời giải
a) $\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \int {{x^{ – 3}}dx} = \frac{{{x^{ – 3 + 1}}}}{{ – 3 + 1}} + C$
$ = \frac{{{x^{ – 2}}}}{{ – 2}} + C = – \frac{1}{{2{x^2}}} + C$
b) $\int {f(x)dx} = \int {\frac{5}{{{x^4}}}dx} = \int {5{x^{ – 4}}dx} = 5\int {{x^{ – 4}}dx} $
$ = 5.\frac{{{x^{ – 4 + 1}}}}{{ – 4 + 1}} + C = 5.\frac{{{x^{ – 3}}}}{{ – 3}} + C = 5.\frac{{{x^{ – 3}}}}{{ – 3}} + C = – \frac{5}{{3{x^3}}} + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {\left( { – \frac{6}{{{x^7}}}} \right)dx} = – 6\int {\frac{1}{{{x^7}}}dx} = – 6\int {{x^{ – 7}}dx} $
$ = – 6.\frac{{{x^{ – 7 + 1}}}}{{ – 7 + 1}} + C$$ = – 6.\frac{{{x^{ – 6}}}}{{ – 6}} + C = {x^{ – 6}} + C = \frac{1}{{{x^6}}} + C$
Ví dụ 4: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = \sqrt[3]{x}$ b) $f(x) = \sqrt x $ c) $f(x) = 3\sqrt[4]{x}$ d) $f(x) = \frac{1}{{\sqrt[7]{x}}}$
Lời giải
a) $\int {f(x)dx} = \int {\sqrt[3]{x}dx} = \int {{x^{\frac{1}{3}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C$
$ = \frac{{{x^{\frac{4}{3}}}}}{{\frac{4}{3}}} + C = \frac{{3{x^{\frac{4}{3}}}}}{4} + C = \frac{{3\sqrt[3]{{{x^4}}}}}{4} + C$
b) $\int {f(x)dx} = \int {\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C$
$ = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{{2{x^{\frac{3}{2}}}}}{3} + C = \frac{{2\sqrt {{x^3}} }}{3} + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {3\sqrt[4]{x}dx} = 3\int {\sqrt[4]{x}dx} = 3\int {{x^{\frac{1}{4}}}dx} $
$ = 3.\frac{{{x^{\frac{1}{4} + 1}}}}{{^{\frac{1}{4} + 1}}} + C = 3.\frac{{{x^{\frac{5}{4}}}}}{{^{\frac{5}{4}}}} + C = \frac{{12{x^{\frac{5}{4}}}}}{{^5}} + C = \frac{{12\sqrt[4]{{{x^5}}}}}{{^5}} + C$
d) $\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt[7]{x}}}dx} = \int {\frac{1}{{{x^{\frac{1}{7}}}}}dx} = \int {{x^{ – \frac{1}{7}}}dx} $
$ = \frac{{{x^{ – \frac{1}{7} + 1}}}}{{ – \frac{1}{7} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{6}{7}}}}}{{\frac{6}{7}}} + C = \frac{{7{x^{\frac{6}{7}}}}}{6} + C = \frac{{7\sqrt[7]{{{x^6}}}}}{6} + C$
Ví dụ 5: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = \frac{9}{x}$ b) $f(x) = \frac{1}{x} – 5$ c) $f(x) = \frac{1}{{3x + 2}}$ d) $f(x) = \frac{5}{{2x – 7}}$
Lời giải
Chú ý:
$\int {\frac{1}{x}dx = \ln } \left| x \right| + C$
$\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{1}{a}\ln } \left| {ax + b} \right| + C$
a) $\int {f(x)dx} = \int {\frac{9}{x}dx} = 9\int {\frac{1}{x}dx} = 9.\ln \left| x \right| + C$
b) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{1}{x} – 5} \right)dx} = \int {\frac{1}{x}dx} – \int {5dx} = \ln \left| x \right| – 5x + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{{3x + 2}}dx} = \frac{1}{3}\ln \left| {3x + 2} \right| + C$
d $\int {f(x)dx} = \int {\frac{5}{{2x – 7}}dx} = 5\int {\frac{1}{{2x – 7}}dx} $
$ = 5.\frac{1}{2}\ln \left| {2x – 7} \right| + C = \frac{5}{2}\ln \left| {2x – 7} \right| + C$
Ví dụ 6: Tính nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = {x^3}$ biết $F(1) = \frac{3}{4}$.
Lời giải
Ta có: $F(x) = \int {f(x)dx} = \int {{x^3}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + C$.
Theo đề cho $F(1) = \frac{3}{4}$ nên $\frac{{{1^4}}}{4} + C = \frac{3}{4} \Leftrightarrow C = \frac{3}{4} – \frac{1}{4} \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}$
Vậy $F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{1}{2}$
Ví dụ 7: Tính nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 3{x^{2025}}$ biết $F( – 1) = \frac{{2029}}{{2026}}$.
Lời giải
Ta có: $F(x) = \int {f(x)dx} = \int {3{x^{2025}}dx} $
$ = 3\int {{x^{2025}}dx} = 3.\frac{{{x^{2026}}}}{{2026}} + C = \frac{{3{x^{2026}}}}{{2026}} + C$.
Theo đề cho $F( – 1) = \frac{{2029}}{{2026}}$
nên $\frac{{3{{( – 1)}^{2026}}}}{{2026}} + C = \frac{{2029}}{{2026}} \Leftrightarrow \frac{3}{{2026}} + C = \frac{{2029}}{{2026}}$
$ \Leftrightarrow C = \frac{{2029}}{{2026}} – \frac{3}{{2026}} \Leftrightarrow C = 1$
Vậy $F(x) = \frac{{3{x^{2026}}}}{{2026}} + 1$
Dạng 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác:
Chú ý:
$\int {cosxdx = \sin x} + C$; $\int {cos\left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)} + C$;
$\int {\sin xdx = – cosx} + C$; $\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx = – \frac{1}{a}cosx\left( {ax + b} \right)} + C$;
$\int {\frac{1}{{co{s^2}x}}dx = \tan x} + C$;
$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = – \cot x} + C$;
Ví dụ 8: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = 7cosx$ b) $f(x) = 5\sin x$ c) $f(x) = \sin 3x$ d) $f(x) = cos\frac{x}{4}$ e) $f(x) = 2cosx – 3\sin x$
Lời giải
a) $\int {f(x)dx} = \int {7cosxdx} = 7\int {cosxdx} = 7\sin x + C$
b) $\int {f(x)dx} = \int {5\sin xdx} = 5\int {\sin xdx} $
$ = 5\left( { – cosx} \right) + C = – 5cosx + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {\sin 3xdx} = – \frac{1}{3}cosx + C$
d) $\int {f(x)dx} = \int {cos\frac{x}{4}dx} = \frac{1}{{\frac{1}{4}}}\sin x + C = 4\sin x + C$
e) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {2cosx – 3\sin x} \right)dx} = \int {2cosxdx} – \int {3\sin xdx} $
$ = 2\int {cosxdx} – 3\int {\sin xdx} = 2\sin x + 3cosx + C$
Ví dụ 9: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = \frac{{10}}{{co{s^2}x}}$ b) $f(x) = \frac{{2025}}{{{{\sin }^2}x}}$ c) $f(x) = \frac{{11}}{{co{s^2}x}} + \frac{3}{{si{n^2}x}}$
Lời giải
a) $\int {f(x)dx} = \int {\frac{{10}}{{co{s^2}x}}dx} = 10\int {\frac{1}{{co{s^2}x}}dx} = 10\tan x + C$
b) $\int {f(x)dx} = \int {\frac{{2025}}{{{{\sin }^2}x}}dx} = 2025\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} $
$ = 2025\left( { – \cot x} \right) + C = – 2025\cot x + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{{11}}{{co{s^2}x}} + \frac{3}{{si{n^2}x}}} \right)dx} = \int {\frac{{11}}{{co{s^2}x}}dx} + \int {\frac{3}{{si{n^2}x}}dx} $
$ = 11\int {\frac{1}{{co{s^2}x}}dx} + 3\int {\frac{1}{{si{n^2}x}}dx} = 11\tan x – 3\cot x + C$
Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số mũ
Chú ý:
$\int {{e^x}dx = {e^x}} + C$; $\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$
$\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} + C$
Ví dụ 10: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = 15{e^x}$ b) $f(x) = {e^{9x}}$ c) $f(x) = {15^x} + {17^x}$ d) $f(x) = {2025^x} – 9{e^x}$
Lời giải
a) $\int {f(x)dx} = \int {15{e^x}dx} = 15\int {{e^x}dx} = 15{e^x} + C$
b) $\int {f(x)dx} = \int {{e^{9x}}dx} = \frac{1}{9}{e^{9x}} + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {{{15}^x} + {{17}^x}} \right)dx} = \int {{{15}^x}dx} + \int {{{17}^x}dx} $
$ = \frac{{{{15}^x}}}{{\ln 15}} + \frac{{{{17}^x}}}{{\ln 17}} + C$
d) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {{{2025}^x} – 9.{e^x}} \right)dx} = \int {{{2025}^x}dx} – \int {9.{e^x}dx} $
$ = \frac{{{{2025}^x}}}{{\ln 2025}} – 9{e^x} + C$
4. Nguyên hàm của hàm số tổng hợp đơn giản
Chú ý:
${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$
${\left( {a – b} \right)^2} = {a^2} – 2ab + {b^2}$
Ví dụ 11: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = {\left( {3x + \frac{1}{x}} \right)^2}$ b) $f(x) = {\left( {{e^x} – 3} \right)^2}$ c) $f(x) = {\left( {\sin \frac{x}{2} + cos\frac{x}{2}} \right)^2}$ d) $f(x) = {\left( {{5^x} – {3^x}} \right)^2}$
Lời giải
a) $\int {f(x)dx} = \int {{{\left( {3x + \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \int {\left( {9{x^2} + 6 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} $
$ = \int {9{x^2}dx} + \int {6dx} + \int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = 9.\frac{{{x^3}}}{3} + 6x – \frac{1}{x} + C$
$ = 3{x^3} + 6x – \frac{1}{x} + C$
b) $\int {f(x)dx} = \int {{{\left( {{e^x} – 3} \right)}^2}dx} = \int {\left( {{e^{2x}} – 6{e^x} + 9} \right)dx} $
$ = \int {{e^{2x}}dx} – \int {6{e^x}dx} + \int {9dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} – 6{e^x} + 9x + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + cos\frac{x}{2}} \right)}^2}dx} $
$ = \int {\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}cos\frac{x}{2} + co{s^2}\frac{x}{2}} \right)dx} $
$ = \int {\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + co{s^2}\frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}cos\frac{x}{2}} \right)dx} $
$ = \int {\left( {1 + \sin x} \right)dx} = x – cosx + C$
d) $\int {f(x)dx} = \int {{{\left( {{5^x} – {3^x}} \right)}^2}dx} = \int {\left( {{{\left( {{5^x}} \right)}^2} – {{2.5}^x}{{.3}^x} + {{\left( {{3^x}} \right)}^2}} \right)dx} $
$ = \int {\left( {{{25}^x} – {{2.15}^x} + {9^x}} \right)dx} $$ = \int {{{25}^x}dx} – \int {{{2.15}^x}dx} + \int {{9^x}dx} $
$ = \frac{{{{25}^x}}}{{\ln 25}} – 2.\frac{{{{15}^x}}}{{\ln 15}} + \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}}$
Ví dụ 12: Tính nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{6}{x}$ biết $F(e) = 12$.
Lời giải
Ta có: $F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\frac{6}{x}dx} $
$ = 6\int {\frac{1}{x}dx} = 6.\ln \left| x \right| + C$.
Theo đề cho $F(e) = 12$
nên $6.\ln \left| e \right| + C = 12 \Leftrightarrow 6 + C = 12 \Leftrightarrow C = 6$
Vậy $F(x) = 6.\ln \left| x \right| + 2$