Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết

Các dạng bài tập trắc nghiệm về nguyên hàm giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Dạng 1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:

Chú ý:

$\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C$ với $\alpha \ne – 1$;

$\int {kdx = k} x + C$;

$\int {kf(x)dx = k} \int {f(x)dx} $;

$\int {\left( {f(x) + g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} $;

$\int {\left( {f(x) – g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} – \int {g(x)dx} $.

Câu 1. Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số liên tục trên trên $K$ và $k$ là hằng số. Trên $K$, mệnh đề nào sau đây sai.

A. $\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx = } \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} $. B. $\int {\left[ {f(x) – g(x)} \right]dx = } \int {f(x)dx} – \int {g(x)dx} $.

C. $\int {kf(x)dx} = k\int {f(x)dx} $. D. $\int {\left[ {f(x).g(x)} \right]dx = } \int {f(x)dx} .\int {g(x)dx} $.

Lời giải

Chọn D

Câu 2. Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

A. $\int {f(x)dx = } F(x) + C$. B. ${\left( {\int {f(x)dx} } \right)^\prime } = f(x)$.

C. ${\left( {\int {f(x)dx} } \right)^\prime } = f'(x)$. D. ${\left( {\int {f(x)dx} } \right)^\prime } = F'(x)$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $\int {f(x)dx = } F(x) + C \Leftrightarrow F’\left( x \right) = f\left( x \right)$ nên phương án A, B, D đúng.

Câu 3. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^5} – 5$ là

A. $\frac{{{x^6}}}{6} – 5x + C$. B. $\frac{{{x^5}}}{5} – 5x + C$. C. $5{x^4} + C$. D. $5{x^6} – 5x + C$.

Lời giải

Chọn A.

$\int {\left( {2x + 6} \right)dx = {x^2} + 6x + C} $

Câu 4. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x + 6$ là

A. ${x^2} + C$. B. ${x^2} + 6x + C$. C. $2{x^2} + C$. D. $2{x^2} + 6x + C$.

Lời giải

Chọn B.

$\int {\left( {2x + 6} \right)dx = {x^2} + 6x + C} $

Câu 5. $\int {{x^2}dx} $ bằng

A. $2x + C$. B. $\frac{1}{3}{x^3} + C$. C. ${x^3} + C$. D. $3{x^3} + C$

Lời giải

Chọn B.

Ta có $\int {{x^2}dx} = \frac{1}{3}{x^3} + C$.

Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3{x^2} + 1$ là

A. ${x^3} + C$ B. $\frac{{{x^3}}}{3} + x + C$ C. $6x + C$ D. ${x^3} + x + C$

Lời giải

Chọn D.

$\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx = {x^3} + x + C.} $

Câu 7. Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + x$ là

A. $\frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C$ B. $3{x^2} + 1 + C$ C. ${x^3} + x + C$ D. ${x^4} + {x^2} + C$

Lời giải

Chọn A.

$\int {\left( {{x^3} + {x^2}} \right)dx} $$ = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C$.

Câu 8. Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^4} + {x^2}$ là

A. $\frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + C$ B. ${x^4} + {x^2} + C$ C. ${x^5} + {x^3} + C$. D. $4{x^3} + 2x + C$

Lời giải

Chọn A.

$\int {f\left( x \right)dx = } $$\int {\left( {{x^4} + {x^2}} \right)dx} $$ = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + C$.

Câu 9. Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số $y = {x^{2025}}$?

A. $\frac{{{x^{2026}}}}{{2026}} + 1$. B. $\frac{{{x^{2026}}}}{{2026}}$. C. $y = 2025{x^{2024}}$. D. $\frac{{{x^{2026}}}}{{2026}} – 1$.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $\int {{x^{2025}}d} x = \frac{{{x^{2026}}}}{{2026}} + C,$ $C$ là hằng số.

Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số $y = {x^{2025}}$.

Câu 10. Nguyên hàm của hàm số $f(x) = $ $\frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + x – 2024$ là

A. $\frac{1}{{12}}{x^4} – \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$. B. $\frac{1}{9}{x^4} – \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} – 2024x + C$.

C. $\frac{1}{{12}}{x^4} – \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} – 2024x + C$. D. $\frac{1}{9}{x^4} + \frac{2}{3}{x^3} – \frac{{{x^2}}}{2} – 2024x + C$.

Lời giải

Chọn C.

Sử dụng công thức $\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C} $ ta được:

$\int {\left( {\frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + x – 2024} \right)dx = } $

$\frac{1}{3}.\frac{{{x^4}}}{4} – 2.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} – 2024x + C$

$ = \frac{1}{{12}}{x^4} – \frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} – 2024x + C$

Câu 11. Tìm nguyên $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)\, = \,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)?$

A. $F\left( x \right)\, = \,\frac{{{x^4}}}{4}\, – \,6{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} – \,6x\, + \,C$. B. $F\left( x \right)\, = \,{x^4}\, + \,6{x^3}\, + \,11{x^2} + \,6x\, + \,C$.

C. $F\left( x \right)\, = \,\frac{{{x^4}}}{4}\, + 2{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} + \,6x\, + \,C$. D. $F\left( x \right)\, = \,{x^3}\, + \,6{x^2}\, + \,11{x^2} + \,6x\, + \,C$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $f\left( x \right)\, = \,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = \,{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6$

$ \Rightarrow \,\,F\left( x \right)\, = \,\int {\left( {{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6} \right)} dx\, = \,\,\frac{{{x^4}}}{4}\, + 2{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} + \,6x\, + \,C$.

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}$.

A. ${(5x + 3)^6} + C$. B. ${(5x + 3)^4} + C$. C. $\frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{{30}} + C$. D. $\frac{{{{(5x + 3)}^4}}}{{30}} + C$.

Lời giải

Chọn C.

$f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}$$ \Rightarrow \int {f(x)dx = } \int {{{(5x + 3)}^5}dx = } \frac{1}{5}.\frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{6} + C = \frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{{30}} + C$

Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}$.

A. $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{x} + C$. B. $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{2}{x} + C$.

C. $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{1}{x} + C$. D. $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{2}{x} + C$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $\int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{2}{x} + C$.

Câu 14. Tính $\int {\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } dx} $.

A. $\frac{4}{{15}}x\sqrt[{15}]{{{x^7}}} + C$. B. $\frac{8}{{15}}x\sqrt[{15}]{{{x^7}}} + C$. C. $\frac{8}{{15}}x\sqrt[{15}]{x} + C$. D. $\frac{4}{{15}}x\sqrt[{15}]{x} + C$.

Lời giải

Chọn B.

$\int {\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } dx} = \int {\sqrt {x\sqrt {x.{x^{\frac{1}{2}}}} } dx} $

$= \int {\sqrt {x.{x^{\frac{3}{4}}}} dx} = \int {{x^{\frac{7}{8}}}dx} $

$= \frac{{{x^{\frac{7}{8} + 1}}}}{{\frac{7}{8} + 1}} + C = \frac{8}{{15}}x\sqrt[{15}]{{{x^7}}} + C$

Câu 15. Tính $\int {\frac{{\sqrt x – 2\sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}}{{\sqrt[4]{x}}}dx} $.

A. $x\sqrt[5]{x} – 2x\sqrt[{17}]{{{x^5}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}} + C$. B. $\frac{4}{5}x\sqrt[5]{x} – \frac{{24}}{{17}}x\sqrt[{17}]{{{x^5}}} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{x^3}}} + C$.

C. $x\sqrt[5]{x} – \frac{{24}}{{17}}x\sqrt[{17}]{{{x^5}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}} + C$. D. $\frac{4}{5}x\sqrt[5]{x} – 2x\sqrt[{17}]{{{x^5}}} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{x^3}}} + C$.

Lời giải

Chọn B.

$\int {\frac{{\sqrt x – 2\sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}}{{\sqrt[4]{x}}}dx} = \int {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}} – 2{x^{\frac{2}{3}}} + 1}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}dx = } \int {\left( {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} – 2\frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} + \frac{1}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}} \right)dx} $

$ = \int {\left( {{x^{\frac{1}{4}}} – 2{x^{\frac{5}{{12}}}} + {x^{ – \frac{1}{4}}}} \right)dx = \frac{4}{5}} x\sqrt[5]{x} – \frac{{24}}{{17}}x\sqrt[{17}]{{{x^5}}} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{x^3}}} + C$

Câu 16. Cho hàm số $f(x) = {x^2} + 4$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\int f (x)dx = 2x + C$. B. $\int f (x)dx = {x^2} + 4x + C$.

C. $\int f (x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + C$. D. $\int f (x)dx = {x^3} + 4x + C$.

Lời giải

Ta có: $f(x) = {x^2} + 4 \Rightarrow \int f (x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + C$

Câu 17. Trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, cho hàm số $f\left( x \right) = {x^{\frac{3}{2}}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\int {f\left( x \right)} dx = \frac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$. B. $\int {f\left( x \right)} dx = \int {\sqrt {{x^3}} } dx$.

C. $\int {f\left( x \right)} dx = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + C$. D. $\int {f\left( x \right)} dx = \frac{2}{3}{x^{\frac{1}{2}}} + C$.

Lời giải

Ta có:$\int {f\left( x \right)} dx = \int {{x^{\frac{3}{2}}}} dx = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + C$.

Câu 18. Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\int {f\left( x \right)dx = } \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{1}{x} + C$. B. $\int {f\left( x \right)dx = } \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{2}{x} + C$.

C. $\int {f\left( x \right)dx = } \int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} dx$. D. $\int {f\left( x \right)dx = } \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{2}{x} + C$.

Lời giải

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx = } \int {\frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}} dx = \int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{2}{x} + C$.

Câu 19. Cho hàm số $f\left( x \right) = {\left( {{x^2} – 2} \right)^{^2}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\int {f\left( x \right)dx = } 4{x^3} – 8x$. B. $\int {f\left( x \right)dx = } 4{x^3} – 8x + 4$.

C. $\int {f\left( x \right)dx = } \frac{{{x^5}}}{5} – \frac{{4{x^3}}}{3} + 4x + C$. D. $\int {f\left( x \right)dx = } \frac{{{x^4}}}{4} – 2{x^2} + 4 + C$.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx = } \int {{{\left( {{x^2} – 2} \right)}^{^2}}} dx = \int {\left( {{x^4} – 4{x^2} + 4} \right)} dx$

$ = \frac{{{x^5}}}{5} – \frac{{4{x^3}}}{3} + 4x + C$.

Dạng 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác:

Chú ý:

$\int {cosxdx = \sin x} + C$; $\int {cos\left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)} + C$;

$\int {\sin xdx = – cosx} + C$; $\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx = – \frac{1}{a}cosx\left( {ax + b} \right)} + C$;

$\int {\frac{1}{{co{s^2}x}}dx = \tan x} + C$;

$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = – \cot x} + C$;

Câu 20. Hàm số $F\left( x \right) = \cot x$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

A. ${f_2}\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$. B. ${f_1}\left( x \right) = – \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$. C. ${f_4}\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$. D. ${f_3}\left( x \right) = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$.

Lời giải

Chọn D.

Có $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = – \cot x + C$ suy ra $F\left( x \right) = \cot x$ trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ là một nguyên hàm của hàm số ${f_3}\left( x \right) = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$.

Câu 21. Cho hàm số $f\left( x \right) = 1 + \sin x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\int {f\left( x \right)dx} = x – \cos x + C$. B. $\int {f\left( x \right)dx} = x + \sin x + C$.

C. $\int {f\left( x \right)dx} = x + \cos x + C$. D. $\int {f\left( x \right)dx} = \cos x + C$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {1 + \sin x} \right)dx} = \int {1dx} + \int {\sin xdx} = x – \cos x + C} $.

Câu 22. Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {\cos ^2}\frac{x}{2}$

A. $F\left( x \right) = 2\cos \frac{x}{2} + C$ B. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + \sin x} \right) + C$

C. $F\left( x \right) = 2\sin \frac{x}{2} + C$ D. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {1 – \sin x} \right) + C$

Lời giải

Chọn B.

Ta có:$f\left( x \right) = {\cos ^2}\frac{x}{2} \Rightarrow F\left( x \right)$

$ = \int {{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 + \cos x}}{2}dx} $

$= \frac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos x} \right)dx} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sin x} \right) + C$

Câu 23. Cho hàm số $f\left( x \right) = 1 – \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\int {f\left( x \right)dx} = x + \tan x + C$. B. $\int {f\left( x \right)dx} = x + \cot x + C$.

C. $\int {f\left( x \right)dx} = x – \tan x + C$. D. $\int {f\left( x \right)dx} = x – \cot x + C$.

Lời giải

Chọn C.

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {1 – \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} = x – \tan x + C$.

Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos x + 6x$ là

A. $\sin x + 3{x^2} + C$. B. $ – \sin x + 3{x^2} + C$. C. $\sin x + 6{x^2} + C$. D. $ – \sin x + C$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {\cos x + 6x} \right)dx = \sin x + 3{x^2} + C} } $.

Câu 25. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2\sin x + 3x$.

A. $\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx = – 2\cos x + \frac{3}{2}{x^2} + C} $ B. $\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx = 2\cos x + 3{x^2} + C} $

C. $\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx = {{\sin }^2}x + \frac{3}{2}x + C} $ D. $\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx = \sin 2x + \frac{3}{2}{x^2} + C} $

Lời giải

Chọn A.

$\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx = – 2\cos x + \frac{3}{2}{x^2} + C} $

Câu 26. Tính$\int {\left( {x – \sin x} \right)} dx$.

A. $\frac{{{x^2}}}{2} + \sin x + C$. B. $\frac{{{x^2}}}{2} – \cos x + C$. C. $\frac{{{x^2}}}{2} – \sin x + C$. D. $\frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + C$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $\int {\left( {x – \sin x} \right)dx\, = \,} \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + C$.

Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + \sin x$ là

A. ${x^3} + \cos x + C$. B. $6x + \cos x + C$. C. ${x^3} – \cos x + C$. D. $6x – \cos x + C$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có $\int {\left( {3{x^2} + \sin x} \right)dx} = {x^3} – \cos x + C$.

Câu 28. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{x} + \sin x$ là

A. $\ln x – \cos x + C$. B. $ – \frac{1}{{{x^2}}} – \cos x + C$. C. $\ln \left| x \right| + \cos x + C$. D. $\ln \left| x \right| – \cos x + C$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\frac{1}{x} + \sin x} \right)dx} = \int {\frac{1}{x}dx} + \int {\sin xdx} = \ln \left| x \right| – \cos x + C$.

Câu 29. Cho $\int {f\left( x \right)} \,dx = – \cos x + C$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $f\left( x \right) = – \sin x$. B. $f\left( x \right) = – \cos x$. C. $f\left( x \right) = \sin x$. D. $f\left( x \right) = \cos x$.

Lời giải

Áp dụng công thức $\smallint sinx\;dx = – cosx + C$. Suy ra $f\left( x \right) = sinx$.

Câu 30. Cho hàm số $f(x) = \int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} $. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\sin + C$. B. $\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\cos x + C$

C. $\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = – \frac{1}{2}\sin x + C$. D. $\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = – \frac{1}{2}\cos x + C$

Lời giải

$\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\int {\sin x} dx = – \frac{1}{2}\cos x + C$

Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số mũ

Chú ý:

$\int {{e^x}dx = {e^x}} + C$; $\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$

$\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} + C$

Câu 31. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{3x}}$là hàm số nào sau đây?

A. $3{e^x} + C$. B. $\frac{1}{3}{e^{3x}} + C$. C. $\frac{1}{3}{e^x} + C$. D. $3{e^{3x}} + C$.

Lời giải

Chọn B.

$\int {{e^{3x}}dx = \frac{1}{3}{e^{3x}} + C,} $ với $C$ là hằng số bất kì.

Câu 32. Nguyên hàm của hàm số $y = {e^{2x – 1}}$ là

A. $2{e^{2x – 1}} + C$. B. ${e^{2x – 1}} + C$. C. $\frac{1}{2}{e^{2x – 1}} + C$. D. $\frac{1}{2}{e^x} + C$.

Lời giải

Chọn C.

Cách 1: $\int {{e^{2x – 1}}} dx = \int {{e^{ – 1}}.{{\left( {{e^2}} \right)}^x}} dx = {e^{ – 1}}.\frac{{{{\left( {{e^2}} \right)}^x}}}{{\ln {e^2}}} + C = \frac{{{e^{2x – 1}}}}{2} + C$

Cách 2: $\int {{e^{2x – 1}}dx} = \frac{1}{2}\int {{e^{2x – 1}}d\left( {2x – 1} \right) = } \frac{1}{2}{e^{2x – 1}} + C$.

Câu 33. Cho hàm số $f(x) = {e^x} + 2$. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A. $\int f (x)dx = {e^{x – 2}} + C$. B. $\int f (x)dx = {e^x} + 2x + C$.

C. $\int f (x)dx = {e^x} + C$. D. $\int f (x)dx = {e^x} – 2x + C$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $\int f (x)dx = \int {\left( {{e^x} + 2} \right)} dx = {e^x} + 2x + C$

Câu 34. Cho hàm số $f\left( x \right) = {e^x} + 2x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\int {f\left( x \right)dx = {e^x} + {x^2} + C} $. B. $\int {f\left( x \right)dx = {e^x} + C} $.

C. $\int {f\left( x \right)dx = {e^x} – {x^2} + C} $. D. $\int {f\left( x \right)dx = {e^x} + 2{x^2} + C} $.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $\int {f\left( x \right)} \,dx$$ = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right)dx = {e^x} + {x^2} + C} $.

Câu 35. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {7^x}$.

A. $\int {{7^x}dx} = \frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + C$ B. $\int {{7^x}dx} = {7^{x + 1}} + C$ C. $\int {{7^x}dx} = \frac{{{7^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$ D. $\int {{7^x}dx} = {7^x}\ln 7 + C$

Lời giải

Chọn A.

Áp dụng công thức $\int {{a^x}\,dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,\,,\left( {0 < a \ne 1} \right)$

Câu 36. Nguyên hàm của hàm số $y = {2^x}$ là

A. $\int {{2^x}dx = \ln {{2.2}^x} + C} $. B. $\int {{2^x}dx = {2^x} + C} $. C. $\int {{2^x}dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C} $. D. $\int {{2^x}dx = \frac{{{2^x}}}{{x + 1}} + C} $.

Lời giải

Chọn C.

Do theo bảng nguyên hàm: $\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln \,a}} + C} $.

Câu 37. Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = {3^{ – x}}$ là

A. $ – \frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$ B. $ – {3^{ – x}} + C$ C. ${3^{ – x}}\ln 3 + C$ D. $\frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$

Lời giải

Chọn A

Cách 1: $\int {f(x)dx} = \int {{3^{ – x}}dx} = \int {{{\left( {{3^{ – 1}}} \right)}^x}d(x)} = \frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln {3^{ – 1}}}} + C = – \frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$

Cách 2: $\int {f(x)dx} = \int {{3^{ – x}}dx} = – \frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$.

Câu 38. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {3^x} + 2x$.

A. $\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + {x^2} + C$ B. $\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = {2^x}.\ln 2 + {x^2} + C$

C. $\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + x + C$ D. $\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = {2^x}.\ln 2 + x + C$

Lời giải

Chọn A.

$\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + {x^2} + C$

Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x} – 2x$ là.

A. ${e^x} + {x^2} + C$. B. ${e^x} – {x^2} + C$. C. $\frac{1}{{x + 1}}{e^x} – {x^2} + C$. D. ${e^x} – 2 + C$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $\int {\left( {{e^x} – 2x} \right)dx = {e^x} – {x^2} + C} $

Câu 40. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x}\left( {2025 – \frac{{2026{e^{ – x}}}}{{{x^5}}}} \right)$.

A. $\int {f\left( x \right)dx} = 2025{e^x} – \frac{{2026}}{{{x^4}}} + C$. B. $\int {f\left( x \right)dx} = 2025{e^x} + \frac{{2026}}{{{x^4}}} + C$.

C. $\int {f\left( x \right)dx} = 2025{e^x} + \frac{{506,5}}{{{x^4}}} + C$. D. $\int {f\left( x \right)dx} = 2025{e^x} – \frac{{506,5}}{{{x^4}}} + C$.

Lời giải

Chọn C.

$\int {f\left( x \right)} dx = \int {{e^x}\left( {2025 – \frac{{2026{e^{ – x}}}}{{{x^5}}}} \right)} dx$

$ = \int {\left( {2025{e^x} – \frac{{2026}}{{{x^5}}}} \right)} dx = 2026{e^x} + \frac{{506,5}}{{{x^4}}} + C$

Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số $y = {e^x}\left( {2 + \frac{{{e^{ – x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)$ là

A. $2{e^x} + \tan x + C$ B. $2{e^x} – \tan x + C$ C. $2{e^x} – \frac{1}{{\cos x}} + C$ D. $2{e^x} + \frac{1}{{\cos x}} + C$

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $y = {e^x}\left( {2 + \frac{{{e^{ – x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right) = 2{e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$

$\int {ydx = } \int {\left( {2{e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = 2{e^x} + \tan x + C} $.

Câu 42. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y = {x^2} – {3^x} + \frac{1}{x}$.

A. $\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} – \frac{1}{{{x^2}}} + C, C \in \mathbb{R}$. B. $\frac{{{x^3}}}{3} – {3^x} + \frac{1}{{{x^2}}} + C, C \in \mathbb{R}$.

C. $\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C, C \in \mathbb{R}$. D. $\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} – \ln \left| x \right| + C, C \in \mathbb{R}$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $\int {\left( {{x^2} – {3^x} + \frac{1}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C,C \in \mathbb{R}$.

Câu 43. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A $\int {{e^x}dx = x{e^x} + C} $. B. $\int {{e^x}dx = {e^{x + 1}} + C} $. C. $\int {{e^x}dx = – {e^{x + 1}} + C} $. D. $\int {{e^x}dx = {e^x} + C} $.

Lời giải

Ta có $\int {{e^x}dx = {e^x} + C} $.

Câu 44. Cho hàm số $f(x) = 1 + {e^{2x}}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\int {f(x)dx = x + \frac{1}{2}{e^x} + C.} $ B. $\int {f(x)dx = x + 2{e^{2x}} + C.} $

C. $\int {f(x)dx = x + \frac{1}{2}{e^{2x}} + C.} $ D. $\int {f(x)dx = x + {e^{2x}} + C.} $

Lời giải

Ta có $\int {(1 + {e^{2x}})dx = x + \frac{1}{2}{e^{2x}} + C.} $