- Các Dạng Bài Tập Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Trắc Nghiệm Đúng Sai Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trả Lời Ngắn Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Trắc Nghiệm Nguyên Hàm Thỏa Điều Kiện Cho Trước Giải Chi Tiết
- Các Dạng Câu Hỏi Trả Lời Ngắn Nguyên Hàm Thỏa Điều Kiện Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Ứng Dụng Thực Tế Của Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Về Tích Phân Năm Học 2024-2025 Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Tích Phân Có Điều Kiện Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Trắc Nghiệm Tích Phân Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Đúng Sai Tích Phân Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Ứng Dụng Tích Phân Trong Thực Tiễn Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Tích Phân Hàm Ẩn Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Trắc Nghiệm Ứng Dụng Tích Phân Để Tính Diện Tích Hình Phẳng
Các dạng trắc nghiệm đúng sai về nguyên hàm giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:
Chú ý:
$\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C$ với $\alpha \ne – 1$;
$\int {kdx = k} x + C$;
$\int {kf(x)dx = k} \int {f(x)dx} $;
$\int {\left( {f(x) + g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} $;
$\int {\left( {f(x) – g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} – \int {g(x)dx} $.
Câu 1. Cho $\alpha $ là một số thực và $x \ne 0$.
a) $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} + C$
b) $\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$
c) $\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + C$
d) $\int {\sqrt x dx} = \frac{3}{2}{x^{\frac{3}{2}}} + C$
Lời giải
a) | b) | c) | d) |
Sai | Đúng | Đúng | Sai |
a) $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$ nên a sai
b) $\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$ nên b đúng
c) $\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + C$ nên c đúng
d) $\int {\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C$ nên d sai
Câu 2. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai
a) $\int {\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + x – 2} \right)dx} = \frac{3}{5}\sqrt[3]{{{x^5}}} + \frac{1}{2}{x^2} – 2x + C$
b) $\int {\frac{1}{{2023{x^{2024}}}}dx} = \frac{1}{{{{2023}^2}{x^{2023}}}} + C$
c) $\int {{{\left( {2x – 2024} \right)}^2}dx} = x – 1012 + C$
d) $\int {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + 4{x^3}} \right)dx} = \frac{1}{{20}}{x^5} + \frac{4}{3}{x^4} + C$
Lời giải
a) | b) | c) | d) |
Đúng | Sai | Sai | Đúng |
a) $\int {\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + x – 2} \right)dx} = \int {\left( {{x^{\frac{2}{3}}} + x – 2} \right)dx} $
$ = \frac{{{x^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{2}{x^2} – 2x + C = \frac{3}{5}\sqrt[3]{{{x^5}}} + \frac{1}{2}{x^2} – 2x + C$ nên a đúng.
b) $\int {\frac{1}{{2023{x^{2024}}}}dx} = \frac{1}{{2023}}\int {{x^{ – 2024}}dx = \frac{1}{{2023}}.\frac{{{x^{ – 2023}}}}{{ – 2023}} + C} = – \frac{1}{{{{2023}^2}{x^{2023}}}} + C$ nên b sai.
c) $\int {{{\left( {2x – 2024} \right)}^2}dx} = \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {2x – 2024} \right)}^3}}}{3} + C = \frac{{{{\left( {2x – 2024} \right)}^3}}}{6} + C$ nên c sai
Lưu ý: Áp dụng công thức $\int {{{\left( {ax + b} \right)}^\alpha }dx} = \frac{1}{a}.\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$
d) $\int {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + 4{x^3}} \right)dx} = \frac{1}{{20}}{x^5} + \frac{4}{3}{x^4} + C$ nên d đúng
Câu 3. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai
a) $F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C$ là nguyên hàm của hàm số$f\left( x \right) = {x^3} – 3x + \frac{1}{x}$.
b) $F\left( x \right) = \frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{6} + C$ là nguyên hàm của hàm số$f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}$.
c) $F\left( x \right) = \frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C$ là nguyên hàm của hàm số$f(x) = \sqrt x + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$.
d) $F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} – 2024x + C$ là nguyên hàm của hàm số$f\left( x \right) = \frac{{{x^3} – 2024x}}{x}$.
Lời giải
a) | b) | c) | d) |
Đúng | Sai | Sai | Đúng |
a) $f\left( x \right) = {x^3} – 3x + \frac{1}{x}$
$ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f(x)dx = } \int {({x^3} – 3x + \frac{1}{x})dx = } $
$\int {{x^3}dx} – 3\int {xdx} + \int {\frac{1}{x}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C$ nên a đúng.
b) $f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}$$ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f(x)dx = } \int {{{(5x + 3)}^5}dx} $
$ = \frac{1}{5}.\frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{6} + C = \frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{{30}} + C$ nên b sai
Lưu ý:
Áp dụng công thức $\int {{{\left( {ax + b} \right)}^\alpha }dx} = \frac{1}{a}.\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$
c) $f(x) = \sqrt x + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$
$ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {\sqrt x + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}} \right)} dx = \int {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{1}{3}}} + {x^{\frac{1}{4}}}} \right)} dx$
$ = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{4}{x^{\frac{4}{3}}} + \frac{4}{5}{x^{\frac{5}{4}}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt x + \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + \frac{4}{5}x\sqrt[4]{x} + C$ nên c sai.
d) $f\left( x \right) = \frac{{{x^3} – 2024x}}{x} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\frac{{{x^3} – 2024x}}{x}dx = } $
$\int {\left( {{x^2} – 2024} \right)dx = \frac{1}{3}} {x^3} – 2024x + C$ nên d đúng.
Dạng 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác:
Chú ý:
$\int {cosxdx = \sin x} + C$; $\int {cos\left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)} + C$;
$\int {\sin xdx = – cosx} + C$; $\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx = – \frac{1}{a}cosx\left( {ax + b} \right)} + C$;
$\int {\frac{1}{{co{s^2}x}}dx = \tan x} + C$;
$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = – \cot x} + C$;
Câu 4. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) $\int {\left( {\sin x + cosx} \right)dx} = cosx + \sin x + C$.
b) $\int {\sin 4xdx} = – cos4x + C$
c) $\int {cos\frac{x}{4}dx} = 4\sin \frac{x}{4} + C$.
d) $\int {\sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)} dx = cosx + C$
Lời giải
a) | b) | c) | d) |
Đúng | Sai | Sai | Sai |
a) $\int {\left( {\sin x + cosx} \right)dx} = – cosx + \sin x + C$ nên a sai.
b) $\int {\sin 4xdx} = – \frac{1}{4}cos4x + C$ nên b sai
c) $\int {cos\frac{x}{4}dx} = \frac{1}{{\frac{1}{4}}}\sin \frac{x}{4} + C = 4\sin \frac{x}{4} + C$ nên c đúng
d) $\int {\sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)} dx = \int {\cos x} dx = \sin x + C$ nên d sai
Lưu ý: Áp dụng công thức hai cung phụ nhau
$\sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = cosx$; $cosx\left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = \sin x$
Câu 5. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) $\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = x – \cot x + C$.
b) $\int {\left( {1 – {{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} = \frac{1}{2}\left( {x + \sin x} \right) + C$
c) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = x + \cos x + C$.
d) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} – \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = x – \cos x + C$
Lời giải
a) | b) | c) | d) |
Đúng | Sai | Sai | Sai |
a) $\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + 1 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = x – \cot x + C$ nên a đúng.
Lưu ý:
$1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{co{s^2}x}}$; $1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$.
b) $\int {\left( {1 – {{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} = \int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 – \cos x}}{2}dx} = \frac{1}{2}\left( {x – \sin x} \right) + C$ nên b sai.
Lưu ý:
Công thức hạ bậc $co{s^2}x = \frac{{1 + cos2x}}{2}$; ${\sin ^2}x = \frac{{1 – cos2x}}{2}$
c) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {1 + \sin x} \right)} dx = x – \cos x + C$ nên c sai.
Lưu ý:
Công thức nhân đôi $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .cos\alpha $
d) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} – \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {1 – \sin x} \right)} dx = x + \cos x + C$ nên d sai.
Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số mũ
Chú ý:
$\int {{e^x}dx = {e^x}} + C$; $\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$
$\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} + C$
Câu 6. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) $\int {\frac{1}{x}} \,dx = \ln x + C$.
b) $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \,dx = \tan x + C$.
c) $\int {\sin x} \,dx = – \cos x + C$.
d) $\int {{e^x}} \,dx = {e^x} + C$.
Lời giải
a) | b) | c) | d) |
Sai | Đúng | Đúng | Đúng |
a) $\int {\frac{1}{x}} \,dx = \ln \left| x \right| + C$ nên a sai
b) $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \,dx = \tan x + C$ nên b đúng
$\int {\sin x} \,dx = – \cos x + C$ nên c đúng
$\int {{e^x}} \,dx = {e^x} + C$ nên d đúng
Câu 7. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) $\int {\cos xdx = \sin x + C} $.
b) $\int {{x^e}} dx = \frac{{{x^{e + 1}}}}{{e + 1}} + C$.
c) $\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right|} + C$.
d) $\int {{e^x}dx = \frac{{{e^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C} $.
Lời giải
a) | b) | c) | d) |
Đúng | Đúng | Đúng | Sai |
a) $\int {\cos xdx = \sin x + C} $ nên a đúng
b) $\int {{x^e}} dx = \frac{{{x^{e + 1}}}}{{e + 1}} + C$ nên b đúng
c) $\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right|} + C$ nên c đúng
d) $\int {{e^x}dx = {e^x} + C} $ nên d sai
Câu 8. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) $\int {{2^x}dx} = {2^x}\ln 2 + C$.
b) $\int {{e^{2x}}dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C$.
c) $\int {{e^x}\left( {{e^x}– 1} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + {e^x} + C$.
d) $\int {{e^{3x}}{{.3}^x}dx} = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{3 + \ln 3}} + C$.
Lời giải
a) | b) | c) | d) |
Sai | Đúng | Sai | Đúng |
a) $\int {{2^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$ nên a sai
b) $\int {{e^{2x}}dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C$ nên b đúng
Lưu ý:
$\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$
c) $\int {{e^x}\left( {{e^x}– 1} \right)} dx = \int {\left( {{e^{2x}} – {e^x}} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} – {e^x} + C$nên c sai
d) $\int {{e^{3x}}{{.3}^x}dx} = \int {{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {3{e^3}} \right)}} + C = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{3 + \ln 3}} + C$ nên d đúng