Các Dạng Bài Tập Trả Lời Ngắn Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết

Các dạng bài tập trả lời ngắn về nguyên hàm giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Dạng 1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:

Chú ý:

$\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C$ với $\alpha \ne – 1$;

$\int {kdx = k} x + C$;

$\int {kf(x)dx = k} \int {f(x)dx} $;

$\int {\left( {f(x) + g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} $;

$\int {\left( {f(x) – g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} – \int {g(x)dx} $.

Câu 1. Biết $F\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx$là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x – 6$. Khi đó giá trị $a + b + c$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 2x – 6} \right)dx} = {x^3} + {x^2} – 6x + C$

Vậy $a + b + c = 1 + 1 + ( – 6) = – 4$

Câu 2. Cho hàm số $f\left( x \right) = – \frac{1}{{{x^6}}} + \frac{1}{{{x^7}}}$. Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f(x)$ là $F\left( x \right) = \frac{1}{{a{x^5}}} + \frac{1}{{b{x^6}}} + C$ với $C$ là hằng số. Tính $a + b$.

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {f(x)dx} = \int {\left( { – \frac{1}{{{x^6}}} + \frac{1}{{{x^7}}}} \right)dx} $

$ = \int {\left( { – {x^{ – 6}} + {x^{ – 7}}} \right)dx} = – \frac{{{x^{ – 5}}}}{{ – 5}} + \frac{{{x^{ – 6}}}}{{ – 6}} = \frac{1}{{5{x^5}}} + \frac{1}{{ – 6{x^6}}}$

Vậy $a + b = 5 – 6 = – 1$

Câu 3. Biết $F\left( x \right) = a.\frac{1}{{{x^5}}} + b.\frac{1}{{{x^6}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{5}{{{x^6}}} + \frac{2}{{{x^7}}}$. Khi đó giá trị $a + 12b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{5}{{{x^6}}} + \frac{2}{{{x^7}}}} \right)dx} $

$ = \int {\left( {5{x^{ – 6}} + 2{x^{ – 7}}} \right)dx} = 5.\frac{{{x^{ – 5}}}}{{ – 5}} + 2.\frac{{{x^{ – 6}}}}{{ – 6}} + C = – \frac{1}{{{x^5}}} – \frac{1}{{3{x^6}}}$

Vậy $a + 12b = – 1 + 12.\left( { – \frac{1}{3}} \right) = – 5$

Câu 4. Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt x + \sqrt[3]{x}$. Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f(x)$ là $F\left( x \right) = a.\sqrt {{x^3}} + b.\sqrt[3]{{{x^4}}} + C$ với $C$ là hằng số. Tính $3a + 4b$.

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {\sqrt x + \sqrt[3]{x}} \right)dx} $

$ = \int {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{1}{3}}}} \right)dx} = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{x^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C$

$ = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^{\frac{4}{3}}}}}{{\frac{4}{3}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + \frac{3}{4}\sqrt[3]{{{x^4}}} + C$

Vậy $3a + 4b = 2 + 3 = 5$

Câu 5. Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt x }} + {3^x} + 3x – 2$ ta được $F\left( x \right) = a\sqrt x + \frac{{{3^x}}}{{\ln b}} + c{x^2} + dx + C$. Tính $a + b + 2c + d$.

Lời giải

$\int {\left( {\frac{2}{{\sqrt x }} + {3^x} + 3x – 2} \right)dx} = 4\sqrt x + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \frac{3}{2}{x^2} – 2x + C$

Vậy $a + b + 2c + d = 4 + 3 + 3 + ( – 2) = 8$

Câu 6. Biết $F\left( x \right) = a.\sqrt x + b.\sqrt[3]{{{x^2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt x }} + \frac{6}{{\sqrt[3]{x}}}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{2}{{\sqrt x }} + \frac{6}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)dx} = \int {\left( {\frac{2}{{{x^{\frac{1}{2}}}}} + \frac{6}{{{x^{\frac{1}{3}}}}}} \right)dx} $

$ = \int {\left( {2{x^{ – \frac{1}{2}}} + 6{x^{ – \frac{1}{3}}}} \right)dx} = 2.\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} + 6.\frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{\frac{2}{3}}} + C$

$ = 4{x^{\frac{1}{2}}} + 9{x^{\frac{2}{3}}} + C = 4\sqrt x + 9\sqrt[3]{{{x^2}}} + C$

Vậy $a + b = 4 + 9 = 13$

Câu 7. Biết $F\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\ln \left| x \right|$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {3x – 5} \right)}^2}}}{x}$. Khi đó giá trị $2a + b + c$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{{{{\left( {3x – 5} \right)}^2}}}{x}} \right)dx} = \int {\left( {\frac{{9{x^2} – 30x + 25}}{x}} \right)dx} $

$ = \int {\left( {9x – 30 + \frac{{25}}{x}} \right)dx} = \frac{9}{2}{x^2} – 30x + 25\ln \left| x \right| + C$

Vậy $2a + b + c = 9 – 30 + 25 = 4$.

Câu 8. Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + 4x$ và $F( – 1) = 2025$. Tính $F(1)$.

Lời giải

$F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 4x} \right)dx} $

$ = 3.\frac{{{x^3}}}{3} + 4.\frac{{{x^2}}}{2} + C = {x^3} + 2{x^2} + C$

Theo đề ta có $F( – 1) = 2025$

$ \Leftrightarrow {\left( { – 1} \right)^3} + 2{\left( { – 1} \right)^2} + C = 2025 \Leftrightarrow C = 2024$.

Suy ra, $F(x) = {x^3} + 2{x^2} + C = {x^3} + 2{x^2} + 2024$

Vậy $F(1) = {1^3} + {2.1^2} + 2024 = 2027$

Dạng 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác:

Chú ý:

$\int {cosxdx = \sin x} + C$; $\int {cos\left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)} + C$;

$\int {\sin xdx = – cosx} + C$; $\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx = – \frac{1}{a}cosx\left( {ax + b} \right)} + C$;

$\int {\frac{1}{{co{s^2}x}}dx = \tan x} + C$;

$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = – \cot x} + C$;

Câu 9. Biết $F\left( x \right) = a\sin x + bcosx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 5\cos x + 7\sin x$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {\left( {5\cos x + 7\sin x} \right)} dx = 5\sin x – 7cosx + C$

Vậy $a + b = 5 – 7 = – 2$

Câu 10. Biết $F\left( x \right) = a\tan x + b\cot x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{3}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{11}}{{{{\sin }^2}x}}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{11}}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx = 3\tan x – 11\cot x + C$

Vậy $a + b = 3 – 11 = – 8$.

Câu 11. Biết $F\left( x \right) = ax + b\sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2026 – 2{\sin ^2}\frac{x}{2}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {\left( {2026 – 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx = \int {\left( {2026 – 2.\frac{{1 – \cos x}}{2}} \right)} dx$

$ = \int {\left( {2026 – \left( {1 – \cos x} \right)} \right)} dx = \int {\left( {2025 + \cos x} \right)} dx$

$ = 2025x – \sin x + C$

Vậy $a + b = 2025 – 1 = 2024$.

Câu 12. Biết $F\left( x \right) = ax + b\sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2025 + 2co{s^2}\frac{x}{2}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {\left( {2025 + 2co{s^2}x\frac{x}{2}} \right)} dx = \int {\left( {2025 + 2.\frac{{1 + \cos x}}{2}} \right)} dx$

$ = \int {\left( {2026 + \cos x} \right)} dx = 2026x + \sin x + C$

Vậy $a + b = 2026 + 1 = 2027$.

Câu 13. Biết $F\left( x \right) = acos3x + b\sin \frac{x}{9}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin 3x + cos\frac{x}{9}$. Khi đó giá trị $3a + b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {\left( {\sin 3x + cos\frac{x}{9}} \right)} dx$

$ = – \frac{1}{3}cos3x + \frac{1}{{\frac{1}{9}}}\sin \frac{x}{9} + C = – \frac{1}{3}cos3x + 9\sin \frac{x}{9} + C$

Vậy $3a + b = – 1 + 9 = 8$.

Câu 14. Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 6\sin x – 3cosx$ và $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2025$. Tính$F\left( { – \frac{\pi }{2}} \right)$.

Lời giải

$F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {6\sin x – 3cosx} \right)dx} = – 6cosx – 3\sin x + C$

Theo đề ta có $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2025 \Leftrightarrow – 6cos\frac{\pi }{2} – 3\sin \frac{\pi }{2} + C = 2025$

$ \Leftrightarrow – 3 + C = 2025 \Leftrightarrow C = 2028$.

Suy ra, $F(x) = – 6cosx – 3\sin x + C = – 6cosx – 3\sin x + 2028$

Vậy $F\left( { – \frac{\pi }{2}} \right) = – 6cos\left( { – \frac{\pi }{2}} \right) – 3\sin \left( { – \frac{\pi }{2}} \right) + 2028$

$ = 3 + 2028 = 2031$

Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số mũ

Chú ý:

$\int {{e^x}dx = {e^x}} + C$; $\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$

$\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} + C$

Câu 15. Biết $F\left( x \right) = a{e^x} + bx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 5{e^x} + 7$. Khi đó giá trị $2a + b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {\left( {5{e^x} + 7} \right)} dx$$ = 5{e^x} + 7x + C$

Vậy $2a + b = 2.5 + 7 = 17$.

Câu 16. Biết $F\left( x \right) = a{e^{2x}} + b{e^x} + cx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {\left( {{e^x} + 3} \right)^2}$. Khi đó giá trị $2a + b + c$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {{{\left( {{e^x} + 3} \right)}^2}} dx = \int {\left( {{e^{2x}} + 6{e^x} + 9} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + 6{e^x} + 9x + C$

Vậy $2a + b + c = 2.\frac{1}{2} + 6 + 9 = 16$.

Câu 17. Biết $F\left( x \right) = a{e^{2x}} + b{e^x} + cx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {\left( {3{e^x} – 2} \right)^2}$. Khi đó giá trị $2a + b + c$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {{{\left( {3{e^x} – 2} \right)}^2}} dx = \int {\left( {9{e^{2x}} – 12{e^x} + 4} \right)} dx$

$ = \frac{9}{2}{e^{2x}} – 12{e^x} + 4x + C$

Vậy $2a + b + c = 2.\frac{9}{2} – 12 + 4 = 1$.

Câu 18. Biết $F\left( x \right) = ax + \frac{b}{{{e^x}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{2{e^x} + 3}}{{{e^x}}}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{{2{e^x} + 3}}{{{e^x}}}} \right)} dx = \int {\left( {2 + \frac{3}{{{e^x}}}} \right)} dx$

$ = \int {\left( {2 + 3.{e^{ – x}}} \right)} dx = 2x – 3.{e^{ – x}} + C = 2x – \frac{3}{{{e^x}}} + C$

Vậy $a + b = 2 – 3 = – 1$.

Câu 19. Biết $F\left( x \right) = a.\frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + b.\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {7^{x + 1}} + {2^{x + 1}}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {\left( {{7^{x + 1}} + {2^{x + 1}}} \right)} dx = \int {\left( {{{7.7}^x} + {{2.2}^x}} \right)} dx$

$ = 7.\frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + 2.\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$

Vậy $a + b = 7 + 2 = 9$.

Câu 20. Biết $F\left( x \right) = \frac{{{a^x}}}{b}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {3^x}{.7^x}$. Khi đó giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {\left( {{3^x}{{.7}^x}} \right)} dx = \int {{{21}^x}} dx = \frac{{{{21}^x}}}{{\ln 21}} + C$

Vậy $a + b = 21 + 21 = 42$.

Câu 21. Cho hàm số $f\left( x \right) = {2^{3x}} + {7^{2x}}$. Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f(x)$ là $F\left( x \right) = \frac{{{a^x}}}{{b\ln 2}} + \frac{{{m^x}}}{{n\ln 7}} + C$ với $C$ là hằng số. Tính $a + b + m + n$.

Lời giải

$\int {f(x)dx} = \int {\left( {{2^{3x}} + {7^{2x}}} \right)dx} = \int {\left( {{8^x} + {{49}^x}} \right)dx} $

$ = \frac{{{8^x}}}{{\ln 8}} + \frac{{{{49}^x}}}{{\ln 49}} + C = \frac{{{8^x}}}{{\ln 8}} + \frac{{{{49}^x}}}{{\ln 49}} + C$

$ = \frac{{{8^x}}}{{\ln {2^3}}} + \frac{{{{49}^x}}}{{\ln {7^2}}} + C = \frac{{{8^x}}}{{3\ln 2}} + \frac{{{{49}^x}}}{{2\ln 7}} + C$

Vậy $a + b + m + n = 8 + 3 + 49 + 2 = 62$

Câu 22. Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x} + \frac{1}{{\ln 2}}$ và $F\left( {\ln 2} \right) = 15$. Tính $F\left( 0 \right)$

Lời giải

$F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {{e^x} + \frac{1}{{\ln 2}}} \right)dx} = {e^x} + \frac{1}{{\ln 2}}.x + C$

Theo đề ta có $F\left( {\ln 2} \right) = 15 \Leftrightarrow {e^{\ln 2}} – \ln 2.\frac{1}{{\ln 2}} + C = 15$

$ \Leftrightarrow 2 – \operatorname{l} + C = 15 \Leftrightarrow C = 14$

Suy ra, $F(x) = {e^x} + \frac{1}{{\ln 2}}.x + 14$

Vậy $F(0) = {e^0} + \frac{1}{{\ln 2}}.0 + 14 = 15$.

Câu 23. Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 10{e^x} – 2x$ và $F\left( {\ln 5} \right) = 2026$. Tính $F\left( 0 \right)$ (làm tròn đến hàng đơn vị)

Lời giải

$F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {10{e^x} – 2x} \right)dx} = 10{e^x} – {x^2} + C$

Theo đề ta có $F\left( {\ln 5} \right) = 2026 \Leftrightarrow 10{e^{\ln 5}} – {\ln ^2}5 + C = 2026$

$ \Leftrightarrow 50 – {\ln ^2}5 + C = 2026 \Leftrightarrow C = 1976 + {\ln ^2}5$.

Suy ra, $F(x) = 10{e^x} – {x^2} + 1976 + {\ln ^2}5$

Vậy $F(x) = 10{e^0} – {0^2} + 1976 + {\ln ^2}5 = 1989$

Câu 24. Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x + cosx + {e^x}$ và $F\left( 0 \right) = 2026$. Tính $F\left( 1 \right)$ (làm tròn đến hàng đơn vị)

Lời giải

$F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {2x + cosx + {e^x}} \right)dx} = {x^2} + \sin x + {e^x} + C$

Theo đề ta có $F\left( 0 \right) = 2026 \Leftrightarrow {0^2} + \sin 0 + {e^0} + C = 2026$

$ \Leftrightarrow 1 + C = 2026 \Leftrightarrow C = 2025$

Suy ra, $F(x) = {x^2} + \sin x + {e^x} + 2025$

Vậy $F(x) = {1^2} + \sin 1 + {e^1} + 2025 = 2030$

Câu 25. Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\left( {\sin x – cosx} \right)^2} + \sin 2x + \frac{3}{x} + {7^x}$ và $F\left( {{e^3}} \right) = 5$. Tính $F\left( 1 \right)$ (làm tròn đến hàng phần chục)

Lời giải

$F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\left[ {{{\left( {\sin x – cosx} \right)}^2} + \sin 2x + \frac{3}{x} + {7^x}} \right]dx} $

$ = \int {\left[ {{{\sin }^2}x – 2\sin x\cos x + co{s^2}x + \sin 2x + \frac{3}{x} + 7} \right]dx} $

$ = \int {\left[ {1 – \sin 2x + \sin 2x + \frac{3}{x} + 7} \right]dx} $

$ = \int {\left[ {8 + \frac{3}{x}} \right]dx = 8x + 3\ln \left| x \right| + C} $

Theo đề ta có $F\left( {{e^3}} \right) = 5 \Leftrightarrow 8{e^3} + 3\ln \left| {{e^3}} \right| + C = 5$

$ \Leftrightarrow 8{e^3} + 9 + C = 5 \Leftrightarrow C = – 4 – 8{e^3}$

Suy ra, $F(x) = 8x + 3\ln \left| x \right| – 4 – 8{e^3}$

Vậy $F(1) = 8.1 + 3\ln \left| 1 \right| – 4 – 8{e^3} = 4 – 8{e^3} = – 156,7$.