Các Dạng Câu Hỏi Trả Lời Ngắn Nguyên Hàm Thỏa Điều Kiện Giải Chi Tiết

Các dạng câu hỏi trả lời ngắn nguyên hàm thỏa điều kiện giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

DẠNG 1: CHO HÀM $f(x)$, TÌM NGUYÊN HÀM CỦA $f(x)$

Câu 1. Biết $F\left( x \right) = a{x^2} + b{e^x} + c$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x + {e^x}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 2025$. Tính giá trị $a + b + c$.

Lời giải

Ta có $\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {2x + {e^x}} \right)} dx} = {x^2} + {e^x} + C$.

$F\left( 0 \right) = 2025 \Leftrightarrow {0^2} + {e^0} + C = 2025 \Leftrightarrow C = 2024$.

Suy ra $F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2024$.

Vậy $a + b + c = 1 + 1 + 2024 = 2026$.

Câu 2. Biết $F\left( x \right) = ax + b\cos x + \frac{{\sqrt c }}{2} – \frac{\pi }{d}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin x + 1$ thỏa mãn $F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 0$. Tính giá trị $a + b + c + d$.

Lời giải

Ta có $\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {\sin x + 1} \right)} dx} = – cosx + x + C$.

$F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Rightarrow \frac{\pi }{6} – \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{\pi }{6}$.

Suy ra $F\left( x \right) = x – \cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{\pi }{6}$.

Vậy $a + b + c = 1 – 1 + 3 + 6 = 9$.

Câu 3. Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}$ và $F\left( 1 \right) = 0$. Biết $F\left( 0 \right) = \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ tối giản và $b > 0$. Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {f(x)dx = } \int {{{(5x + 3)}^5}dx = } \frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{{30}} + C$

$F\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 0 = \frac{{{{(5.1 + 3)}^6}}}{{30}} + C \Rightarrow C = – \frac{{131072}}{{15}}$

$ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{{30}} – \frac{{131072}}{{15}}$

$ \Rightarrow F\left( 0 \right) = \frac{{{{(5.0 + 3)}^6}}}{{30}} – \frac{{131072}}{{15}} = – \frac{{52283}}{6}$

Vậy $a + b = – 52283 + 6 = – 52277$.

Câu 4. Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{{3 – 5{x^2}}}{x}$. Biết $F(e) = 1$. Tính $F\left( 2 \right)$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

$F\left( x \right) = \int {f(x)dx = } \int {\frac{{3 – 5{x^2}}}{x}dx = } \int {\left( {\frac{3}{x} – 5x} \right)dx = 3\ln \left| x \right|} – \frac{{5{x^2}}}{2} + C$

$F(e) = 1 \Rightarrow 3\ln \left| e \right| – \frac{{5{e^2}}}{2} + C \Rightarrow C = \frac{{5{e^2}}}{2} – 3$

$ \Rightarrow F\left( x \right) = 3\ln \left| x \right| – \frac{{5{x^2}}}{2} + \frac{{5{e^2}}}{2} – 3$

Vậy $F\left( 2 \right) = 3\ln \left| 2 \right| – \frac{{{{5.2}^2}}}{2} + \frac{{5{e^2}}}{2} – 3 \approx 7,55$

Câu 5. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 5,}&{x \geqslant 1} \\
{3{x^2} + 4,}&{x < 1}
\end{array}.} \right.$ Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0) = 2$. Tính giá trị của $F( – 1) + 2F(2)$.

Lời giải

Ta có $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 5}&{ khi x \geqslant 1} \\
{3{x^2} + 4}&{ khi x < 1}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{F(x) = {x^2} + 5x + {C_1}}&{x \geqslant 1} \\
{F(x) = {x^3} + 4x + {C_2}}&{x < 1}
\end{array}} \right.} \right.$

Vì $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0) = 2$ nên ${C_2} = 2 \Rightarrow F(x) = {x^3} + 4x + 2$.

Vì $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $F(x)$ liên tục tại $x = 1$ nên:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} F(x) = F(1) \Rightarrow 6 + {C_1} = 7 \Rightarrow {C_1} = 1$

Vậy ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{F(x) = {x^2} + 5x + 2}&{x \geqslant 1} \\
{F(x) = {x^3} + 4x + 1}&{x < 1}
\end{array} \Rightarrow F( – 1) + 2F(2) = – 3 + 2.15 = 27} \right.$

Câu 6. Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {2^x}$, thỏa mãn $F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}$. Biết biểu thức $T = F\left( 0 \right) + F\left( 1 \right) + … + F\left( {2024} \right) + F\left( {2025} \right) = \frac{{{2^a} – 1}}{{\ln b}}$. Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ta có $\int {f\left( x \right)} dx = \int {{2^x}} dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$

$F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {2^x}$, ta có $F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$ mà $F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}$

$ \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}$.

$T = F\left( 0 \right) + F\left( 1 \right) + … + F\left( {2024} \right) + F\left( {2025} \right)$

$ = \frac{1}{{\ln 2}}\left( {1 + 2 + {2^2} + … + {2^{2024}} + {2^{2025}}} \right)$$ = \frac{1}{{\ln 2}}.\frac{{{2^{2026}} – 1}}{{2 – 1}}$$ = \frac{{{2^{2026}} – 1}}{{\ln 2}}$

Vậy $a + b = 2026 + 2 = 2028$.

Câu 7. Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$. Biết $F\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = k$ với mọi $k \in \mathbb{Z}$. Tính giá trị của biểu thức $T = F\left( 0 \right) + F\left( \pi \right) + F\left( {2\pi } \right) + … + F\left( {10\pi } \right)$.

Lời giải

Ta có $\int {f\left( x \right)dx = } \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \tan x + C} $.

Suy ra $F\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\tan x + {C_0},\,\,\,x \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right) \hfill \\
\tan x + {C_1},\,\,\,x \in \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right) \hfill \\
\tan x + {C_2},\,\,\,x \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right) \hfill \\
… \hfill \\
\tan x + {C_9},\,\,\,x \in \left( {\frac{{17\pi }}{2};\frac{{19\pi }}{2}} \right) \hfill \\
\tan x + {C_{10}},\,\,\,x \in \left( {\frac{{19\pi }}{2};\frac{{21\pi }}{2}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
F\left( {\frac{\pi }{4} + 0\pi } \right) = 1 + {C_0} = 0 \Rightarrow {C_0} = – 1 \hfill \\
F\left( {\frac{\pi }{4} + \pi } \right) = 1 + {C_1} = 1 \Rightarrow {C_1} = 0 \hfill \\
F\left( {\frac{\pi }{4} + 2\pi } \right) = 1 + {C_2} = 2 \Rightarrow {C_0} = 1 \hfill \\
… \hfill \\
F\left( {\frac{\pi }{4} + 9\pi } \right) = 1 + {C_9} = 9 \Rightarrow {C_9} = 8 \hfill \\
F\left( {\frac{\pi }{4} + 10\pi } \right) = 1 + {C_{10}} = 10 \Rightarrow {C_{10}} = 9. \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Vậy $F\left( 0 \right) + F\left( \pi \right) + F\left( {2\pi } \right) + … + F\left( {10\pi } \right)$

$ = \tan 0 – 1 + \tan \pi + \tan 2\pi + 1 + … + \tan 10\pi + 9 = 44$

DẠNG 2: BÀI TOÁN CHO HÀM $f'(x)$, TÌM HÀM $f(x)$

Chú ý:

$\int {f'(x)dx} = f(x) + C$

Câu 8. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f’\left( x \right) = 2x – 5$,$\forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( { – 1} \right) = 2$. Biết hàm số $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$. Giá trị $a + b + c$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$f’\left( x \right) = 2x – 5$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'(x)dx} = \int {\left( {2x – 5} \right)} dx = {x^2} – 5x + C$

Mà $f\left( { – 1} \right) = 2$

$ \Rightarrow {( – 1)^2} – 5.( – 1) + C = 2 \Leftrightarrow C = – 4$

Suy ra $f\left( x \right) = {x^2} – 5x – 4$

Vậy $a + b + c = 1 – 5 – 4 = – 8$

Câu 9. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f’\left( x \right) = 2025 – 2{\sin ^2}\frac{x}{2}$,$\forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1012\pi $. Biết hàm số $f\left( x \right) = ax + b\sin x + c$. Giá trị $a + b + c$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$f’\left( x \right) = 2025 – 2{\sin ^2}\frac{x}{2}$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'(x)dx} = \int {\left( {2025 – 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx$

$ = \int {\left( {2025 – 2.\frac{{1 – cosx}}{2}} \right)} dx = \int {\left( {2024 + \cos x} \right)} dx = 2024x – \sin x + C$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = 2024x – \sin x + C$

$f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1012\pi $

$ \Rightarrow 2024.\frac{\pi }{2} – \sin \frac{\pi }{2} + C = 1012\pi \Leftrightarrow C = 1$

Suy ra $f\left( x \right) = 2024x – \sin x + 1$

Vậy $a + b + c = 2024 + 1 – 1 = 2024$

Câu 10. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f’\left( x \right) = 1 + {e^{2x}}$, $\forall x,\,f\left( 0 \right) = 2$. Biết hàm số $f\left( x \right) = ax + b{e^{2x}} + c$. Giá trị $a + 20b + c$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

$f’\left( x \right) = 1 + {e^{2x}}$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left( {1 + {e^{2x}}} \right)} dx = x + \frac{1}{2}{e^{2x}} + C$

$f\left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1$

Suy ra $f\left( x \right) = x + \frac{1}{2}{e^{2x}} + 1$

Vậy $a + 20b + c = 1 + 20.\frac{1}{2} + 2 = 12$

Câu 11. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và: $f’\left( x \right) = {2^x} + {3^x}$, $\forall x,\,f\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 3}}$. Tính $f\left( 1 \right)$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

$f’\left( x \right) = {2^x} + {3^x}$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {({2^x} + {3^x}) dx = } \int {{2^x}dx} + \int {{3^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$

Mà $f\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 3}}$$ \Rightarrow \frac{1}{{\ln 3}} = \frac{1}{{\ln 2}} + \frac{1}{{\ln 3}} + C \Leftrightarrow C = \frac{1}{{\ln 2}}$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{\ln 2}}$

Vậy $f\left( 1 \right) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} + \frac{{{3^1}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{\ln 2}} \approx 7,06$

Câu 12. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và: $f’\left( x \right) = {e^{3x + 2024}}$, $\forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( { – 675} \right) = 1$. Tính $f\left( { – 674} \right)$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

$f’\left( x \right) = {e^{3x + 2024}}$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {{e^{3x + 2024}}dx} = \frac{1}{3}{e^{3x + 2024}} + C$

Mà $\,f\left( { – 675} \right) = 1$

$ \Rightarrow 1 = \frac{1}{3}{e^{3.\left( { – 675} \right) + 2024}} + C \Rightarrow C = 1 – \frac{1}{{3e}}$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^{3x + 2024}} + 1 – \frac{1}{{3e}}$

Vậy $f\left( { – 674} \right) = \frac{1}{3}{e^{3.( – 674) + 2024}} + 1 – \frac{1}{{3e}} \approx 3,34$.

Câu 13. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f’\left( x \right) = {3^{x + 2}}{.2^{2x + 1}},\,\forall x \in \mathbb{R}$, và $f\left( 0 \right) = \frac{1}{{2\ln 2}}$. Tính $f\left( 1 \right)$ (làm tròn đến hàng phần chục).

Lời giải

$f’\left( x \right) = {3^{x + 2}}{.2^{2x + 1}}$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {{3^{x + 2}}{{.2}^{2x + 1}}dx} = \int {{3^2}{{.3}^x}{{.2.4}^x}dx} = 18\int {{{12}^x}dx} = 18.\frac{{{{12}^x}}}{{\ln 12}} + C$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = 18.\frac{{{{12}^x}}}{{\ln 12}} + C$

Mà $f\left( 0 \right) = \frac{1}{{2\ln 2}}$

$ \Rightarrow \frac{1}{{2\ln 2}} = 18.\frac{1}{{\ln 12}} + C \Rightarrow C = \frac{1}{{2\ln 2}} – \frac{{18}}{{2\ln 2 + \ln 3}}$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = 18.\frac{{{{12}^x}}}{{\ln 12}} + \frac{1}{{2\ln 2}} – \frac{{18}}{{2\ln 2 + \ln 3}}$

Vậy $f\left( 1 \right) = 18.\frac{{{{12}^1}}}{{\ln 12}} + \frac{1}{{2\ln 2}} – \frac{{18}}{{2\ln 2 + \ln 3}} \approx 80,4$.

Câu 14. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f’\left( x \right) = {\left( {{3^x} + {5^x}} \right)^2},\,\forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 5 + \ln 3 + \ln 2}}$. Tính $f\left( 1 \right)$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

$f’\left( x \right) = {\left( {{3^x} + {5^x}} \right)^2}$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {{{\left( {{3^x} + {5^x}} \right)}^2}dx} = \int {\left( {{9^x} + {{30}^x} + {{25}^x}} \right)dx} = \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + \frac{{{{30}^x}}}{{\ln 30}} + \frac{{{{25}^x}}}{{\ln 25}} + C$

$ = \frac{{{9^x}}}{{2\ln 3}} + \frac{{{{30}^x}}}{{\ln 5 + \ln 3 + \ln 2}} + \frac{{{{25}^x}}}{{2\ln 5}} + C$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{9^x}}}{{2\ln 3}} + \frac{{{{30}^x}}}{{\ln 5 + \ln 3 + \ln 2}} + \frac{{{{25}^x}}}{{2\ln 5}} + C$

$\,f\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 5 + \ln 3 + \ln 2}}$

$ \Rightarrow \,\frac{1}{{\ln 5 + \ln 3 + \ln 2}} = \frac{1}{{2\ln 3}} + \frac{1}{{\ln 5 + \ln 3 + \ln 2}} + \frac{1}{{2\ln 5}} + C \Leftrightarrow C = – \frac{1}{{2\ln 3}} – \frac{1}{{2\ln 5}}$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{9^x}}}{{2\ln 3}} + \frac{{{{30}^x}}}{{\ln 5 + \ln 3 + \ln 2}} + \frac{{{{25}^x}}}{{2\ln 5}} – \frac{1}{{2\ln 3}} – \frac{1}{{2\ln 5}}$

Vậy $f\left( 1 \right) = \frac{{{9^1}}}{{2\ln 3}} + \frac{{{{30}^1}}}{{\ln 5 + \ln 3 + \ln 2}} + \frac{{{{25}^1}}}{{2\ln 5}} – \frac{1}{{2\ln 3}} – \frac{1}{{2\ln 5}} \approx 19,92$.