Các Dạng Toán Trắc Nghiệm Tích Phân Có Lời Giải Chi Tiết

Các dạng toán trắc nghiệm tích phân có lời giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Dạng 1: Tính tích phân sử dụng bảng nguyên hàm sơ cấp

Câu 1. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {(2x – 3)dx} $

A. $I = – 2$. B. $I = 0$. C. $I = 1$. D. $I = 3$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $I = \int\limits_0^1 {(2x – 3)dx} = \left. {\left( {{x^2} – 3x} \right)} \right|_0^2 = – 2 – 0 = – 2$.

Câu 2. Tích phân $\int\limits_1^e {\left( {2x + 1} \right)dx} = a{e^2} + be + c$ với $a$, $b$, $c$ là các số nguyên. Tính $S = a + b + c$.

A. $S = 1$. B. $S = 0$. C. $S = 2$. D. $S = 3$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $\int\limits_1^e {\left( {2x + 1} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_1^e = \left( {{e^2} + e} \right) – \left( {{1^2} + 1} \right) = {e^2} + e – 2$.

Vậy $S = 1 + 1 + ( – 2) = 0$.

Câu 3. Tích phân $I = \int\limits_2^5 {\left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = \ln \frac{a}{b} – \frac{c}{d}$ với $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ tối giản, $b > 0$, $d > 0$. Tính $S = a + b + c + d$.

A. $S = 20$ B. $S = 15$ C. $S = – 15$ D. $S = 1$

Lời giải

Chọn A.

$I = \int\limits_2^5 {\left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{1}{x}} \right)} \right|_2^5$

$ = \left( {\ln 5 + \frac{1}{5}} \right) – \left( {\ln 2 + \frac{1}{2}} \right) = \ln \frac{5}{2} – \frac{3}{{10}}$.

Vậy $S = a + b + c + d = 5 + 2 + 3 + 10 = 20$

Câu 4. Biết $\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}} dx = a + b\ln c,$ với $a,b,c \in \mathbb{Z},c < 9.$ Tính tổng $S = a + b + c.$

A. $S = 7$. B. $S = 5$. C. $S = 8$. D. $S = 6$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}} dx = \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx} = \int\limits_1^3 {dx} + \int\limits_1^3 {\frac{2}{x}} dx$

$ = 2 + 2\left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^3 = 2 + 2\ln 3.$

Do đó $a = 2,\,b = 2,\,c = 3 \Rightarrow S = 7.$

Câu 5. Tích phân $\int\limits_0^1 {{e^{3x + 1}}dx} $ bằng

A. $\frac{1}{3}\left( {{e^4} + e} \right)$ B. ${e^3} – e$ C. $\frac{1}{3}\left( {{e^4} – e} \right)$ D. ${e^4} – e$

Lời giải

Chọn C.

$\int\limits_0^1 {{e^{3x + 1}}dx} $$ = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {{e^{3x + 1}}d\left( {3x + 1} \right)} $$ = \left. {\frac{1}{3}{e^{3x + 1}}} \right|_0^1$$ = \frac{1}{3}\left( {{e^4} – e} \right)$.

Câu 6. Biết $\int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx = \frac{e}{a} + b} $ $\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó giá trị của $P = a + b$ là

A. $P = – 3$ B. $P = 1$ C. $P = – 1$ D. $P = 3$

Lời giải

Chọn B.

$I = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx = \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}dx = \left[ {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}} \right]_0^1 = \frac{e}{2} – 1} } $

Câu 7. Giá trị của $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}} – 4}}{{{e^x} + 2}}dx} $ bằng

A. $I = 2\left( {e + 3} \right)$. B. $I = \frac{1}{2}\left( {e + 3} \right)$. C. $I = e – 3$. D. $I = 2\left( {e – 3} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

$I = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}} – 4}}{{{e^x} + 2}}dx = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{e^x} – 2} \right)\left( {{e^x} + 2} \right)}}{{{e^x} + 2}}dx} } $

$ = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} – 2} \right)dx = \left( {{e^x} – 2x} \right)_0^1 = e – 3} $

Câu 8. Biết $\int\limits_1^2 {{e^x}\left( {1 – \frac{{{e^{ – x}}}}{x}} \right)dx} = {e^2} + a.e + b\ln 2$ $\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó giá trị của $P = \frac{{a + b}}{{a.b}}$ là

A. $P = – 3$ B. $P = 1$ C. $P = – 1$ D. $P = – 2$

Lời giải

Chọn D.

$I = \int\limits_1^2 {{e^x}\left( {1 – \frac{{{e^{ – x}}}}{x}} \right)dx} $$ = \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} – \frac{1}{x}} \right)dx} $

$ = \left( {{e^x} – \ln \left| x \right|} \right)_1^2 = {e^2} – e – \ln 2$

Câu 9. Biết $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x – 1}} – {e^{ – 3x}} + 1}}{{{e^x}}}dx} = \frac{1}{a} + b$ $\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{R}} \right)$. Khi đó giá trị của $P = \frac{{a + b}}{{a.b}}$ là

A. $P = {e^4} – 1$ B. $P = \frac{{{e^4} – 1}}{{{e^2}}}$ C. $P = \frac{{{e^4} – 1}}{{{e^4}}}$ D. $P = \frac{{1 – {e^4}}}{{{e^4}}}$

Lời giải

Chọn D.

$I = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x – 1}} – {e^{ – 3x}} + 1}}{{{e^x}}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{e^{x – 1}} – {e^{ – 4x}} + {e^{ – x}}} \right)dx} $

$ = \left. {\left( {{e^{x – 1}} – \frac{{{e^{ – 4x}}}}{{ – 4}} + \frac{{{e^{ – x}}}}{{ – 1}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{1 – {e^4}}}{{{e^4}}} = \frac{1}{{{e^4}}} – 1$

$ \Rightarrow P = \frac{{a + b}}{{a.b}} = \frac{{1 – {e^4}}}{{{e^4}}}$

Câu 10. Giá trị của $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} $ bằng

A. 0. B. 1. C. -1. D. $\frac{\pi }{2}$.

Lời giải

Chọn B.

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = – \cos x\left| \begin{gathered}
\frac{\pi }{2} \hfill \\
0 \hfill \\
\end{gathered} \right. = 1$.

Câu 11. Biết $\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x + x} \right)dx} = \frac{{a + b\sqrt 3 }}{2} + \frac{{{\pi ^2}}}{c}$ $\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,c \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó giá trị của $P = a + 2b + 3c$ là

A. $P = 45$ B. $P = 60$ C. $P = 65$ D. $P = 70$

Lời giải

Chọn B.

$\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x + x} \right)dx} $

$ = \left. {\left( { – 2\cos x + 3\sin x + \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{12 – 3\sqrt 3 }}{2} + \frac{{{\pi ^2}}}{{18}}$

$ \Rightarrow P = a + 2b + 3c = 60$

Câu 12. Biết $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {3{{\tan }^2}xdx} = a\sqrt 3 + b + \frac{\pi }{c}$ $\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,c \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó giá trị của $P = a + b + c$ là

A. $P = 6$ B. $P = – 4$ C. $P = 4$ D. $P = – 6$

Lời giải

Chọn B.

$\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {3{{\tan }^2}xdx} = 3\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1} \right)dx} $

$ = \left. {3\left( {\tan x – x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} = 3\sqrt 3 – 3 – \frac{\pi }{4}$

$ \Rightarrow P = a + b + c = 3 – 3 – 4 = – 4$

Câu 13. Biết $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2{{\cot }^2}x + 5} \right)dx} = \frac{\pi }{a} + b\sqrt 3 + c$ $\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,c \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó giá trị của $P = a + b + c$ là

A. $P = 6$ B. $P = – 4$ C. $P = 4$ D. $P = – 6$

Lời giải

Chọn C.

$\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2{{\cot }^2}x + 5} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – 1} \right) + 5} \right)dx} $

$ = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {3 – \frac{{ – 2}}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx = \left. {\left( {3x – \cot x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + \sqrt 3 – 1} $

Câu 14. Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\frac{x}{4}{{\cos }^2}\frac{x}{4}dx} = \frac{\pi }{c} + \frac{a}{b}$ với $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{Z}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị của $P = a + b + c$ là

A. $P = 17$ B. $P = 16$ C. $P = 32$ D. $P = 49$

Lời giải

Chọn D.

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\frac{x}{4}{{\cos }^2}\frac{x}{4}dx} = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} $

$ = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{{1 – \cos x}}{2}} \right)dx = \left. {\frac{1}{8}\left( {x – \frac{1}{4}\sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}} $

$ = \frac{\pi }{{16}} + \frac{1}{{32}}$

$ \Rightarrow P = a + b + c = 1 + 32 + 16 = 49$

Dạng 2: Tích phân hàm trị tuyệt đối

Câu 15. Giá trị của $I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 – \cos 2x} dx} $ bằng

A. $\sqrt 3 $. B. $4\sqrt 2 $. C. $2\sqrt 3 $. D. $\frac{\pi }{2}$.

Lời giải

Chọn B.

$I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 – \cos 2x} dx} = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {2{{\sin }^2}x} dx = \sqrt 2 \int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx} } $

Do $x \in \left[ {0;\pi } \right] \to \sin x > 0$

$ \Rightarrow \left| {\sin x} \right| = \sin x\;;x \in \left[ {\pi ;2\pi } \right] \to \sin x < 0$

$ \Rightarrow \left| {\sin x} \right| = – \sin x$

Vậy : $I = \sqrt 2 \left( {\int\limits_0^\pi {\sin xdx + \int\limits_\pi ^{2\pi } { – \sin xdx} } } \right) = \sqrt 2 \left( { – \cos x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\pi \\0\end{array} + \cos x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2\pi } \\\pi
\end{array}} \right.} \right.} \right) = \sqrt 2 \left( {1 + 1 + 1 + 1} \right) = 4\sqrt 2 $

Câu 16. Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {\left| {x – 2} \right|dx} $.

A. $I = – 2$. B. $I = 4$. C. $I = 2$. D. $I = 0$.

Lời giải

Chọn C.

$I = \int\limits_0^2 {\left| {x – 2} \right|dx} $.

+ Do $x \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow x – 2 < 0, \Leftrightarrow \left| {x – 2} \right| = 2 – x$

+ Vậy $I = \int\limits_0^2 {\left( {2 – x} \right)dx = \left( {2x – \frac{1}{2}{x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2 \\0
\end{array} = 4 – 2 = 2} \right.} $

Câu 17. Tích phân $I = \int\limits_1^2 {\left| {x – \sqrt 3 } \right|dx} = \frac{a}{b} + c\sqrt 3 $ với $\frac{a}{b}$ tối giản, $b > 0$, $c \in \mathbb{Z}$. Tính $S = a + b + c$.

A. $S = 15$. B. $S = 0$. C. $S = 10$. D. $S = 1$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $\left| {x – \sqrt 3 } \right| = \left\{ \begin{gathered}
x – \sqrt 3 \,\,khi\,x \geqslant \sqrt 3 \hfill \\
– \left( {x – \sqrt 3 } \right)\,\,khi\,x < \sqrt 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Khi đó $I = \int\limits_1^2 {\left| {x – \sqrt 3 } \right|dx} = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\left| {x – \sqrt 3 } \right|dx} + \int\limits_{\sqrt 3 }^2 {\left| {x – \sqrt 3 } \right|dx} $

$ = – \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\left( {x – \sqrt 3 } \right)dx} + \int\limits_{\sqrt 3 }^2 {\left( {x – \sqrt 3 } \right)dx} $

$ = – \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \sqrt 3 x} \right)} \right|_1^{\sqrt 3 } + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \sqrt 3 x} \right)} \right|_{\sqrt 3 }^2$

$ = \left( {2 – \sqrt 3 } \right) + \left( {\frac{7}{2} – 2\sqrt 3 } \right) = \frac{{11}}{2} – 3\sqrt 3 $.

Vậy $S = a + b + c = 11 + 2 – 3 = 10$.

Câu 18. Cho tích phân $I = \int\limits_0^3 {\left| {{2^x} – 4} \right|dx} = a + \frac{b}{{c\ln 2}}$ với $a,b,c \in \mathbb{Z}$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $P = {a^2} + {b^2} + {c^2}$.

A. $P = 15$ B. $P = 10$ C. $P = 5$ D. $P = 18$

Lời giải

Chọn D.

$I = \int\limits_0^3 {\left| {{2^x} – 4} \right|dx} $

– Nhận xét : ${2^x} – 4 > 0 \Leftrightarrow x > 2$

$ \Rightarrow f(x) > 0\,\forall x \in \left[ {2;3} \right]$; $f(x) < 0\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]$

– Suy ra $I = \int\limits_0^2 {\left( {4 – {2^x}} \right)dx + \int\limits_2^3 {\left( {{2^x} – 4} \right)dx} } $

$ = \left( {4x – \frac{1}{{\ln 2}}{2^x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2 \\0
\end{array} + \left( {\frac{1}{{\ln 2}}{2^x} – 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3 \\2
\end{array}} \right.} \right.$

$ = \left( {8 – \frac{3}{{\ln 2}}} \right) + \left( {\frac{4}{{\ln 2}} – 4} \right) = 4 + \frac{1}{{\ln 2}}$

$ \Rightarrow P = {a^2} + {b^2} + {c^2} = {4^2} + {1^2} + {1^2} = 18$

Câu 19. Cho $a$ là số thực dương, tính tích phân $I = \int\limits_{ – 1}^a {\left| x \right|dx} $ theo $a$.

A. $I = \frac{{{a^2} + 1}}{2}$. B. $I = \frac{{{a^2} + 2}}{2}$. C. $I = \frac{{ – 2{a^2} + 1}}{2}$. D. $I = \frac{{\left| {3{a^2} – 1} \right|}}{2}$.

Lời giải

Chọn A.

Vì $a > 0$ nên $I = – \int\limits_{ – 1}^0 {x\;dx + } \int\limits_0^a {x\;dx} = \frac{1}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{1 + {a^2}}}{2}$

Câu 20. Cho số thực $m > 1$ thỏa mãn $\int\limits_1^m {\left| {2mx – 1} \right|dx} = 1$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $m \in \left( {4;6} \right)$. B. $m \in \left( {2;4} \right)$. C. $m \in \left( {3;5} \right)$. D. $m \in \left( {1;3} \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Do $m > 1 \Rightarrow 2m > 2 \Rightarrow \frac{1}{{2m}} < 1$.

Do đó với $m > 1,x \in \left[ {1;m} \right] \Rightarrow 2mx – 1 > 0$.

Vậy $\int\limits_1^m {\left| {2mx – 1} \right|dx} = \int\limits_1^m {\left( {2mx – 1} \right)dx} $

$ = \left( {m{x^2} – x} \right)\left| \begin{gathered}
m \hfill \\
1 \hfill \\
\end{gathered} \right. = {m^3} – m – m + 1 = {m^3} – 2m + 1$.

Từ đó theo bài ra ta có ${m^3} – 2m + 1 = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = 0\, \hfill \\
m = \sqrt 2 \hfill \\
m = – \sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Do $m > 1$ nên $m = \sqrt 2 \in \left( {1;3} \right)$.