- Các Dạng Bài Tập Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Trắc Nghiệm Đúng Sai Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trả Lời Ngắn Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Trắc Nghiệm Nguyên Hàm Thỏa Điều Kiện Cho Trước Giải Chi Tiết
- Các Dạng Câu Hỏi Trả Lời Ngắn Nguyên Hàm Thỏa Điều Kiện Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Ứng Dụng Thực Tế Của Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Về Tích Phân Năm Học 2024-2025 Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Tích Phân Có Điều Kiện Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Trắc Nghiệm Tích Phân Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Đúng Sai Tích Phân Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Ứng Dụng Tích Phân Trong Thực Tiễn Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Tích Phân Hàm Ẩn Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Trắc Nghiệm Ứng Dụng Tích Phân Để Tính Diện Tích Hình Phẳng
Các dạng bài tập trắc nghiệm tích phân có điều kiện giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN CÓ ĐIỀU KIỆN
Chú ý :
$\int\limits_a^b {f(x)dx} = \left. {F(x)} \right|_a^b = F(b) – F(a)$ trong đó $\left. {F(x)} \right|$ là một nguyên hàm của $f(x)$
$\int\limits_a^b {f'(x)dx} = \left. {f(x)} \right|_a^b = f(b) – f(a)$
Câu 1. Nếu $F’\left( x \right) = 2 – \sin x$ và $F\left( 0 \right) = – 2$ thì giá trị của $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$ bằng
A. $\pi $ B. $\pi – 1$ C. $\pi – 2$ D. $\pi – 3$
Lời giải
Ta có: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {F’\,\left( x \right)} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 – \sin x} \right)} dx = \left. {\left( {2x + cosx} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi – 1$.
Lại có: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {F’\,\left( x \right)} dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) – F\left( 0 \right)$.
Chú ý : $\int\limits_a^b {f(x)dx} = \left. {F(x)} \right|_a^b = F(b) – F(a)$
Suy ra $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) – F\left( 0 \right) = \pi – 1$.
$ \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \pi – 1 + F\left( 0 \right) = \pi – 1 + ( – 2) = \pi – 3$
Chọn B.
Câu 2. Nếu $F’\left( x \right) = 3{e^x}$ và $F\left( {\ln 7} \right) = 10$ thì giá trị của $F\left( 0 \right)$ bằng
A. $18$ B. $ – 5$ C. $ – 8$ D. $ – 9$
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $\int\limits_0^{\ln 7} {F’\,\left( x \right)} dx = \int\limits_0^{\ln 7} {3{e^x}} dx = \left. {3{e^x}} \right|_0^{\ln 7} = 18$.
Lại có: $\int\limits_0^{\ln 7} {F’\,\left( x \right)} dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^{\ln 7} = F\left( {\ln 7} \right) – F\left( 0 \right)$.
Suy ra $F\left( {\ln 7} \right) – F\left( 0 \right) = 18$.
$ \Rightarrow F\left( 0 \right) = F\left( {\ln 7} \right) – 18 = 10 – 18 = – 8$
Câu 3. Nếu $F’\left( x \right) = 2x + 7$ và $F\left( 2 \right) = 5$ thì giá trị của $F\left( 1 \right)$ bằng
A. $1$ B. $ – 5$ C. $10$ D. $15$
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $\int\limits_1^2 {F’\,\left( x \right)} dx = \int\limits_1^2 {\left( {2x + 7} \right)} dx = \left. {\left( {{x^2} + 7x} \right)} \right|_1^2 = 10$.
Lại có: $\int\limits_1^2 {F’\,\left( x \right)} dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^2 = F\left( 2 \right) – F\left( 1 \right)$.
Suy ra $F\left( 2 \right) – F\left( 1 \right) = 10$.
$ \Rightarrow F(1) = F(2) – 10 = 5 – 10 = – 5$
Câu 4. Nếu $F’\left( x \right) = \frac{1}{{2x}}$ và $F\left( 1 \right) = 1$ thì giá trị của $F\left( 4 \right)$ bằng
A. $\ln 2.$ B. $1 + \ln 2$ C. $1 + \frac{1}{2}\ln 2$ D. $\frac{1}{2}\ln 2$
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $\int\limits_1^4 {F’\,\left( x \right)} dx = \int\limits_1^4 {\frac{1}{{2x}}} dx = \left. {\frac{1}{2}\ln |x|} \right|_1^4 = \ln 2$.
Lại có: $\int\limits_1^4 {F’\,\left( x \right)} dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^4 = F\left( 4 \right) – F\left( 1 \right)$.
Suy ra $F\left( 4 \right) – F\left( 1 \right) = \ln 2$.
Do đó $F\left( 4 \right) = F\left( 1 \right) + \ln 2 = 1 + \ln 2$.
Câu 5. Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{2}{x}$. Biết $F\left( { – 1} \right) = 0$. Tính $F\left( { – 2} \right)$.
A. $2\ln 2 + 1$. B. $\ln 2$. C. $2\ln 3 + 2$. D. $2\ln 2$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $\int\limits_{ – 2}^{ – 1} {f(x)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_{ – 2}^{ – 1} = F\left( { – 1} \right) – F\left( { – 2} \right)} $
$\int\limits_{ – 2}^{ – 1} {f(x)dx = } \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\frac{2}{x}} = \left. {2\ln \left| x \right|} \right|_{ – 2}^{ – 1} = – 2\ln 2$
$ \Rightarrow F\left( { – 1} \right) – F\left( { – 2} \right) = – 2\ln 2$
$ \Rightarrow F\left( { – 2} \right) = F\left( { – 1} \right) + 2\ln 2 = 0 + 2\ln 2 = 2\ln 2$
Câu 6. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục, có đạo hàm trên $\left[ {0;2025} \right]$, $f\left( 0 \right) = 2030$; $f\left( {2025} \right) = 4$. Tích phân $\int\limits_0^{2025} {f’\left( x \right)} dx$ bằng
A. $2026.$ B. $2027.$ C. $2024.$ D. $2025.$
Lời giải
Chú ý : $\int\limits_a^b {f'(x)dx} = \left. {f(x)} \right|_a^b = f(b) – f(a)$
Ta có $\int\limits_0^{2025} {f’\left( x \right)} dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^{2025} = f\left( {2025} \right) – f\left( 0 \right)$
$ = 2030 – 4 = 2026$
Chọn A.
Câu 7. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục, có đạo hàm trên $\left[ { – 1;2} \right]$, $f\left( { – 1} \right) = 8$; $f\left( 2 \right) = – 1$. Tích phân $\int\limits_{ – 1}^2 {f’\left( x \right)} dx$ bằng
A. $1.$ B. $7.$ C. $ – 9.$ D. $9.$
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\int\limits_{ – 1}^2 {f’\left( x \right)} dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_{ – 1}^2 = f\left( 2 \right) – f\left( { – 1} \right)$
$ = – 1 – 8 = – 9$
Câu 8. Biết $F\left( x \right) = {x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f(x)} \right]dx} $ bằng
A. $10$. B. $8$. C. $\frac{{26}}{3}$. D. $\frac{{32}}{3}$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f(x)} \right]dx} = \left. {\left( {x + F\left( x \right)} \right)} \right|_1^3 = \left. {\left( {x + {x^2}} \right)} \right|_1^3 = 12 – 2 = 10.$
Câu 9. Biết $F(x) = {x^3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int\limits_1^3 {(1 + f(x))dx} $bằng
A. 20. B. 22. C. 26. D. 28.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f(x)} \right]} dx = \left[ {x + F(x)} \right]\left| {\mathop {}\limits_1^3 } \right. = \left[ {x + {x^3})} \right]\left| {\mathop {}\limits_1^3 } \right. = 30 – 2 = 28$.
Câu 10. Biết $F\left( x \right) = {x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int\limits_1^2 {\left[ {2 + f\left( x \right)} \right]dx} $ bằng
A. $5$. B. $3$. C. $\frac{{13}}{3}$. D. $\frac{7}{3}$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $\int\limits_1^2 {\left[ {2 + f\left( x \right)} \right]dx} = \left( {2x + {x^2}} \right)\left| \begin{gathered}
2 \hfill \\
1 \hfill \\
\end{gathered} \right. = 8 – 3 = 5$
Câu 11. Biết $F(x) = {x^3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int\limits_1^2 {\left( {2 + f(x)} \right)} dx$ bằng
A. $\frac{{23}}{4}$. B. $7$. C. $9$. D. $\frac{{15}}{4}$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\int\limits_1^2 {\left( {2 + f(x)} \right)} dx = \int\limits_1^2 {2dx} + \int\limits_1^2 {f(x)dx} $
$ = \left. {2x} \right|_1^2 + \left. {F(x)} \right|_1^2 = 2 + \left. {{x^3}} \right|_1^2 = 2 + 7 = 9$
Câu 12. Cho hàm số $f\left( x \right)$. Biết $f\left( 0 \right) = 1$ và $f’\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{3}, \forall x \in \mathbb{R}$, khi đó $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} $ bằng
A. $\frac{{93}}{4}$ B. $\frac{{47}}{2}$ C. $23$ D. $\frac{{91}}{4}$
Lời giải
Chọn A.
Ta có $f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)dx = \int {\frac{{{x^2}}}{3}} } dx = {x^3} + C.$
Do $f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1$
Suy ra $f\left( x \right) = {x^3} + 1$
Suy ra $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {\left( {{x^3} + 1} \right)dx} $$ = \left( {\frac{{{x^4}}}{4} + x} \right)\left| \begin{gathered}
3 \hfill \\
0 \hfill \\
\end{gathered} \right. = \frac{{93}}{4}$
Câu 13. Cho hàm số $f\left( x \right)$. Biết $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 5$ và $f’\left( x \right) = 3cosx, \forall x \in \mathbb{R}$, khi đó $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} $ bằng
A. $\frac{{93}}{4}$ B. $\frac{{47}}{2}$
C. $23$ D. $\frac{{91}}{4}$
Lời giải
Chọn A.
Ta có $f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)dx = \int {3cosx} } dx = 3\sin x + C.$
Do $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 5 \Leftrightarrow 3\sin \frac{\pi }{2} + C = 5 \Rightarrow C = 2$
Suy ra $f\left( x \right) = 3\sin x + 2$
Vậy $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\sin x + 2} \right)dx} $
$ = \left. {\left( { – 3cosx + 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi + 3$
Câu 14. Cho hàm số $f\left( x \right)$. Biết $f\left( 0 \right) = 4$ và $f’\left( x \right) = 2{\sin ^2}\frac{x}{2} + 1, \forall x \in \mathbb{R}$, khi đó $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} $ bằng
A. $\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 8\sqrt 2 – 16}}{{16}}$ B. $\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 2\sqrt 2 – 4}}{{16}}$
C. $\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 8\sqrt 2 }}{{16}}$ D. $\frac{{{\pi ^2} + 16\pi – 16}}{{16}}.$
Lời giải
Chọn A.
Ta có $f\left( x \right) = \int {\left( {2{{\sin }^2}\frac{x}{2} + 1} \right)dx = \int {\left( {2 – \cos x} \right)} } dx$
$ = 2x – \sin x + C$
Vì $f\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 4$
Hay $f\left( x \right) = 2x – \sin x + 4.$
Suy ra $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2x – \sin x + 4} \right)dx} $
$ = \left( {{x^2} + \cos x + 4x} \right)\left| \begin{gathered}
\frac{\pi }{4} \hfill \\
0 \hfill \\
\end{gathered} \right. = \frac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \pi – 1$
$ = \frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 8\sqrt 2 – 16}}{{16}}.$
Câu 15. Cho hàm số $f(x)$. Biết $f(0) = 4$ và $f'(x) = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} + 3,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$, khi đó $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} $ bằng?
A. $\frac{{{\pi ^2} + 8\pi – 8 – \sqrt 2 }}{8}$. B. $\frac{{{\pi ^2} + 8\pi – 8 – 4\sqrt 2 }}{8}$.
C. $\frac{{{\pi ^2} + 6\pi + 8}}{8}$. D. $\frac{{{\pi ^2} + 8\pi – 4\sqrt 2 }}{8}$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có $f(x) = \int {{f^{^,}}(x)dx} = \int {(2{{\cos }^2}\frac{x}{2} + 3)dx} $$ = \int {(2.\frac{{1 + \cos x}}{2} + 3)dx} $$ = \int {(\cos x + 4)dx} = \sin x + 4x + C$
$ \Rightarrow f(x) = \sin x + 4x + C$
do$f(0) = 4 \Rightarrow C = 4$.
Vậy $f(x) = \sin x + 4x + 4$ nên $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(\sin x + 4x + 4} )dx$
$ = \left. {( – \cos x + 2{x^2} + 4x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{{\pi ^2} + 8\pi – 8 – 4\sqrt 2 }}{8}$.
Câu 16. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{e^{2x}}}&{ khi x \geqslant 0} \\
{{x^2} + x + 1}&{ khi x < 0}
\end{array}} \right.$. Biết tích phân $\int\limits_{ – 1}^1 {f(x)\;dx} = \frac{a}{b} + \frac{{{e^2}}}{c}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị $a + b + c$ bằng
A. $7$. B. $8$. C. $6$. D. $10$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $I = \int\limits_{ – 1}^1 {f(x)dx} = \int\limits_{ – 1}^0 {\left( {{x^2} + x + 1} \right)dx} + \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} = \frac{5}{6} + \frac{{{e^2}}}{2} – \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{{{e^2}}}{2}$.
Vậy $a + b + c = 6$.
Câu 17. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 1}&{ khi x \geqslant 2} \\
{{x^2} – 2x + 3}&{ khi x < 2}
\end{array}} \right.$. Tích phân $I = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {f(x)d} x$ bằng:
A. $\frac{{23}}{3}$. B. $\frac{{23}}{6}$. C. $\frac{{17}}{6}$. D. $\frac{{17}}{3}$.
Lời giải
Chọn B
$I = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {f(x)d} x = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} – 2x + 3} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} – 1} \right)dx} } \right] = \frac{{23}}{6}$.
Câu 18. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x\left( {1 + {x^2}} \right)}&{ khi x \geqslant 3} \\
{\frac{1}{{x – 4}}}&{ khi x < 3}
\end{array}} \right.$. Tích phân $I = \int\limits_2^4 {f(t)dt} $ bằng:
A. $\frac{{40}}{3} – \ln 2$. B. $\frac{{95}}{6} + \ln 2$. C. $\frac{{189}}{4} + \ln 2$. D. $\frac{{189}}{4} – \ln 2$.
Lời giải
Chọn D
$I = \int\limits_2^4 {f(t)dt} = \int\limits_2^4 {f(x)d} x = \int\limits_2^3 {\frac{1}{{x – 4}}d} x + \int\limits_3^4 {x\left( {1 + {x^2}} \right)d} x = \frac{{189}}{4} – \ln 2$.
Câu 19. Cho số thực $a$ và hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
6x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \leqslant 1 \hfill \\
ax + 2\,\,\,\,khi\,\,\,x > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Biết hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Tích phân $\int_0^2 {f\left( x \right)dx} $ bằng:
A. $11$. B. $12$. C. $13$. D. $14$.
Lời giải
Chọn A
Do hàm số $f(x)$liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$
Suy ra, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = f(1)$
$ \Leftrightarrow a + 2 = 6 = 6 \Rightarrow a = 4$
Do đó $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
6x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \leqslant 1 \hfill \\
4x + 2\,\,\,\,khi\,\,x > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $\int_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int_1^2 {f\left( x \right)dx} $
$ = \int_0^1 {6xdx} + \int_1^2 {\left( {4x + 2} \right)dx} $$ = \left. {3{x^2}} \right|_0^1 + \left. {\left( {2{x^2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = 11$
Câu 20. Cho số thực $a$ và hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \leqslant 0 \hfill \\
a\left( {x – {x^2}} \right)\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Tính tích phân $\int_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} $ bằng:
A. $\frac{a}{6} – 1.$ B. $\frac{{2a}}{3} + 1.$ C. $\frac{a}{6} + 1.$ D. $\frac{{2a}}{3} – 1.$
Lời giải
Chọn A
Ta có, $\int_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} = \int_{ – 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int_0^1 {f\left( x \right)dx} $
$ = \int_{ – 1}^0 {2xdx} + \int_0^1 {a\left( {x – {x^2}} \right)dx} $
$ = \left. {\left( {{x^2}} \right)} \right|_{ – 1}^0 + \left. {a\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = – 1 + a\left( {\frac{1}{6}} \right) = \frac{a}{6} – 1$.
Câu 21. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 5,}&{x \geqslant 1} \\
{3{x^2} + 4,}&{x < 1}
\end{array}.} \right.$ Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn
$F(0) = 2$. Giá trị của $F( – 1) + 2F(2)$ bằng
A. 27 . B. 29 . C. 12 . D. 33 .
Lời giải
Ta có $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 5}&{ khi x \geqslant 1} \\
{3{x^2} + 4}&{ khi x < 1}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{F(x) = {x^2} + 5x + {C_1}}&{x \geqslant 1} \\
{F(x) = {x^3} + 4x + {C_2}}&{x < 1}
\end{array}} \right.$
Vì $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0) = 2$ nên ${C_2} = 2 \Rightarrow F(x) = {x^3} + 4x + 2$.
Vì $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $F(x)$ liên tục tại $x = 1$ nên:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} F(x) = F(1) \Rightarrow 6 + {C_1} = 7 \Rightarrow {C_1} = 1$
Vậy ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{F(x) = {x^2} + 5x + 2}&{x \geqslant 1} \\
{F(x) = {x^3} + 4x + 1}&{x < 1}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow F( – 1) + 2F(2) = – 3 + 2.15 = 27$
Câu 22. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x – 1 khi \,\,x \geqslant 1} \\
{3{x^2} – 2 khi \,\, x < 1}
\end{array}} \right.$. Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn
$F(0) = 2$. Giá trị của $F( – 1) + 2\;F(2)$ bằng
A. $9$. B. 15 . C. 11 D. 6
Lời giải
Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Với $x \geqslant 1$ thì $\int f (x)dx = \int {(2x – 1)} dx = {x^2} – x + {C_1}$
Với $x < 1$ thì $\int f (x)dx = \int {\left( {3{x^2} – 2} \right)} dx = {x^3} – 2x + {C_2}$
Mà $F(0) = 2$ nên ${C_2} = 2$.
Khi đó $F(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – x + {C_1}}&{ khi x \geqslant 1} \\
{{x^3} – 2x + 2}&{ khi x < 1}
\end{array}} \right.$
Đồng thời $F(x)$ cũng liên tục trên $\mathbb{R}$ nên: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = F(1) = 1 \Leftrightarrow {C_1} = 1$
Do đó $F(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – x + 1\quad khi x \geqslant 1} \\
{{x^3} – 2x + 2 khi x < 1}
\end{array}} \right.$
Do đó $F(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – x + 1\;\,\,\,khi\;x \geqslant 1} \\
{{x^3} – 2x + 2\,\,\;khi\;x < 1}
\end{array}} \right.$
Vậy: $F( – 1) + 2\;F(2) = 3 + 2.3 = 9$.