Các Dạng Bài Tập Ứng Dụng Tích Phân Trong Thực Tiễn Giải Chi Tiết

Các dạng bài tập ứng dụng tích phân trong thực tiễn giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG THỰC TIỄN

Chú ý:

– $v(t) = \int {a(t)dt} $

– $s(t) = \int {v(t)dt} $

– Quảng đường di chuyển của một vật trong khoảng thời gian từ $a$ đến $b$ là $s = \int\limits_a^b {v(t)dt} $

Vi dụ 1. Một xe đạp điện đang chạy thì gặp chướng ngại vật, người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, xe đạp điện chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left( t \right) = – 2t + 8\left( {m/s} \right)$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường di chuyển từ lúc xe chuyển động chậm dần đều đến khi dừng hẳn.

Lời giải

Xe dừng hẳn $ \Leftrightarrow v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow – 2t + 8 = 0 \Leftrightarrow t = 4$

Suy ra, thời gian từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là $4$ giây.

Khi đó quãng đường xe di chuyển là $S = \int\limits_0^4 {\left( { – 2t + 8} \right)} dt = \left. {\left( { – {t^2} + 8t} \right)} \right|_0^4 = 16\,m$.

Vi dụ 2. Một ô tô đang chạy thì gặp chướng ngại vật, người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left( t \right) = – 5t + 20\left( {m/s} \right)$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ($m$)?

Lời giải

Ô tô dừng hẳn $ \Leftrightarrow v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow – 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 4\left( s \right)$.

Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được: $s = \int\limits_0^4 {\left( { – 5t + 20} \right)dt = 40\left( m \right)} $.

Vi dụ 3. Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc $10m/s$ thì gặp chướng ngại vật, người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left( t \right) = – 2t + 10\left( {m/s} \right)$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong $8$ giây cuối cùng.

Lời giải

Xe dừng hẳn $ \Leftrightarrow v\left( t \right) = 0$$ \Leftrightarrow – 2t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 5$

Suy ra, thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là $5$ giây.

Vậy trong $8$ giây cuối cùng thì có $3$ giây ô tô chuyển động với vận tốc $10m/s$ và $5$ giây chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left( t \right) = – 2t + 10\left( {m/s} \right)$.

Khi đó quãng đường ô tô di chuyển là $S = 3.10 + \int\limits_0^5 {\left( { – 2t + 10} \right)} dt = 30 + 25 = 55m$.

Vi dụ 4. Một quả tên lửa bắt đầu chuyển động chậm dần đều với vận tốc ${v_1}\left( t \right) = – 2t + 30\left( {\;m/s} \right)$, trong đó thời gian $t$ tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động chậm dần đều . Sau khi chuyển động chậm dần đều được $8$ giây thì quả tên lửa tăng tốc chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ${v_2}\left( t \right)$ và gia tốc là $a = 4\,\left( {\;m/{s^2}} \right)$.

a) Tính quãng đường quả tên lửa chuyển động chậm dần đều.

b) Tính tổng quãng đường quả tên lửa chuyển động từ lúc bắt đầu chuyển động chậm dần đều đến giây thứ 60.

Lời giải

a) Quãng đường quả tên lửa chuyển động chậm dần đều là

${s_1} = \int\limits_0^8 {{v_1}(t)dt} = \int\limits_0^8 {\left( { – 2t + 30} \right)dt} = \left. {\left( { – {t^2} + 30t} \right)} \right|_0^8 = 176m$

b) Ta có: ${v_2}\left( t \right) = \int {a(t)dt = } \int {4dt = } 4t + C$

Tại thời điểm sau khi chuyển động được $8$ giây ta có: ${v_1}\left( 8 \right) = 14\left( {\;m/s} \right)$

Nên ${v_2}\left( 8 \right) = 14 \Leftrightarrow 4.8 + C = 14 \Rightarrow C = \frac{{35}}{{16}}$

Suy ra, ${v_2}\left( t \right) = 4t + \frac{{35}}{{16}}$

Tổng quãng đường quả tên lửa chuyển động từ lúc bắt đầu chuyển động chậm dần đều đến giây thứ 60 là

$s = {s_1} + {s_2} = 176 + \int\limits_8^{60} {{v_2}(t)} dt$;

${s_2} = \int\limits_8^{60} {{v_2}(t)} d = \int\limits_8^{60} {\left( {4t + \frac{{35}}{{16}}} \right)} d = \left. {\left( {2{t^2} + \frac{{35}}{{16}}t} \right)} \right|_8^{60}$

$ = \frac{{28743}}{4} = 7185,75\,m$

Vậy tổng quãng đường quả tên lửa chuyển động từ lúc bắt đầu chuyển động chậm dần đều đến giây thứ 60 là

$s = {s_1} + {s_2} = 176 + 7185,75 = 7361,75\,\left( {\;m} \right)$.

Vi dụ 5. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ${v_1}\left( t \right) = 4t\left( {\;m/s} \right)$, trong đó thời gian $t$ tính bằng giây. Sau khi chuyển động được $10$ giây thì ô tô gặp chuớng ngại vật và người tài xế phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc ${v_2}\left( t \right)$ và gia tốc là $a = – 3\,\left( {\;m/{s^2}} \right)$ cho đến khi dừng hẳn.

a) Tính quãng đường ô tô chuyển động nhanh dần đều.

b) Tính vận tốc của ô tô tại thời điểm người tài xế phanh gấp.

c) Tính thời gian từ lúc ô tô giảm tốc độ cho đến khi dừng hẳn.

d) Tính tổng quãng đường ô tô chuyển động từ lúc xuất phát đến khi dừng hẳn.

Lời giải

a) Quãng đường ô tô chuyển động nhanh dần đều là

${s_1} = \int\limits_0^{10} {{v_1}(t)dt} = \int\limits_0^{10} {4tdt} = 2\left. {{t^2}} \right|_0^{10} = 200m$

b) vận tốc của ô tô tại thời điểm người tài xế phanh gấp là

${v_1}\left( {10} \right) = 4.10 = 40\left( {\;m/s} \right)$

c) Ta có: ${v_2}\left( t \right) = \int {a(t)dt = } \int { – 3dt = } – 3t + C$

Tại thời điểm phanh gấp $t = 10$ ta có: ${v_1}\left( {10} \right) = 40\left( {\;m/s} \right)$

Nên ${v_2}\left( {10} \right) = 40 \Leftrightarrow – 3.10 + C = 40 \Rightarrow C = 70$

Suy ra, ${v_2}\left( t \right) = – 3t + 70$

Ô tô dừng hẳn $ \Leftrightarrow {v_2}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow – 3t + 70 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{70}}{3}$

Vậy thời gian từ lúc ô tô giảm tốc độ cho đến khi dừng hẳn là $\frac{{70}}{3} – 10 = \frac{{40}}{3}$ (giây).

d) Ta có:

$s = {s_1} + {s_2} = \int\limits_0^{10} {{v_1}(t)} dt + \int\limits_{10}^{\frac{{70}}{3}} {{v_2}(t)} dt$;

${s_1} = \int\limits_0^{10} {{v_1}(t)dt} = \int\limits_0^{10} {4tdt} = 2\left. {{t^2}} \right|_0^{10} = 200m$;

${s_2} = \int\limits_{10}^{\frac{{70}}{3}} {{v_2}(t)dt} = \int\limits_6^{\frac{{70}}{3}} {\left( { – 3t + 70} \right)dt} $

$ = \left. {\left( { – \frac{{3{t^2}}}{2} + 70t} \right)} \right|_6^{\frac{{70}}{3}} = \frac{{1352}}{3}$

Vậy tổng quãng đường ô tô chuyển động từ lúc xuất phát đến khi dừng hẳn là

$s = {s_1} + {s_2} = 200 + \frac{{1352}}{3} = \frac{{1952}}{3} \approx 650,7\left( {\;m} \right)$.

Vi dụ 6. Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v\left( t \right) = \frac{1}{{120}}{t^2} + \frac{{58}}{{45}}t\left( {m/s} \right)$, trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng cùng hướng với $A$ nhưng chậm hơn $3$ giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a\left( {m/{s^2}} \right)$ ($a$ là hằng số). Sau khi $B$ xuất phát được $15$ giây thì đuổi kịp $A$. Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng

Lời giải

Thời điểm chất điểm $B$ đuổi kịp chất điểm $A$ thì chất điểm $B$ đi được $15$giây, chất điểm $A$đi được $18$ giây.

Biểu thức vận tốc của chất điểm $B$ có dạng ${v_B}\left( t \right) = \int {adt} = at + C$ mà ${v_B}\left( 0 \right) = 0$ nên ${v_B}\left( t \right) = at$.

Do từ lúc chất điểm $A$ bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm $B$ đuổi kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được bằng nhau.

Do đó

$\int_0^{18} {\left( {\frac{1}{{120}}{t^2} + \frac{{58}}{{45}}} \right)dt} = \int_0^{15} {atdt} \Leftrightarrow 225 = a.\frac{{225}}{2} \Leftrightarrow a = 2$

Vậy, vận tốc của chất điểm $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng ${v_B}\left( t \right) = 2.15 = 30\left( {m/s} \right)$.

Vi dụ 7. Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v\left( t \right) = \frac{1}{{150}}{t^2} + \frac{{59}}{{75}}t\left( {m/s} \right)$, trong đó $t$(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $a$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng cùng hướng với $A$ nhưng chậm hơn 3 giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a\left( {m/{s^2}} \right)$ ($a$ là hằng số). Sau khi $B$ xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp $A$. Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng

Lời giải

Quãng đường chất điểm $A$ đi từ đầu đến khi $B$ đuổi kịp là $S = \int\limits_0^{15} {\left( {\frac{1}{{150}}{t^2} + \frac{{59}}{{75}}t} \right)dt} = 96\left( m \right)$.

Vận tốc của chất điểm $B$ là ${v_B}\left( t \right) = \int {adt} = at + C$.

Tại thời điểm $t = 3$ vật $B$ bắt đầu từ trạng thái nghỉ nên ${v_B}\left( 3 \right) = 0 \Leftrightarrow C = – 3a$.

Lại có quãng đường chất điểm $B$ đi được đến khi gặp $A$ là ${S_2} = \int\limits_3^{15} {\left( {at – 3a} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{{a{t^2}}}{2} – 3at} \right)} \right|_3^{15} = 72a\left( m \right)$.

Vậy $72a = 96 \Leftrightarrow a = \frac{4}{3}$$\left( {m/{s^2}} \right)$.

Tại thời điểm đuổi kịp $A$ thì vận tốc của $B$ là ${v_B}\left( {15} \right) = 16\left( {m/s} \right)$.

Vi dụ 8. Một ô tô bắt đầu chuyển động thẳng đều với vận tốc ${v_0}$, sau 6 giây chuyển động thì gặp chướng ngại vật nên bắt đầu giảm tốc độ với vận tốc chuyển động $v(t) = – \frac{5}{2}t + a\,\,(m/s),\,\,(t \geqslant 6)$ cho đến khi dừng hẳn. Biết rằng kể từ lúc chuyển động đến lúc dừng thì ô tô đi được quãng đường là 80m. Tìm ${v_0}$.

Lời giải

– Tại thời điểm $t = 6$vật đang chuyển động với vận tốc ${v_0}$ nên có $v(6) = {v_0}$$ \Leftrightarrow – \frac{5}{2}.6 + a\,\, = {v_0} \Leftrightarrow a\,\, = {v_0} + 15$, suy ra $v(t) = – \frac{5}{2}t + {v_0} + 15$.

– Gọi $k$là thời điểm vật dừng hẳn, vậy ta có $v(k) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{2}{5}.\left( {{v_0} + 15} \right) \Leftrightarrow k = \frac{{2{v_0}}}{5} + 6$.

– Tổng quãng đường vật đi được là $80 = 6.{v_0} + \int\limits_6^k {\left( { – \frac{5}{2}t + {v_0} + 15} \right)dt} $

$ \Leftrightarrow 80 = 6.{v_0} + \left. {\left( { – \frac{5}{4}{t^2} + {v_0}.t + 15t} \right)} \right|_6^k$

$ \Leftrightarrow 80 = 6.{v_0} – \frac{5}{4}({k^2} – {6^2}) + {v_0}.(k – 6) + 15(k – 6)$

$ \Leftrightarrow 80 = 6.{v_0} – \frac{5}{4}\left( {\frac{{4{{\left( {{v_0}} \right)}^2}}}{{25}} + \frac{{24{v_0}}}{5}} \right) + {v_0}.\frac{{2{v_0}}}{5} + 15.\frac{{2{v_0}}}{5}$

$ \Leftrightarrow {\left( {{v_0}} \right)^2} + 36.{v_0} – 400 = 0$

$ \Leftrightarrow {v_0} = 10$

Vi dụ 9. Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu $1\,m$. Một ô tô $A$ đang chạy với vận tốc $16\,m/s$ bỗng gặp ô tô $B$ đang dừng đèn đỏ nên ô tô $A$ hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức ${v_A}\left( t \right) = 16 – 4t$ (đơn vị tính bằng $m/s$), thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để có $2$ ô tô $A$ và $B$ đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô $A$ phải hãm phanh khi cách ô tô $B$ một khoảng ít nhất là bao nhiêu?

Lời giải

Ta có: ${v_A}\left( 0 \right) = 16\,m/s$.

Khi xe $A$ dừng hẳn: ${v_A}\left( t \right) = 0$$ \Leftrightarrow t = 4\,s$.

Quãng đường từ lúc xe $A$ hãm phanh đến lúc dừng hẳn là $s = \int\limits_0^4 {\left( {16 – 4t} \right)dt} $ $ = 32\,m$.

Do các xe phải cách nhau tối thiểu $1\,m$để đảm bảo an toàn nên khi dừng lại ô tô $A$ phải hãm phanh khi cách ô tô $B$ một khoảng ít nhất là $33\,m$.

Vi dụ 10. Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc ${v_0} = 15\;m/s$ thì tăng tốc với gia tốc $a\left( t \right) = {t^2} + 4t\;\left( {m/{s^2}} \right)$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian $3$ giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.

Lời giải

$a\left( t \right) = {t^2} + 4t$ $ \Rightarrow v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + C $$\left( {C \in \mathbb{R}} \right)$.

Mà $v\left( 0 \right) = C = 15$ $ \Rightarrow v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15$.

Vậy $S = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15} \right)dt} = 69,75\;m$.

Vi dụ 11. Một vật chuyển động với vận tốc $10\,m/s$ thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là $a\left( t \right) = {t^2} + 3t$. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $6$ giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc.

Lời giải

Ta có $v\left( 0 \right) = 10\,m/s$ và $v\left( t \right) = \int\limits_0^t {a\left( t \right)dt} $$ = \int\limits_0^t {\left( {{t^2} + 3t} \right)dt} $$ = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{3{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^t$$ = \frac{1}{3}{t^3} + \frac{3}{2}{t^2}$.

Quãng đường vật đi được là $S = \int\limits_0^6 {v\left( t \right)dt} $$ = \int\limits_0^6 {\left( {\frac{1}{3}{t^3} + \frac{3}{2}{t^2}} \right)dt} $$ = \left. {\left( {\frac{1}{{12}}{t^4} + \frac{1}{2}{t^3}} \right)} \right|_0^6$$ = 216\,m$.

Vi dụ 12. Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc $v\left( t \right) = {t^2} + 10t$ $\left( {m/s} \right)$ với $t$ là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc $200\,\left( {m/s} \right)$ thì rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

Lời giải

Thời điểm máy bay đạt vận tốc $200\,\left( {m/s} \right)$ là $v\left( t \right) = 200 \Leftrightarrow {t^2} + 10t = 200$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = 10 \hfill \\
t = – 20 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow t = 10$

Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

$s = \int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)\,dt} = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + 5t} \right)} \right|_0^{10} = \frac{{2500}}{3}\,\left( m \right)$

Vi dụ 13. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ${v_1}\left( t \right) = 7t \left( {m/s} \right)$. Đi được $5s$, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = – 70 \left( {m/{s^2}} \right)$. Tính quãng đường $S$ đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

Lời giải

Sau $5s$ ô tô đạt vận tốc là $v\left( 5 \right) = 35\left( {m/s} \right)$.

Sau khi phanh vận tốc ô tô là $v\left( t \right) = 35 – 70\left( {t – 5} \right)$.

Ô tô dừng tại thời điểm $t = 5,5s$.

Quãng đường ô tô đi được là $S = \int\limits_0^5 {7tdt} + \int\limits_5^{5,5} {\left[ {35 – 70\left( {t – 5} \right)} \right]dt} = 96,25\left( m \right)$.

Vi dụ 14. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ${v_1}\left( t \right) = 2t\,\,\left( {m/s} \right)$. Đi được $12$ giây, người lái xe gặp chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = – 12\,\left( {m/{s^2}} \right)$. Tính quãng đường $s\left( m \right)$ đi được của ôtô từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn?

Lời giải

Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến khi gặp chướng ngại vật.

Quãng đường xe đi được là:

${S_1} = \int\limits_0^{12} {{v_1}\left( t \right)dt} $ $ = \int\limits_0^{12} {2tdt} $ $ = \left. {{t^2}} \right|_0^{12}$ $ = 144\,\left( m \right)$.

Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến khi dừng hẳn.

Ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc ${v_2}\left( t \right) = \int {adt} = – 12t + c$.

Vận tốc của xe khi gặp chướng ngại vật là: ${v_2}\left( 0 \right) = {v_1}\left( {12} \right) = 2.12 = 24\,\left( {m/s} \right)$.

$ \Rightarrow – 12.0 + c = 24$$ \Rightarrow c = 24$$ \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = – 12t + 24$.

Thời gian khi xe gặp chướng ngại vật đến khi xe dừng hẳn là nghiệm phương trình:

$ – 12t + 24 = 0$$ \Leftrightarrow t = 2$.

Khi đó, quãng đường xe đi được là:

${S_2} = \int\limits_0^2 {{v_2}\left( t \right)dt} $$ = \int\limits_0^2 {\left( { – 12t + 24} \right)dt} $ $ = \left. {\left( { – 6{t^2} + 24t} \right)} \right|_0^2 = 24\,\left( m \right)$.

Vậy tổng quãng đường xe đi được là: $S = {S_1} + {S_2} = 168\,\left( m \right)$.

Vi dụ 15. Một ôtô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc $a\left( t \right) = 6 – 2t\,\,\left( {m/{s^2}} \right)$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ôtô bắt đầu chuyển động. Hỏi quảng đường ôtô đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ôtô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?

Lời giải

$a\left( t \right) = 6 – 2t\,\,\left( {m/{s^2}} \right)$$ \Rightarrow v\left( t \right) = \int {\left( {6 – 2t} \right)dt} = 6t – {t^2} + C$

Xe dừng và bắt đầu chuyển động nên khi $t = 0$ thì $v = 0 \Rightarrow C = 0$$ \Rightarrow v\left( t \right) = 6t – {t^2}$.

$v\left( t \right) = 6t – {t^2}$ là hàm số bậc 2 nên đạt GTLN khi $t = – \frac{b}{{2a}} = 3\,\,\left( s \right)$

Quảng đường xe đi trong 3 giây đầu là: $S = \int\limits_0^3 {\left( {6t – {t^2}} \right)dt} = 18m$.

Vi dụ 16. Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t) = \frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{11}}{{18}}t\,\left( {m/s} \right)$, trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng cùng hướng với $A$ nhưng chậm hơn $5$ giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a\,\left( {m/{s^2}} \right)$ ($a$ là hằng số). Sau khi $B$ xuất phát được $10$ giây thì đuổi kịp $A$. Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng

Lời giải

Thời gian tính từ khi $A$ xuất phát đến khi bị $B$ đuổi kịp là $15$ giây, suy ra quãng đường đi được tới lúc đó là $\int\limits_0^{15} {v(t)dt} $$ = \int\limits_0^{15} {\left( {\frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{11}}{{18}}t} \right)dt} $$ = \left. {\left( {\frac{1}{{540}}{t^3} + \frac{{11}}{{36}}{t^2}} \right)} \right|_0^{15}$$ = 75\,\left( m \right)$.

Vận tốc của chất điểm $B$ là $y\left( t \right) = \int {a.dt} $$ = a.t + C$ ($C$ là hằng số); do $B$ xuất phát từ trạng thái nghỉ nên có $y\left( 0 \right) = 0$$ \Leftrightarrow C = 0$;

Quãng đường của $B$ từ khi xuất phát đến khi đuổi kịp $A$ là

$\int\limits_0^{10} {y(t)dt} = 75$$ \Leftrightarrow \int\limits_0^{10} {a.tdt} = 75$$ \Leftrightarrow \left. {\frac{{a.{t^2}}}{2}} \right|_0^{10} = 75$$ \Leftrightarrow 50a = 75$$ \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}$

Vậy có $y\left( t \right) = \frac{{3t}}{2}$; suy ra vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng $y\left( {10} \right) = 15\,\left( {m/s} \right)$.

Vi dụ 17. Hình bên là đồ thị vận tốc $v(t)$ của một vật ($t = 0$ là thời điểm vật bắt đầu chuyển động).

a) Tính quãng đường vật di chuyển được trong $2$ giây đầu tiên.

b) Tính tổng quãng đường vật di chuyển trong $5$ giây đầu tiên.

Lời giải

a) Trong $2$ giây đầu tiên, đồ thị hàm vận tốc $v(t)$ là đường thẳng nên có dạng $v(t) = at + b$.

Do đồ thị đi qua hai điểm $(0;0)$ và $(2;4)$ nên ta có: $\left\{ \begin{gathered}
0 = a.0 + b \hfill \\
4 = a.2 + b \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
b = 0 \hfill \\
a = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Suy ra, $v(t) = 2t$.

Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong $2$ giây đầu tiên là:

${s_1} = \int\limits_a^b {v(t)dt} = \int\limits_0^2 {2tdt} = \left. {{t^2}} \right|_0^2 = 4\,m$.

b) Trong giây thứ $2$ đến giây thứ $5$, đồ thị hàm vận tốc $v(t)$ là đường thẳng đi qua điểm $(0;4)$ và song song với trục $Ot$ nên có phương trình $v(t) = 4$

Suy ra, quãng đường mà vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ giây thứ $2$ đến giây thứ 5 là:

${s_2} = \int\limits_2^5 {v(t)dt} = \int\limits_2^5 {4dt} = \left. {4t} \right|_2^5 = 12\,(m)$.

Vậy tổng quãng đường vật di chuyển trong $5$ giây đầu tiên là $s = {s_1} + {s_3} = 4 + 12 = 16\,m$ nên d sai.

Vi dụ 18. Một vật chuyển động trong $3$ giờ với vận tốc $v\left( {km/h} \right)$ phụ thuộc thời gian $t \left( h \right)$có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh $I\left( {2;9} \right)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường $s$ mà vật di chuyển được trong $3$ giờ đó.

Lời giải

Gọi $v\left( t \right) = a.{t^2} + bt + c$.

Đồ thị $v\left( t \right)$ là một phần parabol có đỉnh $I\left( {2;9} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {0;6} \right)$ nên $\left\{ \begin{gathered}
\frac{{ – b}}{{2a}} = 2 \hfill \\
a{.2^2} + b.2 + c = 9 \hfill \\
a{.0^2} + b.0 + c = 6 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. $ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = \frac{{ – 3}}{4} \hfill \\
b = 3 \hfill \\
c = 6 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Suy ra, $v\left( t \right) = – \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6$

Vậy $S = \int\limits_0^3 {\left( { – \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6} \right)} dt = $ 24,75 (km)

Vi dụ 19. Một người chạy trong 2 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là 1 phần của đường Parabol với đỉnh $I\left( {1;5} \right)$ và trục đối xứng song song với trục tung Ov như hình vẽ. Tính quảng đường S người đó chạy được trong 1 giờ 30 phút kể từ lúc bắt đầu chạy (kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

Lời giải

Ta có 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ $ \Rightarrow S = \int\limits_0^{1,5} {v(t)dt} $.

Đồ thị $v = v(t)$ đi qua gốc tọa độ nên $v(t)$ có dạng $v(t) = a{t^2} + bt$.

Đồ thị $v = v(t)$ có đỉnh là I(1;5) nên $\left\{ \begin{gathered}
– \frac{b}{{2a}} = 1 \hfill \\
a + b = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
b = – 2a \hfill \\
a + b = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = – 5 \hfill \\
b = 10 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow v(t) = – 5{t^2} + 10t$

$S = \int\limits_0^{1,5} {\left( { – 5{t^2} + 10t} \right)dt} = \frac{{45}}{8} \approx 5,63$.

Vi dụ 20. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc $v(km/h)$ phụ thuộc vào thời gian $t(h)$ có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh $I(2;9)$ và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường $s$ mà vật chuyển động được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

* Tính quãng đường ${s_1}$ mà vật chuyển động được trong giờ đầu tiên.

Gọi phương trình của parabol $v = a{t^2} + bt + c$ ta có hệ như sau:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c = 4} \\
{4a + 2b + c = 9} \\
{ – \frac{b}{{2a}} = 2}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
b = 5 \hfill \\
c = 4 \hfill \\
a = – \frac{5}{4} \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Suy ra $v = – \frac{5}{4}{t^2} + 5t + 4$

$ \Rightarrow {s_1} = \int\limits_0^1 {\left( { – \frac{5}{4}{t^2} + 5t + 4} \right)} dt = \frac{{73}}{{12}}$.

* Tính quãng đường ${s_2}$ mà vật chuyển động được trong giờ thứ nhất nhất đến giờ thứ ba.

Với $t = 1$ ta có $v = \frac{{31}}{4}$

$ \Rightarrow {s_2} = \int\limits_1^3 {\frac{{31}}{4}} dt = \frac{{31}}{2}$

Vậy quãng đường $s$ mà vật chuyển động được trong 3 giờ là $s = {s_1} + {s_2} = \frac{{73}}{{12}} + \frac{{31}}{2} = \frac{{159}}{{12}} \approx 21,58$