Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Đúng Sai Tích Phân Có Lời Giải Chi Tiết

Các dạng bài tập trắc nghiệm đúng sai tích phân có lời giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Câu 1. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$. Khi đó:

a) $\int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( t \right)dt} $

b) $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = – \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} $

c) $\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0$

d) $\int\limits_a^b {2025f\left( x \right)dx = \frac{1}{{2025}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } $

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Đúng	Đúng	Sai

a) Theo tính chất tích phân nên a đúng.

b) Theo tính chất tích phân nên b đúng.

c) $\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = \left. {F(x)} \right|_a^a = F(a) – F(a) = 0$ nên c đúng.

d) $\int\limits_a^b {2025f\left( x \right)dx = 2025\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } $ nên d sai.

Câu 2. Cho hàm số $f\left( x \right) = \sin x$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$. Khi đó:

a) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx} = 1$.

b) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'(x)dx} = – 1$.

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt 2 f(x)dx} = \sqrt 2 $.

d) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {x + f(x)} \right]dx} = \frac{{{\pi ^2}}}{8} + 1$.

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Sai	Sai	Đúng

a) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = – \left. {cosx} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1$ nên a đúng.

b) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'(x)dx} = \,\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {cosxdx} = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1$ nên b sai.

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt 2 f(x)dx} = \sqrt 2 \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} = \sqrt 2 \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin xdx} $

$ = – \sqrt 2 \left. {cosx} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = – \sqrt 2 (\frac{{\sqrt 2 }}{2} – 1) = \sqrt 2 – 1$ nên c sai.

d) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {x + f(x)} \right]dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xdx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(xdx} $.

$ = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + 1 = \frac{{{\pi ^2}}}{8} + 1$ nên d đúng.

Câu 3. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và $k$ là một hằng số. Khi đó:

a)$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $.

b) $\int\limits_a^b {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $.

c) $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } $.

d) $\int\limits_a^b {\frac{1}{2}f\left( x \right)dx} = 2\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $.

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Sai	Đúng	Sai

Theo tính chất

$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $

$\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } $

Câu 4. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a < b < c$. Khi đó:

a) $\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} $

b) $\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} $

c) $\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } – \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} $

d) $\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} $

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Sai	Đúng	Sai	Sai

b) Đúng theo tính chất

Câu 5. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) $\int\limits_{ – 2025}^{2025} {dx} = 4050$.

b) $\int\limits_a^b {{f_1}\left( x \right).{f_2}\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {{f_1}\left( x \right)dx} .\int\limits_a^b {{f_2}\left( x \right)dx} $.

c) Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Khi đó $\frac{1}{{b – a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $ được gọi là giá trị trung bình của hàm số$f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.

d) Nếu hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ và $f’\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ thì $f\left( b \right) – f\left( a \right) = \int\limits_a^b {f’\left( x \right)dx} $

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Sai	Đúng	Đúng

Câu 6. Cho hàm $f\left( x \right)$ là hàm liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ với $a < b$ và $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm $f\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\left( {F\left( b \right) – F\left( a \right)} \right)$

b) $\int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) – F\left( a \right)$

c) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $x = a;x = b$; đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ và trục hoành được tính theo công thức $S = F\left( b \right) – F\left( a \right)$

d) $\int\limits_a^b {f\left( {2x + 3} \right)dx} = \left. {F\left( {2x + 3} \right)} \right|_a^b$

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Sai	Sai	Sai

Câu 7. Cho các hàm số $f\left( x \right)$, $g(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;9} \right]$ và $\int\limits_0^5 {f(x)dx = 3} $, $\int\limits_5^9 {f(x)dx = 8} $, $\int\limits_0^9 {g(x)dx = 15} $. Khi đó:

a) $\int\limits_0^9 {f(x)dx = } 11$

b) $\int\limits_5^9 {2f(x)dx = 4} $

c) $\int\limits_0^9 {\left[ {f(x) – 1} \right]dx = } 2$

d) $\int\limits_0^9 {\left[ {3f(x) – 2g(x)} \right]} = 7$

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Sai	Đúng	Sai

a) $\int\limits_0^9 {f(x)dx = } \int\limits_0^5 {f(x)dx + \int\limits_5^9 {f(x)dx = } } 3 + 8 = 11$ nên a đúng.

b) $\int\limits_5^9 {2f(x)dx} = 28 = 16$ nên b sai.

c) $\int\limits_0^9 {\left[ {f(x) – 1} \right]dx = } \int\limits_0^9 {f(x)dx – } \int\limits_0^9 {1dx = 11 – \left. x \right|_0^9} $

$ = 11 – 9 = 2$ nên c đúng.

d) $\int\limits_0^9 {\left[ {3f(x) – 2g(x)} \right]} = \int\limits_0^9 {3f(x)dx} – \int\limits_0^9 {2g(x)dx} $

$ = 3\int\limits_0^9 {f(x)dx} – 2\int\limits_0^9 {g(x)dx} = 3.11 – 2.15 = 3$ nên d sai.

Câu 8. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai

a) $\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}} – 4}}{{{e^x} + 2}}dx = e – 3} $

b) $\int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx = \frac{e}{2} + 1} $

c) $\int\limits_1^2 {{e^x}\left( {1 – \frac{{{e^{ – x}}}}{x}} \right)dx} = {e^2} – e – \ln 2$

d) $\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x – 1}} – {e^{ – 3x}} + 1}}{{{e^x}}}dx} = {e^4} – 1$

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Sai	Đúng	Sai

$\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}} – 4}}{{{e^x} + 2}}dx = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{e^x} – 2} \right)\left( {{e^x} + 2} \right)}}{{{e^x} + 2}}dx = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} – 2} \right)dx = \left( {{e^x} – 2x} \right)_0^1 = e – 3} } } $

$\int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx = \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}dx = \left[ {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}} \right]_0^1 = \frac{e}{2} – 1} } $

$\int\limits_1^2 {{e^x}\left( {1 – \frac{{{e^{ – x}}}}{x}} \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} – \frac{1}{x}} \right)dx = \left( {{e^x} – \ln \left| x \right|} \right)_1^2 = {e^2} – e – \ln 2} $

$\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x – 1}} – {e^{ – 3x}} + 1}}{{{e^x}}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{e^{x – 1}} – {e^{ – 4x}} + {e^{ – x}}} \right)dx} = \left. {\left( {{e^{x – 1}} – {e^{ – 4x}} + {e^{ – x}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{1 – {e^4}}}{{{e^4}}} = {e^{ – 4}} – 1$

Câu 9. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ${v_1}\left( t \right) = 4t\left( {\;m/s} \right)$, trong đó thời gian $t$ tính bằng giây. Sau khi chuyển động được 6 giây thì ô tô gặp chuớng ngại vật và người tài xế phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc ${v_2}\left( t \right)$ và gia tốc là $a = – 4\,\left( {\;m/{s^2}} \right)$ cho đến khi dừng hẳn. Khi đó:

a) Quãng đường ô tô chuyển động nhanh dần đều là $36\,m$.

b) Vận tốc của ô tô tại thời điểm người tài xế phanh gấp là $24\;m/s$.

c) Thời gian từ lúc ô tô giảm tốc độ cho đến khi dừng hẳn là 9 giây.

d) Tổng quãng đường ô tô chuyển động từ lúc xuất phát đến khi dừng hẳn là $120\,m$ .

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Sai	Đúng	Sai	Sai

a) Sai.

Quãng đường ô tô chuyển động nhanh dần đều là

${s_1} = \int\limits_0^6 {{v_1}(t)dt}  = \int\limits_0^6 {4tdt}  = 2\left. {{t^2}} \right|_0^6 = 72$

b) Đúng.

${v_1}\left( 6 \right) = 4.6 = 24\left( {\;m/s} \right)$

c) Đúng.

${v_2}\left( t \right) = \int {a(t)dt = } \int { – 4dt = } – 4t + C$

Tại thời điểm phanh gấp $t = 6$ ta có: ${v_1}\left( 6 \right) = 24\left( {\;m/s} \right)$

Nên ${v_2}\left( 6 \right) = 24 \Leftrightarrow – 4.6 + C = 24 \Rightarrow C = 48$

Suy ra, ${v_2}\left( t \right) = – 4t + 48$

Ô tô dừng hẳn $ \Leftrightarrow {v_2}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow – 4t + 48 = 0 \Leftrightarrow t = 12$

Vậy thời gian từ lúc ô tô giảm tốc độ cho đến khi dừng hẳn là $12 – 6 = 6$ (giây).

d) Sai.

$S = \int\limits_0^{12} {\left| {v\left( t \right)} \right|} dt = \int\limits_0^6 {{v_1}(t)} dt + \int\limits_6^{12} {{v_2}(t)} dt$;

${S_1} = \int\limits_0^6 {{v_1}(t)dt = } \int\limits_0^6 {4tdt = } 2\left. {{t^2}} \right|_0^6 = 72$;

${S_2} = \int\limits_6^{12} {{v_2}(t)dt}  = \int\limits_6^{12} {\left( { – 4t + 48} \right)dt}  = \left. {\left( { – 2{t^2} + 48t} \right)} \right|_6^{12} = 72$

Vậy $S = {S_1} + {S_2} = 72 + 72 = 144\left( {\;m} \right)$.

Câu 10. Hình bên là đồ thị vận tốc $v(t)$ của một vật ($t = 0$ là thời điểm vật bắt đầu chuyển động). Khi đó:

a) Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 4$ là $v(4) = 2$ .

b) Quãng đường vật di chuyển được trong $2$ giây đầu tiên là $4\,m$.

c) Quãng đường vật di chuyển được giây thứ $2$ đến thứ $4$ là $7m$.

d) Tổng quãng đường vật di chuyển trong $5$ giây đầu tiên là $15\,m$.

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Sai	Sai	Sai

a) Dựa vào đồ thị ta thấy khi $t = 4$ thì $v = 2$ nên a đúng.

b) Trong $2$ giây đầu tiên, đồ thị hàm vận tốc $v(t)$ là đường thẳng nên có dạng $v(t) = at + b$.

Do đồ thị đi qua hai điểm $(0;0)$ và $(2;2)$ nên ta có: $\left\{ \begin{gathered}
0 = a.0 + b \hfill \\
2 = a.2 + b \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
b = 0 \hfill \\
a = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Suy ra, $v(t) = t$.

Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong $2$ giây đầu tiên là:

${s_1} = \int\limits_a^b {v(t)dt} = \int\limits_0^2 {tdt} = \left. {\frac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^2 = 2\,m$ nên b sai.

c) Trong giây thứ $2$ đến giây thứ $4$, đồ thị hàm vận tốc $v(t)$ là đường thẳng đi qua điểm $(0;2)$ và song song với trục $Ot$ nên có phương trình $v(t) = 2$

Suy ra, quãng đường mà vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ giây thứ 3 đến giây thứ 5 là:

${s_2} = \int\limits_2^4 {v(t)dt} = \int\limits_2^4 {2dt} = \left. {2t} \right|_2^4 = 4\,(m)$ nên c sai.

d) Trong giây thứ $2$ đến giây thứ $5$, đồ thị hàm vận tốc $v(t)$ là đường thẳng đi qua điểm $(0;2)$ và song song với trục $Ot$ nên có phương trình $v(t) = 2$

Suy ra, quãng đường mà vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ giây thứ 3 đến giây thứ 5 là:

${s_3} = \int\limits_2^4 {v(t)dt} = \int\limits_2^5 {2dt} = \left. {2t} \right|_2^5 = 6\,(m)$.

Vậy tổng quãng đường vật di chuyển trong $5$ giây đầu tiên là $s = {s_1} + {s_3} = 2 + 6 = 8\,m$ nên d sai.