- Các Dạng Bài Tập Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Trắc Nghiệm Đúng Sai Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trả Lời Ngắn Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Trắc Nghiệm Nguyên Hàm Thỏa Điều Kiện Cho Trước Giải Chi Tiết
- Các Dạng Câu Hỏi Trả Lời Ngắn Nguyên Hàm Thỏa Điều Kiện Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Ứng Dụng Thực Tế Của Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Về Tích Phân Năm Học 2024-2025 Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Tích Phân Có Điều Kiện Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Trắc Nghiệm Tích Phân Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Đúng Sai Tích Phân Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Ứng Dụng Tích Phân Trong Thực Tiễn Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Tích Phân Hàm Ẩn Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Trắc Nghiệm Ứng Dụng Tích Phân Để Tính Diện Tích Hình Phẳng
Các dạng bài tập trắc nghiệm về nguyên hàm giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:
Chú ý:
$\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C$ với $\alpha \ne – 1$;
$\int {kdx = k} x + C$;
$\int {kf(x)dx = k} \int {f(x)dx} $;
$\int {\left( {f(x) + g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} $;
$\int {\left( {f(x) – g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} – \int {g(x)dx} $.
Câu 1. Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số liên tục trên trên $K$ và $k$ là hằng số. Trên $K$, mệnh đề nào sau đây sai.
A. $\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx = } \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} $. B. $\int {\left[ {f(x) – g(x)} \right]dx = } \int {f(x)dx} – \int {g(x)dx} $.
C. $\int {kf(x)dx} = k\int {f(x)dx} $. D. $\int {\left[ {f(x).g(x)} \right]dx = } \int {f(x)dx} .\int {g(x)dx} $.
Lời giải
Chọn D
Câu 2. Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
A. $\int {f(x)dx = } F(x) + C$. B. ${\left( {\int {f(x)dx} } \right)^\prime } = f(x)$.
C. ${\left( {\int {f(x)dx} } \right)^\prime } = f'(x)$. D. ${\left( {\int {f(x)dx} } \right)^\prime } = F'(x)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $\int {f(x)dx = } F(x) + C \Leftrightarrow F’\left( x \right) = f\left( x \right)$ nên phương án A, B, D đúng.
Câu 3. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^5} – 5$ là
A. $\frac{{{x^6}}}{6} – 5x + C$. B. $\frac{{{x^5}}}{5} – 5x + C$. C. $5{x^4} + C$. D. $5{x^6} – 5x + C$.
Lời giải
Chọn A.
$\int {\left( {2x + 6} \right)dx = {x^2} + 6x + C} $
Câu 4. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x + 6$ là
A. ${x^2} + C$. B. ${x^2} + 6x + C$. C. $2{x^2} + C$. D. $2{x^2} + 6x + C$.
Lời giải
Chọn B.
$\int {\left( {2x + 6} \right)dx = {x^2} + 6x + C} $
Câu 5. $\int {{x^2}dx} $ bằng
A. $2x + C$. B. $\frac{1}{3}{x^3} + C$. C. ${x^3} + C$. D. $3{x^3} + C$
Lời giải
Chọn B.
Ta có $\int {{x^2}dx} = \frac{1}{3}{x^3} + C$.
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3{x^2} + 1$ là
A. ${x^3} + C$ B. $\frac{{{x^3}}}{3} + x + C$ C. $6x + C$ D. ${x^3} + x + C$
Lời giải
Chọn D.
$\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx = {x^3} + x + C.} $
Câu 7. Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + x$ là
A. $\frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C$ B. $3{x^2} + 1 + C$ C. ${x^3} + x + C$ D. ${x^4} + {x^2} + C$
Lời giải
Chọn A.
$\int {\left( {{x^3} + {x^2}} \right)dx} $$ = \frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + C$.
Câu 8. Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^4} + {x^2}$ là
A. $\frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + C$ B. ${x^4} + {x^2} + C$ C. ${x^5} + {x^3} + C$. D. $4{x^3} + 2x + C$
Lời giải
Chọn A.
$\int {f\left( x \right)dx = } $$\int {\left( {{x^4} + {x^2}} \right)dx} $$ = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + C$.
Câu 9. Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số $y = {x^{2025}}$?
A. $\frac{{{x^{2026}}}}{{2026}} + 1$. B. $\frac{{{x^{2026}}}}{{2026}}$. C. $y = 2025{x^{2024}}$. D. $\frac{{{x^{2026}}}}{{2026}} – 1$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $\int {{x^{2025}}d} x = \frac{{{x^{2026}}}}{{2026}} + C,$ $C$ là hằng số.
Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số $y = {x^{2025}}$.
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số $f(x) = $ $\frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + x – 2024$ là
A. $\frac{1}{{12}}{x^4} – \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$. B. $\frac{1}{9}{x^4} – \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} – 2024x + C$.
C. $\frac{1}{{12}}{x^4} – \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} – 2024x + C$. D. $\frac{1}{9}{x^4} + \frac{2}{3}{x^3} – \frac{{{x^2}}}{2} – 2024x + C$.
Lời giải
Chọn C.
Sử dụng công thức $\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C} $ ta được:
$\int {\left( {\frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + x – 2024} \right)dx = } $
$\frac{1}{3}.\frac{{{x^4}}}{4} – 2.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} – 2024x + C$
$ = \frac{1}{{12}}{x^4} – \frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} – 2024x + C$
Câu 11. Tìm nguyên $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)\, = \,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)?$
A. $F\left( x \right)\, = \,\frac{{{x^4}}}{4}\, – \,6{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} – \,6x\, + \,C$. B. $F\left( x \right)\, = \,{x^4}\, + \,6{x^3}\, + \,11{x^2} + \,6x\, + \,C$.
C. $F\left( x \right)\, = \,\frac{{{x^4}}}{4}\, + 2{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} + \,6x\, + \,C$. D. $F\left( x \right)\, = \,{x^3}\, + \,6{x^2}\, + \,11{x^2} + \,6x\, + \,C$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $f\left( x \right)\, = \,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = \,{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6$
$ \Rightarrow \,\,F\left( x \right)\, = \,\int {\left( {{x^3} + \,6{x^2}\, + \,11x\, + \,6} \right)} dx\, = \,\,\frac{{{x^4}}}{4}\, + 2{x^3}\, + \,\frac{{11}}{2}{x^2} + \,6x\, + \,C$.
Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}$.
A. ${(5x + 3)^6} + C$. B. ${(5x + 3)^4} + C$. C. $\frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{{30}} + C$. D. $\frac{{{{(5x + 3)}^4}}}{{30}} + C$.
Lời giải
Chọn C.
$f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}$$ \Rightarrow \int {f(x)dx = } \int {{{(5x + 3)}^5}dx = } \frac{1}{5}.\frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{6} + C = \frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{{30}} + C$
Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}$.
A. $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{x} + C$. B. $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{2}{x} + C$.
C. $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{1}{x} + C$. D. $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{2}{x} + C$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $\int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{2}{x} + C$.
Câu 14. Tính $\int {\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } dx} $.
A. $\frac{4}{{15}}x\sqrt[{15}]{{{x^7}}} + C$. B. $\frac{8}{{15}}x\sqrt[{15}]{{{x^7}}} + C$. C. $\frac{8}{{15}}x\sqrt[{15}]{x} + C$. D. $\frac{4}{{15}}x\sqrt[{15}]{x} + C$.
Lời giải
Chọn B.
$\int {\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } dx} = \int {\sqrt {x\sqrt {x.{x^{\frac{1}{2}}}} } dx} $
$= \int {\sqrt {x.{x^{\frac{3}{4}}}} dx} = \int {{x^{\frac{7}{8}}}dx} $
$= \frac{{{x^{\frac{7}{8} + 1}}}}{{\frac{7}{8} + 1}} + C = \frac{8}{{15}}x\sqrt[{15}]{{{x^7}}} + C$
Câu 15. Tính $\int {\frac{{\sqrt x – 2\sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}}{{\sqrt[4]{x}}}dx} $.
A. $x\sqrt[5]{x} – 2x\sqrt[{17}]{{{x^5}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}} + C$. B. $\frac{4}{5}x\sqrt[5]{x} – \frac{{24}}{{17}}x\sqrt[{17}]{{{x^5}}} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{x^3}}} + C$.
C. $x\sqrt[5]{x} – \frac{{24}}{{17}}x\sqrt[{17}]{{{x^5}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}} + C$. D. $\frac{4}{5}x\sqrt[5]{x} – 2x\sqrt[{17}]{{{x^5}}} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{x^3}}} + C$.
Lời giải
Chọn B.
$\int {\frac{{\sqrt x – 2\sqrt[3]{{{x^2}}} + 1}}{{\sqrt[4]{x}}}dx} = \int {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}} – 2{x^{\frac{2}{3}}} + 1}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}dx = } \int {\left( {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} – 2\frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} + \frac{1}{{{x^{\frac{1}{4}}}}}} \right)dx} $
$ = \int {\left( {{x^{\frac{1}{4}}} – 2{x^{\frac{5}{{12}}}} + {x^{ – \frac{1}{4}}}} \right)dx = \frac{4}{5}} x\sqrt[5]{x} – \frac{{24}}{{17}}x\sqrt[{17}]{{{x^5}}} + \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{x^3}}} + C$
Câu 16. Cho hàm số $f(x) = {x^2} + 4$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\int f (x)dx = 2x + C$. B. $\int f (x)dx = {x^2} + 4x + C$.
C. $\int f (x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + C$. D. $\int f (x)dx = {x^3} + 4x + C$.
Lời giải
Ta có: $f(x) = {x^2} + 4 \Rightarrow \int f (x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + C$
Câu 17. Trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, cho hàm số $f\left( x \right) = {x^{\frac{3}{2}}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\int {f\left( x \right)} dx = \frac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$. B. $\int {f\left( x \right)} dx = \int {\sqrt {{x^3}} } dx$.
C. $\int {f\left( x \right)} dx = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + C$. D. $\int {f\left( x \right)} dx = \frac{2}{3}{x^{\frac{1}{2}}} + C$.
Lời giải
Ta có:$\int {f\left( x \right)} dx = \int {{x^{\frac{3}{2}}}} dx = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + C$.
Câu 18. Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\int {f\left( x \right)dx = } \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{1}{x} + C$. B. $\int {f\left( x \right)dx = } \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{2}{x} + C$.
C. $\int {f\left( x \right)dx = } \int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} dx$. D. $\int {f\left( x \right)dx = } \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{2}{x} + C$.
Lời giải
Ta có: $\int {f\left( x \right)dx = } \int {\frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}}} dx = \int {\left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{2}{x} + C$.
Câu 19. Cho hàm số $f\left( x \right) = {\left( {{x^2} – 2} \right)^{^2}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\int {f\left( x \right)dx = } 4{x^3} – 8x$. B. $\int {f\left( x \right)dx = } 4{x^3} – 8x + 4$.
C. $\int {f\left( x \right)dx = } \frac{{{x^5}}}{5} – \frac{{4{x^3}}}{3} + 4x + C$. D. $\int {f\left( x \right)dx = } \frac{{{x^4}}}{4} – 2{x^2} + 4 + C$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $\int {f\left( x \right)dx = } \int {{{\left( {{x^2} – 2} \right)}^{^2}}} dx = \int {\left( {{x^4} – 4{x^2} + 4} \right)} dx$
$ = \frac{{{x^5}}}{5} – \frac{{4{x^3}}}{3} + 4x + C$.
Dạng 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác:
Chú ý:
$\int {cosxdx = \sin x} + C$; $\int {cos\left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)} + C$;
$\int {\sin xdx = – cosx} + C$; $\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx = – \frac{1}{a}cosx\left( {ax + b} \right)} + C$;
$\int {\frac{1}{{co{s^2}x}}dx = \tan x} + C$;
$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = – \cot x} + C$;
Câu 20. Hàm số $F\left( x \right) = \cot x$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$
A. ${f_2}\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$. B. ${f_1}\left( x \right) = – \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$. C. ${f_4}\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$. D. ${f_3}\left( x \right) = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$.
Lời giải
Chọn D.
Có $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = – \cot x + C$ suy ra $F\left( x \right) = \cot x$ trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ là một nguyên hàm của hàm số ${f_3}\left( x \right) = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$.
Câu 21. Cho hàm số $f\left( x \right) = 1 + \sin x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $\int {f\left( x \right)dx} = x – \cos x + C$. B. $\int {f\left( x \right)dx} = x + \sin x + C$.
C. $\int {f\left( x \right)dx} = x + \cos x + C$. D. $\int {f\left( x \right)dx} = \cos x + C$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {1 + \sin x} \right)dx} = \int {1dx} + \int {\sin xdx} = x – \cos x + C} $.
Câu 22. Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {\cos ^2}\frac{x}{2}$
A. $F\left( x \right) = 2\cos \frac{x}{2} + C$ B. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + \sin x} \right) + C$
C. $F\left( x \right) = 2\sin \frac{x}{2} + C$ D. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {1 – \sin x} \right) + C$
Lời giải
Chọn B.
Ta có:$f\left( x \right) = {\cos ^2}\frac{x}{2} \Rightarrow F\left( x \right)$
$ = \int {{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 + \cos x}}{2}dx} $
$= \frac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos x} \right)dx} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sin x} \right) + C$
Câu 23. Cho hàm số $f\left( x \right) = 1 – \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $\int {f\left( x \right)dx} = x + \tan x + C$. B. $\int {f\left( x \right)dx} = x + \cot x + C$.
C. $\int {f\left( x \right)dx} = x – \tan x + C$. D. $\int {f\left( x \right)dx} = x – \cot x + C$.
Lời giải
Chọn C.
$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {1 – \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} = x – \tan x + C$.
Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \cos x + 6x$ là
A. $\sin x + 3{x^2} + C$. B. $ – \sin x + 3{x^2} + C$. C. $\sin x + 6{x^2} + C$. D. $ – \sin x + C$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {\cos x + 6x} \right)dx = \sin x + 3{x^2} + C} } $.
Câu 25. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2\sin x + 3x$.
A. $\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx = – 2\cos x + \frac{3}{2}{x^2} + C} $ B. $\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx = 2\cos x + 3{x^2} + C} $
C. $\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx = {{\sin }^2}x + \frac{3}{2}x + C} $ D. $\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx = \sin 2x + \frac{3}{2}{x^2} + C} $
Lời giải
Chọn A.
$\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx = – 2\cos x + \frac{3}{2}{x^2} + C} $
Câu 26. Tính$\int {\left( {x – \sin x} \right)} dx$.
A. $\frac{{{x^2}}}{2} + \sin x + C$. B. $\frac{{{x^2}}}{2} – \cos x + C$. C. $\frac{{{x^2}}}{2} – \sin x + C$. D. $\frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + C$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $\int {\left( {x – \sin x} \right)dx\, = \,} \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + C$.
Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + \sin x$ là
A. ${x^3} + \cos x + C$. B. $6x + \cos x + C$. C. ${x^3} – \cos x + C$. D. $6x – \cos x + C$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\int {\left( {3{x^2} + \sin x} \right)dx} = {x^3} – \cos x + C$.
Câu 28. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{x} + \sin x$ là
A. $\ln x – \cos x + C$. B. $ – \frac{1}{{{x^2}}} – \cos x + C$. C. $\ln \left| x \right| + \cos x + C$. D. $\ln \left| x \right| – \cos x + C$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\frac{1}{x} + \sin x} \right)dx} = \int {\frac{1}{x}dx} + \int {\sin xdx} = \ln \left| x \right| – \cos x + C$.
Câu 29. Cho $\int {f\left( x \right)} \,dx = – \cos x + C$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $f\left( x \right) = – \sin x$. B. $f\left( x \right) = – \cos x$. C. $f\left( x \right) = \sin x$. D. $f\left( x \right) = \cos x$.
Lời giải
Áp dụng công thức $\smallint sinx\;dx = – cosx + C$. Suy ra $f\left( x \right) = sinx$.
Câu 30. Cho hàm số $f(x) = \int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} $. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\sin + C$. B. $\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\cos x + C$
C. $\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = – \frac{1}{2}\sin x + C$. D. $\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = – \frac{1}{2}\cos x + C$
Lời giải
$\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}} = \frac{1}{2}\int {\sin x} dx = – \frac{1}{2}\cos x + C$
Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số mũ
Chú ý:
$\int {{e^x}dx = {e^x}} + C$; $\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$
$\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} + C$
Câu 31. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{3x}}$là hàm số nào sau đây?
A. $3{e^x} + C$. B. $\frac{1}{3}{e^{3x}} + C$. C. $\frac{1}{3}{e^x} + C$. D. $3{e^{3x}} + C$.
Lời giải
Chọn B.
$\int {{e^{3x}}dx = \frac{1}{3}{e^{3x}} + C,} $ với $C$ là hằng số bất kì.
Câu 32. Nguyên hàm của hàm số $y = {e^{2x – 1}}$ là
A. $2{e^{2x – 1}} + C$. B. ${e^{2x – 1}} + C$. C. $\frac{1}{2}{e^{2x – 1}} + C$. D. $\frac{1}{2}{e^x} + C$.
Lời giải
Chọn C.
Cách 1: $\int {{e^{2x – 1}}} dx = \int {{e^{ – 1}}.{{\left( {{e^2}} \right)}^x}} dx = {e^{ – 1}}.\frac{{{{\left( {{e^2}} \right)}^x}}}{{\ln {e^2}}} + C = \frac{{{e^{2x – 1}}}}{2} + C$
Cách 2: $\int {{e^{2x – 1}}dx} = \frac{1}{2}\int {{e^{2x – 1}}d\left( {2x – 1} \right) = } \frac{1}{2}{e^{2x – 1}} + C$.
Câu 33. Cho hàm số $f(x) = {e^x} + 2$. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A. $\int f (x)dx = {e^{x – 2}} + C$. B. $\int f (x)dx = {e^x} + 2x + C$.
C. $\int f (x)dx = {e^x} + C$. D. $\int f (x)dx = {e^x} – 2x + C$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $\int f (x)dx = \int {\left( {{e^x} + 2} \right)} dx = {e^x} + 2x + C$
Câu 34. Cho hàm số $f\left( x \right) = {e^x} + 2x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $\int {f\left( x \right)dx = {e^x} + {x^2} + C} $. B. $\int {f\left( x \right)dx = {e^x} + C} $.
C. $\int {f\left( x \right)dx = {e^x} – {x^2} + C} $. D. $\int {f\left( x \right)dx = {e^x} + 2{x^2} + C} $.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $\int {f\left( x \right)} \,dx$$ = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right)dx = {e^x} + {x^2} + C} $.
Câu 35. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {7^x}$.
A. $\int {{7^x}dx} = \frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + C$ B. $\int {{7^x}dx} = {7^{x + 1}} + C$ C. $\int {{7^x}dx} = \frac{{{7^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C$ D. $\int {{7^x}dx} = {7^x}\ln 7 + C$
Lời giải
Chọn A.
Áp dụng công thức $\int {{a^x}\,dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,\,,\left( {0 < a \ne 1} \right)$
Câu 36. Nguyên hàm của hàm số $y = {2^x}$ là
A. $\int {{2^x}dx = \ln {{2.2}^x} + C} $. B. $\int {{2^x}dx = {2^x} + C} $. C. $\int {{2^x}dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C} $. D. $\int {{2^x}dx = \frac{{{2^x}}}{{x + 1}} + C} $.
Lời giải
Chọn C.
Do theo bảng nguyên hàm: $\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln \,a}} + C} $.
Câu 37. Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = {3^{ – x}}$ là
A. $ – \frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$ B. $ – {3^{ – x}} + C$ C. ${3^{ – x}}\ln 3 + C$ D. $\frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$
Lời giải
Chọn A
Cách 1: $\int {f(x)dx} = \int {{3^{ – x}}dx} = \int {{{\left( {{3^{ – 1}}} \right)}^x}d(x)} = \frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln {3^{ – 1}}}} + C = – \frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$
Cách 2: $\int {f(x)dx} = \int {{3^{ – x}}dx} = – \frac{{{3^{ – x}}}}{{\ln 3}} + C$.
Câu 38. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {3^x} + 2x$.
A. $\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + {x^2} + C$ B. $\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = {2^x}.\ln 2 + {x^2} + C$
C. $\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + x + C$ D. $\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = {2^x}.\ln 2 + x + C$
Lời giải
Chọn A.
$\int {\left( {{3^x} + 2x} \right)dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + {x^2} + C$
Câu 39. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x} – 2x$ là.
A. ${e^x} + {x^2} + C$. B. ${e^x} – {x^2} + C$. C. $\frac{1}{{x + 1}}{e^x} – {x^2} + C$. D. ${e^x} – 2 + C$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $\int {\left( {{e^x} – 2x} \right)dx = {e^x} – {x^2} + C} $
Câu 40. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^x}\left( {2025 – \frac{{2026{e^{ – x}}}}{{{x^5}}}} \right)$.
A. $\int {f\left( x \right)dx} = 2025{e^x} – \frac{{2026}}{{{x^4}}} + C$. B. $\int {f\left( x \right)dx} = 2025{e^x} + \frac{{2026}}{{{x^4}}} + C$.
C. $\int {f\left( x \right)dx} = 2025{e^x} + \frac{{506,5}}{{{x^4}}} + C$. D. $\int {f\left( x \right)dx} = 2025{e^x} – \frac{{506,5}}{{{x^4}}} + C$.
Lời giải
Chọn C.
$\int {f\left( x \right)} dx = \int {{e^x}\left( {2025 – \frac{{2026{e^{ – x}}}}{{{x^5}}}} \right)} dx$
$ = \int {\left( {2025{e^x} – \frac{{2026}}{{{x^5}}}} \right)} dx = 2026{e^x} + \frac{{506,5}}{{{x^4}}} + C$
Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số $y = {e^x}\left( {2 + \frac{{{e^{ – x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)$ là
A. $2{e^x} + \tan x + C$ B. $2{e^x} – \tan x + C$ C. $2{e^x} – \frac{1}{{\cos x}} + C$ D. $2{e^x} + \frac{1}{{\cos x}} + C$
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $y = {e^x}\left( {2 + \frac{{{e^{ – x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right) = 2{e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$
$\int {ydx = } \int {\left( {2{e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = 2{e^x} + \tan x + C} $.
Câu 42. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y = {x^2} – {3^x} + \frac{1}{x}$.
A. $\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} – \frac{1}{{{x^2}}} + C, C \in \mathbb{R}$. B. $\frac{{{x^3}}}{3} – {3^x} + \frac{1}{{{x^2}}} + C, C \in \mathbb{R}$.
C. $\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C, C \in \mathbb{R}$. D. $\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} – \ln \left| x \right| + C, C \in \mathbb{R}$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $\int {\left( {{x^2} – {3^x} + \frac{1}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C,C \in \mathbb{R}$.
Câu 43. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A $\int {{e^x}dx = x{e^x} + C} $. B. $\int {{e^x}dx = {e^{x + 1}} + C} $. C. $\int {{e^x}dx = – {e^{x + 1}} + C} $. D. $\int {{e^x}dx = {e^x} + C} $.
Lời giải
Ta có $\int {{e^x}dx = {e^x} + C} $.
Câu 44. Cho hàm số $f(x) = 1 + {e^{2x}}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. $\int {f(x)dx = x + \frac{1}{2}{e^x} + C.} $ B. $\int {f(x)dx = x + 2{e^{2x}} + C.} $
C. $\int {f(x)dx = x + \frac{1}{2}{e^{2x}} + C.} $ D. $\int {f(x)dx = x + {e^{2x}} + C.} $
Lời giải
Ta có $\int {(1 + {e^{2x}})dx = x + \frac{1}{2}{e^{2x}} + C.} $