- Các Dạng Bài Tập Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Trắc Nghiệm Đúng Sai Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trả Lời Ngắn Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Trắc Nghiệm Nguyên Hàm Thỏa Điều Kiện Cho Trước Giải Chi Tiết
- Các Dạng Câu Hỏi Trả Lời Ngắn Nguyên Hàm Thỏa Điều Kiện Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Ứng Dụng Thực Tế Của Nguyên Hàm Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Về Tích Phân Năm Học 2024-2025 Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Tích Phân Có Điều Kiện Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Trắc Nghiệm Tích Phân Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Đúng Sai Tích Phân Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Ứng Dụng Tích Phân Trong Thực Tiễn Giải Chi Tiết
- Các Dạng Bài Tập Tích Phân Hàm Ẩn Có Lời Giải Chi Tiết
- Các Dạng Trắc Nghiệm Ứng Dụng Tích Phân Để Tính Diện Tích Hình Phẳng
Các dạng bài tập về tích phân có lời giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1. Tích phân của hàm số lũy thừa:
Chú ý:
$\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C$ với $\alpha \ne – 1$;
$\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right|} + C$
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau
a) $\int\limits_0^2 {{x^3}dx} $ b) $\int\limits_1^2 {\left( {2x – 3} \right)dx} $ c) $\int\limits_{ – 1}^1 {\left( {5{x^4} – 3{x^2}} \right)dx} $ d) $\int\limits_{ – 1}^2 {{{\left( {x – 2} \right)}^2}dx} $
Lời giải
a) $\int\limits_0^2 {{x^3}dx} = \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^2 = \frac{1}{4}\left( {{2^4} – {0^4}} \right) = 4$
b) Cách 1: $\int\limits_1^2 {\left( {2x + 3} \right)dx} = \int\limits_1^2 {2xdx} + \int\limits_1^2 {3dx} = \left. {{x^2}} \right|_1^2 + \left. {3x} \right|_1^2$
$ = \left( {{2^2} – {1^2}} \right) + 3\left( {2 – 1} \right) = 6$
Cách 2: $\int\limits_1^2 {\left( {2x + 3} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} + 3x} \right)} \right|_1^2 = \left( {{2^2} + 3.2} \right) – \left( {{1^2} + 3.1} \right) = 6$
c) $\int\limits_{ – 1}^1 {\left( {5{x^4} – 3{x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {{x^5} – {x^3}} \right)} \right|_{ – 1}^1 = \left( {{1^5} – {1^3}} \right) – \left( {{{( – 1)}^5} – {{( – 1)}^3}} \right) = 0$
d) $\int\limits_{ – 1}^2 {{{\left( {x – 2} \right)}^2}dx} = \int\limits_{ – 1}^2 {\left( {{x^2} – 4x + 4} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_{ – 1}^2$
$ = \left( {\frac{{{2^3}}}{3} – {{2.2}^2} + 4.2} \right) – \left( {\frac{{{{( – 1)}^3}}}{3} – 2{{( – 1)}^2} + 4.( – 1)} \right) = 9$
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau
a) $\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^3}}}dx} $ b) $\int\limits_{ – 3}^{ – 1} {\frac{4}{{{x^2}}}dx} $ c) $\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^4}}} – \frac{1}{{{x^5}}}} \right)dx} $
Lời giải
a) $\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {{x^{ – 3}}dx} = \left. { – \frac{1}{{2{x^2}}}} \right|_1^2 = – \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{2^2}}} – \frac{1}{{{1^2}}}} \right) = \frac{1}{4}$
b) $\int\limits_{ – 3}^{ – 1} {\frac{4}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_{ – 3}^{ – 1} {4{x^{ – 2}}dx} = \left. { – \frac{4}{x}} \right|_{ – 3}^{ – 1} = – 4\left( {\frac{1}{{ – 1}} – \frac{1}{{ – 3}}} \right) = \frac{8}{3}$
c) $\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{x^4}}} – \frac{1}{{{x^5}}}} \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( {{x^{ – 4}} – {x^{ – 5}}} \right)dx} = \left. {\left( { – \frac{1}{{3{x^3}}} + \frac{1}{{4{x^4}}}} \right)} \right|_1^2$
$ = \left( { – \frac{1}{{{{3.2}^3}}} + \frac{1}{{{{4.2}^4}}}} \right) – \left( { – \frac{1}{{{{3.1}^3}}} + \frac{1}{{{{4.1}^4}}}} \right) = \frac{{11}}{{192}}$
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
a) $\int\limits_1^8 {\sqrt[3]{x}dx} $ b) $\int\limits_{ – 3}^{ – 1} {\frac{1}{x}dx} $ c) $\int\limits_e^{{e^3}} {\frac{6}{x}dx} $
Lời giải
a) $\int\limits_1^8 {\sqrt[3]{x}dx} = \int\limits_1^8 {{x^{\frac{1}{3}}}dx} = \left. {\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}}}{{\frac{4}{3}}}} \right|_1^8 = \left. {\frac{3}{4}\sqrt[3]{{{x^4}}}} \right|_1^8$
$ = \frac{3}{4}\left( {\sqrt[3]{{{8^4}}} – \sqrt[3]{{{1^4}}}} \right) = \frac{3}{4}\left( {16 – 1} \right) = \frac{{45}}{4}$
b) $\int\limits_{ – 3}^{ – 1} {\frac{1}{x}dx} = \left. {\ln \left| x \right|} \right|_{ – 3}^{ – 1} = \ln \left| { – 1} \right| – \ln \left| { – 3} \right|$ $ = 0 – \ln 3 = – \ln 3$
c) $\int\limits_e^{{e^3}} {\frac{6}{x}dx} = 6\int\limits_e^{{e^3}} {\frac{1}{x}dx} = \left. {6\ln \left| x \right|} \right|_e^{{e^3}} = 6\left( {\ln \left| {{e^3}} \right| – \ln \left| e \right|} \right)$
$ = 6\left( {3 – 1} \right) = 12$
Ví dụ 4. Biết tích phân $I = \int\limits_1^2 {\left( {3{x^2} + \frac{2}{x}} \right)dx} = a + b\ln c$ với $a$, $b$, $c$ là số nguyên tố. Tính giá trị $a + b + c$.
Lời giải
$I = \int\limits_1^2 {\left( {3{x^2} + \frac{2}{x}} \right)dx} = \left. {\left( {{x^3} + 2\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2$
$ = \left( {{2^3} + 2\ln \left| 2 \right|} \right) – \left( {{1^3} + 2\ln \left| 1 \right|} \right)$
$ = \left( {8 + 2\ln 2} \right) – \left( {1 + 0} \right) = 7 + 2\ln 2$
Vậy $a + b + c = 7 + 2 + 2 = 11$
Ví dụ 5. Biết tích phân $I = \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\frac{{{x^2} – 3x}}{x}dx} = a\ln b – \frac{c}{d}$ với $a$, $b$, $c$, $d$ là số nguyên tố. Tính giá trị $a + b + c + d$.
Lời giải
$I = \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\frac{{{x^2} – 3x}}{x}dx} = \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\left( {x – \frac{3}{x}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – 3\ln \left| x \right|} \right)} \right|_{ – 2}^{ – 1}$
$ = \left( {\frac{{{{( – 1)}^2}}}{2} – 3\ln \left| { – 1} \right|} \right) – \left( {\frac{{{{( – 2)}^2}}}{2} – 3\ln \left| { – 2} \right|} \right)$
$ = \frac{1}{2} – \left( {2 – 3\ln 2} \right) = 3\ln 2 – \frac{3}{2}$
Vậy $a + b + c + d = 3 + 2 + 3 + 2 = 10$
Dạng 2. Tích phân của hàm số lượng giác:
Chú ý:
$\int {cosxdx = \sin x} + C$; $\int {cos\left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)} + C$;
$\int {\sin xdx = – cosx} + C$; $\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx = – \frac{1}{a}cosx\left( {ax + b} \right)} + C$;
$\int {\frac{1}{{co{s^2}x}}dx = \tan x} + C$;
$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = – \cot x} + C$;
Ví dụ 6. Tính các tích phân sau
a) $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {cosxdx} $ b) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {3\sin xdx} $ c) $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{7}{{co{s^2}x}}dx} $ d) $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {5cosx – \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} $
Lời giải
a) $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {cosxdx} = \left. {\sin x} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} = \sin \frac{\pi }{2} – \sin \frac{\pi }{4} = 1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
b) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {3\sin xdx} = \left. { – 3cosx} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = – 3\left( {cos\frac{\pi }{2} – cos0} \right) = – 3\left( {0 – 1} \right) = 3$
c) $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{7}{{co{s^2}x}}dx} = \left. {7\tan x} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} = 7\left( {\tan \frac{\pi }{3} – \tan \frac{\pi }{4}} \right) = 7\left( {\sqrt 3 – 1} \right)$
d) $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {5cosx – \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = \left. {\left( {5sinx + 4\cot x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$
$ = \left( {5sin\frac{\pi }{2} + 4\cot \frac{\pi }{2}} \right) – \left( {5sin\frac{\pi }{4} + 4\cot \frac{\pi }{4}} \right)$
$ = \left( {5.1 + 4.0} \right) – \left( {5.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + 4.1} \right) = 1 – \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$
Ví dụ 7. Biết tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{9}{{co{s^2}x}} – 4\sin x} \right)dx} = a\sqrt b + c$ với $a$, $b$, $c$ là số nguyên tố. Tính giá trị $a + b + c$.
Lời giải
$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{9}{{co{s^2}x}} – 4\sin x} \right)dx} = \left. {\left( {9\tan x + 4cosx} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}$
$ = \left( {9\tan \frac{\pi }{4} + 4cos\frac{\pi }{4}} \right) – \left( {9\tan 0 + 4cos0} \right)$
$ = \left( {9.1 + 4.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) – \left( {9.0 + 4.1} \right) = 2\sqrt 2 + 5$
Vậy $a + b + c = 2 + 2 + 5 = 9$
Ví dụ 8. Biết tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left[ {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + cos\frac{x}{2}} \right)}^2} + 2} \right]dx} = a\pi + b$ với $a$, $b$, $c$ là số nguyên. Tính giá trị $3a + 4b$.
Lời giải
$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left[ {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + cos\frac{x}{2}} \right)}^2} + 2} \right]dx} $
$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left[ {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}cos\frac{x}{2} + co{s^2}\frac{x}{2} + 2} \right]dx} $
$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left[ {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + co{s^2}\frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}cos\frac{x}{2} + 2} \right]dx} $
$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left[ {1 + 2\sin x + 2} \right]dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left[ {3 + 2\sin x} \right]dx} $
$ = \left. {\left( {3x – 2cosx} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} = \left( {3.\frac{\pi }{3} – 2cos\frac{\pi }{3}} \right) – \left( {3.0 – 2cos0} \right)$
$ = \left( {\pi – 1} \right) – \left( {0 – 2.1} \right) = \pi + 1$
Vậy $3a + 4b = 3.1 + 4.1 = 7$.
Dạng 3. Tích phân của hàm số mũ
Chú ý:
$\int {{e^x}dx = {e^x}} + C$; $\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$
$\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} + C$
Ví dụ 9. Tính các tích phân sau
a) $\int\limits_0^{1} {6{e^x}dx} $ b) $\int\limits_{\ln 2}^{\ln 11} {{e^x}dx} $ c) $\int\limits_0^{{{\log }_5}19} {{5^x}dx} $ d) $\int\limits_{\frac{1}{4}}^{1} {{e^{4x}}dx} $.
Lời giải
a) $\int\limits_0^{1} {6{e^x}dx} = \left. {6{e^x}} \right|_0^1 = 6\left( {{e^1} – {e^0}} \right) = 6\left( {e – 1} \right)$
b) $\int\limits_{\ln 2}^{\ln 11} {{e^x}dx} = \left. {{e^x}} \right|_{\ln 2}^{\ln 11} = {e^{\ln 11}} – {e^{\ln 2}} = 11 – 2 = 9$
c) $\int\limits_0^{{{\log }_5}19} {{5^x}dx} = \left. {\frac{{{5^x}}}{{\ln 5}}} \right|_0^{{{\log }_5}19} = \frac{{{5^{{{\log }_5}19}}}}{{\ln 5}} – \frac{{{5^0}}}{{\ln 5}}$ $ = \frac{{19}}{{\ln 5}} – \frac{1}{{\ln 5}} = \frac{{18}}{{\ln 5}}$
d) $\int\limits_{\frac{1}{4}}^{1} {{e^{4x}}dx} = \left. {\frac{1}{4}{e^{4x}}} \right|_{\frac{1}{4}}^1 = \frac{1}{4}\left( {{e^4} – {e^1}} \right) = \frac{1}{4}\left( {{e^4} – e} \right)$.
Ví dụ 10. Biết tích phân $I = \int\limits_0^4 {\left( {3{e^x} + 4x} \right)dx} = a.{e^b} + c$ với $a$, $b$, $c$ là số nguyên. Tính giá trị $a + b + c$.
Lời giải
$I = \int\limits_0^4 {\left( {3{e^x} + 4x} \right)dx} = \left. {\left( {3{e^x} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^4$
$ = \left( {3{e^4} + {{2.4}^2}} \right) – \left( {3{e^0} + {{2.0}^2}} \right) = 3{e^4} + 29$
Dạng 4. Tích phân sử dụng các tính chất
Chú ý:
• $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $, với $k$ là hằng số.
• $\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\operatorname{dx} } = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\operatorname{dx} } + \int\limits_a^b {g\left( x \right)\operatorname{dx} } $
• $\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]\operatorname{dx} } = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\operatorname{dx} } – \int\limits_a^b {g\left( x \right)\operatorname{dx} } $
• $\int\limits_a^b {f\left( x \right)\operatorname{dx} } = \int\limits_a^c {f\left( x \right)\operatorname{dx} } + \int\limits_c^b {f\left( x \right)\operatorname{dx} } $ với $c \in \left( {a;b} \right)$
Ví dụ 11. Cho $\int\limits_1^3 {f(x)dx = 5} $. Tính các tích phân sau
a) $\int\limits_1^3 {7f(x)dx} $ b) $\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f(x)} \right]dx} $ c) $\int\limits_1^3 {\left[ {2x – 5f(x)} \right]dx} $ d) $\int\limits_1^3 {\left[ {2f(x) – \frac{8}{x}} \right]dx} $
Lời giải
a) $\int\limits_1^3 {7f(x)dx = 7} \int\limits_1^3 {f(x)dx} = 7.5 = 35$
b) $\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f(x)} \right]dx} = \int\limits_1^3 {1dx} + \int\limits_1^3 {f(x)dx} $$ = \left. x \right|_1^3 + 5 = 3 – 1 + 5 = 7$
c) $\int\limits_1^3 {\left[ {2x – 5f(x)} \right]dx} = \int\limits_1^3 {2xdx} + \int\limits_1^3 {5f(x)dx} $
$ = \left. {{x^2}} \right|_1^3 + 5\int\limits_1^3 {f(x)dx} = 8 + 5.5 = 33$
d) $\int\limits_1^3 {\left[ {2f(x) – \frac{8}{x}} \right]dx} = \int\limits_1^3 {2f(x)dx} – \int\limits_1^3 {\frac{8}{x}dx} $
$ = 2\int\limits_1^3 {f(x)dx} – 8\int\limits_1^3 {\frac{1}{x}dx} = 2.5 – 8\left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^3 = 10 – 8\ln 3$
Ví dụ 12. Cho $\int\limits_1^2 {f(x)dx = 3} $ và $\int\limits_2^5 {f(x)dx = 11} $. Tính tích phân sau $\int\limits_1^5 {f(x)dx} $.
Lời giải
Ta có $\int\limits_1^5 {f(x)dx} = \int\limits_1^2 {f(x)dx + \int\limits_2^5 {f(x)dx} } = 3 + 11 = 14$
Ví dụ 13. Cho $\int\limits_0^1 {f(x)dx = 10} $ và $\int\limits_0^7 {f(x)dx} = 18$. Tính tích phân sau $\int\limits_1^7 {f(x)dx} $.
Lời giải
Ta có $\int\limits_0^7 {f(x)dx} = \int\limits_0^1 {f(x)dx + \int\limits_1^7 {f(x)dx} } $
$ \Rightarrow \int\limits_1^7 {f(x)dx} = \int\limits_0^7 {f(x)dx} – \int\limits_0^1 {f(x)dx} = 18 – 10 = 8$
Ví dụ 14. Cho $\int\limits_1^9 {f(x)dx = 4} $ và $\int\limits_7^9 {f(x)dx = } 1$. Tính tích phân sau $\int\limits_1^7 {6f(x)dx} $.
Lời giải
Ta có $\int\limits_1^7 {6f(x)dx} = 6\int\limits_1^7 {f(x)dx} = 6\left( {\int\limits_1^9 {f(x)dx – \int\limits_7^9 {f(x)dx} } } \right)$
$ = 6\left( {4 – 1} \right) = 18$
Dạng 5. Tích phân có chứa giá trị tuyệt đối
Ví dụ 15. Tính các tích phân sau
a) $\int\limits_0^3 {\left| {2x – 2} \right|dx} $ b) $\int_{ – 2}^3 | 2 – x|dx$ c) $\int\limits_0^2 {\left| {1 – {x^2}} \right|dx} $ d) $\int_0^{2\pi } | \sin x|dx$
Lời giải
a) $\int\limits_0^3 {\left| {2x – 2} \right|dx} $
Ta có: $\left| {2x – 2} \right| = \left\{ \begin{gathered}
2x – 2\,\,khi\,\,2x – 2 \geqslant 0\, \hfill \\
– 2x + 2\,\,khi\,\,2x – 2 < 0\,\,\, \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ = \left\{ \begin{gathered}
2x – 2\,\,khi\,\,x \geqslant 1\, \hfill \\
– 2x + 2\,\,khi\,\,x < 1\,\,\, \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Khi đó $\int\limits_0^3 {\left| {2x – 2} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {2x – 2} \right|dx} + \int\limits_1^3 {\left| {2x – 2} \right|dx} $
$ = – \int\limits_0^1 {\left( {2x – 2} \right)dx} + \int\limits_1^3 {\left( {2x – 2} \right)dx} $$ = – \left. {\left( {{x^2} – 2x} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} – 2x} \right)} \right|_1^3$
$ = 1 + 4 = 5$
b) Ta có: $\left| {2 – x} \right| = \left\{ \begin{gathered}
2 – x\,\,khi\,\,2 – x \geqslant 0\, \hfill \\
– \left( {2 – x} \right)\,\,khi\,\,2 – x < 0\,\,\, \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ = \left\{ \begin{gathered}
2 – x\,\,khi\,\,x \leqslant 2\, \hfill \\
– \left( {2 – x} \right)\,\,khi\,\,x > 2\,\,\, \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Khi đó $\int_{ – 2}^3 | 2 – x|dx = \int_{ – 2}^2 | 2 – x|dx + \int_2^3 | 2 – x|dx$
$ = \int_{ – 2}^2 {(2 – x)} dx – \int_2^3 {(2 – x)} dx$
$ = \left. {\left( {2x – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ – 2}^2 – \left. {\left( {2x – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_2^3 = \frac{{17}}{2}$
c) $\int\limits_0^2 {\left| {1 – {x^2}} \right|dx} $
Ta có $1 – {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Bảng xét dấu
Khi đó $\int\limits_0^2 {\left| {1 – {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {1 – {x^2}} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {1 – {x^2}} \right|dx} $
$ = \int\limits_0^1 {\left( {1 – {x^2}} \right)dx} – \int\limits_1^2 {\left( {1 – {x^2}} \right)dx} $
$ = \left. {\left( {x – \frac{{{x^2}}}{3}} \right)} \right|_0^1 – \left. {\left( {x – \frac{{{x^2}}}{3}} \right)} \right|_1^3 = \frac{2}{3} – \left( { – \frac{2}{3}} \right) = \frac{4}{3}$
d) $\int_0^{2\pi } | \sin x|dx = \int_0^\pi | \sin x|dx + \int_\pi ^{2\pi } | \sin x|dx$
$ = \int_0^\pi {\sin } x\;dx – \int_\pi ^{2\pi } {\sin } x\;dx = – \left. {\cos x} \right|_0^\pi + \left. {\cos x} \right|_\pi ^{2\pi } = 4$
Ví dụ 16. Cho $\int\limits_1^2 {h(x)dx = 9} $ và $\int\limits_2^{10} {h(x)dx = } – 3$. Biết $h(x) = \left\{ \begin{gathered}
h(x)\,\,khi\,\,1 \leqslant x \leqslant 2\, \hfill \\
– h(x)\,\,khi\,\,2 < x \leqslant 10 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Tính các tích phân sau:
a) $\int\limits_1^{10} {h(x)dx} $; b) $\int\limits_1^{10} {\left| {h(x)} \right|dx} $
Lời giải
a) $\int\limits_1^{10} {h(x)dx} = \int\limits_1^2 {h(x)dx} + \int\limits_2^{10} {h(x)dx} = 9 – 3 = 6$.
b) Ta có $\int\limits_1^{10} {\left| {h(x)} \right|dx} = \int\limits_1^2 {\left| {h(x)} \right|dx} + \int\limits_2^{10} {\left| {h(x)} \right|dx} $
$ = \int\limits_1^2 {h(x)dx} – \int\limits_2^{10} {h(x)dx} = 9 + 3 = 12$
Dạng 6. Một số bài toán ứng dụng thực tiễn
Phương pháp:
– Quảng đường di chuyển của một vật trong khoảng thời gian từ $a$ đến $b$ là $s = \int\limits_a^b {v(t)dt} $
– Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Khi đó $\frac{1}{{b – a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $ được gọi là giá trị trung bình của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.
Ví dụ 17. Một vật chuyển động với vận tốc $v(t) = 2 – \sin t(\;m/s)$. Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm $t = 0$ (s) đến thời điểm $t = \frac{\pi }{2}(\;s)$.
Lời giải
Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm $t = 0$ (s) đến thời điểm $t = \frac{\pi }{2}(\;s)$ là:
$s = \int\limits_a^b {v(t)dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 – \sin t} \right)dt} = \left. {\left( {2t + cost} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$
$ = \left( {2.\frac{\pi }{2} + cos\frac{\pi }{2}} \right) – \left( {2.0 + cos0} \right) = \pi – 1\,(m)$
Ví dụ 18. Một ô tô đang di chuyển với tốc độ 20 m/s thì hãm phanh nên tốc độ ($m/s$) của xe thay đổi theo thời gian $t$ (giây) được tính theo công thức $v(t) = 20 – 5t$ $(0 \leqslant t \leqslant 4)$.
Kể từ khi hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi được quãng đường bao nhiêu?
Lời giải
Xe dừng khi $v(t) = 0 \Leftrightarrow 20 – 5t = 0 \Leftrightarrow t = 4$
Khi đó, quãng đường xe di chuyển từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng là
$s = \int_0^4 v (t)dt = \int_0^4 {(20 – 5t)} dt = \left. {\left( {20t – \frac{{5{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4 = 40(\;m).$
Ví dụ 19. Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v\left( t \right) = \frac{1}{{100}}{t^2} + \frac{{13}}{{30}}t \left( {m/s} \right)$, trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng cùng hướng với $A$ nhưng chậm hơn $10$ giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a \left( {m/{s^2}} \right)$ ($a$ là hằng số). Sau khi $B$ xuất phát được $15$ giây thì đuổi kịp $A$. Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có ${v_B}\left( t \right) = \int {a.dt} = at + C$, ${v_B}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$ $ \Rightarrow {v_B}\left( t \right) = at$.
Quãng đường chất điểm $A$ đi được trong $25$ giây là
${S_A} = \int\limits_0^{25} { \left( {\frac{1}{{100}}{t^2} + \frac{{13}}{{30}}t } \right)dt} $$\left. { = \left( {\frac{1}{{300}}{t^3} + \frac{{13}}{{60}}{t^2}} \right)} \right|_0^{25} = \frac{{375}}{2}$
Quãng đường chất điểm $B$ đi được trong $15$ giây là
${S_B} = \int\limits_0^{15} {at.dt} $$\left. { = \frac{{a{t^2}}}{2}} \right|_0^{15} = \frac{{225a}}{2}$.
Ta có $\frac{{375}}{2} = \frac{{225a}}{2} \Leftrightarrow a = \frac{5}{3}$.
Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ là ${v_B}\left( {15} \right) = \frac{5}{3}.15 = 25 \left( {m/s} \right)$.
Ví dụ 20. Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở hình dưới.
a) Tính quãng đường và vận tốc trung bình mà vật di chuyển được trong 3 giây đầu tiên.
b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 5 giây đầu tiên.
Lời giải
a) Trong 3 giây đầu tiên, đồ thị hàm vận tốc $v(t)$ là đường thẳng nên có dạng $v(t) = at + b$.
Do đồ thị đi qua hai điểm $(0;0)$ và $(3;3)$ nên ta có: $\left\{ \begin{gathered}
0 = a.0 + b \hfill \\
3 = a.3 + b \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
b = 0 \hfill \\
a = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra, $v(t) = t$.
Vậy
– Quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giây đầu tiên là:
${s_1} = \int\limits_a^b {v(t)dt} = \int\limits_0^3 {tdt} = \left. {\frac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^3 = \frac{9}{2}\,(m)$
– Vận tốc trung bình mà vật di chuyển được trong 3 giây đầu tiên là:
${v_1} = \frac{{{s_1}}}{{3 – 0}} = \frac{{\frac{9}{2}}}{3} = \frac{3}{2}\,(m/s)$
b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ giây thứ 3 đến giây thứ 5.
Trong giây thứ 3 đến giây thứ 5, đồ thị hàm vận tốc $v(t)$ là đường thẳng đi qua điểm $(0;3)$ và song song với trục $Ot$ nên có phương trình $v(t) = 3$
Suy ra, quãng đường mà vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ giây thứ 3 đến giây thứ 5 là:
${s_2} = \int\limits_3^5 {v(t)dt} = \int\limits_3^5 {3dt} = \left. {3t} \right|_3^5 = 6\,(m)$
Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 5 giây đầu tiên là $s = {s_1} + {s_2} = \frac{9}{2} + 6 = 10,5\,m$.