Các Dạng Trắc Nghiệm Đúng Sai Về Nguyên Hàm Giải Chi Tiết

Các dạng trắc nghiệm đúng sai về nguyên hàm giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Dạng 1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:

Chú ý:

$\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C$ với $\alpha \ne – 1$;

$\int {kdx = k} x + C$;

$\int {kf(x)dx = k} \int {f(x)dx} $;

$\int {\left( {f(x) + g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} $;

$\int {\left( {f(x) – g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} – \int {g(x)dx} $.

Câu 1. Cho $\alpha $ là một số thực và $x \ne 0$.

a) $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} + C$

b) $\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$

c) $\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + C$

d) $\int {\sqrt x dx} = \frac{3}{2}{x^{\frac{3}{2}}} + C$

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Sai	Đúng	Đúng	Sai

a) $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$ nên a sai

b) $\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$ nên b đúng

c) $\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + C$ nên c đúng

d) $\int {\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C$ nên d sai

Câu 2. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai

a) $\int {\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + x – 2} \right)dx} = \frac{3}{5}\sqrt[3]{{{x^5}}} + \frac{1}{2}{x^2} – 2x + C$

b) $\int {\frac{1}{{2023{x^{2024}}}}dx} = \frac{1}{{{{2023}^2}{x^{2023}}}} + C$

c) $\int {{{\left( {2x – 2024} \right)}^2}dx} = x – 1012 + C$

d) $\int {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + 4{x^3}} \right)dx} = \frac{1}{{20}}{x^5} + \frac{4}{3}{x^4} + C$

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Sai	Sai	Đúng

a) $\int {\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + x – 2} \right)dx} = \int {\left( {{x^{\frac{2}{3}}} + x – 2} \right)dx} $

$ = \frac{{{x^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{2}{x^2} – 2x + C = \frac{3}{5}\sqrt[3]{{{x^5}}} + \frac{1}{2}{x^2} – 2x + C$ nên a đúng.

b) $\int {\frac{1}{{2023{x^{2024}}}}dx} = \frac{1}{{2023}}\int {{x^{ – 2024}}dx = \frac{1}{{2023}}.\frac{{{x^{ – 2023}}}}{{ – 2023}} + C} = – \frac{1}{{{{2023}^2}{x^{2023}}}} + C$ nên b sai.

c) $\int {{{\left( {2x – 2024} \right)}^2}dx} = \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {2x – 2024} \right)}^3}}}{3} + C = \frac{{{{\left( {2x – 2024} \right)}^3}}}{6} + C$ nên c sai

Lưu ý: Áp dụng công thức $\int {{{\left( {ax + b} \right)}^\alpha }dx} = \frac{1}{a}.\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$

d) $\int {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + 4{x^3}} \right)dx} = \frac{1}{{20}}{x^5} + \frac{4}{3}{x^4} + C$ nên d đúng

Câu 3. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai

a) $F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C$ là nguyên hàm của hàm số$f\left( x \right) = {x^3} – 3x + \frac{1}{x}$.

b) $F\left( x \right) = \frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{6} + C$ là nguyên hàm của hàm số$f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}$.

c) $F\left( x \right) = \frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C$ là nguyên hàm của hàm số$f(x) = \sqrt x + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$.

d) $F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} – 2024x + C$ là nguyên hàm của hàm số$f\left( x \right) = \frac{{{x^3} – 2024x}}{x}$.

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Sai	Sai	Đúng

a) $f\left( x \right) = {x^3} – 3x + \frac{1}{x}$

$ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f(x)dx = } \int {({x^3} – 3x + \frac{1}{x})dx = } $

$\int {{x^3}dx} – 3\int {xdx} + \int {\frac{1}{x}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C$ nên a đúng.

b) $f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}$$ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f(x)dx = } \int {{{(5x + 3)}^5}dx} $

$ = \frac{1}{5}.\frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{6} + C = \frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{{30}} + C$ nên b sai

Lưu ý:

Áp dụng công thức $\int {{{\left( {ax + b} \right)}^\alpha }dx} = \frac{1}{a}.\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$

c) $f(x) = \sqrt x + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$

$ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {\sqrt x + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}} \right)} dx = \int {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{1}{3}}} + {x^{\frac{1}{4}}}} \right)} dx$

$ = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{4}{x^{\frac{4}{3}}} + \frac{4}{5}{x^{\frac{5}{4}}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt x + \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + \frac{4}{5}x\sqrt[4]{x} + C$ nên c sai.

d) $f\left( x \right) = \frac{{{x^3} – 2024x}}{x} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\frac{{{x^3} – 2024x}}{x}dx = } $

$\int {\left( {{x^2} – 2024} \right)dx = \frac{1}{3}} {x^3} – 2024x + C$ nên d đúng.

Dạng 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác:

Chú ý:

$\int {cosxdx = \sin x} + C$; $\int {cos\left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)} + C$;

$\int {\sin xdx = – cosx} + C$; $\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx = – \frac{1}{a}cosx\left( {ax + b} \right)} + C$;

$\int {\frac{1}{{co{s^2}x}}dx = \tan x} + C$;

$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = – \cot x} + C$;

Câu 4. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) $\int {\left( {\sin x + cosx} \right)dx} = cosx + \sin x + C$.

b) $\int {\sin 4xdx} = – cos4x + C$

c) $\int {cos\frac{x}{4}dx} = 4\sin \frac{x}{4} + C$.

d) $\int {\sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)} dx = cosx + C$

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Sai	Sai	Sai

a) $\int {\left( {\sin x + cosx} \right)dx} = – cosx + \sin x + C$ nên a sai.

b) $\int {\sin 4xdx} = – \frac{1}{4}cos4x + C$ nên b sai

c) $\int {cos\frac{x}{4}dx} = \frac{1}{{\frac{1}{4}}}\sin \frac{x}{4} + C = 4\sin \frac{x}{4} + C$ nên c đúng

d) $\int {\sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)} dx = \int {\cos x} dx = \sin x + C$ nên d sai

Lưu ý: Áp dụng công thức hai cung phụ nhau

$\sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = cosx$; $cosx\left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = \sin x$

Câu 5. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) $\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = x – \cot x + C$.

b) $\int {\left( {1 – {{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} = \frac{1}{2}\left( {x + \sin x} \right) + C$

c) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = x + \cos x + C$.

d) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} – \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = x – \cos x + C$

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Sai	Sai	Sai

a) $\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + 1 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = x – \cot x + C$ nên a đúng.

Lưu ý:

$1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{co{s^2}x}}$; $1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$.

b) $\int {\left( {1 – {{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} = \int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 – \cos x}}{2}dx} = \frac{1}{2}\left( {x – \sin x} \right) + C$ nên b sai.

Lưu ý:

Công thức hạ bậc $co{s^2}x = \frac{{1 + cos2x}}{2}$; ${\sin ^2}x = \frac{{1 – cos2x}}{2}$

c) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {1 + \sin x} \right)} dx = x – \cos x + C$ nên c sai.

Lưu ý:

Công thức nhân đôi $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .cos\alpha $

d) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} – \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {1 – \sin x} \right)} dx = x + \cos x + C$ nên d sai.

Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số mũ

Chú ý:

$\int {{e^x}dx = {e^x}} + C$; $\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$

$\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} + C$

Câu 6. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) $\int {\frac{1}{x}} \,dx = \ln x + C$.

b) $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \,dx = \tan x + C$.

c) $\int {\sin x} \,dx = – \cos x + C$.

d) $\int {{e^x}} \,dx = {e^x} + C$.

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Sai	Đúng	Đúng	Đúng

a) $\int {\frac{1}{x}} \,dx = \ln \left| x \right| + C$ nên a sai

b) $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \,dx = \tan x + C$ nên b đúng

$\int {\sin x} \,dx = – \cos x + C$ nên c đúng

$\int {{e^x}} \,dx = {e^x} + C$ nên d đúng

Câu 7. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) $\int {\cos xdx = \sin x + C} $.

b) $\int {{x^e}} dx = \frac{{{x^{e + 1}}}}{{e + 1}} + C$.

c) $\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right|} + C$.

d) $\int {{e^x}dx = \frac{{{e^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C} $.

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Đúng	Đúng	Sai

a) $\int {\cos xdx = \sin x + C} $ nên a đúng

b) $\int {{x^e}} dx = \frac{{{x^{e + 1}}}}{{e + 1}} + C$ nên b đúng

c) $\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right|} + C$ nên c đúng

d) $\int {{e^x}dx = {e^x} + C} $ nên d sai

Câu 8. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) $\int {{2^x}dx} = {2^x}\ln 2 + C$.

b) $\int {{e^{2x}}dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C$.

c) $\int {{e^x}\left( {{e^x}– 1} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + {e^x} + C$.

d) $\int {{e^{3x}}{{.3}^x}dx} = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{3 + \ln 3}} + C$.

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Sai	Đúng	Sai	Đúng

a) $\int {{2^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$ nên a sai

b) $\int {{e^{2x}}dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C$ nên b đúng

Lưu ý:

$\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$

c) $\int {{e^x}\left( {{e^x}– 1} \right)} dx = \int {\left( {{e^{2x}} – {e^x}} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} – {e^x} + C$nên c sai

d) $\int {{e^{3x}}{{.3}^x}dx} = \int {{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {3{e^3}} \right)}} + C = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{3 + \ln 3}} + C$ nên d đúng