Cách Tính Siêu Nhanh Tứ Phân Vị Thứ Nhất Thứ Ba Và Trung Vị Của Mẫu Số Liệu

Cách tính siêu nhanh tứ phân vị thứ nhất thứ ba và trung vị của mẫu số liệu giúp các bạn học tập một cách hiệu quả nhất.

Gọi ${x_1};{x_2};…;{x_n}$ là các giá trị của mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

I. Để tính tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ và tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$.

Ta tính: $A = \frac{{n + 1}}{4}$; $B = \frac{{3(n + 1)}}{4}$

– Nếu $A = a,75$ thì ${Q_1} = {x_{\left[ A \right] + 1}}$; ${Q_3} = {x_{\left[ B \right]}}$. (1)

– Nếu $A = a$ là số nguyên thì ${Q_1} = {x_A}$; ${Q_3} = {x_B}$. (2)

– Nếu $A = a,25$ hoặc $A = a,5$ thì ${Q_1} = \frac{{{x_{\left[ A \right]}} + {x_{\left[ A \right] + 1}}}}{2}$; ${Q_3} = \frac{{{x_{\left[ B \right]}} + {x_{\left[ B \right] + 1}}}}{2}$. (3)

Chú ý: $\left[ A \right]$ là phần nguyên của $A$, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá $A$. Ví dụ: $\left[ {5,5} \right] = 5$; $\left[ {4,9} \right] = 4$.

Ví dụ 1. Tìm ${Q_1}$ và ${Q_3}$ của dãy số liệu không giảm sau: ${x_1},\,{x_2},\,{x_3},…,{x_{34}}$.

Lời giải

Ta có: $A = \frac{{n + 1}}{4} = \frac{{34 + 1}}{4} = 8,75$; $B = \frac{{3(n + 1)}}{4} = \frac{{3(34 + 1)}}{4} = 26,25$.

Theo công thức (1) ta có: ${Q_1} = {x_{\left[ A \right] + 1}} = {x_{\left[ {8,75} \right] + 1}} = {x_9}$; ${Q_3} = {x_{\left[ B \right]}} = {x_{\left[ {26,25} \right]}} = x{\,_{26}}$.

Ví dụ 2. Tìm ${Q_1}$ và ${Q_3}$ của dãy số liệu không giảm sau: ${x_1},\,{x_2},\,{x_3},…,{x_{34}},{x_{35}}$.

Lời giải

Ta có: $A = \frac{{n + 1}}{4} = \frac{{35 + 1}}{4} = 9$ là số nguyên; $B = \frac{{3(n + 1)}}{4} = \frac{{3(35 + 1)}}{4} = 27$.

Theo công thức (2) ta có: ${Q_1} = {x_A} = {x_9}$; ${Q_3} = {x_B} = x{\,_{27}}$.

Ví dụ 3. Tìm ${Q_1}$ và ${Q_3}$ của dãy số liệu không giảm sau: ${x_1},\,{x_2},\,{x_3},…,{x_{35}},{x_{36}}$.

Lời giải

Ta có: $A = \frac{{n + 1}}{4} = \frac{{36 + 1}}{4} = 9,25$ là số nguyên; $B = \frac{{3(n + 1)}}{4} = \frac{{3(36 + 1)}}{4} = 27,75$.

Theo công thức (3) ta có: ${Q_1} = \frac{{{x_{\left[ A \right]}} + {x_{\left[ A \right] + 1}}}}{2} = \frac{{{x_9} + {x_{10}}}}{2}$; ${Q_3} = \frac{{{x_{\left[ B \right]}} + {x_{\left[ B \right] + 1}}}}{2} = \frac{{{x_{27}} + {x_{28}}}}{2}$.

II. Để tính trung vị ${M_e}$.

Ta tính: $C = \frac{{n + 1}}{2}$

– Nếu $C$ nguyên thì ${M_e} = {x_C}$. (4)

– Nếu $C$ không nguyên thì ${M_e} = \frac{{{x_{\left[ C \right]}} + {x_{\left[ C \right] + 1}}}}{2}$. (5)

Ví dụ 4. Tìm trung vị ${M_e}$ của dãy số liệu không giảm sau: ${x_1},\,{x_2},\,{x_3},…,{x_{50}}$.

Lời giải

Ta tính: $C = \frac{{n + 1}}{2} = \frac{{50 + 1}}{2} = 25,5$ không nguyên.

Theo công thức (5) ta có: thì ${M_e} = \frac{{{x_{\left[ C \right]}} + {x_{\left[ C \right] + 1}}}}{2} = \frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}$

Ví dụ 5. Tìm trung vị ${M_e}$ của dãy số liệu không giảm sau: ${x_1},\,{x_2},\,{x_3},…,{x_{51}}$.

Lời giải

Ta tính: $C = \frac{{n + 1}}{2} = \frac{{51 + 1}}{2} = 26$ là số nguyên.

Theo công thức (4) ta có: ${M_e} = {x_C} = {x_{26}}$