Chuyên đề tìm đạo hàm của hàm số mũ và lôgarit Luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có lời giải và đáp án được phát triển từ câu 10 của đề tham khảo môn Toán.
TÌM ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ-LOGARIT
ⒶTóm tắt lý thuyết
Vấn đề ①: Đạo hàm của hàm số mũ, logarit
. Phương pháp: Đối với bài toán tính đạo hàm hoặc chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm
Dùng các công thức tính đạo hàm
${\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\ln a$
${\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}$
${\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln a}}$
${\left( {\ln \left| x \right|} \right)^\prime } = \frac{1}{x}$
Thay vào các đẳng thức chứa đạo hàm ta thu được kết quả
. Casio:
Nhập ${\left. {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}\left( {f\left( x \right)} \right)} \right|_{x = {x_0}}}$ thay cho đạo hàm và ấn ; kiểm tra giá trị $f’\left( {{x_0}} \right)$
CALC $x = {x_0}$ vào kết quả A, B, C, D và so sánh các kết quả.
Xét hiệu ${\left. {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}\left( {f\left( x \right)} \right)} \right|_{x = {x_0}}} – f’\left( x \right) = 0$ kiểm tra mệnh đề đúng.
A – Bài tập minh họa:
| Câu 1: Đạo hàm của hàm số $y = {\log _2}\left( { – x – 3} \right)$.
Ⓐ.$\frac{1}{{\left( { – x – 3} \right)\ln 2}}$. Ⓑ. $\frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\ln 2}}$. Ⓒ.$\left( { – x – 3} \right)\ln 2$. Ⓓ. $\left( {x + 3} \right)\ln 2$. |
||
| Lời giải
Chọn B Điều kiện:$x < – 3$ . ${\left( {{{\log }_2}\left( { – x – 3} \right)} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( { – x – 3} \right)}^\prime }}}{{\left( { – x – 3} \right)\ln 2}} = \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\ln 2}}$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: ${\left. {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}\left( {f\left( x \right)} \right)} \right|_{x = {x_0}}} – f’\left( x \right) = 0$
|
|
| Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số $y = \left( {{x^2} + 2x – 2} \right){.5^x}$
Ⓐ.$y’ = \left( {{x^2} + 2} \right){.5^x}$. Ⓑ. $y’ = \left( {2x + 2} \right){.5^x}$. Ⓒ.$y’ = \left( {2x + 2} \right){.5^x}\ln 5$. Ⓓ. $y’ = \left( {2x + 2} \right){.5^x} + \left( {{x^2} + 2x – 2} \right){.5^x}\ln 5$. |
||
| Lời giải
Chọn D $y’ = {\left( {{x^2} + 2x – 2} \right)^\prime }{.5^x} + {\left( {{5^x}} \right)^\prime }.\left( {{x^2} + 2x – 2} \right)$ $ = \left( {2x + 2} \right){.5^x} + \left( {{x^2} + 2x – 2} \right){.5^x}\ln 5$ |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: ${\left. {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}\left( {f\left( x \right)} \right)} \right|_{x = {x_0}}} – f’\left( x \right) = 0$
|
|
| Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số $y = {6^x}$.
Ⓐ.$y’ = {6^x}$. Ⓑ. $y’ = {6^x}\ln 6$. Ⓒ.$y’ = \frac{{{6^x}}}{{\ln 6}}$. Ⓓ. $y’ = x{.6^{x – 1}}$. |
||
| Lời giải
Chọn B Ta có $y = {6^x} \Rightarrow y’ = {6^x}\ln 6$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: Xét hiệu ${\left. {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}\left( {f\left( x \right)} \right)} \right|_{x = {x_0}}} – f’\left( x \right) = 0$ |
|
| Câu 4: Chọn công thức đúng?
Ⓐ.${\left( {\ln 4x} \right)^\prime } = \frac{1}{x};\,\,\left( {x > 0} \right).$ Ⓑ. ${\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln a}};\,\,\left( {x > 0} \right).$ Ⓒ.${\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{x};\,\,\left( {x > 0} \right).$ Ⓓ. ${\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{x}{{\ln a}};\,\,\left( {x > 0} \right).$ |
||
| Lời giải
Chọn A Ta có: ${\left( {\ln 4x} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {4x} \right)}^\prime }}}{{4x}} = \frac{4}{{4x}} = \frac{1}{x};\,\,\left( {x > 0} \right).$A đúng. ${\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{x};\,\,\left( {x > 0} \right)$. B sai. ${\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln a}};\,\,\left( {x > 0} \right).$ C sai. ${\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln a}};\,\,\left( {x > 0} \right).$ D sai. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: Xét hiệu ${\left. {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}\left( {f\left( x \right)} \right)} \right|_{x = {x_0}}} – f’\left( x \right) = 0$ |
|
| Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số$y = {2^{2x + 3}}$?
A.$y’ = {2^{2x + 2}}\ln 4$. Ⓑ.$y’ = {4^{x + 2}}\ln 4$. C.$y’ = {2^{2x + 2}}\ln 16$. Ⓓ.$y’ = {2^{2x + 3}}\ln 2$. |
||
| Lời giải
Chọn C $y’ = 2.\,{2^{2x + 3 – 1}}\ln 2 = {2^{2x + 2}}\ln 4$ |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: Xét hiệu ${\left. {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}\left( {f\left( x \right)} \right)} \right|_{x = {x_0}}} – f’\left( x \right) = 0$ |
|
Vấn đề ②: Tìm tập xác định của hàm số mũ, hàm số logarit thức chứa lũy thừa.
Phương pháp:
. Tìm điều kiện của hàm số và giải điều kiện ta thu được tập xác định của hàm số.
.Với hàm số $y = {a^x}$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$
.Với hàm số $y = {\log _a}{\left( {f\left( x \right)} \right)^n}$
Xác định khi $a > 0;a \ne 1$và $f\left( x \right) > 0$ khi n lẻ hoặc $f\left( x \right) \ne 0$ khi n chẵn.
. Casio: Table , Calc rất hiệu quả.
A – Bài tập minh họa:
| Câu 1: Tập xác định $D$ của hàm số $y = {\log _2}\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)$
Ⓐ.$D = \left( { – 1;3} \right)$ Ⓑ. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$ Ⓒ.$D = \left[ { – 1;3} \right]$ Ⓓ. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)$ |
|
| Lời giải
Chọn B Hàm số xác định khi ${x^2} – 2x – 3 > 0 \Leftrightarrow x \in $$\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: Table |
| Câu 2: Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {2 – x} }} + \ln (x – 1)$ là
A. $D = (1;2)$ Ⓑ. $D = (1; + \infty )$ Ⓒ.$D = (0; + \infty )$ Ⓓ. $D = {\rm{[}}1;2]$ |
|
| Lời giải
Chọn A Hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {2 – x} }} + \ln (x – 1)$ xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}2 – x > 0\\x – 1 > 0\end{array} \right. \Rightarrow 1 < x < 2$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: Table |
| Câu 3: Tập xác định của hàm số $y = \log \left( {2x – {x^2}} \right)$ là
Ⓐ.$D = \left[ {0;2} \right]$ Ⓑ. $D = \left( { – \infty ;0} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$ Ⓒ.$D = \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$ Ⓓ. $D = \left( {0;2} \right)$ |
|
| Lời giải
Chọn D Điều kiện: $2x – {x^2} > 0$$ \Leftrightarrow 0 < x < 2$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( {0;2} \right)$ . |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: Table |
| Câu 4: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \sqrt {{{\log }_3}(x – 2) – 3} $.
Ⓐ.$D = {\rm{[}}29; + \infty )$ Ⓑ. $D = (29; + \infty )$ Ⓒ.$D = (2;29)$ Ⓓ. $D = (2; + \infty )$ |
|
| Lời giải
Chọn A Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}x – 2 > 0\\{\log _3}\left( {x – 2} \right) – 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 2 > 0\\x – 2 \ge {3^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 29$ Tập xác định $D = \left[ {29; + \infty } \right)$ |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: Table |
Vấn đề ③: Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa thức chứa lũy thừa.
-Phương pháp:
Xét hàm số $y = {\left[ {f(x)} \right]^\alpha }$
. Khi $\alpha $ nguyên dương: hàm số xác định khi và chỉ khi $f(x)$ xác định.
. Khi $\alpha $ nguyên âm: hàm số xác định khi và chỉ khi $f(x) \ne 0$.
. Khi $\alpha $ không nguyên: hàm số xác định khi và chỉ khi $f(x) > 0$.
. Casio: table$ \to $ NHẬP HÀM $ \to $ START: a $ \to $END: b $ \to $ STEP khéo tý.
Lưu ý: Chỉ dùng MTCT để loại trừ là chính, và không dùng MTCT để chọn trực tiếp đáp án. Đối với TXĐ hàm số lũy thừa an toàn nhất vẫn là giải theo công thức.
A – Bài tập minh họa:
| Câu 1: Hàm số $y = {\left( {x – 2} \right)^{\frac{1}{2}}}$ có tập xác định là
Ⓐ.$D = \left[ {2; + \infty } \right)$. Ⓑ.$D = \mathbb{R}$. Ⓒ. $D = \left( {2; + \infty } \right)$. Ⓓ. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$. |
|
| Lời giải
Chọn C Hàm số $y = {\left( {x – 2} \right)^{\frac{1}{2}}}$ xác định khi $x – 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$. Tập xác định của hàm số là $D = \left( {2; + \infty } \right)$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio:
Chú ý biểu thức $f(x) > 0$ nên chọn C |
| Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số $y = {({x^2} – 3x + 2)^{\frac{1}{3}}}$.
Ⓐ.$D = (0; + \infty ).$ Ⓑ.$D = (1;2).$ Ⓒ. $D = ( – \infty ;1) \cup (2; + \infty ).$ Ⓓ. $D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}1;2\} .$ |
|
| Lời giải
Chọn C Điều kiện: ${x^2} – 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 2\end{array} \right.$ Từ điều kiện suy ra tập xác định của hàm số là $D = ( – \infty ;1) \cup (2; + \infty )$ |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio: INEQ
|
| Câu 3: Cho hàm số $y = {\left( {x – 1} \right)^{ – 5}}.\sqrt x $. Tập xác định của hàm số là
Ⓐ.$D = \left( {1; + \infty } \right)$. Ⓑ.$D = \left[ {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$. Ⓒ. $D = \left[ {0; + \infty } \right)$. Ⓓ. $D = \mathbb{R}$. |
|
| Lời giải
Chọn B Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.$. Vậy: Tập xác định của hàm số là $D = \left[ {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio:
Chọn B khá dễ dàng Chọn Satrt, end thích hợp dựa vào đáp án |
Ⓑ Bài tập rèn luyện
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. Đồ thị hàm số$y = {x^\alpha }$ với $\alpha > 0$ không có tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số$y = {x^\alpha }$ với $\alpha < 0$ có hai tiệm cận.
C. Hàm số$y = {x^\alpha }$ có tập xác định là $D = \mathbb{R}$.
D.Hàm số$y = {x^\alpha }$ với $\alpha < 0$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.
Câu 2: Cho hàm số $y = {\log _{\frac{1}{x}}}\left( {1 – 2x + {x^2}} \right)$. Chọn mệnh đề đúng.
A. Hàm số liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$. B. Hàm số liên tục trên $\left( {0;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
C. Hàm số liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$. D. Hàm số liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$.
Câu 3: Trong các hàm số sau đây hàm số nào không phải là hàm số mũ.
A. $y = {5^{\frac{x}{3}}}$. B. $y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}$. C. $y = {4^{ – x}}$. D. $y = {x^{ – 4}}$.
Câu 4: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số $y = {5^x}$ có đúng $1$ tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số $y = {5^x}$ có đúng $1$ tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số $y = {5^x}$ có đúng $1$ tiệm cận ngang và đúng $1$ tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số $y = {5^x}$ không có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.
Câu 5: Cho ${a^{2b}} = 5$. Tính $2.{a^{6b}}$.
A. $15$. B. $125$. C. $120$. D. $250$.
Câu 6: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không phải hàm số mũ?
A. $y = {5^x}$ . B. $y = {4^{ – x}}$ . C. $y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}$ . D. $y = {x^{ – 4}}$ .
Câu 7: Hàm số nào sau đây là hàm số mũ?
A. $y = {\left( {\sin x} \right)^3}$. B. $y = {3^x}$. C. $y = {x^3}$. D. $y = \sqrt[3]{x}$.
Câu 8: Cho hàm số $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ . B. Đồ thị hàm số nhận Oy làm tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số luôn nằm trên trục Ox . D. Đồ thị hàm số nhận Ox làm tiệm cận ngang.
Câu 9: Hàm số nào sau đây không phải là hàm số mũ?
A. $y = {3^x}$. B. $y = \frac{1}{{{4^x}}}$. C. $y = {\pi ^x}$. D. $y = {x^\pi }$.
Câu 10: Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực$x,{\rm{ }}y$?
A. ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = \frac{{{2^x}}}{3}$. B. ${2^x}{.2^y} = {2^{x + y}}$. C. $\frac{{{2^x}}}{{{2^y}}} = {2^{\frac{x}{y}}}$. D. ${\left( {{2^x}} \right)^y} = {2^{x + y}}$.
Câu 11: Cho $a > 0\,$, $b > 0\,$ và $x\,$, $y$ là các số thực bất kỳ. Đẳng thức nào sau đúng?
A. ${\left( {a + b} \right)^x} = {a^x} + {b^x}$. B. ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} = {a^x}.{b^{ – x}}$.
C. ${a^{x + y}} = {a^x} + a{}^y$. D. ${a^x}{b^y} = {\left( {ab} \right)^{xy}}$.
Câu 12: Cho hàm số $y = {\log _5}x$. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số nghịch biến trên tập xác định.
B. Đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung.
C. Tập xác định của hàm số là $\left( {0; + \infty } \right)$.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục tung.
Câu 13: Giả sử $a,b$ là các số thực dương và $x,y$ là các số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $a > b \Rightarrow {a^x} > {b^x}$. B. Với $0 < a < 1:$${a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x > y$.
C. Với $a > 1:$${a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x > y$. D. ${a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x > y$.
Câu 14: Tập xác định của hàm số $f(x) = {\left( {9{x^2} – 25} \right)^{ – 2}} + {\log _2}\left( {2x + 1} \right)$là
A. $\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm \frac{5}{3}} \right\}$. B. $\left( {\frac{5}{3}\,;\, + \infty } \right)$. C. $\left( { – \frac{1}{2}\,;\, + \infty } \right)\backslash \left\{ {\frac{5}{3}} \right\}$. D. $\left( { – \frac{1}{2}\,;\, + \infty } \right)$.
Câu 15: Tập xác định của hàm số $y = {(1 – x)^{ – 2}} + \log x$ là:
A. $(0; + \infty )$. B. $( – \infty ;1)$. C. $(0;1) \cup (1; + \infty )$. D. $(0;1)$.
Câu 16: Tập xác định $D$ của hàm số $y = {\log _2}\left( { – 2{x^2} + x + 1} \right)$ là:
A. $D = \left( { – \frac{1}{2};1} \right)$ B. $\left( {1; + \infty } \right)$
C. $D = \left[ { – \frac{1}{2};2} \right)$ D. $D = \left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$
Câu 17: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = {\log _2}\left( {\sqrt {{x^2} – x} } \right)$.
A. $D = \left( { – 1;3} \right)$. B. $D = \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
C. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)$. D. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.
Câu 18: Điều kiện xác định của hàm số $y = {\log _2}\left( {x – 1} \right)$ là:
A. $x > 1$. B. $x < 1$. C. $\forall x \in \mathbb{R}$. D. $x \ne 1$.
Câu 19: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = {\log _3}\frac{{x + 1}}{{x – 3}}$.
A. $D = \left( {3; + \infty } \right)$. B. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.
C. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right)$. D. $D = \left( { – 1;3} \right)$.
Câu 20: Tập xác định của hàm số $f(x) = {(4x – {x^2} – 3)^{\frac{1}{3}}}$
A. $( – \infty ;1) \cup (3; + \infty )$ . B. $( – \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}3; + \infty )$. C. $(1;3)$. D. $\left[ {1;3} \right]$ .
Câu 21: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = {\log _2}\left( {{x^2} – 2x} \right)$.
A. $D = \left( { – \infty ;0} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$. B. $D = \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
C. $D = \left( {0; + \infty } \right)$. D. $D = \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.
Câu 22: Hàm số y = $\ln \left( { – {x^2} + 5x – 6} \right)$ có tập xác định là.
A. $\left( {2;3} \right)$. B. $\left( {0; + \infty } \right)$.
C. $\left( { – \infty ;0} \right)$. D. $\left( { – \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.
Câu 23: Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {{e^4} – {e^x}} }}$ là:
A. $( – \infty ;4]$. B. $( – \infty ;ln4)$. C. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}$. D. $( – \infty ;4)$.
Câu 24: Có bao nhiêu số nguyên $x > 0$ để hàm số $y = {\log _{2018}}\left( {10 – x} \right)$ xác định.
A. $10$ B. $2018$ C. Vô số D. $9$
Câu 25: Hàm số $y = {\log _2}\left( {3x – {x^2}} \right)$ có tập xác định là
A. $\left( {0;\, + \infty } \right)$. B. $\left( {0;\,3} \right)$. C. $\left[ {0;\,3} \right]$. D. $\mathbb{R}$.
Câu 26: Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{{1 – \ln x}}$ là
A. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\rm{e}} \right\}$. B. $D = \left( {0;{\rm{e}}} \right)$. C. $D = \left( {0; + \infty } \right)$. D. $D = \left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ {\rm{e}} \right\}$.
Câu 27: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {4x – {x^2}} \right).$
A. $D = \left[ {0;\,\,4} \right]$. B. $D = \left( { – \infty ;\,\,0} \right] \cup \left[ {4;\,\, + \infty } \right)$.
C. $D = \left( { – \infty ;\,\,0} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$. D. $D = \left( {0\,\,;\,\,4} \right)$.
Câu 28: Điều kiện xác định của phương trình ${\log _{2x – 3}}16 = 2$là:
A. $\frac{3}{2} < x \ne 2$. B. $x \in \left[ {\frac{3}{2};2} \right]$. C. $x \ne 2$. D. $x > \frac{3}{2}$.
Câu 29: Tập xác định$D$ của hàm số$y = \ln \left( {x – 1} \right)$ là
A. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$ B. $D = \mathbb{R}.$ C. $D = \left( { – \infty ;1} \right).$ D. $D = \left( {1; + \infty } \right).$
Câu 30: Cho số thực $a\,\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Đồ thị hàm số $y = {a^x}$có đường tiệm cận là $x = 0$, đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$có đường tiệm cận là $y = 0$.
B. Hàm số $y = {\log _a}x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.
C. Đồ thị hàm số $y = {a^x}$có đường tiệm cận là $y = 0$, đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$ có đường tiệm cận là $x = 0$.
D. Đồ thị hàm số $y = {a^x}$ luôn cắt trục $Ox$.
Câu 31: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = {\log _2}\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)$.
A. $D = \left[ { – 1;3} \right]$ B. $D = \left( { – 1;3} \right)$
C. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)$ D. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$
Câu 32: Tập xác định của hàm số $y = {\log _3}\left( {x + 1} \right)$là
A. $\left( {0;\, + \infty } \right)$. B. $\left( {1;\, + \infty } \right)$. C. $\left( { – 1;\, + \infty } \right)$. D. $\left[ { – 1;\, + \infty } \right)$.
Câu 33: Tập xác định của hàm số $y = \ln \left| {2 – {x^2}} \right|$ là:
A. $\left( { – 2;\,2} \right)$ B. $\mathbb{R}$. C. $\left( { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)$. D. $\mathbb{R}\backslash \left\{ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}$.
Câu 34: Đạo hàm của hàm số $y = {\log _3}\left( {{x^2} + x + 1} \right)$là:
A. $y’ = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\ln 3}}{{{x^2} + x + 1}}$ B. $y’ = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 3}}$
C. $y’ = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$ D. $y’ = \frac{1}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 3}}$
Câu 35: Tính đạo hàm của hàm số $y = {2^{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}$.
A. $y’ = – \cos x{.2^{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}.ln2$. B. $y’ = \cos x{.2^{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}.ln2$.
C. $y’ = {2^{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}.ln2$. D. $y’ = \frac{{\cos x{{.2}^{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}}}{{ln2}}$.
Câu 36: Tính đạo hàm của hàm số $y = {2^{x + 1}}$.
A. $y’ = \left( {x + 1} \right){2^x}\ln 2$. B. $y’ = {2^{x + 1}}\log 2$.
C. $y’ = {2^{x + 1}}\ln 2$. D. $y’ = \frac{{{2^{x + 1}}}}{{\ln 2}}$.
Câu 37: Cho hàm số $f(x) = \ln \left( {{x^4} + 1} \right)$. Đạo hàm $f’\left( 1 \right)$ bằng.
A. $2$. B. $\frac{{\ln 2}}{2}$. C. $1$. D. $\frac{1}{2}$.
Câu 38: Đạo hàm của hàm số $y = {2020^x}$ là
A. $y’ = x{.2020^{x – 1}}$ B. $y’ = {2020^x}.\log 2020$
C. $y’ = {2020^x}\ln 2020$ D. $y’ = \frac{{{{2020}^x}}}{{\ln 2020}}$
Câu 39: Đạo hàm của hàm số $y = {\log _3}\left( {4x + 1} \right)$ là.
A. $y’ = \frac{{4\ln 3}}{{4x + 1}}$. B. $y’ = \frac{4}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}}$. C. $y’ = \frac{1}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}}$. D. $y’ = \frac{{\ln 3}}{{4x + 1}}$.
Câu 40: Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln \left( {{x^2} + x + 1} \right)$.
A. $y’ = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}$. B. $y’ = \frac{{ – 1}}{{{x^2} + x + 1}}$. C. $y’ = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$. D. $y’ = \frac{{ – \left( {2x + 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}}$.
Câu 41: Cho hàm số $y = {e^x} + {e^{ – x}}$. Tính $y”\left( 1 \right) = ?$.
A. $e + \frac{1}{e}$. B. $ – e – \frac{1}{e}$. C. $ – e + \frac{1}{e}$. D. $e – \frac{1}{e}$.
Câu 42: Đạo hàm của hàm số $y = \ln \left( {1 – {x^2}} \right)$ là
A. $\frac{{2x}}{{{x^2} – 1}}$. B. $\frac{{ – 2x}}{{{x^2} – 1}}$. C. $\frac{1}{{{x^2} – 1}}$. D. $\frac{x}{{1 – {x^2}}}$.
Câu 43: Cho hàm số $f\left( x \right) = {\log _3}\left( {2x + 1} \right)$. Giá trị của $f’\left( 0 \right)$ bằng
A. $\frac{2}{{\ln 3}}$. B. $0$. C. $2\ln 3$. D. $2$.
Câu 44: Cho hàm số $f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)$. Tính $f’\left( 1 \right)$
A. $f’\left( 1 \right) = \frac{1}{2}$ B. $f’\left( 1 \right) = \frac{1}{{2\ln 2}}$ C. $f’\left( 1 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}$ D. $f’\left( 1 \right) = 1$
Câu 45: Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = \ln \left( {{e^{2x}} + 1} \right)$.
A. $f’\left( x \right) = \frac{{{e^{2x}}}}{{2\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}}$. B. $f’\left( x \right) = \frac{{{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}$.
C. $f’\left( x \right) = \frac{{2{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}$. D. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{{e^{2x}} + 1}}$.
Câu 46: Cho hàm số $y = {e^{3x}}.\sin 5x$. Tìm $m$ để $6y’ – y” + my = 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
A. $m = 34$. B. $m = – 34$. C. $m = – 30$. D. $m = 30$.
Câu 47: Hàm số $y = {\log _2}\left( {2x + 1} \right)$ có đạo hàm $y’$ bằng
A. $\frac{{2\ln 2}}{{2x + 1}}$. B. $\frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 2}}$. C. $\frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)\log 2}}$. D. $\frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 2}}$.
Câu 48: Tính đạo hàm của hàm số $y = {\log _2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)$.
A. $y’ = – \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 2}}$. B. $y’ = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 2}}$.
C. $y’ = \frac{{2x + 2}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 2}}$. D. $y’ = \frac{{x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 2}}$.
Câu 49: Tính đạo hàm của hàm số $y = {9^x}$.
A. $y’ = {9^x}\ln 9$. B. $y’ = \frac{1}{{x\ln 9}}$. C. $y’ = \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}}$. D. $y’ = {9^{x – 1}}$.
Câu 50: Cho hàm số $y = {2^x}{.5^x}$. Tính $f’\left( 0 \right)$.
A. $f’\left( 0 \right) = 1$. B. $f’\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 10}}$. C. $f’\left( 0 \right) = \ln 10$. D. $f’\left( 0 \right) = 10\ln 10$.
Câu 51: Cho hàm số $y = \frac{1}{{x + 1 + \ln x}}$ với $x > 0$. Khi đó $ – \frac{{y’}}{{{y^2}}}$ bằng
A. $\frac{{x + 1}}{{1 + x + \ln x}}$. B. $\frac{x}{{1 + x + \ln x}}$. C. $1 + \frac{1}{x}$. D. $\frac{x}{{x + 1}}$.
Câu 52: Tính đạo hàm của hàm số $y = {e^{3{\rm{x}} + 1}}$.
A. $y’ = \left( {3x + 1} \right){e^{3x}}$. B. $y’ = 3{e^{3x}}$. C. $y’ = 3{e^{3x + 1}}$. D. $y’ = {e^{3x + 1}}$.
Câu 53: Đạo hàm của hàm số $f(x) = {2^x}$ là
A. $\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}$. B. ${2^x}$. C. ${2^x}\ln 2$. D. $x{.2^{x – 1}}$.
Câu 54: Cho hàm số $f\left( x \right) = \ln \sqrt {1 + {{\rm{e}}^x}} $. Tính $f’\left( {\ln 2} \right)$
A. $2$ B. $ – 2$ C. $0,3$ D. $\frac{1}{3}$
Câu 55: Tính đạo hàm số $y = {\log _2}x$ có đạo hàm
A. $\frac{1}{{\ln 2}}.$ B. $\frac{1}{{x\ln 2}}.$ C. $\frac{1}{x}.\ln 2.$ D. $\frac{1}{x}.$
Câu 56: Hàm số $f\left( x \right) = {2^{3x + 4}}$ có đạo hàm là:
A. $f’\left( x \right) = {3.2^{3x + 4}}.\ln 2$. B. $f’\left( x \right) = {2^{3x + 4}}.\ln 2$.
C. $f’\left( x \right) = \frac{{{2^{3x + 4}}}}{{\ln 2}}$. D. $f’\left( x \right) = \frac{{{{3.2}^{3x + 4}}}}{{\ln 2}}$.
Câu 57: Tìm đạo hàm của hàm số $y = {\pi ^x}$.
A. $y’ = {\pi ^x}\ln \pi $. B. $y’ = \frac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}$. C. $y’ = x{\pi ^{x – 1}}\ln \pi $. D. $y’ = x{\pi ^{x – 1}}$.
Câu 58: Tính đạo hàm của hàm số $y = {2018^x}\ln x$ với $x > 0$.
A. $y’ = {2018^x}\left( {\ln 2018\ln x + \frac{1}{x}} \right)$ B. $y’ = {2018^x}\frac{1}{x}\ln 2018$
C. $y’ = {2018^x}\left( {\ln 2018 + \frac{1}{x}} \right)$ D. $y’ = {2018^x}\left( {\ln x + \frac{1}{x}} \right)$
Câu 59: Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\log _2}\left( {x + 1} \right)$.
A. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}}$. B. $f’\left( x \right) = \frac{x}{{\left( {x + 1} \right)\ln 2}}$.
C. $f’\left( x \right) = 0$. D. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\ln 2}}$.
Câu 60: Tính đạo hàm của hàm số $y = {\log _5}\left( {{x^2} + 2} \right)$.
A. $y’ = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 5}}$. B. $y’ = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 5}}$. C. $y’ = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)}}$. D. $y’ = \frac{{2x\ln 5}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)}}$.
Câu 61: Đạo hàm của hàm số $y = (2{x^2} – 5x + 2){{\rm{e}}^{\rm{x}}}$ là
A. $\left( {4x – 5} \right){{\rm{e}}^{\rm{x}}}$. B. $x{{\rm{e}}^{\rm{x}}}$. C. $\left( {2{x^2} – x – 3} \right){{\rm{e}}^{\rm{x}}}$. D. $2{x^2}{{\rm{e}}^{\rm{x}}}$.
Câu 62: Tính đạo hàm của hàm số $y = {7^{{x^2} + x – 2}}$.
A. $y’ = (x + 1){.7^{{x^2} + x – 2}}.\ln 7$. B. $y’ = (7x + 1){.7^{{x^2} + x – 2}}.\ln 7$.
C. $y’ = (2x + 1){.7^{{x^2} + x – 2}}.\ln 7$. D. $y’ = (2x + 7){.7^{{x^2} + x – 2}}.\ln 7$.
Câu 63: Đạo hàm của hàm số $y = {e^{1 – 2x}}$.
A. $y’ = – 2{e^{1 – 2x}}$. B. $y’ = e{}^{1 – 2x}$. C. $y’ = {e^x}$. D. $y’ = 2{e^{1 – 2x}}$.
Câu 64: Trong các hàm số sau hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. ${\log _3}{x^2}$ B. $y = \log \left( {{x^3}} \right)$ C. $y = {\left( {\frac{{\rm{e}}}{4}} \right)^x}$ D. $y = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{ – x}}$
Câu 65: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right){\rm{ = }}\,{{\rm{e}}^{x + 1}} – 2$ trên đoạn $\left[ {0\,;\,3} \right]$.
A. ${{\rm{e}}^4} – 2$. B. ${{\rm{e}}^3} – 2$. C. ${\rm{e}} – 2$. D. ${{\rm{e}}^2} – 2$.
Câu 66: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = {4^x}$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ bằng
A. $8$. B. $1$. C. $9$. D. $16$.
Hướng dẫn giải
Dạng 00: Các câu hỏi chưa phân dạng
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. Đồ thị hàm số$y = {x^\alpha }$ với $\alpha > 0$ không có tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số$y = {x^\alpha }$ với $\alpha < 0$ có hai tiệm cận.
C. Hàm số$y = {x^\alpha }$ có tập xác định là $D = \mathbb{R}$.
D.Hàm số$y = {x^\alpha }$ với $\alpha < 0$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.
Lời giải
ChọnC
Đồ thị hàm số lũy thừa $y = {x^\alpha }$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$
Với $\alpha > 0$, đồ thị hàm số$y = {x^\alpha }$ không có tiệm cận nên A đúng.
Với $\alpha < 0$, đồ thị hàm số$y = {x^\alpha }$ có hai tiệm cận $x = 0;y = 0$ nên B đúng.
Khi $\alpha $ không nguyên, hàm số$y = {x^\alpha }$ có tập xác định là $D = \left( {0; + \infty } \right)$ nên C sai.
Với $\alpha < 0$, hàm số$y = {x^\alpha }$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$. Do đó D đúng.
Câu 2: Cho hàm số $y = {\log _{\frac{1}{x}}}\left( {1 – 2x + {x^2}} \right)$. Chọn mệnh đề đúng.
A. Hàm số liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$. B. Hàm số liên tục trên $\left( {0;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
C. Hàm số liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$. D. Hàm số liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$.
Lời giải
Điều kiện xác định $\left\{ \begin{array}{l}1 – 2x + {x^2} > 0\\\frac{1}{x} > 0\\\frac{1}{x} \ne 1\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right.$.
Ta có tập xác định $D = \left( {0;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$. Do đó hàm số liên tục trên các khoảng $\left( {0;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$. Suy ra hàm số liên tục trên $\left( {1; + \infty } \right)$. Chọn đáp án
C.
Câu 3: Trong các hàm số sau đây hàm số nào không phải là hàm số mũ.
A. $y = {5^{\frac{x}{3}}}$. B. $y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}$. C. $y = {4^{ – x}}$. D. $y = {x^{ – 4}}$.
Lời giải
Câu 4: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số $y = {5^x}$ có đúng $1$ tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số $y = {5^x}$ có đúng $1$ tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số $y = {5^x}$ có đúng $1$ tiệm cận ngang và đúng $1$ tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số $y = {5^x}$ không có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.
Lời giải
Đồ thị hàm số $y = {a^x}$ nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
Câu 5: Cho ${a^{2b}} = 5$. Tính $2.{a^{6b}}$.
A. $15$. B. $125$. C. $120$. D. $250$.
Lời giải
Ta có: $2.{a^{6b}} = 2{\left( {{a^{2b}}} \right)^3} = {2.5^3} = 250$.
Câu 6: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không phải hàm số mũ?
A. $y = {5^x}$ . B. $y = {4^{ – x}}$ . C. $y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}$ . D. $y = {x^{ – 4}}$ .
Hàm số mũ là hàm số có dạng $y = {a^x}\,$ với $0 < a \ne 1$ .
Nên hàm số $y = {x^{ – 4}}$ không phải là hàm số mũ.
Câu 7: Hàm số nào sau đây là hàm số mũ?
A. $y = {\left( {\sin x} \right)^3}$. B. $y = {3^x}$. C. $y = {x^3}$. D. $y = \sqrt[3]{x}$.
Lời giải
Câu 8: Cho hàm số $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ . B. Đồ thị hàm số nhận Oy làm tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số luôn nằm trên trục Ox . D. Đồ thị hàm số nhận Ox làm tiệm cận ngang.
Lời giải
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} = 1$ nên $Oy$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ .
Câu 9: Hàm số nào sau đây không phải là hàm số mũ?
A. $y = {3^x}$. B. $y = \frac{1}{{{4^x}}}$. C. $y = {\pi ^x}$. D. $y = {x^\pi }$.
Lời giải
Câu 10: Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực$x,{\rm{ }}y$?
A. ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = \frac{{{2^x}}}{3}$. B. ${2^x}{.2^y} = {2^{x + y}}$. C. $\frac{{{2^x}}}{{{2^y}}} = {2^{\frac{x}{y}}}$. D. ${\left( {{2^x}} \right)^y} = {2^{x + y}}$.
Ta có các chú ý sau:
${\left( {{a^x}} \right)^y} = {a^{xy}}$.
$\frac{{{a^x}}}{{{a^y}}} = {a^{x – y}}$.
${a^x}.{a^y} = {a^{x + y}}$.
${\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} = \frac{{{a^x}}}{{{b^x}}}$.
Suy ra mệnh đề B đúng.
Câu 11: Cho $a > 0\,$, $b > 0\,$ và $x\,$, $y$ là các số thực bất kỳ. Đẳng thức nào sau đúng?
A. ${\left( {a + b} \right)^x} = {a^x} + {b^x}$. B. ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} = {a^x}.{b^{ – x}}$.
C. ${a^{x + y}} = {a^x} + a{}^y$. D. ${a^x}{b^y} = {\left( {ab} \right)^{xy}}$.
Lời giải
Ta có ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^x}$$ = \frac{{{a^x}}}{{{b^x}}}$$ = {a^x}.{b^{ – x}}$.
Câu 12: Cho hàm số $y = {\log _5}x$. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số nghịch biến trên tập xác định.
B. Đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung.
C. Tập xác định của hàm số là $\left( {0; + \infty } \right)$.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục tung.
Lời giải
Hàm số $y = {\log _a}x$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $a > 1$và nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $0 < a < 1$.
Do đó hàm số $y = {\log _5}x$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$. sai.
Câu 13: Giả sử $a,b$ là các số thực dương và $x,y$ là các số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $a > b \Rightarrow {a^x} > {b^x}$. B. Với $0 < a < 1:$${a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x > y$.
C. Với $a > 1:$${a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x > y$. D. ${a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x > y$.
Lời giải
Hàm số $y = {a^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ với $a > 1$ suy ra ${a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x > y$.
Dạng 01: Tìm tập xác điịnh của hàm số
Câu 14: Tập xác định của hàm số $f(x) = {\left( {9{x^2} – 25} \right)^{ – 2}} + {\log _2}\left( {2x + 1} \right)$là
A. $\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm \frac{5}{3}} \right\}$. B. $\left( {\frac{5}{3}\,;\, + \infty } \right)$. C. $\left( { – \frac{1}{2}\,;\, + \infty } \right)\backslash \left\{ {\frac{5}{3}} \right\}$. D. $\left( { – \frac{1}{2}\,;\, + \infty } \right)$.
Lời giải
Điều kiện xác định của hàm số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9{x^2} – 25 \ne 0}\\{2x + 1 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \pm \frac{5}{3}}\\{x > – \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$.
Vậy $D = \left( { – \frac{1}{2}\,;\, + \infty } \right)\backslash \left\{ {\frac{5}{3}} \right\}$.
Câu 15: Tập xác định của hàm số $y = {(1 – x)^{ – 2}} + \log x$ là:
A. $(0; + \infty )$. B. $( – \infty ;1)$. C. $(0;1) \cup (1; + \infty )$. D. $(0;1)$.
Lời giải
Câu 16: Tập xác định $D$ của hàm số $y = {\log _2}\left( { – 2{x^2} + x + 1} \right)$ là:
A. $D = \left( { – \frac{1}{2};1} \right)$ B. $\left( {1; + \infty } \right)$
C. $D = \left[ { – \frac{1}{2};2} \right)$ D. $D = \left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$
Lời giải
Ta có $D = \left\{ {\forall x \in \mathbb{R}\left| { – 2{x^2} + x + 1 > 0} \right.} \right\} = \left\{ {\forall x \in \mathbb{R}\left| { – \frac{1}{2} < x < 1} \right.} \right\} = \left( { – \frac{1}{2};1} \right)$.
Câu 17: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = {\log _2}\left( {\sqrt {{x^2} – x} } \right)$.
A. $D = \left( { – 1;3} \right)$. B. $D = \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
C. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)$. D. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.
Lời giải
Điều kiện xác định ${x^2} – x > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
Câu 18: Điều kiện xác định của hàm số $y = {\log _2}\left( {x – 1} \right)$ là:
A. $x > 1$. B. $x < 1$. C. $\forall x \in \mathbb{R}$. D. $x \ne 1$.
Lời giải
Điều kiện xác định của hàm số $y = {\log _2}\left( {x – 1} \right)$ là $x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.
Câu 19: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = {\log _3}\frac{{x + 1}}{{x – 3}}$.
A. $D = \left( {3; + \infty } \right)$. B. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.
C. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right)$. D. $D = \left( { – 1;3} \right)$.
Lời giải
Điều kiện: $\frac{{x + 1}}{{x – 3}} > 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < – 1\\x > 3\end{array} \right.$.
Vậy tập xác định $D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.
Câu 20: Tập xác định của hàm số $f(x) = {(4x – {x^2} – 3)^{\frac{1}{3}}}$
A. $( – \infty ;1) \cup (3; + \infty )$ . B. $( – \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}3; + \infty )$. C. $(1;3)$. D. $\left[ {1;3} \right]$ .
Lời giải
Điều kiện xác định: $4x – {x^2} – 3 > 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3$ .
Vậy hàm số có tập xác định là $\left( {1;3} \right)$ .
Câu 21: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = {\log _2}\left( {{x^2} – 2x} \right)$.
A. $D = \left( { – \infty ;0} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$. B. $D = \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
C. $D = \left( {0; + \infty } \right)$. D. $D = \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.
Lời giải
Biểu thức ${\log _2}\left( {{x^2} – 2x} \right)$ khi và chỉ khi${x^2} – 2x > 0 \Leftrightarrow x < 0$hoặc $x > 2$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.
Câu 22: Hàm số y = $\ln \left( { – {x^2} + 5x – 6} \right)$ có tập xác định là.
A. $\left( {2;3} \right)$. B. $\left( {0; + \infty } \right)$.
C. $\left( { – \infty ;0} \right)$. D. $\left( { – \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.
Hàm số xác định khi $ – {x^2} + 5x – 6 > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3$.
Câu 23: Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {{e^4} – {e^x}} }}$ là:
A. $( – \infty ;4]$. B. $( – \infty ;ln4)$. C. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}$. D. $( – \infty ;4)$.
Lời giải
Hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {{e^4} – {e^x}} }}$ xác định khi ${e^4} – {e^x} > 0 \Leftrightarrow x < 4$.
Câu 24: Có bao nhiêu số nguyên $x > 0$ để hàm số $y = {\log _{2018}}\left( {10 – x} \right)$ xác định.
A. $10$ B. $2018$ C. Vô số D. $9$
$y$ xác định.$ \Leftrightarrow 10 – x > 0$$ \Leftrightarrow x < 10$.
Ta có: $0 < x < 10$.
Vậy có $9$ số nguyên thỏa đề.
Câu 25: Hàm số $y = {\log _2}\left( {3x – {x^2}} \right)$ có tập xác định là
A. $\left( {0;\, + \infty } \right)$. B. $\left( {0;\,3} \right)$. C. $\left[ {0;\,3} \right]$. D. $\mathbb{R}$.
Lời giải
Điều kiện: $3x – {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 3$.
Vậy: Tập xác định của hàm số là $\left( {0;\,3} \right)$.
Câu 26: Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{{1 – \ln x}}$ là
A. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\rm{e}} \right\}$. B. $D = \left( {0;{\rm{e}}} \right)$. C. $D = \left( {0; + \infty } \right)$. D. $D = \left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ {\rm{e}} \right\}$.
Lời giải
Hàm số $y = \frac{1}{{1 – \ln x}}$ xác định $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln x \ne 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne {\rm{e}}\end{array} \right.$$ \Rightarrow D = \left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ {\rm{e}} \right\}$.
Câu 27: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {4x – {x^2}} \right).$
A. $D = \left[ {0;\,\,4} \right]$. B. $D = \left( { – \infty ;\,\,0} \right] \cup \left[ {4;\,\, + \infty } \right)$.
C. $D = \left( { – \infty ;\,\,0} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$. D. $D = \left( {0\,\,;\,\,4} \right)$.
Lời giải
Điều kiện $4x – {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 4$.
Câu 28: Điều kiện xác định của phương trình ${\log _{2x – 3}}16 = 2$là:
A. $\frac{3}{2} < x \ne 2$. B. $x \in \left[ {\frac{3}{2};2} \right]$. C. $x \ne 2$. D. $x > \frac{3}{2}$.
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là: $\left\{ \begin{array}{l}2x – 3 > 0\\2x – 3 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{3}{2}\\x \ne 2\end{array} \right.$.
Câu 29: Tập xác định$D$ của hàm số$y = \ln \left( {x – 1} \right)$ là
A. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$ B. $D = \mathbb{R}.$ C. $D = \left( { – \infty ;1} \right).$ D. $D = \left( {1; + \infty } \right).$
Lời giải
Điều kiện:$x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.
Vậy $D = \left( {1; + \infty } \right).$
Câu 30: Cho số thực $a\,\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Đồ thị hàm số $y = {a^x}$có đường tiệm cận là $x = 0$, đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$có đường tiệm cận là $y = 0$.
B. Hàm số $y = {\log _a}x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.
C. Đồ thị hàm số $y = {a^x}$có đường tiệm cận là $y = 0$, đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$ có đường tiệm cận là $x = 0$.
D. Đồ thị hàm số $y = {a^x}$ luôn cắt trục $Ox$.
Lời giải
Đồ thị hàm số $y = {a^x}$có đường tiệm cận là $y = 0$, đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$ có đường tiệm cận là $x = 0$.
Câu 31: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = {\log _2}\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)$.
A. $D = \left[ { – 1;3} \right]$ B. $D = \left( { – 1;3} \right)$
C. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)$ D. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$
Lời giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi ${x^2} – 2x – 3 > 0$$ \Leftrightarrow $ $\left[ \begin{array}{l}x < – 1\\x > 3\end{array} \right.$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.
Câu 32: Tập xác định của hàm số $y = {\log _3}\left( {x + 1} \right)$là
A. $\left( {0;\, + \infty } \right)$. B. $\left( {1;\, + \infty } \right)$. C. $\left( { – 1;\, + \infty } \right)$. D. $\left[ { – 1;\, + \infty } \right)$.
Lời giải
Hàm số được xác định $ \Leftrightarrow x + 1 > 0$$ \Leftrightarrow x > – 1$.
Vậy tập xác định $\left( { – 1;\, + \infty } \right)$.
Câu 33: Tập xác định của hàm số $y = \ln \left| {2 – {x^2}} \right|$ là:
A. $\left( { – 2;\,2} \right)$ B. $\mathbb{R}$. C. $\left( { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)$. D. $\mathbb{R}\backslash \left\{ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}$.
Lời giải
Điều kiện xác định của hàm số là: $\left| {2 – {x^2}} \right| > 0 \Leftrightarrow 2 – {x^2} \ne 0$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \sqrt 2 \\x \ne – \sqrt 2 \end{array} \right.$.
Vậy hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}$.
Dạng 02: Tính đạo hàm các cấp
Câu 34: Đạo hàm của hàm số $y = {\log _3}\left( {{x^2} + x + 1} \right)$là:
A. $y’ = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\ln 3}}{{{x^2} + x + 1}}$ B. $y’ = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 3}}$
C. $y’ = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$ D. $y’ = \frac{1}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 3}}$
Lời giải
$y’ = \frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)’}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 3}} = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 3}}$
Câu 35: Tính đạo hàm của hàm số $y = {2^{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}$.
A. $y’ = – \cos x{.2^{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}.ln2$. B. $y’ = \cos x{.2^{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}.ln2$.
C. $y’ = {2^{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}.ln2$. D. $y’ = \frac{{\cos x{{.2}^{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}}}{{ln2}}$.
Lời giải
$y = {2^{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }} \Rightarrow y’ = {2^{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }}.ln2.\cos x$.
Câu 36: Tính đạo hàm của hàm số $y = {2^{x + 1}}$.
A. $y’ = \left( {x + 1} \right){2^x}\ln 2$. B. $y’ = {2^{x + 1}}\log 2$.
C. $y’ = {2^{x + 1}}\ln 2$. D. $y’ = \frac{{{2^{x + 1}}}}{{\ln 2}}$.
Lời giải
Câu 37: Cho hàm số $f(x) = \ln \left( {{x^4} + 1} \right)$. Đạo hàm $f’\left( 1 \right)$ bằng.
A. $2$. B. $\frac{{\ln 2}}{2}$. C. $1$. D. $\frac{1}{2}$.
Lời giải
Ta có: $\sqrt 2 + \sqrt 5 < 2 + \sqrt 3 $.
Câu 38: Đạo hàm của hàm số $y = {2020^x}$ là
A. $y’ = x{.2020^{x – 1}}$ B. $y’ = {2020^x}.\log 2020$
C. $y’ = {2020^x}\ln 2020$ D. $y’ = \frac{{{{2020}^x}}}{{\ln 2020}}$
Lời giải
Câu 39: Đạo hàm của hàm số $y = {\log _3}\left( {4x + 1} \right)$ là.
A. $y’ = \frac{{4\ln 3}}{{4x + 1}}$. B. $y’ = \frac{4}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}}$. C. $y’ = \frac{1}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}}$. D. $y’ = \frac{{\ln 3}}{{4x + 1}}$.
Lời giải
Với $x > – \frac{1}{4}$.
Áp dụng công thức ${\left( {{{\log }_a}u} \right)^\prime } = \frac{{u’}}{{u\ln a}}$ ta có $y’ = \frac{4}{{\left( {4x + 1} \right)\ln 3}}.$.
Câu 40: Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln \left( {{x^2} + x + 1} \right)$.
A. $y’ = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}$. B. $y’ = \frac{{ – 1}}{{{x^2} + x + 1}}$. C. $y’ = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$. D. $y’ = \frac{{ – \left( {2x + 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}}$.
Lời giải
Ta có: $y’ = \frac{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$.
Câu 41: Cho hàm số $y = {e^x} + {e^{ – x}}$. Tính $y”\left( 1 \right) = ?$.
A. $e + \frac{1}{e}$. B. $ – e – \frac{1}{e}$. C. $ – e + \frac{1}{e}$. D. $e – \frac{1}{e}$.
Lời giải
Ta có: $y’ = {e^x} – {e^{ – x}} \Rightarrow y” = {e^x} + {e^{ – x}} \Rightarrow y”\left( 1 \right) = e + \frac{1}{e}$.
Câu 42: Đạo hàm của hàm số $y = \ln \left( {1 – {x^2}} \right)$ là
A. $\frac{{2x}}{{{x^2} – 1}}$. B. $\frac{{ – 2x}}{{{x^2} – 1}}$. C. $\frac{1}{{{x^2} – 1}}$. D. $\frac{x}{{1 – {x^2}}}$.
Lời giải
$y’ = \frac{{{{\left( {1 – {x^2}} \right)}^\prime }}}{{1 – {x^2}}}$$ = \frac{{ – 2x}}{{1 – {x^2}}}$$ = \frac{{2x}}{{{x^2} – 1}}$.
Câu 43: Cho hàm số $f\left( x \right) = {\log _3}\left( {2x + 1} \right)$. Giá trị của $f’\left( 0 \right)$ bằng
A. $\frac{2}{{\ln 3}}$. B. $0$. C. $2\ln 3$. D. $2$.
Lời giải
Ta có $f’\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^\prime }}}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 3}}$$ = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 3}}$$ \Rightarrow f’\left( 0 \right) = \frac{2}{{\ln 3}}$.
Câu 44: Cho hàm số $f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)$. Tính $f’\left( 1 \right)$
A. $f’\left( 1 \right) = \frac{1}{2}$ B. $f’\left( 1 \right) = \frac{1}{{2\ln 2}}$ C. $f’\left( 1 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}$ D. $f’\left( 1 \right) = 1$
Lời giải
Vì $f’\left( x \right) = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}$
Nên $f’\left( 1 \right) = \frac{2}{{2\ln 2}} = \frac{1}{{\ln 2}}$
Vậy ta chọn
C.
Câu 45: Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = \ln \left( {{e^{2x}} + 1} \right)$.
A. $f’\left( x \right) = \frac{{{e^{2x}}}}{{2\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}}$. B. $f’\left( x \right) = \frac{{{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}$.
C. $f’\left( x \right) = \frac{{2{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}$. D. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{{e^{2x}} + 1}}$.
Lời giải
$f’\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}^\prime }}}{{{e^{2x}} + 1}} = \frac{{2{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}$.
Câu 46: Cho hàm số $y = {e^{3x}}.\sin 5x$. Tìm $m$ để $6y’ – y” + my = 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
A. $m = 34$. B. $m = – 34$. C. $m = – 30$. D. $m = 30$.
Lời giải
Xét hàm số $y = {e^{3x}}.\sin 5x$.
Ta có: $y’ = 3{e^{3x}}.\sin 5x + 5{e^{3x}}.cos5x$; $y” = – 16{e^{3x}}.\sin 5x + 30{e^{3x}}.cos5x$.
Do đó: $6y’ – y” + my = 6\left( {3{e^{3x}}.\sin 5x + 5{e^{3x}}.cos5x} \right) – \left( { – 16{e^{3x}}.\sin 5x + 30{e^{3x}}.cos5x} \right) + m{e^{3x}}.\sin 5x$
$ = \left( {34 + m} \right){e^{3x}}.\sin 5x$.
Vậy $6y’ – y” + my = 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left( {34 + m} \right){e^{3x}}.\sin 5x = 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow 34 + m = 0 \Leftrightarrow m = – 34$.
Câu 47: Hàm số $y = {\log _2}\left( {2x + 1} \right)$ có đạo hàm $y’$ bằng
A. $\frac{{2\ln 2}}{{2x + 1}}$. B. $\frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 2}}$. C. $\frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)\log 2}}$. D. $\frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 2}}$.
Lời giải
$y = {\log _2}\left( {2x + 1} \right) \Rightarrow y’ = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^\prime }}}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 2}} = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 2}}$.
Câu 48: Tính đạo hàm của hàm số $y = {\log _2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)$.
A. $y’ = – \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 2}}$. B. $y’ = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 2}}$.
C. $y’ = \frac{{2x + 2}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 2}}$. D. $y’ = \frac{{x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 2}}$.
Lời giải
Ta có: $y’ = \frac{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^\prime }}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 2}} = \frac{{2x + 1}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\ln 2}}$.
Câu 49: Tính đạo hàm của hàm số $y = {9^x}$.
A. $y’ = {9^x}\ln 9$. B. $y’ = \frac{1}{{x\ln 9}}$. C. $y’ = \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}}$. D. $y’ = {9^{x – 1}}$.
Lời giải
Đây là dạng toán tính đạo hàm của hàm số mũ.
Ta có công thức như sau: $y = {a^{u\left( x \right)}} \Rightarrow y’ = {a^{u\left( x \right)}}.u’\left( x \right).\ln a$.
Khi đó $y = {9^x} \Rightarrow y’ = {9^x}.\ln 9$.
Câu 50: Cho hàm số $y = {2^x}{.5^x}$. Tính $f’\left( 0 \right)$.
A. $f’\left( 0 \right) = 1$. B. $f’\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 10}}$. C. $f’\left( 0 \right) = \ln 10$. D. $f’\left( 0 \right) = 10\ln 10$.
Lời giải
$y = {2^x}{.5^x} = {10^x}$.
$y’ = {10^x}.\ln 10$.
$f’\left( 0 \right) = {10^0}.\ln 10 = \ln 10$.
Câu 51: Cho hàm số $y = \frac{1}{{x + 1 + \ln x}}$ với $x > 0$. Khi đó $ – \frac{{y’}}{{{y^2}}}$ bằng
A. $\frac{{x + 1}}{{1 + x + \ln x}}$. B. $\frac{x}{{1 + x + \ln x}}$. C. $1 + \frac{1}{x}$. D. $\frac{x}{{x + 1}}$.
Lời giải
Ta có: $y’ = – \frac{{{{\left( {x + 1 + \ln x} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1 + \ln x} \right)}^2}}} = \frac{{ – 1 – \frac{1}{x}}}{{{{\left( {x + 1 + \ln x} \right)}^2}}} = – \frac{{x + 1}}{x}.{y^2}$
$ \Leftrightarrow $$ – \frac{{y’}}{{{y^2}}} = \frac{{x + 1}}{x}$
Câu 52: Tính đạo hàm của hàm số $y = {e^{3{\rm{x}} + 1}}$.
A. $y’ = \left( {3x + 1} \right){e^{3x}}$. B. $y’ = 3{e^{3x}}$. C. $y’ = 3{e^{3x + 1}}$. D. $y’ = {e^{3x + 1}}$.
Lời giải
$y = {e^{3x + 1}} \Rightarrow y’ = {\left( {3x + 1} \right)^\prime }{e^{3x + 1}} = 3{e^{3x + 1}}$.
Câu 53: Đạo hàm của hàm số $f(x) = {2^x}$ là
A. $\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}$. B. ${2^x}$. C. ${2^x}\ln 2$. D. $x{.2^{x – 1}}$.
Lời giải
Câu 54: Cho hàm số $f\left( x \right) = \ln \sqrt {1 + {{\rm{e}}^x}} $. Tính $f’\left( {\ln 2} \right)$
A. $2$ B. $ – 2$ C. $0,3$ D. $\frac{1}{3}$
Lời giải
Ta có $f’\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\sqrt {1 + {{\rm{e}}^x}} } \right)}^\prime }}}{{\sqrt {1 + {{\rm{e}}^x}} }}$$ = \frac{{\frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{2\sqrt {1 + {{\rm{e}}^x}} }}}}{{\sqrt {1 + {{\rm{e}}^x}} }}$$ = \frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{2\left( {1 + {{\rm{e}}^x}} \right)}}$$ \Rightarrow f’\left( {\ln 2} \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{\ln 2}}}}{{2\left( {1 + {{\rm{e}}^{\ln 2}}} \right)}} = \frac{1}{3}$.
Câu 55: Tính đạo hàm số $y = {\log _2}x$ có đạo hàm
A. $\frac{1}{{\ln 2}}.$ B. $\frac{1}{{x\ln 2}}.$ C. $\frac{1}{x}.\ln 2.$ D. $\frac{1}{x}.$
Lời giải
$y’ = {\left( {{{\log }_2}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x.\ln 2}}$.
Câu 56: Hàm số $f\left( x \right) = {2^{3x + 4}}$ có đạo hàm là:
A. $f’\left( x \right) = {3.2^{3x + 4}}.\ln 2$. B. $f’\left( x \right) = {2^{3x + 4}}.\ln 2$.
C. $f’\left( x \right) = \frac{{{2^{3x + 4}}}}{{\ln 2}}$. D. $f’\left( x \right) = \frac{{{{3.2}^{3x + 4}}}}{{\ln 2}}$.
Lời giải
Áp dụng công thức ${\left( {{a^u}} \right)^\prime } = {a^u}.\ln a.u’$.
Ta có $f’\left( x \right) = {\left( {{2^{3x + 4}}} \right)^\prime } = {2^{3x + 4}}.\ln 2.{\left( {3x + 4} \right)^\prime } = {3.2^{3x + 4}}.\ln 2$.
Câu 57: Tìm đạo hàm của hàm số $y = {\pi ^x}$.
A. $y’ = {\pi ^x}\ln \pi $. B. $y’ = \frac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}$. C. $y’ = x{\pi ^{x – 1}}\ln \pi $. D. $y’ = x{\pi ^{x – 1}}$.
Lời giải
${\left( {{\pi ^x}} \right)^\prime } = {\pi ^x}.\ln \pi .$ Dạng tổng quát ${\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}.\ln a$.
Câu 58: Tính đạo hàm của hàm số $y = {2018^x}\ln x$ với $x > 0$.
A. $y’ = {2018^x}\left( {\ln 2018\ln x + \frac{1}{x}} \right)$ B. $y’ = {2018^x}\frac{1}{x}\ln 2018$
C. $y’ = {2018^x}\left( {\ln 2018 + \frac{1}{x}} \right)$ D. $y’ = {2018^x}\left( {\ln x + \frac{1}{x}} \right)$
Lời giải
Ta có: $y’ = {2018^x}\ln 2018\ln x + \frac{1}{x}{2018^x} = {2018^x}\left( {\ln 2018\ln x + \frac{1}{x}} \right)$.
Câu 59: Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\log _2}\left( {x + 1} \right)$.
A. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}}$. B. $f’\left( x \right) = \frac{x}{{\left( {x + 1} \right)\ln 2}}$.
C. $f’\left( x \right) = 0$. D. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\ln 2}}$.
Lời giải
Ta có: $f’\left( x \right) = {\left[ {{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)} \right]^\prime }$$ = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{\left( {x + 1} \right)\ln 2}}$$ = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\ln 2}}$.
Câu 60: Tính đạo hàm của hàm số $y = {\log _5}\left( {{x^2} + 2} \right)$.
A. $y’ = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 5}}$. B. $y’ = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 5}}$. C. $y’ = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)}}$. D. $y’ = \frac{{2x\ln 5}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)}}$.
Lời giải
Áp dụng công thức ${\left( {{{\log }_a}u} \right)^\prime } = \frac{{u’}}{{u\ln a}}$ ta được: $y’ = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 5}}$.
Câu 61: Đạo hàm của hàm số $y = (2{x^2} – 5x + 2){{\rm{e}}^{\rm{x}}}$ là
A. $\left( {4x – 5} \right){{\rm{e}}^{\rm{x}}}$. B. $x{{\rm{e}}^{\rm{x}}}$. C. $\left( {2{x^2} – x – 3} \right){{\rm{e}}^{\rm{x}}}$. D. $2{x^2}{{\rm{e}}^{\rm{x}}}$.
Lời giải
Ta có: $\left[ {\left( {2{x^2} – 5x + 2} \right){e^x}} \right]’ = (4x – 5){e^x} + \left( {2{x^2} – 5x + 2} \right){e^x} = (2{x^2} – x – 3){e^x}$.
Câu 62: Tính đạo hàm của hàm số $y = {7^{{x^2} + x – 2}}$.
A. $y’ = (x + 1){.7^{{x^2} + x – 2}}.\ln 7$. B. $y’ = (7x + 1){.7^{{x^2} + x – 2}}.\ln 7$.
C. $y’ = (2x + 1){.7^{{x^2} + x – 2}}.\ln 7$. D. $y’ = (2x + 7){.7^{{x^2} + x – 2}}.\ln 7$.
Lời giải
Ta có $y = {7^{{x^2} + x – 2}} \Rightarrow y’ = {7^{{x^2} + x – 2}}.{\left( {{x^2} + x – 2} \right)^\prime }\ln 7 = {7^{{x^2} + x – 2}}.\left( {2x + 1} \right)\ln 7$.
Câu 63: Đạo hàm của hàm số $y = {e^{1 – 2x}}$.
A. $y’ = – 2{e^{1 – 2x}}$. B. $y’ = e{}^{1 – 2x}$. C. $y’ = {e^x}$. D. $y’ = 2{e^{1 – 2x}}$.
Lời giải
Ta có:$$ $y = {e^{1 – 2x}} \Rightarrow y’ = (1 – 2x)'{e^{1 – 2x}} = – 2{e^{1 – 2x}}$.
Dạng 03: Toán Max-Min với hàm mũ, lôgarit
Câu 64: Trong các hàm số sau hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. ${\log _3}{x^2}$ B. $y = \log \left( {{x^3}} \right)$ C. $y = {\left( {\frac{{\rm{e}}}{4}} \right)^x}$ D. $y = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{ – x}}$
Lời giải
Hàm số mũ $y = {a^x}$ với $0 < a < 1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Ta có $0 < \frac{{\rm{e}}}{4} < 1$ nên hàm số $y = {\left( {\frac{{\rm{e}}}{4}} \right)^x}$nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Câu 65: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right){\rm{ = }}\,{{\rm{e}}^{x + 1}} – 2$ trên đoạn $\left[ {0\,;\,3} \right]$.
A. ${{\rm{e}}^4} – 2$. B. ${{\rm{e}}^3} – 2$. C. ${\rm{e}} – 2$. D. ${{\rm{e}}^2} – 2$.
Lời giải
Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {0\,;\,3} \right]$.
Ta có $f’\left( x \right){\rm{ = }}\,{{\rm{e}}^{x + 1}} > 0,\,\forall x \in \left[ {0\,;\,3} \right]$.
Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ {0\,;\,3} \right]$.
Suy ra $\mathop {Max}\limits_{\left[ {0\,;\,3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = {{\rm{e}}^{3 + 1}} – 1 = {{\rm{e}}^4} – 2$.
Dạng 04: Toán Max-Min liên quan mũ và lôgarit
Câu 66: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = {4^x}$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ bằng
A. $8$. B. $1$. C. $9$. D. $16$.
Lời giải
Vì hàm số $y = {4^x}$ đồng biến trên $\left[ {0;2} \right]$ nên $y\left( 0 \right) \le y \le y\left( 2 \right),\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]$.
Suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = {4^2} = 16$.
