Chuyên đề rút gọn biểu thức mũ lôgarit Luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có lời giải và đáp án được phát triển từ câu 9 của đề tham khảo môn Toán.
Dạng: 9
RÚT GỌN BIỂU THỨC MŨ-LOGARIT
Ⓐ Tóm tắt lý thuyết
Vấn đề ①: Tính giá trị biểu thức log thức chứa lũy thừa.
Phương pháp:
.Sử dụng công thức, tính chất và các quy tắc về logarit
.Casio: Xét hiệu kết hợp Calc đặc biệt hóa.
A – Bài tập minh họa:
| Câu 1: Cho $a > 0,\,a \ne 1$, biểu thức $D = {\log _{{a^3}}}a$ có giá trị bằng bao nhiêu?
A. $ – 3$. B. $3$. C. $\frac{1}{3}$. D. $ – \frac{1}{3}$. |
|
| Lời giải
Chọn C Ta có: $D = {\log _{{a^3}}}a = \frac{1}{3}{\log _a}a = \frac{1}{3}$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio:
|
| Câu 2: Với $a$ và $b$ là hai số thực dương, $a \ne 1$. Giá trị của ${a^{{{\log }_a}{b^3}}}$ bằng
A. ${b^{\frac{1}{3}}}$. B. $\frac{1}{3}b$. C. $3b$. D. ${b^3}$. |
|
| Lời giải
Chọn D Áp dụng công thức: ${a^{{{\log }_a}b}} = b$ Ta có: ${a^{{{\log }_a}{b^3}}} = {b^3}$. |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio:
|
| Câu 3: Cho hai số thực dương a, b và $a \ne 1$. Khẳng định nào đúng ?
A. ${\log _{\sqrt a }}ab = \frac{1}{2} + {\log _a}\sqrt b $. B. $2021{\log _a}ab = 1 + {\log _a}{b^{2021}}$. C. ${\log _a}{a^{2020}}b = 2020 + {\log _a}b$. D. ${\log _a}{a^{2018}}b = 2018\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)$. |
|
| Lời giải
Chọn C. $\begin{array}{l}{\log _{\sqrt a }}ab = 2\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2 + 2{\log _a}b.\end{array}$ $2018{\log _a}ab = \left( {2018 + {{\log }_a}{b^{2018}}} \right)$ $\begin{array}{l}{\log _a}{a^{2020}}b = 2020.{\log _a}a + {\log _a}b\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2020 + {\log _a}b\end{array}$ |
PP nhanh trắc nghiệm
Casio:
Chú ý: 2020 ta chọn số 2 đại diện là OK |
Vấn đề ②: Biến đổi, rút gọn, biểu diễn biểu thức chứa logarit
. Phương pháp: áp dụng các tính chất, quy tắc tính logarit, đổi cơ số
. Casio: Xét hiệu kết hợp Calc đặc biệt hóa; Sto, Alpha khi biểu diễn
A – Bài tập minh họa:
Ⓑ Bài tập rèn luyện
Câu 1: Nếu a là số thực dương khác 1 thì $\log {}_{{a^2}}{a^4}$ bằng:
A. 8 B. 2 C. 6 D. 1
Câu 2: Biểu thức $P = \frac{1}{{{{\log }_{49}}5}} – \frac{1}{{{{\log }_7}5}}$ bằng.
A. ${\log _7}5$. B. $2$. C. ${\log _5}7$. D. $\frac{1}{2}$.
Câu 3: Cho $a$ là số thực dương tùy ý, $\ln \left( {9a} \right) – \ln \left( {7a} \right)$ bằng?
A. $\frac{{\ln \left( {9a} \right)}}{{\ln \left( {7a} \right)}}$. B. $\ln \frac{9}{7}$. C. $\ln \left( {2a} \right)$. D. $\frac{{\ln 9}}{{\ln 7}}$.
Câu 4: Cho $a > 0,\,a \ne 1$. Tính giá trị của biểu thức $P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {\frac{1}{{{a^3}}}} \right)$
A. $P = – 9$. B. $P = – 1$. C. $P = 1$ . D. $P = 9$ .
Câu 5: Cho $\log 3 = a$. Tính $\log 9000$ theo $a$.
A. $6a$. B. ${a^2} + 3$. C. $3{a^2}$. D. $2a + 3$.
Câu 6: Cho ${\log _a}b = 3,{\log _a}c = – 2$. Khi đó ${\log _a}\left( {{a^3}{b^2}\sqrt c } \right)$ bằng bao nhiêu?
A. $13$ B. $5$ C. $8$ D. $10$
Câu 7: Cho $a$ là số thực dương bất kỳ khác $1$. Tính $S = {\log _a}\left( {{a^3}.\sqrt[4]{a}} \right)$.
A. $S = \frac{3}{4}$. B. $S = 7$. C. $S = 12$. D. $S = \frac{{13}}{4}$.
Câu 8: Cho $a$ là số thực dương khác $1$. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. ${a^{ – {{\log }_a}2}} = \frac{1}{2}$. B. ${\log _{{a^3}}}a = 3$. C. ${3^{{{\log }_3}a}} = a$. D. ${\log _a}{a^2} = 2$.
Câu 9: Cho $a,\,\,b$ là hai số dương với $a \ne 1$ thỏa mãn ${\log _a}b = 3.$ Khi đó, giá trị ${\log _b}\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right)$ bằng:
A. $\frac{5}{3}$. B. $ – 1$. C. $ – \frac{1}{3}$. D. $\frac{2}{3}$.
Câu 10: Cho $0 < a \ne 1$. Giá trị của biểu thức $M = 3{\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{a}} \right)$ bằng?
A. $5$. B. $\frac{3}{2}$. C. $7$. D. $\frac{5}{2}$.
Câu 11: Cho $0 < a \ne 1$. Giá trị của biểu thức $P = {\log _a}\left( {a.\sqrt[3]{{{a^2}}}} \right)$ là
A. $\frac{4}{3}$. B. $3$. C. $\frac{5}{3}$. D. $\frac{5}{2}$.
Câu 12: Số nào trong các số sau lớn hơn $1$:
A. ${\log _{0,5}}\frac{1}{8}$. B. ${\log _{0,2}}125$. C. ${\log _{\frac{1}{6}}}36$. D. ${\log _{0,5}}\frac{1}{2}$.
Câu 13: Giá trị biểu thức $A = {2^{{{\log }_4}9 + {{\log }_2}5}}$ là:
A. $A = 8$. B. $A = 15$. C. $A = 405$. D. $A = 86$.
Câu 14: Giá trị của biểu thức $A = {9^{{{\log }_3}8}}$ là:
A. $64$. B. $8$. C. $16$. D. $9$.
Câu 15: Cho $a$ là số thực dương và $b$ là số thực khác $0$. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. ${\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _3}a – 2{\log _3}\left| b \right|$. B. ${\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + 3{\log _3}a – 2{\log _3}b$.
C. ${\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + 3{\log _3}a – 2{\log _3}\left| b \right|$. D. ${\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + 3{\log _3}a + 2{\log _3}b$.
Câu 16: Với $a$, $b$ là hai số thực dương và $a \ne 1$, ${\log _{\sqrt a }}\left( {a\sqrt b } \right)$ bằng
A. $\frac{1}{2} + {\log _a}b$. B. $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b$. C. $2 + {\log _a}b$. D. $2 + 2{\log _a}b$.
Câu 17: Cho $a$ là số thực dương khác $2$. Tính $I = {\log _{\frac{a}{2}}}\left( {\frac{{{a^2}}}{4}} \right)$.
A. $I = \frac{1}{2}$. B. $I = – \frac{1}{2}$. C. $I = 2$. D. $I = – 2$.
Câu 18: Cho các số thực dương $a,\,b$ thỏa mãn ${\log _2}a = x,\;{\log _2}b = y$. Tính $P = {\log _2}\left( {{a^2}{b^3}} \right)$.
A. $P = 2x + 3y$. B. $P = {x^2} + {y^3}$. C. $P = 6xy$. D. $P = {x^2}{y^3}$.
Câu 19: Cho $a$ là số thực dương khác $1$. Tính $I = {\log _{\sqrt a }}{a^3}$.
A. $I = 6$. B. $I = \frac{2}{3}$. C. $I = \frac{3}{2}$. D. $I = \frac{1}{6}$.
Câu 20: Cho $a,b > 0$. Rút gọn biểu thức ${\log _a}{b^2} + {\log _{{a^2}}}{b^4}$
A. $2{\log _a}b$ B. $0$ C. ${\log _a}b$ D. $4{\log _a}b$
Câu 21: Cho các số dương $a$,$b$, $c$, và $a \ne 1$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {b + c} \right)$. B. ${\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left| {b – c} \right|$.
C. ${\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right)$. D. ${\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {b – c} \right)$.
Câu 22: Cho $a$ là số thực dương tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${\log _3}\frac{3}{{{a^2}}} = 3 – \frac{1}{2}{\log _3}a$. B. ${\log _3}\frac{3}{{{a^2}}} = 3 – 2{\log _3}a$.
C. ${\log _3}\frac{3}{{{a^2}}} = 1 – 2{\log _3}a$. D. ${\log _3}\frac{3}{{{a^2}}} = 1 + 2{\log _3}a$.
Câu 23: Cho $a > 0,\,a \ne 1$ và $x,y > 0$ là hai số dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. ${a^{{{\log }_a}x}} = x$. B. ${\log _a}\frac{x}{y} = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}y}}$.
C. ${\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}$. D. ${\log _a}x = {\log _b}a.{\log _a}x$.
Câu 24: Cho $a > 0$; $a \ne 1$ và $x$; $y$ là hai số thực dương. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. ${\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y$. B. ${\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y$.
C. ${\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x.{\log _a}y$. D. ${\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x.{\log _a}y$.
Câu 25: Cho $0 < a \ne 1$, $x > 0$, $y > 0$, $\alpha \in \mathbb{R}$, khẳng định nào sau đây là sai?
A. ${\log _{\sqrt a }}x = \frac{1}{2}{\log _a}x$. B. ${\log _a}{x^\alpha } = \alpha {\log _a}x$.
C. ${\log _a}\left( {x.y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y$. D. ${\log _a}\sqrt x = \frac{1}{2}{\log _a}x$.
Câu 26: Giả sử $a$, $\,b$ là các số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. $\log {\left( {10ab} \right)^2} = {\left( {1 + \log a + \log b} \right)^2}$. B. $\log {\left( {10ab} \right)^2} = 2 + 2\log \left( {ab} \right)$.
C. $\log {\left( {10ab} \right)^2} = 2\left( {1 + \log a + \log b} \right)$. D. $\log {\left( {10ab} \right)^2} = 2 + \log {\left( {ab} \right)^2}$.
Câu 27: Với các số thực dương bất kỳ a và b, mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây đúng?
A. $\ln (a.b) = \ln a.\ln b$. B. $\ln \frac{a}{b} = \frac{{\ln a}}{{\ln b}}$.
C. $\ln (a.b) = \ln a + \ln b$. D. $\ln \frac{a}{b} = \ln b – \ln a$.
Câu 28: Cho hai số thực $a,\,\,b$ thỏa mãn $e < a < b$. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. $\ln \frac{a}{b} > 0$ B. ${\log _a}e + {\log _b}e < 2$ C. $\ln ab > 2$ D. $\ln b > \ln a$
Câu 29: Cho $o \prec a \prec b \prec 1$ mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${\log _b}a \succ {\log _a}b$ B. ${\log _a}b \succ 1$. C. ${\log _b}a \prec 0$. D. ${\log _a}b \succ {\log _b}a$
Câu 30: Giả sử $a$, $b$ là các số thực dương bất kỳ. Biểu thức $\ln \frac{a}{{{b^2}}}$ bằng
A. $\ln a – \frac{1}{2}\ln b$. B. $\ln a + \frac{1}{2}\ln b$. C. $\ln a + 2\ln b$. D. $\ln a – 2\ln b$.
Câu 31: Cho các số thực $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $a > 0,\,a \ne 1;\,b,\,c > 0$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. ${\log _a}\frac{b}{c} = {\log _a}b – {\log _a}c$. B. ${\log _a}bc = {\log _a}b + {\log _a}c$.
C. ${\log _{{a^\alpha }}}b = \alpha {\log _a}b$. D. ${\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b$.
Câu 32: Cho các số thực dương $a$, $b$ thỏa mãn $3\log a + 2\log b = 1$. Mệnh đề nào sau đây đúng.
A. ${a^3} + {b^2} = 1$. B. $3a + 2b = 10$. C. ${a^3}{b^2} = 10$. D. ${a^3} + {b^2} = 10$.
Câu 33: Cho $a > 0;\,\,a \ne 1$ và $x;y$ là hai số thực dương. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. ${\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y$. B. ${\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y$.
C. ${\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x{\log _a}y$. D. ${\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x{\log _a}y$.
Câu 34: Nếu các số dương $a,b$ thỏa mãn ${7^a} = b$ thì
A. $a = \log _7^{}b$. B. $a = {7^{\frac{1}{b}}}$. C. $a = {\log _{\frac{1}{7}}}b$. D. $a = \frac{1}{{{7^b}}}$.
Câu 35: Cho các số thực dương a, b. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. $\log _2^2\left( {ab} \right) = 2{\log _2}\left( {ab} \right)$. B. $\log _2^2\left( {ab} \right) = 2\left( {{{\log }_2}a + {{\log }_2}b} \right)$.
C. $\log _2^2\left( {ab} \right) = {\left( {{{\log }_2}a + {{\log }_2}b} \right)^2}$. D. $\log _2^2\left( {ab} \right) = 2{\log _2}a + 2{\log _2}b$.
Câu 36: Giả sử x, y là các số thực dương. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. ${\log _2}xy = {\log _2}x + {\log _2}y$ B. ${\log _2}\sqrt {xy} = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}y} \right)$
C. ${\log _2}\frac{x}{y} = {\log _2}x – {\log _2}y$ D. ${\log _2}\left( {x + y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y$
Câu 37: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ${\log _2}\left( {xy} \right) = x{\log _2}y\,\,\,\forall x,y > 0$. B. ${\log _2}\left( {xy} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y\,\,\,\forall x,y > 0$.
C. ${\log _2}\left( {xy} \right) = {\log _2}x.{\log _2}y\,\,\,\forall x,y > 0$. D. ${\log _2}\left( {xy} \right) = y{\log _2}x\,\,\,\forall x,y > 0$.
Câu 38: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. ${\log _3}5 > 0$. B. ${\log _{2 + {x^2}}}2016 < {\log _{2 + {x^2}}}2017$.
C. ${\log _{0,3}}0,8 < 0$. D. ${\log _3}4 > {\log _4}\left( {\frac{1}{3}} \right)$.
Câu 39: Cho là $a$ số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ${\log _5}\left( {5a} \right) = {\log _5}a$ B. ${\log _5}\left( {5a} \right) = 1 + a$
C. ${\log _5}\left( {5a} \right) = 1 + {\log _5}a$ D. ${\log _5}\left( {5a} \right) = 5 + {\log _5}a$
Câu 40: Với $a > 0,\,\;a \ne 1,\,\;{\log _2}\left( {2a} \right)$ bằng
A. $1 + {\log _2}a$. B. $1 – {\log _2}a$. C. $2.{\log _2}a$. D. $2 + {\log _2}a$.
Câu 41: Với mọi số thực dương $a$, $b$, $x$, $y$ và $a$, $b$ khác $1$, mệnh đề nào sau đây sai?
A. ${\log _b}a.{\log _a}x = {\log _b}x$. B. ${\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _b}x$.
C. ${\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x – {\log _a}y$. D. ${\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}$.
Câu 42: Cho $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ là các số thực dương $a \ne 1$, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${2^a} = 3 \Leftrightarrow a = {\log _2}3$ B. $\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\},{\rm{ lo}}{{\rm{g}}_a}{x^2} = 2{\log _a}x$
C. ${\log _a}\left( {b.c} \right) = {\log _a}b.{\log _a}c$ D. ${\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right) = \frac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}c}}$
Câu 43: Với $a$ là số thực dương tuỳ ý, $\ln \left( {2018a} \right) – \ln \left( {3a} \right)$ bằng
A. $\ln \frac{{2018}}{3}$ B. $\ln \left( {2015a} \right)$ C. $\frac{{\ln \left( {2018a} \right)}}{{\ln \left( {3a} \right)}}$ D. $\frac{{\ln 2018}}{{\ln 3}}$
Câu 44: Với các số thực dương $a,b,c$ bất kì. Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A. $\ln \frac{{ab}}{c} = \ln a + \ln \frac{b}{c}$. B. $\ln \left( {abc} \right) = \ln a + \ln bc$.
C. $\ln \frac{a}{{bc}} = \ln a – \ln bc$. D. $\ln \frac{1}{{abc}} = \ln a – \ln bc$.
Câu 45: Cho $a$ là số thực dương khác $1$ và $b$ là số thực khác $0$. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. ${\log _a}{a^b} = b$. B. ${\log _{\frac{1}{a}}}a = – 1$. C. ${\log _a}{b^4} = 4{\log _a}b$. D. ${a^{{{\log }_a}{b^2}}} = {b^2}$.
Câu 46: Khẳng định nào sau đây sai?
A. ${\log _{\frac{1}{3}}}a > {\log _{\frac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a > b > 0$ B. $\ln x > 0 \Leftrightarrow x > 1$
C. ${\log _5}x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1$ D. ${\log _{\frac{1}{2}}}a = {\log _{\frac{1}{2}}}b \Leftrightarrow a = b > 0$
Câu 47: Cho các số thực $a > 0$, $b > 0$ và $\alpha \in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\ln {a^\alpha } = \alpha \ln a$ B. $\ln \left( {\frac{a}{b}} \right) = \ln b – \ln a$
C. $\ln \left( {a + b} \right) = \ln a + \ln b$ D. $\ln \left( {a.b} \right) = \ln a.\ln b$
Câu 48: Với $\;a$ là số thực dương bất kì, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $I$. B. $\ln \left( {3 + a} \right) = \ln 3 + \ln a$.
C. $SC$. D. $\ln {a^5} = \frac{1}{5}\ln a$.
Câu 49: Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương $x$?
A. ${\left( {\log x} \right)^\prime } = \frac{x}{{\ln 10}}$. B. ${\left( {\log x} \right)^\prime } = \frac{{\ln 10}}{x}$. C. ${\left( {\log x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln 10}}$. D. ${\left( {\log x} \right)^\prime } = x\ln 10$.
Câu 50: Cho $a,b,c$ là các số dương $\left( {a,b \ne 1} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ${a^{{{\log }_b}a}} = b$ B. ${\log _{{a^\alpha }}}b = \alpha {\log _a}b\left( {\alpha \ne 0} \right)$
C. ${\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b$ D. ${\log _a}\left( {\frac{b}{{{a^3}}}} \right) = \frac{1}{3}{\log _a}b$
Câu 51: Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa ${a^{{{\log }_3}7}} = 27$, ${b^{{{\log }_7}11}} = 49$, ${c^{{{\log }_{11}}25}} = \sqrt {11} $. Tính giá trị biểu thức $T = {a^{\log _3^27}} + {b^{\log _7^211}} + {c^{\log _{11}^225}}$.
A. $T = 31141$ B. $T = 76 + \sqrt {11} $ C. $T = 2017$ D. $T = 469$
Câu 52: Cho $a = {\log _{25}}7$; $b = {\log _2}5$. Tính ${\log _5}\frac{{49}}{8}$ theo $a$, $b$.
A. $\frac{{4ab – 3}}{b}$ B. $\frac{{4ab + 3}}{b}$ C. $\frac{{4ab – 5}}{b}$ D. $\frac{{5ab – 3}}{b}$
Câu 53: Với $\log 2 = a$, giá trị của $\log \sqrt[3]{{\frac{8}{5}}}$ bằng
A. $4a + 1$. B. $4a – 1$. C. $\frac{{2a – 1}}{3}$. D. $\frac{{4a – 1}}{3}$.
Câu 54: Cho $lo{g_3}2 = a;{\rm{ }}lo{g_3}5 = b$, khi đó ${\log _3}40$ bằng:
A. $a – 3b$. B. $3{\rm{a}} + b$. C. $a + 3b$. D. $3{\rm{a}} – b$.
Câu 55: Nếu $\log 2 = m$ và $\ln 2 = n$ thì:
A. $\ln 20 = \frac{{m + 1}}{n}$ B. $\ln 20 = \frac{n}{m} + 1$ C. $\ln 20 = \frac{n}{m} + n$ D. $\ln 20 = \frac{m}{n} + m$
Câu 56: Cho $\log 2 = a$ Tính $\log \frac{{125}}{4}$ theo $a$?
A. $4\left( {1 + a} \right)$. B. $2\left( {a + 5} \right)$. C. $3 – 5a$. D. $6 + 7a$.
Câu 57: Cho các số dương $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$. Tính giá trị của biểu thức $T = {\log _{2017}}\frac{a}{b} + {\log _{2017}}\frac{b}{c} + {\log _{2017}}\frac{c}{a}$.
A. $2017$ B. $ – 1$ C. $1$ D. $0$
Câu 58: Cho $a = {\log _2}m$ và $A = {\log _m}16m$, với $0 < m \ne 1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $A = \frac{{4 – a}}{a}.$ B. $A = \frac{{4 + a}}{a}.$ C. $A = (4 + a)a.$ D. $A = (4 – a)a.$
Câu 59: Với $a$ và $b$ là hai số thực dương tùy ý, $\log \left( {{a^3}b} \right)$ bằng
A. $\log a + 3\log b$. B. $3\log a + \log b$. C. $\frac{1}{3}\log a + \log b$. D. $3\left( {\log a + \log b} \right)$.
Câu 60: Cho $a = {\log _{30}}3$, $b = {\log _{30}}5$. Khi đó ${\log _{30}}1350$ tính theo $a$ và $b$ là:
A. $2a – b + 1$. B. $a + 2b + 1$. C. $2a + b + 1$. D. $2a – b – 1$.
Câu 61: Cho $\log 5 = a$. Tính $\log 25000$ theo $a$.
A. $2a + 3$ B. $5{a^2}$ C. $2{a^2} + 1$ D. $5a$
Câu 62: Đặt ${\log _{15}}3 = a$. Hãy biểu diễn ${\log _{25}}15$ theo $a$.
A. ${\log _{25}}15 = \frac{2}{{1 – a}}$ B. ${\log _{25}}15 = \frac{1}{{1 – a}}$
C. ${\log _{25}}15 = \frac{{1 – a}}{a}$ D. ${\log _{25}}15 = \frac{1}{{2\left( {1 – a} \right)}}$
Câu 63: Cho $a = {\log _2}5$, $b = {\log _2}9$. Biểu diễn của $P = {\log _2}\frac{{40}}{3}$ theo $a$ và $b$ là
A. $P = 3 + a – 2b$ B. $P = 3 + a – \frac{1}{2}b$ C. $P = \frac{{3a}}{{2b}}$ D. $P = 3 + a – \sqrt b $
Câu 64: Biết ${\log _6}2 = a$, ${\log _6}5 = b$. Tính $I = {\log _3}5$ theo $a$, $b$.
A. $I = \frac{b}{{1 + a}}$ B. $I = \frac{b}{{1 – a}}$ C. $I = \frac{b}{{a – 1}}$ D. $I = \frac{b}{a}$
Câu 65: Nếu $\log \sqrt a = 2$ thì $\log a$ bằng
A. $100$. B. $4$. C. $10$. D. $8$.
Câu 66: Với $m = {\log _6}2$, $n = {\log _6}5$ thì ${\log _3}5$bằng
A. $\frac{m}{n}$ B. $\frac{n}{{m – 1}}$ C. $\frac{n}{{m + 1}}$ D. $\frac{n}{{1 – m}}$
Câu 67: Tính $M = \log {}_41250$ theo $a$ biết $a = {\log _2}5$.
A. $M = 2\left( {1 + 4a} \right)$. B. $M = 2\left( {1 + 2a} \right)$. C. $M = \frac{1}{2} + a$. D. $M = \frac{1}{2} + 2a$.
Câu 68: Đặt $a = \ln 2\,$, $b = \ln 3\,$. Hãy biểu diễn $\ln 36\,$ theo $a\,$ và $b\,$.
A. $\ln 36 = 2a + 2b$. B. $\ln 36 = a + b$. C. $\ln 36 = a – b$. D. $\ln 36 = 2a – 2b$.
Câu 69: Cho ${\log _2}5 = a$. Giá trị của ${\log _8}25$ theo $a$ bằng
A. $3a$ B. $2a$ C. $\frac{3}{2}a$ D. $\frac{2}{3}a$
Câu 70: Đặt $a = {\log _3}5$, $b = {\log _2}5$. Giá trị ${\log _{15}}20$ theo a và b .
A. $\frac{{{b^2} + a}}{{{b^2} + 2b}}$ B. $\frac{{b + ab}}{{2a + ab}}$. C. $\frac{{2a + ab}}{{b + ab}}$ D. $\frac{{{b^2} + 2b}}{{{b^2} + a}}$
BẢNG ĐÁP ÁN
| 1.B | 2.C | 3.B | 4.A | 5.D | 6.C | 7.D | 8.B | 9.C | 10.C |
| 11.C | 12.A | 13.B | 14.A | 15.C | 16.C | 17.C | 18.A | 19.A | 20.D |
| 21.C | 22.C | 23.A | 24.B | 25.A | 26.A | 27.C | 28.A | 29.A | 30.D |
| 31.C | 32.C | 33.B | 34.A | 35.C | 36.D | 37.B | 38.C | 39.C | 40.A |
| 41.D | 42.A | 43.A | 44.D | 45.C | 46.A | 47.A | 48.A | 49.C | 50.C |
| 51.D | 52.A | 53.D | 54.B | 55.C | 56.C | 57.D | 58.B | 59.B | 60.C |
| 61.A | 62.D | 63.B | 64.B | 65.B | 66.D | 67.D | 68.A | 69.D | 70.C |
Hướng dẫn giải
Dạng 01: Tính giá trị biểu thức chứa lôgarit
Câu 1: Nếu a là số thực dương khác 1 thì $\log {}_{{a^2}}{a^4}$ bằng:
A. 8 B. 2 C. 6 D. 1
Lời giải
Khi a là số thực dương khác 1 thì ta có: $\log {}_{{a^2}}{a^4} = \frac{1}{2}.4.\log {}_aa = 2$.
Câu 2: Biểu thức $P = \frac{1}{{{{\log }_{49}}5}} – \frac{1}{{{{\log }_7}5}}$ bằng.
A. ${\log _7}5$. B. $2$. C. ${\log _5}7$. D. $\frac{1}{2}$.
Ta có: $P = \frac{1}{{{{\log }_{49}}5}} – \frac{1}{{{{\log }_7}5}} = {\log _5}49 – {\log _5}7 = {\log _5}7$.
Câu 3: Cho $a$ là số thực dương tùy ý, $\ln \left( {9a} \right) – \ln \left( {7a} \right)$ bằng?
A. $\frac{{\ln \left( {9a} \right)}}{{\ln \left( {7a} \right)}}$. B. $\ln \frac{9}{7}$. C. $\ln \left( {2a} \right)$. D. $\frac{{\ln 9}}{{\ln 7}}$.
Lời giải
Với $0 < a,a \ne 1$ và ${b_1},{b_2} > 0$ ta có ${\log _a}\left( {\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}} \right) = {\log _a}{b_1} – {\log _a}{b_2}$
$ \Rightarrow \ln \left( {9a} \right) – \ln \left( {7a} \right) = \ln \left( {\frac{{9a}}{{7a}}} \right) = \ln \frac{9}{7}$
Câu 4: Cho $a > 0,\,a \ne 1$. Tính giá trị của biểu thức $P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {\frac{1}{{{a^3}}}} \right)$
A. $P = – 9$. B. $P = – 1$. C. $P = 1$ . D. $P = 9$ .
Lời giải
Tự luận :
$P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {\frac{1}{{{a^3}}}} \right) = {\log _{{a^{\frac{1}{3}}}}}{a^{ – 3}} = – 9{\log _a}a = – 9$
Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, thay $a = 2$ rồi nhập biểu thức ${\log _{\sqrt[3]{a}}}\left( {\frac{1}{{{a^3}}}} \right)$ vào máy bấm = ta được kết quả $P = – 9$ .
Câu 5: Cho $\log 3 = a$. Tính $\log 9000$ theo $a$.
A. $6a$. B. ${a^2} + 3$. C. $3{a^2}$. D. $2a + 3$.
Lời giải
Cách 1: $\log 9000 = \log 9 + \log 1000 = 2\log 3 + 3 = 2a + 3$.
Cách 2: Gán $\log 3 = a$. Tính $\log 9000 – \left( {2a + 3} \right) = 0$.
Câu 6: Cho ${\log _a}b = 3,{\log _a}c = – 2$. Khi đó ${\log _a}\left( {{a^3}{b^2}\sqrt c } \right)$ bằng bao nhiêu?
A. $13$ B. $5$ C. $8$ D. $10$
Lời giải
Ta có ${\log _a}\left( {{a^3}{b^2}\sqrt c } \right)$$ = {\log _a}{a^3} + {\log _a}{b^2} + {\log _a}\sqrt c $$ = 3 + 2{\log _a}b + \frac{1}{2}{\log _a}c$$ = 3 + 2.3 – \frac{1}{2}.2 = 8$.
Câu 7: Cho $a$ là số thực dương bất kỳ khác $1$. Tính $S = {\log _a}\left( {{a^3}.\sqrt[4]{a}} \right)$.
A. $S = \frac{3}{4}$. B. $S = 7$. C. $S = 12$. D. $S = \frac{{13}}{4}$.
Lời giải
$S = {\log _a}\left( {{a^3}.\sqrt[4]{a}} \right) = {\log _a}\left( {{a^3}.{a^{\frac{1}{4}}}} \right) = {\log _a}{a^{\frac{{13}}{4}}} = \frac{{13}}{4}$.
Câu 8: Cho $a$ là số thực dương khác $1$. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. ${a^{ – {{\log }_a}2}} = \frac{1}{2}$. B. ${\log _{{a^3}}}a = 3$. C. ${3^{{{\log }_3}a}} = a$. D. ${\log _a}{a^2} = 2$.
Lời giải
Ta có: ${\log _{{a^3}}}a = \frac{1}{3}$.
Câu 9: Cho $a,\,\,b$ là hai số dương với $a \ne 1$ thỏa mãn ${\log _a}b = 3.$ Khi đó, giá trị ${\log _b}\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right)$ bằng:
A. $\frac{5}{3}$. B. $ – 1$. C. $ – \frac{1}{3}$. D. $\frac{2}{3}$.
Lời giải
Với $a,\,\,b$ là hai số dương và $a \ne 1$ thỏa mãn ${\log _a}b = 3$, ta có:
${\log _b}\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right) = 2{\log _b}a – 1 = \frac{2}{{{{\log }_a}b}} – 1 = \frac{2}{3} – 1 = – \frac{1}{3}$.
Câu 10: Cho $0 < a \ne 1$. Giá trị của biểu thức $M = 3{\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{a}} \right)$ bằng?
A. $5$. B. $\frac{3}{2}$. C. $7$. D. $\frac{5}{2}$.
Lời giải
$M = 3{\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[3]{a}} \right) = 3{\log _a}\left( {{a^{\frac{7}{3}}}} \right) = 3.\frac{7}{3}{\log _a}a = 7$.
Câu 11: Cho $0 < a \ne 1$. Giá trị của biểu thức $P = {\log _a}\left( {a.\sqrt[3]{{{a^2}}}} \right)$ là
A. $\frac{4}{3}$. B. $3$. C. $\frac{5}{3}$. D. $\frac{5}{2}$.
Lời giải
Ta có: $P = {\log _a}\left( {a.\sqrt[3]{{{a^2}}}} \right)$$ = {\log _a}\left( {a.{a^{\frac{2}{3}}}} \right)$$ = {\log _a}{a^{\frac{5}{3}}}$$ = \frac{5}{3}$.
Câu 12: Số nào trong các số sau lớn hơn $1$:
A. ${\log _{0,5}}\frac{1}{8}$. B. ${\log _{0,2}}125$. C. ${\log _{\frac{1}{6}}}36$. D. ${\log _{0,5}}\frac{1}{2}$.
Lời giải
Ta có:
${\log _{0,5}}\frac{1}{8} = {\log _{{2^{ – 1}}}}{2^{ – 3}}$$ = 3 > 1$.
${\log _{0,2}}125 = {\log _{{5^{ – 1}}}}{5^3}$$ = – 3 < 1$.
${\log _{\frac{1}{6}}}36 = {\log _{{6^{ – 1}}}}{6^2}$$ = – 2 < 1$.
${\log _{0,5}}\frac{1}{2} = {\log _{0,5}}0,5$$ = 1$.
Câu 13: Giá trị biểu thức $A = {2^{{{\log }_4}9 + {{\log }_2}5}}$ là:
A. $A = 8$. B. $A = 15$. C. $A = 405$. D. $A = 86$.
Lời giải
Ta có $A = {2^{{{\log }_4}9 + {{\log }_2}5}} = {2^{{{\log }_4}9}}{.2^{{{\log }_2}5}} = {2^{{{\log }_2}3}}{.2^{{{\log }_2}5}} = 3.5 = 15$.
Câu 14: Giá trị của biểu thức $A = {9^{{{\log }_3}8}}$ là:
A. $64$. B. $8$. C. $16$. D. $9$.
Lời giải
Ta có $A = {9^{{{\log }_3}8}} = {\left( {{3^2}} \right)^{{{\log }_3}8}} = {3^{2.{{\log }_3}8}} = {\left( {{3^{{{\log }_3}8}}} \right)^2} = {8^2} = 64$.
Câu 15: Cho $a$ là số thực dương và $b$ là số thực khác $0$. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. ${\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _3}a – 2{\log _3}\left| b \right|$. B. ${\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + 3{\log _3}a – 2{\log _3}b$.
C. ${\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + 3{\log _3}a – 2{\log _3}\left| b \right|$. D. ${\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + 3{\log _3}a + 2{\log _3}b$.
Lời giải
Ta có ${\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = {\log _3}\left( {3{a^3}} \right) – {\log _3}{b^2}$ $ = {\log _3}3 + {\log _3}{a^3} – {\log _3}b$.
$ = {\log _3}3 + {\log _3}{a^3} – {\log _3}b$ $ = 1 + 3{\log _3}a – 2{\log _3}\left| b \right|$.
Câu 16: Với $a$, $b$ là hai số thực dương và $a \ne 1$, ${\log _{\sqrt a }}\left( {a\sqrt b } \right)$ bằng
A. $\frac{1}{2} + {\log _a}b$. B. $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b$. C. $2 + {\log _a}b$. D. $2 + 2{\log _a}b$.
Lời giải
Với $a,b > 0,$$a \ne 1$, ta có
${\log _{\sqrt a }}\left( {a\sqrt b } \right) = {\log _{\sqrt a }}a + {\log _{\sqrt a }}\left( {\sqrt b } \right) = 2{\log _a}a + 2.\frac{1}{2}.{\log _a}b$$ = 2 + {\log _a}b$.
Câu 17: Cho $a$ là số thực dương khác $2$. Tính $I = {\log _{\frac{a}{2}}}\left( {\frac{{{a^2}}}{4}} \right)$.
A. $I = \frac{1}{2}$. B. $I = – \frac{1}{2}$. C. $I = 2$. D. $I = – 2$.
Lời giải
$I = {\log _{\frac{a}{2}}}\left( {\frac{{{a^2}}}{4}} \right) = {\log _{\frac{a}{2}}}{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = 2{\log _{\frac{a}{2}}}\left( {\frac{a}{2}} \right) = 2$.
Câu 18: Cho các số thực dương $a,\,b$ thỏa mãn ${\log _2}a = x,\;{\log _2}b = y$. Tính $P = {\log _2}\left( {{a^2}{b^3}} \right)$.
A. $P = 2x + 3y$. B. $P = {x^2} + {y^3}$. C. $P = 6xy$. D. $P = {x^2}{y^3}$.
Lời giải
Ta có: $P = {\log _2}\left( {{a^2}{b^3}} \right)$$ = {\log _2}\left( {{a^2}} \right) + {\log _2}\left( {{b^3}} \right)$$ = 2{\log _2}a + 3{\log _2}b = 2x + 3y$.
Câu 19: Cho $a$ là số thực dương khác $1$. Tính $I = {\log _{\sqrt a }}{a^3}$.
A. $I = 6$. B. $I = \frac{2}{3}$. C. $I = \frac{3}{2}$. D. $I = \frac{1}{6}$.
Lời giải
$I = {\log _{\sqrt a }}{a^3}$$ = {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{a^3} = 3.2.{\log _a}a = 6$.
Câu 20: Cho $a,b > 0$. Rút gọn biểu thức ${\log _a}{b^2} + {\log _{{a^2}}}{b^4}$
A. $2{\log _a}b$ B. $0$ C. ${\log _a}b$ D. $4{\log _a}b$
Lời giải
Ta có ${\log _a}{b^2} + {\log _{{a^2}}}{b^4}$$ = 2{\log _a}b + \frac{1}{2}.4.{\log _a}b$$ = 4{\log _a}b$.
Dạng 02: Các mệnh đề liên quan đến lôgarit
Câu 21: Cho các số dương $a$,$b$, $c$, và $a \ne 1$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {b + c} \right)$. B. ${\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left| {b – c} \right|$.
C. ${\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right)$. D. ${\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {b – c} \right)$.
Lời giải
Theo tính chất logarit ta có: ${\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right)$.
Câu 22: Cho $a$ là số thực dương tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${\log _3}\frac{3}{{{a^2}}} = 3 – \frac{1}{2}{\log _3}a$. B. ${\log _3}\frac{3}{{{a^2}}} = 3 – 2{\log _3}a$.
C. ${\log _3}\frac{3}{{{a^2}}} = 1 – 2{\log _3}a$. D. ${\log _3}\frac{3}{{{a^2}}} = 1 + 2{\log _3}a$.
Lời giải
Ta có ${\log _3}\frac{3}{{{a^2}}} = {\log _3}3 – {\log _3}{a^2} = 1 – 2{\log _3}a$.
Câu 23: Cho $a > 0,\,a \ne 1$ và $x,y > 0$ là hai số dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. ${a^{{{\log }_a}x}} = x$. B. ${\log _a}\frac{x}{y} = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}y}}$.
C. ${\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}$. D. ${\log _a}x = {\log _b}a.{\log _a}x$.
Lời giải
Theo tính chất logarit thì mệnh đề A đúng.
Câu 24: Cho $a > 0$; $a \ne 1$ và $x$; $y$ là hai số thực dương. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. ${\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y$. B. ${\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y$.
C. ${\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x.{\log _a}y$. D. ${\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x.{\log _a}y$.
Lời giải
Ta có logarit của một tích bằng tổng hai logarit.
Câu 25: Cho $0 < a \ne 1$, $x > 0$, $y > 0$, $\alpha \in \mathbb{R}$, khẳng định nào sau đây là sai?
A. ${\log _{\sqrt a }}x = \frac{1}{2}{\log _a}x$. B. ${\log _a}{x^\alpha } = \alpha {\log _a}x$.
C. ${\log _a}\left( {x.y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y$. D. ${\log _a}\sqrt x = \frac{1}{2}{\log _a}x$.
Lời giải
Ta có ${\log _{\sqrt a }}x = 2{\log _a}x\, \ne \,\frac{1}{2}{\log _a}x \Rightarrow $A sai.
Câu 26: Giả sử $a$, $\,b$ là các số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. $\log {\left( {10ab} \right)^2} = {\left( {1 + \log a + \log b} \right)^2}$. B. $\log {\left( {10ab} \right)^2} = 2 + 2\log \left( {ab} \right)$.
C. $\log {\left( {10ab} \right)^2} = 2\left( {1 + \log a + \log b} \right)$. D. $\log {\left( {10ab} \right)^2} = 2 + \log {\left( {ab} \right)^2}$.
Lời giải
B đúng vì $\log {\left( {10ab} \right)^2} = 2\log \left( {10ab} \right)$$ = 2\left( {1 + \log \left( {ab} \right)} \right)$$ = 2 + 2\log \left( {ab} \right)$.
C đúng vì $\log {\left( {10ab} \right)^2}$$ = 2\log \left( {10ab} \right)$$ = 2\left( {1 + \log a + \log b} \right)$.
D đúng vì $\log {\left( {10ab} \right)^2}$$ = 2\log \left( {10ab} \right) = 2\left( {1 + \log \left( {ab} \right)} \right)$$ = 2 + 2\log \left( {ab} \right)$$ = 2 + \log {\left( {ab} \right)^2}$.
Câu 27: Với các số thực dương bất kỳ a và b, mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây đúng?
A. $\ln (a.b) = \ln a.\ln b$. B. $\ln \frac{a}{b} = \frac{{\ln a}}{{\ln b}}$.
C. $\ln (a.b) = \ln a + \ln b$. D. $\ln \frac{a}{b} = \ln b – \ln a$.
Lời giải
Áp dụng quy tắc tính logarit.
Câu 28: Cho hai số thực $a,\,\,b$ thỏa mãn $e < a < b$. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. $\ln \frac{a}{b} > 0$ B. ${\log _a}e + {\log _b}e < 2$ C. $\ln ab > 2$ D. $\ln b > \ln a$
Lời giải
Vì $\frac{a}{b} < 1$nên $\ln \frac{a}{b} < \ln 1 = 0$.
Câu 29: Cho $o \prec a \prec b \prec 1$ mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${\log _b}a \succ {\log _a}b$ B. ${\log _a}b \succ 1$. C. ${\log _b}a \prec 0$. D. ${\log _a}b \succ {\log _b}a$
Lời giải
Do $0 < a < b < 1$ nên cả $y = {\log _a}x$và $y = {\log _b}x$ đều là các hàm số nghịch biến trên ${\mathbb{R}^ + }$.
Do $a < b$ nên $\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}a > {\log _a}b\\{\log _b}a > {\log _b}b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > {\log _a}b\\{\log _b}a > 1\end{array} \right. \Rightarrow {\log _b}a > {\log _a}b$.
Câu 30: Giả sử $a$, $b$ là các số thực dương bất kỳ. Biểu thức $\ln \frac{a}{{{b^2}}}$ bằng
A. $\ln a – \frac{1}{2}\ln b$. B. $\ln a + \frac{1}{2}\ln b$. C. $\ln a + 2\ln b$. D. $\ln a – 2\ln b$.
Lời giải
Với các số thực dương $a$, $b$, ta có $\ln \frac{a}{{{b^2}}} = \ln a – \ln {b^2} = \ln a – 2\ln b$.
Câu 31: Cho các số thực $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $a > 0,\,a \ne 1;\,b,\,c > 0$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. ${\log _a}\frac{b}{c} = {\log _a}b – {\log _a}c$. B. ${\log _a}bc = {\log _a}b + {\log _a}c$.
C. ${\log _{{a^\alpha }}}b = \alpha {\log _a}b$. D. ${\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b$.
Lời giải
Ta có: ${\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b$.
Câu 32: Cho các số thực dương $a$, $b$ thỏa mãn $3\log a + 2\log b = 1$. Mệnh đề nào sau đây đúng.
A. ${a^3} + {b^2} = 1$. B. $3a + 2b = 10$. C. ${a^3}{b^2} = 10$. D. ${a^3} + {b^2} = 10$.
Lời giải
Ta có: $3\log a + 2\log b = 1$$ \Leftrightarrow \log {a^3} + \log {b^2} = 1$$ \Leftrightarrow \log \left( {{a^3}{b^2}} \right) = 1$$ \Leftrightarrow {a^3}{b^2} = 10$.
Câu 33: Cho $a > 0;\,\,a \ne 1$ và $x;y$ là hai số thực dương. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. ${\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y$. B. ${\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y$.
C. ${\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x{\log _a}y$. D. ${\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x{\log _a}y$.
Lời giải
Câu 34: Nếu các số dương $a,b$ thỏa mãn ${7^a} = b$ thì
A. $a = \log _7^{}b$. B. $a = {7^{\frac{1}{b}}}$. C. $a = {\log _{\frac{1}{7}}}b$. D. $a = \frac{1}{{{7^b}}}$.
Lời giải
Vì $a,b > 0$ nên ta có: ${7^a} = b \Leftrightarrow a = \log {}_7b$.
Câu 35: Cho các số thực dương a, b. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. $\log _2^2\left( {ab} \right) = 2{\log _2}\left( {ab} \right)$. B. $\log _2^2\left( {ab} \right) = 2\left( {{{\log }_2}a + {{\log }_2}b} \right)$.
C. $\log _2^2\left( {ab} \right) = {\left( {{{\log }_2}a + {{\log }_2}b} \right)^2}$. D. $\log _2^2\left( {ab} \right) = 2{\log _2}a + 2{\log _2}b$.
Lời giải
$\log _2^2(ab) = {\left[ {{{\log }_2}(ab)} \right]^2} = {({\log _2}a + {\log _2}b)^2}$.
Câu 36: Giả sử x, y là các số thực dương. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. ${\log _2}xy = {\log _2}x + {\log _2}y$ B. ${\log _2}\sqrt {xy} = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}y} \right)$
C. ${\log _2}\frac{x}{y} = {\log _2}x – {\log _2}y$ D. ${\log _2}\left( {x + y} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y$
Lời giải
Do ${\log _2}x + {\log _2}y = {\log _2}(xy)$.
Câu 37: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ${\log _2}\left( {xy} \right) = x{\log _2}y\,\,\,\forall x,y > 0$. B. ${\log _2}\left( {xy} \right) = {\log _2}x + {\log _2}y\,\,\,\forall x,y > 0$.
C. ${\log _2}\left( {xy} \right) = {\log _2}x.{\log _2}y\,\,\,\forall x,y > 0$. D. ${\log _2}\left( {xy} \right) = y{\log _2}x\,\,\,\forall x,y > 0$.
Lời giải
Câu 38: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. ${\log _3}5 > 0$. B. ${\log _{2 + {x^2}}}2016 < {\log _{2 + {x^2}}}2017$.
C. ${\log _{0,3}}0,8 < 0$. D. ${\log _3}4 > {\log _4}\left( {\frac{1}{3}} \right)$.
Lời giải
Ta có: ${\log _{0,3}}0,8 < 0$$ \Leftrightarrow 0,8 > 0,{3^0}$$ \Leftrightarrow 0,8 > 1$
Câu 39: Cho là $a$ số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ${\log _5}\left( {5a} \right) = {\log _5}a$ B. ${\log _5}\left( {5a} \right) = 1 + a$
C. ${\log _5}\left( {5a} \right) = 1 + {\log _5}a$ D. ${\log _5}\left( {5a} \right) = 5 + {\log _5}a$
Lời giải
Áp dụng công thức ${\log _a}\left( {{b_1}{b_2}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2}\,\,a,{b_1},{b_2} > 0.\,a \ne 1$
Câu 40: Với $a > 0,\,\;a \ne 1,\,\;{\log _2}\left( {2a} \right)$ bằng
A. $1 + {\log _2}a$. B. $1 – {\log _2}a$. C. $2.{\log _2}a$. D. $2 + {\log _2}a$.
Lời giải
Với $a > 0$ ta có ${\log _2}\left( {2a} \right) = {\log _2}2 + {\log _2}a = 1 + {\log _2}a$.
Câu 41: Với mọi số thực dương $a$, $b$, $x$, $y$ và $a$, $b$ khác $1$, mệnh đề nào sau đây sai?
A. ${\log _b}a.{\log _a}x = {\log _b}x$. B. ${\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _b}x$.
C. ${\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x – {\log _a}y$. D. ${\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}$.
Lời giải
Câu 42: Cho $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ là các số thực dương $a \ne 1$, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${2^a} = 3 \Leftrightarrow a = {\log _2}3$ B. $\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\},{\rm{ lo}}{{\rm{g}}_a}{x^2} = 2{\log _a}x$
C. ${\log _a}\left( {b.c} \right) = {\log _a}b.{\log _a}c$ D. ${\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right) = \frac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}c}}$
Lời giải
Theo giải thiết $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ là các số thực dương $a \ne 1$, nên ta có.
+ $\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\},{\rm{ lo}}{{\rm{g}}_a}{x^2} = 2{\log _a}\left| x \right|$, suy ra sai.
+ ${\log _a}\left( {b.c} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$, suy ra sai.
+ ${\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right) = {\log _a}b – {\log _a}c$, suy ra sai.
Vậy mệnh đề đúng là: ${2^a} = 3 \Leftrightarrow a = {\log _2}3$
Câu 43: Với $a$ là số thực dương tuỳ ý, $\ln \left( {2018a} \right) – \ln \left( {3a} \right)$ bằng
A. $\ln \frac{{2018}}{3}$ B. $\ln \left( {2015a} \right)$ C. $\frac{{\ln \left( {2018a} \right)}}{{\ln \left( {3a} \right)}}$ D. $\frac{{\ln 2018}}{{\ln 3}}$
Lời giải
$\ln \left( {2018a} \right) – \ln \left( {3a} \right) = \ln \frac{{2018a}}{{3a}} = \ln \frac{{2018}}{3}.$
Câu 44: Với các số thực dương $a,b,c$ bất kì. Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A. $\ln \frac{{ab}}{c} = \ln a + \ln \frac{b}{c}$. B. $\ln \left( {abc} \right) = \ln a + \ln bc$.
C. $\ln \frac{a}{{bc}} = \ln a – \ln bc$. D. $\ln \frac{1}{{abc}} = \ln a – \ln bc$.
Lời giải
Vì $\ln \frac{1}{{abc}} = \ln 1 – \ln abc$$ = – \ln abc$.
Câu 45: Cho $a$ là số thực dương khác $1$ và $b$ là số thực khác $0$. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. ${\log _a}{a^b} = b$. B. ${\log _{\frac{1}{a}}}a = – 1$. C. ${\log _a}{b^4} = 4{\log _a}b$. D. ${a^{{{\log }_a}{b^2}}} = {b^2}$.
Lời giải
Mệnh đề C sai vì nếu $b < 0$ thì ${\log _a}b$ không xác định.
Câu 46: Khẳng định nào sau đây sai?
A. ${\log _{\frac{1}{3}}}a > {\log _{\frac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a > b > 0$ B. $\ln x > 0 \Leftrightarrow x > 1$
C. ${\log _5}x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1$ D. ${\log _{\frac{1}{2}}}a = {\log _{\frac{1}{2}}}b \Leftrightarrow a = b > 0$
Lời giải
${\log _{\frac{1}{3}}}a > {\log _{\frac{1}{3}}}b \Leftrightarrow 0 < a < b$. Đáp án B sai.
Câu 47: Cho các số thực $a > 0$, $b > 0$ và $\alpha \in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\ln {a^\alpha } = \alpha \ln a$ B. $\ln \left( {\frac{a}{b}} \right) = \ln b – \ln a$
C. $\ln \left( {a + b} \right) = \ln a + \ln b$ D. $\ln \left( {a.b} \right) = \ln a.\ln b$
Lời giải
Ta có $\ln {a^\alpha } = \alpha \ln a$.
Câu 48: Với $\;a$ là số thực dương bất kì, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $I$. B. $\ln \left( {3 + a} \right) = \ln 3 + \ln a$.
C. $SC$. D. $\ln {a^5} = \frac{1}{5}\ln a$.
Lời giải
A đúng vì $\ln 3a = \ln 3 + \ln a$.
B sai vì $\ln \left( {3 + a} \right) \ne \ln 3 + \ln a$.
C sai vì $\ln \frac{a}{3} = \ln a – \ln 3$.
D sai vì $\ln {a^5} = 5\ln a$
Câu 49: Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương $x$?
A. ${\left( {\log x} \right)^\prime } = \frac{x}{{\ln 10}}$. B. ${\left( {\log x} \right)^\prime } = \frac{{\ln 10}}{x}$. C. ${\left( {\log x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln 10}}$. D. ${\left( {\log x} \right)^\prime } = x\ln 10$.
Lời giải
Ta có: ${\left( {\log x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln 10}}$.
Câu 50: Cho $a,b,c$ là các số dương $\left( {a,b \ne 1} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ${a^{{{\log }_b}a}} = b$ B. ${\log _{{a^\alpha }}}b = \alpha {\log _a}b\left( {\alpha \ne 0} \right)$
C. ${\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b$ D. ${\log _a}\left( {\frac{b}{{{a^3}}}} \right) = \frac{1}{3}{\log _a}b$
Lời giải
${\log _a}\left( {\frac{b}{{{a^3}}}} \right) = {\log _a}b – {\log _a}{a^3} = {\log _a}b – 3$ suy ra đáp án A sai.
${a^{{{\log }_b}a}} = b$ đáp án sai vì ${a^{{{\log }_a}b}} = b$.
${\log _{{a^\alpha }}}b = \alpha {\log _a}b\left( {\alpha \ne 0} \right)$ sai vì ${\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\left( {\alpha \ne 0} \right)$.
${\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b$ Đúng.
Dạng 03: Biểu diễn lôgarit này theo lôgarit khác
Câu 51: Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa ${a^{{{\log }_3}7}} = 27$, ${b^{{{\log }_7}11}} = 49$, ${c^{{{\log }_{11}}25}} = \sqrt {11} $. Tính giá trị biểu thức $T = {a^{\log _3^27}} + {b^{\log _7^211}} + {c^{\log _{11}^225}}$.
A. $T = 31141$ B. $T = 76 + \sqrt {11} $ C. $T = 2017$ D. $T = 469$
Lời giải
$T = {a^{\log _3^27}} + {b^{\log _7^211}} + {c^{\log _{11}^225}} = {\left( {{a^{{{\log }_3}7}}} \right)^{{{\log }_3}7}} + {\left( {{b^{{{\log }_7}11}}} \right)^{{{\log }_7}11}} + {\left( {{c^{{{\log }_{11}}25}}} \right)^{{{\log }_{11}}25}}$.
$ = {\left( {27} \right)^{{{\log }_3}7}} + {\left( {49} \right)^{{{\log }_7}11}} + {\left( {\sqrt {11} } \right)^{{{\log }_{11}}25}} = {7^3} + {11^2} + \sqrt {25} = 469$.
Câu 52: Cho $a = {\log _{25}}7$; $b = {\log _2}5$. Tính ${\log _5}\frac{{49}}{8}$ theo $a$, $b$.
A. $\frac{{4ab – 3}}{b}$ B. $\frac{{4ab + 3}}{b}$ C. $\frac{{4ab – 5}}{b}$ D. $\frac{{5ab – 3}}{b}$
Lời giải
*$a = {\log _{25}}7 \Leftrightarrow 2a = {\log _5}7$.
*$b = {\log _2}5 \Leftrightarrow \frac{1}{b} = {\log _5}2$.
Ta có ${\log _5}\frac{{49}}{8} = {\log _5}49 – {\log _5}8$.
$ \Leftrightarrow {\log _5}\frac{{49}}{8} = 2{\log _5}7 – 3{\log _5}2 \Leftrightarrow {\log _5}\frac{{49}}{8} = 2.2a – 3.\frac{1}{b} \Leftrightarrow {\log _5}\frac{{49}}{8} = \frac{{4ab – 3}}{b}$.
Câu 53: Với $\log 2 = a$, giá trị của $\log \sqrt[3]{{\frac{8}{5}}}$ bằng
A. $4a + 1$. B. $4a – 1$. C. $\frac{{2a – 1}}{3}$. D. $\frac{{4a – 1}}{3}$.
Lời giải
$\log \sqrt[3]{{\frac{8}{5}}} = \frac{1}{3}\log \frac{{16}}{{10}} = \frac{1}{3}\left( {4\log 2 – 1} \right) = \frac{{4a – 1}}{3}$.
Câu 54: Cho $lo{g_3}2 = a;{\rm{ }}lo{g_3}5 = b$, khi đó ${\log _3}40$ bằng:
A. $a – 3b$. B. $3{\rm{a}} + b$. C. $a + 3b$. D. $3{\rm{a}} – b$.
Lời giải
Ta có: ${\log _3}40 = {\log _3}\left( {{2^3}.5} \right) = 3{\log _3}2 + {\log _3}5 = 3a + b$.
Câu 55: Nếu $\log 2 = m$ và $\ln 2 = n$ thì:
A. $\ln 20 = \frac{{m + 1}}{n}$ B. $\ln 20 = \frac{n}{m} + 1$ C. $\ln 20 = \frac{n}{m} + n$ D. $\ln 20 = \frac{m}{n} + m$
Lời giải
vì $\log 2 = \frac{{\ln 2}}{{\ln 10}} = m = > \ln 10 = \frac{{\ln 2}}{m} = \frac{n}{m}$.
$\ln 20 = \ln 2 + \ln 10 = n + \frac{n}{m}$.
Câu 56: Cho $\log 2 = a$ Tính $\log \frac{{125}}{4}$ theo $a$?
A. $4\left( {1 + a} \right)$. B. $2\left( {a + 5} \right)$. C. $3 – 5a$. D. $6 + 7a$.
Lời giải
Ta có $\log \frac{{125}}{4} = \log \frac{{1000}}{{32}} = \log {10^3} – \log {2^5} = 3 – 5a$.
Câu 57: Cho các số dương $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$. Tính giá trị của biểu thức $T = {\log _{2017}}\frac{a}{b} + {\log _{2017}}\frac{b}{c} + {\log _{2017}}\frac{c}{a}$.
A. $2017$ B. $ – 1$ C. $1$ D. $0$
Lời giải
Ta có $T = {\log _{2017}}\frac{a}{b} + {\log _{2017}}\frac{b}{c} + {\log _{2017}}\frac{c}{a} = {\log _{2017}}\left( {\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}} \right) = {\log _{2017}}1 = 0$.
Câu 58: Cho $a = {\log _2}m$ và $A = {\log _m}16m$, với $0 < m \ne 1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $A = \frac{{4 – a}}{a}.$ B. $A = \frac{{4 + a}}{a}.$ C. $A = (4 + a)a.$ D. $A = (4 – a)a.$
Lời giải
Ta có $A = {\log _m}16m = \frac{{{{\log }_2}16m}}{{{{\log }_2}m}} = \frac{{{{\log }_2}16 + {{\log }_2}m}}{{{{\log }_2}m}} = \frac{{4 + a}}{a}.$
Câu 59: Với $a$ và $b$ là hai số thực dương tùy ý, $\log \left( {{a^3}b} \right)$ bằng
A. $\log a + 3\log b$. B. $3\log a + \log b$. C. $\frac{1}{3}\log a + \log b$. D. $3\left( {\log a + \log b} \right)$.
Lời giải
Ta có $\log \left( {{a^3}b} \right) = \log {a^3} + \log b = 3\log a + \log b$.
Vậy chọn
B.
Câu 60: Cho $a = {\log _{30}}3$, $b = {\log _{30}}5$. Khi đó ${\log _{30}}1350$ tính theo $a$ và $b$ là:
A. $2a – b + 1$. B. $a + 2b + 1$. C. $2a + b + 1$. D. $2a – b – 1$.
Lời giải
${\log _{30}}1350 = {\log _{30}}\left( {{{30.5.3}^2}} \right) = 1 + {\log _{30}}5 + 2{\log _{30}}3 = 2a + b + 1$.
Câu 61: Cho $\log 5 = a$. Tính $\log 25000$ theo $a$.
A. $2a + 3$ B. $5{a^2}$ C. $2{a^2} + 1$ D. $5a$
Lời giải
Ta có: $\log 25000$$ = \log \left( {{5^2}{{.10}^3}} \right)$$ = 2\log 5 + 3\log 10$$ = 2a + 3$.
Câu 62: Đặt ${\log _{15}}3 = a$. Hãy biểu diễn ${\log _{25}}15$ theo $a$.
A. ${\log _{25}}15 = \frac{2}{{1 – a}}$ B. ${\log _{25}}15 = \frac{1}{{1 – a}}$
C. ${\log _{25}}15 = \frac{{1 – a}}{a}$ D. ${\log _{25}}15 = \frac{1}{{2\left( {1 – a} \right)}}$
Lời giải
${\log _{15}}3 = \frac{1}{{{{\log }_3}15}} = \frac{1}{{1 + {{\log }_3}5}} \Rightarrow {\log _3}5 = \frac{{1 – a}}{a}$.
${\log _{25}}15 = \frac{{{{\log }_3}15}}{{{{\log }_3}25}} = \frac{{1 + {{\log }_3}5}}{{2{{\log }_3}5}} = \frac{1}{{2(1 – a)}}$.
Câu 63: Cho $a = {\log _2}5$, $b = {\log _2}9$. Biểu diễn của $P = {\log _2}\frac{{40}}{3}$ theo $a$ và $b$ là
A. $P = 3 + a – 2b$ B. $P = 3 + a – \frac{1}{2}b$ C. $P = \frac{{3a}}{{2b}}$ D. $P = 3 + a – \sqrt b $
Lời giải
Ta có $P = {\log _2}\frac{{40}}{3}$$ = {\log _2}40 – {\log _2}3$$ = {\log _2}8 + {\log _2}5 – \frac{1}{2}{\log _2}9$$ = 3 + a – \frac{1}{2}b$.
Câu 64: Biết ${\log _6}2 = a$, ${\log _6}5 = b$. Tính $I = {\log _3}5$ theo $a$, $b$.
A. $I = \frac{b}{{1 + a}}$ B. $I = \frac{b}{{1 – a}}$ C. $I = \frac{b}{{a – 1}}$ D. $I = \frac{b}{a}$
Lời giải
Ta có ${\log _3}5 = \frac{{{{\log }_6}5}}{{{{\log }_6}3}} = \frac{{{{\log }_6}5}}{{{{\log }_6}6 – {{\log }_6}2}} = \frac{b}{{1 – a}}$.
Câu 65: Nếu $\log \sqrt a = 2$ thì $\log a$ bằng
A. $100$. B. $4$. C. $10$. D. $8$.
Lời giải
Ta có $\log \sqrt a = 2 \Rightarrow \log {a^{\frac{1}{2}}} = 2 \Rightarrow \frac{1}{2}\log a = 2 \Rightarrow \log a = 4$.
Câu 66: Với $m = {\log _6}2$, $n = {\log _6}5$ thì ${\log _3}5$bằng
A. $\frac{m}{n}$ B. $\frac{n}{{m – 1}}$ C. $\frac{n}{{m + 1}}$ D. $\frac{n}{{1 – m}}$
Lời giải
Ta có ${\log _3}5 = \frac{{{{\log }_6}5}}{{{{\log }_6}3}}$$ = \frac{{{{\log }_6}5}}{{{{\log }_6}6 – {{\log }_6}2}}$$ = \frac{n}{{1 – m}}$
Câu 67: Tính $M = \log {}_41250$ theo $a$ biết $a = {\log _2}5$.
A. $M = 2\left( {1 + 4a} \right)$. B. $M = 2\left( {1 + 2a} \right)$. C. $M = \frac{1}{2} + a$. D. $M = \frac{1}{2} + 2a$.
Lời giải
Ta có: $M = \log {}_41250 = \frac{1}{2}\log {}_2\left( {{5^4}.2} \right) = \frac{1}{2}\left( {4\log {}_25 + 1} \right) = \frac{1}{2} + 2a$.
Câu 68: Đặt $a = \ln 2\,$, $b = \ln 3\,$. Hãy biểu diễn $\ln 36\,$ theo $a\,$ và $b\,$.
A. $\ln 36 = 2a + 2b$. B. $\ln 36 = a + b$. C. $\ln 36 = a – b$. D. $\ln 36 = 2a – 2b$.
Lời giải
Ta có $\ln 36 = \ln \left( {{2^2}{{.3}^2}} \right) = \ln {2^2} + \ln {3^2} = 2\ln 2 + 2\ln 3 = 2a + 2b$.
Câu 69: Cho ${\log _2}5 = a$. Giá trị của ${\log _8}25$ theo $a$ bằng
A. $3a$ B. $2a$ C. $\frac{3}{2}a$ D. $\frac{2}{3}a$
Lời giải
${\log _8}25$$ = {\log _{{2^3}}}{5^2}$$ = \frac{2}{3}{\log _2}5$$ = \frac{2}{3}a$.
Câu 70: Đặt $a = {\log _3}5$, $b = {\log _2}5$. Giá trị ${\log _{15}}20$ theo a và b .
A. $\frac{{{b^2} + a}}{{{b^2} + 2b}}$ B. $\frac{{b + ab}}{{2a + ab}}$. C. $\frac{{2a + ab}}{{b + ab}}$ D. $\frac{{{b^2} + 2b}}{{{b^2} + a}}$
Lời giải
Ta có ${\log _{15}}20 = {\log _{15}}\left( {4.5} \right) = {\log _{15}}4 + {\log _{15}}5 = 2{\log _{15}}2 + {\log _{15}}5$.
${\log _{15}}2 = \frac{1}{{{{\log }_2}15}} = \frac{1}{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_3}2}} + {{\log }_2}5}} = \frac{1}{{\frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_3}5}} + {{\log }_2}5}} = \frac{1}{{\frac{b}{a} + b}} = \frac{a}{{b\left( {1 + a} \right)}}$.
${\log _{15}}5 = \frac{1}{{{{\log }_5}15}} = \frac{1}{{{{\log }_5}3 + 1}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_3}5}} + 1}} = \frac{1}{{\frac{1}{a} + 1}} = \frac{a}{{1 + a}}$.
Do đó ${\log _{15}}20 = \frac{{2a}}{{b\left( {1 + a} \right)}} + \frac{a}{{a + 1}} = \frac{{2a + ab}}{{b + ab}}$.
