Các Dạng Câu Trả Lời Ngắn Khoảng Tứ Phân Vị Phương Sai Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

Các dạng câu trả lời ngắn khoảng tứ phân vị phương sai mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 8 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Câu 1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:

Nhóm	[5; 10)	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25)
Tần số	12	14	17	19

Giả sử số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $\overline x = \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$. Tính $a + b$.

Lời giải

Cỡ mẫu là $n = 12 + 14 + 17 + 19 = 62$

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline x = \frac{{12.7,5 + 14.12,5 + 17.17,5 + 19.25,5}}{{62}} = \frac{{2169}}{{124}}$

Vậy $a + b = 2169 + 124 = 2293$.

Câu 2. Cho mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:

Nhóm	[5; 10)	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25)
Tần số	18	14	13	18

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải

Cỡ mẫu là $n = 18 + 14 + 13 + 18 = 63$

* Tính ${Q_1}$

Xem cách tính nhanh Q₁ và Q₃ tại đây

Ta có:${x_1};…;{x_{18}} \in $ [5; 10), ${x_{19}};…;{x_{32}} \in $ [10; 15), ${x_{33}};…;{x_{45}} \in $ [15; 20), ${x_{46}};…;{x_{63}} \in $ [20; 25)

Ta có: $\frac{{n + 1}}{4} = \frac{{63 + 1}}{4} = 16$ là số nguyên; $\frac{{3(n + 1)}}{4} = \frac{{3(63 + 1)}}{4} = 48$

Suy ra, ${Q_1} = {x_{16}};\,{Q_3} = {x_{48}}$.

+ Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${Q_1} = {x_{16}} \in $ [5; 10) $ \Rightarrow p = 1$.

Áp dụng công thức ${Q_r} = {a_p} + \frac{{\frac{{rn}}{4} – \left( {{m_1} + … + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}}\left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$

Ta có: ${Q_1} = {a_1} + \frac{{\frac{n}{4}}}{{{m_1}}}\left( {{a_2} – {a_1}} \right) = 5 + \frac{{\frac{{63}}{4}}}{{18}}\left( {10 – 5} \right) = \frac{{75}}{8}$

* Tính ${Q_3}$

+ Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${Q_3} = {x_{48}} \in $ [20; 25) $ \Rightarrow p = 4$.

Áp dụng công thức ${Q_r} = {a_p} + \frac{{\frac{{rn}}{4} – \left( {{m_1} + … + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}}\left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$

Ta có: ${Q_3} = {a_4} + \frac{{\frac{{3n}}{4} – \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)}}{{{m_4}}}\left( {{a_5} – {a_4}} \right)$

$20 + \frac{{\frac{{3.63}}{4} – \left( {18 + 14 + 13} \right)}}{{18}}\left( {25 – 20} \right) = \frac{{165}}{8}$

Vậy, khoảng tứ phân vị là ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = \frac{{165}}{8} – \frac{{75}}{8} = \frac{{45}}{4}$

Câu 3. Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong lớp 12E được cho trong bảng sau:

Thời gian phút)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)	[40; 45)
Số học sinh	8	16	4	2

a) Tính khoảng biến thiên R cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất 27 phút và muộn nhất mất 43 phút thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là bao nhiêu?

Lời giải

a) Khoảng biến thiên R cho mẫu số liệu ghép nhóm là R = 45 – 25 = 20.

b) Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất 27 phút và muộn nhất mất 43 phút thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là 43 – 27 = 16.

Câu 4. Để đánh giá chất lượng một loại pin điện thoại mới, người ta ghi lại thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin cho kết quả sau:

Thời gian (giờ)	[5; 5,5)	[5,5; 6)	[6; 6,5)	[6,5; 7)	[7; 7,5)
Số chiếc điện thoại (tần số)	2	8	15	10	5

Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải

• Khoảng biến thiên: R = 7,5 – 5 = 2,5.

• Khoảng tứ phân vị  ${\Delta _Q} = 0,75$

• Độ lệch chuẩn là $S \approx 0,53$

Khoảng biến thiên: R = 7,5 – 5 = 2,5.

Cỡ mẫu là n = 2 + 8 + 15 + 10 + 5 = 40.

Gọi x₁; x₂; …; x₄₀ thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}$.

Mà ${x_{10}} \in $ [5,5; 6); ${x_{11}} \in $ [6; 6,5). Do đó Q₁ = 6.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2} \in $ [6,5; 7) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [6,5; 7).

${Q_3} = 6,5 + \frac{{\frac{{3.40}}{4} – 25}}{{10}}\left( {7 – 6,5} \right) = 6,75$

Khoảng tứ phân vị  ${\Delta _Q} = $ Q₃ – Q₁ = 6,75 – 6 = 0,75.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có

Thời gian (giờ)	[5; 5,5)	[5,5; 6)	[6; 6,5)	[6,5; 7)	[7; 7,5)
Giá trị đại diện	5,25	5,75	6,25	6,75	7,25
Số chiếc điện thoại (tần số)	2	8	15	10	5

Thời gian trung bình là $\overline x = 6,35$

Phương sai là: ${S^2} = 0,2775$

Độ lệch chuẩn là $S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {0,2775} \approx 0,53$

Câu 5. Người ta ghi lại tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) của một số nhà đầu tư (với số tiền đầu tư như nhau), khi đầu tư vào hai lĩnh vực A, B cho kết quả như sau:

a) Về trung bình, đầu tư vào lĩnh vừa nào đem lại tiền lãi cao hơn?

b) Tính độ lệch chuẩn cho các mẫu số liệu về tiền lãi của các nhà đầu tư ở hai lĩnh vực này và giải thích ý nghĩa của các số thu được.

Lời giải

a) Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Tiền lãi	[5; 10)	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25)	[25; 30)
Giá trị đại diện	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5
Số nhà đầu tư vào lĩnh vực A	2	5	8	6	4
Số nhà đầu tư vào lĩnh vực B	8	4	2	5	6

Trung bình tiền lãi đầu tư vào lĩnh vực A là:${\overline x _A} = 18,5$

Trung bình tiền lãi đầu tư vào lĩnh vực B là: ${\overline x _B} = 16,9$

Vì ${\overline x _A} = 18,5 > {\overline x _B} = 16,9$ nên đầu tư vào lĩnh vực A thì đem lại lãi cao hơn lĩnh vực B.

b)

Phương sai và độ lệch chuẩn của tiền lãi của nhà đầu tư vào lĩnh vực A

Phương sai là: $S_A^2 = 34$

Độ lệch chuẩn là $S_A^{} = \sqrt {S_A^2} = \sqrt {34} \approx 5,83$

Phương sai và độ lệch chuẩn của tiền lãi của nhà đầu tư vào lĩnh vực B

Phương sai là: $S_B^2 = 64,64$

Độ lệch chuẩn là $S_B^{} = \sqrt {S_B^2} = \sqrt {64,64} \approx 8,04$

Dựa vào độ lệch chuẩn, ta thấy rằng tiền lãi của các nhà đầu tư trong lĩnh vực B có sự biến động lớn hơn và có xu hướng phân tán rộng hơn so với tiền lãi của các nhà đầu tư trong lĩnh vực A.

Câu 6. Thành tích môn nhảy cao của các vận động viên tại một giải điền kinh dành cho học sinh trung học phổ thông như sau:

a) Tính các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Độ phân tán của mẫu số liệu cho biết điều gì?

Lời giải

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 180 – 170 = 10.

Cỡ mẫu là: n = 3 + 10 + 6 + 1 = 20.

Gọi x₁; x₂; ..; x₂₀ là mức xà của 20 vận động viên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2} \in $ [172; 174). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:  ${Q_1} = 172 + \frac{{\frac{{20}}{4} – 3}}{{10}}\left( {174 – 172} \right) = 172,4$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là  $\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2} \in $ [174; 176). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:  ${Q_3} = 174 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} – 13}}{6}\left( {176 – 174} \right) \approx 174,7$

Do đó khoảng tứ phân vị là ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} \approx 174,7 – 172,4 \approx 2,3$

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có

Mức xà (cm)	[170; 172)	[172; 174)	[174; 176)	[176; 180)
Giá trị đại diện	171	173	175	178
Số vận động viên	3	10	6	1

Mức xà trung bình là: $\overline x = 173,55$

Phương sai và độ lệch chuẩn

${S^2} \approx 2,75 \Rightarrow S = \sqrt {S_{}^2} = \sqrt {2,75} \approx 1,66$

b) Dựa vào các số liệu ở câu a, ta thấy mẫu dữ liệu có sự biến động lớn, các giá trị phân tán rộng và không đồng đều.Có sự chênh lệch đáng kể giữa các kết quả của các vận động viên.

Câu 7. Trong thực hành đo hiệu điện thế của mạch điện, An và Bình đã dùng hai vôn kế khác nhau để đo, mỗi bạn tiến hành đo 10 lần và cho kết quả như sau:

Tính độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu ghép nhóm cho kết quả đo của An và Bình. Từ đó kết luận xem vôn kế của bạn nào cho kết quả đo ổn định hơn.

Lời giải

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Hiệu điện thế đo được (Vôn)	[3,85; 3,90)	[3,90; 3,95)	[3,95; 4,00)	[4,00; 4,05)
Giá trị đại diện	3,875	3,925	3,975	4,025
Số lần An đo	1	6	2	1
Số lần Bình đo	1	3	4	2

Hiệu điện thế trung bình của An đo là: ${\overline x _A} = 3,94$

Hiệu điện thế trung bình của Bình đo là: ${\overline x _B} = 3,96$

Phương sai và độ lệch chuẩn về mẫu số liệu ghép nhóm của An đo là:

$S_A^2 = 1,{525.10^{ – 3}} \Rightarrow {S_A} = \sqrt {S_A^2} = \sqrt {1,{{525.10}^{ – 3}}} \approx 0,039$

Phương sai và độ lệch chuẩn về mẫu số liệu ghép nhóm của Bình đo là

$S_B^2 = 2,{025.10^{ – 3}} \Rightarrow {S_B} = \sqrt {S_B^2} = \sqrt {2,{{025.10}^{ – 3}}} = 0,045$

Dựa vào kết quả tính được của độ lệch chuẩn, ta thấy vôn kế của An cho kết quả ổn định hơn vôn kế của Bình.

Câu 8. Một người ghi lại thời gian đàm thoại của một số cuộc gọi cho kết quả như bảng sau:

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải

Ta có bảng mẫu số liệu ghép nhóm được viết lại như sau

Thời gian t (phút)	[0;1)	[1; 2)	[2; 3)	[3; 4)	[4; 5)
Số cuộc gọi	8	17	25	20	10

Có cỡ mẫu n = 8 + 17 + 25 + 20 + 10 = 80.

Giả sử x₁; x₂; …; x₈₀ là thời gian đàm thoại của 80 cuộc gọi được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{20}} + {x_{21}}}}{2} \in $ [1; 2) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [1; 2).

${Q_1} = 1 + \frac{{\frac{{80}}{4} – 8}}{{17}}\left( {2 – 1} \right) \approx 1,7$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{{{x_{60}} + {x_{61}}}}{2} \in $ [3; 4) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [3; 4).

${Q_3} = 3 + \frac{{\frac{{3.80}}{4} – 50}}{{20}}\left( {4 – 3} \right) = 3,5$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = 1,8$