Các Dạng Bài Tập Trắc Nghiệm Tích Phân Có Điều Kiện Giải Chi Tiết

Các dạng bài tập trắc nghiệm tích phân có điều kiện giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN CÓ ĐIỀU KIỆN

Chú ý :

$\int\limits_a^b {f(x)dx} = \left. {F(x)} \right|_a^b = F(b) – F(a)$ trong đó $\left. {F(x)} \right|$ là một nguyên hàm của $f(x)$

$\int\limits_a^b {f'(x)dx} = \left. {f(x)} \right|_a^b = f(b) – f(a)$

Câu 1. Nếu $F’\left( x \right) = 2 – \sin x$ và $F\left( 0 \right) = – 2$ thì giá trị của $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$ bằng

A. $\pi $ B. $\pi – 1$ C. $\pi – 2$ D. $\pi – 3$

Lời giải

Ta có: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {F’\,\left( x \right)} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 – \sin x} \right)} dx = \left. {\left( {2x + cosx} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi – 1$.

Lại có: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {F’\,\left( x \right)} dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) – F\left( 0 \right)$.

Chú ý : $\int\limits_a^b {f(x)dx} = \left. {F(x)} \right|_a^b = F(b) – F(a)$

Suy ra $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) – F\left( 0 \right) = \pi – 1$.

$ \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \pi – 1 + F\left( 0 \right) = \pi – 1 + ( – 2) = \pi – 3$

Chọn B.

Câu 2. Nếu $F’\left( x \right) = 3{e^x}$ và $F\left( {\ln 7} \right) = 10$ thì giá trị của $F\left( 0 \right)$ bằng

A. $18$ B. $ – 5$ C. $ – 8$ D. $ – 9$

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $\int\limits_0^{\ln 7} {F’\,\left( x \right)} dx = \int\limits_0^{\ln 7} {3{e^x}} dx = \left. {3{e^x}} \right|_0^{\ln 7} = 18$.

Lại có: $\int\limits_0^{\ln 7} {F’\,\left( x \right)} dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^{\ln 7} = F\left( {\ln 7} \right) – F\left( 0 \right)$.

Suy ra $F\left( {\ln 7} \right) – F\left( 0 \right) = 18$.

$ \Rightarrow F\left( 0 \right) = F\left( {\ln 7} \right) – 18 = 10 – 18 = – 8$

Câu 3. Nếu $F’\left( x \right) = 2x + 7$ và $F\left( 2 \right) = 5$ thì giá trị của $F\left( 1 \right)$ bằng

A. $1$ B. $ – 5$ C. $10$ D. $15$

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $\int\limits_1^2 {F’\,\left( x \right)} dx = \int\limits_1^2 {\left( {2x + 7} \right)} dx = \left. {\left( {{x^2} + 7x} \right)} \right|_1^2 = 10$.

Lại có: $\int\limits_1^2 {F’\,\left( x \right)} dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^2 = F\left( 2 \right) – F\left( 1 \right)$.

Suy ra $F\left( 2 \right) – F\left( 1 \right) = 10$.

$ \Rightarrow F(1) = F(2) – 10 = 5 – 10 = – 5$

Câu 4. Nếu $F’\left( x \right) = \frac{1}{{2x}}$ và $F\left( 1 \right) = 1$ thì giá trị của $F\left( 4 \right)$ bằng

A. $\ln 2.$ B. $1 + \ln 2$ C. $1 + \frac{1}{2}\ln 2$ D. $\frac{1}{2}\ln 2$

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $\int\limits_1^4 {F’\,\left( x \right)} dx = \int\limits_1^4 {\frac{1}{{2x}}} dx = \left. {\frac{1}{2}\ln |x|} \right|_1^4 = \ln 2$.

Lại có: $\int\limits_1^4 {F’\,\left( x \right)} dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^4 = F\left( 4 \right) – F\left( 1 \right)$.

Suy ra $F\left( 4 \right) – F\left( 1 \right) = \ln 2$.

Do đó $F\left( 4 \right) = F\left( 1 \right) + \ln 2 = 1 + \ln 2$.

Câu 5. Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{2}{x}$. Biết $F\left( { – 1} \right) = 0$. Tính $F\left( { – 2} \right)$.

A. $2\ln 2 + 1$. B. $\ln 2$. C. $2\ln 3 + 2$. D. $2\ln 2$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $\int\limits_{ – 2}^{ – 1} {f(x)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_{ – 2}^{ – 1} = F\left( { – 1} \right) – F\left( { – 2} \right)} $

$\int\limits_{ – 2}^{ – 1} {f(x)dx = } \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\frac{2}{x}} = \left. {2\ln \left| x \right|} \right|_{ – 2}^{ – 1} = – 2\ln 2$

$ \Rightarrow F\left( { – 1} \right) – F\left( { – 2} \right) = – 2\ln 2$

$ \Rightarrow F\left( { – 2} \right) = F\left( { – 1} \right) + 2\ln 2 = 0 + 2\ln 2 = 2\ln 2$

Câu 6. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục, có đạo hàm trên $\left[ {0;2025} \right]$, $f\left( 0 \right) = 2030$; $f\left( {2025} \right) = 4$. Tích phân $\int\limits_0^{2025} {f’\left( x \right)} dx$ bằng

A. $2026.$ B. $2027.$ C. $2024.$ D. $2025.$

Lời giải

Chú ý : $\int\limits_a^b {f'(x)dx} = \left. {f(x)} \right|_a^b = f(b) – f(a)$

Ta có $\int\limits_0^{2025} {f’\left( x \right)} dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^{2025} = f\left( {2025} \right) – f\left( 0 \right)$

$ = 2030 – 4 = 2026$

Chọn A.

Câu 7. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục, có đạo hàm trên $\left[ { – 1;2} \right]$, $f\left( { – 1} \right) = 8$; $f\left( 2 \right) = – 1$. Tích phân $\int\limits_{ – 1}^2 {f’\left( x \right)} dx$ bằng

A. $1.$ B. $7.$ C. $ – 9.$ D. $9.$

Lời giải

Chọn C.

Ta có $\int\limits_{ – 1}^2 {f’\left( x \right)} dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_{ – 1}^2 = f\left( 2 \right) – f\left( { – 1} \right)$

$ = – 1 – 8 = – 9$

Câu 8. Biết $F\left( x \right) = {x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f(x)} \right]dx} $ bằng

A. $10$. B. $8$. C. $\frac{{26}}{3}$. D. $\frac{{32}}{3}$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f(x)} \right]dx} = \left. {\left( {x + F\left( x \right)} \right)} \right|_1^3 = \left. {\left( {x + {x^2}} \right)} \right|_1^3 = 12 – 2 = 10.$

Câu 9. Biết $F(x) = {x^3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int\limits_1^3 {(1 + f(x))dx} $bằng

A. 20. B. 22. C. 26. D. 28.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f(x)} \right]} dx = \left[ {x + F(x)} \right]\left| {\mathop {}\limits_1^3 } \right. = \left[ {x + {x^3})} \right]\left| {\mathop {}\limits_1^3 } \right. = 30 – 2 = 28$.

Câu 10. Biết $F\left( x \right) = {x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int\limits_1^2 {\left[ {2 + f\left( x \right)} \right]dx} $ bằng

A. $5$. B. $3$. C. $\frac{{13}}{3}$. D. $\frac{7}{3}$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $\int\limits_1^2 {\left[ {2 + f\left( x \right)} \right]dx} = \left( {2x + {x^2}} \right)\left| \begin{gathered}
2 \hfill \\
1 \hfill \\
\end{gathered} \right. = 8 – 3 = 5$

Câu 11. Biết $F(x) = {x^3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int\limits_1^2 {\left( {2 + f(x)} \right)} dx$ bằng

A. $\frac{{23}}{4}$. B. $7$. C. $9$. D. $\frac{{15}}{4}$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có $\int\limits_1^2 {\left( {2 + f(x)} \right)} dx = \int\limits_1^2 {2dx} + \int\limits_1^2 {f(x)dx} $

$ = \left. {2x} \right|_1^2 + \left. {F(x)} \right|_1^2 = 2 + \left. {{x^3}} \right|_1^2 = 2 + 7 = 9$

Câu 12. Cho hàm số $f\left( x \right)$. Biết $f\left( 0 \right) = 1$ và $f’\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{3}, \forall x \in \mathbb{R}$, khi đó $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} $ bằng

A. $\frac{{93}}{4}$ B. $\frac{{47}}{2}$  C. $23$ D. $\frac{{91}}{4}$

Lời giải

Chọn A.

Ta có $f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)dx = \int {\frac{{{x^2}}}{3}} } dx = {x^3} + C.$

Do $f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1$

Suy ra $f\left( x \right) = {x^3} + 1$

Suy ra $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {\left( {{x^3} + 1} \right)dx} $$ = \left( {\frac{{{x^4}}}{4} + x} \right)\left| \begin{gathered}
3 \hfill \\
0 \hfill \\
\end{gathered} \right. = \frac{{93}}{4}$

Câu 13. Cho hàm số $f\left( x \right)$. Biết $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 5$ và $f’\left( x \right) = 3cosx, \forall x \in \mathbb{R}$, khi đó $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} $ bằng

A. $\frac{{93}}{4}$ B. $\frac{{47}}{2}$

C. $23$ D. $\frac{{91}}{4}$

Lời giải

Chọn A.

Ta có $f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)dx = \int {3cosx} } dx = 3\sin x + C.$

Do $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 5 \Leftrightarrow 3\sin \frac{\pi }{2} + C = 5 \Rightarrow C = 2$

Suy ra $f\left( x \right) = 3\sin x + 2$

Vậy $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\sin x + 2} \right)dx} $

$ = \left. {\left( { – 3cosx + 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi + 3$

Câu 14. Cho hàm số $f\left( x \right)$. Biết $f\left( 0 \right) = 4$ và $f’\left( x \right) = 2{\sin ^2}\frac{x}{2} + 1, \forall x \in \mathbb{R}$, khi đó $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} $ bằng

A. $\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 8\sqrt 2 – 16}}{{16}}$ B. $\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 2\sqrt 2 – 4}}{{16}}$

C. $\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 8\sqrt 2 }}{{16}}$ D. $\frac{{{\pi ^2} + 16\pi – 16}}{{16}}.$

Lời giải

Chọn A.

Ta có $f\left( x \right) = \int {\left( {2{{\sin }^2}\frac{x}{2} + 1} \right)dx = \int {\left( {2 – \cos x} \right)} } dx$

$ = 2x – \sin x + C$

Vì $f\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 4$

Hay $f\left( x \right) = 2x – \sin x + 4.$

Suy ra $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2x – \sin x + 4} \right)dx} $

$ = \left( {{x^2} + \cos x + 4x} \right)\left| \begin{gathered}
\frac{\pi }{4} \hfill \\
0 \hfill \\
\end{gathered} \right. = \frac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \pi – 1$

$ = \frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 8\sqrt 2 – 16}}{{16}}.$

Câu 15. Cho hàm số $f(x)$. Biết $f(0) = 4$ và $f'(x) = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} + 3,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$, khi đó $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} $ bằng?

A. $\frac{{{\pi ^2} + 8\pi – 8 – \sqrt 2 }}{8}$. B. $\frac{{{\pi ^2} + 8\pi – 8 – 4\sqrt 2 }}{8}$.

C. $\frac{{{\pi ^2} + 6\pi + 8}}{8}$. D. $\frac{{{\pi ^2} + 8\pi – 4\sqrt 2 }}{8}$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có $f(x) = \int {{f^{^,}}(x)dx} = \int {(2{{\cos }^2}\frac{x}{2} + 3)dx} $$ = \int {(2.\frac{{1 + \cos x}}{2} + 3)dx} $$ = \int {(\cos x + 4)dx} = \sin x + 4x + C$

$ \Rightarrow f(x) = \sin x + 4x + C$

do$f(0) = 4 \Rightarrow C = 4$.

Vậy $f(x) = \sin x + 4x + 4$ nên $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(\sin x + 4x + 4} )dx$

$ = \left. {( – \cos x + 2{x^2} + 4x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{{\pi ^2} + 8\pi – 8 – 4\sqrt 2 }}{8}$.

Câu 16. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{e^{2x}}}&{ khi x \geqslant 0} \\
{{x^2} + x + 1}&{ khi x < 0}
\end{array}} \right.$. Biết tích phân $\int\limits_{ – 1}^1 {f(x)\;dx} = \frac{a}{b} + \frac{{{e^2}}}{c}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị $a + b + c$ bằng

A. $7$. B. $8$. C. $6$. D. $10$.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $I = \int\limits_{ – 1}^1 {f(x)dx} = \int\limits_{ – 1}^0 {\left( {{x^2} + x + 1} \right)dx} + \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} = \frac{5}{6} + \frac{{{e^2}}}{2} – \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{{{e^2}}}{2}$.

Vậy $a + b + c = 6$.

Câu 17. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 1}&{ khi x \geqslant 2} \\
{{x^2} – 2x + 3}&{ khi x < 2}
\end{array}} \right.$. Tích phân $I = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {f(x)d} x$ bằng:

A. $\frac{{23}}{3}$. B. $\frac{{23}}{6}$. C. $\frac{{17}}{6}$. D. $\frac{{17}}{3}$.

Lời giải

Chọn B

$I = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {f(x)d} x = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} – 2x + 3} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} – 1} \right)dx} } \right] = \frac{{23}}{6}$.

Câu 18. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x\left( {1 + {x^2}} \right)}&{ khi x \geqslant 3} \\
{\frac{1}{{x – 4}}}&{ khi x < 3}
\end{array}} \right.$. Tích phân $I = \int\limits_2^4 {f(t)dt} $ bằng:

A. $\frac{{40}}{3} – \ln 2$. B. $\frac{{95}}{6} + \ln 2$. C. $\frac{{189}}{4} + \ln 2$. D. $\frac{{189}}{4} – \ln 2$.

Lời giải

Chọn D

$I = \int\limits_2^4 {f(t)dt} = \int\limits_2^4 {f(x)d} x = \int\limits_2^3 {\frac{1}{{x – 4}}d} x + \int\limits_3^4 {x\left( {1 + {x^2}} \right)d} x = \frac{{189}}{4} – \ln 2$.

Câu 19. Cho số thực $a$ và hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
6x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \leqslant 1 \hfill \\
ax + 2\,\,\,\,khi\,\,\,x > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Biết hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Tích phân $\int_0^2 {f\left( x \right)dx} $ bằng:

A. $11$. B. $12$. C. $13$. D. $14$.

Lời giải

Chọn A

Do hàm số $f(x)$liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$

Suy ra, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = f(1)$

$ \Leftrightarrow a + 2 = 6 = 6 \Rightarrow a = 4$

Do đó $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
6x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \leqslant 1 \hfill \\
4x + 2\,\,\,\,khi\,\,x > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Vậy $\int_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int_1^2 {f\left( x \right)dx} $

$ = \int_0^1 {6xdx} + \int_1^2 {\left( {4x + 2} \right)dx} $$ = \left. {3{x^2}} \right|_0^1 + \left. {\left( {2{x^2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = 11$

Câu 20. Cho số thực $a$ và hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \leqslant 0 \hfill \\
a\left( {x – {x^2}} \right)\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Tính tích phân $\int_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} $ bằng:

A. $\frac{a}{6} – 1.$ B. $\frac{{2a}}{3} + 1.$ C. $\frac{a}{6} + 1.$ D. $\frac{{2a}}{3} – 1.$

Lời giải

Chọn A

Ta có, $\int_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} = \int_{ – 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int_0^1 {f\left( x \right)dx} $

$ = \int_{ – 1}^0 {2xdx} + \int_0^1 {a\left( {x – {x^2}} \right)dx} $

$ = \left. {\left( {{x^2}} \right)} \right|_{ – 1}^0 + \left. {a\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = – 1 + a\left( {\frac{1}{6}} \right) = \frac{a}{6} – 1$.

Câu 21. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 5,}&{x \geqslant 1} \\
{3{x^2} + 4,}&{x < 1}
\end{array}.} \right.$ Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn

$F(0) = 2$. Giá trị của $F( – 1) + 2F(2)$ bằng

A. 27 . B. 29 . C. 12 . D. 33 .

Lời giải

Ta có $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 5}&{ khi x \geqslant 1} \\
{3{x^2} + 4}&{ khi x < 1}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{F(x) = {x^2} + 5x + {C_1}}&{x \geqslant 1} \\
{F(x) = {x^3} + 4x + {C_2}}&{x < 1}
\end{array}} \right.$

Vì $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0) = 2$ nên ${C_2} = 2 \Rightarrow F(x) = {x^3} + 4x + 2$.

Vì $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $F(x)$ liên tục tại $x = 1$ nên:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} F(x) = F(1) \Rightarrow 6 + {C_1} = 7 \Rightarrow {C_1} = 1$

Vậy ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{F(x) = {x^2} + 5x + 2}&{x \geqslant 1} \\
{F(x) = {x^3} + 4x + 1}&{x < 1}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow F( – 1) + 2F(2) = – 3 + 2.15 = 27$

Câu 22. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x – 1 khi \,\,x \geqslant 1} \\
{3{x^2} – 2 khi \,\, x < 1}
\end{array}} \right.$. Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn

$F(0) = 2$. Giá trị của $F( – 1) + 2\;F(2)$ bằng

A. $9$. B. 15 . C. 11 D. 6

Lời giải

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Với $x \geqslant 1$ thì $\int f (x)dx = \int {(2x – 1)} dx = {x^2} – x + {C_1}$

Với $x < 1$ thì $\int f (x)dx = \int {\left( {3{x^2} – 2} \right)} dx = {x^3} – 2x + {C_2}$

Mà $F(0) = 2$ nên ${C_2} = 2$.

Khi đó $F(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – x + {C_1}}&{ khi x \geqslant 1} \\
{{x^3} – 2x + 2}&{ khi x < 1}
\end{array}} \right.$

Đồng thời $F(x)$ cũng liên tục trên $\mathbb{R}$ nên: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = F(1) = 1 \Leftrightarrow {C_1} = 1$

Do đó $F(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – x + 1\quad khi x \geqslant 1} \\
{{x^3} – 2x + 2 khi x < 1}
\end{array}} \right.$

Do đó $F(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – x + 1\;\,\,\,khi\;x \geqslant 1} \\
{{x^3} – 2x + 2\,\,\;khi\;x < 1}
\end{array}} \right.$

Vậy: $F( – 1) + 2\;F(2) = 3 + 2.3 = 9$.