Trắc Nghiệm Bài 18 Lũy Thừa Với Mũ Số Thực Mức Thông Hiểu Giải Chi Tiết

Trắc nghiệm bài 18 Lũy thừa với mũ số thực mức thông hiểu giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Câu 1. Cho $x,y > 0$ và $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Tìm đẳng thức sai dưới đây.
A. ${(xy)^\alpha } = {x^\alpha } \cdot {y^\alpha }$.
B. ${x^\alpha } + {y^\alpha } = {(x + y)^\alpha }$.
C. ${\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \beta }}$.
D. ${x^\alpha } \cdot {x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: Theo tính chất của lũy thừa thì đẳng thức ${x^\alpha } + {y^\alpha } = {(x + y)^\alpha }$ Sai.

Câu 2. Cho các số thực $a,b,m,n(a,b > 0)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$.
B. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m + n}}$.
C. ${(a + b)^m} = {a^m} + {b^m}$.
D. ${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}} \Rightarrow $ Loại A

${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m \cdot n}} \Rightarrow $Loại B

${(1 + 1)^2} \ne {1^2} + {1^2} \Rightarrow $ Loại $C$

${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}} \Rightarrow $ Chọn D

Câu 3. Với $\alpha $ là số thực bất kì, mệnh đề nào sau đây sai?
A. $\sqrt {{{10}^\alpha }} = {(\sqrt {10} )^\alpha }$.
B. $\sqrt {{{10}^\alpha }} = {10^{\frac{\alpha }{2}}}$.
C. ${\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {(100)^\alpha }$.
D. ${\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {(10)^{{\alpha ^2}}}$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: Theo định nghĩa và các tính chất của lũy thừa, ta thấy $A,B,C$ là các mệnh đề đúng.

Xét mệnh đề $D$ : với $\alpha = 1$, ta có: ${\left( {{{10}^1}} \right)^2} = 100 \ne {(10)^{{1^2}}} = 10$ nên mệnh đề $D$ sai.

Câu 4. Rút gọn biểu thức $Q = {B^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{B}$ với $B > 0$.
A. $Q = {B^{ – \frac{4}{3}}}$
B. $Q = {B^{\frac{4}{3}}}$
C. $Q = {B^{\frac{5}{9}}}$
D. $Q = {B^2}$

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $Q = {B^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{B} = {B^{\frac{5}{3}}}:{B^{\frac{1}{3}}} = {B^{\frac{4}{3}}}$

Câu 5. Rút gọn biểu thức $P = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x}$ với $x > 0$.
A. $P = \sqrt x $
B. $P = {x^{\frac{1}{8}}}$
C. $P = {x^{\frac{2}{9}}}$
D. $P = {x^2}$

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $P = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot {x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x $

Câu 6. Cho biểu thức $P = {x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x}$ với $x > 0$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $P = x$
B. $P = {x^{\frac{{11}}{6}}}$
C. $P = {x^{\frac{7}{6}}}$
D. $P = {x^{\frac{5}{6}}}$

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $P = {x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = x$

Câu 7. Cho biểu thức $P = \sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{{{x^2} \cdot \sqrt {{x^3}} }}}}$, với $x > 0$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $P = {x^{\frac{2}{3}}}$
B. $P = {x^{\frac{1}{2}}}$
C. $P = {x^{\frac{{13}}{{24}}}}$
D. $P = {x^{\frac{1}{4}}}$

Lời giải

Chọn C.

Ta có, với $x > 0:P = \sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{{{x^2} \cdot \sqrt {{x^3}} }}}} = \sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{{{x^2} \cdot {x^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{{{x^{\frac{7}{2}}}}}}} = \sqrt[4]{{x \cdot {x^{\frac{7}{6}}}}} = \sqrt[4]{{{x^{\frac{{13}}{6}}}}} = {x^{\frac{{13}}{{24}}}}$.

Câu 8. Cho a là số thực dương. Viết và rút gọn biểu thức ${a^{\frac{3}{{2024}}}} \cdot \sqrt[{2024}]{a}$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Tìm số mũ của biểu thức rút gọn đó.
A. $\frac{1}{{506}}$.
B. $\frac{1}{{1009}}$.
C. $\frac{3}{{1009}}$.
D. $\frac{3}{{{{2024}^2}}}$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: ${a^{\frac{3}{{2024}}}} \cdot \sqrt[{2024}]{a} = {a^{\frac{3}{{2024}}}} \cdot {a^{\frac{1}{{2024}}}} = {a^{\frac{4}{{2024}}}} = {a^{\frac{1}{{506}}}}$.

Vậy số mũ của biểu thức rút gọn bằng $\frac{1}{{506}}$.

Câu 9. Biểu thức $P = \sqrt[3]{{x\sqrt[5]{{{x^2}\sqrt x }}}} = {x^\alpha }$ (với $x > 0$ ), giá trị của $\alpha $ là
A. $\frac{1}{2}$.
B. $\frac{5}{2}$.
C. $\frac{9}{2}$.
D. $\frac{3}{2}$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $P = \sqrt[3]{{x\sqrt[5]{{{x^2}\sqrt x }}}} = \sqrt[3]{{x\sqrt[5]{{{x^2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{x \cdot {{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{5}}}}} = {\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{1}{2}}} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{2}$.

Câu 10. Cho biểu thức $P = \sqrt[3]{{x \cdot \sqrt[4]{{{x^3}\sqrt x }}}}$, với $x > 0$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $P = {x^{\frac{1}{2}}}$.
B. $P = {x^{\frac{7}{{12}}}}$.
C. $P = {x^{\frac{5}{8}}}$.
D. $P = {x^{\frac{7}{{24}}}}$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $P = \sqrt[3]{{x \cdot \sqrt[4]{{{x^3}\sqrt x }}}} = {x^{\frac{5}{8}}}$

Câu 11. Cho biểu thức $P = {x^{ – \frac{3}{4}}} \cdot \sqrt {\sqrt {{x^5}} } ,x > 0$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $P = {x^{ – 2}}$
B. $P = {x^{ – \frac{1}{2}}}$
C. $P = {x^{\frac{1}{2}}}$
D. $P = {x^2}$

Lời giải

Chọn C.

Ta có $P = {x^{ – \frac{3}{4}}} \cdot \sqrt {\sqrt {{x^5}} } = {x^{ – \frac{3}{4}}} \cdot {x^{\frac{5}{4}}} = {x^{ – \frac{3}{4} + \frac{5}{4}}} = {x^{\frac{1}{2}}}$.

Câu 12. Cho biểu thức $\sqrt[5]{{8\sqrt {2\sqrt[3]{2}} }} = {2^{\frac{m}{n}}}$, trong đó $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Gọi $P = {m^2} + {n^2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $P \in \left( {330;340} \right)$.
B. $P \in \left( {350;360} \right)$.
C. $P \in \left( {260;370} \right)$.
D. $P \in \left( {340;350} \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $\sqrt[5]{{8\sqrt {2\sqrt[3]{2}} }} = \sqrt[5]{{{2^3}\sqrt {2\sqrt[3]{2}} }} = {2^{\frac{3}{5}}} \cdot {2^{\frac{1}{{10}}}} \cdot {2^{\frac{1}{{30}}}} = {2^{\frac{3}{5} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{30}}}} = {2^{\frac{{11}}{{15}}}}$

$ \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{{11}}{{15}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 11} \\
{n = 15}
\end{array} \Rightarrow P = {m^2} + {n^2} = {{11}^2} + {{15}^2} = 346} \right.$.

Câu 13. Giá trị của biểu thức $P = \frac{{{2^3} \cdot {2^{ – 1}} + {5^{ – 3}} \cdot {5^4}}}{{{{10}^{ – 3}}:{{10}^{ – 2}} – {{(0,1)}^0}}}$ là
A. -9 .
B. -10 .
C. 10 .
D. 9 .

Lời giải

Chọn B.

Ta có $P = \frac{{{2^3} \cdot {2^{ – 1}} + {5^{ – 3}} \cdot {5^4}}}{{{{10}^{ – 3}}:{{10}^{ – 2}} – {{(0,1)}^0}}} = \frac{{{2^{3 – 1}} + {5^{ – 3 + 4}}}}{{{{10}^{ – 3 + 2}} – 1}} = \frac{{4 + 5}}{{{{10}^{ – 1}} – 1}} = \frac{9}{{\frac{1}{{10}} – 1}} = – 10$. .

Câu 14. Cho biểu thức $P = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}$. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là đúng?
A. $P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{8}}}$.
B. $P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{18}}$.
C. $P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{18}}}}$.
D. $P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $P = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}} = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} + 1}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}$.

Câu 15. Tính giá trị của biểu thức $P = {(7 + 4\sqrt 3 )^{2023}}{(4\sqrt 3 – 7)^{2022}}$
A. $P = {(7 + 4\sqrt 3 )^{2016}}$
B. $P = 1$
C. $P = 7 – 4\sqrt 3 $
D. $P = 7 + 4\sqrt 3 $

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $P = {(7 + 4\sqrt 3 )^{2023}}{(4\sqrt 3 – 7)^{2022}} = \left( {7 + 4\sqrt 3 } \right) \cdot {[\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)\left( {4\sqrt 3 – 7} \right)]^{2022}}$

$ = \left( {7 + 4\sqrt 3 } \right){( – 1)^{2022}} = 7 + 4\sqrt 3 $.

Câu 16. Tính giá trị biểu thức $P = \frac{{{{(4 + 2\sqrt 3 )}^{2024}} \cdot {{(1 – \sqrt 3 )}^{2023}}}}{{{{(1 + \sqrt 3 )}^{2025}}}}$.
A. $P = – {2^{2023}}$.
B. $P = – 1$.
C. $P = – {2^{2025}}$.
D. $P = {2^{2024}}$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $P = \frac{{{{(1 + \sqrt 3 )}^{2.2024}} \cdot {{(1 – \sqrt 3 )}^{2023}}}}{{{{(1 + \sqrt 3 )}^{2025}}}} = {[\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 – \sqrt 3 } \right)]^{2023}} = – {2^{2023}}$.

Câu 17. Giá trị biểu thức ${(3 + 2\sqrt 2 )^{2024}} \cdot {(\sqrt 2  – 1)^{2025}}$ bằng
A. ${(\sqrt 2  + 1)^{2024}}$.
B. ${(\sqrt 2  – 1)^{2024}}$.
C. ${(\sqrt 2  – 1)^{2023}}$.
D. ${(\sqrt 2  + 1)^{2023}}$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có ${(3 + 2\sqrt 2 )^{2024}} \cdot {(\sqrt 2  – 1)^{2025}} = {\left[ {{{(\sqrt 2  + 1)}^2}} \right]^{2024}} \cdot {(\sqrt 2  – 1)^{2025}}$

$ = {(\sqrt 2  + 1)^{2024}} \cdot {(\sqrt 2  + 1)^{2024}} \cdot {(\sqrt 2  – 1)^{2024}} \cdot \left( {\sqrt 2  – 1} \right)$

$ = {(\sqrt 2  + 1)^{2024}} \cdot {[\left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left( {\sqrt 2  – 1} \right)]^{2024}}.\left( {\sqrt 2  – 1} \right)$

$ = {(\sqrt 2  + 1)^{2024}}\left( {\sqrt 2  – 1} \right)$

$ = {(\sqrt 2  + 1)^{2023}}.(\sqrt 2  + 1).\left( {\sqrt 2  – 1} \right) = {(\sqrt 2  + 1)^{2023}}$

Câu 18. Rút gọn biểu thức $A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}} \cdot {a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4} \cdot \sqrt[7]{{{a^{ – 5}}}}}}$ với $a > 0$ ta được kết quả $A = {a^{\frac{m}{n}}}$ trong đó $m,n \in {N^{\text{*}}}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${m^2} – {n^2} = 312$.
B. ${m^2} + {n^2} = 543$.
C. ${m^2} – {n^2} = – 312$.
D. ${m^2} + {n^2} = 409$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}} \cdot {a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4} \cdot \sqrt[7]{{{a^{ – 5}}}}}} = \frac{{{a^{\frac{7}{3}}} \cdot {a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4} \cdot {a^{\frac{{ – 5}}{7}}}}} = \frac{{{a^6}}}{{{a^{\frac{{23}}{7}}}}} = {a^{\frac{{19}}{7}}}$

Mà $A = {a^{\frac{m}{n}}},m,n \in {N^{\text{*}}}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản

$ \Rightarrow m = 19,n = 7$

$ \Rightarrow {m^2} – {n^2} = 312$

Câu 19. Cho biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 5 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$. Rút gọn $P$ được kết quả:
A. ${a^5}$.
B. $a$.
C. ${a^3}$.
D. ${a^4}$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $P = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 5 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1 + 2 – \sqrt 5 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 2 – 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 2} \right)}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ – 2}}}} = {a^5}$.

Câu 20. Rút gọn biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$ với $a > 0$.
A. $P = a$.
B. $P = {a^3}$.
C. $P = {a^4}$.
D. $P = {a^5}$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1 + 2 – \sqrt 3 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 2 – 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 2} \right)}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ – 2}}}} = {a^5}$.

Câu 21. Rút gọn biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$ với $a > 0$
A. $P = a$
B. $P = {a^3}$
C. $P = {a^4}$
D. $P = {a^5}$

Lời giải

Chọn D.

Ta có $P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{2 – 4}}}} = {a^5}$

Câu 22. Cho $a > 0,b > 0$, giá trị của biểu thức $T = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\frac{a}{b}} – \sqrt {\frac{b}{a}} } \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}}$ bằng
A. 1 .
B. $\frac{1}{2}$.
C. $\frac{2}{3}$.
D. $\frac{1}{3}$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có

$T = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\frac{a}{b}} – \sqrt {\frac{b}{a}} } \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}}$

$ = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\frac{{a – b}}{{\sqrt {ab} }}} \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}} $

$= 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {1 + \frac{{{{(a – b)}^2}}}{{4ab}}} \right]^{\frac{1}{2}}}$

$ = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {\frac{{{{(a + b)}^2}}}{{4ab}}} \right]^{\frac{1}{2}}} $

$= 2\frac{1}{{a + b}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{\left( {a + b} \right)}}{{2{{(ab)}^{\frac{1}{2}}}}} = 1$.

Câu 23. Cho hai số thực dương $a,b$. Rút gọn biểu thức $A = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}}$ ta thu được $A = {a^m}.{b^n}$. Tích của m.n là
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{{21}}$
C. $\frac{1}{9}$
D. $\frac{1}{{18}}$

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

$A = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} $

$= \frac{{{a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} $

$= \frac{{{a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{3}}}\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} $

$= {a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{3}}}$

$ \Rightarrow m = \frac{1}{3},n = \frac{1}{3} \Rightarrow m \cdot n = \frac{1}{9}$.

Câu 24. Cho $a,b$ là các số thực dương. Rút gọn $P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}b + a{b^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}$ ta được
A. $P = ab$.
B. $P = a + b$.
C. $P = {a^4}b + a{b^4}$.
D. $P = ab\left( {a + b} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}b + a{b^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = \frac{{a \cdot {a^{\frac{1}{3}}}b + ab \cdot {b^{\frac{1}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}}} = \frac{{ab\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}}} = ab$

Câu 25. Cho a là số thực dương. Đơn giản biểu thức $P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{{ – 1}}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{{ – 1}}{4}}}} \right)}}$.
A. $P = a\left( {a + 1} \right)$.
B. $P = a – 1$.
C. $P = a$.
D. $P = a + 1$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

$P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{{ – 1}}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{{ – 1}}{4}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}} \cdot {a^{\frac{{ – 1}}{3}}} + {a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{{ – 1}}{4}}}}} = \frac{{a + {a^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a\left( {a + 1} \right)}}{{a + 1}} = a$.

Câu 26. Cho hàm số $f\left( a \right) = \frac{{{a^{ – \frac{1}{3}}}\left( {\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{{{a^4}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{8}}}\left( {\sqrt[8]{{{a^3}}} – \sqrt[8]{{{a^{ – 1}}}}} \right)}}$ với $a > 0,a \ne 1$. Tính giá trị $M = f\left( {{{2023}^{2022}}} \right)$
A. $M = {2023^{1011}} – 1$
B. $M = – {2023^{1011}} – 1$
C. $M = {2023^{2022}} – 1$
D. $M = 1 – {2023^{2022}}$

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $f\left( a \right) = \frac{{{a^{ – \frac{1}{3}}}\left( {\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{{{a^4}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{8}}}\left( {\sqrt[8]{{{a^3}}} – \sqrt[8]{{{a^{ – 1}}}}} \right)}} = \frac{{1 – a}}{{\sqrt a – 1}} = – 1 – \sqrt a $ nên $M = f\left( {{{2023}^{2022}}} \right) = – 1 – \sqrt {{{2023}^{2022}}} = – 1 – {2023^{1011}}$

Câu 27. Cho $a,b$ là hai số thực dương. Rút gọn biểu thức có dạng $\frac{{{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}}{{2 + \sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}}} = {(ab)^{\frac{m}{n}}}$ với $m,n \in \mathbb{Z}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản . Giá trị của $P = m + n$ là :
A. $P = 2$.
B. $P = 3$.
C. $P = 4$.
D. $P = 5$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $\frac{{{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}}{{2 + \sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}}} = \frac{{{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{2{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}} + {b^{\frac{2}{3}}}}}$

$ = \frac{{{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}} = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} = {(ab)^{\frac{1}{3}}}$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1} \\
{n = 3}
\end{array} \Rightarrow P = m + n = 4} \right.$

Câu 28. Cho $a,b$ là hai số thực dương. Rút gọn biểu thức có dạng $\left[ {\frac{{a – b}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{4}}}}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}}} \right]:{\left( {{a^{\frac{1}{4}}} – {b^{\frac{1}{4}}}} \right)^{ – 1}} = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^{\frac{m}{n}}}$ với $m,n \in \mathbb{Z}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản . Giá trị của $P = 2m + 3n$ là :
A. $P = 8$.
B. $P = 10$.
C. $P = 7$.
D. $P = 5$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $C = \left[ {\frac{{a – b}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{4}}}}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}}} \right]:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} – {b^{\frac{1}{4}}}} \right)$

$ = \left[ {\frac{{a – b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}}} \right]:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} – {b^{\frac{1}{4}}}} \right)$

$ = \frac{{a – b – a + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}} \cdot \frac{1}{{\left( {{a^{\frac{1}{4}}} – {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}} = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}}\left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}}}} \right) = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^{\frac{1}{2}}}$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = 1} \\
{n = 2}
\end{array} \Rightarrow P = 2m + 3n = 8} \right.$

Câu 29. Cho $a,b$ là hai số thực dương. Rút gọn biểu thức có dạng $\left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 2}}{{a + 2{a^{\frac{1}{2}}}}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – 1}}{{a – 1}}} \right)\left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 1}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}}} \right) = {a^{\frac{m}{n}}}$ với $m,n \in \mathbb{Z}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản . Giá trị của $P = m \cdot n$ là :
A. $P = 2$.
B. $P = – 3$.
C. $P = – 2$.
D. $P = 4$.

Lời giải

Chọn C.

$\left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 2}}{{a + 2{a^{\frac{1}{2}}}}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – 1}}{{a – 1}}} \right)\left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 1}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}}} \right)$

$ = \left[ {\frac{{\sqrt a + 2}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 2} \right)}} – \frac{{\sqrt a – 1}}{{\left( {\sqrt a – 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right] \cdot \left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}} \right)$

$\; = \left[ {\frac{1}{{\sqrt a }} – \frac{1}{{\sqrt a + 1}}} \right] \cdot \left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}} \right)$

$\; = \left( {\frac{{\sqrt a + 1 – 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right) \cdot \left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}} \right)$

$ = \left( {\frac{1}{{\sqrt a + 1}}} \right) \cdot \left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}} \right) = \frac{1}{{\sqrt a }} = {a^{ – \frac{1}{2}}}$

$\; \Rightarrow P = m \cdot n = – 2$

Câu 30. Cho $a,x$ là hai số thực dương. Rút gọn biểu thức có dạng $\frac{{\frac{{a + x}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{{x^2}}}}} – \frac{{\sqrt[3]{{a{x^2}}} – \sqrt[3]{{{a^2}x}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{ax}} + \sqrt[3]{{{x^2}}}}}}}{{\sqrt[6]{a} – \sqrt[6]{x}}} – \sqrt[6]{x} = {a^{\frac{m}{n}}}$ với $m,n \in \mathbb{Z}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản . Giá trị của $P = 2m + n$ là :
A. $P = 8$.
B. $P = 10$.
C. $P = 7$.
D. $P = 5$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $\frac{{\frac{{a + x}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{{x^2}}}}} – \frac{{\sqrt[3]{{a{x^2}}} – \sqrt[3]{{{a^2}x}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{ax}} + \sqrt[3]{{{x^2}}}}}}}{{\sqrt[6]{a} – \sqrt[6]{x}}} – \sqrt[6]{x}$ $ = \frac{{{{(\sqrt[3]{a})}^3} + {{(\sqrt[3]{x})}^3}}}{{\left( {\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{x}} \right)\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{x}} \right)}} – \frac{{\sqrt[3]{{ax}}\left( {\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{x}} \right)}}{{{{(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{x})}^2}}} – \sqrt[6]{x}$

$ = \frac{{\frac{{{{(\sqrt[3]{a})}^2} – \sqrt[3]{{ax}} + {{(\sqrt[3]{x})}^2}}}{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{x}}} – \frac{{\sqrt[3]{{ax}}}}{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{x}}} – \sqrt[6]{x}}}{{\sqrt[6]{a} – \sqrt[6]{x}}}$

$ = \frac{{{{(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{x})}^2}}}{{\left( {\sqrt[6]{a} – \sqrt[6]{x}} \right)\left( {\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{x}} \right)}} – \sqrt[6]{x}$

$ = \frac{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{x}}}{{\sqrt[6]{a} – \sqrt[6]{x}}} – \sqrt[6]{x} = \frac{{{{(\sqrt[6]{a})}^2} – {{(\sqrt[6]{x})}^2}}}{{\sqrt[6]{a} – \sqrt[6]{x}}} – \sqrt[6]{x}$

$ = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{x} – \sqrt[6]{x} = {a^{\frac{1}{6}}}$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1} \\
{n = 6}
\end{array} \Rightarrow P = 2m + n = 8} \right.$