Các Dạng Trắc Nghiệm Đúng Sai Khoảng Tứ Phân Vị Phương Sai

Các dạng trắc nghiệm đúng sai khoảng tứ phân vị phương sai mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Câu 1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau:

Nhóm	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Tần số	12	2	3	9

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 40.

b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\frac{{700}}{{13}}$.

c) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc thuộc nhóm [40; 60).

d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng $\frac{{985}}{{16}}$.

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Sai	Sai	Sai	Đúng

a) Khoảng biến thiên R = 100 – 20 = 80 nên a sai.

b) Cỡ mẫu là: 12 + 2 + 3 + 9 = 26.

$\overline x = \frac{{12.30 + 2.50 + 3.70 + 9.90}}{{26}} = \frac{{740}}{{13}}$ nên b sai.

c) Gọi x₁; x₂; …; x₂₁ là giá trị của mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: $\frac{{n + 1}}{4} = \frac{{26 + 1}}{4} = 6,75$

Xem cách tính nhanh Q₁ và Q₃ tại đây

Suy ta, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${Q_1} = {x_7} \in $ [20; 40) nên c sai.

d) Ta có:${x_1};…;{x_{12}} \in $ [20; 40), ${x_{13}};…;{x_{14}} \in $ [40; 60), ${x_{15}};…;{x_{17}} \in $ [60; 80), ${x_{18}};…;{x_{26}} \in $ [80; 100)

* Tính ${Q_1}$

Ta có: $\frac{{n + 1}}{4} = \frac{{26 + 1}}{4} = 6,75$

Suy ta, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${Q_1} = {x_7} \in $ [20; 40) $ \Rightarrow p = 1$.

Xem cách tính nhanh Q₁ và Q₃ tại đây

Áp dụng công thức ${Q_r} = {a_p} + \frac{{\frac{{rn}}{4} – \left( {{m_1} + … + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}}\left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$

Ta có: ${Q_1} = {a_1} + \frac{{\frac{n}{4}}}{{{m_1}}}\left( {{a_2} – {a_1}} \right) = 20 + \frac{{\frac{{26}}{4}}}{{12}}\left( {40 – 20} \right) = \frac{{185}}{6}$

* Tính ${Q_3}$

Ta có: $\frac{{3(n + 1)}}{4} = \frac{{3(26 + 1)}}{4} = 20,25$

Suy ta, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${Q_3} = {x_{20}} \in $ [80; 100) $ \Rightarrow p = 4$.

Áp dụng công thức ${Q_r} = {a_p} + \frac{{\frac{{rn}}{4} – \left( {{m_1} + … + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}}\left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$

Ta có: ${Q_3} = {a_4} + \frac{{\frac{{3n}}{4} – \left( {{m_1} + {m_2} + {m_3}} \right)}}{{{m_4}}}\left( {{a_5} – {a_4}} \right)$

$ = 80 + \frac{{\frac{{3.26}}{4} – \left( {12 + 2 + 3} \right)}}{9}\left( {100 – 80} \right) = \frac{{770}}{9}$

Vậy, khoảng tứ phân vị là ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = \frac{{770}}{9} – \frac{{185}}{6} = \frac{{985}}{{16}}$ nên d đúng.

Câu 2. Một bác tài xế thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) bác đã lái xe mỗi ngày trong một tháng ở bảng sau:

Độ dài quãng đường (km)	[50; 100)	[100; 150)	[150; 200)	[200; 250)	[250; 300)
Số ngày	5	10	9	4	2

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 250 (km).

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng $79,17$.

c) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $145$.

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng $55,68$.

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Đúng	Sai	Đúng

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: R = 300 – 50 = 250 (km).

Cỡ mẫu n = 5 + 10 + 9 + 4 + 2 = 30.

Gọi ${x_1};…;{x_{30}}$ là mẫu số liệu gốc về độ dài quãng đường bác tài xế đã lái xe mỗi ngày trong một tháng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có

${x_1};…;{x_5} \in $ [50; 100), ${x_6};…;{x_{15}} \in $ [100; 150), ${x_{16}};…;{x_{24}} \in $ [150; 200), ${x_{25}};…;{x_{28}} \in $ [200; 250), ${x_{29}};{x_{30}} \in $250; 300).

* Tính ${Q_1}$

Ta có: $\frac{{n + 1}}{4} = \frac{{30 + 1}}{4} = 7,75$

Suy ra. tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_8} \in $ [100; 150)$ \Rightarrow p = 2$.

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 100 + \frac{{\frac{{30}}{4} – 5}}{{10}}\left( {150 – 100} \right) = 112,5$

* Tính ${Q_3}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{23}} \in $ [150; 200). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 100 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} – \left( {5 + 10} \right)}}{9}\left( {200 – 150} \right) = \frac{{575}}{3}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = \frac{{575}}{3} – 112,5 \approx 79,17$

Ta có bảng sau:

Độ dài quãng đường (km)	[50; 100)	[100; 150)	[150; 200)	[200; 250)	[250; 300)
Giá trị đại diện	75	125	175	225	275
Số ngày	5	10	9	4	2

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline x = \frac{{5.75 + 10.125 + 9.175 + 4.225 + 2.275}}{{30}} = 155$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${S^2} = $$\frac{1}{{30}}\left[ {{{5.75}^2} + {{10.125}^2} + {{9.175}^2} + {{4.225}^2} + {{2.275}^2}} \right]$$ – {155^2} = 3100$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {3100} \approx 55,68$.

Câu 3. Kết quả khảo sát năng suất (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được minh họa ở biểu đồ sau:

a) Có 25 thửa ruộng đã được khảo sát.

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 1,2 (tấn/ha).

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $0,4675$.

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $0,086656$.

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Đúng	Đúng	Đúng

a) Số thửa ruộng được khảo sát là: n = 3 + 4 + 6 + 5 + 5 + 2 = 25.

b) Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu như sau:

Năng suất (tấn/ha)	[5,5; 5,7)	[5,7; 5,9)	[5,9; 6,1)	[6,1; 6,3)	[6,3; 6,5)	[6,5; 6,7)
Giá trị đại diện (tấn/ha)	5,6	5,8	6,0	6,2	6,4	6,6
Tần số tương đối	3	4	6	5	5	2

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là: R = 6,7 – 5,5 = 1,2 (tấn/ha).

c) Cỡ mẫu n = 25.

Gọi ${x_1};…;{x_{25}}$là mẫu số liệu gốc về năng suất của một số thửa ruộng được khảo sát được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có

${x_1};{x_2};{x_3} \in $ [5,5; 5,7), ${x_4};…;{x_7} \in $ [5,7; 5,9), ${x_8};…;{x_{13}} \in $ [5,9; 6,1), ${x_{14}};…;{x_{18}} \in $ [6,1; 6,3),${x_{19}};…;{x_{23}} \in $ [6,3); 6,5),

${x_{24}};{x_{25}} \in $ [6,5; 6,7).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_6} + {x_7}}}{2} \in $ [5,7; 5,9). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 5,7 + \frac{{\frac{{25}}{4} – 3}}{4}\left( {5,9 – 5,7} \right) = 5,8625$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{19}} + {x_{20}}}}{2} \in $ [6,3; 6,5). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 6,3 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} – \left( {3 + 4 + 6 + 5} \right)}}{5}\left( {6,5 – 6,3} \right) = 6,33$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = 6,33 – 5,8625 = 0,4675$

d) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline x = \frac{{3.5,6 + 4.5,8 + 6.6,2 + 5.6,4 + 2.6,6}}{{25}}$$ = 6,088$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${S^2} = $$\frac{1}{{25}}\left[ {3.{{\left( {5,6} \right)}^2} + 4.{{\left( {5,8} \right)}^2} + 6.{{\left( {6,0} \right)}^2} + 5.{{\left( {6,2} \right)}^2} + 5.{{\left( {6,4} \right)}^2} + 2.{{\left( {6,6} \right)}^2}} \right]$$ – {\left( {6,088} \right)^2} = 0,086656$

Câu 4. Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được ghi lại ở bảng sau:

Thời gian (phút)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)	[10; 11)
Số học sinh trường X	8	10	13	10	9
Số học sinh trường Y	4	12	17	14	3

a) Nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường Y viết nhanh hơn.

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.

c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là $1,08$ và Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là $1,7584$.

d) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Đúng	Sai	Đúng

a) Ta có bảng sau:

Thời gian (phút)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)	[10; 11)
Giá trị đại diện	6,5	7,5	8,5	9,5	10,5
Số học sinh trường X	8	10	13	10	9
Số học sinh trường Y	4	12	17	14	3

 

Cỡ mẫu n_X = 8 + 10 + 13 + 10 + 9 = 50, n_Y = 4 + 12 + 17 + 14 + 3 = 50.

Thời gian trung bình hoàn thành một bài viết chính tả của học sinh trường X là:

${\overline x _X} = \frac{{6.6,5 + 10.7,5 + 13.8,5 + 10.9,5 + 9.10,5}}{{50}} = 8,54$

Thời gian trung bình hoàn thành một bài viết chính tả của học sinh trường Y là:

${\overline x _Y} = \frac{{4.6,5 + 12.7,5 + 17.8,5 + 14.9,5 + 3.10,5}}{{50}} = 8,5$

Vì ${\overline x _X} > {\overline x _Y}$ nên nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường Y viết nhanh hơn.

b)

• Xét mẫu số liệu của học sinh trường X:

Gọi ${x_1};{x_2};…;{x_{50}}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 trường X được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có

${x_1};…;{x_8} \in $ [6; 7), ${x_9};…;{x_{18}} \in $ [7; 8), ${x_{19}};…;{x_{31}} \in $ [8; 9), ${x_{32}};…;{x_{41}} \in $ [9; 10), ${x_{42}};…;{x_{50}} \in $ [10; 11).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_{13}} \in $ [7; 8). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

${Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{50}}{4} – 8}}{{10}}\left( {8 – 7} \right) = 7,45$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{38}} \in $ [9; 10). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

${Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} – \left( {8 + 10 + 13} \right)}}{{10}}\left( {10 – 9} \right) = 9,65$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là: ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = 9,65 – 7,45 = 2,2$

• Xét mẫu số liệu của học sinh trường Y:

Gọi ${y_1};…;{y_{50}}$là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 trường Y được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có

${y_1};…;{y_4} \in $ [6; 7), ${y_5};…;{y_{16}} \in $ [7; 8), ${y_{17}};…;{y_{33}} \in $ [8; 9), ${y_{34}};…;{y_{47}} \in $ [9; 10), ${y_{48}};…;{y_{50}} \in $ [10; 11).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${y_{13}} \in $ [7; 8). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

$Q_{_1}’ = 7 + \frac{{\frac{{50}}{4} – 4}}{{12}}\left( {8 – 7} \right) = \frac{{185}}{{24}}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${y_{38}} \in $ [9; 10). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

$Q_{_3}’ = 7 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} – \left( {4 + 12 + 17} \right)}}{{14}}\left( {10 – 9} \right) = \frac{{261}}{{28}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = \frac{{261}}{{28}} – \frac{{185}}{{24}} \approx 1,61$

Vì ∆_Q = 2,2 > ∆‘_Q ≈ 1,61 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.

c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

$S_X^2 = \frac{1}{{50}}\left[ {8.{{\left( {6,5} \right)}^2} + 10.{{\left( {7,5} \right)}^2} + 13.{{\left( {8,5} \right)}^2} + 10.{{\left( {9,5} \right)}^2} + 9.{{\left( {10,5} \right)}^2}} \right] – {\left( {8,54} \right)^2} = 1,7584$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

$S_Y^2 = \frac{1}{{50}}\left[ {4.{{\left( {6,5} \right)}^2} + 12.{{\left( {7,5} \right)}^2} + 17.{{\left( {8,5} \right)}^2} + 14.{{\left( {9,5} \right)}^2} + 3.{{\left( {10,5} \right)}^2}} \right] – {\left( {8,5} \right)^2} = 1,08$

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là: ${S_X} = \sqrt {S_X^2} = \sqrt {1,7584} \approx 1,33$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là: $S_Y^{} = \sqrt {S_Y^2} = \sqrt {1,08} \approx 1,04$

Vì ${S_X} \approx 1,33 > S_Y^{} \approx 1,04$ nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.

Câu 5. Bảng sau thống kê lại tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm từ 2002 đến 2021 tại hai trạm quan trắc đặt ở Nha Trang và Quy Nhơn.

a) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trạm quan trắc ở Nha Trang bằng $45$.

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn Nha Trang.

c) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trạm quan trắc ở Quy Nhơn bằng $242,5$.

d) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn Nha Trang..

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Sai	Đúng	Sai	Đúng

a) Cỡ mẫu n = 20.

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Nha Trang:

Gọi ${x_1};…;{x_{20}}$ là mẫu số liệu gốc về tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm 2022 đến 2021 tại trạm quan trắc đặt ở Nha Trang được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có

${x_1} \in $ [130; 160), ${x_2} \in $ [160; 190), ${x_3} \in $ [190; 220), ${x_4};…;{x_{11}} \in $  [220; 250), ${x_{12}};…;{x_{18}} \in $ [250; 280), ${x_{19}};{x_{20}} \in $ [280; 310).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2} \in $ [220; 250). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 220 + \frac{{\frac{{20}}{4} – \left( {1 + 1 + 1} \right)}}{8}\left( {250 – 220} \right) = 227,5$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2} \in $ [250; 280). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 250 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} – \left( {1 + 1 + 1 + 8} \right)}}{7}\left( {280 – 250} \right) = \frac{{1870}}{7}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = \frac{{1870}}{7} – 227,5 \approx 39,64$

•  Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Quy Nhơn:

Gọi ${y_1};…;{y_{20}}$ là mẫu số liệu gốc về tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm 2022 đến 2021 tại trạm quan trắc đặt ở Quy Nhơn được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có

${y_1} \in $ [160; 190), ${y_2};{y_3} \in $ [190; 220), ${y_4};…;{y_7} \in $ [220; 250), ${y_8};…;{y_{17}} \in $ [250; 280), ${y_{18}};…;{y_{20}} \in $ [280; 310).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{y_5} + {y_6}}}{2} \in $ [220; 250). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_{_1}’ = 200 + \frac{{\frac{{20}}{4} – \left( {1 + 2} \right)}}{4}\left( {250 – 200} \right) = 235$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{y_{15}} + {y_{16}}}}{2} \in $ [250; 280). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_{_3}’ = 250 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} – \left( {1 + 2 + 4} \right)}}{{10}}\left( {280 – 250} \right) = 274$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ∆‘_Q = Q‘₃ – Q‘₁ = 274 – 235 = 39.

b) Vì ∆_Q ≈ 39,64 > ∆‘_Q = 39 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn Nha Trang.

c) Ta có bảng sau:

Số giờ nắng	[130; 160)	[160; 190)	[190; 220)	[220; 250)	[250; 280)	[280; 310)
Giá trị đại diện	145	175	205	235	265	295
Số năm ở Nha Trang	1	1	1	8	7	2
Số năm ở Quy Nhơn	0	1	2	4	10	3

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Nha Trang:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline x _N} = \frac{{1.145 + 1.175 + 1.205 + 8.235 + 7.265 + 2.295}}{{20}} = 242,5$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_N^2 = $$\frac{1}{{20}}\left[ {{{1.145}^2} + {{1.175}^2} + {{1.205}^2} + {{8.235}^2} + {{7.265}^2} + {{2.295}^2}} \right]$$ – {\left( {242,5} \right)^2} = 1248,75$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S_N^{} = \sqrt {S_N^2} = \sqrt {1248,75} \approx 35,34$.

•  Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Quy Nhơn:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline x _Q} = \frac{{0.145 + 2.175 + 4.205 + 4.235 + 10.265 + 3.295}}{{20}} = 253$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_N^2 = \frac{1}{{20}}\left[ {{{0.145}^2} + {{1.175}^2} + {{2.205}^2} + {{4.235}^2} + {{10.265}^2} + {{3.295}^2}} \right] – {\left( {253} \right)^2} = 936$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S_Q^{} = \sqrt {S_Q^2} = \sqrt {936} \approx 30,59$.

d) Vì S_N ≈ 35,54 > S_N ≈ 30,59 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

Câu 6. Biểu đồ sau mô tả kết quả điều tra về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường A và b)

a) Giá trị đại điện cho mỗi nhóm và bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên là:

Điểm trung bình	[5; 6)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)
Giá trị đại diện	5,5	6,5	7,5	8,5	9,5
Số học sinh trường A	4	5	3	4	2
Số học sinh trường B	2	5	4	3	1

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của trường A là 2,275.

c) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường A có điểm trung bình đồng đều hơn trường b)

d) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn.

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Đúng	Sai	Đúng

a) Giá trị đại diện của nhóm [5; 6) là 5,5.

Giá trị đại diện của nhóm [6; 7) là 6,5.

Giá trị đại diện của nhóm [7; 8) là 7,5.

Giá trị đại diện của nhóm [8; 9) là 8,5.

Giá trị đại diện của nhóm [9; 10) là 9,5.

Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

Điểm trung bình	[5; 6)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)
Giá trị đại diện	5,5	6,5	7,5	8,5	9,5
Số học sinh trường A	4	5	3	4	2
Số học sinh trường B	2	5	4	3	1

b)

• Xét mẫu số liệu của trường A:

Cỡ mẫu n_A = 4 + 5 + 3 + 4 + 2 = 18.

Gọi ${x_1};…;{x_{18}}$ là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh trường A được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có

${x_1};…;{x_4} \in $ [5; 6), ${x_5};…;{x_9} \in $ [6; 7), ${x_{10}};…;{x_{12}} \in $ [7; 8), ${x_{13}};…;{x_{16}} \in $ [8; 9), ${x_{17}};{x_{18}} \in $ [9; 10).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_5} \in $ [6; 7). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 6 + \frac{{\frac{{18}}{4} – 4}}{5}\left( {7 – 6} \right) = 6,1$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{14}} \in $ [8; 9). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 8 + \frac{{\frac{{3.18}}{4} – \left( {4 + 5 + 3} \right)}}{4}\left( {9 – 8} \right) = 8,375$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 8,375 – 6,1 = 2,275.

•  Xét mẫu số liệu của trường B:

Cỡ mẫu n_B = 2 + 5 + 4 + 3 + 1 = 15.

Gọi ${y_1};…;{y_{20}}$ là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh trường B được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có

${y_1};{y_2} \in $ [5; 6), ${y_3};…;{y_7} \in $ [6; 7), ${y_8};…;{y_{11}} \in $ [7; 8),  ${y_{12}};…;{y_{14}} \in $ [8; 9), ${y_{15}} \in $ [9; 10).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${y_4} \in $ [6; 7). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_{_1}’ = 6 + \frac{{\frac{{15}}{4} – 2}}{5}\left( {7 – 6} \right) = 6,35$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${y_{12}} \in $ [8; 9). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:  $Q_{_3}’ = 8 + \frac{{\frac{{3.15}}{4} – \left( {2 + 5 + 4} \right)}}{3}\left( {9 – 8} \right) = \frac{{97}}{{12}}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\Delta _{_Q}’ = Q_{_3}’ – Q_{_1}’ = \frac{{97}}{{12}} – 6,35 \approx 1,73$

c) Vì ∆_Q = 2,275 > ∆‘_Q ≈ 1,73 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn.

d) • Xét mẫu số liệu của trường A:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline x _A} = \frac{{4.5,5 + 5.6,5 + 3.7,5 + 4.8,5 + 2.9,5}}{{18}} = \frac{{65}}{9}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_A^2 = $$\frac{1}{{18}}\left[ {4.{{\left( {5,5} \right)}^2} + 5.{{\left( {6,5} \right)}^2} + 3.{{\left( {7,5} \right)}^2} + 4.{{\left( {8,5} \right)}^2} + 2.{{\left( {9,5} \right)}^2}} \right]$$ – {\left( {\frac{{65}}{9}} \right)^2} = \frac{{569}}{{324}}$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S_A^{} = \sqrt {S_A^2} = \sqrt {\frac{{569}}{{324}}} \approx 1,33$.

• Xét mẫu số liệu của trường B:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline x _B} = \frac{{2.5,5 + 5.6,5 + 4.7,5 + 3.8,5 + 1.9,5}}{{15}} = \frac{{217}}{{30}}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_B^2 = $$\frac{1}{{15}}\left[ {2.{{\left( {5,5} \right)}^2} + 5.{{\left( {6,5} \right)}^2} + 4.{{\left( {7,5} \right)}^2} + 3.{{\left( {8,5} \right)}^2} + 1.{{\left( {9,5} \right)}^2}} \right]$$ – {\left( {\frac{{217}}{{30}}} \right)^2} = \frac{{284}}{{225}}$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S_B^{} = \sqrt {S_B^2} = \sqrt {\frac{{284}}{{225}}} \approx 1,12$.

Vì S_A ≈ 1,33 > S_B ≈ 1,12 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn.