Các Dạng Trắc Nghiệm Nguyên Hàm Thỏa Điều Kiện Cho Trước Giải Chi Tiết

Các dạng trắc nghiệm nguyên hàm thỏa điều kiện cho trước giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

DẠNG 1: CHO HÀM $f(x)$, TÌM NGUYÊN HÀM CỦA $f(x)$

Câu 1. Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 4{x^3} – 5$ và $F\left( 1 \right) = 2$. Giá trị của $F\left( 2 \right)$ bằng

A. 14. B. 12. C. 8. D. 21.

Lời giải

Chọn C.

$F\left( x \right) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {4{x^3} – 5} \right)dx} = {x^4} – 5x + C;$.

$F\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow {1^4} – 5.1 + C = 2 \Leftrightarrow – 4 + C = 2$

$ \Leftrightarrow C = 6$$ \Rightarrow F\left( x \right) = {x^4} – 5x + 6$

Khi đó $F\left( 2 \right) = {2^4} – 5.2 + 6 = 12$.

Câu 2. Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{3}{x}$ và $F\left( e \right) = – 3$. Giá trị của $F\left( {{e^{2025}}} \right)$ bằng

A. 6072. B. 6073. C. 6074. D. 6075.

Lời giải

Chọn C.

$F\left( x \right) = \int {f(x)dx} = \int {\frac{3}{x}dx} = 3\ln \left| x \right| + C;$.

$F\left( e \right) = – 3 \Leftrightarrow 3\ln \left| e \right| + C = – 3$$ \Leftrightarrow 3 + C = 2$

$ \Rightarrow C = – 1$$ \Rightarrow F\left( x \right) = 3\ln \left| x \right| – 1$

Khi đó $F\left( {{e^{2025}}} \right) = 3\ln \left| {{e^{2025}}} \right| – 1 = 6074$.

Câu 3. Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2025 + {\tan ^2}x$ và $F\left( 0 \right) = 3$. Giá trị của $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ bằng

A. 512. B. 500. C. 505. D. 510.

Lời giải

Chọn D.

$F\left( x \right) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {2025 + {{\tan }^2}x} \right)dx} $

$ = \int {\left( {2024 + 1 + {{\tan }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {2024 + \frac{1}{{co{s^2}x}}} \right)dx} $

$ = 2024x + \tan x + C$

$F\left( 0 \right) = 3 \Leftrightarrow 2024.0 + \tan 0 + C = 3 \Leftrightarrow C = 3$

$ \Rightarrow F\left( x \right) = 2024x + \tan x + 3$

Khi đó $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 2024.\frac{\pi }{4} + \tan \frac{\pi }{4} + 3 = 510$.

Câu 4. Hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{x}$ trên $\left( { – \infty ;0} \right)$ thỏa mãn $F\left( { – 2} \right) = 0$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $F\left( x \right) = \ln {\left( {\frac{{ – x}}{2}} \right)^{}}\forall x \in \left( { – \infty ;0} \right)$

B. $F\left( x \right) = \ln \left| x \right| + C{}_{}\forall x \in \left( { – \infty ;0} \right)$ với $C$ là một số thực bất kì.

C. $F\left( x \right) = \ln \left| x \right| + \ln 2\,\,\forall x \in \left( { – \infty ;0} \right)$.

D. $F\left( x \right) = \ln \left( { – x} \right) + C{}_{}\forall x \in \left( { – \infty ;0} \right)$ với $C$ là một số thực bất kì.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $F\left( x \right) = \int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C = \ln \left( { – x} \right) + C$ với $\forall x \in \left( { – \infty ;0} \right)$.

Lại có $F\left( { – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \ln 2 + C = 0 \Leftrightarrow C = – \ln 2$.

Do đó $F\left( x \right) = \ln \left( { – x} \right) – \ln 2 = \ln \left( {\frac{{ – x}}{2}} \right)$.

Vậy $F\left( x \right) = \ln {\left( {\frac{{ – x}}{2}} \right)^{}}\forall x \in \left( { – \infty ;0} \right)$.

Câu 5. Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^{2x}}$ và $F\left( 0 \right) = 0$. Giá trị của $F\left( {\ln 3} \right)$ bằng

A. 2. B. 6. C. 8. D. 4.

Lời giải

Chọn D.

$F\left( x \right) = \int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C;$.

$\;F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = – \frac{1}{2} \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}} – \frac{1}{2}$

Khi đó $F\left( {\ln 3} \right) = \frac{1}{2}{e^{2\ln 3}} – \frac{1}{2} = 4$.

Câu 6. Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right) = {2^x} + x + 1$. Biết $F\left( 0 \right) = 1$. Tính $F\left( { – 1} \right)$ kết quả là.

A. $F\left( { – 1} \right) = \frac{1}{{2\ln 2}}$. B. $F\left( { – 1} \right) = \frac{1}{2} – \frac{1}{{2\ln 2}}$.

C. $F\left( { – 1} \right) = 1 + \frac{1}{{2\ln 2}}$. D. $F\left( { – 1} \right) = \frac{1}{2} – \frac{1}{{\ln 2}}$.

Lời giải

Chọn B.

$F\left( x \right) = \int {\left( {{2^x} + x + 1} \right)dx} = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.$

$ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.$

$F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 1 = \frac{1}{{\ln 2}}{2^0} + \frac{1}{2}{0^2} + 0 + C \Rightarrow C = 1 – \frac{1}{{\ln 2}}$

$ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + 1 – \frac{1}{{\ln 2}}$

$ \Rightarrow F\left( { – 1} \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^{ – 1}} + \frac{1}{2} – 1 + 1 – \frac{1}{{\ln 2}}$

$ \Rightarrow F\left( { – 1} \right) = \frac{1}{2} – \frac{1}{{2\ln 2}}$

Câu 7. Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \cos x$ thoả mãn $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2$.

A. $F\left( x \right) = – \cos x + \sin x + 3$ B. $F\left( x \right) = – \cos x + \sin x – 1$

C. $F\left( x \right) = – \cos x + \sin x + 1$ D. $F\left( x \right) = \cos x – \sin x + 3$

Lời giải

Chọn C.

Có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} = – \cos x + \sin x + C$

Do $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = – \cos \frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2} + C = 2 \Leftrightarrow 1 + C = 2 \Leftrightarrow C = 1$$ \Rightarrow F\left( x \right) = – \cos x + \sin x + 1$.

Câu 8. Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^x} + 2x$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}$. Tìm $F\left( x \right)$.

A. $F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}$ B. $F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{5}{2}$

C. $F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{3}{2}$ D. $F\left( x \right) = 2{e^x} + {x^2} – \frac{1}{2}$

Lời giải

Chọn A.

Ta có $F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right)dx} = {e^x} + {x^2} + C$

Theo bài ra ta có: $F\left( 0 \right) = 1 + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.

Câu 9. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
2x – 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & khi{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \geqslant 1 \hfill \\
3{x^2} – 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & khi{\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$, giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 2$.Giá trị của $F\left( { – 1} \right) + 2F\left( 2 \right)$ bằng.

A. $9$. B. $15$. C. $11$. D. $6$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có:

$\int {\left( {2x – 1} \right)dx = {x^2} – x + {c_1}} $;

$\int {\left( {3{x^2} – 2} \right)dx} = {x^3} – 2x + {c_2}$

Suy ra $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = } \left\{ \begin{gathered}
{x^2} – x + {C_1}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & khi{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \geqslant 1 \hfill \\
{x^3} – 2x + {C_2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & khi{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Mà ta có $F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2$

Mặt khác hàm số $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ nên $y = F\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} F\left( x \right) \Rightarrow {C_1} = 1$.

Khi đó ta có: $F\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
{x^2} – x + 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & khi{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \geqslant 1 \hfill \\
{x^3} – 2x + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & khi{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{gathered}
F\left( { – 1} \right) = 3 \hfill \\
F\left( 2 \right) = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right..$

Vậy $F\left( { – 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = 9$.

Câu 10. Cho hàm số $BC = a$. Giả sử $F$ là nguyên hàm của hàm số $n(A) = C_4^3$ trên $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{1}{{30}}$

thỏa mãn $F(0) = 2$. Giá trị của $F( – 1) + 2F(2)$ bằng

A. 23 . B. 11 . C. 10 . D. 21 .

Lời giải

Chọn D.

Khi $x \geqslant 1$ thì $F(x) = \int f (x)dx = \int {(2x + 3)} dx = {x^2} + 3x + {C_1}$

Khi $x < 1$ thì $F(x) = \int f (x)dx = \int {\left( {3{x^2} + 2} \right)} dx = {x^3} + 2x + {C_2}$

Theo giả thiết $F(0) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2$ Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = f(1) = 5$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$.

Suy ra hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Do đó hàm số $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} F(x) \Rightarrow {C_1} + 4 = {C_2} + 3 \Rightarrow {C_1} = 1$

Vậy $F( – 1) + 2F(2) = – 3 + {C_2} + 2\left( {10 + {C_1}} \right) = 21$

Câu 11. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
2x + 2\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \geqslant 1 \hfill \\
3{x^2} + 1\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 2$. Giá trị của $F\left( { – 1} \right) + 2F\left( 2 \right)$ bằng

A. $18$. B. $20$. C. $9$. D. $24$.

Lời giải

Chọn A.

$F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ nên $F\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
{x^2} + 2x + {C_1}\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \geqslant 1 \hfill \\
{x^3} + x + {C_2}\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

Ta có: $F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2$. $\left( 1 \right)$

Do $F$ liên tục tại $x = 1$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)$

$ \Leftrightarrow {C_1} + 3 = {C_2} + 2\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} {C_1} + 3 = 4 \Leftrightarrow {C_1} = 1$.

Do đó $F\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
{x^2} + 2x + 1\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \geqslant 1 \hfill \\
{x^3} + x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

Suy ra $F\left( { – 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = 18$.

DẠNG 2: BÀI TOÁN CHO HÀM $f'(x)$, TÌM HÀM $f(x)$

Chú ý: $\int {f'(x)dx} = f(x) + C$

Câu 12. Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f’\left( x \right) = 3{x^2}$ và $f\left( 1 \right) = 4$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $f\left( x \right) = {x^3} – 3$ B. $f\left( x \right) = {x^3}$

C. $f\left( x \right) = {x^3} + 3$ D. $f\left( x \right) = {x^3} – 2$

Lời giải

Chọn C.

Ta có $f\left( x \right) = \int {f'(x)dx} = \int {\left( {3{x^2}} \right)dx} = {x^3} + C$

Theo giả thiết $f\left( 1 \right) = 4$ nên ${1^3} + C = 4 \Rightarrow C = 3$.

Vậy $f\left( x \right) = {x^3} + 3.$

Câu 13. Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f’\left( x \right) = 1 + \sin x$ và $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $f\left( x \right) = x – cosx + 4 – \frac{\pi }{2}$ B. $f\left( x \right) = x + cosx + 4 + \frac{\pi }{2}$ C. $f\left( x \right) = x – cosx + 3$ D. $f\left( x \right) = x + cosx$

Lời giải

Chọn A.

Ta có $f\left( x \right) = \int {f'(x)dx} = \int {\left( {1 + \sin x} \right)dx} = x – cosx + C$

Theo đề $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$ nên $\frac{\pi }{2} – cos\frac{\pi }{2} + C \Leftrightarrow \frac{\pi }{2} + C = 4 \Rightarrow C = 4 – \frac{\pi }{2}$.

Vậy $f\left( x \right) = x – cosx + 4 – \frac{\pi }{2}$

Câu 14. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm là $f’\left( x \right) = 12{x^2} + 2,\forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( 1 \right) = 3$. Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 2$, khi đó $F\left( 1 \right)$ bằng

A. $ – 3$. B. 1 . C. 2 . D. 7 .

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $f’\left( x \right) = 12{x^2} + 2,\,\forall x \in \mathbb{R}$$ \Rightarrow $$f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x + {C_1}$.

Mà $f\left( 1 \right) = 3$$ \Rightarrow $$3 = 6 + {C_1}$$ \Rightarrow $${C_1} = – 3$$ \Rightarrow $$f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x – 3$$ \Rightarrow $$F\left( x \right) = {x^4} + {x^2} – 3x + {C_2}$.

Lại có: $F\left( 0 \right) = 2$$ \Rightarrow $${C_2} = 2$$ \Rightarrow $$F\left( x \right) = {x^4} + {x^2} – 3x + 2$.

Khi đó: $F\left( 1 \right) = 1$.

Cách khác: Ta có: $F\left( 1 \right) = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + F\left( 0 \right) = \int\limits_0^1 {\left( {4{x^3} + 2x – 3} \right)dx} + 2 = – 1 + 2 = 1$.

Câu 15. Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f’\left( x \right) = 3 – 5\sin x$ và $f\left( 0 \right) = 10$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $f\left( x \right) = 3x – 5\cos x + 15$ B. $f\left( x \right) = 3x – 5\cos x + 2$

C. $f\left( x \right) = 3x + 5\cos x + 5$ D. $f\left( x \right) = 3x + 5\cos x + 2$

Lời giải

Chọn C.

Ta có $f\left( x \right) = \int {\left( {3 – 5\operatorname{sinx} } \right)dx} = 3x + 5\cos x + C$

Theo giả thiết $f\left( 0 \right) = 10$ nên $5 + C = 10 \Rightarrow C = 5$.

Vậy $f\left( x \right) = 3x + 5\cos x + 5.$

Câu 16. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và: $f’\left( x \right) = 2{e^{2x}} + 1,$$\forall x,\,f\left( 0 \right) = 2$. Hàm $f\left( x \right)$ là

A. $y = 2{e^x} + 2x$. B. $y = 2{e^x} + 2$. C. $y = {e^{2x}} + x + 2$. D. $y = {e^{2x}} + x + 1$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $\int {f’\left( x \right)d} x$$ = \int {\left( {2{e^{2x}} + 1} \right)d} x$$ = {e^{2x}} + x + C$.

Suy ra $f\left( x \right) = {e^{2x}} + x + C$.

Theo bài ra ta có: $f\left( 0 \right) = 2$$ \Rightarrow 1 + C = 2$$ \Leftrightarrow C = 1$.

Vậy: $f\left( x \right) = {e^{2x}} + x + 1$.

Câu 17. Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f’\left( x \right) = 2 – 5\sin x$ và $f\left( 0 \right) = 10$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $f\left( x \right) = 2x + 5\cos x + 3$. B. $f\left( x \right) = 2x – 5\cos x + 15$.

C. $f\left( x \right) = 2x + 5\cos x + 5$. D. $f\left( x \right) = 2x – 5\cos x + 10$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)dx = } \int {\left( {2 – 5\sin x} \right)dx\, = 2x + 5\cos x + C} $.

Mà $f\left( 0 \right) = 10$ nên $5 + C = 10 \Rightarrow C = 5$.

Vậy $f\left( x \right) = 2x + 5\cos x + 5$.

Câu 18. Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f’\left( x \right) = a{x^2} + \frac{b}{{{x^3}}}$, $f’\left( 1 \right) = 3$, $f\left( 1 \right) = 2$, $f\left( {\frac{1}{2}} \right) = – \frac{1}{{12}}$. Khi đó $2a + b$ bằng

A. $ – \frac{3}{2}$. B. $0$. C. $5$. D. $\frac{3}{2}$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có $f’\left( 1 \right) = 3$$ \Rightarrow $$a + b = 3$$\left( 1 \right)$.

Hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, các điểm $x = 1$, $x = \frac{1}{2}$ đều thuộc $\left( {0; + \infty } \right)$ nên

$f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)dx} = \int {\left( {a{x^2} + \frac{b}{{{x^3}}}} \right)dx} = \frac{{a{x^3}}}{3} – \frac{b}{{2{x^2}}} + C$.

+ $f\left( 1 \right) = 2$$ \Rightarrow $$\frac{a}{3} – \frac{b}{2} + C = 2$$\left( 2 \right)$.

+ $f\left( {\frac{1}{2}} \right) = – \frac{1}{{12}}$$ \Rightarrow $$\frac{a}{{24}} – 2b + C = – \frac{1}{{12}}$$\left( 3 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered}
a + b = 3 \hfill \\
\frac{a}{3} – \frac{b}{2} + C = 2 \hfill \\
\frac{a}{{24}} – 2b + C = – \frac{1}{{12}} \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{gathered}
a = 2 \hfill \\
b = 1 \hfill \\
C = \frac{{11}}{6} \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow $$2a + b = 2.2 + 1 = 5$.

Câu 19. Tìm một nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = ax + \frac{b}{{{x^2}}}\,\left( {x \ne 0} \right),$biết rằng $F\left( { – 1} \right) = 1,\,F\left( 1 \right) = 4,\,f\left( 1 \right) = 0$

A. $F\left( x \right) = \frac{3}{2}{x^2} + \frac{3}{{4x}} – \frac{7}{4}$. B. $F\left( x \right) = \frac{3}{4}{x^2} – \frac{3}{{2x}} – \frac{7}{4}$.

C. $F\left( x \right) = \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{{2x}} + \frac{7}{4}$. D. $F\left( x \right) = \frac{3}{2}{x^2} – \frac{3}{{2x}} – \frac{1}{2}$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {ax + \frac{b}{{{x^2}}}} \right)dx} \, = } \frac{1}{2}a{x^2} – \frac{b}{x} + C$.

Theo bài ra $\left\{ \begin{gathered}
F\left( { – 1} \right) = 1 \hfill \\
F\left( 1 \right) = 4 \hfill \\
f\left( 1 \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\frac{1}{2}a + b + C = 1 \hfill \\
\frac{1}{2}a – b + C = 4 \hfill \\
a + b = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
b = – \frac{3}{2} \hfill \\
a = \frac{3}{2} \hfill \\
C = \frac{7}{4} \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

Vậy $F\left( x \right) = \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{{2x}} + \frac{7}{4}$.

Câu 20. Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ thỏa mãn $f’\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{{x^2}}}$, $f\left( { – 2} \right) = \frac{3}{2}$ và $f\left( 2 \right) = 2\ln 2 – \frac{3}{2}$. Giá trị của biểu thức $f\left( { – 1} \right) + f\left( 4 \right)$ bằng

A. $\frac{{6\ln 2 – 3}}{4}$. B. $\frac{{6\ln 2 + 3}}{4}$. C. $\frac{{8\ln 2 + 3}}{4}$. D. $\frac{{8\ln 2 – 3}}{4}$.

Lời giải

Chọn C.

Có $f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)dx = \int {\frac{{x + 1}}{{{x^2}}}dx = \ln x – \frac{1}{x} + C} } $

$ \Rightarrow f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\ln \left| x \right| – \frac{1}{x} + {C_1}\;\;\;\;\;\;khi\;x < 0 \hfill \\
\;\ln \left| x \right| – \frac{1}{x} + {C_2}\;\;\;\;\;khi\;x > 0\; \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Do $f\left( { – 2} \right) = \frac{3}{2}$$ \Rightarrow \ln 2 + \frac{1}{2} + {C_1} = \frac{3}{2} \Rightarrow {C_1} = 1 – \ln 2$

Do $f\left( 2 \right) = 2\ln 2 – \frac{3}{2}$$ \Rightarrow \ln 2 – \frac{1}{2} + {C_2} = 2\ln 2 – \frac{3}{2} \Rightarrow {C_2} = \ln 2 – 1$

Như vậy, $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\ln \left| x \right| – \frac{1}{x} + 1 – \ln 2\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x < 0 \hfill \\
\;\ln \left| x \right| – \frac{1}{x} + \ln 2 – 1\;\;\;\;\;\;\;khi\;x > 0\; \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Vậy $f\left( { – 1} \right) + f\left( 4 \right) = \left( {2 – \ln 2} \right) + \left( {\ln 4 – \frac{1}{4} + \ln 2 – 1} \right) = \frac{{8\ln 2 + 3}}{4}$.