Chuyên đề sự tương giao giữa hai đồ thị ôn thi tốt nghiệp THPT 2021 có lời giải và đáp án được phát triển từ câu 8 của đề tham khảo môn Toán.
DẠNG TOÁN 08: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 – Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:
Phương pháp chung:
Cho 2 hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ có đồ thị lần lượt là (C) và (C’).
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’):$f\left( x \right) = g\left( x \right)$
+) Giải phương trình tìm $x$ từ đó suy ra $y$ và tọa độ giao điểm.
+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’).
Chú ý:
+ Trục hoành Ox có phương trình: y = 0.
+ Trục tung Oy có phương trình x= 0.
2 – Tương giao của đồ thị hàm bậc 3
Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng $F\left( {x,m} \right) = 0$(phương trình ẩn x tham số m)
+) Cô lập m đưa phương trình về dạng $m = f\left( x \right)$
+) Lập BBT cho hàm số $y = f\left( x \right)$.
+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m.
*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x.
Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm $F\left( {x,m} \right) = 0$
+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử $x = {x_0}$ là 1 nghiệm của phương trình.
+) Phân tích: $F\left( {x,m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x – {x_0}} \right).g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_0}\\g\left( x \right) = 0\end{array} \right.$(là $g\left( x \right) = 0$ là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m ).
+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc hai $g\left( x \right) = 0$.
3 – Tương giao của hàm số phân thức
Phương pháp
Cho hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y = px + q$. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
$\frac{{ax + b}}{{cx + d}} = px + q \Leftrightarrow F\left( {x,m} \right) = 0$ (phương trình bậc 2 ẩn x tham số m).
*) Các câu hỏi thường gặp:
1. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt $ \Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác $ – \frac{d}{c}$.
2. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C) $ \Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ và thỏa mãn $: – \frac{d}{c} < x_1^{} < {x_2}$.
3. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C) $ \Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ và thỏa mãn $x_1^{} < {x_2} < – \frac{d}{c}$.
4. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C) $ \Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ và thỏa mãn $x_1^{} < – \frac{d}{c} < {x_2}$.
5. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:
+) Đoạn thẳng $AB = k$
+) Tam giác $ABC$ vuông.
+) Tam giác ABC có diện tích ${S_0}$
* Quy tắc:
+) Tìm điều kiện tồn tại A, B $ \Leftrightarrow $ (1) có 2 nghiệm phân biệt.
+) Xác định tọa độ của A và B (chú ý Vi ét)
+) Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m. Từ đó suy ra m.
*) Chú ý: Công thức khoảng cách:
+) $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right):AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} – {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_{_B}} – {y_A}} \right)}^2}} $
+) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M\left( {{x_0};{y_0}} \right)}\\{\Delta :A{x_0} + B{y_0} + C = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$
4 – Tương giao của hàm số bậc 4
NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: $a{x^4} + b{x^2} + c = 0$ (1)
1. Nhẩm nghiệm:
– Nhẩm nghiệm: Giả sử $x = {x_0}$ là một nghiệm của phương trình.
– Khi đó ta phân tích: $f\left( {x,m} \right) = \left( {{x^2} – x_0^2} \right)g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm {x_0}\\g\left( x \right) = 0\end{array} \right.$
– Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2 $g\left( x \right) = 0$
2. Ẩn phụ – tam thức bậc 2:
– Đặt $t = {x^2},\left( {t \ge 0} \right)$. Phương trình: $a{t^2} + bt + c = 0$ (2).
– Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm ${t_1},{t_2}$ thỏa mãn: $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} < 0 = {t_2}}\\{{t_1} = {t_2} = 0}\end{array}} \right.$
– Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm ${t_1},{t_2}$ thỏa mãn: $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} < 0 < {t_2}}\\{0 < {t_1} = {t_2}}\end{array}} \right.$
– Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm ${t_1},{t_2}$ thỏa mãn: $0 = {t_1} < {t_2}$
– Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm ${t_1},{t_2}$ thỏa mãn: $0 < {t_1} < {t_2}$
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ với trục tung và trục hoành.
Giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$và $y = g(x)$ .
Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Tìm m để hai đồ thị cắt nhau thỏa mãn điều kiện cho trước…
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Đồ thị của hàm số $y = {x^3} – 3x + 2$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
A. $0.$ B. $1.$ C. $2.$ D. $ – 2.$
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số .
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Cho $x = 0$ thay vào biểu thức hàm số tìm tung độ $y$
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn C
Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn $x = 0 \Rightarrow y = 2$
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 1
Câu 1. Đồ thị hàm số $y = {x^4} – 3{x^2} – 1$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
A.$0$. B. $ – 1$. C.$1$. D. $2$.
Lời giải
Chọn B
Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn $x = 0 \Rightarrow y = – 1$
Câu 2. Đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} – x – 1}}{{x + 1}}$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
A.$0$. B. $ – 1$. C.$1$. D. $2$.
Lời giải
Chọn B
Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn $x = 0 \Rightarrow y = – 1$
Câu 3. Đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 3}}{{x + 3}}$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
A. $0$. B. $1$. C. $3$. D. $2$.
Lời giải
Chọn B
Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn $x = 0 \Rightarrow y = 1$
Câu 4. Đồ thị hàm số $y = {e^{2x}}$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
A.$1$. B. $ – 1$. C.$e$. D. $ – e$.
Lời giải
Chọn A
Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn $x = 0 \Rightarrow y = {e^0} = 1$
Câu 5. Đồ thị hàm số $y = \cos x$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
A.$\frac{\pi }{2}$. B. $1$. C.$\frac{{ – \pi }}{2}$. D. $ – 1$.
Lời giải:
Chọn B
Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn $x = 0 \Rightarrow y = 1$
Câu 6. Đồ thị hàm số $y = {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
A.$2$. B. $1$. C.$ – 2$. D. $ – 1$.
Lời giải:
Chọn B
Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn $x = 0 \Rightarrow y = 1$
Câu 7. Đồ thị hàm số $y = \sqrt {{x^2} + 4} $ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
A.$4$. B. $2$. C.$ – 2$. D. $ – 4$.
Lời giải:
Chọn B
Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn $x = 0 \Rightarrow y = 2$
Câu 8. Đồ thị hàm số $y = \sqrt {{{\sin }^2}x + 4} $ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
A.$4$. B. $2$. C.$ – 2$. D. $ – 4$.
Lời giải:
Chọn B
Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn $x = 0 \Rightarrow y = 2$
Câu 9. Đồ thị hàm số $y = {x^2} – \left| x \right| + 1$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
A.$3$. B. $1$. C.$0$ . D. $2$.
Lời giải:
Chọn B
Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn $x = 0 \Rightarrow y = 1$
Câu 10. Đồ thị hàm số $y = {x^4} – {x^2} + 1$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
A.$3$. B. $1$. C.$0$ . D. $2$.
Lời giải:
Chọn B
Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn $x = 0 \Rightarrow y = 1$
Mức độ 2
Câu 1. Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = 2{x^4} – 3{x^2}$ với trục hoành là
A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $4$.
Lời giải
Chọn C
Giao điểm của đồ thị hàm số $y = 2{x^4} – 3{x^2}$ với trục hoành thỏa mãn
$2{x^4} – 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {2{x^2} – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \pm \sqrt {\frac{3}{2}} $
Câu 2. Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = – \frac{{{x^4}}}{2} + {x^2} + \frac{3}{2}$ với trục hoành là
A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $4$.
Lời giải:
Chọn B
$ – \frac{{{x^4}}}{2} + {x^2} + \frac{3}{2} = 0$$ \Leftrightarrow {x^4} – 2{x^2} – 3 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = – 1\\{x^2} = 3\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 $.
Vậy phương trình có $2$ nghiệm nên đồ thị cắt trục hoành tại $2$ điểm
Câu 3. Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)$ với trục hoành là
A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.
Lời giải
Chọn A
$\left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2$
Vậy có $1$ giao điểm.
Câu 4. Số giao điểm của đồ thị $(C):y = {x^3} – 3{x^2} + 2x + 1$ và đường thẳng $y = 1$ là
A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.
Lời giải
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^3} – 3{x^2} + 2x + 1 = 1 \Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} + 2x = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.$.
Vậy có ba giao điểm $A\left( {0;1} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( {2;1} \right).$
Câu 5. Tìm giao điểm của đồ thị $(C):y = {x^4} + 2{x^2} – 3$ và trục hoành?
A. $A\left( {0; – 3} \right),{\rm{ }}B\left( {1;0} \right)$ B$A\left( { – 1;0} \right),{\rm{ }}B\left( { – 1;1} \right)$ C. $A\left( { – 1;1} \right),{\rm{ }}B\left( {1;0} \right)$ D. $A\left( { – 1;0} \right),{\rm{ }}B\left( {1;0} \right)$
Lời giải.
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^4} + 2{x^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} = – 3\end{array} \right. \Rightarrow x = 1 \vee x = – 1.$
Vậy có hai giao điểm: $A\left( { – 1;0} \right),{\rm{ }}B\left( {1;0} \right).$
Câu 6. Hoành độ giao điểm của đồ thị $(C)$: $y = \frac{{2x + 1}}{{2x – 1}}$ và đường thẳng $d:y = x + 2.$
A. $x = – \frac{3}{2};x = 1$. B. $x = – \frac{1}{2};x = 1$ C. $x = – 2;x = \frac{1}{2}$. D. $x = \frac{3}{2};x = 1$.
Lời giải
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{{2x + 1}}{{2x – 1}} = x + 2$ $\left( 1 \right)$
Điều kiện: $x \ne \frac{1}{2}$. Khi đó $(1)$$ \Leftrightarrow $$2x + 1 = \left( {2x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)$$ \Leftrightarrow 2{x^2} + x – 3 = 0$
$ \Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}x = – \frac{3}{2}\\x = 1\end{array} \right.$
Câu 7. Cho hàm số $y = 2{x^3} – 3{x^2} + 1$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d$:$y = x – 1$. Số giao điểm của $(C)$ và $d$ là
A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.
Lời giải.
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm
$2{x^3} – 3{x^2} + 1 = x – 1 \Leftrightarrow 2{x^3} – 3{x^2} – x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {2{x^2} – x – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{1 – \sqrt {17} }}{4}\\x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}\end{array} \right.$
Vậy số giao điểm là 3
Câu 8. Giao điểm giữa đồ thị $(C):y = \frac{{{x^2} – 2x – 3}}{{x – 1}}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = x + 1$ là
A. $A\left( { – 1;0} \right)$ B. $A\left( {3;0} \right)$ C. $A\left( {1;0} \right)$ D. $A\left( { – 3;0} \right)$
Lời giải.
Chọn A
Lập phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{{x^2} – 2x – 3}}{{x – 1}} = x + 1 \Leftrightarrow x = – 1 \Rightarrow y = 0$.
Vậy chọn $\left( { – 1;\,\,0} \right)$.
Câu 9. Cho hàm số $y = {x^4} – 4{x^2} – 2$ có đồ thị $(C)$ và đồ thị $(P)$: $y = 1 – {x^2}$. Số giao điểm của $(P)$ và đồ thị $(C)$ là
A. $3$. B. $1$. C. $2$. D. $6$.
Lời giải:
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm:
${x^4} – 4{x^2} – 2 = – {x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^4} – 3{x^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{3 + \sqrt {21} }}{2} \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{{3 + \sqrt {21} }}{2}} \vee x = – \sqrt {\frac{{3 + \sqrt {21} }}{2}} \\{x^2} = \frac{{3 – \sqrt {21} }}{2} < 0\end{array} \right.$
Vậy số giao điểm là 2.
Câu 10. Tọa độ giao điểm giữa đồ thị $(C):y = \frac{{2x – 1}}{{x + 2}}$ và đường thẳng $d:y = x – 2$ là
A. $A\left( { – 1; – 3} \right),\,{\rm{ }}B\left( {3;1} \right).$ B. $A\left( {1;3} \right),\,{\rm{ }}B\left( {3;1} \right).$
C. $A\left( {1; – 3} \right),\,{\rm{ }}B\left( {3;1} \right).$ D. $A\left( { – 1; – 3} \right),\,{\rm{ }}B\left( {3;1} \right).$
Lời giải:
Chọn A
Lập phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = x – 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow y = 1\\x = – 1 \Rightarrow y = – 3\end{array} \right.$ .
Vậy chọn $A\left( { – 1; – 3} \right),\,{\rm{ }}B\left( {3;1} \right).$
Mức độ 3
Câu 1. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $MN$ với $M,{\rm{ }}N$ là giao điểm của đường thẳng $d$:$y = x + 1$ và đồ thị hàm số $(C)$:$y = \frac{{2x + 2}}{{x – 1}}$ là
A. $I\left( { – 1; – 2} \right).$ B. $I\left( { – 1;2} \right).$ C.$I\left( {1;2} \right).$ D. $I\left( {1; – 2} \right).$
Lời giải:
Chọn C
Lập phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{2x + 2}}{{x – 1}} = x + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow y = 4\\x = – 1 \Rightarrow y = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;2} \right).$
Vậy chọn $I\left( {1;2} \right).$
Câu 2. Đồ thị hàm số $y = \;{x^3} – 3{x^2} + 1$ cắt đường thẳng $y = m$ tại ba điểm phân biệt thì tất cả các giá trị tham số $m$ thỏa mãn là
A. $m > 1\;.$ B. $ – 3 \le m \le 1\;.$ C. $ – 3 < m < 1\;.$ D. $m < – 3.$
Lời giải
Chọn C
Lập phương trình hoành độ giao điểm: ${x^3} – 3{x^2} + 1 = m$
Ta có: $y’ = 3{x^2} – 6x$ ; $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\, \vee \,\,x = 2.$
Bảng biến thiên:
Do đó, đồ thị cắt đường thẳng $y = m$ tại ba điểm phân biệt khi $ – 3 < m < 1\;$.
Vậy chọn $ – 3 < m < 1$.
Câu 3. Đường thẳng $y = m$ không cắt đồ thị hàm số $y = – 2{x^4} + 4{x^2} + 2\,$ thì tất cả các giá trị tham số $m$ là
A. $m > 4$. B. $m \ge 4$.
C. $m \le 2$. D. $2 < m < 4$.
Lời giải
Chọn A
Lập phương trình hoành độ giao điểm: $ – 2{x^4} + 4{x^2} + 2\, = m$
Ta có: $y’ = – 8{x^3} + 8x$ ; $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\, \vee \,\,x = 1 \vee x = – 1.$
Bảng biến thiên:
Do đó, đường thẳng $y = m$ không cắt đồ thị hàm số khi $m > 4$.
Vậy chọn $m > 4$.
Câu 4. Cho hàm số $y = (x – 2)\left( {{x^2} + mx + {m^2} – 3} \right)$. Tất cả giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là
A. $ – 2 < m < – 1.$ B. $\left\{ \begin{array}{l} – 2 < m < 2\\m \ne – 1\end{array} \right..$ C. $ – 1 < m < 2.$ D. $\left\{ \begin{array}{l} – 1 < m < 2\\m \ne 1\end{array} \right..$
Lời giải
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm: $\left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2} – 3} \right) = 0{\rm{ }}\,\,(1)$
$\left[ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} + mx + {m^2} – 3\, = 0{\rm{ }}\,(2)\end{array} \right.$
Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt Phương trình $\;\left( {\rm{1}} \right)$ có ba nghiệm phân biệt Phương trình $\left( {\rm{2}} \right)$có hai nghiệm phân biệt khác $2$
$\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\4 + 2m + {m^2} – 3 \ne 0\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} – 3{m^2} + 12 > 0\\{m^2} + 2m + 1 \ne 0\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} – 2 < m < 2\\m \ne – 1\end{array} \right.$. Vậy chọn $\left\{ \begin{array}{l} – 2 < m < 2\\m \ne – 1\end{array} \right.$.
Câu 5. Tất cả giá trị của tham số $m$ để phương trình ${x^4} – 2{x^2} – m + 3 = 0$ có bốn nghiệm phân biệt là
A. $2 < m < 3.$ B. $2 \le m \le 3.$ C. $m \ge 2.$ D. $m > 2.$
Lời giải:
Chọn A
${x^4} – 2{x^2} + 3 = m$
Ta khảo sát hàm số $\left( C \right):y = {x^4} – 2{x^2} + 3$ ta tìm được ${y_{CT}} = 2,{y_{CD}} = 3$.
Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow 2 < m < 3$. Vậy chọn $2 < m < 3$.
Câu 6. Tất cả giá trị của tham số$m$ để phương trình ${x^4} – 2{x^2} – m + 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt là
A. $m > 3.$ B. $m \ge 3.$
C. $m > 3$hoặc $m = 2.$ D. $m = 3$ hoặc $m = 2.$
Lời giải:
Chọn C
Phương pháp tự luận:
Tương tự ta khảo sát hàm số $\left( C \right):y = {x^4} – 2{x^2} + 3$ ta tìm được ${y_{CT}} = 2,{y_{CD}} = 3$.
Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow m = 2 \vee m > 3$. Vậy chọn $m = 2 \vee m > 3$.
Phương pháp trắc nghiệm:
+Với $m = 3,$ ta giải phương trình ${x^4} – 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = \sqrt 2 \vee x = – \sqrt 2 \Rightarrow $loại B, D.
+Với $m = 2,$ ta giải phương trình ${x^4} – 2{x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = – 1 \Rightarrow $ loại A.
Câu 7. Tất cả giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $\left( C \right):y = – 2{x^3} + 3{x^2} + 2m – 1$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là
A. $\frac{1}{4} \le m < \frac{1}{2}.$ B. $ – \frac{1}{2} < m < \frac{1}{2}.$
C. $0 < m < \frac{1}{2}.$ D. $0 \le m \le \frac{1}{2}.$
Lời giải:
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và trục $Ox$: $ – 2{x^3} + 3{x^2} + 2m – 1 = 0$. Ta khảo sát hàm số $\left( {C’} \right):y = 2{x^3} – 3{x^2} + 1$ và cũng chỉ là tìm ${y_{CD}},{y_{CT}}$. Cụ thể${y_{CD}} = 1,{y_{CT}} = 0$. Do đó yêu cầu bài toán$ \Leftrightarrow 0 < 2m < 1 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{2}$ . Vậy chọn $0 < m < \frac{1}{2}$
Phương pháp trắc nghiệm:
+ Với $m = 0,$ ta có phương trình $ – 2{x^3} + 3{x^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ – 1}}{2}\\x = 1\end{array} \right.$ $ \Rightarrow $ loại B, D.
+ Với $m = 0.1$, ta có phương trình $ – 2{x^3} + 3{x^2} – 0.8 = 0$ có 3 nghiệm $ \Rightarrow $ loại A.
Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${x^3} – 3{x^2} + 4 + m = 0$ có nghiệm duy nhất lớn hơn $2$. Biết rằng đồ thị của hàm số $y = – {x^3} + 3{x^2} – 4$ là hình bên.
A. $m > 0.$ B. $m \le – 4.$
C. $m < – 4.$ D. $m \le – 4$ hoặc $m \ge 0.$
Lời giải:
Chọn C
Ta có ${x^3} – 3{x^2} + 4 + m = 0{\rm{ }}\left( * \right).$ Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $(C)$:$y = – {x^3} + 3{x^2} – 4$ và đường thẳng $d$:$y = m$. Số giao điểm của $(C)$ và $d$ là số nghiệm của (*). Dựa vào đồ thị hàm số, yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow $$m < – 4$. Vậy chọn $m < – 4$.
Câu 9. Tất cả giá trị của thm số $m$ để phương trình ${x^3} – 3x – m + 1 = 0$ có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm dương là
A. $ – 1 \le m \le 1.$ B. $ – 1 < m \le 1.$ C. $ – 1 < m < 3.$ D. $ – 1 < m < 1.$
.Lời giải:
Chọn D
Phương pháp tự luận:
Ta có đồ thị của hàm số $y = {x^3} – 3x + 1$như hình bên.
Dựa vào đồ thị ta tìm được kết quả để đồ thị cắt hàm số tại ba điểm phân biệt là $ – 1 < m < 3.$
Với $x = 0 \Rightarrow y = 1$ nên yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow – 1 < m < 1$. Vậy chọn $ – 1 < m < 1.$
Phương pháp trắc nghiệm: Xét $m = 1$, ta được phương trình ${x^3} – 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.$
không đủ hai nghiệm dương $ \Rightarrow $ loại A, B, C. Vậy chọn $ – 1 < m < 1.$
Câu 10. Cho hàm số $y = – 2{x^3} + 3{x^2} – 1$ có đồ thị $\left( C \right)$ như hình vẽ. Dùng đồ thị $\left( C \right)$suy ra tất cả giá trị tham số $m$ để phương trình $2{x^3} – 3{x^2} + 2m = 0$$\left( 1 \right)$ có ba nghiệm phân biệt là
A. $0 < m < \frac{1}{2}$. B. $ – 1 < m < 0$.
C. $0 \le m \le – 1$. D. $ – 1 \le m \le 0$.
Lời giải:
Chọn A
Phương trình $\left( 1 \right)$ $ – 2{x^3} + 3{x^2} – 1 = 2m – 1$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $\left( C \right)$ và $d:y = 2m – 1$ (là đường thẳng song song hoặc trùng với $Ox$).
Phương trình có ba nghiệm phân biệt $\left( C \right)$cắt $d$tại ba điểm phân biệt $ – 1 < 2m – 1 < 0$ $0 < m < \frac{1}{2}$. Vậy chọn $0 < m < \frac{1}{2}$.
Mức độ 4
Câu 1. Cho hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d$: $y = 2x – 3$. Đường thằng $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm$A$ và $B$. Khoảng cách giữa$A$ và $B$ là
A. $AB = \frac{2}{5}.$ B. $AB = \frac{5}{2}.$ C. $AB = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.$ D. $AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}.$
Lời giải
Chọn D
Phương pháp tự luận
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $(C)$và đường thẳng $d$
$\frac{{2x – 1}}{{x + 1}} = 2x – 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne – 1\\2{x^2} – 3x – 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow y = 1{\rm{ }} \Rightarrow A(2;1)\\x = – \frac{1}{2} \Rightarrow y = – 4{\rm{ }} \Rightarrow B\left( { – \frac{1}{2}; – 4} \right)\end{array} \right.$
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { – \frac{5}{2}; – 5} \right)$. Suy ra $AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}$. Vậy chọn $AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}$.
Phương pháp trắc nghiệm
Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{{2x – 1}}{{x + 1}} = 2x – 3{\rm{ }}(x \ne – 1)$.
Dùng lệnh CALC của máy tính, ta tìm được hai nghiệm của phương trình lần lượt là $x = 2$ và $x = – \frac{1}{2}$. Suy ra $A(2;1)$ và $B\left( { – \frac{1}{2}; – 4} \right)$. Dùng máy tính thu được $AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}$.
Vậy chọn $AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}$.
Câu 2. Tất cả giá trị tham số $m$ để đồ thị $\left( C \right):y = {x^4}$ cắt đồ thị $\left( P \right):y = \left( {3m + 4} \right){x^2} – {m^2}$ tại bốn điểm phân biệt là
A. $m \in \left( { – \infty ; – 4} \right) \cup \left( { – \frac{5}{4};0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$ B. $m \in \left( { – 1;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$.
C. $m \in \left( { – \frac{4}{5};0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$ D. $m \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.$
Lời giải
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( P \right)$ là:
${x^4} = \left( {3m + 4} \right){x^2} – {m^2}$ ${x^4} – \left( {3m + 4} \right){x^2} + {m^2} = 0$$(1)$.
$\left( C \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại bốn điểm phân biệt Phương trình $\left( 1 \right)$ có bốn nghiệm phân biệt
$\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}5{m^2} + 24m + 16 > 0\\{m^2} > 0\\3m + 4 > 0\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}m < – 4\,\, \vee \,\,m > – \frac{4}{5}\\m \ne 0\\m > – \frac{4}{3}\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}m > – \frac{4}{5}\\m \ne 0\end{array} \right.$.
Vậy chọn $\left\{ \begin{array}{l}m > – \frac{4}{5}\\m \ne 0\end{array} \right.$.
Câu 3. Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 4$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $I\left( {1;2} \right)$ với hệ số góc $k$. Tập tất cả các giá trị của $k$ để $d$ cắt $\left( C \right)$ tại ba điểm phân biệt I, A, B sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB là
A. $\left\{ 0 \right\}$ B. $\mathbb{R}$ C. $\left\{ { – 3} \right\}$ D. $\left( { – 3; + \infty } \right)$
Lời giải
Chọn D
Phương trình $d:y = k\left( {x – 1} \right) + 2$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $(C)$và đường thẳng $d$:
${x^3} – 3{x^2} + 4 = kx – k + 2$$ \Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} – kx + k + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} – 2x – k – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\underbrace {{x^2} – 2x – k – 2}_{g(x)} = 0\;\;(*)\end{array} \right.$
$d$ cắt $\left( C \right)$ tại ba điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ Phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ khác $1$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}{{\Delta ‘}_g} > 0 \hfill \\g\left( 1 \right) \ne 0 \hfill \\\end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k + 3 > 0 \hfill \\ – 3 – k \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow k > – 3$
Hơn nữa theo Viet ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 = 2{x_I}\\{y_1} + {y_2} = k\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – 2k + 4 = 4 = 2{y_I}\end{array} \right.$ nên I là trung điểm AB.
Vậy chọn $k > – 3$, hay $\left( { – 3; + \infty } \right)$.
Câu 4. Với những giá trị nào của tham số m thì $\left( {{C_m}} \right):y = {x^3} – 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} + 4m + 1} \right)x – 4m\left( {m + 1} \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1?
A.$\frac{1}{2} < m \ne 1.$ B.$m > \frac{1}{2}.$ C.$m \ge \frac{1}{2}.$ D. $m \ne 1.$
.Lời giải
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $(C)$ và trục $Ox$:
${x^3} – 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} + 4m + 1} \right)x – 4m\left( {m + 1} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} – \left( {3m + 1} \right)x + 2{m^2} + 2m} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 2 = 0\\{x^2} – (3m + 1)x + 2{m^2} + 2m = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 2m\\x = m + 1\end{array} \right.$
Yêu cầu bài toán$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < 2m \ne 2\\1 < m + 1 \ne 2\\2m \ne m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} < m \ne 1\\0 < m \ne 1\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m \ne 1$.
Vậy chọn $\frac{1}{2} < m \ne 1$.
Câu 5. Cho hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d$:$y = x + m$. Giá trị của tham số m để $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $AB = \sqrt {10} $ là
A. $m = 0$ hoặc $m = 6.$ B. $m = 0.$
C. $m = 6.$ D. $0 \le m \le 6.$
Lời giải:
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d$
$\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne – 1\\{x^2} + (m – 1)x + m – 1 = 0\;\;(1)\end{array} \right.$
Khi đó $d$ cắt $(C)$tại hai điểm phân biệt $A$,$B$ khi và chi khi phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $ – 1$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(m – 1)^2} – 4(m – 1) > 0\\{( – 1)^2} – (m – 1) + m – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 1 \vee m > 5{\rm{ }}(*)$
Khi đó ta lại có
$A({x_1};{x_1} + m),B({x_2};{x_2} + m) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ({x_2} – {x_1};{x_2} – {x_1}) \Rightarrow AB = \sqrt {2{{({x_2} – {x_1})}^2}} = \sqrt 2 \left| {{x_2} – {x_1}} \right|$,
và $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1 – m\\{x_1}{x_2} = m – 1\end{array} \right.$. Từ đây ta có
$AB = \sqrt {10} \Leftrightarrow \left| {{x_2} – {x_1}} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {({x_2} + {x_1})^2} – 4{x_1}{x_2} = 5$
$ \Leftrightarrow {(1 – m)^2} – 4(m – 1) = 5 \Leftrightarrow {m^2} – 6m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 6\end{array} \right.$ (thỏa $(*)$)
Vậy chọn $m = 0 \vee m = 6$.
Câu 6. Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} – m – 1$ có đồ thị $(C)$. Giá trị của tham số $m$ để đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng là
A. $m = 0.$ B. $m = 3.$ C. $m = – 3.$ D. $m = \pm 6.$
Lời giải:
Chọn C
Đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình ${x^3} – 3{x^2} – 1 = m$ có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng.
Suy ra đường thẳng $y = m$ đi qua điểm uốn của đồ thị $y = {x^3} – 3{x^2} – 1$ (do đồ thị $(C)$ nhận điểm uốn làm tâm đối xứng). Mà điểm uốn của $y = {x^3} – 3{x^2} – 1$ là $I(1; – 3)$. Suy ra $m = – 3$. Vậy chọn $m = – 3$.
Câu 7. Cho hàm số $y = {x^4} – \left( {2m – 1} \right){x^2} + 2m$ có đồ thị $(C)$. Tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d$: $y = 2$ cắt đồ thị $(C)$ tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn $3$ là
A. $m \ne \frac{3}{2}.$ B. $1 < m < \frac{{11}}{2}.$ C. $\left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{3}{2}\\1 < m < 2\end{array} \right..$ D. $\left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{3}{2}\\1 < m < \frac{{11}}{2}\end{array} \right..$
Lời giải:
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $d$:
${x^4} – (2m – 1){x^2} + 2m = 2 \Leftrightarrow {x^4} – (2m – 1){x^2} + 2m – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} = 2m – 2{\rm{ }}(1)\end{array} \right.$
Đường thẳng $d$ cắt $(C)$ tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m – 2 \ne 1\\0 < 2m – 2 < 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{3}{2}\\1 < m < \frac{{11}}{2}\end{array} \right.$. Vậy chọn $\left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{3}{2}\\1 < m < \frac{{11}}{2}\end{array} \right.$.
Câu 8. Cho hàm số: $y = {x^3} + 2m{x^2} + 3(m – 1)x + 2$ có đồ thị $(C)$. Đường thẳng $d:y = – x + 2$ cắt đồ thị $(C)$ tại ba điểm phân biệt $A\left( {0; – 2} \right),{\rm{ }}B$ và $C$. Với $M(3;1)$, giá trị của tham số $m$ để tam giác $MBC$ có diện tích bằng $2\sqrt 7 $ là
A. $m = – 1.$ B. $m = – 1$ hoặc $m = 4.$
C. $m = 4.$ D. Không tồn tại $m.$
Lời giải:
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm
$\begin{array}{l}{x^3} + 2m{x^2} + 3(m – 1)x + 2 = – x + 2 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + 3(m – 1)} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 2mx + 3(m – 1) = 0\,\,\,\,\,(1)\end{array} \right.\end{array}$
Đường thẳng $d$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 3m + 3 > 0\\m – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall m \in \mathbb{R}\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 1$.
Khi đó ta có: $C({x_1}; – {x_1} + 2),B({x_2}; – {x_2} + 2)$ trong đó ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của $(1)$, nên theo Viet thì $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – 2m\\{x_1}{x_2} = 3m – 3\end{array} \right.$.
Vậy
$\begin{array}{l}\overrightarrow {CB} = ({x_2} – {x_1}; – {x_2} + {x_1}) \Rightarrow CB = \sqrt {2{{({x_2} – {x_1})}^2}} = \sqrt {8({m^2} – 3m + 3)} \\d(M;(d)) = \frac{{\left| { – 3 – 1 + 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \end{array}$
Diện tích tam giác $MBC$bằng $2\sqrt 7 $khi và chỉ khi
$\frac{1}{2}\sqrt {8({m^2} – 3m + 3)} .\sqrt 2 = 2\sqrt 7 \Leftrightarrow {m^2} – 3m + 3 = 7$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = 4\end{array} \right.$ ( thỏa $m \ne 1$)
Vậy chọn $m = – 1 \vee m = 4$.
Câu 9. Cho đồ thị $\left( {{C_m}} \right):y = {x^3} – 2{x^2} + \left( {1 – m} \right)x + m$. Tất cả giá trị của tham số $m$ để $\left( {{C_m}} \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ ${x_1},{x_2},{x_3}$ thỏa $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 4$ là
A. $m = 1.$ B. $m \ne 0.$ C. $m = 2.$ D. $m > – \frac{1}{4}$ và $m \ne 0.$
Lời giải:
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{C_m}} \right)$ và trục hoành là ${x^3} – 2{x^2} + \left( {1 – m} \right)x + m = 0$ $\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} – x – m} \right) = 0$ $\left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} – x – m = 0\,\;\;\,(1)\end{array} \right.$
$\left( {{C_m}} \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt Phương trình $\left( {\rm{1}} \right)$có hai nghiệm phân biệt khác $1$ $\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\1 – 1 – m \ne 0\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}1 + 4m > 0\\m \ne 0\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}m > – \frac{1}{4}\\m \ne 0\end{array} \right.\;\;(*)$
Gọi ${x_3} = 1$ còn ${x_1},\;{x_2}$ là nghiệm phương trình $\left( {\rm{1}} \right)$ nên theo Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = – m\end{array} \right.$. Vậy
${x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 = 4$ ${x_1}^2 + {x_2}^2 + 1 = 4$ ${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} – 3 = 0$ $m = 1$ (thỏa (*))
Vậy chọn $m = 1$.
Câu 10. Cho hàm số $:y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} – x + m + \frac{2}{3}$ có đồ thị $\left( {{C_m}} \right)$. Tất cả các giá trị của tham số m để $\left( {{C_m}} \right)$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ ${x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3}$ thỏa $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 > 15$ là
A. $m > 1$ hoặc $m < – 1.$ B. $m < – 1$.
C. $m > 0$. D. $m > 1$.
Lời giải:
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $d$:
$\frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} – x + m + \frac{2}{3} = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left[ {{x^2} + \left( { – 3m + 1} \right)x – 3m – 2} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\underbrace {{x^2} + \left( { – 3m + 1} \right)x – 3m – 2}_{g(x)} = 0\;\;{\rm{ }}(1)\end{array} \right.$
$\left( {{C_m}} \right)$ cắt $Ox$ tại ba điểm phân biệt$ \Leftrightarrow $ phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} + 6m + 9 > 0\\ – 6m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0$.
Gọi ${x_1} = 1$ còn ${x_2},\;{x_3}$ là nghiệm phương trình $\left( {\rm{1}} \right)$ nên theo Viet ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_2} + {x_3} = 3m – 1\\{x_2}{x_3} = – 3m – 2\end{array} \right.$.
Vậy
$\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 > 15 \Leftrightarrow 1 + {\left( {{x_2} + {x_3}} \right)^2} – 2{x_2}{x_3} > 15\\ \Leftrightarrow {\left( {3m – 1} \right)^2} + 2\left( {3m + 2} \right) – 14 > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} – 9 > 0 \Leftrightarrow m > 1 \vee m < – 1\end{array}$
Vậy chọn $m > 1 \vee m < – 1$.
