Chuyên Đề Viết Phương Trình Mặt Phẳng Dạng Cơ Bản Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Có Đáp Án Và Lời Giải

Chuyên đề viết phương trình mặt phẳng dạng cơ bản luyện thi tốt nghiệp THPT 2021 có đáp án và lời giải được phát triển từ câu 27 của đề tham khảo môn Toán.

TÌM PTMP ĐI QUA 1 ĐIỂM CHO TRƯỚC

Ⓐ Tóm tắt lý thuyết

Vấn đề ①: Tìm một VTPT của mặt phẳng

-Phương pháp: Sử dụng định nghĩa: Vectơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $,$\overrightarrow n $ có giá vuông góc với $(P)$ $ \Rightarrow \overrightarrow n $ là 1 VTPT của $(P)$

-Chú ý:

①. Nếu $\overrightarrow n $ là một VTPT của mặt phẳng $(P)$ thì $k\overrightarrow n \,$$\,(k \ne 0)$ cũng là một VTPT của mp$(P)$

②. Nếu mp$(P)$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0\,\,$thì nó có một VTPT là $\overrightarrow n (A;\,B;\,C)$.

③. Nếu $(P)$có cặp $\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v $ không cùng phương với nhau và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng $(P)$ thì $\overrightarrow n = {\rm{[}}\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v {\rm{]}}$ là một VTPT của $(P)$.

  Bài tập minh họa:

Câu 1: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x + 2y – 4z + 1 = 0$. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$? Ⓐ.$\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;\,2;\,4} \right)$ Ⓑ. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2;\, – 4;\,1} \right)$ Ⓒ. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;\, – 4;\,1} \right)$ Ⓓ. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;\,2;\, – 4} \right)$
Lời giải Chọn D Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$với $A = 3;\,B = 2;\,C = – 4;\,D = 1$. Suy ra $\left( \alpha \right)$ có $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;\,2;\, – 4} \right)$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$	PP nhanh trắc nghiệm Quan sát nhanh
Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x – 3z + 4 = 0$. Vectơ nào dưới đây có giá vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ ? Ⓐ.${\vec n_3} = \left( {2;\, – 3;\,4} \right)$. Ⓑ. ${\vec n_1} = \left( {2;\,0;\, – 3} \right)$. Ⓒ. ${\vec n_2} = \left( {3;\,0;\,2} \right)$. Ⓓ. ${\vec n_4} = \left( {2;\, – 3;\,0} \right)$
Lời giải Chọn B Vectơ ${\vec n_1} = \left( {2;\,0;\, – 3} \right)$có giá vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ vì là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.	PP nhanh trắc nghiệm Quan sát nhanh

 

Vấn đề ②: Viết phương trình mặt phẳng

-Phương pháp:

❶.Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

$(\alpha ):A(x – {x_0}) + B(y – {y_0}) + C(z – {z_0}) = 0.$

Hay $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0.$

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: $\frac{{\rm{x}}}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

❷.Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$đi qua 1 điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$và song song với 1 mặt phẳng $\left( \beta \right):Ax + By + Cz + D = 0$cho trước.

. VTPT của $(\beta )$ là $\overrightarrow {{n_\beta }} = (A;B;C).$

. $(\alpha )//(\beta )$ nên VTPT của mặt phẳng $(\beta )$ là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_\beta }} = (A;B;C).$

. Phương trình mặt phẳng $(\alpha ):A(x – {x_0}) + B(y – {y_0}) + C(z – {z_0}) = 0.$

❸.Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua 3 điểm $A$, $B$, $C$không thẳng hàng.

. Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} .$

.Vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$là : $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.

.Điểm thuộc mặt phẳng: $A$ (hoặc $B$ hoặc $C$).

. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT $\overrightarrow {{n_\alpha }} $.

❹. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$qua hai điểm $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(\beta )$.

. Tìm VTPT của $(\beta )$ là $\overrightarrow {{n_\beta }} .$

. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB} .$

. VTPT của mặt phẳng $(\alpha )$ là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {AB} } \right]$.

. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

 Bài tập minh họa:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$? Ⓐ.$x = y + z$. Ⓑ. $y – z = 0$. Ⓒ. $y + z = 0$. Ⓓ. $x = 0$.
Lời giải Chọn D Mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ đi qua $O\left( {0;0;0} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {1;0;0} \right)$ làm vec tơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là $x = 0$	PP nhanh trắc nghiệm
Câu 2: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;5; – 2} \right)$, $B\left( {3;1;2} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng$AB$. A.$2x + 3y + 4 = 0$. Ⓑ. $x – 2y + 2x = 0$. Ⓒ. $x – 2y + 2z + 8 = 0$. Ⓓ.$x – 2y + 2z + 4 = 0$.
Lời giải Chọn D Ta có:$\overrightarrow {AB} = \left( {2; – 4;4} \right)$ là một VTPT của mặt phẳng trung trực đoạn thẳng $AB$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$$ \Rightarrow I\left( {2;3;0} \right)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ đi qua điểm $I$ và có VTPT $\overrightarrow n = \left( {2; – 4;4} \right)$ nên có phương trình là:$2\left( {x – 2} \right) – 4\left( {y – 3} \right) + 4\left( {z – 0} \right) = 0$$ \Leftrightarrow x – 2y + 2z + 4 = 0$.	PP nhanh trắc nghiệm
Câu 3: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng chứa trục $Oz$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right):\,x – y + 2z – 1 = 0$ có phương trình là Ⓐ.$x + y = 0.$ Ⓑ. $x + 2y = 0.$ Ⓒ. $x – y = 0.$ Ⓓ. $x + y – 1 = 0.$
Lời giải Chọn A Mặt phẳng $\left( \alpha \right):\,x – y + 2z – 1 = 0$ có vec tơ pháp tuyến ${\vec n_\alpha } = \left( {1;\, – 1;\,2} \right)$ Trên trục $Oz$có vec tơ đơn vị $\vec k = \left( {0;\,0;\,1} \right)$ Mặt phẳng chứa trục $Oz$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$là mặt phẳng qua $O$ và nhận $\left[ {{{\vec n}_\alpha };\,\vec k} \right] = \left( { – 1;\, – 1;\,0} \right)$ làm vec tơ pháp tuyến. Do đó có phương trình $ – x – y = 0 \Leftrightarrow x + y = 0$.	PP nhanh trắc nghiệm

 

Ⓑ Bài tập rèn luyện

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}$ vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $\left( P \right):x + y + z = 0$. B. $\left( \alpha \right):x + y + 2z = 0$.

C. $\left( \beta \right):x + y – z = 0$. D. $\left( Q \right):x + y – 2z = 0$.

Câu 2: Trong không gian $Oxyz$, điểm $M\left( {3;4; – 2} \right)$ thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $\left( R \right):x + y – 7 = 0$. B. $\left( S \right):x + y + z + 5 = 0$.

C. $\left( Q \right):x – 1 = 0$. D. $\left( P \right):z – 2 = 0$.

Câu 3: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( {\;P} \right)$ có phương trình $3x – y + z – 1 = 0$. Trong các điểm sau đây điểm nào thuộc $\left( {\;P} \right)$.

A. $B\left( {1; – 2;4} \right)$. B. $A\left( {1; – 2; – 4} \right)$. C. $C\left( {1;2; – 4} \right)$. D. $D\left( { – 1; – 2; – 4} \right)$.

Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$?

A. $y – 2 = 0$. B. $x – 2 = 0$. C. $y – z = 0$. D. $x – y = 0$.

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right):x + 3y – 5z + 2 = 0$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 3;{\rm{ }} – 9{\rm{; 15}}} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( { – 1; – 3{\rm{; 5}}} \right)$.

C. $\overrightarrow n = \left( {2;{\rm{ 6; }} – {\rm{10}}} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( { – 2;{\rm{ }} – {\rm{6; }} – {\rm{10}}} \right)$.

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho vectơ $\overrightarrow n \left( {0;\,1;\,1} \right)$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng được cho bởi các phương trình dưới đây nhận vectơ $\overrightarrow n $ làm vectơ pháp tuyến?

A. $x = 0$. B. $y + z = 0$. C. $z = 0$. D. $x + y = 0$.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$?

A. $x = y + z$ B. $y – z = 0$ C. $y + z = 0$ D. $x = 0$

Câu 8: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x – z + 1 = 0$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2;0; – 1} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;1;0} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; – 1;1} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; – 1;0} \right)$.

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $3x + 2y – 3 = 0.$ Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow n = \left( {6;\,\,4;\,\,0} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

B. $\overrightarrow n = \left( {6;\,\,4; – 6} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

C. $\overrightarrow n = \left( {3;\,\,2; – 3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

D. $\overrightarrow n = \left( {3;\,\,2;\,\,3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

Câu 10: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x – z + 5 = 0$. Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là

A. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;0; – 1} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;0;1} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1;5} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2; – 1;5} \right)$.

Câu 11: Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y – 4z + 1 = 0$. Khi đó, một véctơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$?

A. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;1} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2;3; – 4} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;4} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;4} \right)$.

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ$Oxyz$, cho mặt phẳng$(P)$: $2x – y + 5 = 0$, véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là.

A. $\overrightarrow n = (2;0; – 1)$. B. $\overrightarrow n = (2; – 1;5)$. C. $\overrightarrow n = (2; – 1;1)$. D. $\overrightarrow n = (2; – 1;0)$.

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x + y – 3z + 1 = 0$. Tìm một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n $ của $\left( P \right)$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 4;2;6} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( { – 6; – 3;9} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {6; – 3; – 9} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)$.

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa dộ $Oxyz$cho mặt phẳng $\left( P \right):2x – y – 3z + 2 = 0$. Tìm một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n $ của $\left( P \right)$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 4;\;2;\;6} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2;\; – 1;\;3} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 2;\;1;\; – 3} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2;\;1;\; – 3} \right)$.

Câu 15: Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$: $z – 2x + 3 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là:

A. $\vec u = \left( {0;{\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} – 2} \right)$. B. $\vec v = \left( {1;{\mkern 1mu} – 2;{\mkern 1mu} 3} \right)$. C. $\vec n = \left( {2;{\mkern 1mu} 0;{\mkern 1mu} – 1} \right)$. D. $\vec w = \left( {1;{\mkern 1mu} – 2;{\mkern 1mu} 0} \right)$.

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $\left( P \right):2x – 2z + z + 2017 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; – 1;4} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1; – 2;2} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;2;1} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( { – 2;2; – 1} \right)$.

Câu 17: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + 3z – 1 = 0$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là

A. $\overrightarrow n = \left( { – 2;1;3} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {1;3; – 2} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;1} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;3} \right)$.

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):3x – 4y + 5z – 2 = 0.$ vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow n = \left( {3; – 5; – 2} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {3; – 4;2} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 4;5; – 2} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {3; – 4;5} \right)$.

Câu 19: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):4x + 2y – 6z + 5 = 0$. Khi đó một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là.

A. $\overrightarrow n = \left( {2;1; – 3} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {4; – 2; – 6} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {4; – 2;6} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {4;2;6} \right)$.

Câu 20: Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y – z – 1 = 0$. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

A. $Q\left( {1;\,2;\, – 5} \right)$. B. $N\left( {4;\,2;\,1} \right)$. C. $M\left( { – 2;\,1;\, – 8} \right)$. D. $P\left( {3;\,1;\,3} \right)$.

Câu 21: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\,2x – 3y + 4z + 5 = 0$. Vectơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 3;4;5} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( { – 4; – 3;2} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;5} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;4} \right)$.

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):y – 2z + 1 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. $\vec n = \left( {1; – 2;1} \right)$. B. $\vec n = \left( {1; – 2;0} \right)$. C. $\vec n = \left( {0;1; – 2} \right)$. D. $\vec n = \left( {0;2;4} \right)$.

Câu 23: Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y – 4z + 1 = 0$. Khi đó, một véc tơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$

A. $\overrightarrow n = \left( {2;3; – 4} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;4} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;4} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;1} \right)$.

Câu 24: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 3z – 6 = 0$ điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $N\left( {1;1;1} \right)$ B. $Q\left( {1;2;1} \right)$ C. $P\left( {3;2;0} \right)$ D. $M\left( {1;2;3} \right)$

Câu 25: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( {1;0;2} \right)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $M \in \left( {Oxz} \right)$ B. $M \in \left( {Oyz} \right)$ C. $M \in Oy$ D. $M \in \left( {Oxy} \right)$

Câu 26: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có phương trình là

A. $z = 0$. B. $x + y + z = 0$. C. $x = 0$. D. $y = 0$.

Câu 27: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x – y + 3 = 0$. Véctơ nào sau đây không phải là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow a = \left( {3;\, – 3;\,0} \right)$. B. $\overrightarrow a = \left( {1;\, – 1;\,3} \right)$. C. $\overrightarrow a = \left( {1;\, – 1;\,0} \right)$. D. $\overrightarrow a = \left( { – 1;\,1;\,0} \right)$.

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right):2x – 4y + 3 = 0$ là.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 1;2; – 3} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;0} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 2;1;0} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2; – 4;3} \right)$.

Câu 29: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {2; – 1;3} \right)$, $B\left( {4;0;1} \right)$ và $C\left( { – 10;5;3} \right)$. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$?

A. $\vec n = \left( {1;8;2} \right)$. B. $\vec n = \left( {1;2;0} \right)$. C. $\vec n = \left( {1;2;2} \right)$. D. $\vec n = \left( {1; – 2;2} \right)$.

Câu 30: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):3x + y – 2z + 1 = 0$. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. ${\vec n_1} = \left( {3;1; – 2} \right)$. B. ${\vec n_2} = \left( {1; – 2;1} \right)$. C. ${\vec n_3} = \left( { – 2;1;3} \right)$. D. ${\vec n_4} = \left( {3; – 2;1} \right)$.

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ$Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {0;1;1} \right)$; $B\left( {1; – 2;0} \right)$ và $C\left( {1;0;2} \right)$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( { – 4;2; – 2} \right)$ B. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2; – 1;1} \right)$ C. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4;2;2} \right)$ D. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;1; – 1} \right)$

Câu 32: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxyz,$ vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là:

A. $\overrightarrow n \left( {1;\,\,0;\,\,0} \right)$. B. $\overrightarrow n \left( {0;\,\,1;\,\,0} \right)$. C. $\overrightarrow n \left( {\,0;\,\,0;\,\,1} \right)$. D. $\overrightarrow n \left( {1;\,\,0;\,\,1} \right)$.

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x + y – 3z + 1 = 0$. Tìm một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n $ của $\left( P \right)$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 4;2;6} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 6; – 3;9} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {6; – 3; – 9} \right)$.

Câu 34: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 3z – 6 = 0$ điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $N\left( {1;1;1} \right)$ B. $Q\left( {1;2;1} \right)$ C. $P\left( {3;2;0} \right)$ D. $M\left( {1;2;3} \right)$

Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2z + 3 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. ${\vec n_1} = \left( {1; – 2;3} \right)$. B. ${\vec n_2} = \left( {1;0; – 2} \right)$. C. ${\vec n_3} = \left( {1; – 1;0} \right)$. D. ${\vec n_4} = \left( {0;1;0} \right)$.

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + 3 = 0$. Véc tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là

A. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;3} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;0} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {1;3} \right)$.

Câu 37: Tìm một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right):2x – 3y + z = 0$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 2;\; – 3;\;1} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2;\; – 3;\;1} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {2;\; – 3;\;0} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2;\; – 3;\; – 1} \right)$.

Câu 38: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( P \right):2x – z + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

A. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,0;\, – 1} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\, – 1;\,3} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\, – 1;\,0} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( { – 1;\,0;\, – 1} \right)$.

Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$:$\,2x – y + 3z – 1 = 0$. Véc tơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

A. $\vec n = \left( { – 4;2; – 6} \right)$ B. $\vec n = \left( {2;1; – 3} \right)$ C. $\vec n = \left( { – 2;1;3} \right)$ D. $\vec n = \left( {2;1;3} \right)$

Câu 40: Trong không gian$Oxyz$, cho mặt phẳng$\left( P \right):3x–z + 2 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của$\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow {{n_4}} = ( – 1;0; – 1)$ B. $\overrightarrow {{n_1}} = (3; – 1;2)$ C. $\overrightarrow {{n_3}} = (3; – 1;0)$ D. $\overrightarrow {{n_2}} = (3;0; – 1)$

Câu 41: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):2x + z – 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2;1;0} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;2;1} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1; – 1} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;0;1} \right)$.

Câu 42: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x + y – 3z + 1 = 0$. Tìm một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n $ của $\left( P \right)$

A. $\overrightarrow n = \left( { – 4;2;6} \right)$ B. $\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)$ C. $\overrightarrow n = \left( { – 6; – 3;9} \right)$ D. $\overrightarrow n = \left( {6; – 3; – 9} \right)$

Câu 43: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + 3z + 2020 = 0$. Vectơ nào dưới đây không phải là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow n = \left( { – 2;4; – 6} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( { – 1;2; – 3} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;3} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;2020} \right)$.

Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào sau đây không là phương trình mặt phẳng:

A. $x + y = 4$ B. $x + y + z = 4$ C. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 4$ D. $y + z = 4$

Câu 45: Cho hai điểm $M\left( {1;2; – 4} \right)$ và $M’\left( {5;4;2} \right)$ biết $M’$ là hình chiếu vuông góc của $M$lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Khi đó mặt phẳng $\left( \alpha \right)$có một véctơ pháp tuyến là

A. $\overrightarrow n = \left( {3;3; – 1} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2; – 1;3} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2;3;3} \right)$.

Câu 46: Trong không gian $\left( {Oxyz} \right)$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y – z + 2 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$có tọa độ là

A. $\left( {1; – 2;{\rm{ }}1} \right)$ B. $\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}1} \right)$ C. $\left( {1;{\rm{ }}1; – 1} \right)$ D. $\left( {1; – 2;{\rm{ }}1} \right)$

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$:$\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. $\vec n = \left( {3;2;1} \right)$. B. $\vec n = \left( {2;3;6} \right)$. C. $\vec n = \left( {1;2;3} \right)$. D. $\vec n = \left( {6;3;2} \right)$.

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm một vectơ pháp tuyến $\vec n$ của mặt phẳng $\left( \alpha \right):4y – 6z + 7 = 0.$.

A. $\vec n = \left( {0;6;4} \right)$. B. $\vec n = \left( {4; – 6;7} \right)$. C. $\vec n = \left( {4;0; – 6} \right)$. D. $\vec n = \left( {0;2; – 3} \right)$.

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho phương trình mặt phẳng $\left( P \right):2x + 3y – 4z + 5 = 0$. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow n = ( – 4;3;2)$. B. $\overrightarrow n = (2,3, – 4)$. C. $\overrightarrow n = (2;3;4)$. D. $\overrightarrow n = (2;3;5)$.

Câu 50: Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – y + 3z – 1 = 0$. Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

A. $\vec n = \left( { – 4;2; – 6} \right)$ B. $\vec n = \left( {2;1; – 3} \right)$ C. $\vec n = \left( { – 2;1;3} \right)$ D. $\vec n = \left( {2;1;3} \right)$

ĐÁP ÁN

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
B	A	B	B	D	B	D	A	A	A
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
D	D	B	A	C	D	D	D	A	D
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
D	C	C	A	A	C	B	B	C	A
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
D	A	C	A	B	B	B	A	A	D
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
D	C	D	C	C	C	D	D	B	A

Hướng dẫn giải

 Dạng 01: Tìm VTPT, các vấn đề về lý thuyết

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}$ vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $\left( P \right):x + y + z = 0$. B. $\left( \alpha \right):x + y + 2z = 0$.

C. $\left( \beta \right):x + y – z = 0$. D. $\left( Q \right):x + y – 2z = 0$.

Lời giải

$\Delta \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} $ cùng phương với $\overrightarrow {{n_P}} $.

Do VTCP của $\Delta \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1;\,1;\,2} \right)$, VTPT của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow {{n_P} = \left( {1;\,1;\,2} \right)} $.

Câu 2: Trong không gian $Oxyz$, điểm $M\left( {3;4; – 2} \right)$ thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $\left( R \right):x + y – 7 = 0$. B. $\left( S \right):x + y + z + 5 = 0$.

C. $\left( Q \right):x – 1 = 0$. D. $\left( P \right):z – 2 = 0$.

Lời giải

Xét đáp án A ta thấy $3 + 4 – 7 = 0$ vậy $M$ thuộc $\left( R \right)$.$$

Xét đáp án B ta thấy $3 + 4 – 2 + 5 = 10 \ne 0$ vậy $M$không thuộc $\left( S \right)$.

Xét đáp án C ta thấy $3 – 1 = 2 \ne 0$ vậy $M$không thuộc $\left( Q \right)$.

Xét đáp án D ta thấy $ – 2 – 2 = – 4 \ne 0$ vậy $M$không thuộc $\left( P \right)$.

Câu 3: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( {\;P} \right)$ có phương trình $3x – y + z – 1 = 0$. Trong các điểm sau đây điểm nào thuộc $\left( {\;P} \right)$.

A. $B\left( {1; – 2;4} \right)$. B. $A\left( {1; – 2; – 4} \right)$. C. $C\left( {1;2; – 4} \right)$. D. $D\left( { – 1; – 2; – 4} \right)$.

Lời giải

Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng ta thấy điểm $A$ thỏa.

Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$?

A. $y – 2 = 0$. B. $x – 2 = 0$. C. $y – z = 0$. D. $x – y = 0$.

Lời giải

$\left( {Oyz} \right)$ có phương trình $x = 0$$ \Rightarrow $ $x – 2 = 0$ là mặt phẳng song song với $\left( {Oyz} \right)$.

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right):x + 3y – 5z + 2 = 0$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 3;{\rm{ }} – 9{\rm{; 15}}} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( { – 1; – 3{\rm{; 5}}} \right)$.

C. $\overrightarrow n = \left( {2;{\rm{ 6; }} – {\rm{10}}} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( { – 2;{\rm{ }} – {\rm{6; }} – {\rm{10}}} \right)$.

Lời giải

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;3; – 5} \right)$.

Vì vectơ $\overrightarrow n = \left( { – 2;{\rm{ }} – {\rm{6; }} – {\rm{10}}} \right)$ không cùng phương với $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} $ nên không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho vectơ $\overrightarrow n \left( {0;\,1;\,1} \right)$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng được cho bởi các phương trình dưới đây nhận vectơ $\overrightarrow n $ làm vectơ pháp tuyến?

A. $x = 0$. B. $y + z = 0$. C. $z = 0$. D. $x + y = 0$.

Lời giải

$y + z = 0 \Leftrightarrow 0.x + y + z = 0 \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {0;\,1;\,1} \right)$.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$?

A. $x = y + z$ B. $y – z = 0$ C. $y + z = 0$ D. $x = 0$

Lời giải

Mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ đi qua $O\left( {0;0;0} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {1;0;0} \right)$ làm vec tơ pháp tuyến.

Câu 8: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x – z + 1 = 0$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2;0; – 1} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;1;0} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; – 1;1} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; – 1;0} \right)$.

Lời giải

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $3x + 2y – 3 = 0.$ Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow n = \left( {6;\,\,4;\,\,0} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

B. $\overrightarrow n = \left( {6;\,\,4; – 6} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

C. $\overrightarrow n = \left( {3;\,\,2; – 3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

D. $\overrightarrow n = \left( {3;\,\,2;\,\,3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

Lời giải

Có: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;2;0} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right).$

Vậy: $\overrightarrow n = \left( {6;4;0} \right) = 2\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} $, nên $\overrightarrow n = \left( {6;\,\,4;\,\,0} \right)$cũng là một vectơ pháp tuyến của mp$\left( P \right).$

Câu 10: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x – z + 5 = 0$. Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là

A. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;0; – 1} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;0;1} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1;5} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2; – 1;5} \right)$.

Lời giải

Câu 11: Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y – 4z + 1 = 0$. Khi đó, một véctơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$?

A. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;1} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2;3; – 4} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;4} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;4} \right)$.

Lời giải

Mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y – 4z + 1 = 0$ có vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2; – 3; – 4} \right) = – \left( { – 2;3;4} \right)$ nên chọn đáp án

D.

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ$Oxyz$, cho mặt phẳng$(P)$: $2x – y + 5 = 0$, véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là.

A. $\overrightarrow n = (2;0; – 1)$. B. $\overrightarrow n = (2; – 1;5)$. C. $\overrightarrow n = (2; – 1;1)$. D. $\overrightarrow n = (2; – 1;0)$.

Lời giải

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x + y – 3z + 1 = 0$. Tìm một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n $ của $\left( P \right)$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 4;2;6} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( { – 6; – 3;9} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {6; – 3; – 9} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)$.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow a = \left( {2;1; – 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \left( { – 6; – 3;9} \right)$.

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa dộ $Oxyz$cho mặt phẳng $\left( P \right):2x – y – 3z + 2 = 0$. Tìm một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n $ của $\left( P \right)$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 4;\;2;\;6} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2;\; – 1;\;3} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 2;\;1;\; – 3} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2;\;1;\; – 3} \right)$.

Lời giải

Một VTPT của $\left( P \right)$là: $\left( {2;\; – 1;\; – 3} \right)$. Suy ra $\overrightarrow n = \left( { – 4;\;2;\;6} \right)$.

Câu 15: Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$: $z – 2x + 3 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là:

A. $\vec u = \left( {0;{\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} – 2} \right)$. B. $\vec v = \left( {1;{\mkern 1mu} – 2;{\mkern 1mu} 3} \right)$. C. $\vec n = \left( {2;{\mkern 1mu} 0;{\mkern 1mu} – 1} \right)$. D. $\vec w = \left( {1;{\mkern 1mu} – 2;{\mkern 1mu} 0} \right)$.

Lời giải

Ta có: $z – 2x + 3 = 0$$ \Leftrightarrow 2x – z – 3 = 0$. Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {2;{\mkern 1mu} 0;{\mkern 1mu} – 1} \right)$.

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $\left( P \right):2x – 2z + z + 2017 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; – 1;4} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1; – 2;2} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;2;1} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( { – 2;2; – 1} \right)$.

Lời giải

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow {{n_3}} = \left( { – 2;2; – 1} \right)$.

Câu 17: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + 3z – 1 = 0$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là

A. $\overrightarrow n = \left( { – 2;1;3} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {1;3; – 2} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;1} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;3} \right)$.

Lời giải

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;3} \right)$.

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):3x – 4y + 5z – 2 = 0.$ vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow n = \left( {3; – 5; – 2} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {3; – 4;2} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 4;5; – 2} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {3; – 4;5} \right)$.

Lời giải

Vì $\left( P \right):3x – 4y + 5z – 2 = 0.$ nên một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow n = \left( {3; – 4;5} \right)$.

Câu 19: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):4x + 2y – 6z + 5 = 0$. Khi đó một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là.

A. $\overrightarrow n = \left( {2;1; – 3} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {4; – 2; – 6} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {4; – 2;6} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {4;2;6} \right)$.

Lời giải

Câu 20: Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y – z – 1 = 0$. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

A. $Q\left( {1;\,2;\, – 5} \right)$. B. $N\left( {4;\,2;\,1} \right)$. C. $M\left( { – 2;\,1;\, – 8} \right)$. D. $P\left( {3;\,1;\,3} \right)$.

Lời giải

Thay lần lượt toạ độ của các điểm $P$, $Q$, $M$, $N$. Chỉ có toạ độ điểm $P$ không thoả nên $P \in \left( \alpha \right)$.

Câu 21: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\,2x – 3y + 4z + 5 = 0$. Vectơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 3;4;5} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( { – 4; – 3;2} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;5} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;4} \right)$.

Hướng dẫn giải

Dễ thấy $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {2; – 3;4} \right)$.

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):y – 2z + 1 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. $\vec n = \left( {1; – 2;1} \right)$. B. $\vec n = \left( {1; – 2;0} \right)$. C. $\vec n = \left( {0;1; – 2} \right)$. D. $\vec n = \left( {0;2;4} \right)$.

Lời giải

Phương trình $\left( P \right):y – 2z + 1 = 0$nên $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {0;1; – 2} \right)$.

Câu 23: Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y – 4z + 1 = 0$. Khi đó, một véc tơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$

A. $\overrightarrow n = \left( {2;3; – 4} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;4} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;4} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;1} \right)$.

Lời giải

Mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – 3y – 4z + 1 = 0$ có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_0}} = \left( {2; – 3; – 4} \right)$.

Nhận thấy $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;4} \right) = – \overrightarrow {{n_0}} $, hay $\overrightarrow n $ cùng phương với $\overrightarrow {{n_0}} $.

Do đó véc tơ $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;4} \right)$cũng là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng$\left( \alpha \right)$

Câu 24: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 3z – 6 = 0$ điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $N\left( {1;1;1} \right)$ B. $Q\left( {1;2;1} \right)$ C. $P\left( {3;2;0} \right)$ D. $M\left( {1;2;3} \right)$

Lời giải

Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, ta thấy chi có tọa độ điểm $N$ thỏa mãn.

Câu 25: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( {1;0;2} \right)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $M \in \left( {Oxz} \right)$ B. $M \in \left( {Oyz} \right)$ C. $M \in Oy$ D. $M \in \left( {Oxy} \right)$

Lời giải

Do ${y_M} = 0$ nên $M \in \left( {Oxz} \right)$.

Câu 26: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có phương trình là

A. $z = 0$. B. $x + y + z = 0$. C. $x = 0$. D. $y = 0$.

Câu 27: Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x – y + 3 = 0$. Véctơ nào sau đây không phải là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow a = \left( {3;\, – 3;\,0} \right)$. B. $\overrightarrow a = \left( {1;\, – 1;\,3} \right)$. C. $\overrightarrow a = \left( {1;\, – 1;\,0} \right)$. D. $\overrightarrow a = \left( { – 1;\,1;\,0} \right)$.

Lời giải

Ta có mặt phẳng$\left( P \right):x – y + 3 = 0$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;\, – 1;\,0} \right)$.

Trong các đáp án A, C, D lần lượt có $\overrightarrow a = 3\overrightarrow n ;\,\overrightarrow a = – \overrightarrow n ;\,\overrightarrow a = \overrightarrow n $ nên các véctơ đó đều là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Đáp án: B ($\overrightarrow a = \left( {1;\, – 1;\,0} \right)$ không phải là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ ).

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right):2x – 4y + 3 = 0$ là.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 1;2; – 3} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;0} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 2;1;0} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2; – 4;3} \right)$.

Lời giải

Mặt phẳng $Ax + By + Cz + D = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;\;B;\;C} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;\; – 4;\;0} \right) = 2\left( {1;\; – 2;\;0} \right)$.

Câu 29: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {2; – 1;3} \right)$, $B\left( {4;0;1} \right)$ và $C\left( { – 10;5;3} \right)$. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$?

A. $\vec n = \left( {1;8;2} \right)$. B. $\vec n = \left( {1;2;0} \right)$. C. $\vec n = \left( {1;2;2} \right)$. D. $\vec n = \left( {1; – 2;2} \right)$.

Lời giải

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;1; – 2} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( { – 12;6;0} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12;24;24} \right)$

$ \Rightarrow \left( {ABC} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {1;2;2} \right)$.

Câu 30: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):3x + y – 2z + 1 = 0$. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. ${\vec n_1} = \left( {3;1; – 2} \right)$. B. ${\vec n_2} = \left( {1; – 2;1} \right)$. C. ${\vec n_3} = \left( { – 2;1;3} \right)$. D. ${\vec n_4} = \left( {3; – 2;1} \right)$.

Lời giải

Từ phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta có vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là ${\vec n_1} = \left( {3;1; – 2} \right)$.

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ$Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {0;1;1} \right)$; $B\left( {1; – 2;0} \right)$ và $C\left( {1;0;2} \right)$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( { – 4;2; – 2} \right)$ B. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2; – 1;1} \right)$ C. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4;2;2} \right)$ D. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;1; – 1} \right)$

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1; – 3; – 1} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {1; – 1;1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { – 4; – 2;2} \right)$ hay vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {n’} = \left( {2;1; – 1} \right)$.

Câu 32: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxyz,$ vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là:

A. $\overrightarrow n \left( {1;\,\,0;\,\,0} \right)$. B. $\overrightarrow n \left( {0;\,\,1;\,\,0} \right)$. C. $\overrightarrow n \left( {\,0;\,\,0;\,\,1} \right)$. D. $\overrightarrow n \left( {1;\,\,0;\,\,1} \right)$.

Lời giải

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x + y – 3z + 1 = 0$. Tìm một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n $ của $\left( P \right)$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 4;2;6} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( { – 6; – 3;9} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {6; – 3; – 9} \right)$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow n = \left( { – 6; – 3;9} \right)$ là một véc tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

Câu 34: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 3z – 6 = 0$ điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $N\left( {1;1;1} \right)$ B. $Q\left( {1;2;1} \right)$ C. $P\left( {3;2;0} \right)$ D. $M\left( {1;2;3} \right)$

Lời giải

Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, ta thấy chi có tọa độ điểm $N$ thỏa mãn.

Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2z + 3 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. ${\vec n_1} = \left( {1; – 2;3} \right)$. B. ${\vec n_2} = \left( {1;0; – 2} \right)$. C. ${\vec n_3} = \left( {1; – 1;0} \right)$. D. ${\vec n_4} = \left( {0;1;0} \right)$.

Lời giải

Nếu mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0\,\,$thì $(\alpha )$ có một VTPT là $\overrightarrow n = (A;\,B;\,C)$. Do đó, mặt phẳng $\left( P \right):x – 2z + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến ${\vec n_2} = \left( {1;0; – 2} \right)$.

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + 3 = 0$. Véc tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là

A. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;3} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;0} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {1;3} \right)$.

Lời giải

Mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + 3 = 0$ có một véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;0} \right)$.

Câu 37: Tìm một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right):2x – 3y + z = 0$.

A. $\overrightarrow n = \left( { – 2;\; – 3;\;1} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2;\; – 3;\;1} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {2;\; – 3;\;0} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2;\; – 3;\; – 1} \right)$.

Lời giải

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ với ${A^2} + {B^2} + {C^2} > 0$.

Có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {A;\;B;\;C} \right)$.

Do đó mặt phẳng $\left( P \right):2x – 3y + z = 0$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;\; – 3;\;1} \right)$.

Câu 38: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( P \right):2x – z + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

A. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,0;\, – 1} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\, – 1;\,3} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\, – 1;\,0} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( { – 1;\,0;\, – 1} \right)$.

Lời giải

Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$:$\,2x – y + 3z – 1 = 0$. Véc tơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

A. $\vec n = \left( { – 4;2; – 6} \right)$ B. $\vec n = \left( {2;1; – 3} \right)$ C. $\vec n = \left( { – 2;1;3} \right)$ D. $\vec n = \left( {2;1;3} \right)$

Lời giải

$\left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {2; – 1;3} \right)$ nên $\left( \alpha \right)$ cũng nhận $\vec k = \left( { – 4;2; – 6} \right)$ là vectơ pháp tuyến.

Câu 40: Trong không gian$Oxyz$, cho mặt phẳng$\left( P \right):3x–z + 2 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của$\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow {{n_4}} = ( – 1;0; – 1)$ B. $\overrightarrow {{n_1}} = (3; – 1;2)$ C. $\overrightarrow {{n_3}} = (3; – 1;0)$ D. $\overrightarrow {{n_2}} = (3;0; – 1)$

Lời giải

Câu 41: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):2x + z – 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2;1;0} \right)$. B. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;2;1} \right)$. C. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1; – 1} \right)$. D. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;0;1} \right)$.

Lời giải

Lý thuyết: Phương trình của mặt phẳng $(P)$ có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$, khi đó$(P)$ có vectơ pháp tuyến là: ${\overrightarrow n _{(P)}} = \left( {A;B;C} \right)$

Áp dụng: Mặt phẳng $(P):2x + z – 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;0;1} \right)$.

Câu 42: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x + y – 3z + 1 = 0$. Tìm một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n $ của $\left( P \right)$

A. $\overrightarrow n = \left( { – 4;2;6} \right)$ B. $\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)$ C. $\overrightarrow n = \left( { – 6; – 3;9} \right)$ D. $\overrightarrow n = \left( {6; – 3; – 9} \right)$

Lời giải

mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x + y – 3z + 1 = 0$nên có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;1; – 3} \right)$ và vecto $k\overrightarrow n $ cũng là vecto pháp tuyến của $\left( P \right)$ nên chọn

C.

Câu 43: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + 3z + 2020 = 0$. Vectơ nào dưới đây không phải là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow n = \left( { – 2;4; – 6} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( { – 1;2; – 3} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;3} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;2020} \right)$.

Lời giải

+) Mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + 3z + 2020 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; – 2;3} \right)$.

+) Các vectơ ở phương án A;B;C cùng phương với $\overrightarrow {{n_P}} $ nên cũng là vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

+) Vectơ $\overrightarrow n = \left( { – 2;3;2020} \right)$ ở phương án D không cùng phương với $\overrightarrow {{n_P}} $ nên không phải là vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào sau đây không là phương trình mặt phẳng:

A. $x + y = 4$ B. $x + y + z = 4$ C. ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 4$ D. $y + z = 4$

Lời giải

Ta có ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 4$ là phương trình mặt cầu tâm $O\left( {0; 0; 0} \right)$ bán kính $R = 2$.

Câu 45: Cho hai điểm $M\left( {1;2; – 4} \right)$ và $M’\left( {5;4;2} \right)$ biết $M’$ là hình chiếu vuông góc của $M$lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Khi đó mặt phẳng $\left( \alpha \right)$có một véctơ pháp tuyến là

A. $\overrightarrow n = \left( {3;3; – 1} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( {2; – 1;3} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2;3;3} \right)$.

Lời giải

Do $M’$ là hình chiếu vuông góc của $M$lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$nên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$vuông góc với véctơ $\overrightarrow {MM’} = \left( {4;2;6} \right) = 2\left( {2;1;3} \right)$.

Chọn một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$là $\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)$.

PB: chỉnh lại dấu vectơ $\vec n = \left( {3;3; – 1} \right)$ thay vì $\overrightarrow n = \left( {3;3; – 1} \right)$.

Câu 46: Trong không gian $\left( {Oxyz} \right)$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y – z + 2 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$có tọa độ là

A. $\left( {1; – 2;{\rm{ }}1} \right)$ B. $\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}1} \right)$ C. $\left( {1;{\rm{ }}1; – 1} \right)$ D. $\left( {1; – 2;{\rm{ }}1} \right)$

Lời giải

$\left( P \right):x + y – z + 2 = 0$. Véc tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ có tọa độ là: $\left( {1;{\rm{ }}1; – 1} \right)$.

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$:$\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A. $\vec n = \left( {3;2;1} \right)$. B. $\vec n = \left( {2;3;6} \right)$. C. $\vec n = \left( {1;2;3} \right)$. D. $\vec n = \left( {6;3;2} \right)$.

Lời giải

Ta có $\left( P \right)$:$\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$$ \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z – 6 = 0$$ \Rightarrow \left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {6;3;2} \right)$.

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm một vectơ pháp tuyến $\vec n$ của mặt phẳng $\left( \alpha \right):4y – 6z + 7 = 0.$.

A. $\vec n = \left( {0;6;4} \right)$. B. $\vec n = \left( {4; – 6;7} \right)$. C. $\vec n = \left( {4;0; – 6} \right)$. D. $\vec n = \left( {0;2; – 3} \right)$.

Lời giải

Vectơ pháp tuyến $\vec n$ của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\vec n = \left( {0;2; – 3} \right).$.

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho phương trình mặt phẳng $\left( P \right):2x + 3y – 4z + 5 = 0$. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$?

A. $\overrightarrow n = ( – 4;3;2)$. B. $\overrightarrow n = (2,3, – 4)$. C. $\overrightarrow n = (2;3;4)$. D. $\overrightarrow n = (2;3;5)$.

Lời giải

Sử dụng kết quả : Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz + d = 0$có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = (a,b,c)$.

Câu 50: Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – y + 3z – 1 = 0$. Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

A. $\vec n = \left( { – 4;2; – 6} \right)$ B. $\vec n = \left( {2;1; – 3} \right)$ C. $\vec n = \left( { – 2;1;3} \right)$ D. $\vec n = \left( {2;1;3} \right)$

Lời giải

Ta thấy mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x – y + 3z – 1 = 0$ có một VTPT là ${\vec n_1} = \left( {2; – 1;3} \right)$

Khi đó véctơ $\vec n = – 2{\vec n_1} = \left( { – 4;2; – 6} \right)$ cũng là một VTPT của $\left( \alpha \right)$.

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

 Dạng 03: PTMP qua 1 điểm, dễ tìm VTPT

Câu 1: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng đi qua $M\left( {1;2;3} \right)$ và song song với mặt phẳng $x – 2y + 3z – 1 = 0$ có phương trình là:

A. $x – 2y + 3z + 6 = 0$. B. $x – 2y + 3z – 6 = 0$.

C. $x + 2y – 3z – 6 = 0$. D. $x + 2y – 3z + 6 = 0$.

Lời giải

Mặt phẳng cần tìm có dạng $x – 2y + 3z + c = 0$.

Vì mặt phẳng cần tìm đi qua $M$ nên $1 – 4 + 9 + c = 0$$\left( { – \infty ;1} \right)$.

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {2;\; – 3;\; – 2} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {2; – 5;1} \right)$ có phương trình là

A. $2x – 5y + z – 17 = 0$ B. $2x – 5y + z + 17 = 0$

C. $2x – 5y + z – 12 = 0$ D. $2x – 3y – 2z – 18 = 0$

Lời giải

Phương trình mặt phẳng là $2\left( {x – 2} \right) – 5\left( {y + 3} \right) + 1\left( {z + 2} \right) = 0$$ \Leftrightarrow 2x – 5y + z – 17 = 0$.

Câu 3: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( { – 1;2;1} \right)$. Mặt phẳng qua $A$ vuông góc với trục $Ox$ có phương trình là

A. $x + y + z – 3 = 0$ B. $y – 2 = 0$ C. $x – 1 = 0$ D. $x + 1 = 0$

Lời giải

Mặt phẳng qua $A\left( { – 1;2;1} \right)$ vuông góc với trục $Ox$ nhận $\vec i = \left( {1;0;0} \right)$ là vectơ pháp tuyến có dạng $x + 1 = 0$.

Câu 4: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;\, – 2;\,4} \right)$, $B\left( {2;\,1;\,2} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với đường thẳng $AB$ tại điểm $A$.

A. $(P):x – 3y – 2z – 1 = 0$. B. $(P):x – 3y – 2z + 1 = 0$.

C. $(P):x + 3y – 2z – 13 = 0$. D. $(P):x + 3y – 2z + 13 = 0$.

Lời giải

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;\,3;\, – 2} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $1.\left( {x – 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) – 2.\left( {z – 4} \right) = 0$$ \Leftrightarrow x + 3y – 2z + 13 = 0$.

Câu 5: Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua gốc toạ độ và nhận $\overrightarrow n = \left( {3;\,2;\,1} \right)$là véctơ pháp tuyến. Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ là.

A. $3x + 2y + z – 14 = 0$. B. $3x + 2y + z = 0$.

C. $3x + 2y + z + 2 = 0$. D. $x + 2y + 3z = 0$.

Lời giải

mp$\left( P \right)$ qua $O\left( {0;\,0;\,0} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {3;\,2;\,1} \right)$ làm VTPT PT $\left( P \right):3\left( {x – 0} \right) + 2\left( {y – 0} \right) + 1\left( {x – 0} \right) = 0$$3x + 2y + z = 0$.

Câu 6: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng đi qua $M\left( {1;2;3} \right)$ và song song với mặt phẳng $x – 2y + 3z – 1 = 0$ có phương trình là:

A. $x – 2y + 3z + 6 = 0$. B. $x – 2y + 3z – 6 = 0$.

C. $x + 2y – 3z – 6 = 0$. D. $x + 2y – 3z + 6 = 0$.

Lời giải

Mặt phẳng cần tìm có dạng $x – 2y + 3z + c = 0$.

Vì mặt phẳng cần tìm đi qua $M$ nên $1 – 4 + 9 + c = 0$$\left( { – \infty ;1} \right)$.

Câu 7: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( {2\,;\, – 1\,;\,3} \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)\,:\,2x – 5y + z – 1 = 0$. Phương trình mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm $M$ và song song với $\left( \alpha \right)$.

A. $2x – 5y + z – 12 = 0$. B. $2x – 5y – z – 12 = 0$.

C. $2x + 5y – z – 12 = 0$. D. $2x – 5y + z + 12 = 0$.

Lời giải

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua điểm $M$ và song song với $\left( \alpha \right)$.

Ta có $\left( P \right)\,{\rm{//}}\,\left( \alpha \right)$ nên $\left( P \right)$ có một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2\,;\, – 5\,;\,1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M$ và song song với $\left( \alpha \right)$ có phương trình là

$2\left( {x – 2} \right) – 5\left( {y + 1} \right) + z – 3 = 0 \Leftrightarrow 2x – 5y + z – 12 = 0$.

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ$Oxyz$, phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {0; – 1;4} \right)$, nhận $\overrightarrow n = \left( {3;2; – 1} \right)$ là vectơ pháp tuyến là:

A. $3x + 3y – z = 0$. B. $2x – y + 3z + 1 = 0$.

C. $x + 2y – 3{\rm{z}} + 6 = 0$. D. $3x + 2y – z + 6 = 0$.

Lời giải

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M = \left( {1;0; – 1} \right)$, nhận $\overrightarrow n = \left( {2; – 1;3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến là: $2\left( {x – 1} \right) – 1.\left( {y – 0} \right) + 3\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x – y + 3z + 1 = 0$.

Câu 9: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $ – 2x + 3y – 5z + 5 = 0$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là

A. $\overrightarrow n = \left( { – 2;\, – 3;\,5} \right)$. B. $\overrightarrow n = \left( { – 2;\,3;\,5} \right)$. C. $\overrightarrow n = \left( {2; – 3;\,5} \right)$. D. $\overrightarrow n = \left( {2;\,3;\,5} \right)$.

Lời giải

Ta có: mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( { – 2;\,3;\, – 5} \right)$ hay $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; – \,3;\,5} \right)$.

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( { – 1;1;0} \right)$ và $B\left( {3;1; – 2} \right).$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua trung điểm $I$ của cạnh $AB$ và vuông góc với đường thẳng $AB.$.

A. $2y – z – 3 = 0$ B. $ – x + 2z + 3 = 0$ C. $2x – y – 1 = 0$ D. $2x – z – 3 = 0$

Lời giải

Ta có $I$ là trung điểm của cạnh $AB \Rightarrow I\left( {\frac{{ – 1 + 3}}{2};\frac{{1 + 1}}{2};\frac{{0 – 2}}{2}} \right) \Rightarrow I\left( {1;1; – 1} \right).$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $I\left( {1;1; – 1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {4;0 – 2} \right)$ là một VTPT.

$ \Rightarrow \left( P \right):4\left( {x – 1} \right) + 0.\left( {y – 1} \right) – 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Rightarrow \left( P \right):4x – 2z – 6 = 0 \Rightarrow \left( P \right):2x – z – 3 = 0.$

Câu 11: Mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {3; – 2; – 1} \right)$ có phương trình là.

A. $3x – 2y – z – 4 = 0$. B. $3x – 2y – z + 4 = 0$.

C. $3x – 2y + z = 0$. D. $x + 2y + 3z + 4 = 0$.

Lời giải

$\begin{array}{l}3(x – 1) – 2(y – 2) – (z – 3) = 0\\ \Leftrightarrow 3x – 2y – z + 4 = 0\end{array}$.

Câu 12: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {3; – 1;4} \right)$đồng thời vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow a = \left( {1; – 1;2} \right)$ có phương trình là

A. $3x – y + 4z – 12 = 0$. B. $3x – y + 4z + 12 = 0$.

C. $x – y + 2z – 12 = 0$. D. $x – y + 2z + 12 = 0$.

Lời giải

$\left( P \right)$có dạng: $1.\left( {x – 3} \right) – 1\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z – 4} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \;x – y + 2z – 12 = 0$.

Câu 13: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( { – 1;2;0} \right)$và có VTPT $\overrightarrow n = \left( {4;0; – 5} \right)$ có phương trình là.

A. $4x – 5y – 4 = 0$. B. $4x – 5y + 4 = 0$. C. $4x – 5z + 4 = 0$. D. $4x – 5z – 4 = 0$.

Lời giải

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( { – 1;2;0} \right)$và có VTPT $\overrightarrow n = \left( {4;0; – 5} \right)$ có phương trình là.

$4\left( {x + 1} \right) – 5z = 0 \Leftrightarrow 4x – 5z + 4 = 0$.

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( {0;1;1} \right);B\left( {1;2;3} \right)$. Viết phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$.

A. $x + 3y + 4z – 7 = 0$ B. $x + y + 2z – 6 = 0$

C. $x + y + 2z – 3 = 0$ D. $x + 3y + 4z – 26 = 0$

Lời giải

$\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)$. $\left( P \right)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB,$ nghĩa là $\left( P \right)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình $\left( P \right):1.\left( {x – 0} \right) + 1\left( {y – 1} \right) + 2\left( {z – 1} \right) = 0$ hay $x + y + 2z – 3 = 0$.

Câu 15: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua gốc tọa độ $O\left( {0;\;0;\;0} \right)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {6;\;3;\; – 2} \right)$ thì phương trình của $\left( \alpha \right)$ là

A. $ – 6x + 3y – 2z = 0$. B. $6x – 3y – 2z = 0$.

C. $ – 6x – 3y – 2z = 0$. D. $6x + 3y – 2z = 0$.

Lời giải

Phương trình của $\left( \alpha \right)$ là: $6\left( {x – 0} \right) + 3\left( {y – 0} \right) – 2\left( {z – 0} \right) = 0$$ \Leftrightarrow 6x + 3y – 2z = 0$.

Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho các điểm $A\left( {0;\,1;\,2} \right)$, $B\left( {2;\, – 2;\,1} \right)$, $C\left( { – 2;\,0;\,1} \right)$. Phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ là

A. $2x – y – 1 = 0$. B. $ – y + 2z – 3 = 0$. C. $2x – y + 1 = 0$. D. $y + 2z – 5 = 0$.

Lời giải

Ta có: $l = \sqrt {{h^2} + {R^2}} $.

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ có dạng:

$ – 2\left( {x – 0} \right) + 1\left( {y – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow – 2x + y – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow 2x – y + 1 = 0$.

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng qua điểm $M\left( {2; – 3;4} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( { – 2;4;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến

A. $ – 2x + 4y + z – 12 = 0$. B. $2x – 4y – z – 12 = 0$.

C. $2x – 4y – z + 10 = 0$. D. $ – 2x + 4y + z + 11 = 0$.

Lời giải

Mặt phẳng có phương trình là: $\left( P \right): – 2\left( {x – 2} \right) + 4\left( {y + 3} \right) + 1.\left( {z – 4} \right) = 0$$ \Leftrightarrow – 2x + 4y + z + 12 = 0$

Câu 18: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( { – 3;\;4;\; – 2} \right)$ và $\overrightarrow n = \left( { – 2;\;3;\; – 4} \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A$ và nhận $\overrightarrow n $ làm vectơ pháp tuyến là

A. $ – 3x + 4y + 2z + 26 = 0$. B. $ – 2x + 3y – 4z + 29 = 0$.

C. $2x – 3y + 4z + 29 = 0$. D. $2x – 3y + 4z + 26 = 0$.

Lời giải

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( { – 3;\;4;\; – 2} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( { – 2;\;3;\; – 4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $ – 2\left( {x + 3} \right) + 3\left( {y – 4} \right) – 4\left( {z + 2} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow – 2x + 3y – 4y – 26 = 0 \Leftrightarrow 2x – 3y + 4z + 26 = 0$.

Câu 19: Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là

A. $y + z = 0$ B. $z = 0$ C. $x = 0$ D. $y = 0$

Lời giải

Mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$qua gốc tọa độ $O$ và nhận vectơ $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$ làm VTPT.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$là $x = 0$.

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( {2; – 1;3} \right),{\rm{ }}B\left( {2;0;5} \right),{\rm{ }}C\left( {0; – 3; – 1} \right).$ Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC?$

A. $x – y + 2z + 9 = 0.$ B. $x – y + 2z – 9 = 0.$

C. $2x + 3y – 6z – 19 = 0.$ D. $2x + 3y + 6z – 19 = 0.$

Lời giải

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {2; – 1;3} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $BC$ nên nhận véctơ $\overrightarrow {CB} = \left( {2;3;6} \right)$ làm véctơ pháp tuyến. Khi đó phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

$2\left( {x – 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right) + 6\left( {z – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 6z – 19 = 0$.

Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng qua $A\left( {1;\,2;\, – 1} \right)$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {2;\,0;\,0} \right)$ có phương trình là

A. $y + z = 0$. B. $y + z – 1 = 0$. C. $x – 1 = 0$. D. $2x – 1 = 0$.

Lời giải

Phương trình mặt phẳng: $2\left( {x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 1 = 0$.

Câu 22: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( { – 4;\,1;\,1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,x – 2y – z + 4 = 0$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình

A. $\left( Q \right):\,x – 2y + z + 5 = 0$. B. $\left( Q \right):\,x – 2y – z + 7 = 0$.

C. $\left( Q \right):\,x – 2y + z – 5 = 0$. D. $\left( Q \right):\,x – 2y – z – 7 = 0$.

Lời giải

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A\left( { – 4;\,1;\,1} \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$có véc tơ pháp tuyến $\vec n\left( {1;\, – 2;\, – 1} \right)$.

Vậy $\left( Q \right)$ có phương trình : $\left( {x + 4} \right) – 2\left( {y – 1} \right) – \left( {z – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 2y – z + 7 = 0$.

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng qua điểm $M\left( {2; – 3;4} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( { – 2;4;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

A. $2x – 4y – z + 10 = 0$. B. $ – 2x + 4y + z + 11 = 0$.

C. $2x – 4y – z – 12 = 0$. D. $ – 2x + 4y + z – 12 = 0$.

Lời giải

Mặt phẳng có phương trình là: $\left( P \right): – 2\left( {x – 2} \right) + 4\left( {y + 3} \right) + 1.\left( {z – 4} \right) = 0$$ \Leftrightarrow – 2x + 4y + z + 12 = 0$.

Câu 24: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng nào sau đây nhận $\overrightarrow n = \left( {1;\,2;\,3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến?

A. $x – 2y + 3z + 1 = 0$. B. $2x + 4y + 6z + 1 = 0$.

C. $2z – 4z + 6 = 0$. D. $x + 2y – 3z – 1 = 0$.

Lời giải

Mặt phẳng $2x + 4y + 6z + 1 = 0$ nhận vectơ $\overrightarrow n = \left( {2;\,4;\,6} \right)$ hay vectơ $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\,2;\,3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {0; – 1;4} \right)$ và có một véctơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;2; – 1} \right)$. Phương trình của $\left( P \right)$ là

A. $2x – 2y – z – 6 = 0$. B. $2x + 2y + z – 6 = 0$.

C. $2x + 2y – z + 6 = 0$. D. $2x + 2y – z – 6 = 0$.

Lời giải

$\left( P \right)$ có dạng $2x + 2\left( {y + 1} \right) – \left( {z – 4} \right) = 0$$ \Leftrightarrow 2x + 2y – z + 6 = 0$.

 Dạng 04: PTMP qua 1 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm ${\rm{A}}\left( { – 1;\;2;\;3} \right)$ và hai mặt phẳng $\left( P \right):x – 2 = 0$, $\left( Q \right):y – z – 1 = 0$ Viết phương trình mặt phẳng $(R)$ đi qua ${\rm{A}}$ và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( P \right)$; $\left( Q \right)$.

A. $\left( R \right):y + z – 5 = 0$ B. $\left( R \right):y + 2z – 8 = 0$

C. $\left( R \right):2y + z – 7 = 0$ D. $\left( R \right):x + y + z – 4 = 0$

Lời giải

Ta có VTPT của mp$(P)$ là ${\vec n_{(P)}} = (1;\;0;\;0)$ ; VTPT của mp$(Q)$ là ${\vec n_{(Q)}} = (0;\;1;\; – 1)$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}(R) \bot (P)\$R) \bot (Q)\end{array} \right.$nên VTPT của $(R)$ là ${\vec n_{(R)}} = \left[ {{{\vec n}_{(P)}},{{\vec n}_{(Q)}}} \right] = (0;\;1;\;1)$.

Khi đó ptmp$(R)$ đi qua điểm ${\rm{A}}\left( { – 1;\;2;\;3} \right)$ và có VTPT ${\vec n_{(R)}} = (0;\;1;\;1)$ là $\left( R \right):y + z – 5 = 0$.

Câu 27: Viết phương trình mặt phẳng qua $A\left( {1;1;1} \right)$, vuông góc với hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + y – z – 2 = 0$, $\left( \beta \right):x – y + z – 1 = 0$.

A. $x + y + z – 3 = 0$ B. $x + z – 2 = 0$ C. $x – 2y + z = 0$ D. $y + z – 2 = 0$

Lời giải

Gọi $(P)$ là mặt phẳng cần tìm. Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {0;2;2} \right)$,.

Phương trình $\left( P \right):y + z – 2 = 0$.

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A\left( {1;1;4} \right)$, $B\left( {2;7;9} \right)$, $C\left( {0;9;13} \right)$.

A. $2x + y + z + 1 = 0$ B. $x – y + z – 4 = 0$

C. $7x – 2y + z – 9 = 0$ D. $2x + y – z – 2 = 0$

Lời giải

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;6;5} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( { – 1;8;9} \right)$,

$\left( {ABC} \right)$ đi qua $A\left( {1;1;4} \right)$ có vtpt $\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$$ = \left( {14; – 14;14} \right)$$ = 14\left( {1; – 1;1} \right)$ có dạng $x – y + z – 4 = 0$.

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x – y + z = 0$, $(Q):3x + 2y – 12z + 5 = 0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ đi qua $O$ và vuông góc với $\left( P \right),\left( Q \right)$.

A. $\left( R \right):x + 2y + 3z = 0$ B. $\left( R \right):2x + 3y + z = 0$

C. $\left( R \right):3x + 2y + z = 0$ D. $\left( R \right):2x – 3y + z = 0$

Lời giải

$\left( P \right)$ có $VTPT$ $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1; – 1;1} \right).$

$\left( Q \right)$ có $VTPT$ $\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {3;2; – 12} \right).$

$\left( R \right)$ có $VTPT$ $\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}} = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \wedge \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {10;15;5} \right).$

Mp $\left( R \right)$ có $VTPT$ $\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}} = \left( {10;15;5} \right)$ và qua $O$.

$ \Rightarrow \left( R \right):10x + 15y + 5z = 0$ hoặc $\left( R \right):2x + 3y + z = 0.$

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {0;{\rm{ }}–1;{\rm{ }}4} \right)$ và nhận $\overrightarrow u = (3,2,1)$, $\overrightarrow v = ( – 3,0,1)$ làm vectơ chỉ phương là:

A. $x–3y + 3z–15 = 0$ B. $3x + 3y–z = 0$

C. $x + y + z–3 = 0$ D. $x–y–z–12 = 0$

Lời giải

$\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = 2\left( {1;{\rm{ – }}3;{\rm{ }}3} \right)$ và đi qua $M$ nên có phương trình $x–3y + 3z–15 = 0$.

Câu 31: Gọi ($\alpha $) là mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {3; – 1; – 5} \right)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( P \right):3x–2y + 2z + 7 = 0,\left( Q \right):5x–4y + 3z + 1 = 0.$ Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của ($\alpha $).

A. $2x + y–2z–16 = 0$ B. $2x + y–2z–15 = 0$

C. $x + y + z + 3 = 0$ D. $2x + y–2z + 15 = 0$

Lời giải

$\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; – 2;2} \right),\;\overrightarrow {{u_2}} = \left( {5; – 4;3} \right)$

$\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2}&2\\{ – 4}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\3&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ – 2}\\5&{ – 4}\end{array}} \right|} \right) = $$(2;1; – 2)$.

$(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {3; – 1; – 5} \right)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( P \right)v\`a \left( Q \right).$

Có dạng: $2x + y–2z + c = 0 = > 2.3 – 1 – 2.\left( { – 5} \right) + c = 0 = > c = – 15.$.

$(\alpha ):$ $2x + y–2z–15 = 0.$

 Dạng 02: PTMP trung trực của đoạn thẳng

Câu 32: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1; 2; 2} \right)$ và $B\left( {3; 0; 2} \right)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là:

A. $x + y – z – 1 = 0$. B. $x + y – 3 = 0$. C. $x – y – z + 1 = 0$. D. $x – y – 1 = 0$.

Lời giải

Ta có mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ qua trung điểm $I\left( {2; 1; 2} \right)$ của $AB$ và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {2; – 2; 0} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có dạng $2x – 2y – 2 = 0$ hay $x – y – 1 = 0$.

Câu 33: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;\,2;\, – 1} \right)$ và $B\left( { – 3;\,0;\, – 1} \right)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là

A. $x – y + z – 3 = 0$ B. $2x + y + 1 = 0$ C. $x – y + z + 3 = 0$ D. $2x + y – 1 = 0$

Lời giải

Trung điểm của đoạn $AB$ là $M\left( { – 1;\,1;\, – 1} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { – 4;\, – 2;\,0} \right)$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của $AB$.

Mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ có phương trình là $2\left( {x + 1} \right) + 1\left( {y – 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow 2x + y + 1 = 0$.

Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm$A\left( {3;2; – 1} \right)$, $B\left( { – 1;4;5} \right)$. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là

A. $2x + y + 3z – 11 = 0$ B. $2x – y – 3z – 7 = 0$

C. $2x – y – 3z + 7 = 0$ D. $ – 2x + y + 3z + 7 = 0$

Lời giải

Tọa độ trung điểm của đoạn AB là$I\left( {1;3;2} \right)$, $\overrightarrow {AB} = \left( { – 4;2;6} \right)$, ta chọn VTPT là$\overrightarrow n = \left( { – 2;1;3} \right)$.

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là

$ – 2\left( {x – 1} \right) + y – 3 + 3\left( {z – 2} \right) = 0$$ \Leftrightarrow 2x – y – 3z + 7 = 0$.

Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A = \left( {4;\,0;\,1} \right)$ và $B = \left( { – 2;\,2;\,3} \right)$. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$?

A. $3x – y – z = 0$. B. $3x + y + z – 6 = 0$.

C. $3x – y – z + 1 = 0$. D. $6x – 2y – 2z – 1 = 0$.

Lời giải

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Véc tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là ${\vec n_{\left( P \right)}} = \overrightarrow {AB} = \left( { – 6;2;2} \right)$

$\left( P \right)$ đi qua trung điểm $M$ của $AB$. Tọa độ trung điểm $M\left( {1;1;2} \right)$

Vậy phương trình trung trực của đoạn thẳng $AB$ là: $\left( P \right):3x – y – z = 0$.

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;2;2} \right)$, $B\left( {3; – 2;0} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đọan $AB.$

A. $x – 2y – 2z = 0$ B. $x – 2y – z – 1 = 0$ C. $x – 2y – z = 0$ D. $x – 2y + z – 3 = 0$

Lời giải

Chọn $M\left( {2;0;1} \right)$ là trung điểm của đoạn $AB.$

Mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {2; – 4; – 2} \right)$ làm 1 vec tơ pháp tuyến.

$2\left( {x – 2} \right) – 4\left( {y – 0} \right) + 2\left( {z – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 2y + z – 3 = 0$.

Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( {3{;_{}}1{;_{}}2} \right),B\left( {1{;_{}}5{;_{}}4} \right).$ Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng trung trực của đoạn $AB?$

A. $x – 2y – z + 7 = 0.$ B. $x + y + z – 8 = 0.$ C. $x + y – z – 2 = 0.$ D. $2x + y – z – 3 = 0.$

Lời giải

Mặt phẳng trung trực $\left( P \right)$ đi qua trung điểm $I\left( {2;3;3} \right)$ của đoạn thẳng $AB$ và vuông góc với $AB$ nên $\left( P \right)$ nhận véctơ $\overrightarrow {AB} = \left( { – 2;4;2} \right)$ làm véctơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của $\left( P \right)$ là: $ – 2\left( {x – 2} \right) + 4\left( {y – 3} \right) + 2\left( {z – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow – 2x + 4y + 2z – 14 = 0$ hay $x – 2y – z + 7 = 0$.

Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( {1;\,2;\, – 3} \right)$, $B\left( { – 3;\,2;\,9} \right)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là:

A. $x + 3z + 10 = 0$. B. $ – 4x + 12z – 10 = 0$.

C. $D$. D. $x – 3z + 10 = 0$.

Lời giải

Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là $I\left( { – 1;\,2;\,3} \right)$.

Ngoài ra $\overrightarrow {AB} = \left( { – 4;\,0;\,12} \right)$.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ đi qua $I\left( { – 1;\,2;\,3} \right)$, nhận $\overrightarrow n \left( {1;\,0;\, – 3} \right)$ làm vecto pháp tuyến nên có phương trình $1\left( {x + 1} \right) – 3\left( {z – 3} \right) = 0$$ \Leftrightarrow x – 3z + 10 = 0$.