Đề Kiểm Tra Giữa HK2 Toán 10 Kết Nối Tri Thức Theo Bộ GD Giải Chi Tiết-Đề 4

Đề kiểm tra giữa HK2 Toán 10 Kết nối tri thức theo Bộ GD giải chi tiết-Đề 4 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án.

Câu 1: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x – 5$ là tam thức bậc hai. B. $f\left( x \right) = 2x – 4$ là tam thức bậc hai.

C. $f\left( x \right) = 3{x^3} + 2x – 1$ là tam thức bậc hai. D. $f\left( x \right) = {x^4} – {x^2} + 1$ là tam thức bậc hai.

Câu 2: Cho hàm số $y = f\left( x \right) = 2{x^2} – 1$. Tính $f\left( 2 \right)$

A. $f\left( 2 \right) = 2$. B. $f\left( 2 \right) = 3$. C. $f\left( 2 \right) = 7$. D. $f\left( 2 \right) = 5$.

Câu 3: Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc nhất?

A. $y = 2x + \frac{1}{x}$. B. $y = 2$. C. $y = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}$. D. $y = 2x + \sqrt 2 $.

Câu 4: Cho parabol có phương trình $y = {x^2} – 3x + 2$. Xác định hoành độ đỉnh của Parabol

A. $x = – 3$. B. $x = – \frac{3}{4}$. C. $x = \frac{{ – 3}}{2}$. D. $x = \frac{3}{2}$.

Câu 5: Cho parabol có phương trình $y = {x^2} – 2x + 3$. Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng

A. $x = 3$. B. $x = – 2$. C. $x = 1$. D. $x = \frac{3}{2}$.

Câu 6: Cho parabol $\left( P \right):y = 3{x^2} – 2x + 1$. Điểm nào sau đây thuộc $\left( P \right)$ ?

A. $I\left( {1;2} \right)$. B. $A\left( {0; – 1} \right)$. C. $B\left( { – \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)$. D. $C\left( {\frac{1}{3}; – \frac{2}{3}} \right)$.

Câu 7: Cho đồ thị hàm số sau:

Điểm thuộc đồ thị hàm số mà có hoành độ bằng 2 là:

A. $\left( {2;0} \right)$. B. $\left( {2;3} \right)$. C. $\left( {3;2} \right)$. D. $\left( {2; – 3} \right)$.

Câu 8: Cho đường thẳng $\Delta : x – 3y – 2 = 0$. Tọa độ của vectơ nào sau đây không phải là tọa độ vectơ pháp tuyến của $\Delta $.

A. $\left( {1; – 3} \right)$. B. $\left( { – 2;6} \right)$. C. $\left( {\frac{1}{3}; – 1} \right)$. D. $\left( {3;1} \right)$.

Câu 9: Phương trình tham số của đường thẳng $\left( D \right)$ đi qua điểm $M\left( { – 2;3} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec u\left( {3; – 4} \right)$ là

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 + 4t} \\
{y = 3 + 3t}
\end{array}} \right.$ B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 + 3t} \\
{y = 3 – 4t}
\end{array}} \right.$ C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 + 3t} \\
{y = 3 + 4t}
\end{array}} \right.$ D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 5 + 4t} \\
{y = 6 – 3t}
\end{array}} \right.$

Câu 10: Phương trình nào sau đây biểu diển đường thẳng không song song với đường thẳng $\left( d \right):2x – y – 1 = 0$ ?

A. $2x – y + 5 = 0$. B. $2x – y – 5 = 0$. C. $ – 2x + y = 0$. D. $2x + y – 5 = 0$.

Câu 11: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai điểm $A\left( {3; – 1} \right)$ và $B\left( { – 2;1} \right)$. Viết phương trình đường thẳng $AB$.

A. $2x + 5y – 1 = 0$. B. $5x + 2y + 1 = 0$. C. $2x – 5y + 11 = 0$. D. $5x – 2y + 11 = 0$.

Câu 12: Trong mặt phẳng $Oxy$, hàm số $y = 2x – 1$ có đồ thị là đường thẳng $d$. Chọn khẳng định đúng về đường thẳng song song với $d$.

A. $x – 2y + 2023 = 0$. B. $4x – 2y + 1 = 0$. C. $x + 2y + 2023 = 0$. D. $4x + 2y – 1 = 0$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Xét sự biến thiên của hàm số $f\left( x \right) = \frac{3}{x}$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) Hàm số vừa đồng biến, vừa nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

d) Hàm số không đồng biến, không nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $M\left( {2;1} \right)$ là trung điểm cạnh $AC$, điểm $H\left( {0; – 3} \right)$ là chân đường cao kẻ từ $A$. Điểm $E\left( {23; – 2} \right)$ thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ $C$. Biết điểm $A$ thuộc đường thẳng $d:2x + 3y – 5 = 0$ và điểm $C$ có hoành độ dương.

a) Phương trình đường thẳng $BC$ là $x + 3y – 9 = 0$.

b) Đường thẳng $CE$ có phương trình là $x + 17y + 11 = 0$.

c) Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là $\left( { – \frac{5}{2}; – \frac{1}{2}} \right)$.

d) Đoạn thẳng $BC$ có độ dài bằng 27 .

Câu 3: Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệp tính toán lợi nhuận $y$ (đồng) theo công thức sau: $y = – 86{x^2} + 86000x – 18146000$, trong đó $x$ là số sản phẩm được bán ra.

a) Doanh nghiệp bị lỗ khi bán từ 303 đến 698 sản phẩm.

b) Doanh nghiệp có lãi khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 697 sản phẩm

c) Doanh nghiệp có lãi khi bán từ 303 đến 697 sản phẩm.

d) Doanh nghiệp bị lỗ khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 698 sản phẩm

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có đỉnh $A\left( {6;6} \right)$; đường thẳng $d$ đi qua trung điểm của các cạnh $AB$ và $AC$ có phương trình $x + y – 4 = 0$ và điểm $E\left( {1; – 3} \right)$ nằm trên đường cao đi qua đỉnh $C$ của tam giác đã cho.

a) Trung điểm của cạnh $BC$ có tọa độ là $\left( { – 2;1} \right)$.

b) Phương trình đường thẳng $BC$ là: $x + y + 4 = 0$

c) Có hai điểm $B$ thỏa mãn bài toán.

d) Chỉ có một điểm $C$ duy nhất thỏa mãn bài toán.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x – \sqrt {{x^2} + {m^2}} }}{{x – 1}}}&{\;khi\;x < 1} \\
{2x}&{\;khi\;x \geqslant 1}
\end{array}} \right.$ với $m$ là tham số. Biết đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 . Hãy tính $P = f\left( { – 4} \right) + f\left( 1 \right)$.

Đáp án

Câu 2: Một công ty du lịch báo giá tiền tham quan của một nhóm khách du lịch như sau: 50 khách đầu tiên có giá là 300000 đồng một người. Nếu có trên 50 người thì cứ thêm một người thì giá vé sẽ giảm 5000 đồng/ người cho toàn bộ hành khách. Gọi $x$ là số lượng khách vượt quá 50 người của nhóm. Biết chi phí thực sự của chuyến du lịch là 15080000 đồng. Hãy xác định số nguyên lớn nhất của $x$ để công ty không bị lỗ.

Đáp án

Câu 3: Có một chiếc cổng hình Parabol. Người ta đo khoảng cách giữa hai chân cổng $BC$ là $8m$. Từ một điểm $M$ trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là $MK = 21m$ và khoảng cách tới chân cổng gần nhất là $BK = 1m$. Khi đó chiều cao của cổng bằng bao nhiêu?

Câu 4: Người ta kéo dây điện từ nguồn điện ở vị trí $A$ đến $B$ rồi kéo lên vị trí $C$ là ngọn hải đăng ở Vũng Tàu để chiếu sáng. Biết khoảng cách từ vị trí $A$ đến chân Ngọn Hải Đăng là 5 km, chiều cao Ngọn Hải Đăng là $1\;km$. Tiền công kéo dây điện bắt từ $A$ đến $B$ là 2 triệu đồng $/km$ và từ $B$ đến $C$ là 3 triệu đồng/km (như hình vẽ bên dưới). Hỏi tổng chiều dài $\left( {km} \right)$ dây điện đã kéo từ $A$ đến $C$ là bao nhiêu biết tổng chi phí tiền công kéo dây điện là 13 triệu đồng?

Câu 5: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A\left( {1;1} \right),B\left( { – 2;5} \right)$. Đỉnh $C$ thuộc đường thẳng $d:x – 4 = 0$, trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ thuộc đường thẳng $d’:2x – 3y + 6 = 0$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Đáp án

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $A\left( { – 1;3} \right),B\left( {2;6} \right),C\left( {5;0} \right)$ và đường thẳng $\Delta :3x – y + 1 = 0$. Biết điểm $M\left( {a;b} \right)$ nằm trên $\Delta $ thì biểu thức $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| + \right|\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right|$ có giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $5a + 10b$ ?

Đáp án

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x – 5$ là tam thức bậc hai.

B. $f\left( x \right) = 2x – 4$ là tam thức bậc hai.

C. $f\left( x \right) = 3{x^3} + 2x – 1$ là tam thức bậc hai.

D. $f\left( x \right) = {x^4} – {x^2} + 1$ là tam thức bậc hai.

Lời giải

Theo định nghĩa tam thức bậc hai thì $f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x – 5$ là tam thức bậc hai.

Câu 2: Cho hàm số $y = f\left( x \right) = 2{x^2} – 1$. Tính $f\left( 2 \right)$

A. $f\left( 2 \right) = 2$.

B. $f\left( 2 \right) = 3$.

C. $f\left( 2 \right) = 7$.

D. $f\left( 2 \right) = 5$.

Lời giải

Ta có: $f\left( 2 \right) = {2.2^2} – 1 = 7$

Câu 3: Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc nhất?

A. $y = 2x + \frac{1}{x}$.

B. $y = 2$.

C. $y = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}$.

D. $y = 2x + \sqrt 2 $.

Lời giải

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$.

Câu 4: Cho parabol có phương trình $y = {x^2} – 3x + 2$. Xác định hoành độ đỉnh của Parabol

A. $x = – 3$.

B. $x = – \frac{3}{4}$.

C. $x = \frac{{ – 3}}{2}$.

D. $x = \frac{3}{2}$.

Ta có ${x_I} = \frac{{ – b}}{{2a}} = \frac{{ – \left( { – 3} \right)}}{{2.1}} = \frac{3}{2}$

Lời giải

Câu 5: Cho parabol có phương trình $y = {x^2} – 2x + 3$. Trục đối xứng của đồ thị hàm số là đường thẳng

A. $x = 3$.

B. $x = – 2$.

C. $x = 1$.

D. $x = \frac{3}{2}$.

Lời giải

Ta có $x = \frac{{ – b}}{{2a}} = \frac{{ – \left( { – 2} \right)}}{{2.1}} = 1$

Câu 6: Cho parabol $\left( P \right):y = 3{x^2} – 2x + 1$. Điểm nào sau đây thuộc $\left( P \right)$ ?

A. $I\left( {1;2} \right)$.

B. $A\left( {0; – 1} \right)$.

C. $B\left( { – \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)$.

D. $C\left( {\frac{1}{3}; – \frac{2}{3}} \right)$.

Lời giải

Thay $x = 1$ vào công thức hàm số ta được: $y = 3.{(1)^2} – 2.1 + 1 = 2$

Do đó điểm thuộc $\left( P \right)$ là $I\left( {1;2} \right)$.

Câu 7: Cho đồ thị hàm số sau:

Điểm thuộc đồ thị hàm số mà có hoành độ bằng 2 là:

A. $\left( {2;0} \right)$.

B. $\left( {2;3} \right)$.

C. $\left( {3;2} \right)$.

D. $\left( {2; – 3} \right)$.

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta thấy điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 2 là điểm $\left( {2;3} \right)$.

Câu 8: Cho đường thẳng $\Delta : x – 3y – 2 = 0$. Tọa độ của vectơ nào sau đây không phải là tọa độ vectơ pháp tuyến của $\Delta $.

A. $\left( {1; – 3} \right)$.

B. $\left( { – 2;6} \right)$.

C. $\left( {\frac{1}{3}; – 1} \right)$.

D. $\left( {3;1} \right)$.

Lời giải

Áp dụng lý thuyết: Đường thẳng có phương trình $ax + by + c = 0$ thì vectơ pháp tuyến $\vec n = k\left( {a;b} \right)$ và vectơ chỉ phương $\vec u = k\left( { – b;a} \right)$ với $k \ne 0$.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\left( \Delta \right)$ là $\vec n = k\left( {1; – 3} \right)$.

Với $k = 1 \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; – 3} \right);k = – 2 \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}} = \left( { – 2;6} \right);k = \frac{1}{3} \Rightarrow \overrightarrow {{n_3}} = \left( {\frac{1}{3}; – 1} \right)$.

Câu 9: Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm $M\left( { – 2;3} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec u\left( {3; – 4} \right)$ là

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 + 4t} \\
{y = 3 + 3t}
\end{array}} \right.$

B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 + 3t} \\
{y = 3 – 4t}
\end{array}} \right.$

C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 + 3t} \\
{y = 3 + 4t}
\end{array}} \right.$

D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 5 + 4t} \\
{y = 6 – 3t}
\end{array}} \right.$

Lời giải

Vecto chỉ phương: $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; – 4} \right)$ và đi qua $M\left( { – 2;3} \right)$.

Suy ra phương trình tham số $\left( d \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 + 3t} \\
{y = 3 – 4t}
\end{array}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)} \right.$

Câu 10: Phương trình nào sau đây biểu diển đường thẳng không song song với đường thẳng $\left( d \right):2x – y – 1 = 0$ ?

A. $2x – y + 5 = 0$.

B. $2x – y – 5 = 0$.

C. $ – 2x + y = 0$.

D. $2x + y – 5 = 0$.

Ta có: $\frac{2}{2} \ne \frac{{ – 1}}{1}$ nên đường thẳng $\left( d \right):2x – y – 1 = 0$ cắt đường thẳng $2x + y – 5 = 0$.

Câu 11: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai điểm $A\left( {3; – 1} \right)$ và $B\left( { – 2;1} \right)$. Viết phương trình đường thẳng $AB$.

A. $2x + 5y – 1 = 0$.

B. $5x + 2y + 1 = 0$.

C. $2x – 5y + 11 = 0$.

D. $5x – 2y + 11 = 0$.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { – 5;2} \right)$, khi đó đường thẳng $AB$ nhận vec – tơ $\vec n = \left( {2;5} \right)$ làm vec – tơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng $AB$ có dạng:

$2\left( {x – 3} \right) + 5\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x – 6 + 5y + 5 = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y – 1 = 0$

Câu 12: Trong mặt phẳng $Oxy$, hàm số $y = 2x – 1$ có đồ thị là đường thẳng $d$. Chọn khẳng định đúng về đường thẳng song song với $d$.

A. $x – 2y + 2023 = 0$.

B. $4x – 2y + 1 = 0$.

C. $x + 2y + 2023 = 0$.

D. $4x + 2y – 1 = 0$.

Lời giải

Xét hệ số góc của các đường thẳng trong 4 phương án.

Phương án $A:x – 2y + 2023 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{{2023}}{2} \Rightarrow {k_1} = \frac{1}{2}$

Phương án $B:4x – 2y + 1 = 0 \Rightarrow y = 2x + \frac{1}{2} \Rightarrow {k_2} = 2$

Phương án $C:x + 2y + 2023 = 0 \Rightarrow y = – \frac{1}{2}x – \frac{{2023}}{2} \Rightarrow {k_3} = – \frac{1}{2}$

Phương án D: $4x + 2y – 1 = 0 \Rightarrow y = – 2x + \frac{1}{2} \Rightarrow {k_4} = – 2$

Vậy đường thẳng $4x – 2y + 1 = 0$ song song với $d$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4 . Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Xét sự biến thiên của hàm số $f\left( x \right) = \frac{3}{x}$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$

b) Hàm số vừa đồng biến, vừa nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

d) Hàm số không đồng biến, không nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Lời giải

Ta có: $\forall {x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right):{x_1} \ne {x_2}$

$f\left( {{x_2}} \right) – f\left( {{x_1}} \right) = \frac{3}{{{x_2}}} – \frac{3}{{{x_1}}} = \frac{{ – 3\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}}{{{x_2}{x_1}}} \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) – f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} – {x_1}}} = – \frac{3}{{{x_2}{x_1}}} < 0$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

a) Đúng: Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) Sai: Hàm số chỉ nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

c) Sai: Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

d) Sai: Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $M\left( {2;1} \right)$ là trung điểm cạnh $AC$, điểm $H\left( {0; – 3} \right)$ là chân đường cao kẻ từ $A$. Điểm $E\left( {23; – 2} \right)$ thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ $C$. Biết điểm $A$ thuộc đường thẳng $d:2x + 3y – 5 = 0$ và điểm $C$ có hoành độ dương.

a) Phương trình đường thẳng $BC$ là $x + 3y – 9 = 0$.

b) Đường thẳng $CE$ có phương trình là $x + 17y + 11 = 0$.

c) Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là $\left( { – \frac{5}{2}; – \frac{1}{2}} \right)$.

d) Đoạn thẳng $BC$ có độ dài bằng 27 .

Lời giải

Vì $A$ thuộc $d$ nên $A\left( {a;\frac{{5 – 2a}}{3}} \right)$.

$M$ là trung điểm của $AC$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_C} = 2{x_M} – {x_A}} \\
{{y_C} = 2{y_M} – {y_A}}
\end{array} \Rightarrow C\left( {4 – a;\frac{{1 + 2a}}{3}} \right)} \right.$.

Ta có $\overrightarrow {AH} = \left( { – a;\frac{{ – 14 + 2a}}{3}} \right),\overrightarrow {CH} = \left( {a – 4;\frac{{10 – 2a}}{3}} \right)$.

Vì $AH$ vuông góc với $CH$ nên

$\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {CH} = 0 \Leftrightarrow – a\left( {a – 4} \right) + \left( {\frac{{ – 14 + 2a}}{3}} \right)\left( {\frac{{10 – 2a}}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – 2} \\
{a = \frac{{70}}{{13}}}
\end{array}} \right.$.

Với $a = \frac{{70}}{{13}} \Rightarrow {x_C} = 4 – \frac{{70}}{{13}} = \frac{{ – 18}}{{13}} < 0$ (loại).

Với $a = – 2$ suy ra $A\left( { – 2;3} \right),C\left( {6; – 1} \right)$ (thỏa mãn).

Đường thẳng $BC$ đi qua $H$ và $C$ nên có phương trình $x – 3y – 9 = 0$.

Đường thẳng $CE$ đi qua $C$ và $E$ nên có phương trình $x + 17y + 11 = 0$.

$B$ thuộc $BC$ nên $B\left( {3b + 9;b} \right)$.

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$ ta có $N\left( {\frac{{3b + 7}}{2};\frac{{b + 3}}{2}} \right)$.

$N$ thuộc $CE$ nên $\frac{{3b + 7}}{2} + 17\left( {\frac{{b + 3}}{2}} \right) + 11 = 0 \Leftrightarrow b = – 4 \Rightarrow N\left( { – \frac{5}{2}; – \frac{1}{2}} \right)$.

Vậy $B\left( { – 3; – 4} \right)$ nên $\overrightarrow {BC} = \left( {9;3} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{9^2} + {3^2}} = 27$.

a) Sai : Phương trình đường thẳng $BC$ là $x – 3y – 9 = 0$.

b) Đúng: Đường thẳng $CE$ có phương trình là $x + 17y + 11 = 0$.

c) Đúng: Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là $\left( { – \frac{5}{2}; – \frac{1}{2}} \right)$.

d) Đúng: Đoạn thẳng $BC$ có độ dài bằng 27 .

Câu 3: Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệp tính toán lợi nhuận $y$ (đồng) theo công thức sau: $y = – 86{x^2} + 86000x – 18146000$, trong đó $x$ là số sản phẩm được bán ra.

a) Doanh nghiệp bị lỗ khi bán từ 303 đến 698 sản phẩm.

b) Doanh nghiệp có lãi khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 697 sản phẩm

c) Doanh nghiệp có lãi khi bán từ 303 đến 697 sản phẩm.

d) Doanh nghiệp bị lỗ khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 698 sản phẩm

Lời giải

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = – 86{x^2} + 86000x – 18146000$.

Nhận thấy $f\left( x \right) = 0$ có hai nghiệm là ${x_1} \approx 302,5;\;{x_2} \approx 697,5$ và hệ số $a = – 86 < 0$. Ta có bảng xét dấu sau:

Vì $x$ là số nguyên dương nên:

Doanh nghiệp có lãi khi và chỉ khi $f\left( x \right) > 0$, tức là $303 \leqslant x \leqslant 697$.

Doanh nghiệp bị lỗ khi và chỉ khi $f\left( x \right) < 0$, tức là $x \leqslant 302$ hoặc $x \geqslant 698$.

Vậy doanh nghiệp có lãi khi bán từ 303 đến 697 sản phẩm, doanh nghiệp bị lỗ khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 698 sản phẩm.

a) Sai: Doanh nghiệp bị lỗ khi bán từ 303 đến 698 sản phẩm.

b) Sai: Doanh nghiệp có lãi khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 697 sản phẩm

c) Đúng: Doanh nghiệp có lãi khi bán từ 303 đến 697 sản phẩm.

d) Đúng: Doanh nghiệp bị lỗ khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 698 sản phẩm

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có đỉnh $A\left( {6;6} \right)$;ường thẳng $d$ đi qua trung điểm của các cạnh $AB$ và $AC$ có phương trình $x + y – 4 = 0$ và điểm $E\left( {1; – 3} \right)$ nằm trên đường cao đi qua đỉnh $C$ của tam giác đã cho.

a) Trung điểm của cạnh $BC$ có tọa độ là $\left( { – 2;1} \right)$.

b) Phương trình đường thẳng $BC$ là: $x + y + 4 = 0$

c) Có hai điểm $B$ thỏa mãn bài toán.

d) Chỉ có một điểm $C$ duy nhất thỏa mãn bài toán.

Lời giải

Từ $A$ kẻ đường cao $AH\left( {H \in BC} \right)$ cắt $d$ tại $I$.

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $H,I$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AH$.

Khi đó $AH$ đi qua $A\left( {6;6} \right)$ vuông góc với $d$ nên có phương trình: $x – y = 0$. Suy ra tọa độ điểm

$I$ thỏa mãn hệ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y – 4 = 0} \\
{x – y = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{y = 2}
\end{array} \Rightarrow I\left( {2;2} \right) \Rightarrow H\left( { – 2; – 2} \right)} \right.} \right.$.

Đường thẳng $BC$ đi qua $H$ và song song với $d$ nên có phương trình $x + y + 4 = 0$.

Gọi $B\left( {t; – t – 4} \right) \in BC \Rightarrow C\left( { – 4 – t;t} \right)$ (do $H$ là trung điểm $BC) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {AB} = \left( {t – 6; – 10 – t} \right)} \\
{\overrightarrow {CE} = \left( {t + 5; – 3 – t} \right)}
\end{array}} \right.$

Do $E\left( {1; – 3} \right)$ nằm trên đường cao đi qua $C$ của tam giác $ABC$, suy ra:

$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CE} = 0 \Leftrightarrow \left( {t – 6} \right)\left( {t + 5} \right) + \left( { – 10 – t} \right)\left( { – 3 – t} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow {t^2} + 6t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0} \\
{t = – 6}
\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{B\left( {0; – 4} \right)} \\
{C\left( { – 4;0} \right)}
\end{array}} \right.} \\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{B\left( { – 6;2} \right)} \\
{C\left( {2; – 6} \right)}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.} \right.$

Vậy $B\left( {0; – 4} \right),C\left( { – 4;0} \right)$ hoặc $B\left( { – 6;2} \right),C\left( {2; – 6} \right)$.

a) Sai: Trung điểm của cạnh $BC$ có tọa độ là $\left( { – 2; – 2} \right)$.

b) Đúng: Phương trình đường thẳng $BC$ là: $x + y + 4 = 0$

c) Đúng: Có hai điểm $B$ thỏa mãn bài toán là $B\left( {0; – 4} \right)$ hoặc $B\left( { – 6;2} \right)$

d) Sai: Có hai điểm $C$ duy nhất thỏa mãn bài toán là $C\left( { – 4;0} \right)$ hoặc $\left( {2; – 6} \right)$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x – \sqrt {{x^2} + {m^2}} }}{{x – 1}}}&{\;khi\;x < 1} \\
{2x}&{\;khi\;x \geqslant 1}
\end{array}} \right.$ với $m$ là tham số. Biết đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 . Hãy tính $P = f\left( { – 4} \right) + f\left( 1 \right)$.

Lời giải

Ta có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3

Suy ra $f\left( 0 \right) = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{m^2}} = 3 \Leftrightarrow {m^2} = 9 \Rightarrow f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x – \sqrt {{x^2} + 9} }}{{x – 1}}}&{\;khi\;x < 1} \\
{2x}&{\;khi\;x \geqslant 1}
\end{array}} \right.$

Khi đó ta có $:P = f\left( { – 4} \right) + f\left( 1 \right) = \frac{{ – 4 – \sqrt {16 + 9} }}{{ – 4 – 1}} + 2 = \frac{9}{5} + 2 = \frac{{19}}{5} = 3,8$.

Câu 2: Một công ty du lịch báo giá tiền tham quan của một nhóm khách du lịch như sau: 50 khách đầu tiên có giá là 300000 đồng một người. Nếu có trên 50 người thì cứ thêm một người thì giá vé sẽ giảm 5000 đồng/ người cho toàn bộ hành khách. Gọi $x$ là số lượng khách vượt quá 50 người của nhóm. Biết chi phí thực sự của chuyến du lịch là 15080000 đồng. Hãy xác định số nguyên lớn nhất của $x$ để công ty không bị lỗ.

Tổng số khách là $50 + x$

Lời giải

Tổng số tiền mà mỗi khách phải trả là $300 – 5x$ (đơn vị tính là nghìn đồng).

Tổng tiền thu là $\left( {50 + x} \right)\left( {300 – 5x} \right) = – 5{x^2} + 50x + 15000$

Để công ty không bị lỗ thì phải có $ – 5{x^2} + 50x + 15000 \geqslant 15080 \Leftrightarrow {x^2} – 10x + 16 \leqslant 0 \Leftrightarrow 2 \leqslant x \leqslant 8$

Vậy số nguyên lớn nhất để chuyến đi không bị lỗ là $x = 8$.

Câu 3: Có một chiếc cổng hình Parabol. Người ta đo khoảng cách giữa hai chân cổng $BC$ là $8m$. Từ một điểm $M$ trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là $MK = 21m$ và khoảng cách tới chân cổng gần nhất là $BK = 1\;m$. Khi đó chiều cao của cổng bằng bao nhiêu?

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ sao cho trục tung đi qua $AH$, trục hoành đi qua $MH$ như hình vẽ

Hình dạng cái cổng là một Parabol đi qua các điểm như hình vẽ

Khi đó theo giả thiết các điểm $B\left( { – 4;0} \right),C\left( {4;0} \right),H\left( {0;0} \right)$ và $M\left( { – 3;21} \right)$

Do Parabol nhận trục tung làm trục đối xứng nên phương trình có dạng: $y = a{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)$

Parabol đi qua $B\left( { – 4;0} \right),C\left( {4;0} \right)$ và $M\left( { – 3;21} \right)$ nên ta có hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{16a + c = 0} \\
{9a + c = 21}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – 3} \\
{c = 48}
\end{array}} \right.} \right.$

Vậy phương trình Parabol là : $y = – 3{x^2} + 48$. Khi đó $A\left( {0;48} \right)$ là đỉnh của Parabol

Suy ra chiều cao cái cổng là : $AH = 48m$

Câu 4: Người ta kéo dây điện từ nguồn điện ở vị trí $A$ đến $B$ rồi kéo lên vị trí $C$ là ngọn hải đăng ở Vũng Tàu để chiếu sáng. Biết khoảng cách từ vị trí $A$ đến chân Ngọn Hải Đăng là $5\;km$, chiều cao Ngọn Hải Đăng là $1\;km$. Tiền công kéo dây điện bắt từ $A$ đến $B$ là 2 triệu đồng $/km$ và từ $B$ đến $C$ là 3 triệu đồng $/km$ (như hình vẽ bên dưới). Hỏi tổng chiều dài $\left( {km} \right)$ dây điện đã kéo từ $A$ đến $C$ là bao nhiêu biết tổng chi phí tiền công kéo dây điện là 13 triệu đồng?

Lời giải

Gọi chiều dài đoạn dây điện kéo từ $A$ đến $B$ là $AB = x\left( {\;km} \right)$.

Khi đó chiều dài dây điện kéo từ $B$ đến $C$ là $BC = \sqrt {1 + {{(5 – x)}^2}} = \sqrt {{x^2} – 10x + 26} \left( {\;km} \right)$

Tổng tiền công là $3\sqrt {{x^2} – 10x + 26} + 2x = 13$ (triệu đồng)

Theo đề bài ta có

$3\sqrt {{x^2} – 10x + 26} + 2x = 13$

$ \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} – 10x + 26} = 13 – 2x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{13 – 2x \geqslant 0} \\
{9\left( {{x^2} – 10x + 26} \right) = 169 – 52x + 4{x^2}}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \leqslant \frac{{13}}{2}} \\
{5{x^2} – 38x + 65 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \leqslant \frac{{13}}{2}} \\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 5} \\
{x = \frac{{13}}{5}}
\end{array}} \right.}
\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{{13}}{5}} \right.} \right.$

Khi đó $AB = x = \frac{{13}}{5} \Rightarrow BC = \frac{{13}}{5}\left( {\;km} \right)$.

Khi đó tổng chiều dài dây điện đã kéo từ $A$ đến $C$ là: $AB + BC = \frac{{26}}{5} = 5,2\left( {\;km} \right)$.

Câu 5: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A\left( {1;1} \right),B\left( { – 2;5} \right)$. Đỉnh $C$ thuộc đường thẳng $d:x – 4 = 0$, trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ thuộc đường thẳng $d’:2x – 3y + 6 = 0$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Lời giải

Đỉnh $C$ thuộc đường thẳng $d:x – 4 = 0 \Rightarrow C\left( {4;b} \right)$.

$G \in d’:2x – 3y + 6 = 0 \Rightarrow G\left( {a;\frac{{2a + 6}}{3}} \right)$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – 2 + 4 = 3a} \\
{1 + 5 + b = 2a + 6}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 1} \\
{b = 2}
\end{array} \Rightarrow C\left( {4;2} \right),G\left( {1;\frac{8}{3}} \right)} \right.} \right.$.

Ta có phương trình đường thẳng $AB:4x + 3y – 7 = 0$ và $AB = 5;d\left( {C,AB} \right) = 3$.

Vậy diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot d\left( {C,AB} \right) = \frac{{15}}{2} = 7,5$.

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $A\left( { – 1;3} \right),B\left( {2;6} \right),C\left( {5;0} \right)$ và đường thẳng $\Delta :3x – y + 1 = 0$. Biết điểm $M\left( {a;b} \right)$ nằm trên $\Delta $ thì biểu thức $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| + \right|\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right|$ có giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $5a + 10b$ ?

Lời giải

Gọi $G$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0$. Tọa độ điểm $G\left( {2;3} \right)$.

Gọi $N$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NB} = \vec 0$. Tọa độ điểm $N\left( {1;5} \right)$.

Từ đó ta thấy $G,N$ nằm về hai phía so với đường thẳng $\Delta $.

Ta có: $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| = \right|3\overrightarrow {MG} } \right| = 3MG$ và $\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} \left| = \right|3\overrightarrow {MN} } \right| = 3MN$.

Khi đó: $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| + \right|\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right| = 3\left( {MG + MN} \right) \geqslant 3GN$.

Do đó $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| + \right|\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} } \right|$ nhỏ nhất là bằng $3GN$, đạt được khi 3 điểm $G,M,N$ thẳng hàng.

Suy ra là giao điểm của đường thẳng $GN$ và $\Delta $.

Ta có $\overrightarrow {GN} = \left( { – 1;2} \right)$, phương trình đường thẳng $GN$ là $2\left( {x – 1} \right) + \left( {y – 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y – 7 = 0$.

Tọa độ điểm $M:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + y – 7 = 0} \\
{3x – y + 1 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{6}{5}} \\
{y = \frac{{23}}{5}}
\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy $5a + 10b = 35$.