Đề Ôn Tập Giữa HK2 Toán 10 KNTT Cấu Trúc Mới Giải Chi Tiết-Đề 7

Đề ôn tập giữa HK2 Toán 10 KNTT cấu trúc mới giải chi tiết-Đề 7 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Hàm số $y = – 5{x^2}$ nghịch biến trên khoảng nào?

A. $\left( { – \infty ;0} \right)$. B. $\left( { – \infty ;2} \right)$. C. $\left( {0; + \infty } \right)$. D. $\left( {2; + \infty } \right)$.

Câu 2. Hình vẽ nào sau đây KHÔNG biểu diễn đồ thị của một hàm số?

A.	B.
C.	D.

Câu 3. Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + 3x – 2a$ có trục đối xứng là đường thẳng $x = 2$. Giá trị của $a$ là:

A. $a = \frac{3}{4}$. B. $a = – \frac{3}{4}$. C. $a = – \frac{3}{2}$. D. $a = \frac{3}{2}$.

Câu 4. Theo một nghiên cứu của trại nuôi cá: với mỗi mét vuông nếu thả $n$ con cá trê thì trọng lượng mỗi con sau 3 tháng sẽ là $16 – 2n\left( {\;kg} \right)$. Trọng lượng cá trê thu được tối đa sau 3 tháng trên mỗi mét vuông là

A. $30\;kg$. B. $32\;kg$. C. $16\;kg$. D. $20\;kg$.

Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình ${x^2} – 5x + 6 > 0$ là:

A. $S = \left( { – \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$. B. $S = \left( { – \infty ;3} \right)$. C. $S = \left( {2;3} \right)$. D. $S = \left( {2; + \infty } \right)$.

Câu 6. Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {5{x^2} – 6x – 4} = 2\left( {x – 1} \right)$ là

A. $S = \left\{ { – 4} \right\}$. B. $S = \left\{ { – 4;2} \right\}$. C. $S = \left\{ 1 \right\}$. D. $S = \left\{ 2 \right\}$.

Câu 7. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A\left( { – 2;1} \right)$, nhận $\vec u = \left( {3; – 1} \right)$ làm vectơ chỉ phương là

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 + 3t} \\
{y = 1 – t}
\end{array}} \right.$. B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 – 2t} \\
{y = – 1 + t}
\end{array}} \right.$. C. $3x – y + 7 = 0$. D. $ – 2x + y + 7 = 0$.

Câu 8. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm $A\left( {3;0} \right)$ và $B\left( {0; – 5} \right)$ là

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 3t} \\
{y = – 5t}
\end{array}} \right.$. B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 3t} \\
{y = – 5 + 5t}
\end{array}} \right.$. C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 3t} \\
{y = – 5 – 5t}
\end{array}} \right.$. D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 3t} \\
{y = 5t}
\end{array}} \right.$.

Câu 9. Cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:ax – y + 5 = 0$ và ${\Delta _2}:x + y + 1 = 0$. Có bao nhiêu giá trị của $a$ để ${\Delta _1}$ tạo với ${\Delta _2}$ một góc ${60^ \circ }$ ?

A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .

Câu 10. Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $\Delta $ song song với đường thẳng $d:2x + y + 1 = 0$ và cách $M\left( {1;2} \right)$ một khoảng bằng $\sqrt 5 $. Phương trình của đường thẳng $\Delta $ là

A. $2x + y – 9 = 0$. B. $2x + y + 3 = 0$. C. $2x + y + 1 = 0$. D. $2x + y – 1 = 0$.

Câu 11. Cho đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} – 4x + 6y – 5 = 0$ vả đường thẳng $\Delta : x + y + m = 0$. Giá trị của $m$ để đường thẳng $\Delta $ tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right)$ là:

A. $m = – 5$ hoặc $m = 7$. B. $m = – 8$ hoặc $m = 13$.

C. $m = – 15$ hoặc $m = 21$. D. $m = 15$ hoặc $m = – 8$.

Câu 12. Cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình ${(x – 2)^2} + {(y + 4)^2} = 9$. Tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn $\left( C \right)$ là

A. $I\left( {2; – 4} \right),R = 3$. B. $I\left( {2;4} \right),R = 3$. C. $I\left( {2; – 4} \right),R = 9$. D. $I\left( {2;4} \right),R = 9$.

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a),b),c),d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai

Câu 1. Xét đồ thị của hàm số $y = – {x^2} + 5x – 4$. Khi đó

a) có toạ độ đỉnh $I\left( {\frac{5}{2};\frac{9}{4}} \right)$

b) trục đối xứng là $x = \frac{5}{2}$.

c) Giao điểm của đồ thị với trục tung là $C\left( {0; – 4} \right)$.

d) Giao điểm của đồ thị với trục hoành là $A\left( {2;0} \right)$ và $B\left( {3;0} \right)$.

Câu 2. Cho phương trình $\sqrt {5{x^2} – 8x + 2} = \sqrt {{x^2} + 2} \left( * \right)$. Khi đó:

a) ${x^2} + 2 \geqslant 0$ đúng $\forall x \in \mathbb{R}$.

b) Bình phương hai vế ta được $4{x^2} – 3x = 0$

c) Phương trình (*) có 2 nghiệm

d) Tổng các nghiệm của phương trình (*) bằng 0

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( { – 2;2} \right),B\left( {3;4} \right)$. Khi đó:

a) Đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} \left( {2;5} \right)$

b) Đường thẳng $AB$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n\left( {2; – 5} \right)$

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là $2x – 5y + 14 = 0$

d) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $M\left( { – 1;1} \right)$ và song song với $AB$ là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + 2t} \\
{y = 1 + 5t}
\end{array}} \right.$

Câu 4. Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:

a) $\left( C \right)$ có tâm $J\left( {2; – 3} \right)$ và bán kính $R = 4$, khi đó $\left( C \right)$ là: ${(x – 2)^2} + {(y + 3)^2} = 16$.

b) $\left( C \right)$ có tâm $K\left( { – 2;1} \right)$ và đi qua $A\left( {3;2} \right)$, khi đó $\left( C \right)$ là: ${(x + 2)^2} + {(y – 1)^2} = 26$.

c) $\left( C \right)$ có đường kính $PQ$ với $P\left( {1; – 1} \right),Q\left( {5;3} \right)$, khi đó $\left( C \right)$ là: ${(x – 3)^2} + {(y – 1)^2} = 4$.

d) $\left( C \right)$ có tâm $S\left( { – 3; – 4} \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :3x + 4y – 10 = 0$, khi đó $\left( C \right)$ là:

${(x + 3)^2} + {(y + 4)^2} = 49$.

Phần 3. Câu trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Một quả bóng được đá lên từ mặt đất, biết rằng chiều cao $y$ (mét) của quả bóng so với mặt đất được biểu diễn bởi một hàm số bậc hai theo thời gian $t$ (giây). Sau 3 giây kể từ lúc được đá lên, quả bóng đạt chiều cao tối đa là $21\;m$ và bắt đầu rơi xuống. Hỏi thời điểm $t$ lớn nhất là bao nhiêu ( $t$ nguyên) để quả bóng vẫn đang ở độ cao trên $10\;m$ so với mặt đất?

Câu 2. Có ba ngôi làng $A,B,C$ mỗi làng cách nhau $6\;km$ (ba ngôi làng không cùng nằm trên một đường thẳng). Vào lúc 6 giờ sáng, một người chạy từ $A$ đến $B$ với vận tốc $10\;km/h$ và cùng lúc đó một người đạp xe từ $C$ đến $B$ với vận tốc $12\;km/h$. Tìm thời điểm sớm nhất mà hai người cách nhau $1\;km$ (theo đường chim bay)

Câu 3. Cho các vectơ $\vec a = \frac{1}{2}\vec i – 5\vec j,\vec b = x\vec i – 4\vec j$. Tìm $x$ để: $\left| {\vec a\left| = \right|\vec b} \right|$

Câu 4. Tìm tham số $m$ để góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + mt} \\
{y = 9 + t}
\end{array},{\Delta _2}:x + my – 4 = 0} \right.$ bằng ${60^ \circ }$

Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các vuông góc $Oxy$, cho đường tròn tâm $I\left( { – 2;3} \right)$ nội tiếp trong tam giác $ABC$. Gọi $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\left( {AD} \right)$ biết $A\left( {5;1} \right)$

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng

${d_1}:x + 3y + 8 = 0,{d_2}:3x – 4y + 10 = 0$ và điểm $A\left( { – 2;1} \right)$. Viết phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm thuộc đường thẳng ${d_1}$, đi qua hai điểm $A$ và tiếp xúc với ${d_2}$.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

PHẦN 1. (Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm)

1	2	3	4	5	6
C	C	B	B	A	D
7	8	9	10	11	12
A	D	C	A	A	A

LỜI GIẢI

Câu 1.

Lời giải

Chọn C

Vì giá trị $x = – 1$ ứng với hai giá trị $y = 1$ và $y = – 1$ nên đồ thị không biểu diễn cho đồ thị hàm số.

Câu 4. Theo một nghiên cứu của trại nuôi cá: với mỗi mét vuông nếu thả $n$ con cá trê thì trọng lượng mỗi con sau 3 tháng sẽ là $16 – 2n\left( {\;kg} \right)$. Trọng lượng cá trê thu được tối đa sau 3 tháng trên mỗi mét vuông là
A. $30\;kg$.
B. $32\;kg$.
C. $16\;kg$.
D. $20\;kg$.

Lời giải

Trọng lượng cá trê thu được cho mỗi mét vuông được biểu diễn dưới một hàm số $p\left( n \right) = n\left( {16 – 2n} \right) = – 2{n^2} + 16n$.

Giá trị lớn nhất của hàm số là 32 , có được khi $n = 4$.

Vậy trọng lượng cá trê thu được tối đa trên mỗi mét vuông là $32\;kg$.

Câu 8. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm $A\left( {3;0} \right)$ và $B\left( {0; – 5} \right)$ là
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 3t} \\
{y = – 5t}
\end{array}} \right.$.
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 3t} \\
{y = – 5 + 5t}
\end{array}} \right.$.
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 3t} \\
{y = – 5 – 5t}
\end{array}} \right.$.
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 3t} \\
{y = 5t}
\end{array}} \right.$.

Lời giải

Ta có $\overrightarrow {BA} = \left( {3;5} \right)$. Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A\left( {3;0} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {BA} = \left( {3;5} \right)$ nên phương trình đường thẳng $AB$ là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 3t} \\
{y = 5t}
\end{array}} \right.$.

Câu 9. Cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:ax – y + 5 = 0$ và ${\Delta _2}:x + y + 1 = 0$. Có bao nhiêu giá trị của $a$ để ${\Delta _1}$ tạo với ${\Delta _2}$ một góc ${60^ \circ }$ ?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .

Lời giải

Ta có ${\vec n_1}\left( {a; – 1} \right)$ và ${\vec n_2}\left( {1;1} \right)$. Theo bài ra ${\Delta _1}$ tạo với ${\Delta _2}$ một góc ${60^ \circ }$ nên:

$cos{60^ \circ } = \frac{{\left| {a – 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{( – 1)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }}$

$ \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {a – 1} \right|}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {{a^2} + 1} }} \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 1} = \sqrt 2 \left| {a – 1} \right|$

$ \Leftrightarrow {a^2} – 4a + 1 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 2 + \sqrt 3 } \\
{a = 2 – \sqrt 3 .}
\end{array}} \right.$

Câu 10. Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $\Delta $ song song với đường thẳng $d:2x + y + 1 = 0$ và cách $M\left( {1;2} \right)$ một khoảng bằng $\sqrt 5 $. Phương trình của đường thẳng $\Delta $ là
A. $2x + y – 9 = 0$.
B. $2x + y + 3 = 0$.
C. $2x + y + 1 = 0$.
D. $2x + y – 1 = 0$.

Lời giải

Vì $\Delta $ là đường thẳng song song với $d:2x + y + 1 = 0$ nên $\Delta $ có phương trình dạng: $2x + y + c = 0\left( {c \ne 1} \right)$.

Ta có $d\left( {M;\Delta } \right) = \sqrt 5 \Rightarrow \frac{{\left| {2.1 + 2 + c} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5 $

$ \Leftrightarrow \left| {4 + c} \right| = 5 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4 + c = 5} \\
{4 + c = – 5}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{c = 1} \\
{c = – 9}
\end{array}} \right.} \right.$.

Suy ra $c = – 9$ thoả mãn.

Vậy phương trình $\Delta :2x + y – 9 = 0$.

Câu 11. Cho đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} – 4x + 6y – 5 = 0$ vả đường thẳng $\Delta 😡 + y + m = 0$. Giá trị của $m$ để đường thẳng $\Delta $ tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right)$ là:
A. $m = – 5$ hoặc $m = 7$.
B. $m = – 8$ hoặc $m = 13$.
C. $m = – 15$ hoặc $m = 21$.
D. $m = 15$ hoặc $m = – 8$.

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm $I(2; – 3)$

Bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} – c} = \sqrt {{2^2} + {{( – 3)}^2} – ( – 5)} = \sqrt {18} $

Ta có:

$\Delta $ tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right)$$ \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R$

$ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 + ( – 3) + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt {18} \Leftrightarrow \left| {m – 1} \right| = 6$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m – 1 = 6 \hfill \\
m – 1 = – 6 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = 7 \hfill \\
m = – 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a),b),c),d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai

Câu 1. Xét đồ thị của hàm số $y = – {x^2} + 5x – 4$. Khi đó

a) có toạ độ đỉnh $I\left( {\frac{5}{2};\frac{9}{4}} \right)$

b) trục đối xứng là $x = \frac{5}{2}$.

c) Giao điểm của đồ thị với trục tung là $C\left( {0; – 4} \right)$.

d) Giao điểm của đồ thị với trục hoành là $A\left( {2;0} \right)$ và $B\left( {3;0} \right)$.

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Ta có $a = – 1 < 0$ nên parabol quay bề lõm xuống dưới, có toạ độ đỉnh $I\left( {\frac{5}{2};\frac{9}{4}} \right)$ và trục đối xứng là $x = \frac{5}{2}$. Giao điểm của đồ thị với trục tung là $C\left( {0; – 4} \right)$. Điểm đối xứng với $C$ qua trục đối xứng là $D\left( {5; – 4} \right)$. Giao điểm của đồ thị với trục hoành là $A\left( {1;0} \right)$ và $B\left( {4;0} \right)$.

Câu 2. Cho phương trình $\sqrt {5{x^2} – 8x + 2} = \sqrt {{x^2} + 2} \left( * \right)$. Khi đó:

a) ${x^2} + 2 \geqslant 0$ đúng $\forall x \in \mathbb{R}$.

b) Bình phương hai vế ta được $4{x^2} – 3x = 0$

c) Phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm

d) Tổng các nghiệm của phương trình $\left( * \right)$ bằng 0

Lời giải

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có: ${x^2} + 2 \geqslant 0$ đúng $\forall x \in \mathbb{R}$.

Bình phương hai vế ta được $5{x^2} – 8x + 2 = {x^2} + 2 \Leftrightarrow 4{x^2} – 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = 2}
\end{array}} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {0;2} \right\}$.

Câu 3. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( { – 2;2} \right),B\left( {3;4} \right)$. Khi đó:

a) Đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} \left( {2;5} \right)$

b) Đường thẳng $AB$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n\left( {2; – 5} \right)$

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là $2x – 5y + 14 = 0$

d) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $M\left( { – 1;1} \right)$ và song song với $AB$ là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + 2t} \\
{y = 1 + 5t}
\end{array}} \right.$

Lời giải

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} \left( {5;2} \right)$ nên nhận $\vec n\left( {2; – 5} \right)$ là một vectơ pháp tuyến Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ đi qua $A\left( { – 2;2} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n\left( {2; – 5} \right)$ là: $2\left( {x + 2} \right) – 5\left( {y – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x – 5y + 14 = 0$.

Đường thẳng này song song với đường thẳng $AB$ nên nhận $\overrightarrow {AB} \left( {5;2} \right)$ là một vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $M\left( { – 1;1} \right)$ và có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow {AB} \left( {5;2} \right)$ là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + 5t} \\
{y = 1 + 2t}
\end{array}} \right.$

Câu 4. Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:

a) $\left( C \right)$ có tâm $J\left( {2; – 3} \right)$ và bán kính $R = 4$, khi đó $\left( C \right)$ là: ${(x – 2)^2} + {(y + 3)^2} = 16$.

b) $\left( C \right)$ có tâm $K\left( { – 2;1} \right)$ và đi qua $A\left( {3;2} \right)$, khi đó $\left( C \right)$ là: ${(x + 2)^2} + {(y – 1)^2} = 26$.

c) $\left( C \right)$ có đường kính $PQ$ với $P\left( {1; – 1} \right),Q\left( {5;3} \right)$, khi đó $\left( C \right)$ là: ${(x – 3)^2} + {(y – 1)^2} = 4$.

d) $\left( C \right)$ có tâm $S\left( { – 3; – 4} \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :3x + 4y – 10 = 0$, khi đó $\left( C \right)$ là: ${(x + 3)^2} + {(y + 4)^2} = 49$.

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ là: ${(x – 2)^2} + {(y + 3)^2} = 16$.

b) Bán kính đường tròn $\left( C \right)$ là: $R = AK = \sqrt {{{[3 – \left( { – 2} \right)]}^2} + {{(2 – 1)}^2}} = \sqrt {26} $.

Suy ra phương trình đường tròn $\left( C \right)$ là: ${(x + 2)^2} + {(y – 1)^2} = 26$.

c) Tâm của đường tròn $\left( C \right)$ là trung điểm $I$ của $PQ$, suy ra $I\left( {3;1} \right)$.

Bán kính đường tròn là: $R = IP = \sqrt {{{(1 – 3)}^2} + {{( – 1 – 1)}^2}} = 2\sqrt 2 $.

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ là: ${(x – 3)^2} + {(y – 1)^2} = 8$.

d) Bán kính $R$ của đường tròn $\left( C \right)$ bằng khoảng cách từ điểm $S$ đến đường thẳng

$\Delta :3x + 4y – 10 = 0$. Suy ra $R = d\left( {S,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot \left( { – 3} \right) + 4 \cdot \left( { – 4} \right) – 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 7$.

Vậy phương trình đường tròn $\left( C \right)$ là: ${(x + 3)^2} + {(y + 4)^2} = 49$.

Phần 3. Câu trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời đáp án tù câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Một quả bóng được đá lên từ mặt đất, biết rằng chiều cao $y$ (mét) của quả bóng so với mặt đất được biểu diễn bởi một hàm số bậc hai theo thời gian $t$ (giây). Sau 3 giây kể từ lúc được đá lên, quả bóng đạt chiều cao tối đa là $21\;m$ và bắt đầu rơi xuống. Hỏi thời điểm $t$ lớn nhất là bao nhiêu ( $t$ nguyên) để quả bóng vẫn đang ở độ cao trên $10\;m$ so với mặt đất?

Xét hàm số bậc hai $y = a{t^2} + bt + c\left( {a \ne 0} \right)$.

Lời giải

Theo giả thiết, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c = 0} \\
{ – \frac{b}{{2a}} = 3} \\
{9a + 3b + c = 21}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c = 0} \\
{6a + b = 0} \\
{9a + 3b = 21}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – \frac{7}{3}} \\
{b = 14} \\
{c = 0}
\end{array}} \right.} \right.$.

Vì vậy $y = – \frac{7}{3}{t^2} + 14t$.

Ta cần xét: $y = – \frac{7}{3}{t^2} + 14t > 10$ hay $ – \frac{7}{3}{t^2} + 14t – 10 > 0$.

Đặt $f\left( t \right) = – \frac{7}{3}{t^2} + 14t – 10$; cho $f\left( t \right) = 0 \Rightarrow {t_1} = \frac{{21 – \sqrt {231} }}{7},{t_2} = \frac{{21 + \sqrt {231} }}{7}$.

Bảng xét dấu $f\left( t \right)$

$t$	$ – \infty $		${t_1}$		${t_2}$	$ + \infty $
$f\left( t \right)$		–	0	+	0	–

Kết luận: $f\left( t \right) > 0$ khi ${t_1} < t < {t_2}$ hay $\mathop {\mathop {\frac{{21 – \sqrt {231} }}{7}}\limits_{} }\limits_{ \approx 0,83} < t < \mathop {\mathop {\frac{{21 + \sqrt {231} }}{7}}\limits_{} }\limits_{ \approx 5,17} $.

Vì $t$ nguyên nên $t \in \left[ {1;5} \right]$. Do vậy giá trị $t = 5$ thỏa mãn bài

Câu 2. Có ba ngôi làng $A,B,C$ mỗi làng cách nhau $6\;km$ (ba ngôi làng không cùng nằm trên một đường thẳng). Vào lúc 6 giờ sáng, một người chạy từ $A$ đến $B$ với vận tốc $10\;km/h$ và cùng lúc đó một người đạp xe từ $C$ đến $B$ với vận tốc $12\;km/h$. Tìm thời điểm sớm nhất mà hai người cách nhau $1\;km$ (theo đường chim bay)

Lời giải

Ta mô hình hoá bài toán bằng hình bên.

Gọi $t$ (giờ) là thời gian hai người di chuyển, ta có $AM = 10t,CN = 12t$.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $BMN$ :

$MN = \sqrt {{{(6 – 10t)}^2} + {{(6 – 12t)}^2} – 2 \cdot \left( {6 – 10t} \right) \cdot \left( {6 – 12t} \right) \cdot cos{{60}^ \circ }} = 1$.

Bình phương và rút gọn ta được $124{t^2} – 132t + 35 = 0$.

Giải phương trình ta được $t = 0,5$ và $t = \frac{{35}}{{62}}$.

Vậy thời gian sớm nhất hai người cách nhau $1\;km$ là 6 giờ 30 phút.

Câu 3. Cho các vectơ $\vec a = \frac{1}{2}\vec i – 5\vec j,\vec b = x\vec i – 4\vec j$. Tìm $x$ để: $\left| {\vec a\left| = \right|\vec b} \right|$

Lời giải

Ta có: $\left| {\vec a\left| = \right|\vec b} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{( – 5)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{( – 4)}^2}} $

$ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 16} = \frac{{\sqrt {101} }}{2}$

$ \Leftrightarrow {x^2} + 16 = \frac{{101}}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt {37} }}{2}$.

Câu 4. Tìm tham số $m$ để góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + mt} \\
{y = 9 + t}
\end{array},{\Delta _2}:x + my – 4 = 0} \right.$ bằng ${60^ \circ }$

Lời giải

Hai đường thẳng đã cho có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = \left( {1; – m} \right),{\vec n_2} = \left( {1;m} \right)$.

Ta có: $cos\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {1 – {m^2}} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}} \cdot \sqrt {1 + {m^2}} }}$

$ = cos{60^ \circ } \Rightarrow \frac{{\left| {1 – {m^2}} \right|}}{{1 + {m^2}}} = \frac{1}{2}$

$ \Rightarrow 2\left| {1 – {m^2}} \right| = 1 + {m^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2\left( {1 – {m^2}} \right) = 1 + {m^2}} \\
{2\left( {1 – {m^2}} \right) = – 1 – {m^2}}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3{m^2} = 1} \\
{{m^2} = 3}
\end{array} \Rightarrow m = \pm \sqrt 3 \vee m = \pm \sqrt {\frac{1}{3}} } \right.$.

Vậy $m = \pm \sqrt 3 \vee m = \pm \sqrt {\frac{1}{3}} $ thỏa mãn đề bài

Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc $Oxy$, cho đường tròn tâm $I\left( { – 2;3} \right)$ nội tiếp trong tam giác $ABC$. Gọi $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\left( {AD} \right)$ biết $A\left( {5;1} \right)$

Lời giải

Ta có

$\widehat {AIC} + \widehat {CID} = \left( {{{90}^ \circ } + \frac{{\widehat {ABC}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{{{180}^ \circ } – \widehat {ADC}}}{2}} \right)$

$ = {180^ \circ } + \frac{{\widehat {ABC} – \widehat {ADC}}}{2}\left( 1 \right)$

Mặt khác,

$\widehat {BIC} = {180^ \circ } – \widehat {IBC} – \widehat {ICB} = {180^ \circ } – \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {ACB}}}{2}$

$ = {90^ \circ } + \frac{{\widehat {BAC}}}{2}$

$ \Rightarrow \widehat {BAC} = – {180^ \circ } + 2\widehat {BIC} = {180^ \circ } – \left( {{{360}^ \circ } – 2\widehat {BIC}} \right)$

$ = {180^ \circ } – \widehat {BDC} \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {BDC} = {180^ \circ }$

$ \Rightarrow ABDC$nội tiếp

$ \Rightarrow ABC = ADC\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta suy ra $AIC + CID = {180^ \circ }$ hay $D,I,A$ thẳng hàng.

Vậy phương trình đường thẳng $\left( {AD} \right)$ là $2x + 7y – 17 = 0$.

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng ${d_1}:x + 3y + 8 = 0,{d_2}:3x – 4y + 10 = 0$ và điểm $A\left( { – 2;1} \right)$. Viết phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm thuộc đường thẳng ${d_1}$, đi qua hai điểm $A$ và tiếp xúc với ${d_2}$.

Lời giải

Gọi $I$ là tâm của đường tròn $\left( C \right) \Rightarrow I \in {d_1} \Rightarrow I\left( { – 3a – 8;a} \right)$.

Theo đề bài ta có $d\left( {I;{d_2}} \right) = AI \Leftrightarrow \frac{{\left| {3\left( { – 3a – 8} \right) – 4a + 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( – 4)}^2}} }} = \sqrt {{{( – 3a – 6)}^2} + {{(a – 1)}^2}} \Leftrightarrow a = – 3$.

Suy ra tâm $I\left( {1; – 3} \right)$ và $R = AI = 5$.

Vậy $\left( C \right):{(x – 1)^2} + {(y + 3)^2} = 25$.