Giải Toán 12 Cánh Diều Bài 4 Chương 1 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số

Câu 1. Đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3x – 1$ là đường cong nào trong các đường cong sau?

Lời giải

Câu 2. Đường cong ở Hình 29 là đồ thị của hàm số:

A. $y = {x^3} + {x^2} + 2x + 2$.

B. $y = – {x^3} – 4{x^2} – x + 2$.

C. $y = {x^3} + 3{x^2} – 4x + 2$.

D. $y = {x^3} + 3{x^2} + 4x + 2$.

Lời giải

Câu 3. Đường cong nào sau đây là đồ thị của hàm số $y = \frac{{1 – x}}{{x + 1}}$ ?

Lời giải

Câu 4. Đường cong ở Hình 30 là đồ thị của hàm số:

A. $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{ – x – 1}}$.

B. $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}$.

C. $y = \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 1}}$.

D. $y = \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x + 1}}$.

Hình 30

Lời giải

Câu 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = 2{x^3} – 3{x^2} + 1$;

b) $y = – {x^3} + 3{x^2} – 1$;

c) $y = {(x – 2)^3} + 4$;

d) $y = – {x^3} + 3{x^2} – 3x + 2$;

e) $y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 2x + 1$;

g) $y = – {x^3} – 3x$.

Lời giải

Câu 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}$

b) $y = \frac{{ – 2x}}{{x + 1}}$

c) $y = \frac{{{x^2} – 3x + 6}}{{x – 1}}$

d) $y = \frac{{ – {x^2} + 2x – 4}}{{x – 2}}$

e) $y = \frac{{2{x^2} + 3x – 5}}{{x + 2}}$

g) $y = \frac{{{x^2} – 2x – 3}}{{ – x + 2}}$.

Lời giải

Câu 7. Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250 km so với bề mặt của Mặt Trăng.

Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao $h$ của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm

$h\left( t \right) = – 0,01{t^3} + 1,1{t^2} – 30t + 250$

trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây và $h$ là độ cao tính bằng kilômét (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2010).

a) Tìm thời điểm $t\left( {0 \leqslant t \leqslant 50} \right)$ sao cho con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng. Khoảng cách nhỏ nhất này là bao nhiêu?

b) Vẽ đồ thị của hàm số $y = h\left( t \right)$ với $0 \leqslant t \leqslant 70$ (đơn vị trên trục hoành là 10 giây, đơn vị trên trục tung là $50\;km$ ).

c) Gọi $v\left( t \right)$ là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm $t$ (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với $0 \leqslant t \leqslant 50$. Xác định hàm số $v\left( t \right)$.

d) Vận tốc tức thời của con tàu lúc bắt đầu hãm phanh là bao nhiêu? Tại thời điểm $t = 25$ (giây) là bao nhiêu?

e) Tại thời điểm $t = 25$ (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay đang tăng trở lại?

Lời giải

Câu 8. Xét phản ứng hoá học tạo ra chất $C$ từ hai chất $A$ và $B$ :

$A + B \to C.$

Giả sử nồng độ của hai chất $A$ và $B$ bằng nhau $\left[ A \right] = \left[ B \right] = a\left( {\;mol/l} \right)$. Khi đó, nồng độ của chất $C$ theo thời gian $t(t > 0)$ được cho bởi công thức: $\left[ C \right] = \frac{{{a^2}Kt}}{{aKt + 1}}\left( {\;mol/l} \right)$, trong đó $K$ là hằng số dương (Nguồn: Đỗ Đúc Thái (Chủ biên) và các đồng tác giả, Giáo trình Phép tính vi tích phân hàm một biến, NXB Đại học Su phạm, 2023).

a) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm $t > 0$.

b) Chứng minh nếu $x = \left[ C \right]$ thì $x’\left( t \right) = K{(a – x)^2}$.

c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi $t \to + \infty $.

d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi $t \to + \infty $.