Giải Toán 12 Kết Nối Tri Thức Bài 6 Vectơ Trong Không Gian

Giải Toán 12 Kết nối tri thức bài 6 Vectơ trong không gian chi tiết dễ hiểu giúp các bạn tham khảo và làm bài tập một cách hiệu quả.

Câu 2.1. Trong không gian, cho ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ phân biệt và đều khác $\vec 0$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu $\vec a$ và $\vec b$ đều cùng hướng với $\vec c$ thì $\vec a$ và $\vec b$ cùng hướng.

b) Nếu $\vec a$ và $\vec b$ đều ngược hướng với $\vec c$ thì $\vec a$ và $\vec b$ cùng hướng.

c) Nếu $\vec a$ và $\vec b$ đều cùng hướng với $\vec c$ thì $\vec a$ và $\vec b$ ngược hướng.

d) Nếu $\vec a$ và $\vec b$ đều ngược hướng với $\vec c$ thì $\vec a$ và $\vec b$ ngược hướng.

Lời giải

Câu 2.2. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB = 2,AD = 3$ và $AA’ = 4$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow {BB’} ,\overrightarrow {BD} $ và $\overrightarrow {BD’} $.

Lời giải

Câu 2.3. Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ â) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ $\vec b,\vec c,\vec d,\vec e$ ).

a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ $\vec a,\vec b,\vec c,\vec d$ và $\vec e$.

Hình 2.29

b) Giải thích vì sao các vectơ $\vec b,\vec c,\vec d,\vec e$ đôi một bằng nhau.

Lời giải

Câu 2.4. Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DD’} + \overrightarrow {C’D’} = \overrightarrow {CC’} $;

b) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD’} – \overrightarrow {CC’} = \vec 0$;

c) $\overrightarrow {BC} – \overrightarrow {CC’} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {A’C} $.

Lời giải

Câu 2.5. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC \cdot A’B’C’$ có $\overrightarrow {AA’} = \vec a,\overrightarrow {AB} = \vec b$ và $\overrightarrow {AC} = \vec c$. Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ :

a) $\overrightarrow {AB’} $;

b) $\overrightarrow {B’C} $;

c) $\overline {BC’} $.

Lời giải

Câu 2.6. Cho hình chóp tứ giác $S \cdot ABCD$. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu và chỉ nếu $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} $.

Lời giải

Câu 2.7. Cho hình chóp $S.ABC$. Trên cạnh $SA$, lấy điểm $M$ sao cho $SM = 2AM$. Trên cạnh $BC$, lấy điểm $N$ sao cho $CN = 2BN$. Chứng minh rằng $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {AB} $.

Lời giải

Câu 2.8. Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện $ABCD$ là một điểm / thoả mãn $\overrightarrow {Al} = 3\overrightarrow {IG} $, ở đó $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là $8\;cm$ (H.2.30).

Hình 2.30

Lời giải

Câu 2.9. Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.

Hình 2.31

Lời giải

Câu 2.10. Cho hình lăng trụ tứ giác đều $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2 . Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:

a) $\overrightarrow {AA’} $ và $\overrightarrow {C’C} $;

b) $\overrightarrow {AA’} $ và $\overrightarrow {BC} $;

c) $\overrightarrow {AC} $ và $\overrightarrow {B’A’} $.

Lời giải

Câu 2.11. Trong không gian, cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ cùng có độ dài bằng 1 . Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là ${45^ \circ }$, hãy tính:

a) $\vec a \cdot \vec b$;

b) $\left( {\vec a + 3\vec b} \right) \cdot \left( {\vec a – 2\vec b} \right)$;

c) ${(\vec a + \vec b)^2}$.

Lời giải

Câu 2.12. Cho tứ diện $ABCD$. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {DC} $;

b) $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} = 0$.

Lời giải