Giải Toán 12 Kết Nối Tri Thức Bài Ôn Tập Chương 2

Giải Toán 12 Kết nối tri thức bài Ôn tập chương 2 chi tiết dễ hiểu giúp các bạn tham khảo và làm bài tập một cách hiệu quả.

A – TRẮC NGHIỆM

Câu 2.25. Cho tứ diện $ABCD$. Lấy $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {DG} = \vec 0$.

B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} $.

C. $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} = 3\overrightarrow {BG} $.

D. $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0$.

Lời giải

Câu 2.26. Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Lấy $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $CC’$. Vectơ $\overrightarrow {AM} $ bằng

A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} $.

B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA’} $.

C. $\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA’} $.

D. $\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} $.

Lời giải

Câu 2.27. Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC’} = \overrightarrow {AB’} $.

B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} = \overrightarrow {AC’} $.

C. $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BB’} = \overrightarrow {AD’} $.

D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC’} = \overrightarrow {AC’} $.

Lời giải

Câu 2.28. Cho tứ diện đều $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $a$, gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$. Tích vô hướng $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} $ bằng

A. $\frac{{{a^2}}}{4}$.

B. $\frac{{{a^2}}}{2}$.

C. $\frac{{{a^2}}}{3}$.

D. ${a^2}$.

Lời giải

Câu 2.29. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {1; – 2;2} \right),\vec b = \left( { – 2;0;3} \right)$. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. $\vec a + \vec b = \left( { – 1; – 2;5} \right)$.

B. $\vec a – \vec b = \left( {3; – 2; – 1} \right)$.

C. $3\vec a = \left( {3; – 2;2} \right)$.

D. $2\vec a + \vec b = \left( {0; – 4;7} \right)$.

Lời giải

Câu 2.30. Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$ có $A\left( { – 1;0;3} \right),B\left( {2;1; – 1} \right)$ và $C\left( {3;2;2} \right)$. Toạ độ của điểm $D$ là

A. $\left( {2; – 1;0} \right)$.

B. $\left( {0; – 1; – 6} \right)$.

C. $\left( {0;1;6} \right)$.

D. $\left( { – 2;1;0} \right)$.

Lời giải

Câu 2.31. Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left( {1;0; – 1} \right),B\left( {0; – 1;2} \right)$ và $G\left( {2;1;0} \right)$. Biết tam giác $ABC$ có trọng tâm là điểm $G$. Toạ độ của điểm $C$ là

A. $\left( {5;4; – 1} \right)$.

B. $\left( { – 5; – 4;1} \right)$.

C. $\left( {1;2; – 1} \right)$.

D. $\left( { – 1; – 2;1} \right)$.

Lời giải

Câu 2.32. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {2;1; – 3} \right),\vec b = \left( { – 2; – 1;2} \right)$. Tích vô hướng $\vec a \cdot \vec b$ bằng

A. -2 .

B. -11 .

c. 11 .

D. 2 .

Lời giải

Câu 2.33. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {2;1; – 2} \right),\vec b = \left( {0; – 1;1} \right)$. Góc giữa hai vectơ $\vec a,\vec b$ bằng

A. ${60^ \circ }$.

B. ${135^ \circ }$.

C. ${120^ \circ }$.

D. ${45^ \circ }$.

Lời giải

Câu 2.34. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a = \left( { – 2;2;2} \right),\vec b = \left( {1; – 1; – 2} \right)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\vec a,\vec b$ bằng

A. $\frac{{ – 2\sqrt 2 }}{3}$.

B. $\frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

C. $\frac{{\sqrt 2 }}{3}$.

D. $\frac{{ – \sqrt 2 }}{3}$.

Lời giải

B – TỰ LUẬN

Câu 2.35. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} $

Lời giải

Câu 2.36. Cho tứ diện $ABCD$, lấy hai điểm $M,N$ thoả mãn $\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MA} = \vec 0$ và $\overrightarrow {NC} = 2\overrightarrow {DN} $. Hãy biểu diễn $\overrightarrow {MN} $ theo $\overrightarrow {AD} $ và $\overrightarrow {BC} $.

Lời giải

Câu 2.37. Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$, gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BDA’$.

a) Biểu diễn $\overrightarrow {AG} $ theo $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} $ và $\overrightarrow {AA’} $.

b) Từ câu $a$, hãy chứng tỏ ba điểm $A,G$ và $C’$ thẳng hàng.

Lời giải

Câu 2.38. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {2; – 1;3} \right),B\left( {1;1; – 1} \right)$ và $C\left( { – 1;0;2} \right)$.

a) Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

b) Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc trục $Oz$ sao cho đường thẳng $BM$ vuông góc với đường thẳng $AC$.

Lời giải

Câu 2.39. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $OABC.O’A’B’C’$ và các điểm $A\left( {2;3;1} \right),C\left( { – 1;2;3} \right)$ và $O’\left( {1; – 2;2} \right)$. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải

Câu 2.40. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec a = \left( { – 2;1;2} \right),\vec b = \left( {1;1; – 1} \right)$.

a) Xác định toạ độ của vectơ $\vec u = \vec a – 2\vec b$.

b) Tính độ dài vectơ $\vec u$.

c) Tính $cos\left( {\vec a,\vec b} \right)$.

Lời giải

Câu 2.41. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {4;2; – 1} \right),B\left( {1; – 1;2} \right)$ và $C\left( {0; – 2;3} \right)$.

a) Tìm toạ độ của vectơ $\overrightarrow {AB} $ và tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

b) Tìm toa độ điểm $M$ sao cho $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \vec 0$.

c) Tìm toạ độ điểm $N$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$, sao cho $A,B,N$ thẳng hàng.

Lời giải

Câu 2.42. Hình 2.53 minh hoạ một chiếc đèn được treo cách trần nhà là $0,5\;m$, cách hai tường lần lượt là $1,2\;m$ và $1,6\;m$. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là $0,4\;m$, cách hai tường đều là $1,5\;m$.

a) Lập một hệ trục toạ độ Oxyz phù hợp và xác định toạ độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.

b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hình 2.53

Lời giải