Phương Pháp Sử Dụng Tính Đơn Điệu Để Giải Phương Trình

I. Phương pháp

1. Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và đơn điệu trên $D$ thì $f\left( x \right) = 0$ có nhiều nhất một nghiệm trên $D$.

2. Nếu $f\left( x \right)$ liên tục và đơn điệu trên $D$ và $u,v \in D$ thì phương trình $f\left( u \right) = f\left( v \right) \Leftrightarrow u = v$.

II. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình ${x^{11}} + {x^3} – {x^2} + x + 4 = 0$.

Lời giải

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Đặt: $y = {x^{11}} + {x^3} – {x^2} + x + 4$

Ta có: $y’ = 11{x^{10}} + 3{x^2} – 2x + 1$

Xét $g(x) = 3{x^2} – 2x + 1$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered}
{a_{g(x)}} = 3 > 0 \hfill \\
{{\Delta ‘}_{g(x)}} = – 2 < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow $$g(x) = 3{x^2} – 2x + 1 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$

Ta lại có, $11{x^{10}} \geqslant 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$

Nên $y’ = 11{x^{10}} + 3{x^2} – 2x + 1 > 0\,\forall x \in \mathbb{R}$

Suy ra, $y$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Ta thấy, $x = – 1$ là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x = – 1$

Ví dụ 2. Giải phương trình ${x^{2025}} + {x^3} – 6{x^2} + 13x – 9 = 0$.

Lời giải

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Đặt: $y = {x^{2025}} + {x^3} – 6{x^2} + 13x – 9$

Ta có: $y’ = 2025{x^{2024}} + 3{x^2} – 12x + 13$

$ = 2025{x^{2024}} + 3\left( {{x^2} – 4x + 4} \right) + 1$

$ = 2025{x^{2024}} + 3{(x – 2)^2} + 1 > 0\;\forall x \in \mathbb{R}$

Suy ra, $y$ đồng biến

Ta thấy, $x = 1$ là nghiệm của phương trình.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$

Ví dụ 3. Giải phương trình sau ${\left( {2x + 3} \right)^5} = {\left( {5x + 7} \right)^5} + 3x + 4$.

Lời giải

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Ta có: ${\left( {2x + 3} \right)^5} = {\left( {5x + 7} \right)^5} + 3x + 4$

${\left( {2x + 3} \right)^5} + 2x + 3 = {\left( {5x + 7} \right)^5} + 5x + 7$ (*)

Đặt: $f\left( t \right) = {t^5}\; + t$

Xét $\left\{ \begin{gathered}
u = 2x + 3 \hfill \\
v = 5x + 7 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Ta có: (*)$ \Leftrightarrow {u^5} + u = {v^5} + v$$ \Leftrightarrow f(u) = f(v)$ (**)

Ta lại có: $f’\left( t \right) = 5{t^4}+1 > 0\,\forall t \in \mathbb{R}$

$ \Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Suy ra, (**) $ \Leftrightarrow u = v$

$ \Leftrightarrow 2x + 3 = 5x + 7$

$ \Leftrightarrow x = – \frac{4}{3}$

Vậy, nghiệm của phương trình là $x = – \frac{4}{3}$.

Ví dụ 4. Giải phương trình sau $\sqrt {2x – 1} – \sqrt {5x – 2} = {(5x – 2)^5} – {(2x – 1)^5}$.

Lời giải

TXĐ: $D = \left[ {\frac{1}{2}, + \infty } \right)$

Ta có: $\sqrt {2x – 1} – \sqrt {5x – 2} = {(5x – 2)^5} – {(2x – 1)^5}$

$ \Leftrightarrow \sqrt {2x – 1} + {(2x – 1)^5} = \sqrt {5x – 2} + {(5x – 2)^5}$ (*)

Đặt: $f\left( t \right) = \sqrt t + {t^5}\;\forall t \in \left[ {0, + \infty } \right)$

Xét $\left\{ \begin{gathered}
u = 2x – 1 \hfill \\
v = 5x – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Ta có: (*)$ \Leftrightarrow \sqrt u + {u^5} = \sqrt v + {v^5}$$ \Leftrightarrow f(u) = f(v)$ (**)

Ta lại có: $f’\left( t \right) = \frac{1}{{2\sqrt t }} + 5{t^4} > 0\forall t \in \left[ {0, + \infty } \right)$

$ \Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến.

Suy ra, (**) $ \Leftrightarrow u = v$

$ \Leftrightarrow 2x – 1 = 5x – 2$

$ \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$ (loại)

Vậy, phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 5. Giải phương trình ${x^3} + 3{x^2} + 4x + 2 = \left( {4x + 6} \right)\sqrt {4x + 5} $.

Lời giải

TXĐ: $D = \left[ {\frac{{ – 5}}{4}, + \infty } \right)$

Ta có: ${x^3} + 3{x^2} + 4x + 2 = \left( {4x + 6} \right)\sqrt {4x + 5} $

$ \Leftrightarrow {(x + 1)^3} + \left( {x + 1} \right) = {\sqrt {\left( {4x + 5} \right)} ^3} + \sqrt {4x + 5} $ (*)

Đặt: $f\left( t \right) = {t^3} + t,\,\forall t \in \mathbb{R}$

Xét: $\left\{ \begin{gathered}
u = x + 1 \hfill \\
v = \sqrt {4x + 5} \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Ta có: (*)$ \Leftrightarrow {u^3} + u = {v^3} + v \Leftrightarrow f(u) = f(v)$ (**)

Ta có: $f’\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\;\forall t \in \mathbb{R}$

$ \Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến

Suy ra, (**) $ \Leftrightarrow u = v$

$ \Leftrightarrow x + 1 = \sqrt {4x + 5} $

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 \geqslant 0} \\
{{{(x + 1)}^2} = 4x + 5}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \geqslant – 1 \hfill \\
\left[ \begin{gathered}
x = 1 + \sqrt 5 \hfill \\
x = 1 – \sqrt 5 \left( {loại} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 5 $